Geometrically o geometrically. Geometric na pag-unlad. Komprehensibong gabay na may mga halimbawa (2020). Bakit kailangan ang geometric progression at ang kasaysayan nito?

Isaalang-alang natin ang isang tiyak na serye.

7 28 112 448 1792...

Ito ay ganap na malinaw na ang halaga ng alinman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Nangangahulugan ito na ang seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang isang geometric na pag-unlad ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami ng isang tiyak na numero. Ito ay ipinahayag ng sumusunod na pormula.

a z +1 =a z ·q, kung saan ang z ay ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, ang z ∈ N.

Ang panahon kung kailan pinag-aaralan ang geometric progression sa paaralan ay ika-9 na baitang. Tutulungan ka ng mga halimbawa na maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa formula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Ang alinman sa q o b z ay hindi maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat katumbas ng zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa isang serye, kailangan mong i-multiply ang huli sa q.

Upang itakda ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang unang elemento at denominator nito. Pagkatapos nito, posibleng mahanap ang alinman sa mga kasunod na termino at ang kanilang kabuuan.

Mga uri

Depende sa q at a 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang uri:

• Kung pareho ang isang 1 at q ay mas malaki sa isa, kung gayon ang gayong pagkakasunod-sunod ay isang geometric na pag-unlad na tumataas sa bawat kasunod na elemento. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =3, q=2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung |q| ay mas mababa sa isa, iyon ay, ang pagpaparami nito ay katumbas ng paghahati, pagkatapos ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang bumababa na geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ay mas malaki kaysa sa isa, q ay mas mababa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elementong sumusunod dito.

• Alternating sign. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: a 1 = -3, q = -2 - parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad nito:

3, 6, -12, 24,...

Mga formula

Mayroong maraming mga formula para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad:

• Z-term na formula. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang isang elemento sa ilalim ng isang partikular na numero nang hindi kinakalkula ang mga nakaraang numero.

Halimbawa:q = 3, a 1 = 4. Kinakailangang bilangin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang dami ay katumbas ng z. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng elemento ng isang sequence hanggang saisang zkasama.

Mula noong (1-q) ay nasa denominator, pagkatapos ay (1 - q)≠ 0, samakatuwid ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q=1, kung gayon ang pag-unlad ay isang serye ng mga numerong walang katapusan na umuulit.

Kabuuan ng geometric progression, mga halimbawa:a 1 = 2, q= -2. Kalkulahin ang S5.

Solusyon:S 5 = 22 - pagkalkula gamit ang formula.

• Halaga kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Halimbawa:a 1 = 2 , q= 0.5. Hanapin ang halaga.

Solusyon:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ilang pag-aari:

• Katangiang ari-arian. Kung ang sumusunod na kondisyon gumagana para sa alinmanz, kung gayon ang ibinigay na serye ng numero ay isang geometric na pag-unlad:

isang z 2 = isang z -1 · az+1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang numero sa isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang dalawang iba pang mga numero sa isang naibigay na serye, kung ang mga ito ay katumbas ng layo mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 , Saant- ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito.

• Mga elementonaiiba sa qminsan.
• Ang logarithms ng mga elemento ng isang progression ay bumubuo rin ng isang progression, ngunit isang aritmetika, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang tiyak na numero.

Mga halimbawa ng ilang klasikong problema

Upang mas maunawaan kung ano ang isang geometric na pag-unlad, makakatulong ang mga halimbawa na may mga solusyon para sa klase 9.

• Kundisyon:a 1 = 3, a 3 = 48. Hanapinq.

Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna saq minsan.Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang ilang mga elemento sa mga tuntunin ng iba gamit ang isang denominator.

Kaya naman,a 3 = q 2 · a 1

Kapag nagpapalitq= 4

• Kundisyon:a 2 = 6, a 3 = 12. Kalkulahin ang S 6.

Solusyon:Upang gawin ito, hanapin lamang ang q, ang unang elemento at palitan ito sa formula.

a 3 = q· a 2 , samakatuwid,q= 2

a 2 = q · isang 1,kaya lang a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Hanapin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon: upang gawin ito, sapat na upang ipahayag ang ikaapat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Halimbawa ng aplikasyon:

• Ang isang kliyente sa bangko ay nagdeposito sa halagang 10,000 rubles, sa ilalim ng mga tuntunin kung saan bawat taon ang kliyente ay magkakaroon ng 6% nito na idinagdag sa pangunahing halaga. Magkano ang pera sa account pagkatapos ng 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Nangangahulugan ito na isang taon pagkatapos ng pamumuhunan ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account pagkatapos ng isa pang taon ay ihahayag tulad ng sumusunod:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Iyon ay, bawat taon ang halaga ay tumataas ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng mga pondo sa account pagkatapos ng 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ikaapat na elemento ng pag-unlad, na ibinibigay ng unang elemento na katumbas ng 10 libo at ang denominator na katumbas ng 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Mga halimbawa ng mga problema sa pagkalkula ng kabuuan:

Ginagamit ang geometric progression sa iba't ibang problema. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:

a 1 = 4, q= 2, kalkulahinS 5.

Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang na palitan ang mga ito sa formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na elemento.

Solusyon:

Sa geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa nauna, iyon ay, upang kalkulahin ang kabuuan na kailangan mong malaman ang elementoa 1 at denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Katulad nito, kailangan mong hanapina 1 , alama 2 Atq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Aralin sa paksa "Walang katapusan na bumababa ng geometric na pag-unlad"

Layunin ng aralin: pagpapakilala sa mga mag-aaral sa isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Mga gawain:

pagbabalangkas ng isang paunang ideya ng limitasyon ng isang numerical sequence; kakilala sa isa pang paraan upang i-convert ang mga infinite periodic fraction sa ordinaryo gamit ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric progression;

pag-unlad ng mga intelektwal na katangian ng personalidad ng mga mag-aaral tulad ng lohikal na pag-iisip, kakayahang gumawa ng mga aksyong pagsusuri, at paglalahat;

pagpapaunlad ng aktibidad, pagtulong sa isa't isa, kolektibismo, at interes sa paksa.

Kagamitan: klase ng kompyuter, projector, screen.

Uri ng aralin: aralin - pag-aaral ng bagong paksa.

Sa panahon ng mga klase

ako . Org. sandali. Sabihin ang paksa at layunin ng aralin.

II . Pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral.1. Pagsusuri ng takdang-aralin.

1) Sinusuri ang mga pangunahing formula na nauugnay sa mga pag-unlad ng aritmetika at geometriko. Dalawang estudyante ang naghahanda ng mga tala sa mga formula sa pisara.

2) Ang iba pang mga mag-aaral ay gumagawa mathematical dictation sa paksang "Sum Formulas".

Mga gawain:

№1. Hanapin ang kabuuan ng unang limang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic kung ang unang termino nito ay 6 (1st option), -20 (2nd option), at ang ikalimang termino ay -6 (1st option), 20 (2nd option).

№2. Hanapin ang kabuuan ng unang limang termino ng isang arithmetic progression kung ang unang termino nito ay -20 (1st option), 6 (2nd option), at ang pagkakaiba ay 10 (1st option), -3 (2nd option).

№3. Hanapin ang kabuuan ng unang limang termino ng isang geometric progression kung ang unang termino nito ay katumbas ng 1 (1st option), -1 (2nd option), at ang denominator ay -2 (1st option), 2 (2nd option).

