Patunayan na ang sistema ng mga linear equation. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na tiyak kung. Proteksyon ng personal na impormasyon

Nilalaman ng aralin

Mga linear na equation sa dalawang variable

Ang isang mag-aaral ay may 200 rubles upang kumain ng tanghalian sa paaralan. Ang isang cake ay nagkakahalaga ng 25 rubles, at ang isang tasa ng kape ay nagkakahalaga ng 10 rubles. Gaano karaming mga cake at tasa ng kape ang maaari mong bilhin para sa 200 rubles?

Tukuyin natin ang bilang ng mga cake ayon sa x, at ang bilang ng mga tasa ng kape na dumaan y. Pagkatapos ang halaga ng mga cake ay ilalarawan ng expression na 25 x, at ang halaga ng mga tasa ng kape sa 10 y .

25x— presyo x mga cake
10y - presyo y tasa ng kape

Ang kabuuang halaga ay dapat na 200 rubles. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang equation na may dalawang variable x At y

25x+ 10y= 200

Ilang ugat mayroon ang equation na ito?

Ang lahat ay nakasalalay sa gana ng mag-aaral. Kung bibili siya ng 6 na cake at 5 tasa ng kape, kung gayon ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 6 at 5.

Ang pares ng mga halaga 6 at 5 ay sinasabing mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 . Isinulat bilang (6; 5), na ang unang numero ay ang halaga ng variable x, at ang pangalawa - ang halaga ng variable y .

Ang 6 at 5 ay hindi lamang ang mga ugat na bumabaligtad sa equation 25 x+ 10y= 200 sa pagkakakilanlan. Kung ninanais, para sa parehong 200 rubles ang isang mag-aaral ay maaaring bumili ng 4 na cake at 10 tasa ng kape:

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y Ang = 200 ay isang pares ng mga halaga (4; 10).

Bukod dito, ang isang mag-aaral ay maaaring hindi bumili ng kape, ngunit bumili ng mga cake para sa buong 200 rubles. Pagkatapos ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 ang magiging mga halaga 8 at 0

O vice versa, huwag bumili ng mga cake, ngunit bumili ng kape para sa buong 200 rubles. Pagkatapos ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 ang mga halaga ay magiging 0 at 20

Subukan nating ilista ang lahat ng posibleng ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 . Sumang-ayon tayo na ang mga halaga x At y nabibilang sa set ng integer. At hayaan ang mga halagang ito na mas malaki sa o katumbas ng zero:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Ito ay magiging maginhawa para sa mag-aaral mismo. Mas maginhawang bumili ng buong cake kaysa, halimbawa, ilang buong cake at kalahating cake. Ito rin ay mas maginhawang uminom ng kape sa buong tasa kaysa, halimbawa, ilang buong tasa at kalahating tasa.

Tandaan na para sa kakaiba x imposibleng makamit ang pagkakapantay-pantay sa anumang pagkakataon y. Pagkatapos ang mga halaga x ang mga sumusunod na numero ay magiging 0, 2, 4, 6, 8. At alam x madaling matukoy y

Kaya, natanggap namin ang mga sumusunod na pares ng mga halaga (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ang mga pares na ito ay mga solusyon o ugat ng Equation 25 x+ 10y= 200. Ginagawa nilang pagkakakilanlan ang equation na ito.

Equation ng form palakol + ni = c tinawag linear equation na may dalawang variable. Ang solusyon o mga ugat ng equation na ito ay isang pares ng mga halaga ( x; y), na ginagawa itong pagkakakilanlan.

Tandaan din na kung ang isang linear equation na may dalawang variable ay nakasulat sa form ax + b y = c , tapos sinasabi nila na nakasulat sa kanonikal(normal) na anyo.

Ang ilang mga linear na equation sa dalawang variable ay maaaring bawasan sa canonical form.

Halimbawa, ang equation 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) maaaring maalala palakol + ni = c. Buksan natin ang mga bracket sa magkabilang panig ng equation na ito at makuha 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Pinagpangkat namin ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam sa kaliwang bahagi ng equation, at mga terminong walang mga hindi alam - sa kanan. Pagkatapos makuha namin 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Nagpapakita kami ng magkatulad na termino sa magkabilang panig, nakakakuha kami ng equation 16 x+ 8y= 32. Ang equation na ito ay binawasan sa anyo palakol + ni = c at kanonikal.

Equation 25 na tinalakay kanina x+ 10y Ang = 200 ay isa ring linear na equation na may dalawang variable sa canonical form. Sa equation na ito ang mga parameter a , b At c ay katumbas ng mga halaga 25, 10 at 200, ayon sa pagkakabanggit.

Actually yung equation palakol + ni = c ay may hindi mabilang na mga solusyon. Paglutas ng equation 25x+ 10y= 200, hinanap namin ang mga ugat nito sa hanay ng mga integer. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng ilang mga pares ng mga halaga na naging isang pagkakakilanlan sa equation na ito. Ngunit sa hanay ng mga rational na numero, equation 25 x+ 10y= 200 ay magkakaroon ng walang katapusang maraming solusyon.

Upang makakuha ng mga bagong pares ng mga halaga, kailangan mong kumuha ng arbitrary na halaga para sa x, pagkatapos ay ipahayag y. Halimbawa, kunin natin ang variable x halaga 7. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang equation na may isang variable 25×7 + 10y= 200 kung saan maaaring ipahayag ng isa y

Hayaan x= 15. Tapos yung equation 25x+ 10y= 200 ay nagiging 25 × 15 + 10y= 200. Mula dito makikita natin iyan y = −17,5

Hayaan x= −3 . Tapos yung equation 25x+ 10y= 200 ay nagiging 25 × (−3) + 10y= 200. Mula dito makikita natin iyan y = −27,5

Sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable

Para sa equation palakol + ni = c maaari kang kumuha ng mga di-makatwirang halaga nang maraming beses hangga't gusto mo x at maghanap ng mga halaga para sa y. Kung kinuha nang hiwalay, ang gayong equation ay magkakaroon ng hindi mabilang na mga solusyon.

Ngunit nangyayari rin na ang mga variable x At y hindi konektado sa isa, ngunit sa pamamagitan ng dalawang equation. Sa kasong ito, bumubuo sila ng tinatawag na sistema ng mga linear na equation sa dalawang variable. Ang ganitong sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang pares ng mga halaga (o sa madaling salita: "isang solusyon").

Maaaring mangyari din na ang sistema ay walang mga solusyon sa lahat. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring magkaroon ng hindi mabilang na mga solusyon sa mga bihirang at pambihirang mga kaso.

Dalawang linear equation ang bumubuo ng isang sistema kapag ang mga halaga x At y pumasok sa bawat isa sa mga equation na ito.

Bumalik tayo sa pinakaunang equation 25 x+ 10y= 200 . Ang isa sa mga pares ng mga halaga para sa equation na ito ay ang pares (6; 5). Ito ay isang kaso kapag para sa 200 rubles maaari kang bumili ng 6 na cake at 5 tasa ng kape.

Bumuo tayo ng problema upang ang pares (6; 5) ay maging tanging solusyon para sa equation 25 x+ 10y= 200 . Upang gawin ito, gumawa tayo ng isa pang equation na magkokonekta sa pareho x mga cake at y tasa ng kape.

Sabihin natin ang teksto ng problema tulad ng sumusunod:

"Bumili ang estudyante ng ilang cake at ilang tasa ng kape sa halagang 200 rubles. Ang isang cake ay nagkakahalaga ng 25 rubles, at ang isang tasa ng kape ay nagkakahalaga ng 10 rubles. Ilang cake at tasa ng kape ang binili ng mag-aaral kung malalaman na ang bilang ng mga cake ay isang yunit na mas malaki kaysa sa bilang ng mga tasa ng kape?

Mayroon na tayong unang equation. Ito ang equation 25 x+ 10y= 200 . Ngayon gumawa tayo ng equation para sa kundisyon "Ang bilang ng mga cake ay isang yunit na mas malaki kaysa sa bilang ng mga tasa ng kape" .

