Tuwid na linya. Mga parallel na linya. Pangunahing konsepto. Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya. Mga katangian ng magkatulad na linya Ang unang tanda ng paralelismo ng dalawang linya

Ang paralelismo ng dalawang linya ay maaaring mapatunayan batay sa teorama, ayon sa kung saan ang dalawang perpendicular na iginuhit na may kaugnayan sa isang linya ay magiging parallel. Mayroong ilang mga palatandaan ng parallelism ng mga linya - mayroong tatlo sa kanila, at isasaalang-alang namin ang lahat ng mga ito nang mas partikular.

Ang unang tanda ng paralelismo

Ang mga linya ay parallel kung, kapag nag-intersect sila sa isang ikatlong linya, ang mga panloob na anggulo na nabuo, na nakahiga nang crosswise, ay magiging pantay.

Sabihin natin na kapag ang mga tuwid na linya na AB at CD ay nagsalubong sa tuwid na linya EF, nabuo ang mga anggulo /1 at /2. Ang mga ito ay pantay, dahil ang tuwid na linya na EF ay tumatakbo sa isang slope na may paggalang sa iba pang dalawang tuwid na linya. Kung saan nagsalubong ang mga linya, naglalagay kami ng mga puntos na Ki L - mayroon kaming secant segment na EF. Natagpuan namin ang gitna nito at ilagay ang punto O (Larawan 189).

Nag-drop kami ng patayo mula sa punto O papunta sa linyang AB. Tawagin natin itong OM. Ipinagpapatuloy namin ang patayo hanggang sa mag-intersect ito sa linyang CD. Bilang resulta, ang orihinal na tuwid na linya AB ay mahigpit na patayo sa MN, na nangangahulugang ang CD_|_MN ay ganoon din, ngunit ang pahayag na ito ay nangangailangan ng patunay. Bilang resulta ng pagguhit ng isang patayo at isang linya ng intersection, nabuo namin ang dalawang tatsulok. Ang isa sa kanila ay AKIN, ang pangalawa ay NOK. Tingnan natin ang mga ito nang mas detalyado. mga palatandaan ng parallel lines grade 7

Ang mga tatsulok na ito ay pantay, dahil, alinsunod sa mga kondisyon ng teorama, /1 =/2, at alinsunod sa pagtatayo ng mga tatsulok, gilid OK = gilid OL. Anggulo MOL =/NOK, dahil ito ay mga patayong anggulo. Ito ay sumusunod mula dito na ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa sa mga tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok. Kaya, tatsulok MOL = tatsulok NOK, at samakatuwid anggulo LMO = anggulo KNO, ngunit alam namin na ang /LMO ay tuwid, na nangangahulugan na ang katumbas na anggulo KNO ay tama din. Ibig sabihin, napatunayan natin na sa tuwid na linyang MN, parehong patayo ang tuwid na linyang AB at ang tuwid na linyang CD. Ibig sabihin, ang AB at CD ay parallel sa isa't isa. Ito ang kailangan nating patunayan. Isaalang-alang natin ang natitirang mga palatandaan ng paralelismo ng mga linya (grade 7), na naiiba sa unang pag-sign sa paraan ng patunay.

Pangalawang tanda ng paralelismo

Ayon sa pangalawang criterion para sa parallelism ng mga linya, kailangan nating patunayan na ang mga anggulo na nakuha sa proseso ng intersection ng mga parallel na linya AB at CD ng linya EF ay magiging pantay. Kaya, ang mga palatandaan ng parallelism ng dalawang linya, ang una at ang pangalawa, ay batay sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na nakuha kapag ang ikatlong linya ay nagsalubong sa kanila. Ipagpalagay natin na /3 = /2 at anggulo 1 = /3 dahil patayo ito dito. Kaya, ang at /2 ay magiging katumbas ng anggulo 1, gayunpaman, dapat itong isaalang-alang na ang parehong anggulo 1 at anggulo 2 ay panloob, cross-lying na mga anggulo. Dahil dito, ang kailangan lang nating gawin ay ilapat ang ating kaalaman, ibig sabihin, na ang dalawang segment ay magiging parallel kung, kapag sila ay nag-intersect sa ikatlong tuwid na linya, ang mga crosswise na anggulo na nabuo ay pantay. Kaya, nalaman namin na ang AB || CD.

Nagawa naming patunayan na, sa kondisyon na ang dalawang patayo sa isang linya ay parallel, ayon sa kaukulang teorama, ang tanda ng parallel na linya ay halata.

Ang ikatlong tanda ng paralelismo

Mayroon ding ikatlong tanda ng paralelismo, na pinatunayan ng kabuuan ng isang panig na panloob na mga anggulo. Ang patunay na ito ng pag-sign ng parallelism ng mga linya ay nagpapahintulot sa amin na tapusin na ang dalawang linya ay magkatulad kung, kapag sila ay nag-intersect sa ikatlong linya, ang kabuuan ng mga resultang isang panig na panloob na mga anggulo ay magiging katumbas ng 2d. Tingnan ang Larawan 192.

