Ano ang paraan para sa pagpili ng isang buong parisukat. Factoring polynomials. Buong parisukat na paraan ng pagpili. Kumbinasyon ng mga pamamaraan. Paraan ng Pag-convert ng Artipisyal na Numerator

Tulad ng nabanggit ko na, sa integral calculus ay walang maginhawang formula para sa pagsasama ng isang fraction. At samakatuwid, ang isang malungkot na ugali ay sinusunod: mas "sopistikado" ang fraction, mas mahirap na makahanap ng isang integral mula dito. Kaugnay nito, kailangan mong gumamit ng iba't ibang mga trick, na sasabihin ko sa iyo ngayon. Ang mga sinanay na mambabasa ay maaaring makinabang kaagad mula sa talaan ng mga Nilalaman:

• Ang paraan ng pagbubuod ng differential sign para sa pinakasimpleng fraction

Paraan ng Pag-convert ng Artipisyal na Numerator

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paraan, ang itinuturing na integral ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na pamamaraan, na nagsasaad, ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas matagal.

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Suriin ito.

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Dapat tandaan na ang paraan ng pagbabago ng variable ay hindi na gagana dito.

Pansin, mahalaga! Ang mga halimbawa Nos. 1,2 ay karaniwan at karaniwan.... Sa partikular, ang mga naturang integral ay madalas na lumitaw sa kurso ng paglutas ng iba pang mga integral, lalo na, kapag pinagsama ang mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat).

Gumagana rin ang isinasaalang-alang na pamamaraan sa kaso kung ang pinakamataas na antas ng numerator ay mas malaki kaysa sa pinakamataas na antas ng denominator.

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Suriin ito.

Nagsisimula kaming kunin ang numerator.

Ang algorithm para sa pagpili ng numerator ay katulad nito:

1) Sa numerator kailangan kong ayusin, ngunit doon. Anong gagawin? Inilalagay ko ito sa mga bracket at i-multiply sa:.

2) Ngayon sinusubukan kong buksan ang mga bracket na ito, ano ang mangyayari? ... Hmm ... mas mabuti na, ngunit walang dalawa sa simula sa numerator. Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply sa:

3) Palawakin muli ang mga bracket:. At narito ang unang tagumpay! Ang tama pala! Ngunit ang problema ay lumitaw ang isang karagdagang termino. Anong gagawin? Upang ang expression ay hindi magbago, dapat kong idagdag ang pareho sa aking pagbuo:
... Naging mas madali ang buhay. Hindi ba pwedeng mag-organize ulit sa numerator?

4) Kaya mo. sinusubukan: ... Palawakin ang mga bracket ng pangalawang termino:
... Paumanhin, ngunit mayroon talaga akong nakaraang hakbang, hindi. Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply ang pangalawang termino sa pamamagitan ng:

5) Muli, para sa pagpapatunay, pinalawak ko ang mga panaklong sa pangalawang termino:
... Ngayon ay okay na: nakuha mula sa panghuling pagtatayo ng punto 3! Ngunit muli mayroong isang maliit na "ngunit", isang dagdag na termino ay lumitaw, na nangangahulugan na dapat kong idagdag sa aking expression:

Kung ang lahat ay tapos na nang tama, kung gayon kapag pinalawak natin ang lahat ng mga panaklong, dapat nating makuha ang orihinal na numerator ng integrand. Sinusuri namin:
Mabuti.

Sa ganitong paraan:

handa na. Sa huling termino, inilapat ko ang paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng kaugalian.

Kung mahahanap natin ang derivative ng sagot at dalhin ang expression sa isang common denominator, kung gayon ay eksaktong makukuha natin ang orihinal na integrand. Ang itinuturing na paraan ng agnas sa isang kabuuan ay walang iba kundi ang kabaligtaran na aksyon upang dalhin ang expression sa isang karaniwang denominator.

Ang algorithm para sa pagpili ng numerator sa mga naturang halimbawa ay pinakamahusay na ginawa sa isang draft. Sa ilang mga kasanayan, ito ay gagana sa pag-iisip. Naaalala ko ang oras ng rekord noong nagsagawa ako ng akma para sa ika-11 na antas, at ang pagpapalawak ng numerator ay tumagal ng halos dalawang linya ng Verd.

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Suriin ito.

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon.

Ang paraan ng pagbubuod ng differential sign para sa pinakasimpleng fraction

Ipinapasa namin ang pagsasaalang-alang ng susunod na uri ng mga fraction.
,,, (mga coefficient at hindi katumbas ng zero).

Sa katunayan, ang ilang mga kaso na may arcsine at arctangent ay nadulas na sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral... Ang ganitong mga halimbawa ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng tanda ng kaugalian at karagdagang pagsasama gamit ang talahanayan. Narito ang ilang mas karaniwang mga halimbawa na may mahaba at mataas na logarithms:

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Narito ito ay ipinapayong kunin ang talahanayan ng mga integral at trace sa pamamagitan ng kung ano ang mga formula at paano isinasagawa ang pagbabago. Tandaan, Paano at bakit ang mga parisukat ay naka-highlight sa mga halimbawang ito. Sa partikular, sa halimbawa 6, kailangan mo munang katawanin ang denominator sa form , pagkatapos ay dalhin ito sa ilalim ng differential sign. At ang lahat ng ito ay kailangang gawin upang magamit ang karaniwang formula ng tabular .

Ano ang dapat panoorin, subukang lutasin ang mga halimbawa ## 7,8 nang mag-isa, lalo na't medyo maikli ang mga ito:

Halimbawa 7

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Kung maaari mo ring suriin ang mga halimbawang ito, kung gayon ang malaking paggalang - ang iyong mga kasanayan sa pagkakaiba-iba ay nasa kanilang pinakamahusay.

