Teorya sa larangan. Kahulugan ng isang vector field. gradient na field. Mga potensyal na field, kundisyon ng potensyal Kung may potensyal, maghanap ng vector field
Teorya sa larangan
Kilala din sa pagsusuri ng vector. At para sa ilan, ang pagtatasa ng vector, na kilala bilang field theory =) Sa wakas, nakarating kami sa kawili-wiling paksang ito ng mas mataas na matematika ay hindi matatawag na simple, gayunpaman, sa mga susunod na artikulo ay susubukan kong makamit ang dalawang layunin:
a) upang maunawaan ng lahat kung ano ang tungkol sa pag-uusap;
b) at upang ang mga "dummies" ay matutong lutasin, sa pinakamababa, mga simpleng bagay - hindi bababa sa antas ng mga gawain na inaalok sa mga part-time na mag-aaral.
Ang lahat ng materyal ay ipapakita sa isang sikat na istilo, at kung kailangan mo ng mas mahigpit at kumpletong impormasyon, maaari mong kunin, halimbawa, ang ika-3 volume ng Fichtenholtz o tumingin sa Wiki.
At agad nating tukuyin ang pamagat. Gamit ang teorya, sa tingin ko ang lahat ay malinaw - sa pinakamahusay na mga tradisyon ng site, susuriin namin ang mga pangunahing kaalaman nito at tumuon sa pagsasanay. Buweno, ano ang iniuugnay mo sa salitang "patlang"?
Grass field, football field... Higit pa? Larangan ng aktibidad, larangan ng mga eksperimento. Pagbati ng mga humanista! ...Mula sa isang kurso sa paaralan? Electric field, magnetic, electromagnetic..., okay. Ang gravitational field ng Earth kung saan matatagpuan natin ang ating sarili. Malaki! Kaya, sino ang nagsabi niyan tungkol sa larangan? wasto At kumplikadong mga numero? ... may mga halimaw na nagtipon dito! =) Sa kabutihang palad algebra nakapasa na.
Sa susunod na mga aralin ay makikilala natin ang isang tiyak na konsepto mga patlang, mga partikular na halimbawa mula sa buhay, at matutunan din kung paano lutasin ang mga pampakay na problema ng pagsusuri ng vector. Ang teorya ng field ay pinakamahusay na pinag-aralan, tulad ng tama mong hulaan, sa isang patlang - sa kalikasan, kung saan mayroong isang kagubatan, isang ilog, isang lawa, isang bahay nayon, at inaanyayahan ko ang lahat na isawsaw ang kanilang sarili, kung hindi sa mainit na katotohanan ng tag-init, pagkatapos ay sa masasayang alaala:
Ang mga patlang sa kahulugan na isinasaalang-alang ngayon ay scalar At vector, at magsisimula tayo sa kanilang "mga bloke ng gusali".
Una, scalar. Kadalasan ang terminong ito ay nagkakamali sa pagkakakilanlan numero. Hindi, medyo naiiba ang mga bagay: scalar ay isang dami, na ang bawat halaga ay maaaring ipahayag isang numero lang. Mayroong maraming mga halimbawa sa pisika: haba, lapad, lugar, volume, density, temperatura, atbp. Ang lahat ng ito ay mga scalar na dami. At, sa pamamagitan ng paraan, ang misa ay isang halimbawa din.
Pangalawa, vector. Nahawakan ko ang algebraic na kahulugan ng isang vector sa aralin tungkol sa mga linear na pagbabago at isa sa kanyang mga pribadong pagkakatawang-tao Imposibleng hindi alam=) Tipikal vector ay ipinahayag dalawa o higit pa numero(kasama ang iyong mga coordinate). At kahit para sa isang one-dimensional na vector isang numero lang hindi sapat– sa kadahilanang may direksyon din ang vector. At ang punto ng aplikasyon kung ang vector hindi single. Nailalarawan ng mga vector ang mga patlang ng pisikal na puwersa, bilis at marami pang ibang dami.
Kaya, ngayon ay maaari mong simulan ang pag-aani ng mga aluminum cucumber:
Scalar field
Kung bawat isa ilang mga punto mga lugar ng espasyo isang tiyak na numero ang itinalaga (karaniwan totoo), pagkatapos ay sinasabi nila na sa lugar na ito ito ay ibinibigay scalar field.
Isaalang-alang, halimbawa, ang isang patayo na nagmumula sa lupa Ray. Dumikit ng pala para malinaw =) Ano mga scalar na patlang pwede po bang magtanong sa beam na ito? Ang unang pumapasok sa isip ay patlang ng taas– kapag ang bawat punto ng sinag ay itinalaga ang taas nito sa ibabaw ng antas ng lupa. O, halimbawa, larangan ng presyon ng atmospera– dito ang bawat punto ng beam ay tumutugma sa isang numerical na halaga ng atmospheric pressure sa isang naibigay na punto.
Ngayon lapitan natin ang lawa at mag-isip na gumuhit ng eroplano sa ibabaw nito. Kung ang bawat punto ng fragment ng "tubig" ng eroplano ay nauugnay sa lalim ng lawa, kung gayon, mangyaring, ibigay ang scalar field. Sa parehong mga puntong ito, maaari mong isaalang-alang ang iba pang mga scalar na dami, halimbawa, ang temperatura ng ibabaw ng tubig.