Ang artikulong ito ay tungkol sa parallel lines at parallel lines. Una, ang kahulugan ng mga parallel na linya sa isang eroplano at sa espasyo ay ibinigay, ang mga notasyon ay ipinakilala, ang mga halimbawa at mga graphic na ilustrasyon ng mga parallel na linya ay ibinigay. Susunod, tinalakay ang mga palatandaan at kundisyon para sa paralelismo ng mga linya. Sa konklusyon, ang mga solusyon sa mga karaniwang problema ng pagpapatunay ng parallelism ng mga linya ay ipinapakita, na ibinibigay ng ilang mga equation ng isang linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano at sa three-dimensional na espasyo.

Pag-navigate sa pahina.

Parallel lines - pangunahing impormasyon.

Kahulugan.

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel, kung wala silang mga karaniwang puntos.

Kahulugan.

Dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo ang tinatawag parallel, kung nakahiga sila sa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Pakitandaan na ang sugnay na "kung nakahiga sila sa parehong eroplano" sa kahulugan ng mga parallel na linya sa kalawakan ay napakahalaga. Linawin natin ang puntong ito: ang dalawang linya sa three-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi magkatulad, ngunit intersecting.

Narito ang ilang mga halimbawa ng parallel lines. Ang kabaligtaran na mga gilid ng notebook sheet ay nakahiga sa mga parallel na linya. Ang mga tuwid na linya kung saan ang eroplano ng dingding ng bahay ay nagsalubong sa mga eroplano ng kisame at sahig ay magkatulad. Ang mga riles ng tren sa patag na lupa ay maaari ding ituring na magkatulad na linya.

Upang tukuyin ang mga parallel na linya, gamitin ang simbolo na "". Iyon ay, kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari nating maisulat sa madaling sabi ang isang b.

Pakitandaan: kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari nating sabihin na ang linya a ay kahanay ng linya b, at gayundin ang linyang b ay parallel sa linya a.

Ipahayag natin ang isang pahayag na gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-aaral ng mga parallel na linya sa isang eroplano: sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang partikular na linya, doon ay dumadaan sa nag-iisang tuwid na linya parallel sa ibinigay na isa. Ang pahayag na ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan (hindi ito mapapatunayan batay sa mga kilalang axioms ng planimetry), at ito ay tinatawag na axiom ng parallel lines.

Para sa kaso sa espasyo, ang teorama ay wasto: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong isang solong tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang theorem na ito ay madaling napatunayan gamit ang axiom sa itaas ng mga parallel na linya (makikita mo ang patunay nito sa geometry textbook para sa mga grade 10-11, na nakalista sa dulo ng artikulo sa listahan ng mga sanggunian).

Para sa kaso sa espasyo, ang teorama ay wasto: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong isang solong tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang theorem na ito ay madaling mapatunayan gamit ang parallel line axiom sa itaas.

Paralelismo ng mga linya - mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo.

Isang tanda ng paralelismo ng mga linya ay isang sapat na kondisyon para ang mga linya ay magkatulad, iyon ay, isang kondisyon na ang katuparan nito ay ginagarantiyahan na ang mga linya ay parallel. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat upang maitatag ang katotohanan na ang mga linya ay magkatulad.

Mayroon ding kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa parallelism ng mga linya sa isang eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.

Ipaliwanag natin ang kahulugan ng pariralang "kailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya."

Napag-usapan na namin ang sapat na kundisyon para sa mga parallel na linya. Ano ang isang "kinakailangang kondisyon para sa magkatulad na mga linya"? Mula sa pangalang "kailangan" ay malinaw na ang katuparan ng kundisyong ito ay kinakailangan para sa mga parallel na linya. Sa madaling salita, kung hindi natutugunan ang kinakailangang kondisyon para sa mga linya na magkatulad, kung gayon ang mga linya ay hindi magkatulad. kaya, kinakailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na linya ay isang kondisyon na ang katuparan nito ay parehong kinakailangan at sapat para sa magkatulad na linya. Iyon ay, sa isang banda, ito ay isang tanda ng paralelismo ng mga linya, at sa kabilang banda, ito ay isang pag-aari na mayroon ang mga parallel na linya.

Bago bumuo ng isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya, ipinapayong alalahanin ang ilang mga pantulong na kahulugan.

Secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang transversal, walong hindi pa nabubuo ang nabuo. Sa pagbabalangkas ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya, ang tinatawag na nakahiga crosswise, kaukulang At isang panig na anggulo. Ipakita natin sila sa drawing.

Teorama.

Kung ang dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ay intersected ng isang transversal, kung gayon para sa mga ito ay parallel ito ay kinakailangan at sapat na ang mga intersecting na mga anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees.