Ang bilang ng mga cake ay x, at ang bilang ng mga tasa ng kape ay y. Maaari mong isulat ang pariralang ito gamit ang equation x−y= 1. Ang equation na ito ay mangangahulugan na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga cake at kape ay 1.

x = y+ 1 . Ang equation na ito ay nangangahulugan na ang bilang ng mga cake ay higit pa sa bilang ng mga tasa ng kape. Samakatuwid, upang makakuha ng pagkakapantay-pantay, ang isa ay idinagdag sa bilang ng mga tasa ng kape. Madali itong mauunawaan kung gagamitin natin ang modelo ng mga timbangan na isinasaalang-alang natin kapag pinag-aaralan ang mga pinakasimpleng problema:

Mayroon kaming dalawang equation: 25 x+ 10y= 200 at x = y+ 1. Dahil ang mga halaga x At y, ibig sabihin, ang 6 at 5 ay kasama sa bawat isa sa mga equation na ito, pagkatapos ay magkasama silang bumubuo ng isang sistema. Isulat natin ang sistemang ito. Kung ang mga equation ay bumubuo ng isang sistema, kung gayon ang mga ito ay naka-frame sa pamamagitan ng sign ng system. Ang simbolo ng system ay isang kulot na brace:

Solusyonan natin ang sistemang ito. Ito ay magbibigay-daan sa amin upang makita kung paano namin naabot ang mga halaga 6 at 5. Mayroong maraming mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema. Tingnan natin ang pinakasikat sa kanila.

Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pangalan ng pamamaraang ito ay nagsasalita para sa sarili nito. Ang kakanyahan nito ay upang palitan ang isang equation sa isa pa, na dati nang nagpahayag ng isa sa mga variable.

Sa ating sistema, walang kailangang ipahayag. Sa pangalawang equation x = y+ 1 variable x naipahayag na. Ang variable na ito ay katumbas ng expression y+ 1 . Pagkatapos ay maaari mong palitan ang expression na ito sa unang equation sa halip na ang variable x

Pagkatapos palitan ang expression y+ 1 sa unang equation sa halip x, nakukuha namin ang equation 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ito ay isang linear equation na may isang variable. Ang equation na ito ay medyo madaling lutasin:

Natagpuan namin ang halaga ng variable y. Ngayon ay palitan natin ang halagang ito sa isa sa mga equation at hanapin ang halaga x. Para sa mga ito ay maginhawang gamitin ang pangalawang equation x = y+ 1 . Ipalit natin ang halaga dito y

Nangangahulugan ito na ang pares (6; 5) ay isang solusyon sa sistema ng mga equation, gaya ng aming nilayon. Sinusuri namin at tinitiyak na ang pares (6; 5) ay nakakatugon sa system:

Halimbawa 2

Palitan natin ang unang equation x= 2 + y sa pangalawang equation 3 x− 2y= 9. Sa unang equation ang variable x katumbas ng expression 2 + y. Ipalit natin ang expression na ito sa pangalawang equation sa halip na x

Ngayon hanapin natin ang halaga x. Upang gawin ito, palitan natin ang halaga y sa unang equation x= 2 + y

Nangangahulugan ito na ang solusyon sa system ay ang halaga ng pares (5; 3)

Halimbawa 3. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Dito, hindi tulad ng mga nakaraang halimbawa, ang isa sa mga variable ay hindi ipinahayag nang tahasan.

Upang palitan ang isang equation sa isa pa, kailangan mo munang .

Maipapayo na ipahayag ang variable na may coefficient ng isa. Ang variable ay may coefficient ng isa x, na nakapaloob sa unang equation x+ 2y= 11. Ipahayag natin ang variable na ito.

Pagkatapos ng variable expression x, ang aming system ay kukuha ng sumusunod na anyo:

Ngayon ay palitan natin ang unang equation sa pangalawa at hanapin ang halaga y

Palitan natin y x

Nangangahulugan ito na ang solusyon sa system ay isang pares ng mga halaga (3; 4)

Siyempre, maaari mo ring ipahayag ang isang variable y. Hindi nito mababago ang mga ugat. Pero kung ipahayag mo y, Ang resulta ay hindi isang napakasimpleng equation, na kakailanganin ng mas maraming oras upang malutas. Magiging ganito ang hitsura:

Nakikita natin na sa halimbawang ito ay ipinapahayag natin x mas maginhawa kaysa sa pagpapahayag y .

Halimbawa 4. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Ipahayag natin sa unang equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

y

Palitan natin y sa unang equation at hanapin x. Maaari mong gamitin ang orihinal na equation 7 x+ 9y= 8, o gamitin ang equation kung saan ipinahayag ang variable x. Gagamitin namin ang equation na ito dahil ito ay maginhawa:

Nangangahulugan ito na ang solusyon sa system ay isang pares ng mga halaga (5; −3)

Paraan ng pagdaragdag

Ang paraan ng pagdaragdag ay binubuo ng pagdaragdag ng mga equation na kasama sa term ng system ayon sa termino. Ang pagdaragdag na ito ay nagreresulta sa isang bagong equation na may isang variable. At ang paglutas ng gayong equation ay medyo simple.

Lutasin natin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Idagdag natin ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. At ang kanang bahagi ng unang equation na may kanang bahagi ng pangalawang equation. Nakukuha namin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Tingnan natin ang mga katulad na termino:

Bilang resulta, nakuha namin ang pinakasimpleng equation 3 x= 27 na ang ugat ay 9. Pag-alam sa halaga x mahahanap mo ang halaga y. Palitan natin ang halaga x sa pangalawang equation x−y= 3 . Nakukuha namin ang 9− y= 3 . Mula rito y= 6 .

Nangangahulugan ito na ang solusyon sa system ay isang pares ng mga halaga (9; 6)

Halimbawa 2

Idagdag natin ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. At ang kanang bahagi ng unang equation na may kanang bahagi ng pangalawang equation. Sa nagresultang pagkakapantay-pantay ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

Bilang resulta, nakuha namin ang pinakasimpleng equation 5 x= 20, na ang ugat ay 4. Pag-alam sa halaga x mahahanap mo ang halaga y. Palitan natin ang halaga x sa unang equation 2 x+y= 11. Kunin natin ang 8+ y= 11. Mula rito y= 3 .

Nangangahulugan ito na ang solusyon sa system ay isang pares ng mga halaga (4;3)

Ang proseso ng pagdaragdag ay hindi inilarawan nang detalyado. Dapat itong gawin sa pag-iisip. Kapag nagdadagdag, ang parehong mga equation ay dapat na bawasan sa canonical form. Na ibig sabihin ac + ni = c .

Mula sa mga halimbawang isinasaalang-alang, malinaw na ang pangunahing layunin ng pagdaragdag ng mga equation ay upang alisin ang isa sa mga variable. Ngunit hindi laging posible na agad na malutas ang isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Kadalasan, ang sistema ay unang dinadala sa isang form kung saan ang mga equation na kasama sa sistemang ito ay maaaring idagdag.

Halimbawa, ang sistema maaaring malutas kaagad sa pamamagitan ng karagdagan. Kapag idinaragdag ang parehong mga equation, ang mga termino y At −y mawawala dahil zero ang sum nila. Bilang resulta, ang pinakasimpleng equation 11 ay nabuo x= 22, na ang ugat ay 2. Ito ay magiging posible upang matukoy y katumbas ng 5.

At ang sistema ng mga equation Ang paraan ng pagdaragdag ay hindi malulutas kaagad, dahil hindi ito hahantong sa pagkawala ng isa sa mga variable. Ang pagdaragdag ay magreresulta sa equation 8 x+ y= 28, na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong numero, hindi katumbas ng zero, makakakuha ka ng isang equation na katumbas ng ibinigay na isa. Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable. Ang isa sa mga equation (o parehong equation) ay maaaring i-multiply sa anumang numero. Ang resulta ay magiging isang katumbas na sistema, ang mga ugat nito ay magkakasabay sa nauna.

Bumalik tayo sa pinakaunang sistema, na naglalarawan kung gaano karaming mga cake at tasa ng kape ang binili ng isang mag-aaral. Ang solusyon sa sistemang ito ay isang pares ng mga halaga (6; 5).