Ang pinakamahalagang katangian ng isang scalar field ay kanya invariance kaugnay sa coordinate system. Kung isasalin natin ito sa wika ng tao, kahit saang panig tayo tumingin sa pala / lawa - isang scalar field (taas, lalim, temperatura, atbp.) hindi ito magbabago. Bukod dito, ang scalar field, halimbawa, depth, ay maaaring itakda sa ibang ibabaw, halimbawa, sa isang angkop na hemisphere, o direkta sa ibabaw ng tubig mismo. Bakit hindi? Hindi ba posible na magtalaga ng isang numero sa bawat punto ng hemisphere na matatagpuan sa itaas ng lawa? Iminungkahi ko ang pagiging patag para lamang sa kaginhawahan.
Magdagdag pa tayo ng isa pang coordinate. Kumuha ng bato sa iyong kamay. Ang bawat punto ng batong ito ay maaaring italaga sa kanya pisikal na density. At muli - kahit na sa anong sistema ng coordinate ang isaalang-alang natin ito, gaano man natin ito i-twist sa ating kamay - ang scalar density field ay mananatiling hindi nagbabago. Gayunpaman, maaaring i-dispute ng ilang tao ang katotohanang ito =) Ganyan ang bato ng pilosopo.
Mula sa isang purong mathematical point of view (higit pa sa pisikal o iba pang pribadong kahulugan) Ang mga scalar field ay tradisyonal na tinutukoy ng aming "ordinaryong" function isa , dalawa , tatlo at higit pang mga variable. Kasabay nito, sa teorya ng larangan, ang mga tradisyonal na katangian ng mga function na ito ay malawakang ginagamit, tulad ng domain, mga linya at ibabaw ng antas.
Sa tatlong-dimensional na espasyo ang lahat ay magkatulad:
– dito, ang bawat pinahihintulutang punto sa espasyo ay nauugnay sa isang vector na may simula sa isang naibigay na punto. Ang "Admissibility" ay tinutukoy ng mga domain ng kahulugan ng mga function, at kung ang bawat isa sa kanila ay tinukoy para sa lahat ng "X", "E", "Z", kung gayon ang vector field ay tutukuyin sa buong espasyo.
! Mga pagtatalaga : ang mga patlang ng vector ay tinutukoy din ng titik o, at ang mga bahagi ng mga ito sa pamamagitan ng o, ayon sa pagkakabanggit.
Mula sa itaas ay matagal nang malinaw na, kahit man lang sa matematika, ang mga patlang ng scalar at vector ay maaaring tukuyin sa buong espasyo. Gayunpaman, naging maingat pa rin ako sa mga kaukulang pisikal na halimbawa, dahil ang mga konseptong gaya ng temperatura, grabidad(o iba pa) pagkatapos ng lahat sa isang lugar maaaring wala sa lahat. Pero hindi na horror ito, kundi science fiction =) At hindi lang science fiction. Dahil ang hangin, bilang panuntunan, ay hindi pumutok sa loob ng mga bato.
Dapat pansinin na ang ilang mga patlang ng vector (parehong mga field ng bilis) mabilis na nagbabago sa paglipas ng panahon, at samakatuwid ay isinasaalang-alang ng maraming pisikal na modelo ang isang karagdagang independent variable. Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong naaangkop sa mga scalar field - ang temperatura, sa katunayan, ay hindi rin "frozen" sa oras.
Gayunpaman, sa loob ng balangkas ng matematika, lilimitahan natin ang ating sarili sa trinity, at kapag ang mga nasabing field ay "nagtagpo" tayo ay magsasabi ng ilang nakapirming sandali sa oras o isang panahon kung saan ang larangan ay hindi nagbago.
Mga linya ng vector
Kung ang mga scalar field ay inilarawan mga linya at patag na ibabaw, pagkatapos ay mailalarawan ang "hugis" ng field ng vector mga linya ng vector. Marahil marami ang nakakaalala sa karanasang ito sa paaralan: ang isang magnet ay inilalagay sa ilalim ng isang sheet ng papel, at sa itaas (Tingnan natin!) tumalsik ang mga iron filing, na "pumila" lang sa mga linya ng field.
Susubukan kong bumalangkas nang mas simple: ang bawat punto ng isang linya ng vector ay ang simula field vector, na nasa tangent sa isang naibigay na punto: 
Siyempre, ang mga line vector sa pangkalahatang kaso ay may iba't ibang haba, kaya sa figure sa itaas, kapag lumilipat mula kaliwa hanggang kanan, ang kanilang haba ay tumataas - dito maaari nating ipagpalagay na papalapit tayo, halimbawa, isang magnet. Sa puwersang pisikal na mga patlang, ang mga linya ng vector ay tinatawag na - mga linya ng kuryente. Ang isa pang mas simpleng halimbawa ay ang gravitational field ng Earth: ang field lines nito ay sinag na may simula sa gitna ng planeta, at ang mga vectors grabidad direktang matatagpuan sa mga sinag mismo.
Ang mga linya ng vector ng mga field ng bilis ay tinatawag kasalukuyang mga linya. Isipin muli ang isang bagyo ng alikabok - ang mga particle ng alikabok kasama ang mga molekula ng hangin ay gumagalaw sa mga linyang ito. Katulad din sa isang ilog: ang mga trajectory kung saan gumagalaw ang mga molekula ng likido (at hindi lamang) ay, sa literal na kahulugan, ay umaagos. Sa pangkalahatan, maraming mga konsepto ng field theory ang nagmumula sa hydrodynamics, na makakatagpo natin ng higit sa isang beses.