Ipakita natin ang isang graphic na paglalarawan ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa isang eroplano.

Makakahanap ka ng mga patunay ng mga kundisyong ito para sa paralelismo ng mga linya sa mga aklat-aralin sa geometry para sa mga baitang 7-9.

Tandaan na ang mga kundisyong ito ay maaari ding gamitin sa tatlong-dimensional na espasyo - ang pangunahing bagay ay ang dalawang tuwid na linya at ang secant ay nasa parehong eroplano.

Narito ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit upang patunayan ang paralelismo ng mga linya.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng pamantayang ito ay sumusunod mula sa axiom ng mga parallel na linya.

Mayroong katulad na kondisyon para sa mga parallel na linya sa tatlong-dimensional na espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa espasyo ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng pamantayang ito ay tinalakay sa mga aralin sa geometry sa ika-10 baitang.

Ilarawan natin ang mga nakasaad na theorems.

Ipakita natin ang isa pang teorama na nagpapahintulot sa atin na patunayan ang paralelismo ng mga linya sa isang eroplano.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay patayo sa isang ikatlong linya, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Mayroong katulad na teorama para sa mga linya sa espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa three-dimensional na espasyo ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Gumuhit tayo ng mga larawan na naaayon sa mga teorema na ito.

Ang lahat ng mga theorems, pamantayan at kinakailangan at sapat na mga kondisyon na binuo sa itaas ay mahusay para sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga linya gamit ang mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang parallelism ng dalawang ibinigay na mga linya, kailangan mong ipakita na sila ay kahanay sa isang ikatlong linya, o ipakita ang pagkakapantay-pantay ng mga crosswise lying angle, atbp. Maraming mga katulad na problema ang nalutas sa mga aralin sa geometry sa mataas na paaralan. Gayunpaman, dapat tandaan na sa maraming mga kaso ito ay maginhawa upang gamitin ang coordinate na paraan upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo. Bumuo tayo ng kailangan at sapat na mga kondisyon para sa parallelism ng mga linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system.

Sa talatang ito ng artikulo ay bubuo tayo kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga parallel na linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng mga equation na tumutukoy sa mga linyang ito, at magbibigay din kami ng mga detalyadong solusyon sa mga problemang katangian.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallelism ng dalawang tuwid na linya sa isang eroplano sa rectangular coordinate system na Oxy. Ang kanyang patunay ay batay sa kahulugan ng vector ng direksyon ng isang linya at ang kahulugan ng normal na vector ng isang linya sa isang eroplano.

Teorama.

Para magkaparehas ang dalawang linyang hindi magkatugma sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa normal. vector ng pangalawang linya.

Malinaw, ang kondisyon ng parallelism ng dalawang linya sa isang eroplano ay nabawasan sa (mga vector ng direksyon ng mga linya o normal na mga vector ng mga linya) o sa (vektor ng direksyon ng isang linya at normal na vector ng pangalawang linya). Kaya, kung at ay mga vector ng direksyon ng mga linya a at b, at At ay mga normal na vector ng mga linyang a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya a at b ay isusulat bilang , o , o , kung saan ang t ay ilang tunay na numero. Sa turn, ang mga coordinate ng mga gabay at (o) normal na mga vector ng mga linya a at b ay matatagpuan gamit ang mga kilalang equation ng mga linya.

Sa partikular, kung ang tuwid na linya a sa rectangular coordinate system ay tinukoy ng Oxy sa eroplano ang isang pangkalahatang straight line equation ng form , at tuwid na linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay may mga coordinate at, ayon sa pagkakabanggit, at ang kundisyon para sa parallelism ng mga linyang a at b ay isusulat bilang .

Kung ang linya a ay tumutugma sa equation ng isang linya na may isang angular na koepisyent ng anyo , at linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay may mga coordinate at , at ang kundisyon para sa parallelism ng mga linyang ito ay kumukuha ng anyo . Dahil dito, kung ang mga linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system ay parallel at maaaring tukuyin ng mga equation ng mga linya na may angular coefficients, kung gayon ang mga angular coefficient ng mga linya ay magiging pantay. At kabaligtaran: kung ang mga hindi magkakatulad na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga equation ng isang linya na may pantay na angular coefficients, kung gayon ang mga naturang linya ay magkatulad.

Kung ang isang linya a at isang linya b sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay tinutukoy ng mga canonical equation ng isang linya sa isang eroplano ng anyo At , o mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ng form At nang naaayon, ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay may mga coordinate at , at ang kundisyon para sa parallelism ng mga linyang a at b ay nakasulat bilang .

Tingnan natin ang mga solusyon sa ilang halimbawa.

Halimbawa.

Parallel ba ang mga linya? At ?

Solusyon.