Buong parisukat na paraan ng pagpili

Mga integral ng anyo, (mga coefficient at hindi katumbas ng zero) ay nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang buong parisukat, na itinampok na sa aralin Mga pagbabagong geometriko ng mga graph.

Sa katunayan, ang mga naturang integral ay bumababa sa isa sa apat na mga integral na tabular na kakakonsidera lang natin. At ito ay nakakamit gamit ang pamilyar na mga formula para sa pinaikling multiplikasyon:

Ang mga formula ay inilalapat sa direksyon na ito, iyon ay, ang ideya ng pamamaraan ay ang artipisyal na pag-aayos ng mga expression sa denominator, at pagkatapos ay ibahin ang anyo ng mga ito nang naaayon sa alinman.

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ang pinakasimpleng halimbawa kung saan na may term - unit coefficient(hindi ilang numero o minus).

Tinitingnan natin ang denominator, dito ang buong bagay ay malinaw na mauuwi sa isang kaso. Simulan nating i-convert ang denominator:

Malinaw, kailangan mong magdagdag ng 4. At upang ang expression ay hindi magbago - ang parehong apat at ibawas:

Ngayon ay maaari mong ilapat ang formula:

Matapos makumpleto ang conversion LAGI ipinapayong gawin ang reverse move: maayos ang lahat, walang mga error.

Ang huling disenyo ng pinag-uusapang halimbawa ay dapat magmukhang ganito:

handa na. Pagbubuod ng isang "libre" na kumplikadong function sa ilalim ng differential sign:, sa prinsipyo, maaari itong mapabayaan

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon, ang sagot ay nasa dulo ng tutorial.

Halimbawa 11

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ano ang gagawin kapag may minus sa harap nito? Sa kasong ito, kailangan mong ilagay ang minus sa labas ng mga bracket at ayusin ang mga tuntunin sa pagkakasunud-sunod na kailangan namin:. pare-pareho("Dalawa" sa kasong ito) Bawal hawakan!

Ngayon magdagdag ng isa sa panaklong. Pag-aaral ng expression, dumating kami sa konklusyon na ang isa ay kailangang isa sa likod ng panaklong - idagdag:

Dito nakuha namin ang formula, inilapat namin:

LAGI suriin namin ang draft:
, na kinakailangang ma-verify.

Ang huling layout ng halimbawa ay ganito ang hitsura:

Pagpapakumplikado sa gawain

Halimbawa 12

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Dito, sa termino, ito ay hindi na isang unit coefficient, ngunit isang "lima".

(1) Kung ang isang pare-pareho ay natagpuan para sa, pagkatapos ay agad naming alisin ito sa mga panaklong.

(2) Sa pangkalahatan, ito ay palaging mas mahusay na dalhin ang pare-parehong ito sa labas ng integral upang hindi ito makasagabal sa ilalim ng iyong mga paa.

(3) Malinaw, ang lahat ay mababawasan sa isang pormula. Kinakailangang maunawaan ang termino, ibig sabihin, upang makakuha ng "dalawa"

(4) Oo,. Kaya, idinaragdag namin ang expression, at ibawas ang parehong fraction.

(5) Ngayon pumili ng isang kumpletong parisukat. Sa pangkalahatang kaso, kailangan mo ring kalkulahin, ngunit narito mayroon kaming isang formula para sa mahabang logarithm , at walang saysay na gawin ang aksyon, bakit - magiging malinaw ito nang kaunti sa ibaba.

(6) Sa totoo lang, maaari mong ilapat ang formula , sa halip na "x" lamang ang mayroon tayo, na hindi nagpapawalang-bisa sa bisa ng integral na tabular. Sa mahigpit na pagsasalita, isang hakbang ang tinanggal - bago ang pagsasama, ang function ay dapat na inilagay sa ilalim ng tanda ng pagkakaiba: ngunit, tulad ng nabanggit ko nang maraming beses, ito ay madalas na napapabayaan.

(7) Sa sagot sa ilalim ng ugat, kanais-nais na palawakin ang lahat ng panaklong pabalik:

Mahirap? Hindi pa ito ang pinakamahirap na bahagi sa integral calculus. Bagaman, ang mga halimbawang isinasaalang-alang ay hindi masyadong kumplikado dahil nangangailangan sila ng mahusay na mga diskarte sa pagkalkula.

Halimbawa 13

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Ang sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Mayroong mga integral na may mga ugat sa denominator, na, gamit ang kapalit, bawasan sa mga integral ng itinuturing na uri, maaari mong basahin ang tungkol sa mga ito sa artikulo Mga kumplikadong integral, ngunit ito ay idinisenyo para sa lubos na sinanay na mga mag-aaral.

Pagdaragdag ng numerator sa ilalim ng differential sign

Ito ang huling bahagi ng aralin, gayunpaman, ang mga integral ng ganitong uri ay karaniwan! Kung naipon ang pagod, mas mabuting basahin ito bukas? ;)

Ang mga integral na isasaalang-alang natin ay katulad ng mga integral ng nakaraang seksyon, mayroon silang anyo: o (mga coefficient, at hindi katumbas ng zero).

Ibig sabihin, mayroon tayong linear function sa numerator. Paano malutas ang mga naturang integral?

Sa araling ito, aalalahanin natin ang lahat ng naunang pinag-aralan na pamamaraan ng pagsasaliksik ng polynomial sa mga salik at isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, bilang karagdagan, pag-aaralan natin ang isang bagong pamamaraan - ang paraan ng pagkuha ng isang kumpletong parisukat at matutunan kung paano ilapat ito sa paglutas. iba't ibang problema.