I-multiply natin ang parehong mga equation na kasama sa sistemang ito sa ilang mga numero. Sabihin nating i-multiply natin ang unang equation sa 2, at ang pangalawa sa 3

Bilang isang resulta, mayroon kaming isang sistema
Ang solusyon sa sistemang ito ay ang pares pa rin ng mga halaga (6; 5)

Nangangahulugan ito na ang mga equation na kasama sa system ay maaaring bawasan sa isang form na angkop para sa paglalapat ng paraan ng karagdagan.

Balik tayo sa sistema , na hindi namin malulutas gamit ang paraan ng pagdaragdag.

I-multiply ang unang equation sa 6, at ang pangalawa sa −2

Pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na sistema:

Pagsamahin natin ang mga equation na kasama sa sistemang ito. Pagdaragdag ng mga bahagi 12 x at −12 x ay magreresulta sa 0, karagdagan 18 y at 4 y magbibigay ng 22 y, at ang pagdaragdag ng 108 at −20 ay nagbibigay ng 88. Pagkatapos ay makukuha natin ang equation 22 y= 88, mula rito y = 4 .

Kung sa una ay mahirap magdagdag ng mga equation sa iyong ulo, pagkatapos ay maaari mong isulat kung paano ang kaliwang bahagi ng unang equation ay nagdaragdag sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation, at ang kanang bahagi ng unang equation sa kanang bahagi ng pangalawang equation:

Alam na ang halaga ng variable y katumbas ng 4, maaari mong mahanap ang halaga x. Palitan natin y sa isa sa mga equation, halimbawa sa unang equation 2 x+ 3y= 18. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang equation na may isang variable 2 x+ 12 = 18. Ilipat natin ang 12 sa kanang bahagi, binabago ang sign, makakakuha tayo ng 2 x= 6, mula dito x = 3 .

Halimbawa 4. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

I-multiply natin ang pangalawang equation sa −1. Pagkatapos ang system ay kukuha ng sumusunod na form:

Idagdag natin ang parehong mga equation. Pagdaragdag ng mga sangkap x At −x ay magreresulta sa 0, karagdagan 5 y at 3 y magbibigay ng 8 y, at ang pagdaragdag ng 7 at 1 ay nagbibigay ng 8. Ang resulta ay equation 8 y= 8 na ang ugat ay 1. Alam na ang halaga y katumbas ng 1, mahahanap mo ang halaga x .

Palitan natin y sa unang equation, nakukuha namin x+ 5 = 7, samakatuwid x= 2

Halimbawa 5. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Ito ay kanais-nais na ang mga terminong naglalaman ng parehong mga variable ay matatagpuan sa ibaba ng isa. Samakatuwid, sa pangalawang equation ang mga termino 5 y at −2 x Magpalit tayo ng pwesto. Bilang resulta, ang sistema ay kukuha ng anyo:

I-multiply natin ang pangalawang equation sa 3. Pagkatapos ang system ay kukuha ng anyo:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng karagdagan, nakukuha namin ang equation 8 y= 16, na ang ugat ay 2.

Palitan natin y sa unang equation, makakakuha tayo ng 6 x− 14 = 40. Ilipat natin ang term −14 sa kanang bahagi, palitan ang sign, at makakuha ng 6 x= 54 . Mula rito x= 9.

Halimbawa 6. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Tanggalin natin ang mga fraction. I-multiply ang unang equation sa 36, ​​at ang pangalawa sa 12

Sa resultang sistema ang unang equation ay maaaring i-multiply sa −5, at ang pangalawa sa 8

Pagsamahin natin ang mga equation sa resultang sistema. Pagkatapos ay makukuha natin ang pinakasimpleng equation −13 y= −156 . Mula rito y= 12. Palitan natin y sa unang equation at hanapin x

Halimbawa 7. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Dalhin natin ang parehong mga equation sa normal na anyo. Narito ito ay maginhawa upang ilapat ang panuntunan ng proporsyon sa parehong mga equation. Kung sa unang equation ang kanang bahagi ay kinakatawan bilang , at ang kanang bahagi ng pangalawang equation bilang , kung gayon ang sistema ay kukuha ng anyo:

May proportion tayo. I-multiply natin ang extreme at middle terms nito. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

I-multiply natin ang unang equation sa −3, at buksan ang mga bracket sa pangalawa:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng pagdaragdag ng mga equation na ito, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay na may zero sa magkabilang panig:

Lumalabas na ang sistema ay may hindi mabilang na mga solusyon.

Ngunit hindi tayo maaaring kumuha ng mga di-makatwirang halaga mula sa langit x At y. Maaari naming tukuyin ang isa sa mga halaga, at ang isa ay matutukoy depende sa halaga na aming tinukoy. Halimbawa, hayaan x= 2 . I-substitute natin ang value na ito sa system:

Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga equation, ang halaga para sa y, na makakatugon sa parehong mga equation:

Ang magreresultang pares ng mga halaga (2; −2) ay magbibigay-kasiyahan sa system:

Maghanap tayo ng isa pang pares ng mga halaga. Hayaan x= 4. I-substitute natin ang value na ito sa system:

Masasabi mo sa mata na ang halaga y katumbas ng zero. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pares ng mga halaga (4; 0) na nakakatugon sa aming system:

Halimbawa 8. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

I-multiply ang unang equation sa 6 at ang pangalawa sa 12

Isulat muli natin ang natitira:

I-multiply natin ang unang equation sa −1. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng karagdagan, nabuo ang equation 6 b= 48, na ang ugat ay 8. Palitan b sa unang equation at hanapin a

Sistema ng mga linear equation na may tatlong variable

Ang isang linear equation na may tatlong variable ay may kasamang tatlong variable na may coefficient, pati na rin ang isang intercept term. Sa canonical form maaari itong isulat tulad ng sumusunod:

ax + by + cz = d

Ang equation na ito ay may hindi mabilang na mga solusyon. Sa pamamagitan ng pagbibigay ng dalawang variable na magkaibang mga halaga, isang pangatlong halaga ay matatagpuan. Ang solusyon sa kasong ito ay isang triple ng mga halaga ( x; y; z) na ginagawang pagkakakilanlan ang equation.

Kung ang mga variable x, y, z ay magkakaugnay ng tatlong equation, pagkatapos ay nabuo ang isang sistema ng tatlong linear na equation na may tatlong variable. Upang malutas ang naturang sistema, maaari mong gamitin ang parehong mga pamamaraan na naaangkop sa mga linear na equation na may dalawang variable: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Halimbawa 1. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Ipahayag natin sa ikatlong equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ngayon gawin natin ang pagpapalit. Variable x ay katumbas ng expression 3 − 2y − 2z . Ipalit natin ang expression na ito sa una at pangalawang equation:

Buksan natin ang mga bracket sa parehong mga equation at ipakita ang mga katulad na termino:

Nakarating kami sa isang sistema ng mga linear equation na may dalawang variable. Sa kasong ito, maginhawang gamitin ang paraan ng pagdaragdag. Bilang resulta, ang variable y mawawala at mahahanap natin ang halaga ng variable z

Ngayon hanapin natin ang halaga y. Upang gawin ito, maginhawang gamitin ang equation − y+ z= 4. Palitan ang halaga dito z

Ngayon hanapin natin ang halaga x. Upang gawin ito, ito ay maginhawa upang gamitin ang equation x= 3 − 2y − 2z . Ipalit natin ang mga halaga dito y At z

Kaya, ang triple ng mga halaga (3; −2; 2) ay isang solusyon sa aming system. Sa pamamagitan ng pagsuri, tinitiyak namin na ang mga halagang ito ay nakakatugon sa system:

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema gamit ang paraan ng pagdaragdag

Idagdag natin ang unang equation sa pangalawa, na pinarami ng −2.

Kung ang pangalawang equation ay pinarami ng −2, ito ay kukuha ng anyo −6x+ 6y − 4z = −4 . Ngayon idagdag natin ito sa unang equation:

Nakikita natin na bilang resulta ng elementarya na pagbabago, ang halaga ng variable ay natukoy x. Ito ay katumbas ng isa.