Muli nating isulat ang equation ng isang linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation ng isang linya: . Ngayon ay makikita natin na ang normal na vector ng linya , a ay ang normal na vector ng linya. Ang mga vector na ito ay hindi collinear, dahil walang tunay na numero t kung saan ang pagkakapantay-pantay ( ). Dahil dito, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa isang eroplano ay hindi nasiyahan, samakatuwid, ang mga ibinigay na mga linya ay hindi parallel.

Sagot:

Hindi, ang mga linya ay hindi parallel.

Halimbawa.

Ang mga tuwid na linya ba ay parallel?

Solusyon.

Bawasan natin ang canonical equation ng isang straight line sa equation ng isang straight line na may angular coefficient: . Malinaw, ang mga equation ng mga linya at ay hindi pareho (sa kasong ito, ang mga ibinigay na linya ay magiging pareho) at ang mga angular coefficient ng mga linya ay pantay, samakatuwid, ang orihinal na mga linya ay magkatulad.

Pangalawang solusyon.

Una, ipinapakita namin na ang mga orihinal na linya ay hindi nag-tutugma: kumuha ng anumang punto sa linya, halimbawa, (0, 1), ang mga coordinate ng puntong ito ay hindi nakakatugon sa equation ng linya, samakatuwid, ang mga linya ay hindi nag-tutugma. Ngayon suriin natin ang katuparan ng kondisyon ng paralelismo ng mga linyang ito. Ang normal na vector ng isang linya ay ang vector, at ang direksyon ng vector ng linya ay ang vector. Kalkulahin natin at: . Dahil dito, ang mga vector at ay patayo, na nangangahulugan na ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga ibinigay na linya ay nasiyahan. Kaya, ang mga linya ay parallel.

Sagot:

Ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo, gamitin ang sumusunod na kinakailangan at sapat na kundisyon.

Teorama.

Para sa parallelism ng mga divergent na linya sa three-dimensional na espasyo, kinakailangan at sapat na ang kanilang mga vector ng direksyon ay collinear.

Kaya, kung ang mga equation ng mga linya sa isang rectangular coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo ay kilala at kailangan mong sagutin ang tanong kung ang mga linyang ito ay magkatulad o hindi, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga linyang ito at suriin ang katuparan ng kondisyon ng collinearity ng mga vector ng direksyon. Sa madaling salita, kung At - mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya may mga coordinate at . kasi , Yung . Kaya, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng dalawang linya sa espasyo ay nasiyahan. Pinatutunayan nito ang paralelismo ng mga linya At .

Bibliograpiya.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometry. Baitang 7 – 9: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometry. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng sekondaryang paaralan.
• Pogorelov A.V., Geometry. Teksbuk para sa mga baitang 7-11 sa pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mas mataas na matematika. Volume one: mga elemento ng linear algebra at analytical geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytic geometry.

klase: 2

Layunin ng aralin:

• bumuo ng konsepto ng parallelism ng 2 linya, isaalang-alang ang unang sign ng parallelism ng mga linya;
• bumuo ng kakayahang maglapat ng isang senyas kapag nilulutas ang mga problema.

Mga gawain:

1. Pang-edukasyon: pag-uulit at pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal, pagbuo ng konsepto ng parallelism ng 2 linya, patunay ng 1st sign ng parallelism ng 2 linya.
2. Pang-edukasyon: upang bumuo ng kakayahang tumpak na kumuha ng mga tala sa isang kuwaderno at sundin ang mga patakaran para sa pagbuo ng mga guhit.
3. Mga gawain sa pag-unlad: pag-unlad ng lohikal na pag-iisip, memorya, pansin.

Mga kagamitan sa aralin:

• multimedia projector;
• screen, mga presentasyon;
• mga kasangkapan sa pagguhit.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Pagbati, pagsuri sa kahandaan para sa aralin.

II. Paghahanda para sa aktibong UPD.

Stage 1.

Sa unang aralin sa geometry, tiningnan namin ang relatibong posisyon ng 2 tuwid na linya sa isang eroplano.

Tanong. Gaano karaming mga karaniwang punto ang maaaring magkatulad ang dalawang linya?
Sagot. Ang dalawang linya ay maaaring magkaroon ng isang karaniwang punto o walang isang karaniwang punto.

Tanong. Paano matatagpuan ang 2 tuwid na linya na may kaugnayan sa isa't isa kung mayroon silang isang karaniwang punto?
Sagot. Kung ang mga linya ay may isang karaniwang punto, pagkatapos ay magsalubong ang mga ito

Tanong. Paano matatagpuan ang 2 linya na may kaugnayan sa isa't isa kung wala silang mga karaniwang puntos?
Sagot. Pagkatapos sa kasong ito ang mga linyang ito ay hindi nagsalubong.

Stage 2.