Paksa:Factoring polynomials

Aralin:Factoring polynomials. Buong parisukat na paraan ng pagpili. Kumbinasyon ng mga pamamaraan

Alalahanin natin ang mga pangunahing pamamaraan ng pag-factor ng isang polynomial sa mga salik na napag-aralan kanina:

Ang paraan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan mula sa mga panaklong, iyon ay, tulad ng isang kadahilanan na naroroon sa lahat ng mga tuntunin ng polynomial. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

Alalahanin na ang isang monomial ay produkto ng mga degree at numero. Sa aming halimbawa, ang parehong miyembro ay may ilang karaniwang, magkaparehong elemento.

Kaya, kunin natin ang karaniwang kadahilanan mula sa mga panaklong:

;

Alalahanin na sa pamamagitan ng pagpaparami ng multiplier sa isang panaklong, maaari mong suriin ang kawastuhan ng pagbabawas.

Pamamaraan ng pagpapangkat. Hindi laging posible na kumuha ng isang karaniwang kadahilanan sa isang polynomial. Sa kasong ito, kailangan mong hatiin ang mga miyembro nito sa mga grupo upang sa bawat grupo ay maaari kang kumuha ng isang karaniwang kadahilanan at subukang hatiin ito upang pagkatapos na alisin ang mga kadahilanan sa mga grupo, isang karaniwang kadahilanan ang lilitaw para sa buong expression, at maaaring ipagpatuloy ang pagpapalawak. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

Ipangkat natin ang unang termino sa ikaapat, ang pangalawa ay ang ikalima, at ang pangatlo, ayon sa pagkakabanggit, sa ikaanim:

Isaalang-alang natin ang mga karaniwang salik sa mga pangkat:

Ang expression ay may isang karaniwang kadahilanan. Ilabas natin ito:

Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

;

Isulat natin nang detalyado ang expression:

Malinaw, nasa harap natin ang pormula para sa parisukat ng pagkakaiba, dahil mayroong kabuuan ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang nadobleng produkto ay ibabawas mula rito. I-collapse tayo sa pamamagitan ng formula:

Ngayon ay matututunan natin ang isa pang paraan - ang paraan ng pagpili ng isang buong parisukat. Ito ay batay sa mga formula para sa parisukat ng kabuuan at parisukat ng pagkakaiba. Alalahanin natin sila:

Ang formula para sa parisukat ng kabuuan (pagkakaiba);

Ang kakaiba ng mga formula na ito ay naglalaman ang mga ito ng mga parisukat ng dalawang expression at ang kanilang dobleng produkto. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

Isulat natin ang expression:

Kaya ang unang expression ay ito, at ang pangalawa ay.

Upang mabuo ang formula para sa parisukat ng kabuuan o pagkakaiba, ang dobleng produkto ng mga expression ay hindi sapat. Kailangan itong idagdag at ibawas:

I-collapse natin ang buong parisukat ng kabuuan:

Ibahin natin ang resultang expression:

Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, alalahanin na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng dalawang expression ay ang produkto at ang kabuuan ng kanilang pagkakaiba:

Kaya, ang pamamaraang ito ay binubuo, una sa lahat, sa katotohanan na kinakailangan upang matukoy ang mga expression na a at b na nasa parisukat, iyon ay, upang matukoy kung aling mga parisukat ng mga expression ang nasa halimbawang ito. Pagkatapos nito, kailangan mong suriin ang pagkakaroon ng isang dobleng produkto at kung wala ito, pagkatapos ay idagdag at ibawas ito, ang kahulugan ng halimbawa ay hindi magbabago mula dito, ngunit ang polynomial ay maaaring i-factorize gamit ang mga formula para sa parisukat ng kabuuan o ang pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat, kung mayroong ganoong posibilidad.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa.

Halimbawa 1 - factorize:

Maghanap tayo ng mga expression na parisukat:

Isulat natin kung ano dapat ang kanilang dobleng produkto:

Idagdag at ibawas nang dalawang beses ang produkto:

I-collapse natin ang buong parisukat ng kabuuan at magbigay ng mga katulad:

Isulat natin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat:

Halimbawa 2 - Lutasin ang equation:

;

Mayroong trinomial sa kaliwang bahagi ng equation. Kailangan nating i-factor ito. Ginagamit namin ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba:

Mayroon kaming parisukat ng unang expression at ang dobleng produkto, ang parisukat ng pangalawang expression ay nawawala, idagdag at ibawas ito:

Tiklupin natin ang isang buong parisukat at magbigay ng mga katulad na termino:

Ilapat natin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat:

Kaya, mayroon kaming equation

Alam natin na ang produkto ay zero lamang kung kahit isa sa mga kadahilanan ay zero. Sa batayan na ito, binubuo namin ang mga equation:

Lutasin natin ang unang equation:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Sagot: o

;

Nagpapatuloy kami nang katulad sa nakaraang halimbawa - piliin ang parisukat ng pagkakaiba.

Kahulugan

Ang mga ekspresyon ng anyong 2 x 2 + 3 x + 5 ay tinatawag na square trinomial. Sa pangkalahatang kaso, ang square trinomial ay isang expression ng form na a x 2 + b x + c, kung saan ang a, b, c a, b, c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Isaalang-alang ang isang parisukat na trinomial x 2 - 4 x + 5. Isulat natin ito sa form na ito: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Magdagdag ng 2 2 sa expression na ito at ibawas ang 2 2, makuha natin ang: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Tandaan na x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, kaya x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Ang pagbabagong ginawa natin ay tinatawag "Pagpili ng isang kumpletong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial".

Kumpletuhin ang parisukat mula sa parisukat na trinomial na 9 x 2 + 3 x + 1.