Sa pagtatapos ng pagdidikta, ang gawain ng dalawang mag-aaral ay piling sinusuri para sa pagtatasa, ang iba ay nagsasagawa ng self-test gamit ang mga handa na solusyon na nakasulat sa mga flap ng pisara.

Mga solusyon:

Mga gawain

1. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng formula a n = 7 – 4 n. Hanapin a 10 . (-33)

2. Sa pag-unlad ng arithmetic a 3 = 7 At a 5 = 1 . Hanapin a 4 . (4)

3. Sa arithmetic progression a 3 = 7 At a 5 = 1 . Hanapin a 17 . (-35)

4. Sa arithmetic progression a 3 = 7 At a 5 = 1 . Hanapin S 17 . (-187)

5. Para sa geometric progression
hanapin ang ikalimang termino.

6. Para sa geometric progression
hanapin n ika miyembro.

7. Exponentially b 3 = 8 At b 5 = 2 . Hanapin b 4 . (4)

8. Exponentially b 3 = 8 At b 5 = 2 . Hanapin b 1 At q .

9. Exponentially b 3 = 8 At b 5 = 2 . Hanapin S 5 . (62)

III . Pag-aaral ng bagong paksa(pagpapakita ng pagtatanghal).

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Gumuhit tayo ng isa pang parisukat na ang gilid ay kalahati ng laki ng unang parisukat, pagkatapos ay isa pa na ang panig ay kalahati ng pangalawa, pagkatapos ay ang susunod, atbp. Sa bawat oras na ang gilid ng bagong parisukat ay katumbas ng kalahati ng nauna.

Bilang resulta, nakatanggap kami ng pagkakasunod-sunod ng mga gilid ng mga parisukat bumubuo ng isang geometric na progression na may denominator .

At, kung ano ang napakahalaga, kapag mas marami tayong bubuo ng gayong mga parisukat, magiging mas maliit ang gilid ng parisukat. Halimbawa,

Yung. Habang tumataas ang bilang n, ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lumalapit sa zero.

Gamit ang figure na ito, maaari mong isaalang-alang ang isa pang pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang pagkakasunud-sunod ng mga lugar ng mga parisukat:

. At, muli, kung n tataas nang walang katiyakan, pagkatapos ay lalapit sa zero ang lugar hangga't gusto mo.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Isang equilateral triangle na may mga gilid na katumbas ng 1 cm. Buuin natin ang sumusunod na tatsulok na may mga vertices sa mga midpoint ng mga gilid ng 1st triangle, ayon sa theorem tungkol sa midline ng triangle - ang gilid ng 2nd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng una, ang gilid ng 3rd ay katumbas ng kalahati ng gilid ng ika-2, atbp. Muli naming nakuha ang isang pagkakasunud-sunod ng mga haba ng mga gilid ng triangles.

sa
.

Kung isasaalang-alang natin ang isang geometric na pag-unlad na may negatibong denominator.

Pagkatapos, muli, sa pagtaas ng mga numero n mga tuntunin ng pag-unlad na approach zero.

Bigyang-pansin natin ang mga denominador ng mga sequence na ito. Saanman ang mga denominator ay mas mababa sa 1 sa ganap na halaga.

Maaari nating tapusin: ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa 1.

Pangharap na gawain.

Kahulugan:

Ang isang geometric na pag-unlad ay sinasabing walang katapusan na bumababa kung ang modulus ng denominator nito ay mas mababa sa isa.
.

Gamit ang kahulugan, maaari kang magpasya kung ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa o hindi.

Gawain

Ang sequence ba ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad kung ito ay ibinigay ng formula:

;
.

Solusyon:

. Hahanapin natin q .

;
;
;
.

ang geometric na pag-unlad na ito ay walang katapusan na bumababa.

b) ang sequence na ito ay hindi isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1. Hatiin ito sa kalahati, isa sa mga halves sa kalahati, atbp. Ang mga lugar ng lahat ng nagresultang mga parihaba ay bumubuo ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad:

Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga parihaba na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng lugar ng 1st square at katumbas ng 1.

Ngunit sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino.

Isaalang-alang natin ang kabuuan ng unang n termino.

Ayon sa formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad, ito ay katumbas ng .

Kung n tumataas nang walang limitasyon, kung gayon

o
. kaya lang
, ibig sabihin.
.

Kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad may sequence limit S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Halimbawa, para sa pag-unlad
,

kasi

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay matatagpuan gamit ang formula
.

III . Pag-unawa at pagpapatatag(pagkumpleto ng mga gawain).

Gawain Blg. 2. Hanapin ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na ang unang termino ay 3 at ang pangalawang termino ay 0.3.

Solusyon:

Gawain Blg. 3. aklat-aralin, p. 160, Blg. 433(1)

Hanapin ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad:

Solusyon:

Gawain Blg. 4. Isulat ang infinite periodic decimal fraction 0,(5) bilang common fraction.

1st method. Hayaang x=0,(5)= 0.555... / 10 2nd method. 0,(5)=0.555…=

Gawain Blg. 5. aklat-aralin, p. 162, Blg. 445(3) (independiyenteng solusyon)

Isulat ang walang katapusang periodic decimal fraction 0,(12) bilang common fraction.

Sagot: 0,(12)= 4/33.

IV . Pagbubuod.

Anong sequence ang nakilala mo ngayon?

Tukuyin ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Paano patunayan na ang isang geometric na pag-unlad ay walang katapusan na bumababa?

Ibigay ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

V . Takdang aralin.

Ang geometric progression ay isang numerical sequence, ang unang termino ay non-zero, at ang bawat kasunod na termino ay katumbas ng nakaraang term na pinarami ng parehong non-zero na numero. Ang geometric na pag-unlad ay tinutukoy ng b1,b2,b3, …, bn, …

Mga katangian ng geometric na pag-unlad

Ang ratio ng anumang termino ng geometric error sa nakaraang termino nito ay katumbas ng parehong numero, iyon ay, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ito ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan ng isang arithmetic progression. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad. Karaniwan ang denominator ng isang geometric na pag-unlad ay tinutukoy ng titik q.

Isa sa mga paraan upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad ay upang tukuyin ang unang termino nito b1 at ang denominator ng geometric error q. Halimbawa, b1=4, q=-2. Tinutukoy ng dalawang kundisyong ito ang geometric progression 4, -8, 16, -32, ….

Kung ang q>0 (q ay hindi katumbas ng 1), kung gayon ang pag-unlad ay isang monotonic sequence. Halimbawa, ang sequence, 2, 4,8,16,32, ... ay isang monotonically increase sequence (b1=2, q=2).

Kung ang denominator sa geometric na error ay q=1, kung gayon ang lahat ng mga termino ng geometric na pag-unlad ay magiging katumbas ng bawat isa. Sa ganitong mga kaso, ang pag-unlad ay sinasabing isang pare-parehong pagkakasunud-sunod.

Formula para sa ika-n na termino ng pag-unlad

Upang ang isang pagkakasunud-sunod ng numero (bn) ay maging isang geometric na pag-unlad, kinakailangan na ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay ang geometric na mean ng mga kalapit na miyembro. Iyon ay, kinakailangan upang matupad ang sumusunod na equation - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para sa anumang n>0, kung saan ang n ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero N.

Ang formula para sa ika-n na termino ng geometric progression ay:

bn=b1*q^(n-1), kung saan ang n ay kabilang sa set ng mga natural na numero N.

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Sa geometric progression b1=6, q=3, n=8 hanapin ang bn.