Sa huling aralin, natanggap mo ang gawain ng paggawa ng isang pagtatanghal kung saan nakatagpo tayo ng mga di-nagsalubong na linya sa ating buhay at sa kalikasan. Ngayon ay titingnan natin ang mga presentasyong ito at pipiliin ang pinakamahusay. (Kabilang sa hurado ang mga mag-aaral na, dahil sa kanilang mababang katalinuhan, ay nahihirapang gumawa ng kanilang mga presentasyon.)

Tingnan ang mga presentasyon na ginawa ng mga mag-aaral: "Mga parallel na linya sa kalikasan at buhay", at piliin ang pinakamahusay.

III. Aktibong UPD (paliwanag ng bagong materyal).

Stage 1.

Larawan 1

Kahulugan. Ang dalawang linya sa isang eroplano na hindi nagsalubong ay tinatawag na parallel.

Ang talahanayan na ito ay nagpapakita ng iba't ibang mga kaso ng pag-aayos ng 2 parallel na linya sa isang eroplano.

Isaalang-alang natin kung aling mga segment ang magiging parallel.

Figure 2

1) Kung ang linya a ay parallel sa b, ang mga segment na AB at CD ay parallel.

2) Ang isang segment ay maaaring maging parallel sa isang tuwid na linya. Kaya ang segment na MN ay parallel sa linya a.

Larawan 3

3) Ang Segment AB ay kahanay ng ray h. Ray h ay parallel sa ray k.

4) Kung ang linya a ay patayo sa linya c, at ang linya b ay patayo sa linya c, kung gayon ang mga linya a at b ay parallel.

Stage 2.

Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang parallel na linya at isang transversal.

Larawan 4

Dalawang magkatulad na linya ang nagsalubong sa ikatlong linya sa dalawang punto. Sa kasong ito, walong anggulo ang nabuo, na ipinahiwatig ng mga numero sa figure.

May mga espesyal na pangalan ang ilang pares ng mga anggulong ito (tingnan ang Larawan 4).

Umiiral tatlong palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya nauugnay sa mga anggulong ito. Sa araling ito ay titingnan natin unang tanda.

Stage 3.

Ulitin natin ang materyal na kinakailangan upang patunayan ang tampok na ito.

Larawan 5

Tanong. Ano ang mga pangalan ng mga anggulo na ipinapakita sa Figure 5?
Sagot. Ang mga anggulo AOC at COB ay tinatawag na magkatabi.

Tanong. Anong mga anggulo ang tinatawag na magkatabi? Magbigay ng kahulugan.
Sagot. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad at ang dalawa pa ay mga extension ng bawat isa.

Tanong. Anong mga katangian ang mayroon ang mga katabing anggulo?
Sagot. Ang mga katabing anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees.
AOC + COB = 180°

Tanong. Ano ang tawag sa mga anggulo 1 at 2?
Sagot. Ang mga anggulo 1 at 2 ay tinatawag na patayo.

Tanong. Anong mga katangian ang mayroon ang mga patayong anggulo?
Sagot. Ang mga patayong anggulo ay katumbas ng bawat isa.

Stage 4.

Patunay ng unang tanda ng paralelismo.

Teorama. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa crosswise, ang mga anggulo na kasangkot ay pantay, kung gayon ang mga linya ay parallel.

Larawan 6

Ibinigay: Ang a at b ay mga tuwid na linya
AB – secant
1 = 2
Patunayan: a//b.

1st case.

Larawan 7

Kung ang 1 at 2 ay mga tuwid na linya, kung gayon ang a ay patayo sa AB, at ang b ay patayo sa AB, pagkatapos ay a//b.

ika-2 kaso.

Larawan 8

Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang 1 at 2 ay hindi mga tuwid na linya. Hatiin ang segment AB sa kalahati sa pamamagitan ng punto O.

Tanong. Ano ang mga haba ng mga segment na AO at OB?
Sagot. Ang mga segment na AO at OB ay pantay ang haba.

1) Mula sa punto O gumuhit kami ng isang patayo sa linya a, ang OH ay patayo sa a.

Tanong. Ano ang magiging anggulo 3?
Sagot. Angle 3 ay magiging tama.

2) Mula sa punto A sa tuwid na linya b gumuhit kami gamit ang isang compass ang segment AN 1 = ВН.

3) Iguhit natin ang segment na OH 1.

Tanong. Anong mga tatsulok ang nabuo bilang resulta ng patunay?
Sagot. Triangle ONV at triangle OH 1 A.

Patunayan natin na sila ay pantay.

Tanong. Aling mga anggulo ang pantay ayon sa theorem?
Sagot. Ang anggulo 1 ay katumbas ng anggulo 2.

Tanong. Aling mga panig ang pantay sa pagtatayo.
Sagot. AO = OV at AN 1 = VN

Tanong. Sa anong batayan ang mga tatsulok ay magkatugma?
Sagot. Ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila (ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok).