Tandaan na 9 x 2 = (3 x) 2, `3x = 2 * 1/2 * 3x`. Pagkatapos ay `9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. Magdagdag at ibawas sa resultang expression `(1/2) ^ 2`, nakukuha namin

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

Ipakita natin kung paano inilalapat ang paraan ng paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial upang i-factorize ang isang parisukat na trinomial.

I-factor ang square trinomial 4 x 2 - 12 x + 5.

Maglaan ng kumpletong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Ngayon inilalapat namin ang formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), nakukuha namin: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ).

I-factor ang triple-term square - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Ngayon pansinin na 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

Idagdag ang terminong 2 2 sa expression na 9 x 2 - 12 x, nakukuha natin ang:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2.

Inilapat namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, mayroon kaming:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

I-factor ang triple-term square 3 x 2 - 14 x - 5.

Hindi namin maaaring katawanin ang expression na 3 x 2 bilang parisukat ng ilang expression, dahil hindi pa namin ito pinag-aralan sa paaralan. Dadaanan mo ito mamaya, at nasa Gawain 4 na natin pag-aaralan ang square roots. Ipakita natin kung paano mo maaaring i-factor ang ibinigay na square trinomial:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Ipakita natin kung paano ginagamit ang paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang parisukat na trinomial.
Isaalang-alang ang isang parisukat na trinomial x 2 - x + 3. Pumili ng kumpletong parisukat:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. Tandaan na para sa `x = 1 / 2`, ang value ng square trinomial ay` 11 / 4`, at para sa `x! = 1 / 2`, isang positibong numero ang idinaragdag sa value ng` 11 / 4`, kaya nakakakuha tayo ng numerong mas malaki sa `11 / 4`. Kaya, ang pinakamaliit na value ng square trinomial ay `11 / 4` at nakukuha ito kapag` x = 1 / 2`.

Hanapin ang pinakamalaking square trinomial - 16 2 + 8 x + 6.

Kumpletuhin ang parisukat mula sa square trinomial: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

Sa `x = 1 / 4`, ang halaga ng square trinomial ay 7, at may` x! = 1 / 4`, ang isang positibong numero ay ibabawas mula sa numero 7, iyon ay, nakakakuha tayo ng isang numero na mas mababa sa 7. Kaya, ang numero 7 ay ang pinakamalaking halaga ng square trinomial, at ito ay nakuha kapag `x = 1 / 4`.

I-factor ang numerator at denominator ng fraction `(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)` at kanselahin ang fraction na iyon.

Tandaan na ang denominator ng fraction x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Isama natin ang numerator ng fraction gamit ang paraan ng pagkuha ng kumpletong parisukat mula sa square trinomial. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3).

Ang fraction na ito ay dinala sa anyong `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` pagkatapos ng pagbabawas ng (x - 3) makuha natin` (x + 5) / (x-3 ) `.

I-factor ang polynomial x 4 - 13 x 2 + 36.

Ilapat natin ang kumpletong paraan ng pagpili ng parisukat sa polynomial na ito. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

Ang kakayahang gawin ang pamamaraang ito ay lubhang kailangan sa maraming paksa ng matematika na may kaugnayan sa square trinomialpalakol 2 + bx + c ... Ang pinakakaraniwan:

1) Pagguhit ng mga parabola y= palakol 2 + bx+ c;

2) Paglutas ng maraming gawain para sa isang quadratic trinomial (quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay, mga problema sa mga parameter, atbp.);

3) Paggawa gamit ang ilang function na naglalaman ng square trinomial, pati na rin ang pagtatrabaho sa mga curve ng pangalawang order (para sa mga mag-aaral).

Isang kapaki-pakinabang na bagay, sa madaling salita! Nag-a-apply ka ba para sa top five? Pagkatapos ay master ito!)

Ano ang ibig sabihin ng piliin ang kumpletong parisukat ng isang binomial sa isang parisukat na trinomyal?

Ang gawaing ito ay nangangahulugan na ang orihinal na square trinomial ay dapat mabago sa tulong ng form na ito:

Numero a ano ang nasa kaliwa, ano ang nasa kanan - pareho... X squared coefficient. Samakatuwid, ito ay ipinahiwatig isang titik... Kanan pinarami ng parisukat ng mga bracket. Sa mga bracket mismo ay nakaupo ang napaka binomial, na tinalakay sa paksang ito. Ang kabuuan ng isang purong x at isang numero m... Oo, mangyaring bigyang-pansin, eksakto puro x! Ito ay mahalaga.

Ngunit ang mga titik m at n sa kanan - ilan bago numero. Ano ang makukuha natin bilang resulta ng ating pagbabago. Maaari silang maging positibo, negatibo, buo, fractional - lahat ng uri! Makikita mo mismo sa mga halimbawa sa ibaba. Ang mga numerong ito ay nakasalalay mula sa mga coefficienta, batc... Mayroon silang sariling mga espesyal na pangkalahatang formula. Medyo mahirap, may mga fraction. Samakatuwid, hindi ko sila ibibigay dito at ngayon. Bakit kailangan ng iyong maliliwanag na isipan ng dagdag na basura? Oo, at hindi ito kawili-wili. Magtrabaho tayo nang malikhain.)

Ano ang kailangan mong malaman at maunawaan?

Una sa lahat, kailangan mong malaman sa pamamagitan ng puso. Hindi bababa sa dalawa sa kanila - ang parisukat ng kabuuan at parisukat na pagkakaiba.

Ang mga ito:

Kung wala itong pares ng mga formula - wala kahit saan. Hindi lamang sa araling ito, ngunit sa halos lahat ng iba pang matematika sa pangkalahatan. Malinaw ba ang pahiwatig?)