Gamitin natin ang formula para sa ika-n na termino ng isang geometric na pag-unlad.

Ang geometric progression ay isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod ng numero na malapit na nating makilala. Para sa matagumpay na pakikipag-date, hindi masakit na malaman at maunawaan man lang. Pagkatapos ay walang magiging problema sa geometric progression.)

Ano ang geometric progression? Ang konsepto ng geometric progression.

Sinimulan namin ang paglilibot, gaya ng dati, gamit ang mga pangunahing kaalaman. Sumulat ako ng hindi natapos na pagkakasunud-sunod ng mga numero:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Maaari mo bang makita ang pattern at sabihin kung aling mga numero ang susunod na darating? Malinaw ang paminta, pagkatapos ay susunod ang mga numerong 100,000, 1,000,000 at iba pa. Kahit na walang labis na pagsisikap sa pag-iisip, ang lahat ay malinaw, tama?)

OK. Isa pang halimbawa. Sinusulat ko ang pagkakasunud-sunod na ito:

1, 2, 4, 8, 16, …

Masasabi mo ba kung aling mga numero ang susunod, kasunod ng numero 16, at pangalan ikawalo miyembro ng sequence? Kung naisip mo na ito ay ang numerong 128, kung gayon napakahusay. Kaya, kalahati ng labanan ay nasa pag-unawa kahulugan At pangunahing puntos nagawa na ang geometric progression. Maaari kang lumago pa.)

At ngayon lumipat kami muli mula sa mga sensasyon hanggang sa mahigpit na matematika.

Mga pangunahing punto ng geometric na pag-unlad.

Pangunahing Punto #1

Ang geometric progression ay pagkakasunod-sunod ng mga numero. Gayundin ang pag-unlad. Walang magarbong. Tanging ang pagkakasunod-sunod na ito ay nakaayos iba. Kaya, natural, mayroon itong ibang pangalan, oo...

Pangunahing Punto #2

Sa pangalawang pangunahing punto, ang tanong ay magiging mas nakakalito. Bumalik tayo ng kaunti at tandaan ang pangunahing katangian ng pag-unlad ng arithmetic. Heto na: iba ang bawat miyembro sa nauna sa parehong halaga.

Posible bang magbalangkas ng isang katulad na pangunahing pag-aari para sa isang geometric na pag-unlad? Mag-isip ng kaunti... Tingnang mabuti ang mga halimbawang ibinigay. nahulaan mo ba? Oo! Sa geometric progression (anuman!) Ang bawat miyembro nito ay naiiba sa nauna ang parehong bilang ng beses. Laging!

Sa unang halimbawa, ang bilang na ito ay sampu. Alinmang miyembro ng sequence ang kukunin mo, mas malaki ito kaysa sa nauna sampung beses.

Sa pangalawang halimbawa ito ay dalawa: ang bawat termino ay mas malaki kaysa sa nauna dalawang beses.

Ito ang pangunahing punto na ang geometric progression ay naiiba sa arithmetic progression. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang bawat kasunod na termino ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ang parehong halaga sa nakaraang termino. At dito - pagpaparami ang nakaraang termino sa parehong halaga. Iyon ang buong pagkakaiba.)

Pangunahing Punto #3

Ang pangunahing puntong ito ay ganap na magkapareho sa para sa isang pag-unlad ng aritmetika. Namely: Ang bawat miyembro ng isang geometric progression ay nakatayo sa lugar nito. Ang lahat ay eksaktong kapareho ng sa pag-unlad ng aritmetika at mga komento, sa palagay ko, ay hindi kailangan. Mayroong unang termino, mayroong daan at una, atbp. Magpalit tayo ng hindi bababa sa dalawang termino - ang pattern (at kasama nito ang geometric progression) ay mawawala. Ang mananatili ay isang pagkakasunod-sunod lamang ng mga numero nang walang anumang lohika.

Iyon lang. Iyan ang buong punto ng geometric progression.

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Ngunit ngayon, nang naunawaan ang kahulugan at mga pangunahing punto ng geometric na pag-unlad, maaari tayong magpatuloy sa teorya. Kung hindi, ano ang isang teorya nang hindi nauunawaan ang kahulugan, di ba?

Paano tukuyin ang geometric na pag-unlad?

Paano isinusulat ang geometric progression sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat termino ng pag-unlad ay nakasulat din bilang isang liham. Para lamang sa pag-unlad ng aritmetika, kadalasan ang titik ay ginagamit "A", para sa geometric – titik "b". Numero ng miyembro, gaya ng dati, ay ipinahiwatig index sa kanang ibaba. Inililista lang namin ang mga mismong miyembro ng progression, na pinaghihiwalay ng mga kuwit o semicolon.

Ganito:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Sa madaling sabi, ang pag-unlad na ito ay nakasulat tulad nito: (b n) .

O tulad nito, para sa mga may hangganang pag-unlad:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

O, sa madaling salita:

(b n), n=30 .

Iyon, sa katunayan, ang lahat ng pagtatalaga. Ang lahat ay pareho, ang titik lamang ang naiiba, oo.) At ngayon ay direktang lumipat tayo sa kahulugan.

Kahulugan ng geometric progression.

Ang geometric progression ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang unang termino ay hindi zero, at ang bawat kasunod na termino ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong hindi zero na numero.

Iyon ang buong kahulugan. Karamihan sa mga salita at parirala ay malinaw at pamilyar sa iyo. Kung, siyempre, naiintindihan mo ang kahulugan ng geometric na pag-unlad "sa iyong mga daliri" at sa pangkalahatan. Ngunit mayroon ding ilang mga bagong parirala na nais kong bigyang-pansin.

Una, ang mga salita: "ang unang miyembro nito hindi zero".

Ang paghihigpit na ito sa unang termino ay hindi ipinakilala ng pagkakataon. Ano sa tingin mo ang mangyayari kung ang unang miyembro b 1 magiging katumbas ng zero? Ano ang magiging katumbas ng pangalawang termino kung ang bawat termino ay mas malaki kaysa sa nauna? ang parehong bilang ng beses? Sabihin nating tatlong beses? Tingnan natin... Multiply ang unang termino (i.e. 0) sa 3 at makakuha ng... zero! Paano ang ikatlong miyembro? Zero din! At ang pang-apat na termino ay zero din! At iba pa…

Kumuha lang kami ng isang bag ng bagel, isang sequence ng mga zero:

0, 0, 0, 0, …

Siyempre, ang gayong pagkakasunud-sunod ay may karapatang mabuhay, ngunit ito ay walang praktikal na interes. Ang lahat ay malinaw. Kahit sinong miyembro nito ay zero. Ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino ay zero din... Anong mga kawili-wiling bagay ang maaari mong gawin dito? Wala…

Ang mga sumusunod na keyword: "na-multiply sa parehong hindi-zero na numero."

Ang parehong numero ay mayroon ding sariling espesyal na pangalan - denominator ng geometric progression. Magsimula tayong magkakilala.)

Denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Ang lahat ay kasing simple ng paghihimay ng mga peras.

Ang denominator ng isang geometric na pag-unlad ay isang hindi-zero na numero (o dami) na nagpapahiwatig Ilang besesbawat termino ng pag-unlad higit pa sa nauna.

Muli, katulad ng pag-unlad ng aritmetika, ang pangunahing salita na hahanapin sa kahulugang ito ay ang salita "higit pa". Nangangahulugan ito na ang bawat termino ng geometric progression ay nakuha pagpaparami sa mismong denominator na ito dating miyembro.