Bumalik tayo sa pangunahing sistema. Idagdag natin ang pangalawang equation sa pangatlo, na pinarami ng −1. Kung ang ikatlong equation ay pinarami ng −1, ito ay kukuha ng anyo −4x + 5y − 2z = −1 . Ngayon idagdag natin ito sa pangalawang equation:

Nakuha namin ang equation x− 2y= −1 . Ipalit natin ang halaga dito x na nakita namin kanina. Pagkatapos ay matutukoy natin ang halaga y

Ngayon alam na natin ang mga kahulugan x At y. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang halaga z. Gamitin natin ang isa sa mga equation na kasama sa system:

Kaya, ang triple ng mga halaga (1; 1; 1) ay ang solusyon sa aming system. Sa pamamagitan ng pagsuri, tinitiyak namin na ang mga halagang ito ay nakakatugon sa system:

Mga problema sa pagbuo ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang gawain ng pagbuo ng mga sistema ng mga equation ay malulutas sa pamamagitan ng pagpasok ng ilang mga variable. Susunod, ang mga equation ay pinagsama-sama batay sa mga kondisyon ng problema. Mula sa mga pinagsama-samang equation ay bumubuo sila ng isang sistema at nilulutas ito. Ang pagkakaroon ng paglutas ng sistema, kinakailangan upang suriin kung ang solusyon nito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Problema 1. Isang Volga na kotse ang nagmaneho palabas ng lungsod patungo sa kolektibong bukid. Bumalik siya sa kahabaan ng isa pang kalsada, na mas maikli ng 5 km kaysa sa una. Sa kabuuan, ang kotse ay naglakbay ng 35 km round trip. Ilang kilometro ang haba ng bawat kalsada?

Solusyon

Hayaan x— haba ng unang kalsada, y- haba ng pangalawa. Kung ang kotse ay naglakbay ng 35 km round trip, kung gayon ang unang equation ay maaaring isulat bilang x+ y= 35. Inilalarawan ng equation na ito ang kabuuan ng mga haba ng parehong kalsada.

Sinasabing bumalik ang kotse sa kahabaan ng kalsada na mas maikli ng 5 km kaysa sa una. Pagkatapos ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang x− y= 5. Ang equation na ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga haba ng kalsada ay 5 km.

O ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang x= y+ 5. Gagamitin natin ang equation na ito.

Dahil ang mga variable x At y sa parehong mga equation ay tumutukoy sa parehong numero, pagkatapos ay maaari tayong bumuo ng isang sistema mula sa kanila:

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang ilan sa mga naunang pinag-aralan na pamamaraan. Sa kasong ito, maginhawang gamitin ang paraan ng pagpapalit, dahil sa pangalawang equation ang variable x naipahayag na.

Palitan ang pangalawang equation sa una at hanapin y

Palitan natin ang nahanap na halaga y sa pangalawang equation x= y+ 5 at hahanapin natin x

Ang haba ng unang kalsada ay itinalaga sa pamamagitan ng variable x. Ngayon nahanap na natin ang kahulugan nito. Variable x ay katumbas ng 20. Nangangahulugan ito na ang haba ng unang kalsada ay 20 km.

At ang haba ng ikalawang kalsada ay ipinahiwatig ng y. Ang halaga ng variable na ito ay 15. Nangangahulugan ito na ang haba ng pangalawang kalsada ay 15 km.

Suriin natin. Una, tiyakin natin na ang system ay nalutas nang tama:

Ngayon suriin natin kung ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

May kabuuang 35 km round trip umano ang nilakbay ng sasakyan. Idinaragdag namin ang mga haba ng parehong kalsada at tinitiyak na ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon sa kundisyong ito: 20 km + 15 km = 35 km

Ang sumusunod na kondisyon: bumalik ang kotse sa kahabaan ng isa pang kalsada, na 5 km na mas maikli kaysa sa una . Nakikita namin na ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon din sa kondisyong ito, dahil ang 15 km ay mas maikli sa 20 km ng 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Kapag bumubuo ng isang sistema, mahalaga na ang mga variable ay kumakatawan sa parehong mga numero sa lahat ng mga equation na kasama sa system na ito.

Kaya ang aming sistema ay naglalaman ng dalawang equation. Ang mga equation na ito naman ay naglalaman ng mga variable x At y, na kumakatawan sa parehong mga numero sa parehong mga equation, katulad ng mga haba ng kalsada na 20 km at 15 km.

Problema 2. Ang mga Oak at pine sleeper ay inilagay sa platform, 300 sleeper sa kabuuan. Ito ay kilala na ang lahat ng oak sleepers ay tumimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa lahat ng pine sleepers. Tukuyin kung gaano karaming mga oak at pine sleeper ang hiwalay, kung ang bawat oak sleeper ay tumitimbang ng 46 kg, at bawat pine sleeper ay 28 kg.

Solusyon

Hayaan x oak at y Ang mga pine sleeper ay inilagay sa platform. Kung mayroong 300 sleepers sa kabuuan, ang unang equation ay maaaring isulat bilang x+y = 300 .

Lahat ng oak sleepers ay tumitimbang ng 46 x kg, at ang mga pine ay tumitimbang ng 28 y kg. Dahil ang mga oak sleeper ay tumitimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa pine sleeper, ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang 28y − 46x= 1000 . Ang equation na ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba sa masa sa pagitan ng oak at pine sleepers ay 1000 kg.

Ang mga tonelada ay na-convert sa kilo dahil ang masa ng mga oak at pine sleeper ay sinusukat sa kilo.

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang equation na bumubuo sa system

Solusyonan natin ang sistemang ito. Ipahayag natin sa unang equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Palitan ang unang equation sa pangalawa at hanapin y

Palitan natin y sa equation x= 300 − y at alamin kung ano ito x

Nangangahulugan ito na 100 oak at 200 pine sleeper ang inikarga sa platform.

Suriin natin kung ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Una, tiyakin natin na ang system ay nalutas nang tama:

Nasa 300 umano ang natutulog sa kabuuan. Idinaragdag namin ang bilang ng mga oak at pine sleeper at tinitiyak na ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon sa kundisyong ito: 100 + 200 = 300.

Ang sumusunod na kondisyon: lahat ng oak sleeper ay tumitimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa lahat ng pine sleeper . Nakikita namin na ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon din sa kondisyong ito, dahil ang 46 × 100 kg ng mga oak sleeper ay mas magaan kaysa sa 28 × 200 kg ng mga pine sleeper: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Suliranin 3. Kumuha kami ng tatlong piraso ng tanso-nikel na haluang metal sa mga ratio na 2: 1, 3: 1 at 5: 1 ayon sa timbang. Ang isang piraso na tumitimbang ng 12 kg ay pinagsama mula sa kanila na may ratio ng tanso at nikel na nilalaman na 4: 1. Hanapin ang masa ng bawat orihinal na piraso kung ang masa ng una ay dalawang beses sa masa ng pangalawa.

SA n Ang hindi kilala ay isang sistema ng anyo:

saan isang ij At b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- ilang kilalang numero, at x 1 ,…,x n- hindi kilalang mga numero. Sa pagtatalaga ng mga coefficient isang ij index i tinutukoy ang bilang ng equation, at ang pangalawa j- ang bilang ng hindi alam kung saan matatagpuan ang coefficient na ito.

homogenous na sistema - kapag ang lahat ng libreng termino ng system ay katumbas ng zero ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), ang kabaligtaran ng sitwasyon ay heterogenous na sistema.

Square system - kapag ang numero m ang mga equation ay katumbas ng bilang n hindi kilala.

Solusyon ng system- kabuuan n numero c 1, c 2, …, c n, tulad na pagpapalit ng lahat c i sa halip na x i sa isang sistema ay ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation nito.

Pinagsamang sistema - kapag ang sistema ay may hindi bababa sa 1 solusyon, at sistemang hindi kooperatiba kapag ang sistema ay walang solusyon.

Ang magkasanib na sistema ng ganitong uri (tulad ng ibinigay sa itaas, hayaan itong (1)) ay maaaring magkaroon ng isa o higit pang mga solusyon.