Kung ang isang "flat" na vector field ay ibinigay ng isang nonzero function, kung gayon ang mga linya ng field nito ay matatagpuan mula sa differential equation. Ang solusyon sa equation na ito ay nagbibigay pamilya mga linya ng vector sa isang eroplano. Minsan sa mga gawain kinakailangan na gumuhit ng ilang mga linya, na karaniwang hindi nagiging sanhi ng mga paghihirap - pumili kami ng ilang maginhawang halaga ng "tse", gumuhit ng ilang hyperboles, at order.
Sa spatial vector field ang sitwasyon ay mas kawili-wili. Ang mga linya ng field nito ay tinutukoy ng mga relasyon. Dito kailangan nating magdesisyon sistema ng dalawang differential equation at makakuha ng dalawang pamilya mga spatial na ibabaw. Ang mga linya ng intersection ng mga pamilyang ito ay magiging spatial vector lines. Kung ang lahat ng mga sangkap ("pe", "ku", "er") ay hindi zero, kung gayon mayroong ilang mga teknikal na solusyon. Hindi ko isasaalang-alang ang lahat ng mga pamamaraang ito. (dahil ang artikulo ay lalago sa malaswang sukat), ngunit ako ay tumutuon sa isang karaniwang partikular na kaso, kapag ang isa sa mga bahagi ng vector field ay katumbas ng zero. Ilista natin ang lahat ng mga opsyon nang sabay-sabay:
kung , kung gayon ang sistema ay kailangang malutas;
kung , kung gayon ang sistema;
at kung , kung gayon .
At sa ilang kadahilanan, matagal na kaming walang practice:
Halimbawa 1
Hanapin ang mga linya ng field ng vector field
Solusyon: sa problemang ito, samakatuwid ay malulutas namin sistema:
Ang kahulugan ay napakasimple. Kaya, kung ang isang function ay tumutukoy sa isang scalar field ng lake depth, kung gayon ang kaukulang vector function ay tumutukoy sa set hindi malaya vectors, na ang bawat isa ay nagpapahiwatig ng direksyon mabilis na pagtaas ibaba sa isang punto o iba pa at ang bilis ng pagtaas na ito.
Kung ang isang function ay tumutukoy sa isang scalar na patlang ng temperatura ng isang tiyak na rehiyon ng espasyo, kung gayon ang kaukulang vector field ay nagpapakilala sa direksyon at bilis. pinakamabilis na warm-up espasyo sa bawat punto sa lugar na ito.
Tingnan natin ang isang pangkalahatang problema sa matematika:
Halimbawa 3
Binigyan ng scalar field at isang punto. Kailangan:
1) bumuo ng gradient function ng scalar field;
Alin ang katumbas potensyal na pagkakaiba .
Sa madaling salita, sa potensyal na patlang lamang ang simula at pagtatapos ng mga punto ng ruta. At kung ang mga puntong ito ay nag-tutugma, kung gayon ang kabuuang gawain ng mga puwersa kasama ang isang saradong tabas ay magiging katumbas ng zero:
Pumulot tayo ng balahibo sa lupa at ihatid ito sa panimulang punto. Sa kasong ito, arbitrary na naman ang trajectory ng ating kilusan; maaari mo ring ihulog ang panulat, kunin muli, atbp.
Bakit zero ang huling resulta?
Nahulog ba ang balahibo mula sa puntong "a" hanggang sa "b"? Nahulog. Ang puwersa ng grabidad ang gumawa.
Natamaan ba ng panulat ang "a" pabalik? Nakuha ko. Nangangahulugan ito na eksaktong parehong gawain ang ginawa laban sa grabidad, at hindi mahalaga kung anong "mga pakikipagsapalaran" at kung anong pwersa - kahit na tinatangay siya ng hangin.
Tandaan : Sa physics, ang minus sign ay sumisimbolo sa kabaligtaran ng direksyon.
Kaya, ang kabuuang gawain na ginawa ng mga puwersa ay zero: 
Gaya ng nabanggit ko na, magkaiba ang pisikal at laykong konsepto ng trabaho. At ang pagkakaibang ito ay makakatulong sa iyo na maunawaan nang mabuti hindi isang balahibo o kahit isang ladrilyo, ngunit, halimbawa, isang piano :)
Magkasama, iangat ang piano at ibaba ito sa hagdan. I-drag ito sa kalye. Hangga't gusto mo at kahit saan mo gusto. At kung walang tumawag sa tanga, ibalik ang instrumento. Nagtrabaho ka na ba? tiyak. Hanggang sa ikapitong pawis. Ngunit mula sa punto ng view ng pisika, walang gawaing nagawa.
Ang pariralang "potensyal na pagkakaiba" ay nakatutukso na pag-usapan ang higit pa tungkol sa potensyal na electrostatic field, ngunit ang nakakagulat sa iyong mga mambabasa ay kahit papaano ay hindi makatao =) Bukod dito, mayroong hindi mabilang na mga halimbawa, dahil anumang gradient field ay potensyal, kung saan mayroong isang dime isang dosena.
Ngunit madaling sabihin ang "isang dime isang dosena": dito binibigyan kami ng isang vector field - paano matukoy kung ito ay potensyal o hindi?