Ngunit ang mga mekanikong kabisadong formula lamang ay hindi sapat dito. Kailangan mo pa rin nang may kakayahan magagawang ilapat ang mga formula na ito... At hindi masyadong direkta, mula kaliwa hanggang kanan, ngunit kabaliktaran, mula kanan hanggang kaliwa... Yung. ma-decipher ang parisukat ng kabuuan / pagkakaiba ng orihinal na square trinomial... Nangangahulugan ito na dapat mong madaling, awtomatiko, makilala ang mga pagkakapantay-pantay ng uri:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Hindi mo rin magagawa nang wala ang kapaki-pakinabang na kasanayang ito ... Kaya kung mayroon kang mga problema sa mga simpleng bagay na ito, isara ang pahinang ito. Masyado pang maaga para sa iyo dito.) Una, sundan ang link sa itaas. Siya ay para sa iyo!

Oh matagal ka na ba sa subject? ayos! Pagkatapos ay basahin mo.)

Kaya:

Paano piliin ang kumpletong parisukat ng isang binomial sa isang parisukat na trinomial?

Magsimula tayo sa isang simple, siyempre.

Level 1. Coefficient sa x2 ay katumbas ng 1

Ito ang pinakasimpleng sitwasyon na nangangailangan ng isang minimum na karagdagang pagbabago.

Halimbawa, binigyan ng square trinomial:

X 2 + 4x + 6

Sa panlabas, ang expression ay halos kapareho ng parisukat ng kabuuan. Alam namin na ang parisukat ng kabuuan ay naglalaman ng mga purong parisukat ng una at pangalawang expression ( a 2 at b 2 ), pati na rin ang dobleng produkto 2 ab mismong mga ekspresyong ito.

Well, mayroon na tayong parisukat ng unang expression sa dalisay nitong anyo. Ito X 2 ... Sa totoo lang, dito mismo namamalagi ang pagiging simple ng mga halimbawa ng antas na ito. Kailangan mong makuha ang parisukat ng pangalawang expression b 2 ... Yung. hanapin b... At magsisilbing pahiwatig expression na may x sa unang antas, ibig sabihin. 4x... Kung tutuusin 4x maaaring katawanin bilang dobleng produkto x para sa isang deuce. Ganito:

4 x = 2 ́ X 2

Kaya kung 2 ab= 2x· 2 at a= x, pagkatapos b=2 ... Maaari kang sumulat:

X 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Kaya US Gusto ko. Ngunit! Mathematics Gusto ko ang kakanyahan ng orihinal na pagpapahayag mula sa aming mga aksyon hindi nagbago... Iyan ay kung paano ito gumagana. Nagdagdag kami sa dobleng produkto 2 2 kaya binabago ang orihinal na expression. Kaya, para hindi masaktan ang matematika, ito ang 2 2 doon mismo at kunin... Ganito:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Halos lahat ng. Ito ay nananatili lamang upang magdagdag ng 6, alinsunod sa orihinal na tatlong termino. Ang anim ay hindi napunta kahit saan! Sumulat kami:

= X 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Ngayon ang unang tatlong termino ay nagbibigay ng dalisay (o - puno na) parisukat na binomial x+2 ... O kaya (x+2) 2 ... Which is what we are trying to achieve.) Hindi man lang ako magiging tamad at maglalagay ng mga panaklong:

… = (X 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Hindi binabago ng mga panaklong ang kakanyahan ng pagpapahayag, ngunit malinaw na iminumungkahi nila kung ano, paano at bakit. Ito ay nananatiling tiklop ang tatlong terminong ito sa isang buong parisukat gamit ang formula, bilangin ang natitirang buntot sa mga numero -2 2 +6 (ito ay magiging 2) at isulat:

X 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

Lahat. Kami iniisa-isa parisukat ng mga bracket (x+2) 2 mula sa orihinal na square trinomial X 2 + 4x + 6... Ginawa itong kabuuan isang kumpletong parisukat na binomial (x+2) 2 at ilang pare-parehong numero (dalawa). At ngayon isusulat ko ang buong kadena ng aming mga pagbabago sa isang compact form. Para sa kaliwanagan.

At iyon lang.) Iyan ang buong punto ng pamamaraan para sa pagpili ng isang buong parisukat.

Nga pala, ano ang mga numero dito m at n? Oo. Ang bawat isa sa kanila ay katumbas ng dalawa: m=2, n=2 ... Nangyari lang ito sa panahon ng pagpili.

Isa pang halimbawa:

Piliin ang kumpletong parisukat ng binomial:

X 2 -6x + 8

At muli, ang unang sulyap - sa term na may x. Binabago namin ang 6x sa isang dobleng produkto ng x at tatlo. Bago nadoble - minus. Samakatuwid, pumili kami parisukat na pagkakaiba... Nagdaragdag kami (upang makakuha ng isang kumpletong parisukat) at agad na ibawas (upang mabayaran) ang tatlo sa parisukat, i.e. 9. Well, huwag nating kalimutan ang tungkol sa walo. Nakukuha namin:

Dito m=-3 at n=-1 ... Parehong negatibo.

Naiintindihan mo ba ang prinsipyo? Pagkatapos ito ay ang turn sa master at pangkalahatang algorithm... Ang lahat ay pareho, ngunit sa pamamagitan ng mga liham... Kaya, bago sa amin ay isang parisukat na trinomial x 2 + bx+ c (a=1) ... Anong gagawin natin:

bx b /2 :

b Sa.

Malinaw ba? Ang unang dalawang halimbawa ay napaka-simple, na may mga integer. Para sa kakilala. Ito ay mas masahol pa kapag ang mga fraction ay lumabas sa proseso ng mga pagbabago. Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot! At upang hindi matakot, kailangan mong malaman ang mga aksyon na may mga fraction, oo ...) Ngunit narito ang ikalimang antas, hindi ba? Ginagawa naming kumplikado ang gawain.