Mga solusyon c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) At c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) magkasanib na mga sistema ng uri (1) ay magiging iba-iba, kapag kahit 1 sa mga pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Ang isang pinagsamang sistema ng uri (1) ay magiging tiyak kapag mayroon lamang siyang solusyon; kapag ang isang sistema ay may hindi bababa sa 2 magkaibang solusyon, ito ay nagiging hindi natukoy. Kapag mayroong higit pang mga equation kaysa sa hindi alam, ang sistema ay muling tinukoy.

Ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay nakasulat bilang isang matrix:

Ito ay tinatawag na matrix ng system.

Ang mga numerong lumilitaw sa kanang bahagi ng mga equation ay b 1 ,…,b m ay libreng miyembro.

Kabuuan n numero c 1 ,…,c n ay isang solusyon sa sistemang ito kapag ang lahat ng mga equation ng system ay naging pantay pagkatapos palitan ang mga numero sa mga ito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.

Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, 3 mga pagpipilian ang maaaring lumitaw:

1. Ang sistema ay may isang solusyon lamang.

2. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Halimbawa, . Ang solusyon sa sistemang ito ay ang lahat ng pares ng mga numero na naiiba sa sign.

3. Walang solusyon ang sistema. Halimbawa... kung may solusyon, kung gayon x 1 + x 2 ay magiging katumbas ng 0 at 1 sa parehong oras.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.

Mga direktang pamamaraan magbigay ng algorithm kung saan matatagpuan ang eksaktong solusyon SLAU(mga sistema ng linear algebraic equation). At kung ang katumpakan ay ganap, makikita nila ito. Ang isang tunay na de-koryenteng computer, siyempre, ay gumagana nang may error, kaya ang solusyon ay magiging tinatayang.

§1. Mga sistema ng linear equation.

Tingnan ang sistema

tinatawag na sistema m linear equation na may n hindi kilala.

Dito
- hindi kilala, - coefficients para sa mga hindi alam,
- libreng mga tuntunin ng mga equation.

Kung ang lahat ng mga libreng termino ng mga equation ay katumbas ng zero, ang sistema ay tinatawag homogenous. Sa pamamagitan ng desisyon Ang sistema ay tinatawag na koleksyon ng mga numero
, kapag pinapalitan ang mga ito sa sistema sa halip na mga hindi alam, lahat ng equation ay nagiging mga pagkakakilanlan. Ang sistema ay tinatawag magkadugtong, kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang isang katugmang sistema na may natatanging solusyon ay tinatawag tiyak. Ang dalawang sistema ay tinatawag katumbas, kung ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay magkakasabay.

Ang sistema (1) ay maaaring katawanin sa anyong matrix gamit ang equation

(2)

.

§2. Pagkakatugma ng mga sistema ng mga linear na equation.

Tawagin natin ang pinalawig na matrix ng system (1) ang matrix

Kronecker-Capelli theorem. Ang system (1) ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix:

.

§3. Solusyon sa mga sisteman linear equation na mayn hindi kilala.

Isaalang-alang ang isang hindi magkakatulad na sistema n linear equation na may n hindi alam:

(3)

Teorama ni Cramer.Kung ang pangunahing determinant ng system (3)
, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng mga formula:

mga.
,

saan - determinant na nakuha mula sa determinant kapalit ika-column sa column ng mga libreng miyembro.

Kung
, at hindi bababa sa isa sa ≠0, kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon.

Kung
, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.

Ang system (3) ay maaaring malutas gamit ang matrix form nito (2). Kung ang ranggo ng matrix A katumbas n, ibig sabihin.
, pagkatapos ay ang matrix A may kabaligtaran
. Pagpaparami ng matrix equation
sa matrix
sa kaliwa, makukuha natin:

.

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nagpapahayag ng paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang isang inverse matrix.

Halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang isang inverse matrix.

Solusyon. Matrix
non-degenerate, since
, na nangangahulugang mayroong isang kabaligtaran na matrix. Kalkulahin natin ang inverse matrix:
.

,

Mag-ehersisyo. Lutasin ang system gamit ang paraan ng Cramer.

§4. Paglutas ng mga arbitraryong sistema ng mga linear na equation.

Hayaang magbigay ng isang di-homogeneous na sistema ng mga linear na equation ng anyong (1).

Ipagpalagay natin na pare-pareho ang sistema, i.e. ang kondisyon ng Kronecker-Capelli theorem ay nasiyahan:
. Kung ang ranggo ng matrix
(bilang ng mga hindi alam), kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung
, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon. Hayaan mo akong magpaliwanag.

Hayaan ang ranggo ng matrix r(A)= r< n. Dahil ang
, pagkatapos ay mayroong ilang di-zero minor ng order r. Tawagin natin itong basic minor. Ang mga hindi alam na ang mga coefficient ay bumubuo ng isang batayang menor ay tatawaging pangunahing mga variable. Tinatawag namin ang natitirang hindi alam na mga libreng variable. Ayusin natin ang mga equation at muling lagyan ng numero ang mga variable upang ang menor de edad na ito ay matatagpuan sa kaliwang sulok sa itaas ng system matrix:

.

Una r linearly independent ang mga linya, ang iba ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito. Samakatuwid, ang mga linyang ito (equation) ay maaaring itapon. Nakukuha namin:

Bigyan natin ang mga libreng variable ng mga arbitrary na halagang numero: . Iwanan lamang natin ang mga pangunahing variable sa kaliwang bahagi at ilipat ang mga libre sa kanang bahagi.

Nakuha ang sistema r linear equation na may r hindi alam, na ang determinant ay naiiba sa 0. Ito ay may natatanging solusyon.

Ang sistemang ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation (1). Kung hindi: ang pagpapahayag ng mga pangunahing variable sa pamamagitan ng mga libre ay tinatawag pangkalahatang desisyon mga sistema. Mula dito maaari kang makakuha ng walang katapusang bilang ng pribadong solusyon, na nagbibigay ng mga libreng variable ng mga arbitrary na halaga. Ang isang partikular na solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatan para sa mga zero na halaga ng mga libreng variable ay tinatawag pangunahing solusyon. Ang bilang ng iba't ibang mga pangunahing solusyon ay hindi lalampas
. Ang isang pangunahing solusyon na may mga di-negatibong sangkap ay tinatawag pagsuporta solusyon sa sistema.

Halimbawa.

, r=2.

Mga variable
- basic,
- libre.

Pagsamahin natin ang mga equation; ipahayag natin
sa pamamagitan ng
:

- karaniwang desisyon.

- pribadong solusyon para sa
.

- pangunahing solusyon, sanggunian.

§5. Pamamaraan ng Gauss.

Ang Gauss method ay isang unibersal na paraan para sa pag-aaral at paglutas ng mga arbitraryong sistema ng mga linear equation. Binubuo ito ng pagbabawas ng system sa isang diagonal (o triangular) na anyo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam gamit ang elementarya na pagbabagong-anyo na hindi lumalabag sa pagkakapareho ng mga sistema. Ang isang variable ay itinuturing na hindi kasama kung ito ay nakapaloob lamang sa isang equation ng system na may coefficient na 1.

Mga pagbabago sa elementarya ang mga sistema ay:

Pagpaparami ng equation sa isang numero maliban sa zero;

Pagdaragdag ng isang equation na pinarami ng anumang numero sa isa pang equation;

Muling pag-aayos ng mga equation;

Tinatanggihan ang equation na 0 = 0.

Ang mga pagbabago sa elementarya ay maaaring gawin hindi sa mga equation, ngunit sa mga pinahabang matrice ng mga resultang katumbas na sistema.

Halimbawa.

Solusyon. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system:

.

Sa pagsasagawa ng mga elementarya na pagbabago, babawasan natin ang kaliwang bahagi ng matrix sa anyo ng unit: gagawa tayo ng mga nasa pangunahing dayagonal, at mga zero sa labas nito.

Magkomento. Kung, kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong elementarya, ang isang equation ng form 0 ay nakuha = k(Saan Upang0), tapos inconsistent ang system.

Ang solusyon ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay maaaring isulat sa anyo mga mesa.

Ang kaliwang column ng talahanayan ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa mga ibinukod (pangunahing) variable. Ang natitirang mga column ay naglalaman ng mga coefficient ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ng mga equation.