Hayaan mo akong magpaliwanag.

Upang makalkula, sabihin natin pangalawa titi, kailangan kunin una miyembro at magparami ito sa denominator. Para sa pagkalkula ikasampu titi, kailangan kunin ikasiyam miyembro at magparami ito sa denominator.

Ang denominator ng geometric progression mismo ay maaaring maging anuman. Kahit sino talaga! Buo, fractional, positibo, negatibo, hindi makatwiran - lahat. Maliban sa zero. Ito ang sinasabi sa atin ng salitang "non-zero" sa kahulugan. Bakit kailangan ang salitang ito dito - higit pa sa susunod.

Denominator ng geometric progression kadalasang ipinahihiwatig ng liham q.

Paano ito mahahanap q? Walang problema! Dapat nating kunin ang anumang termino ng pag-unlad at hatiin sa nakaraang termino. Ang dibisyon ay maliit na bahagi. Samakatuwid ang pangalan - "denominator ng pag-unlad". Ang denominator, kadalasan ay nasa isang fraction, oo...) Bagaman, lohikal, ang halaga q dapat tawagan pribado geometric progression, katulad ng pagkakaiba para sa pag-unlad ng aritmetika. Pero nagkasundo kaming tumawag denominador. At hindi rin namin muling iimbento ang gulong.)

Tukuyin natin, halimbawa, ang dami q para sa geometric na pag-unlad na ito:

2, 6, 18, 54, …

Elementary ang lahat. Kunin natin anuman sequence number. Kinukuha namin ang anumang gusto namin. Maliban sa pinaka una. Halimbawa, 18. At hatiin sa pamamagitan ng nakaraang numero. Ibig sabihin, sa 6.

Nakukuha namin:

q = 18/6 = 3

Iyon lang. Ito ang tamang sagot. Para sa geometric na pag-unlad na ito, ang denominator ay tatlo.

Hanapin natin ngayon ang denominator q para sa isa pang geometric na pag-unlad. Halimbawa, ang isang ito:

1, -2, 4, -8, 16, …

Lahat pare-pareho. Kahit anong senyales na meron ang mismong mga miyembro, kinukuha pa rin natin anuman bilang ng sequence (halimbawa, 16) at hatiin sa nakaraang numero(ibig sabihin -8).

Nakukuha namin:

d = 16/(-8) = -2

At iyon lang.) Sa pagkakataong ito ang denominator ng progression ay naging negatibo. Minus dalawa. Mangyayari.)

Kunin natin ngayon ang pag-unlad na ito:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

At muli, anuman ang uri ng mga numero sa pagkakasunud-sunod (kung mga integer, kahit na mga fraction, kahit na negatibo, kahit na hindi makatwiran), kumukuha kami ng anumang numero (halimbawa, 1/9) at hinahati sa nakaraang numero (1/3). Ayon sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction, siyempre.

Nakukuha namin:

Iyon lang.) Dito naging fractional ang denominator: q = 1/3.

Ano sa palagay mo ang "pag-unlad" na ito?

3, 3, 3, 3, 3, …

Obvious dito q = 1 . Sa pormal, ito ay isa ring geometric na pag-unlad, lamang sa magkaparehong miyembro.) Ngunit ang mga ganitong pag-unlad ay hindi kawili-wili para sa pag-aaral at praktikal na aplikasyon. Kapareho ng mga pag-unlad na may mga solidong zero. Samakatuwid, hindi namin sila isasaalang-alang.

Tulad ng nakikita mo, ang denominator ng pag-unlad ay maaaring anuman - integer, fractional, positibo, negatibo - kahit ano! Hindi pwedeng zero lang. Hindi ko mahulaan kung bakit?

Buweno, gumamit tayo ng ilang partikular na halimbawa upang makita kung ano ang mangyayari kung gagawin natin bilang denominator q zero.) Hayaan natin, halimbawa, magkaroon b 1 = 2 , A q = 0 . Ano ang magiging katumbas ng ikalawang termino?

Binibilang namin:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Paano ang ikatlong miyembro?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Mga uri at pag-uugali ng mga geometric na pag-unlad.

Ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: kung ang pagkakaiba sa pag-unlad d ay positibo, pagkatapos ay tumataas ang pag-unlad. Kung negatibo ang pagkakaiba, bababa ang pag-unlad. Mayroon lamang dalawang pagpipilian. Walang pangatlo.)

Ngunit sa pag-uugali ng geometric na pag-unlad, ang lahat ay magiging mas kawili-wili at iba-iba!)

Hindi mahalaga kung paano kumilos ang mga termino dito: sila ay tumataas, at bumababa, at walang katiyakan na lumalapit sa zero, at kahit na nagbabago ng mga palatandaan, halili na itinapon ang kanilang mga sarili sa "plus" at pagkatapos ay sa "minus"! At sa lahat ng pagkakaiba-iba na ito kailangan mong maunawaan nang mabuti, oo...

Alamin natin ito?) Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso.

Ang denominator ay positibo ( q >0)

Sa isang positibong denominator, una, ang mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay maaaring pumasok plus infinity(ibig sabihin, pagtaas nang walang limitasyon) at maaaring pumasok minus infinity(i.e., bawasan nang walang limitasyon). Nasanay na tayo sa ganitong pag-uugali ng mga pag-unlad.

Halimbawa:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Simple lang ang lahat dito. Ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha higit sa nauna. Bukod dito, lumiliko ang bawat termino pagpaparami nakaraang miyembro sa positibo numero +2 (ibig sabihin. q = 2 ). Ang pag-uugali ng naturang pag-unlad ay halata: ang lahat ng mga miyembro ng pag-unlad ay lumalaki nang walang limitasyon, papunta sa kalawakan. Plus infinity...

At ngayon narito ang pag-unlad:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Dito, din, ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha pagpaparami nakaraang miyembro sa positibo numero +2. Ngunit ang pag-uugali ng naturang pag-unlad ay eksaktong kabaligtaran: ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha mas mababa kaysa dati, at ang lahat ng termino nito ay bumaba nang walang limitasyon, papunta sa minus infinity.

Ngayon isipin natin: ano ang pagkakatulad ng dalawang pag-unlad na ito? Tama, denominator! Dito at doon q = +2 . Positibong numero. Dalawa. At dito pag-uugali Ang dalawang pag-unlad na ito ay sa panimula ay magkaiba! Hindi ko mahulaan kung bakit? Oo! Ito ay tungkol sa lahat unang miyembro! Siya, gaya ng sinasabi nila, ang tumatawag sa himig.) Tingnan mo ang iyong sarili.

Sa unang kaso, ang unang termino ng pag-unlad positibo(+1) at, samakatuwid, lahat ng kasunod na termino na nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng positibo denominador q = +2 , ay magiging positibo.

Ngunit sa pangalawang kaso, ang unang termino negatibo(-1). Samakatuwid, ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad, nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng positibo q = +2 , ay makukuha rin negatibo. Dahil ang "minus" hanggang "plus" ay palaging nagbibigay ng "minus", oo.)

Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang isang geometric na pag-unlad ay maaaring kumilos nang ganap na naiiba hindi lamang depende mula sa denominatorq, ngunit depende rin mula sa unang miyembro, Oo.)

Tandaan: ang pag-uugali ng isang geometric na pag-unlad ay natatanging tinutukoy ng unang termino nito b 1 at denominadorq .