Vector field rotor
O siya puyo ng tubig component, na ipinahayag din ng mga vectors.
Muli nating kunin ang balahibo sa ating mga kamay at maingat na ipadala itong lumulutang sa ilog. Para sa kadalisayan ng eksperimento, ipagpalagay namin na ito ay homogenous at simetriko na may kaugnayan sa sentro nito. Ang ehe ay dumikit.
Isaalang-alang natin larangan ng vector kasalukuyang bilis, at isang tiyak na punto sa ibabaw ng tubig kung saan matatagpuan ang gitna ng balahibo.
Kung nasa Simula ngayon ang panulat ay umiikot sa counterclockwise, pagkatapos ay itugma namin ito sa papalabas hindi malaya paitaas na vector. Kasabay nito, ang mas mabilis na pag-ikot ng panulat, mas mahaba ang vector na ito, ... sa ilang kadahilanan ay tila napakaitim sa akin sa maliwanag na sinag ng araw... Kung ang pag-ikot ay nangyayari sa clockwise, ang vector ay "tumingin" pababa. Kung ang panulat ay hindi umiikot, kung gayon ang vector ay zero.
Kilalanin - ito na rotor vector field ng bilis ng vector, inilalarawan nito ang direksyon ng "pag-ikot" ng likido sa loob Simula ngayon at angular na bilis ng pag-ikot ng panulat (ngunit hindi ang direksyon o bilis ng agos mismo!).
Ito ay ganap na malinaw na ang lahat ng mga punto ng ilog ay may rotary vector (kabilang ang mga nasa ilalim ng tubig), kaya, para sa vector field ng kasalukuyang bilis nakatukoy kami ng bagong vector field!
Kung ang isang vector field ay ibinigay ng isang function, ang rotor field nito ay ibinibigay ng mga sumusunod function ng vector:
Bukod dito, kung ang mga vectors rotor field ang mga ilog ay malalaki sa magnitude at may posibilidad na magbago ng direksyon, hindi ito nangangahulugan na ang pinag-uusapan natin ay isang paikot-ikot at hindi mapakali na ilog (bumalik sa halimbawa). Ang sitwasyong ito ay maaari ding maobserbahan sa isang tuwid na channel - kapag, halimbawa, ang bilis ay mas mataas sa gitna at mas mababa malapit sa mga bangko. Iyon ay, ang pag-ikot ng panulat ay nabuo iba't ibang mga rate ng daloy V kapitbahay kasalukuyang mga linya.
Sa kabilang banda, kung ang mga rotor vector ay maikli, maaari itong maging isang "paikot-ikot" na ilog ng bundok! Mahalaga na sa katabing kasalukuyang mga linya ang bilis mismo ng agos (mabilis o mabagal) bahagyang naiba.
At sa wakas, sinasagot namin ang tanong sa itaas: sa anumang punto sa potensyal na larangan ang rotor nito ay zero:
O sa halip, ang zero vector.
Ang potensyal na larangan ay tinatawag din nakakainis patlang.
Ang isang "ideal" na daloy, siyempre, ay hindi umiiral, ngunit madalas na mapapansin iyon ng isa larangan ng bilis ang mga ilog ay malapit sa potensyal - iba't ibang bagay ang lumulutang nang mahinahon at hindi umiikot, ...naisip mo rin ba ang larawang ito? Gayunpaman, maaari silang lumangoy nang napakabilis, at sa isang kurba, at pagkatapos ay bumagal, pagkatapos ay pabilisin - mahalaga na ang bilis ng agos ay nasa katabing kasalukuyang mga linya ay napanatili pare-pareho.
At, siyempre, ang ating mortal na gravitational field. Para sa susunod na eksperimento, ang anumang medyo mabigat at homogenous na bagay ay angkop, halimbawa, isang saradong libro, isang hindi pa nabubuksang lata ng beer, o, sa pamamagitan ng paraan, isang laryo na naghihintay sa mga pakpak =) Hawakan ang mga dulo nito gamit ang iyong mga kamay , iangat ito at maingat na bitawan ito sa libreng pagkahulog. Hindi ito iikot. At kung nangyari ito, ito ang iyong "personal na pagsisikap" o ang brick na nakuha mo ay mali. Huwag maging tamad at suriin ang katotohanang ito! Huwag lang magtapon ng kahit ano sa bintana, hindi na yan balahibo
Pagkatapos nito, na may malinis na budhi at mas mataas na tono, maaari kang bumalik sa mga praktikal na gawain:
Halimbawa 5
Ipakita na ang isang vector field ay potensyal at hanapin ang potensyal nito
Solusyon: ang kundisyon ay direktang nagsasaad ng potensyal ng larangan, at ang aming gawain ay patunayan ang katotohanang ito. Hanapin natin ang rotor function o, gaya ng madalas nilang sinasabi, ang rotor ng isang ibinigay na field:
Para sa kaginhawahan, isinulat namin ang mga bahagi ng field:
at simulan natin ang paghahanap sa kanila mga partial derivatives– maginhawang "pagbukud-bukurin" ang mga ito sa "rotary" na pagkakasunud-sunod, mula kaliwa hanggang kanan:
- At kaagad check mo yan 
(upang maiwasan ang paggawa ng dagdag na trabaho kung sakaling hindi zero ang resulta). Ituloy natin:
kaya:
, samakatuwid, ang field ay potensyal, at samakatuwid ay kumakatawan sa isang gradient function 
ilang scalar field na tinukoy ng potensyal.