Ipagpalagay na ang sumusunod na tatlong termino ay ibinigay:

X 2 + x + 1

Paano ayusin ang parisukat ng kabuuan sa triple na ito? Walang problema! Katulad... Nagtatrabaho kami sa punto sa punto.

1. Tinitingnan namin ang terminong may x sa unang antas ( bx) at gawin itong dobleng produkto ng x byb /2 .

Ang aming X term ay simpleng X. E ano ngayon? Paano natin gagawin ang isang malungkot na X dobleng produkto? Ito ay napaka-simple! Direkta ayon sa mga tagubilin. Ganito:

Numero b sa orihinal na ternom - 1. Yan ay, b/2 ito pala ay fractional. Kalahati. 1/2. Well, okay. Hindi pa maliit.)

2. Idagdag sa nadobleng produkto at agad na ibawas ang parisukat ng numero b/ 2. Nagdagdag kami - upang umakma sa isang buong parisukat. Inaalis namin - para sa kabayaran. Sa pinakadulo, magdagdag ng libreng termino Sa.

Nagpapatuloy kami:

3. Ang unang tatlong termino ay nakatiklop sa parisukat ng kabuuan / pagkakaiba ayon sa kaukulang formula. Ang expression na natitira sa labas ay maingat na kinakalkula sa mga numero.

Paghiwalayin ang unang tatlong termino gamit ang mga panaklong. Hindi mo kailangang paghiwalayin ito, siyempre. Ginagawa ito para lamang sa kaginhawahan at kalinawan ng ating mga pagbabago. Ngayon ay malinaw mong makikita na ang buong parisukat ng kabuuan ay nasa mga bracket (x+1/2) 2 ... At lahat ng natitira sa labas ng parisukat ng kabuuan (kung bibilangin mo) ay nagbibigay ng +3/4. Tapusin nang diretso:

Sagot:

Dito m=1/2 , a n=3/4 ... Mga fractional na numero. Nangyayari ito. Mayroon akong tatlong miyembro ...

Ganyan ang teknolohiya. Naiintindihan? Maaari ba akong lumipat sa susunod na antas?)

Level 2. Ang coefficient sa x 2 ay hindi katumbas ng 1 - ano ang gagawin?

Ito ay isang mas pangkalahatang kaso kaysa sa a = 1... Siyempre, ang dami ng computation ay tumataas. Nakakainis, oo... Pero pangkalahatang kurso ng solusyon sa pangkalahatan ay nananatiling pareho. Isang bagong hakbang lang ang idinagdag dito. Ito ang nagpapasaya sa akin.)

Sa ngayon, isaalang-alang ang isang hindi nakakapinsalang kaso, nang walang anumang mga fraction at iba pang mga pitfalls. Halimbawa:

2 x 2 -4 x+6

May minus sa gitna. Kaya, kami ay magkasya ang pagkakaiba sa parisukat. Ngunit ang koepisyent sa parisukat ng x ay dalawa. At mas madaling magtrabaho kasama ang isa. Na may purong x. Anong gagawin? At alisin natin ang dalawang ito sa panaklong! Para hindi makialam. May karapatan tayo! Nakukuha namin:

2(x 2 -2 x+3)

Ganito. Ngayon ang tatlong-term sa mga bracket - mayroon na malinis x parisukat! Gaya ng hinihingi ng algorithm sa antas 1. At ngayon ay posible nang gumana sa bagong trinomial na ito ayon sa lumang napatunayang pamamaraan. Kaya kumilos kami. Isulat natin ito nang hiwalay at baguhin ito:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Natapos na ang kalahati ng labanan. Nananatili itong ipasok ang resultang expression sa loob ng mga panaklong, at palawakin ang mga ito pabalik. Ito ay lalabas:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

handa na!

Sagot:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Inaayos namin sa ulo:

Kung ang koepisyent sa parisukat ng x ay hindi katumbas ng isa, aalisin natin ang koepisyent na ito sa mga bracket. Sa natitirang tatlong termino sa loob ng mga bracket, nagtatrabaho kami ayon sa karaniwang algorithm para sa a= 1. Ang pagkakaroon ng pagpili ng isang buong parisukat sa loob nito, i-paste namin ang resulta sa lugar, at buksan ang mga panlabas na bracket pabalik.

At kung ang mga coefficient b at c ay hindi ganap na mahahati ng a? Ito ang pinakakaraniwan at sa parehong oras ang pinakamasamang kaso. Tapos fractions lang, oo ... Walang dapat gawin. Halimbawa:

3 x 2 +2 x-5

Ang lahat ay pareho, ipinapadala namin ang triple sa labas ng mga bracket, nakukuha namin:

Sa kasamaang palad, ang dalawa o ang lima ay hindi ganap na nahahati sa tatlo, kaya ang mga koepisyent ng bagong (nabawasan) na tatlong-panahon ay - fractional... Well, okay lang. Direkta kaming nagtatrabaho sa mga fraction: dalawa gawing ang ikatlong bahagi ng x nadoble produkto ng x on isa pangatlo, idagdag ang parisukat ng isang ikatlo (i.e. 1/9), ibawas ito, ibawas ang 5/3 ...

Sa pangkalahatan, nakukuha mo ang ideya!