Tanong. Anong pag-aari ang mayroon ang mga congruent triangles?
Sagot. Sa pantay na tatsulok, ang mga pantay na anggulo ay nasa tapat ng magkabilang panig.

Tanong. Anong mga anggulo ang magiging pantay?
Sagot. 5 = 6, 3 = 4.

Tanong. Ano ang mga pangalan ng 5 at 6?
Sagot. Ang mga anggulong ito ay tinatawag na patayo.

Ito ay sumusunod mula dito na ang mga punto: H 1, O, H ay nasa parehong tuwid na linya.
kasi 3 ay tuwid, at 3 = 4, pagkatapos 4 ay tuwid.

Tanong. Paano matatagpuan ang mga tuwid na linya a at b na may kaugnayan sa tuwid na linya НН 1, kung ang mga anggulo 3 at 4 ay tama?
Sagot. Ang mga linya a at b ay patayo sa HH 1.

Tanong. Ano ang masasabi natin tungkol sa dalawang patayo sa isang linya?
Sagot. Dalawang patayo sa isang linya ay parallel.

Kaya, a//b. Ang teorama ay napatunayan.

Ngayon ay uulitin ko ang buong patunay mula sa simula, at pakikinggan mo akong mabuti at susubukan mong unawain at alalahanin ang lahat.

IV. Pagsasama-sama ng bagong materyal.

Magtrabaho sa mga pangkat na may iba't ibang antas ng pagbuo ng katalinuhan, na sinusundan ng pagsubok sa screen at sa board. 3 mag-aaral ang nagtatrabaho sa pisara (isa mula sa bawat pangkat).

№1 (para sa mga mag-aaral na may pinababang antas ng intelektwal na pag-unlad).

Ibinigay: ang a at b ay tuwid
c – secant
1 = 37°
7 = 143°
Patunayan: a//b.

Solusyon.

7 = 6 (vertical) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (katabing) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143°, at ang mga ito ay nakahiga nang crosswise a//b 5 = 48°, 3 at 5 ay mga crosswise na anggulo, sila ay katumbas ng a//b.

Larawan 11

V. Buod ng aralin.

Binubuod ang aralin gamit ang Mga Larawan 1-8.

Ang mga aktibidad ng mga mag-aaral sa aralin ay tinasa (bawat mag-aaral ay tumatanggap ng kaukulang emoticon).

Takdang aralin: magturo – pp. 52-53; lutasin ang No. 186 (b, c).

Ang parallelism ay isang napaka-kapaki-pakinabang na katangian sa geometry. Sa totoong buhay, ginagawang posible ng mga magkatulad na panig na lumikha ng magagandang, simetriko na mga bagay na nakalulugod sa anumang mata, kaya ang geometry ay palaging nangangailangan ng mga paraan upang suriin ang paralelismong ito. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga palatandaan ng magkatulad na linya sa artikulong ito.

Kahulugan para sa paralelismo

I-highlight natin ang mga kahulugan na kailangan mong malaman upang patunayan ang mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya.

Ang mga linya ay tinatawag na parallel kung wala silang mga punto ng intersection. Bilang karagdagan, sa mga solusyon, ang mga parallel na linya ay karaniwang pinagsama sa isang secant na linya.

Ang secant line ay isang linya na nagsasalubong sa magkatulad na linya. Sa kasong ito, nabuo ang cross lying, kaukulang at isang panig na anggulo. Ang mga pares ng mga anggulo 1 at 4 ay maghihiga ng crosswise; 2 at 3; 8 at 6; 7 at 5. Ang mga katumbas ay magiging 7 at 2; 1 at 6; 8 at 4; 3 at 5.

One-sided 1 at 2; 7 at 6; 8 at 5; 3 at 4.

Kapag na-format nang tama, ito ay nakasulat: "Mga anggulo ng pagtawid para sa dalawang magkatulad na linya a at b at isang secant c," dahil para sa dalawang magkatulad na linya ay maaaring magkaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga secant, kaya kinakailangang ipahiwatig kung aling secant ang ibig mong sabihin.

Gayundin, para sa patunay, kakailanganin mo ang panlabas na anggulo na theorem ng isang tatsulok, na nagsasaad na ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang anggulo ng isang tatsulok na hindi katabi nito.

Palatandaan

Ang lahat ng mga palatandaan ng magkatulad na linya ay batay sa kaalaman sa mga katangian ng mga anggulo at ang teorama sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok.

Lagda 1

Dalawang linya ay parallel kung ang mga intersecting na anggulo ay pantay.