Kahulugan ng isang vector field. gradient na field. Mga potensyal na larangan, mga kondisyon ng potensyal.
Patlang ng vector. Kung ang bawat punto M ilang lugar V ang espasyo ay tumutugma sa halaga ng ilang dami ng vector ( M ), tapos sabi nila sa area V ibinigay na field ng vector ( M ). Ang mga halimbawa ng mga vector field ay ang gravitational field, electric at magnetic field, at ang velocity field ng mga particle ng isang gumagalaw na fluid.
Kung sa ilang Cartesian coordinate system ang vector ( M ) ay may mga coordinate R (M ), Q (M ), R (M ), Iyon. Kaya, ang pagtukoy sa field ng vector ( M ) ay katumbas ng pagtukoy ng tatlong scalar field R (M ), Q (M ), R (M ). Tatawagin natin ang vector field makinis, kung ang mga coordinate function nito ay makinis na scalar field.
Gradient
Ang differentiable scalar field na u(M)=u(x,y,z) ay tinatawag na vector 
. Yung. ang kabuuan ng mga partial derivatives na pinarami ng mga katumbas na unit vectors.
Sa pangkalahatang kaso, ang gradient ay ipinakilala bilang isang vector na katangian ng isang scalar field - iyon ay, isang lugar, ang bawat punto ay tumutugma sa halaga ng isang tiyak na scalar. Tinutukoy ng gradient kung gaano kabilis ang pagbabago ng scalar quantity sa isang lugar o iba pa sa field na ito.
Mga potensyal na vector field.
Ang isang vector field A = (Ax, Ay, Az) ay tinatawag na potensyal kung ang vector A ay ang gradient ng ilang scalar function na u = u(x, y, z): A = grad u = 
(16.7).
Sa kasong ito, ang function na u ay tinatawag na potensyal ng vector field na ito.
Alamin natin kung kailan sa ilalim ng anong mga kondisyon ang potensyal ng isang vector field?
. Dahil mula sa (16.7) ito ay sumusunod na 
, Iyon 
,=,=. dahil ang pangalawang-order na mixed derivative ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan. Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay madali nating makuha ang nabubulok na A = 0 - kondisyon ng potensyal ng vector field.
Vector field rotor ( M
) sa isang punto ay tinatawag na dami ng vector (vector field):. Ipinahayag sa mga tuntunin ng operator ng Hamilton, nabla: ay katumbas ng produkto ng vector. Talaga, 
.
Daloy ng vector field sa isang ibabaw. Kahulugan ng divergence ng isang vector field at mga katangian nito. Pagkalkula ng divergence sa mga coordinate ng Cartesian.
Daloy ng vector field sa isang ibabaw
.
Hayaang magbigay ng tuluy-tuloy na vector field sa domain D 
,. Kumuha tayo ng tiyak na surface S sa vector field na ito at piliin ang partikular na bahagi nito. Hayaan ang field ng unit normals sa ibabaw na naaayon sa napiling panig. Pagkatapos ang integral sa ibabaw ng ika-2 uri 
(dahil) tinatawag daloy ng vectorAsa pamamagitan ng ibabawS sa ipinahiwatig na direksyon.
Hayaan mong . Gauss-Ostrogradsky formula:
Ang kaliwang bahagi ay maaaring isulat tulad nito: 
,
,
. Samakatuwid:, mula noong. Ito ang daloy ng isang vector sa pamamagitan ng saradong ibabaw. Ang kanang bahagi ay maaaring isulat bilang divergence
(divergence):
.
Divergence
larangan ng vector A sa puntong MÎV ang derivative ng function ay tinatawag 
sa dami sa puntong ito: 
. Ang divergence ay maaari ding isulat gamit ang operator na si Nabla:
.Pagkakaiba sa mga coordinate ng Cartesian
:
.
Mga katangian ng divergence:
Iba pang mga ari-arian (hindi saklaw sa panahon ng lecture, sa pagpapasya ng kukuha ng pagsusulit):
Solenoidal vector field, mga kondisyon ng solenoidality.
Hayaang tukuyin ang isang tuluy-tuloy na field ng vector (M)=(x,y,z) sa ilang domain D. Daloy ng field ng vector sa pamamagitan ng isang oriented piecewise smooth surface S na matatagpuan sa rehiyon D ay tinatawag na integral , Saan - unit normal na vector sa ibabaw S, na nagpapahiwatig ng oryentasyon nito, at – elemento ng surface area S.
Ang vector field ay tinatawag solenoidal sa lugar D, kung ang daloy ng field na ito sa pamamagitan ng anumang piecewise smooth non-self-intersecting surface, na matatagpuan sa D at kumakatawan sa hangganan ng ilang limitadong subregion ng rehiyon D, katumbas ng zero.
Kung ang divergence ay zero, ibig sabihin, ang field ay tinatawag na vector solenoidal .
, samakatuwid ang daloy ay pareho sa lahat ng dako, sa bawat seksyon ng tubo.
Upang maging isang tuluy-tuloy na naiba-iba ang vector field solenoidal
sa isang volumetrically simpleng konektadong domain D, kailangan at sapat, upang mapanatili ang pagkakapantay-pantay sa lahat ng punto D. Kung saan ang divergence (“divergence”) ng isang vector field ay isang scalar function 
| " |
Ang teoretikal na materyal sa paksang ito ay ipinakita sa p. 228-236 ng publikasyong ito.