Gumawa ng isang desisyon, kung ano ang mayroon na. Dapat kang magtapos sa:

At isa pang kalaykay. Maraming mga mag-aaral ang mabilis na nakikitungo sa mga positibong buo at kahit na fractional na mga coefficient, ngunit umaasa sa mga negatibo. Halimbawa:

- x 2 +2 x-3

Ano ang gagawin sa minus bagox 2 ? Sa formula para sa parisukat ng kabuuan / pagkakaiba, ang bawat plus ay kailangan ... Walang tanong! Lahat pare-pareho... Kinukuha namin ang napakabawas na ito sa mga panaklong. Yung. minus one... Ganito:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

At yun lang. At may tatlong termino sa mga bracket - muli kasama ang knurled track.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Kabuuan, isinasaalang-alang ang minus:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Iyon lang. Ano? Hindi mo alam kung paano ilagay ang minus sa panaklong? Well, ito ay isang tanong para sa elementarya na algebra ng ikapitong baitang, hindi para sa square trinomals ...

Tandaan: nagtatrabaho sa isang negatibong koepisyent a ay likas na kapareho ng pagtatrabaho sa positibo. Inalis namin ang negatibo a sa labas ng mga bracket, at pagkatapos - ayon sa lahat ng mga patakaran.

Bakit kailangan mong makapili ng kumpletong parisukat?

Ang unang kapaki-pakinabang na bagay ay upang gumuhit ng mga parabola nang mabilis at walang mga error!

Halimbawa, isang gawain tulad nito:

Mag-plot ng function graph:y=- x 2 +2 x+3

Ano ang gagawin natin? Bumuo ng mga puntos? Syempre pwede. Sa maliliit na hakbang sa mahabang kalsada. Medyo hangal at hindi kawili-wili ...

Una sa lahat, ipaalala ko sa iyo na kapag nagtatayo anuman parabola, palagi naming inihaharap sa kanya ang isang karaniwang hanay ng mga tanong. Dalawa sila. Namely:

1) Saan nakadirekta ang mga sangay ng parabola?

2) Sa anong punto ang tuktok?

Sa direksyon ng mga sanga, ang lahat ay malinaw nang direkta mula sa orihinal na expression. Ididirekta ang mga sangay pababa, kasi ang coefficient datix 2 - negatibo. Minus one. Minus bago ang x square palagi binabaligtad ang parabola.

Ngunit sa lokasyon ng tuktok, ang lahat ay hindi masyadong halata. Mayroong, siyempre, isang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng abscissa nito sa pamamagitan ng mga coefficient a at b.

Itong isa:

Ngunit hindi lahat ay naaalala ang formula na ito, oh, hindi lahat ... At 50% ng mga nakakaalala ay natitisod sa antas ng lupa at bumubulong-bulong sa banal na aritmetika (kadalasan kapag nagkalkula ng isang laro). Nakakahiya naman diba?)

Ngayon ay matututunan mo kung paano hanapin ang mga coordinate ng vertex ng anumang parabola. nasa isip sa isang minuto! Parehong x at y. Sa isang iglap at walang anumang mga formula. paano? Sa pamamagitan ng pagpili ng isang buong parisukat!

Kaya, piliin natin ang buong parisukat sa ating expression. Nakukuha namin:

y = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Sino ang bihasa sa pangkalahatang impormasyon tungkol sa mga pag-andar at mahusay na pinagkadalubhasaan ang paksa " mga pagbabago sa function graph ", madali niyang malalaman na ang aming nais na parabola ay nakuha mula sa isang ordinaryong parabola y= x 2 gamit ang tatlong pagbabago. ito:

1) Pagbabago ng direksyon ng mga sanga.

Ito ay ipinahiwatig ng minus sign sa harap ng parisukat ng mga bracket ( a = -1). Ito ay y= x 2 , ito ay naging y=- x 2 .

Conversion: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Parallel na pagsasalin ng parabola y = - x 2 sa x ng 1 unit RIGHT.

Ito ay kung paano lumalabas ang intermediate na iskedyul y = - (x-1 ) 2 .

Conversion: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m = -1).

Bakit ang paglipat sa kanan at hindi sa kaliwa, bagama't may minus sa panaklong? Ito ang teorya ng mga pagbabago sa graph. Ito ay isang hiwalay na paksa.

At sa wakas,

3) Parallel na paglipat mga parabola y = - ( x -1) 2 sa pamamagitan ng laro sa pamamagitan ng 4 units UP.

Ito ang huling parabola y = - (x-1) 2 +4 .

Conversion: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n = + 4)

Ngayon ay tinitingnan namin ang aming chain ng pagbabago at pag-isipan ito: saan gumagalaw ang vertex ng parabolay= x 2 ? Nasa punto (0; 0), pagkatapos ng unang pagbabagong-anyo ang vertex ay hindi gumagalaw kahit saan (ang parabola ay lumiko lang), pagkatapos ng pangalawa - bumaba ito ng x ng +1, at pagkatapos ng pangatlo - ng laro ng +4. Ang kabuuang vertex ay tumama sa punto (1; 4) ... Iyan ang buong sikreto!

Ang larawan ay magiging ganito:

Sa totoo lang, ito ay para sa kadahilanang ito kaya ako ay patuloy na iginuhit ang iyong pansin sa mga numero. m at n nakuha sa proseso ng pagpili ng isang kumpletong parisukat. Hindi ko inakala kung bakit? Oo. Ang punto ay ang puntong may mga coordinate (- m ; n ) Ay laging tuktok ng isang parabola y = a ( x + m ) 2 + n ... Tinitingnan lang natin ang mga numero sa transformed ternary at nasa isip binigay namin ang tamang sagot, nasaan ang tuktok. Maginhawa, tama?)

Ang pagguhit ng mga parabola ay ang unang bagay na dapat gawin. Lumipat tayo sa pangalawa.