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya a at b na may secant c. Ang mga crosswise na anggulo 1 at 4 ay pantay. Ipagpalagay natin na ang mga linya ay hindi parallel. Nangangahulugan ito na ang mga linya ay nagsalubong at dapat mayroong intersection point na M. Pagkatapos ay nabuo ang isang tatsulok na ABM na may panlabas na anggulo 1. Ang panlabas na anggulo ay dapat na katumbas ng kabuuan ng mga anggulo 4 at ABM bilang hindi katabi nito ayon sa theorem sa panlabas na anggulo sa isang tatsulok. Ngunit pagkatapos ay lumalabas na ang anggulo 1 ay mas malaki kaysa sa anggulo 4, at ito ay sumasalungat sa mga kondisyon ng problema, na nangangahulugan na ang puntong M ay hindi umiiral, ang mga linya ay hindi nagsalubong, iyon ay, sila ay magkatulad.

kanin. 1. Pagguhit para sa patunay.

Lagda 2

Dalawang linya ay parallel kung ang mga katumbas na anggulo sa transversal ay pantay.

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya a at b na may secant c. Ang mga katumbas na anggulo 7 at 2 ay pantay. Bigyang-pansin natin ang anggulo 3. Ito ay patayo sa anggulo 7. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo 7 at 3 ay pantay. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo 3 at 2 ay pantay din, dahil<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

kanin. 2. Pagguhit para sa patunay.

Palatandaan 3

Dalawang linya ay parallel kung ang kabuuan ng kanilang isang panig na anggulo ay 180 degrees.

kanin. 3. Pagguhit para sa patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya a at b na may secant c. Ang kabuuan ng isang panig na anggulo 1 at 2 ay katumbas ng 180 degrees. Bigyang-pansin natin ang mga anggulo 1 at 7. Magkatabi sila. Yan ay:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Ibawas ang pangalawa sa unang expression:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Ano ang natutunan natin?

Sinuri namin nang detalyado kung anong mga anggulo ang nakuha kapag pinuputol ang mga parallel na linya na may ikatlong linya, nakilala at inilarawan nang detalyado ang patunay ng tatlong mga palatandaan ng magkatulad na linya.

Pagsubok sa paksa

Rating ng artikulo

Average na rating: 4.1. Kabuuang mga rating na natanggap: 220.

1. Ang unang tanda ng paralelismo.

Kung, kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang ikatlo, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa crosswise ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel.

Hayaang mag-intersect ang mga linyang AB at CD ng linyang EF at ∠1 = ∠2. Kunin natin ang punto O - ang gitna ng segment KL ng secant EF (Fig.).

Ibaba natin ang perpendikular na OM mula sa punto O papunta sa linyang AB at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa linyang CD, AB ⊥ MN. Patunayan natin na ang CD ⊥ MN.

Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang tatsulok: MOE at NOK. Ang mga tatsulok na ito ay katumbas ng bawat isa. Sa katunayan: ∠1 = ∠2 ayon sa theorem; ОK = ОL - sa pamamagitan ng pagtatayo;

∠MOL = ∠NOK, tulad ng mga patayong anggulo. Kaya, ang gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isa pang tatsulok; samakatuwid, ΔMOL = ΔNOK, at samakatuwid ∠LMO = ∠KNO,
ngunit ang ∠LMO ay tuwid, na ang ibig sabihin ay ∠KNO ay tuwid din. Kaya, ang mga linya ng AB at CD ay patayo sa parehong linya MN, samakatuwid, ang mga ito ay parallel, na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Tandaan. Ang intersection ng mga tuwid na linya MO at CD ay maaaring itatag sa pamamagitan ng pag-ikot ng tatsulok na MOL sa paligid ng punto O ng 180°.

2. Ang pangalawang tanda ng paralelismo.

Tingnan natin kung ang mga tuwid na linya na AB at CD ay magkatulad kung, kapag nag-intersect ang mga ito sa ikatlong tuwid na linya EF, ang mga katumbas na anggulo ay pantay.

Hayaang magkapantay ang ilang kaukulang mga anggulo, halimbawa ∠ 3 = ∠2 (Fig.);

∠3 = ∠1, bilang mga patayong anggulo; nangangahulugan ito na ang ∠2 ay magiging katumbas ng ∠1. Ngunit ang mga anggulo 2 at 1 ay nagsasalubong sa mga panloob na anggulo, at alam na natin na kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa pangatlo, ang mga intersecting na anggulo sa loob ay magkapareho, kung gayon ang mga linyang ito ay magkatulad. Samakatuwid AB || CD.

Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang ikatlo, ang mga katumbas na anggulo ay pantay, kung gayon ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

Ang pagtatayo ng mga parallel na linya gamit ang isang ruler at isang drawing triangle ay batay sa property na ito. Ginagawa ito bilang mga sumusunod.

Ikabit natin ang tatsulok sa ruler tulad ng ipinapakita sa Fig. Ililipat namin ang tatsulok upang ang isa sa mga gilid nito ay dumulas sa kahabaan ng ruler, at gumuhit kami ng ilang tuwid na linya kasama ang ibang panig ng tatsulok. Magiging parallel ang mga linyang ito.