Halimbawa 30. Suriin kung ang isang vector field ay
a) potensyal; b) solenoidal. Kung ang larangan ay potensyal, hanapin ang potensyal nito.
Solusyon. A) Hanapin ang field rotor
Samakatuwid, ang larangan ay potensyal.
B) Hanapin ang field divergence
Samakatuwid, ang field ay hindi solenoidal.
B) Dahil , ang potensyal ng patlang ay maaaring kalkulahin gamit ang formula
Ang integral ng linya ng kabuuang kaugalian ay hindi nakasalalay sa landas ng pagsasama. Narito ito ay maginhawa upang kunin ang pinagmulan ng mga coordinate bilang panimulang punto. Bilang isang landas ng pagsasama, tinatahak namin ang putol na linya OAVM(Larawan 17).
|
1. Sa segment samakatuwid 
2. Sa segment mula dito
3. Sa segment mula dito
Kaya, kung saan ay isang arbitrary na pare-pareho.
Sa wakas, 
Mga takdang-aralin sa pagsusulit Blg. 5-8
Ang mga numero ng gawain ay pinili mula sa isang talahanayan alinsunod sa huling dalawang digit ng code at ang unang titik ng apelyido. Halimbawa, ang mag-aaral na si Ivanov, code 1-45-5815, ay nilulutas ang mga problema 5, 15, 21,31 sa pagsusulit 5, mga problema 45, 51, 61, 71 sa pagsusulit 6, mga problema 85, 91 sa pagsusulit 7, 101, 111, sa pagsubok 8 - mga problema 125,135,141,151.
| Huling digit ng cipher | |||||||||||
| Numero ng pagsubok | |||||||||||
| Ang penultimate digit ng cipher | |||||||||||
| Numero ng pagsubok | |||||||||||
| Unang titik ng apelyido | A, ako T | B,OC | V,NH | G, FYA | D,ZL | E,MR | F, MF | K E | P | Ikaw, SHYU | |
| Numero ng pagsubok | |||||||||||
Pagsusulit Blg. 5
Sa mga problema 1-10, hanapin ang pangkalahatang solusyon sa first order differential equation
Sa mga problema 11-20, hanapin ang pangkalahatang solusyon o pangkalahatang integral ng isang second-order differential equation
Sa mga problema 21-30, hanapin ang pangkalahatang solusyon sa mga linear na second-order equation
Sa mga problema 31-40, hanapin ang rehiyon ng convergence ng power series
Pagsusulit Blg. 6
Sa mga problema 41-50, palawakin ang function sa isang Maclaurin series, tukuyin ang hanay ng convergence ng serye
Sa mga problema 51-60, buuin ang domain ng integration at baguhin ang pagkakasunud-sunod ng integration
61. Kalkulahin ang ibabaw na lugar ng isang bahagi ng isang globo 
, pinutol ng silindro 
at eroplano 
.
62. Kalkulahin ang lugar ng isang patag na plato na may hangganan ng mga linya: at (sa labas ng parabola).
63. Kalkulahin ang ibabaw na lugar ng silindro, na pinutol ng mga eroplano.
64. Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng mga ibabaw 
, , , , .
65. Hanapin ang volume ng isang katawan na nakatali ng mga ibabaw: at 
, nakahiga sa unang octant sa .
66. Hanapin ang lugar ng isang patag na plato na may hangganan ng mga linya, 
.
67. Tukuyin ang lugar ng bahagi ng bilog na matatagpuan sa labas ng bilog 
(gumamit ng mga polar coordinate).
68. Kalkulahin ang masa ng isang homogenous na flat plate (),
bounded ng isang bilog at tuwid na linya at .
69. Hanapin ang masa ng isang plato na may density 
, bounded by lines , , .
70. Hanapin ang masa ng plato na may density 
, na ibinigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay: 
.
Sa mga problema 71-80, kalkulahin ang mga curvilinear integral sa kahabaan ng curve:
Pagsusulit Blg. 7
Sa mga problema 81-86, palawakin ang mga function sa isang seryeng Fourier; i-plot ang isang ibinigay na function
81. 
82. 
83. 
84. 
85. 
86. 
Sa mga problema 87, 88, palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa mga tuntunin ng mga sine; gumuhit ng graph ng ibinigay na function.
87. 
88. 
Sa mga problema 89.90, palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa mga cosine; gumuhit ng graph ng ibinigay na function.
89. 
90. 
Sa mga problema 91-95, lutasin ang wave equation sa isang partikular na segment na may hangganan na kondisyon gamit ang Fourier method. 
at binigyan ng mga paunang kondisyon.
91. 
93. 
95. 
Sa mga problema 96-100, lutasin ang heat conduction equation sa isang partikular na segment gamit ang Fourier method para sa isang naibigay na paunang kondisyon at hangganan na kondisyon. .
96. 
97. 
98. 
99. 
100. 
Sa mga problema 101-106, kalkulahin ang triple integral sa lugar T, na ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay. Gumawa ng drawing.
103. 
(kapag kinakalkula ang mga integral, pumunta sa cylindrical coordinates).
105. (kapag kinakalkula ang mga integral, pumunta sa cylindrical coordinates).
Sa mga problema 107-110, hanapin ang masa ng isang katawan na ibinigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay at pagkakaroon ng isang binigay na density. Gumawa ng drawing.