At ngayon nagsisimula kaming mag-analisa ng hindi gaanong pamilyar, ngunit mas kawili-wiling mga kaso!

Kunin natin, halimbawa, ang sequence na ito:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ang sequence na ito ay isa ring geometric progression! Ang bawat termino ng pag-unlad na ito ay lumalabas din pagpaparami ang dating miyembro, sa parehong numero. Ito ay isang numero lamang - fractional: q = +1/2 . O kaya +0,5 . Bukod dito (mahalaga!) ang bilang mas mababa sa isa:q = 1/2<1.

Bakit kawili-wili ang geometric progression na ito? Saan patungo ang mga miyembro nito? Tingnan natin:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Anong mga kawili-wiling bagay ang mapapansin mo dito? Una, ang pagbaba sa mga tuntunin ng pag-unlad ay kapansin-pansin kaagad: bawat isa sa mga miyembro nito mas mababa eksakto ang nauna 2 beses. O, ayon sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad, ang bawat termino higit pa dati 1/2 beses, dahil denominador ng pag-unlad q = 1/2 . At kapag pinarami ng positibong numero na mas mababa sa isa, kadalasang bumababa ang resulta, oo...

Ano higit pa makikita sa pag-uugali ng pag-unlad na ito? Nababawasan ba ang mga miyembro nito? walang limitasyon, pupunta sa minus infinity? Hindi! Nawawala sila sa isang espesyal na paraan. Sa una ay bumababa sila nang mabilis, at pagkatapos ay mas mabagal. At habang nananatili sa lahat ng oras positibo. Kahit na napaka, napakaliit. At ano ang kanilang pinagsisikapan? Hindi mo ba nahulaan? Oo! Nagsusumikap sila patungo sa zero!) Bukod dito, bigyang-pansin, ang mga miyembro ng aming pag-unlad ay mula sa zero hinding hindi maabot! Tanging papalapit sa kanya ng walang katapusan na malapit. Napakahalaga nito.)

Ang isang katulad na sitwasyon ay magaganap sa sumusunod na pag-unlad:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Dito b 1 = -1 , A q = 1/2 . Ang lahat ay pareho, ngayon lamang ang mga tuntunin ay lalapit sa zero mula sa kabilang panig, mula sa ibaba. Nananatili sa lahat ng oras negatibo.)

Ang gayong geometric na pag-unlad, ang mga tuntunin kung saan lapitan ang zero nang walang limitasyon(kahit na mula sa positibo o negatibong panig), sa matematika ay may espesyal na pangalan - walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Ang pag-unlad na ito ay lubhang kawili-wili at hindi karaniwan na ito ay tatalakayin pa hiwalay na aralin .)

Kaya, isinasaalang-alang namin ang lahat ng posible positibo ang mga denominator ay parehong malaki at mas maliit. Hindi namin isinasaalang-alang ang unit mismo bilang denominator para sa mga kadahilanang nakasaad sa itaas (tandaan ang halimbawa na may pagkakasunod-sunod ng triplets...)

Ibuod natin:

positiboAt higit sa isa (q>1), pagkatapos ay ang mga tuntunin ng pag-unlad:

a) pagtaas nang walang limitasyon (kungb 1 >0);

b) pagbaba nang walang limitasyon (kungb 1 <0).

Kung ang denominator ng geometric progression positibo At mas mababa sa isa (0< q<1), то члены прогрессии:

a) walang katapusang malapit sa zero sa itaas(Kungb 1 >0);

b) papalapit nang walang katapusan malapit sa zero galing sa ibaba(Kungb 1 <0).

Ito ay nananatili ngayon upang isaalang-alang ang kaso negatibong denominador.

Ang denominator ay negatibo ( q <0)

Hindi tayo lalayo para sa isang halimbawa. Bakit, eksakto, balbon na lola?!) Hayaan, halimbawa, ang unang termino ng pag-unlad b 1 = 1 , at kunin natin ang denominator q = -2.

Nakukuha namin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

At iba pa.) Ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha pagpaparami nakaraang miyembro sa isang negatibong numero-2. Sa kasong ito, ang lahat ng miyembrong nakatayo sa mga kakaibang lugar (una, ikatlo, ikalima, atbp.) ay magiging positibo, at sa kahit na mga lugar (pangalawa, ikaapat, atbp.) – negatibo. Ang mga palatandaan ay mahigpit na kahalili. Plus-minus-plus-minus... Ang geometric progression na ito ay tinatawag na - pagtaas ng sign alternating.

Saan patungo ang mga miyembro nito? Ngunit wala kahit saan.) Oo, sa ganap na halaga (i.e. modulo) ang mga miyembro ng aming pag-unlad ay tumataas nang walang limitasyon (kaya't ang pangalan ay "tumataas"). Ngunit sa parehong oras, ang bawat miyembro ng pag-unlad ay halili na itinapon sa init, pagkatapos ay sa lamig. Alinman sa "plus" o "minus". Ang aming pag-unlad ay nag-aalinlangan... Bukod dito, ang saklaw ng pagbabagu-bago ay mabilis na lumalaki sa bawat hakbang, oo.) Samakatuwid, ang mga hangarin ng mga miyembro ng pag-unlad ay napupunta sa isang lugar partikular Dito Hindi. Ni sa plus infinity, o sa minus infinity, o sa zero - wala kahit saan.

Isaalang-alang natin ngayon ang ilang fractional denominator sa pagitan ng zero at minus one.

Halimbawa, hayaan mo na b 1 = 1 , A q = -1/2.

Pagkatapos ay makuha namin ang pag-unlad:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

At muli ay mayroon tayong alternation ng mga palatandaan! Ngunit, hindi tulad ng naunang halimbawa, narito mayroon nang malinaw na tendensya para sa mga termino na lumalapit sa zero.) Sa pagkakataong ito lamang ang aming mga termino ay lumalapit sa zero hindi lamang mula sa itaas o sa ibaba, ngunit muli nag-aalangan. Salit-salit na pagkuha ng mga positibo at negatibong halaga. Ngunit sa parehong oras sila mga module ay papalapit nang papalapit sa itinatangi na zero.)

Ang geometric progression na ito ay tinatawag walang katapusang pagbaba ng tanda, alternating.

Bakit kawili-wili ang dalawang halimbawang ito? At ang katotohanan na sa parehong mga kaso ay nagaganap paghahalili ng mga palatandaan! Ang trick na ito ay tipikal lamang para sa mga progression na may negatibong denominator, oo.) Samakatuwid, kung sa ilang gawain ay makakita ka ng geometric progression na may mga papalit-palit na termino, tiyak na malalaman mo na ang denominator nito ay 100% negatibo at hindi ka magkakamali sa tanda.)

Sa pamamagitan ng paraan, sa kaso ng isang negatibong denominator, ang tanda ng unang termino ay hindi nakakaapekto sa pag-uugali ng pag-unlad mismo. Anuman ang tanda ng unang termino ng pag-unlad, sa anumang kaso ang tanda ng mga tuntunin ay susundin. Ang tanong lang, sa anong mga lugar(kahit o kakaiba) magkakaroon ng mga miyembro na may mga tiyak na palatandaan.

Tandaan:

Kung ang denominator ng geometric progression negatibo , kung gayon ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng pag-unlad ay palaging kahalili.

Kasabay nito, ang mga miyembro mismo:

a) pagtaas ng walang limitasyonmodulo, Kungq<-1;

b) lumapit sa zero nang walang hanggan kung -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Iyon lang. Ang lahat ng karaniwang mga kaso ay nasuri.)