Ang pinalawig na matrix ng system ay naitala sa source table. Susunod, nagsisimula kaming magsagawa ng mga pagbabagong Jordan:

1. Pumili ng variable , na siyang magiging batayan. Ang kaukulang column ay tinatawag na key column. Pumili ng equation kung saan mananatili ang variable na ito, na hindi kasama sa iba pang equation. Tinatawag na key row ang kaukulang hanay ng talahanayan. Coefficient , na nakatayo sa intersection ng key row at key column, ay tinatawag na key.

2. Ang mga pangunahing elemento ng string ay nahahati sa pangunahing elemento.

3. Ang key column ay puno ng mga zero.

4. Ang natitirang mga elemento ay kinakalkula gamit ang parihaba na panuntunan. Gumawa ng isang parihaba, sa kabaligtaran ng mga vertices kung saan mayroong isang pangunahing elemento at isang recalculated elemento; mula sa produkto ng mga elemento na matatagpuan sa dayagonal ng rektanggulo na may pangunahing elemento, ang produkto ng mga elemento ng iba pang dayagonal ay ibinabawas, at ang nagresultang pagkakaiba ay nahahati sa pangunahing elemento.

Halimbawa. Hanapin ang pangkalahatang solusyon at pangunahing solusyon ng sistema ng mga equation:

Solusyon.

Pangkalahatang solusyon ng system:

Pangunahing solusyon:
.

Ang isang solong pagbabagong-anyo ng pagpapalit ay nagpapahintulot sa iyo na lumipat mula sa isang batayan ng system patungo sa isa pa: sa halip na isa sa mga pangunahing variable, isa sa mga libreng variable ay ipinakilala sa batayan. Upang gawin ito, pumili ng isang pangunahing elemento sa column ng libreng variable at magsagawa ng mga pagbabago ayon sa algorithm sa itaas.

§6. Paghahanap ng mga solusyon sa suporta

Ang reference na solusyon ng isang sistema ng mga linear equation ay isang pangunahing solusyon na hindi naglalaman ng mga negatibong bahagi.

Ang mga reference na solusyon ng system ay matatagpuan sa pamamagitan ng Gaussian method kapag ang mga sumusunod na kondisyon ay natugunan.

1. Sa orihinal na sistema, dapat na hindi negatibo ang lahat ng libreng termino:
.

2. Ang pangunahing elemento ay pinili sa mga positibong coefficient.

3. Kung ang isang variable na ipinakilala sa batayan ay may ilang mga positibong coefficient, kung gayon ang pangunahing linya ay ang isa kung saan ang ratio ng libreng termino sa positibong koepisyent ay ang pinakamaliit.

Tandaan 1. Kung, sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, lumilitaw ang isang equation kung saan ang lahat ng mga coefficient ay hindi positibo at ang libreng termino
, pagkatapos ay walang mga di-negatibong solusyon ang system.

Tandaan 2. Kung walang isang solong positibong elemento sa mga hanay ng mga coefficient para sa mga libreng variable, kung gayon ang paglipat sa isa pang reference na solusyon ay imposible.

Halimbawa.

Sa pangkalahatan, ang linear equation ay may anyo:

Ang equation ay may solusyon: kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng mga hindi alam ay iba sa zero. Sa kasong ito, ang anumang -dimensional na vector ay tinatawag na solusyon sa equation kung, kapag pinapalitan ang mga coordinate nito, ang equation ay naging isang pagkakakilanlan.

Pangkalahatang katangian ng nalutas na sistema ng mga equation

Halimbawa 20.1

Ilarawan ang sistema ng mga equation.

Solusyon:

1. Mayroon bang kasalungat na equation na kasangkot?(Kung ang mga coefficient, sa kasong ito ang equation ay may anyo: at tinatawag na kontrobersyal.)

• Kung ang isang sistema ay naglalaman ng isang bagay na magkasalungat, kung gayon ang ganitong sistema ay hindi naaayon at walang solusyon.

2. Hanapin ang lahat ng pinapayagang variable. (Ang hindi kilala ay tinatawagpinahihintulutan para sa isang sistema ng mga equation, kung ito ay kasama sa isa sa mga equation ng system na may isang koepisyent na +1, ngunit hindi kasama sa mga natitirang equation (ibig sabihin, ito ay kasama sa isang koepisyent na katumbas ng zero).

3. Nalutas ba ang sistema ng mga equation? (Ang sistema ng mga equation ay tinatawag na nalutas, kung ang bawat equation ng system ay naglalaman ng isang nalutas na hindi alam, kung saan walang mga nagkataon)

Ang mga nalutas na hindi alam, kinuha ng isa mula sa bawat equation ng system, ay nabuo buong hanay ng mga nalutas na hindi alam mga sistema. (sa aming halimbawa ito ay)

Ang mga pinapayagang hindi alam na kasama sa kumpletong set ay tinatawag din basic(), at hindi kasama sa set - libre ().

Sa pangkalahatang kaso, ang nalutas na sistema ng mga equation ay may anyo:

Sa yugtong ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan kung ano ito nalutas na hindi alam(kasama sa batayan at libre).

Pangkalahatang Partikular Pangunahing solusyon

Pangkalahatang solusyon ang isang nalutas na sistema ng mga equation ay isang hanay ng mga expression ng nalutas na mga hindi alam sa pamamagitan ng mga libreng termino at mga libreng hindi alam:

Pribadong desisyon ay tinatawag na isang solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon para sa mga tiyak na halaga ng mga libreng variable at hindi alam.

Pangunahing solusyon ay isang partikular na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatan para sa mga zero na halaga ng mga libreng variable.

• Ang pangunahing solusyon (vector) ay tinatawag mabulok, kung ang bilang ng mga non-zero na coordinate nito ay mas mababa sa bilang ng mga pinapayagang hindi alam.
• Ang pangunahing solusyon ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang bilang ng mga non-zero na coordinate nito ay katumbas ng bilang ng mga pinapayagang hindi alam ng system na kasama sa kumpletong set.

Teorama (1)

Ang nalutas na sistema ng mga equation ay palaging pare-pareho(dahil mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon); Bukod dito, kung ang sistema ay walang mga libreng hindi alam,(iyon ay, sa isang sistema ng mga equation, lahat ng pinapayagan ay kasama sa batayan) pagkatapos ito ay tinukoy(may kakaibang solusyon); kung mayroong hindi bababa sa isang libreng variable, kung gayon ang sistema ay hindi tinukoy(may walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Halimbawa 1. Hanapin ang pangkalahatan, pangunahing at anumang partikular na solusyon sa sistema ng mga equation:

Solusyon:

1. Sinusuri ba natin kung awtorisado ang system?

• Ang sistema ay nalutas (dahil ang bawat isa sa mga equation ay naglalaman ng isang nalutas na hindi alam)

2. Kasama namin ang mga pinapayagang hindi alam sa set - isa mula sa bawat equation.

3. Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon depende sa kung ano ang pinapayagan na hindi alam na isinama namin sa set.

4. Paghahanap ng isang partikular na solusyon. Para magawa ito, tinutumbasan namin ang mga libreng variable na hindi namin isinama sa set na may mga arbitrary na numero.

Sagot: pribadong solusyon(isa sa mga pagpipilian)

5. Paghahanap ng pangunahing solusyon. Para magawa ito, itinutumbas namin ang mga libreng variable na hindi namin isinama sa set sa zero.

Pangunahing pagbabago ng mga linear equation

Ang mga sistema ng mga linear na equation ay binabawasan sa katumbas na mga sistemang nalutas gamit ang mga elementarya na pagbabago.

Teorama (2)

Kung mayroon man multiply ang equation ng system sa ilang nonzero number, at iwanan ang natitirang mga equation na hindi nagbabago, pagkatapos . (iyon ay, kung i-multiply mo ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa parehong numero, makakakuha ka ng equation na katumbas ng isang ito)

Teorama (3)

Kung magdagdag ng isa pa sa anumang equation ng system, at iwanan ang lahat ng iba pang mga equation na hindi nagbabago, kung gayon nakakakuha tayo ng sistemang katumbas ng isang ito. (iyon ay, kung magdagdag ka ng dalawang equation (sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kanilang kaliwa at kanang gilid), makakakuha ka ng katumbas na equation sa data)

Corollary of Theorems (2 at 3)

Kung magdagdag ng isa pang equation sa isang equation na pinarami ng isang tiyak na numero, at iwanan ang lahat ng iba pang mga equation na hindi nagbabago, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema na katumbas ng isang ito.