3. Ang ikatlong tanda ng paralelismo.

Ipaalam sa amin na kapag ang dalawang tuwid na linya na AB at CD ay nagsalubong sa ikatlong tuwid na linya, ang kabuuan ng anumang panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d(o 180°). Magiging parallel ba ang mga tuwid na linyang AB at CD sa kasong ito (Fig.).

Hayaang ang ∠1 at ∠2 ay panloob na isang panig na anggulo at magdagdag ng hanggang 2 d.

Ngunit ∠3 + ∠2 = 2 d bilang magkatabing mga anggulo. Samakatuwid, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Kaya naman ∠1 = ∠3, at ang mga panloob na anggulo na ito ay nakahiga sa crosswise. Samakatuwid AB || CD.

Kung, kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d (o 180°), kung gayon ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

Mga palatandaan ng magkatulad na linya:

1. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang ikatlo, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa crosswise ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel.

2. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang ikatlo, ang mga katumbas na anggulo ay pantay, kung gayon ang dalawang linyang ito ay parallel.

3. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa ikatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

4. Kung ang dalawang linya ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

5. Kung ang dalawang linya ay patayo sa isang pangatlong linya, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

Euclid's Axiom of Parallelism

Gawain. Sa pamamagitan ng isang puntong M na kinuha sa labas ng linyang AB, gumuhit ng isang linya na kahanay sa linyang AB.

Gamit ang napatunayang theorems sa mga palatandaan ng parallelism ng mga linya, ang problemang ito ay malulutas sa iba't ibang paraan,

Solusyon. 1st step (drawing 199).

Gumuhit kami ng MN⊥AB at sa pamamagitan ng punto M gumuhit kami ng CD⊥MN;

nakakakuha kami ng CD⊥MN at AB⊥MN.

Batay sa theorem ("Kung ang dalawang linya ay patayo sa parehong linya, kung gayon sila ay parallel.") napagpasyahan namin na ang CD || AB.

2nd method (drawing 200).

Gumuhit kami ng isang MK intersecting AB sa anumang anggulo α, at sa pamamagitan ng punto M gumuhit kami ng isang tuwid na linya EF, na bumubuo ng isang anggulo EMK na may tuwid na linya ng MK na katumbas ng anggulo α. Batay sa Theorem (), napagpasyahan namin na ang EF || AB.

Nang malutas ang problemang ito, maaari nating isaalang-alang na napatunayan na sa pamamagitan ng anumang puntong M na kinuha sa labas ng tuwid na linya AB, posible na gumuhit ng isang tuwid na linya na kahanay nito. Ang tanong ay lumitaw: gaano karaming mga linya ang kahanay sa isang naibigay na linya at dumadaan sa isang naibigay na punto ang maaaring umiiral?

Ang pagsasagawa ng konstruksiyon ay nagpapahintulot sa amin na ipagpalagay na mayroon lamang isang tulad na tuwid na linya, dahil sa isang maingat na pagguhit, ang mga tuwid na linya ay iginuhit sa iba't ibang paraan sa pamamagitan ng parehong punto na kahanay sa parehong tuwid na linya ay pinagsama.

Sa teorya, ang sagot sa tanong na ibinibigay ay ibinigay ng tinatawag na parallelism axiom ng Euclid; ito ay nabuo tulad ng sumusunod:

Sa pamamagitan ng isang puntong kinuha sa labas ng isang naibigay na linya, isang linya lamang ang maaaring iguhit parallel sa linyang ito.

Sa pagguhit 201, ang isang tuwid na linyang SC ay iginuhit sa punto O, kahanay ng tuwid na AB.

Anumang iba pang linya na dumadaan sa punto O ay hindi na magiging parallel sa linya AB, ngunit magsalubong dito.

Ang axiom na pinagtibay ni Euclid sa kanyang Mga Elemento, na nagsasaad na sa isang eroplano, sa pamamagitan ng isang puntong kinuha sa labas ng isang linya, isang tuwid na linya lamang ang maaaring iguhit na kahanay ng linyang ito, ay tinatawag na Euclid's axiom of parallelism.

Mahigit dalawang libong taon pagkatapos ng Euclid, sinubukan ng maraming mathematician na patunayan ang proposisyong ito sa matematika, ngunit ang kanilang mga pagtatangka ay palaging hindi matagumpay. Noong 1826 lamang, pinatunayan ng mahusay na siyentipikong Ruso, propesor sa Unibersidad ng Kazan na si Nikolai Ivanovich Lobachevsky na gamit ang lahat ng iba pang mga axiom ng Euclid, ang panukalang matematika na ito ay hindi mapapatunayan, na dapat talaga itong tanggapin bilang isang axiom. Lumikha si N.I. Lobachevsky ng isang bagong geometry, na, sa kaibahan sa geometry ng Euclid, ay tinatawag na Lobachevsky geometry.