Sa proseso ng pagsusuri ng iba't ibang mga halimbawa ng mga geometric na pag-unlad, pana-panahon kong ginagamit ang mga salita: "may posibilidad na maging zero", "may posibilidad na plus infinity", "may posibilidad na minus infinity"... Okay lang.) Ang mga figure of speech na ito (at mga partikular na halimbawa) ay paunang panimula lamang sa pag-uugali iba't ibang pagkakasunud-sunod ng numero. Gamit ang halimbawa ng geometric progression.

Bakit kailangan pa nating malaman ang pag-uugali ng pag-unlad? Ano ang pagkakaiba nito kung saan siya pupunta? Patungo sa zero, sa plus infinity, sa minus infinity... Ano ang ginagawa nito sa atin?

Ang bagay ay nasa unibersidad na, sa isang kurso ng mas mataas na matematika, kakailanganin mo ang kakayahang magtrabaho sa isang malawak na iba't ibang mga pagkakasunud-sunod ng numero (na may anuman, hindi lamang mga pag-unlad!) at ang kakayahang isipin nang eksakto kung paano ito o ang pagkakasunud-sunod na iyon kumikilos - kung ito ay tumataas kung ito ay bumababa nang walang limitasyon, kung ito ay may posibilidad sa isang tiyak na numero (at hindi kinakailangan sa zero), o kahit na hindi malamang sa anumang bagay... Ang isang buong seksyon ay nakatuon sa paksang ito sa kurso ng matematika pagsusuri - teorya ng mga limitasyon. At mas partikular - ang konsepto limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng numero. Isang napaka-interesante na paksa! Makatuwirang pumunta sa kolehiyo at alamin ito.)

Ilang halimbawa mula sa seksyong ito (mga sequence na may limitasyon) at sa partikular, walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad Nagsisimula na silang masanay sa paaralan. Nasasanay na tayo.)

Bukod dito, ang kakayahang pag-aralan nang mabuti ang pag-uugali ng mga pagkakasunud-sunod ay lubos na makikinabang sa iyo sa hinaharap at magiging lubhang kapaki-pakinabang sa pananaliksik sa tungkulin. Ang pinaka-magkakaibang. Ngunit ang kakayahang mahusay na magtrabaho sa mga function (kalkulahin ang mga derivatives, pag-aralan ang mga ito nang buo, buuin ang kanilang mga graph) ay kapansin-pansing nagpapataas ng iyong antas ng matematika! Mayroon ka bang anumang mga pagdududa? Hindi na kailangan. Tandaan din ang aking mga salita.)

Tingnan natin ang geometric progression sa buhay?

Sa buhay sa paligid natin, nakakaranas tayo ng geometric progression nang napakadalas. Kahit hindi mo alam.)

Halimbawa, ang iba't ibang mga mikroorganismo na nakapaligid sa atin sa lahat ng dako sa napakalaking dami at na hindi natin makita nang walang mikroskopyo ay tiyak na dumarami sa geometric na pag-unlad.

Sabihin nating ang isang bacterium ay nagpaparami sa pamamagitan ng paghahati sa kalahati, na nagbibigay ng mga supling sa 2 bakterya. Sa turn, ang bawat isa sa kanila, kapag dumarami, ay nahahati din sa kalahati, na nagbibigay ng isang karaniwang supling ng 4 na bakterya. Ang susunod na henerasyon ay gagawa ng 8 bacteria, pagkatapos ay 16 bacteria, 32, 64 at iba pa. Sa bawat susunod na henerasyon, doble ang bilang ng bacteria. Isang tipikal na halimbawa ng isang geometric na pag-unlad.)

Gayundin, ang ilang mga insekto - aphids at langaw - ay dumami nang husto. At kung minsan ay mga kuneho din, nga pala.)

Ang isa pang halimbawa ng isang geometric na pag-unlad, na mas malapit sa pang-araw-araw na buhay, ay ang tinatawag na tambalang interes. Ang kagiliw-giliw na kababalaghan na ito ay madalas na matatagpuan sa mga deposito sa bangko at tinatawag capitalization ng interes. Ano ito?

Ikaw mismo, siyempre, bata pa. Nag-aaral ka sa paaralan, hindi ka nagpupunta sa mga bangko. Ngunit ang iyong mga magulang ay nasa hustong gulang na at independiyenteng mga tao. Pumapasok sila sa trabaho, kumikita ng pera para sa kanilang pang-araw-araw na pagkain, at naglalagay ng bahagi ng pera sa bangko, na nag-iipon.)

Sabihin nating gusto ng iyong ama na makaipon ng isang tiyak na halaga ng pera para sa isang bakasyon ng pamilya sa Turkey at naglalagay ng 50,000 rubles sa bangko sa 10% bawat taon sa loob ng tatlong taon na may taunang capitalization ng interes. Bukod dito, sa buong panahong ito ay walang magagawa sa deposito. Hindi mo maaaring palitan ang deposito o mag-withdraw ng pera mula sa account. Magkano ang kikitain niya pagkatapos ng tatlong taon na ito?

Well, una sa lahat, kailangan nating malaman kung ano ang 10% kada taon. Ibig sabihin nito ay sa isang taon Ang bangko ay magdaragdag ng 10% sa paunang halaga ng deposito. Mula sa kung ano? Siyempre, mula sa halaga ng paunang deposito.

Kinakalkula namin ang laki ng account pagkatapos ng isang taon. Kung ang paunang halaga ng deposito ay 50,000 rubles (i.e. 100%), pagkatapos ng isang taon magkakaroon ng magkano ang interes sa account? Tama, 110%! Mula sa 50,000 rubles.

Kaya kinakalkula namin ang 110% ng 50,000 rubles:

50000·1.1 = 55000 rubles.

Umaasa ako na naiintindihan mo na ang paghahanap ng 110% ng isang halaga ay nangangahulugan ng pagpaparami ng halagang iyon sa numerong 1.1? Kung hindi mo maintindihan kung bakit ganito, tandaan ang ikalima at ikaanim na baitang. Namely – koneksyon sa pagitan ng mga porsyento at mga fraction at mga bahagi.)

Kaya, ang pagtaas para sa unang taon ay magiging 5,000 rubles.

Magkano ang pera sa account sa loob ng dalawang taon? 60,000 rubles? Sa kasamaang palad (o sa halip, sa kabutihang palad), ang lahat ay hindi gaanong simple. Ang buong trick ng capitalization ng interes ay na sa bawat bagong naipon na interes, ang parehong mga interes na ito ay isasaalang-alang na mula sa bagong halaga! Mula sa kung sino na ay nasa account Sa ngayon. At ang interes na naipon para sa nakaraang panahon ay idinagdag sa orihinal na halaga ng deposito at, sa gayon, mismo ay nakikilahok sa pagkalkula ng bagong interes! Ibig sabihin, nagiging buong bahagi sila ng pangkalahatang account. O pangkalahatan kabisera. Samakatuwid ang pangalan - capitalization ng interes.

Ito ay sa ekonomiya. At sa matematika ay tinatawag ang mga ganitong porsyento tambalang interes. O kaya porsyento ng interes.) Ang kanilang panlilinlang ay kapag nagkalkula ng sunud-sunod, ang mga porsyento ay kinakalkula sa bawat oras mula sa bagong halaga. At hindi mula sa orihinal ...

Samakatuwid, upang makalkula ang halaga sa pamamagitan ng dalawang taon, kailangan nating kalkulahin ang 110% ng halaga na ilalagay sa account sa isang taon. Iyon ay, mula sa 55,000 rubles.