Mga formula para sa muling pagkalkula ng mga coefficient ng system

Kung mayroon tayong sistema ng mga equation at gusto nating baguhin ito sa isang nalutas na sistema ng mga equation, tutulungan tayo ng pamamaraang Jordan-Gauss dito.

Pagbabago ni Jordan na may isang elemento ng paglutas ay nagpapahintulot sa iyo na makuha para sa isang sistema ng mga equation ang nalutas na hindi alam sa equation na may numero . (halimbawa 2).

Ang pagbabagong Jordan ay binubuo ng mga elementarya na pagbabago ng dalawang uri:

Sabihin nating gusto nating gawing nalutas na hindi alam ang hindi alam sa mas mababang equation. Upang gawin ito, dapat nating hatiin sa pamamagitan ng , upang ang kabuuan ay .

Halimbawa 2 Recalculate natin ang system coefficients

Kapag hinahati ang isang equation na may isang numero sa pamamagitan ng , ang mga coefficient nito ay muling kinakalkula gamit ang mga formula:

Upang ibukod mula sa equation na may numero , kailangan mong i-multiply ang equation na may numero sa at idagdag sa equation na ito.

Theorem (4) Sa pagbabawas ng bilang ng mga equation ng system.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay naglalaman ng isang maliit na equation, kung gayon maaari itong ibukod mula sa sistema, at isang sistema na katumbas ng orihinal na isa ay makukuha.

Theorem (5) Sa hindi pagkakatugma ng sistema ng mga equation.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay naglalaman ng isang hindi naaayon na equation, kung gayon ito ay hindi naaayon.

Algoritmo ng pamamaraan ng Jordan-Gauss

Ang algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation gamit ang pamamaraang Jordan-Gauss ay binubuo ng isang bilang ng mga katulad na hakbang, sa bawat isa kung saan ang mga aksyon ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. Sinusuri upang makita kung hindi tugma ang system. Kung ang isang sistema ay naglalaman ng isang hindi tugmang equation, kung gayon ito ay hindi naaayon.
2. Sinusuri ang posibilidad na bawasan ang bilang ng mga equation. Kung ang sistema ay naglalaman ng isang maliit na equation, ito ay na-cross out.
3. Kung ang sistema ng mga equation ay nalutas, pagkatapos ay isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema at, kung kinakailangan, ang mga partikular na solusyon.
4. Kung ang system ay hindi nalutas, pagkatapos ay sa isang equation na hindi naglalaman ng isang nalutas na hindi alam, isang paglutas ng elemento ay pipiliin at isang Jordan transform ay ginanap sa elementong ito.
5. Pagkatapos ay bumalik sa punto 1

Halimbawa 3 Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang pamamaraang Jordan-Gauss.

Hanapin: dalawang pangkalahatan at dalawang katumbas na pangunahing solusyon

Solusyon:

Ang mga kalkulasyon ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba:

Sa kanan ng talahanayan ay mga aksyon sa mga equation. Ipinapahiwatig ng mga arrow kung saang equation ang equation na may elemento ng paglutas ay idinagdag, na pinarami ng angkop na salik.

Ang unang tatlong hanay ng talahanayan ay naglalaman ng mga coefficient ng mga hindi alam at ang kanang bahagi ng orihinal na sistema. Ang mga resulta ng unang pagbabago ng Jordan na may isang elemento ng paglutas na katumbas ng isa ay ibinibigay sa mga linya 4, 5, 6. Ang mga resulta ng pangalawang pagbabagong-anyo ng Jordan na may elemento ng paglutas na katumbas ng (-1) ay ibinibigay sa mga linya 7, 8, 9 Dahil ang ikatlong equation ay walang halaga, hindi ito maaaring isaalang-alang.

Upang pag-aralan ang isang sistema ng linear agebraic equation (SLAEs) para sa pagkakapare-pareho ay nangangahulugan na malaman kung ang sistemang ito ay may mga solusyon o wala nito. Well, kung may mga solusyon, pagkatapos ay ipahiwatig kung gaano karami ang mayroon.

Kakailanganin namin ang impormasyon mula sa paksang "System of linear algebraic equation. Basic terms. Matrix form of notation". Sa partikular, ang mga konsepto tulad ng system matrix at extended system matrix ay kailangan, dahil ang pagbabalangkas ng Kronecker-Capelli theorem ay nakabatay sa kanila. Gaya ng dati, tutukuyin natin ang system matrix sa pamamagitan ng letrang $A$, at ang extended na matrix ng system sa pamamagitan ng letrang $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capelli theorem

Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix ng system, i.e. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Ipaalala ko sa iyo na ang isang sistema ay tinatawag na joint kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang Kronecker-Capelli theorem ay nagsasabi nito: kung $\rang A=\rang\widetilde(A)$, kung gayon mayroong solusyon; kung $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, ang SLAE na ito ay walang mga solusyon (hindi pare-pareho). Ang sagot sa tanong tungkol sa bilang ng mga solusyong ito ay ibinibigay ng isang corollary ng Kronecker-Capelli theorem. Sa pagbabalangkas ng corollary, ang titik $n$ ay ginagamit, na katumbas ng bilang ng mga variable ng ibinigay na SLAE.

Corollary sa Kronecker-Capelli theorem

1. Kung $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, kung gayon ang SLAE ay hindi pare-pareho (walang mga solusyon).
2. Kung $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Kung $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, kung gayon ang SLAE ay tiyak (may eksaktong isang solusyon).

Pakitandaan na ang formulated theorem at ang corollary nito ay hindi nagpapahiwatig kung paano maghanap ng solusyon sa SLAE. Sa tulong nila, malalaman mo lang kung mayroon o wala ang mga solusyong ito, at kung mayroon sila, ilan.

Halimbawa Blg. 1

I-explore ang SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ para sa compatibility. Kung ang SLAE ay compatible, ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon.

Upang malaman ang pagkakaroon ng mga solusyon sa isang ibinigay na SLAE, ginagamit namin ang Kronecker-Capelli theorem. Kakailanganin natin ang matrix ng system na $A$ at ang extended na matrix ng system na $\widetilde(A)$, isusulat namin ang mga ito:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array) \right). $$

Kailangan nating hanapin ang $\rang A$ at $\rang\widetilde(A)$. Mayroong maraming mga paraan upang gawin ito, ang ilan ay nakalista sa seksyon ng Matrix Rank. Karaniwan, dalawang pamamaraan ang ginagamit upang pag-aralan ang mga naturang sistema: "Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng kahulugan" o "Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng paraan ng elementarya na pagbabago".

Paraan numero 1. Computing ranks ayon sa kahulugan.

Ayon sa kahulugan, ang ranggo ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ng isang matrix, kung saan mayroong hindi bababa sa isa na naiiba sa zero. Karaniwan, ang pag-aaral ay nagsisimula sa mga menor de edad na first-order, ngunit narito ito ay mas maginhawa upang agad na simulan ang pagkalkula ng third-order minor ng matrix $A$. Ang mga third-order na minor na elemento ay matatagpuan sa intersection ng tatlong row at tatlong column ng matrix na pinag-uusapan. Dahil ang matrix $A$ ay naglalaman lamang ng 3 row at 3 column, ang third order minor ng matrix na $A$ ay ang determinant ng matrix na $A$, i.e. $\Delta A$. Upang kalkulahin ang determinant, inilalapat namin ang formula No. 2 mula sa paksang "Mga formula para sa pagkalkula ng mga determinant ng ikalawa at ikatlong mga order":

$$ \Delta A=\kaliwa| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Kaya, mayroong ikatlong order na minor ng matrix na $A$, na hindi katumbas ng zero. Imposibleng bumuo ng fourth-order minor, dahil nangangailangan ito ng 4 na row at 4 na column, at ang matrix na $A$ ay mayroon lamang 3 row at 3 column. Kaya, ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ng matrix na $A$, kung saan mayroong hindi bababa sa isa na hindi katumbas ng zero, ay katumbas ng 3. Samakatuwid, $\rang A=3$.