108. 
(kapag kinakalkula ang triple integral, pumunta sa cylindrical coordinates).
110. (kapag kinakalkula ang triple integral, pumunta sa cylindrical coordinates).
Sa mga problema 111-120, kalkulahin ang integral sa ibabaw. Gumawa ng isang pagguhit ng ibabaw.
111. 
kung saan ang bahagi ng eroplano 
limitado ng mga coordinate planes.
112. 
- ang itaas na bahagi ng isang bahagi ng isang parabolic cylinder, na may hangganan ng isang pabilog na silindro at eroplano. Kapag kinakalkula ang integral over, pumunta sa polar coordinates.
113. 
- bahagi ng ibabaw ng silindro na limitado ng mga eroplano
114. 
, kung saan bahagi ng ibabaw ng kono 
, limitado ng mga eroplano at (kapag kinakalkula ang dobleng integral, pumunta sa mga polar coordinates).
115. 
, - bahagi ng isang pabilog na silindro na napapaligiran ng mga eroplano
116. 
- ang itaas na bahagi ng bahagi ng kono 
, limitado ng mga eroplano 
. Kapag kinakalkula ang integral over, pumunta sa polar coordinates.
117. 
, kung saan matatagpuan ang itaas na bahagi ng globo 
. Kapag nagkalkula ng double integral, pumunta sa polar coordinates.
118. 
, kung saan ang itaas na bahagi ng bahagi ng eroplano 
, nililimitahan ng mga coordinate na eroplano.
119. 
, - bahagi ng isang parabolic cylinder na nililimitahan ng mga coordinate plane at ng eroplano.
120. 
; - ang itaas na bahagi ng isang bahagi ng isang pabilog na silindro, na may hangganan ng isang pabilog na silindro at eroplano Pumunta sa mga polar coordinate.
Pagsusulit Blg. 8
Sa Mga Problema 121-130, hanapin ang gradient ng scalar field at suriin kung harmonic ang scalar field.
Sa mga problema 131-135, hanapin ang vector field flux sa bahagi ng surface na nasa unang octant. sa direksyon ng normal na bumubuo ng isang matinding anggulo na may axis. Gumawa ng isang guhit.
Sa mga problema 136-140, gamitin ang theorem ni Ostrogradsky upang kalkulahin ang daloy ng vector field patungo sa panlabas na normal sa pamamagitan ng ibabaw ng katawan na nakahiga sa unang octant. at nililimitahan ng isang partikular na surface at coordinate na eroplano. Gumawa ng drawing.
Sa mga problema 141-150, kalkulahin ang sirkulasyon ng vector field sa daanan ng intersection kasama ang mga coordinate plane ng bahaging iyon ng surface na nasa unang octant. . - mga punto ng intersection ng ibabaw na may mga axes, ayon sa pagkakabanggit. Gumawa ng isang guhit.
Sa Mga Problema 141-145, kalkulahin ang mga sirkulasyon gamit ang Stokes' theorem.
Sa mga problema 146-150, kalkulahin ang sirkulasyon gamit ang kahulugan nito.
Sa mga problema 151-160, suriin kung ang vector field ay: a) potensyal, b) solenoidal. Kung ang larangan ay potensyal, hanapin ang potensyal nito.
152. 
155. 
Kasalukuyang kontrol
Mga gawain sa pagsubok
1. Tukuyin kung aling equation ang may sumusunod na solusyon 
.
A) 
b) 
V) 
2. Tukuyin ang katangian na equation para sa differential equation 
a) b) 
V)
3. Tukuyin kung anong halaga ang magsasama-sama ang serye ng kapangyarihan gamit ang pagsubok ni D'Alembert 
.
4. Bumuo ng geometric na interpretasyon ng double integral.
5. Bumuo ng geometric na interpretasyon ng triple integral.
6. Tukuyin ang tanda ng potensyal ng isang vector field:
a B C)
Panghuling kontrol
Mga tanong na ihahanda para sa pagsusulit sa matematika
(III semestre)
Differential equation
1. Kahulugan ng isang ordinaryong differential equation, ang pagkakasunud-sunod at solusyon nito. First order differential equation, field ng direksyon, isoclines.
2. Cauchy na problema para sa isang first order differential equation. Theorem ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon sa problemang Cauchy.
3. Pagpapasiya ng pangkalahatan at partikular na solusyon (integral) ng isang first-order differential equation.
4. Equation na may mga separable variable, ang pagsasama nito.
5. Linear equation ng unang order, ang pagsasama nito.
6. Homogeneous differential equation ng unang order, ang pagsasama nito.
7. Differential equation n-ika-utos. Cauchy na problema para sa differential equation n-ika-utos. Existence at uniqueness theorem para sa solusyon ng Cauchy problem para sa equation n-ika-utos.
8. Pagpapasiya ng pangkalahatan at partikular na mga solusyon sa isang differential equation n-ika-utos. Pagsasama ng isang equation ng form.
9. Mga equation na nagbibigay-daan sa pagbaba ng pagkakasunud-sunod. Paraan para sa pagsasama ng isang equation ng form , kung saan k< n.
10. Paraan para sa pagsasama ng mga equation ng form 
.
11. Kahulugan ng isang linear differential equation n-ika-utos. Homogeneous linear equation. Mga katangian ng mga solusyon sa isang homogenous na linear equation.