Binibilang namin ang 110% ng 55,000 rubles:

55000·1.1 = 60500 rubles.

Nangangahulugan ito na ang porsyento ng pagtaas para sa ikalawang taon ay magiging 5,500 rubles, at para sa dalawang taon - 10,500 rubles.

Ngayon ay maaari mo nang hulaan na pagkatapos ng tatlong taon ang halaga sa account ay magiging 110% ng 60,500 rubles. Iyan ay muli 110% mula sa nakaraan (nakaraang taon) mga halaga.

Dito natin iniisip:

60500·1.1 = 66550 rubles.

Ngayon ay inaayos namin ang aming mga halaga ng pera ayon sa taon sa pagkakasunud-sunod:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000·1.1 = (50000·1.1)·1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

O kamusta ba iyon? Bakit hindi isang geometric progression? Unang miyembro b 1 = 50000 , at ang denominator q = 1,1 . Ang bawat termino ay mahigpit na 1.1 beses na mas malaki kaysa sa nauna. Ang lahat ay mahigpit na naaayon sa kahulugan.)

At ilang karagdagang mga bonus sa interes ang "maipon" ng iyong ama habang ang kanyang 50,000 rubles ay nakahiga sa kanyang bank account sa loob ng tatlong taon?

Binibilang namin:

66550 – 50000 = 16550 rubles

Hindi gaano, siyempre. Ngunit ito ay kung ang paunang halaga ng deposito ay maliit. Paano kung meron pa? Sabihin nating, hindi 50, ngunit 200 libong rubles? Pagkatapos ang pagtaas sa loob ng tatlong taon ay magiging 66,200 rubles (kung gagawin mo ang matematika). Which is already very good.) Paano kung mas malaki pa ang kontribusyon? Ayan yun...

Konklusyon: mas mataas ang paunang deposito, mas kumikita ang capitalization ng interes. Kaya naman ang mga deposito na may capitalization ng interes ay ibinibigay ng mga bangko sa mahabang panahon. Sabihin na nating limang taon.

Gayundin, lahat ng uri ng masasamang sakit tulad ng trangkaso, tigdas at higit pang mga kahila-hilakbot na sakit (kaparehong SARS noong unang bahagi ng 2000s o ang salot noong Middle Ages) ay gustong kumalat nang husto. Kaya ang sukat ng mga epidemya, oo...) At lahat dahil sa katotohanan na ang geometric na pag-unlad sa buong positive denominator (q>1) – isang bagay na napakabilis na lumaki! Alalahanin ang pagpaparami ng bakterya: mula sa isang bakterya dalawa ang nakukuha, mula dalawa - apat, mula apat - walo, at iba pa... Ito ay pareho sa pagkalat ng anumang impeksiyon.)

Ang pinakasimpleng problema sa geometric progression.

Magsimula tayo, gaya ng dati, sa isang simpleng problema. Panay upang maunawaan ang kahulugan.

1. Alam na ang pangalawang termino ng geometric progression ay 6, at ang denominator ay -0.5. Hanapin ang una, ikatlo at ikaapat na termino.

Kaya binibigyan kami walang katapusan geometric progression, ngunit kilala pangalawang termino pag-unlad na ito:

b 2 = 6

Bilang karagdagan, alam din natin denominador ng pag-unlad:

q = -0.5

At kailangan mong hanapin una, pangatlo At pang-apat mga miyembro ng pag-unlad na ito.

Kaya kumilos kami. Isinulat namin ang pagkakasunud-sunod ayon sa mga kondisyon ng problema. Direkta sa pangkalahatang anyo, kung saan ang pangalawang termino ay anim:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Ngayon simulan natin ang paghahanap. Nagsisimula kami, gaya ng dati, sa pinakasimpleng. Maaari mong kalkulahin, halimbawa, ang ikatlong termino b 3? Pwede! Alam mo at ko na (direkta sa kahulugan ng geometric progression) na ang ikatlong termino (b 3) higit sa pangalawa (b 2 ) V "q" minsan!

Kaya sumulat kami:

b 3 =b 2 · q

Pinapalitan namin ang anim sa expression na ito sa halip na b 2 at -0.5 sa halip q at binibilang namin. At hindi rin namin binabalewala ang minus, siyempre...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

Ganito. Ang ikatlong termino ay naging negatibo. Hindi nakakagulat: ang aming denominator q– negatibo. At ang pagpaparami ng plus sa isang minus, siyempre, ay magiging isang minus.)

Ngayon binibilang namin ang susunod, ikaapat na termino ng pag-unlad:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

Ang ikaapat na termino ay muli na may plus. Ang ikalimang termino ay muling magiging minus, ang ikaanim ay magiging plus, at iba pa. Ang mga palatandaan ay kahalili!

Kaya, natagpuan ang ikatlo at ikaapat na termino. Ang resulta ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

b 1 ; 6; -3; 1.5; ...

Ngayon ang natitira na lang ay hanapin ang unang termino b 1 ayon sa kilalang pangalawa. Upang gawin ito, humakbang kami sa kabilang direksyon, sa kaliwa. Nangangahulugan ito na sa kasong ito hindi natin kailangang i-multiply ang pangalawang termino ng pag-unlad ng denominator, ngunit hatiin.

Hinahati namin at makuha:

Iyon lang.) Ang sagot sa problema ay magiging ganito:

-12; 6; -3; 1,5; …

Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng solusyon ay pareho sa . Alam namin anuman miyembro at denominador geometric progression - mahahanap natin ang iba pang miyembro nito. Hahanapin natin ang gusto natin.) Ang pinagkaiba lang ay ang pagdaragdag/pagbabawas ay pinapalitan ng multiplikasyon/dibisyon.

Tandaan: kung alam natin ang hindi bababa sa isang miyembro at denominator ng isang geometric na pag-unlad, maaari tayong laging makahanap ng sinumang iba pang miyembro ng pag-unlad na ito.

Ang sumusunod na problema, ayon sa tradisyon, ay mula sa isang tunay na bersyon ng OGE:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

O kamusta ba iyon? Sa pagkakataong ito ay walang unang termino, walang denominator q, isang sequence of numbers lang ang binigay... Something already familiar, right? Oo! Ang isang katulad na problema ay nalutas na sa pag-unlad ng aritmetika!

Kaya hindi kami natatakot. Lahat pare-pareho. Balikan natin ang ating mga ulo at tandaan ang elementarya na kahulugan ng geometric progression. Tinitingnan namin nang mabuti ang aming pagkakasunud-sunod at alamin kung aling mga parameter ng geometric na pag-unlad ng tatlong pangunahing mga (unang termino, denominator, numero ng termino) ang nakatago dito.

Mga numero ng miyembro? Walang membership number, oo... Pero apat magkasunod numero. I don’t see any point in explaining what this word means at this stage.) Dalawa ba mga kalapit na kilalang numero? kumain ka na! Ito ay 6 at 1.2. Para mahanap natin denominador ng pag-unlad. Kaya kinuha namin ang numero 1.2 at hatiin sa naunang numero. Sa anim.

Nakukuha namin:

Nakukuha namin:

x= 150·0.2 = 30

Sagot: x = 30 .

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay medyo simple. Ang pangunahing kahirapan ay nasa mga kalkulasyon lamang. Ito ay lalong mahirap sa kaso ng mga negatibo at fractional denominator. Kaya sa mga may problema, ulitin ang aritmetika! Paano gumawa ng mga fraction, kung paano gumawa ng mga negatibong numero, at iba pa... Kung hindi, walang awa kang babagal dito.