Kailangan din nating hanapin ang $\rang\widetilde(A)$. Tingnan natin ang istraktura ng matrix na $\widetilde(A)$. Hanggang sa linya sa matrix $\widetilde(A)$ mayroong mga elemento ng matrix na $A$, at nalaman namin na $\Delta A\neq 0$. Dahil dito, ang matrix na $\widetilde(A)$ ay may third-order minor, na hindi katumbas ng zero. Hindi kami makabuo ng mga pang-apat na ayos na menor de edad ng matrix na $\widetilde(A)$, kaya nagtatapos kami: $\rang\widetilde(A)=3$.

Dahil $\rang A=\rang\widetilde(A)$, pagkatapos ay ayon sa Kronecker-Capelli theorem ang sistema ay pare-pareho, i.e. ay may solusyon (kahit isa). Upang ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon, isinasaalang-alang namin na ang aming SLAE ay naglalaman ng 3 hindi alam: $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Dahil ang bilang ng mga hindi alam ay $n=3$, napagpasyahan namin: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, samakatuwid, ayon sa corollary ng Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ay tiyak, i.e. ay may natatanging solusyon.

Ang problema ay nalutas. Anong mga disadvantages at advantages mayroon ang pamamaraang ito? Una, pag-usapan natin ang mga pakinabang. Una, kailangan lang naming makahanap ng isang determinant. Pagkatapos nito, agad kaming gumawa ng konklusyon tungkol sa bilang ng mga solusyon. Karaniwan, ang mga karaniwang karaniwang kalkulasyon ay nagbibigay ng mga sistema ng mga equation na naglalaman ng tatlong hindi alam at may natatanging solusyon. Para sa gayong mga sistema, ang pamamaraang ito ay napaka-maginhawa, dahil alam natin nang maaga na mayroong isang solusyon (kung hindi, ang halimbawa ay wala sa karaniwang pagkalkula). Yung. Ang kailangan lang nating gawin ay ipakita ang pagkakaroon ng solusyon sa pinakamabilis na paraan. Pangalawa, ang kinakalkula na halaga ng determinant ng system matrix (i.e. $\Delta A$) ay magiging kapaki-pakinabang sa ibang pagkakataon: kapag sinimulan nating lutasin ang isang ibinigay na sistema gamit ang Cramer method o gamit ang inverse matrix.

Gayunpaman, ang paraan ng pagkalkula ng ranggo ay sa pamamagitan ng kahulugan ay hindi kanais-nais na gamitin kung ang matrix ng sistemang $A$ ay hugis-parihaba. Sa kasong ito, mas mahusay na gamitin ang pangalawang paraan, na tatalakayin sa ibaba. Bilang karagdagan, kung $\Delta A=0$, hindi namin masasabi ang anumang bagay tungkol sa bilang ng mga solusyon ng isang ibinigay na hindi magkakatulad na SLAE. Marahil ang SLAE ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, o maaaring wala. Kung $\Delta A=0$, kailangan ng karagdagang pananaliksik, na kadalasang nakakapagod.

Upang ibuod kung ano ang sinabi, tandaan ko na ang unang paraan ay mabuti para sa mga SLAE na ang system matrix ay parisukat. Bukod dito, ang SLAE mismo ay naglalaman ng tatlo o apat na hindi alam at kinuha mula sa mga karaniwang karaniwang kalkulasyon o pagsubok.

Paraan Blg. 2. Pagkalkula ng ranggo sa pamamagitan ng paraan ng mga pagbabagong elementarya.

Ang pamamaraang ito ay inilarawan nang detalyado sa kaukulang paksa. Magsisimula kaming kalkulahin ang ranggo ng matrix $\widetilde(A)$. Bakit ang mga matrice ay $\widetilde(A)$ at hindi $A$? Ang katotohanan ay ang matrix $A$ ay bahagi ng matrix $\widetilde(A)$, samakatuwid, sa pamamagitan ng pagkalkula ng ranggo ng matrix $\widetilde(A)$ ay sabay-sabay nating makikita ang ranggo ng matrix $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(palitan ang una at pangalawang linya)\kanan| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Binawasan namin ang matrix na $\widetilde(A)$ sa echelon form. Ang resultang echelon matrix ay may tatlong non-zero row, kaya ang ranggo nito ay 3. Dahil dito, ang ranggo ng matrix na $\widetilde(A)$ ay katumbas ng 3, i.e. $\rang\widetilde(A)=3$. Kapag gumagawa ng mga pagbabago sa mga elemento ng matrix $\widetilde(A)$, sabay-sabay naming binago ang mga elemento ng matrix na $A$ na matatagpuan hanggang sa linya. Ang matrix na $A$ ay binabawasan din sa echelon form: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \tama )$. Konklusyon: ang ranggo ng matrix $A$ ay 3 din, i.e. $\rang A=3$.

Dahil $\rang A=\rang\widetilde(A)$, pagkatapos ay ayon sa Kronecker-Capelli theorem ang sistema ay pare-pareho, i.e. may solusyon. Upang ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon, isinasaalang-alang namin na ang aming SLAE ay naglalaman ng 3 hindi alam: $x_1$, $x_2$ at $x_3$. Dahil ang bilang ng mga hindi alam ay $n=3$, napagpasyahan namin: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, samakatuwid, ayon sa corollary ng Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ay tinukoy, i.e. ay may natatanging solusyon.

Ano ang mga pakinabang ng pangalawang pamamaraan? Ang pangunahing bentahe nito ay ang kakayahang magamit. Hindi mahalaga sa amin kung ang matrix ng system ay parisukat o hindi. Bilang karagdagan, aktwal na nagsagawa kami ng mga pasulong na pagbabago ng pamamaraang Gaussian. Ilang hakbang na lang ang natitira, at makakakuha tayo ng solusyon sa SLAE na ito. Upang maging matapat, mas gusto ko ang pangalawang paraan kaysa sa una, ngunit ang pagpili ay isang bagay ng panlasa.

Sagot: Ang ibinigay na SLAE ay pare-pareho at tinukoy.

Halimbawa Blg. 2

Galugarin ang SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ para sa compatibility.

Hahanapin natin ang mga ranggo ng system matrix at ang extended system matrix gamit ang paraan ng elementary transformations. Extended system matrix: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Hanapin natin ang mga kinakailangang ranggo sa pamamagitan ng pagbabago sa pinahabang matrix ng system:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Ang pinalawig na matrix ng system ay binabawasan sa isang stepwise na anyo. Ang ranggo ng isang echelon matrix ay katumbas ng bilang ng mga nonzero row nito, kaya $\rang\widetilde(A)=3$. Ang matrix na $A$ (hanggang sa linya) ay binabawasan din sa echelon form, at ang ranggo nito ay 2, $\rang(A)=2$.

Dahil $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, pagkatapos ay ayon sa Kronecker-Capelli theorem ang sistema ay hindi pare-pareho (i.e., walang mga solusyon).

Sagot: Ang sistema ay hindi pare-pareho.

Halimbawa Blg. 3

I-explore ang SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ para sa compatibility.

Dinadala namin ang pinahabang matrix ng system sa isang stepwise form:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Dinala namin ang pinahabang matrix ng system at ang matrix ng system mismo sa isang stepwise form. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ng system ay katumbas ng tatlo, ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas din ng tatlo. Dahil ang system ay naglalaman ng $n=5$ na hindi alam, ibig sabihin. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, pagkatapos ay ayon sa corollary ng Kronecker-Capelli theorem, ang sistemang ito ay indeterminate, i.e. ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Sagot: Ang sistema ay hindi sigurado.

Sa ikalawang bahagi, susuriin namin ang mga halimbawa na kadalasang kasama sa mga karaniwang kalkulasyon o pagsubok sa mas mataas na matematika: pare-parehong pananaliksik at solusyon ng SLAE depende sa mga halaga ng mga parameter na kasama dito.