12. Kahulugan ng linearly dependent at linearly independent functions. Mga halimbawa.
13. Pagpapasiya ng pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang linear homogeneous equation. Theorem sa istraktura ng pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous equation n-ika-utos.
14. Theorem sa istruktura ng pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation n-ika-utos.
15. Linear homogenous equation na may pare-parehong coefficient. Pamamaraan ni Euler, katangian equation.
16. Pagbubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogeneous equation n-ika-order sa kaso ng mga tunay na natatanging ugat ng katangian na equation. Halimbawa.
17. Pagbubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogeneous equation n-ika-order sa kaso ng mga kumplikadong conjugate roots ng characteristic equation. Halimbawa.
18. Pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogeneous equation n-ika-order sa kaso ng tunay na pantay na mga ugat ng katangian na equation. Halimbawa.
19. Ang panuntunan para sa paghahanap ng isang partikular na solusyon sa isang linear inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficient kung ang kanang bahagi ay may anyo 
, kung saan ay isang polynomial ng degree .
20. Ang panuntunan para sa paghahanap ng isang partikular na solusyon sa isang linear inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficient, kung ang kanang bahagi ay may anyo , kung saan 
.
21. Paraan para sa paglutas ng isang linear inhomogeneous differential equation ng form (superposition principle).
22. Sistema ng mga linear differential equation sa normal na anyo. Cauchy na problema. Theorem ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon sa problemang Cauchy. Pagpapasiya ng pangkalahatan at partikular na mga solusyon ng system. Paraan ng pag-aalis para sa mga normal na sistema ng mga differential equation.
23. Mga sistema ng linear differential equation. Mga katangian ng mga solusyon. Paglutas ng mga sistema ng linear differential equation na may pare-parehong coefficient.
Mga hilera
24. Serye ng numero. Kahulugan n-ika-bahaging kabuuan ng serye. Mga konsepto ng convergence at divergence ng isang serye ng numero. Kabuuan ng convergent series. Geometric na serye.
25. Mga katangian ng convergent series: multiplikasyon ng isang serye sa isang numero, termino-by-term na pagdaragdag ng serye.
26. Ang natitirang bahagi ng hilera. Theorem sa sabay-sabay na tagpo ng isang serye at ang natitira nito.
27. Isang kinakailangang tanda ng convergence ng isang serye. Ilustrasyon ng kakulangan nito na may isang halimbawa.
28. Positibong serye. Isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa convergence ng isang positibong serye.
29. Ang una at pangalawang palatandaan ng paghahambing ng positibong serye.
30. Tanda ni D'Alembert.
31. Integral Cauchy test.
32. Generalized harmonic series, kung saan p– anumang tunay na numero. Pag-uugali ng serye sa p<1, p=1, p>1.
33. Alternating series. Absolute at non-absolute convergence. Theorem sa convergence ng isang absolute convergent series.
34. Ang pagsubok ni Leibniz para sa convergence ng isang alternating series. Pagtatantya ng ganap na error kapag pinapalitan ang kabuuan ng isang convergent na serye sa kabuuan ng una n
42. Binomial na serye para sa function.
Theorem 1. Upang maging solenoidal ang isang vector field na tinukoy sa rehiyon T, kinakailangan at sapat na ang field na ito ay ang rotor field ng isang tiyak na vector, i.e. upang mayroong isang vector na nakakatugon sa kondisyon sa lahat ng mga punto ng rehiyon T
Patunay.
Kasapatan. Meron kami
Pangangailangan. Hayaan
Maghanap tayo ng isang function na ganyan
Sa ibaba ay ipapakita namin na ang function ay hindi natatanging tinukoy, kaya ang mga karagdagang kundisyon ay maaaring ipataw sa function na ito. Hayaan
Pumili tayo ng mga function
Ipakita natin na ang mga function na ito ay nagbibigay-kasiyahan sa sistema ng mga equation (1). Sa katunayan mayroon kami
Sa katunayan, ang constructed function ay nakakatugon sa kondisyon
Ang function ay tinatawag na vector potential.
Kapag pinatutunayan ang teorama, iminungkahi namin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang potensyal ng vector ng patlang.
Puna 1. Kung ang function ay isang vector field potential, kung gayon ang function
kung saan ay isang arbitrary scalar function at ito rin ang vector potensyal ng patlang.
Patunay.
Dahil dito, ang potensyal ng vector ay natutukoy nang hindi maliwanag.
Halimbawa 1: Ipakita na isang field
Solusyon. Meron kami.
Magkalkula tayo
Ang nahanap na function ay ang nais na potensyal ng vector. Suriin natin ang pahayag na ito, i.e. hanapin natin ang rotor:
Ang kundisyon ay natutugunan. Madaling suriin na ang potensyal ng vector ng field na ito ay maaaring maging isang mas simetriko na function
Halimbawa 2: Ipakita na isang field
solenoidal at hanapin ang vector potential ng field na ito.
Solusyon. Meron kami.
Magkalkula tayo
Suriin natin:
Natutugunan ang kundisyon. Madaling suriin na ang potensyal ng vector ng field na ito ay maaaring maging mas simetriko function
Mula sa mga ibinigay na halimbawa ay malinaw na ang mga expression para sa potensyal ng vector para sa parehong field ay maaaring magkaiba nang malaki. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang gradient ng anumang scalar function ay maaaring idagdag sa nahanap na potensyal ng vector.