Ngayon baguhin natin ng kaunti ang problema. Ngayon ito ay magiging kawili-wili! Tanggalin natin ang huling numero 1.2 dito. Ngayon lutasin natin ang problemang ito:

3. Ilang magkakasunod na termino ng geometric progression ang nakasulat:

...; 150; X; 6; ...

Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng titik x.

Pareho lang ang lahat, dalawa lang ang magkatabi sikat Wala na tayong miyembro ng progression. Ito ang pangunahing problema. Ang laki kasi q sa pamamagitan ng dalawang magkalapit na termino ay madali nating matukoy hindi natin kaya. Mayroon ba tayong pagkakataon na makayanan ang gawain? tiyak!

Isulat natin ang hindi kilalang termino " x"direkta sa loob ng kahulugan ng geometric progression! Sa pangkalahatang mga termino.

Oo Oo! Tama sa isang hindi kilalang denominator!

Sa isang banda, para sa X maaari nating isulat ang sumusunod na ratio:

x= 150·q

Sa kabilang banda, may karapatan kaming ilarawan ang parehong X na ito susunod miyembro, hanggang sa anim! Hatiin ang anim sa denominator.

Ganito:

x = 6/ q

Malinaw, ngayon ay maaari nating ipantay ang parehong mga ratio na ito. Dahil kami ay nagpapahayag pareho magnitude (x), ngunit dalawa iba't ibang paraan.

Nakukuha namin ang equation:

Pagpaparami ng lahat sa pamamagitan ng q, pinapasimple at pinaikli, nakukuha natin ang equation:

q2 = 1/25

Malutas namin at makuha:

q = ±1/5 = ±0.2

Oops! Doble pala ang denominator! +0.2 at -0.2. At alin ang dapat mong piliin? Dead end?

Kalmado! Oo, may problema talaga dalawang solusyon! Walang masama diyan. Nangyayari ito.) Hindi ka nagulat kapag, halimbawa, nakakuha ka ng dalawang ugat kapag nilulutas ang karaniwang problema? Ito ay ang parehong kuwento dito.)

Para sa q = +0.2 kukunin namin:

X = 150 0.2 = 30

At para sa q = -0,2 ay:

X = 150·(-0.2) = -30

Nakakuha kami ng dobleng sagot: x = 30; x = -30.

Ano ang ibig sabihin ng kawili-wiling katotohanang ito? At kung ano ang umiiral dalawang pag-unlad, nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng problema!

Tulad ng mga ito:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Parehong angkop.) Bakit sa palagay mo nagkaroon tayo ng hati sa mga sagot? Dahil lang sa pag-aalis ng isang partikular na miyembro ng progression (1,2), na darating pagkatapos ng anim. At dahil alam lamang ang naunang (n-1)th at kasunod na (n+1)th terms ng geometric progression, hindi na natin masasabi ang anumang hindi malabo tungkol sa nth term na nakatayo sa pagitan nila. Mayroong dalawang mga pagpipilian - na may plus at may minus.

Ngunit walang problema. Bilang isang patakaran, sa mga gawain sa geometric na pag-unlad mayroong karagdagang impormasyon na nagbibigay ng isang hindi malabo na sagot. Sabihin natin ang mga salita: "alternating progression" o "pag-unlad na may positibong denominator" at iba pa... Ang mga salitang ito ang dapat magsilbing pahiwatig kung aling tanda, plus o minus, ang dapat piliin kapag inihahanda ang huling sagot. Kung walang ganoong impormasyon, kung gayon oo, magkakaroon ng gawain dalawang solusyon.)

Ngayon tayo ay magpapasya para sa ating sarili.

4. Tukuyin kung ang numero 20 ay miyembro ng isang geometric na pag-unlad:

4 ; 6; 9; …

5. Ang tanda ng isang alternating geometric progression ay ibinigay:

…; 5; x ; 45; …

Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng titik x .

6. Hanapin ang ikaapat na positibong termino ng geometric progression:

625; -250; 100; …

7. Ang pangalawang termino ng geometric progression ay katumbas ng -360, at ang ikalimang termino nito ay katumbas ng 23.04. Hanapin ang unang termino ng pag-unlad na ito.

Mga sagot (sa kaguluhan): -15; 900; Hindi; 2.56.

Binabati kita kung naging maayos ang lahat!

May hindi kasya? Sa isang lugar may dobleng sagot? Basahing mabuti ang mga tuntunin ng takdang-aralin!

Ang huling problema ay hindi gumagana? Walang kumplikado doon.) Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa kahulugan ng geometric progression. Well, maaari kang gumuhit ng isang larawan. Nakakatulong ito.)

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay elementarya. Kung ang pag-unlad ay maikli. Paano kung mahaba? O napakalaki ng bilang ng kinakailangang miyembro? Gusto ko, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pag-unlad ng aritmetika, na kahit papaano ay makakuha ng isang maginhawang formula na nagpapadali sa paghahanap. anuman termino ng anumang geometric na pag-unlad sa pamamagitan ng kanyang numero. Nang hindi nagpaparami ng marami, maraming beses q. At may ganyang pormula!) Nasa susunod na aralin ang mga detalye.

Ang geometric progression ay isang numerical sequence, ang unang termino ay non-zero, at ang bawat kasunod na termino ay katumbas ng nakaraang term na pinarami ng parehong non-zero na numero.

Tinutukoy ang geometric na pag-unlad b1,b2,b3, …, bn, … .

Ang ratio ng anumang termino ng geometric error sa nakaraang termino nito ay katumbas ng parehong numero, iyon ay, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ito ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan ng isang arithmetic progression. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad. Karaniwan ang denominator ng isang geometric na pag-unlad ay tinutukoy ng titik q.

Monotonous at pare-pareho ang pagkakasunod-sunod

Isa sa mga paraan upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad ay upang tukuyin ang unang termino nito b1 at ang denominator ng geometric error q. Halimbawa, b1=4, q=-2. Tinutukoy ng dalawang kundisyong ito ang geometric progression 4, -8, 16, -32, ….

Kung q>0 (q ay hindi katumbas ng 1), kung gayon ang pag-unlad ay monotonous sequence. Halimbawa, ang sequence, 2, 4,8,16,32, ... ay isang monotonically increase sequence (b1=2, q=2).

Kung ang denominator sa geometric na error ay q=1, kung gayon ang lahat ng mga termino ng geometric na pag-unlad ay magiging katumbas ng bawat isa. Sa ganitong mga kaso sinasabi nila na ang pag-unlad ay pare-pareho ang pagkakasunod-sunod.

Formula para sa ika-1 na termino ng isang geometric na pag-unlad

Upang ang isang pagkakasunud-sunod ng numero (bn) ay maging isang geometric na pag-unlad, kinakailangan na ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay ang geometric na mean ng mga kalapit na miyembro. Iyon ay, kinakailangan upang matupad ang sumusunod na equation
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para sa anumang n>0, kung saan nabibilang ang n sa hanay ng mga natural na numero N.

Ang formula para sa ika-n na termino ng geometric progression ay:

bn=b1*q^(n-1),

kung saan ang n ay kabilang sa set ng mga natural na numero N.

Formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay may anyo:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kung saan ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Sa geometric progression b1=6, q=3, n=8 hanapin ang Sn.

Upang mahanap ang S8, ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680.