Ang pangalawang kapaki-pakinabang na bagay ay ang paglutas ng mga quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Oo Oo! Ang pagpili ng isang kumpletong parisukat sa maraming mga kaso ay lumalabas na mas mabilis at mas mahusay tradisyonal na pamamaraan ng paglutas ng mga naturang gawain. Pagdududa? Walang anuman! Narito ang isang gawain para sa iyo:

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

x 2 +4 x+5 > 0

Natutunan? Oo! Ito ay klasiko parisukat na hindi pagkakapantay-pantay ... Ang lahat ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas gamit ang karaniwang algorithm. Para dito kailangan namin:

1) Gumawa ng isang equation ng karaniwang anyo mula sa hindi pagkakapantay-pantay at lutasin ito, hanapin ang mga ugat.

2) Iguhit ang X-axis at markahan ang mga ugat ng equation na may mga tuldok.

3) I-sketch ang parabola sa pamamagitan ng orihinal na expression.

4) Tukuyin ang mga lugar +/- sa larawan. Piliin ang mga kinakailangang lugar ayon sa paunang hindi pagkakapantay-pantay at isulat ang sagot.

Sa totoo lang, ang buong prosesong ito ay nakakainis, oo ...) At, bukod pa rito, hindi ito palaging nagliligtas sa iyo mula sa mga pagkakamali sa hindi karaniwang mga sitwasyon tulad ng halimbawang ito. Subukan muna natin ang template?

Kaya, isinasagawa namin ang unang punto. Ginagawa namin ang equation mula sa hindi pagkakapantay-pantay:

x 2 +4 x+5 = 0

Standard quadratic equation, walang trick. Kami ang magdedesisyon! Isinasaalang-alang namin ang discriminant:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Yung mga oras lang! At ang discriminant ay negatibo! Ang equation ay walang mga ugat! At walang iguguhit sa axis ... Ano ang gagawin?

Dito, maaaring isipin ng ilan na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay wala ring solusyon... Ito ay isang nakamamatay na maling akala, oo ... Ngunit sa pamamagitan ng pagpili ng isang buong parisukat, ang tamang sagot sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring ibigay sa kalahating minuto! Pagdududa? Well, maaari mong subaybayan ang oras.

Kaya, pinili namin ang buong parisukat sa aming expression. Nakukuha namin:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ganito na ngayon:

(x+2) 2 +1 > 0

At ngayon, nang walang pagpapasya o pagbabago ng anumang bagay, i-on lang natin ang elementarya na lohika at alamin: kung ang parisukat ng ilang expression (malinaw na ang halaga hindi negatibo!) magdagdag ng isa pa, pagkatapos ay anong numero ang makukuha natin sa dulo? Oo! Mahigpit positibo!

Ngayon tingnan natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

(x+2) 2 +1 > 0

Isinasalin namin ang rekord mula sa wikang matematika sa Russian: kung saan ang x ay mahigpit positibo magiging mahigpit ang pagpapahayag higit pa scratch? Hindi nahulaan? Oo! Sa anumang!

Narito ang sagot: x - anumang numero.

Ngayon bumalik tayo sa algorithm. Gayunpaman, ang pag-unawa sa kakanyahan at simpleng pag-uulit na pagsasaulo ay magkaibang bagay.)

Ang kakanyahan ng algorithm ay gumawa kami ng parabola mula sa kaliwang bahagi ng karaniwang hindi pagkakapantay-pantay, at tingnan kung saan ito nasa itaas ng X axis at kung saan ito nasa ibaba. Yung. kung saan ang mga positibong halaga ay nasa kaliwa, kung saan negatibo.

Kung gagawa tayo ng parabola sa kaliwang bahagi:

y =x 2 +4 x+5

At iguguhit natin ang graph nito, pagkatapos ay makikita natin iyon lahat buong parabola pumasa sa itaas ng X-axis. Ang larawan ay magiging ganito:

Ang parabola ay baluktot, oo ... Kaya ito ay eskematiko. Ngunit sa parehong oras, ang lahat ng kailangan natin ay makikita sa larawan. Ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa X-axis, walang mga zero na halaga ng laro. At, siyempre, wala ring mga negatibong halaga. Na ipinapakita sa pamamagitan ng pagtatabing sa buong X-axis sa kabuuan. Sa pamamagitan ng paraan, inilarawan ko ang Y-axis at ang mga coordinate ng vertex dito para sa isang dahilan. Ihambing ang mga coordinate ng vertex ng parabola (-2; 1) at ang ating binagong expression!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Paano mo ito gusto? Oo! Sa kaso natin m=2 at n=1 ... Samakatuwid, ang vertex ng parabola ay may mga coordinate: (- m; n) = (-2; 1) ... Ang lahat ay lohikal.)

Isa pang gawain:

Lutasin ang equation:

x 2 +4 x+3 = 0

Simpleng quadratic equation. Maaari mong lutasin ang makalumang paraan,. Makakapasa ka. Ayon sa gusto mo. Walang pakialam ang matematika.)

Nakukuha namin ang mga ugat: x 1 =-3 x 2 =-1

At kung wala sa isa o sa iba pang paraan ... hindi mo naaalala? Buweno, ang isang deuce ay kumikinang para sa iyo, sa isang mapayapang paraan, ngunit ... Kung gayon, ililigtas kita! Hayaan mong ipakita ko sa iyo kung paano mo malulutas ang ilang mga quadratic equation sa pamamagitan lamang ng mga pamamaraan ng ikapitong klase. muli pumili ng isang buong parisukat!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

At ngayon inilalarawan namin ang nagresultang expression bilang ... pagkakaiba ng mga parisukat! Oo, oo, mayroong isa sa ikapitong baitang:

a 2 -b 2 = (a-b) (a + b)

Sa papel a nakausli ang mga bracket(x+2) , at sa papel b- isa. Nakukuha namin:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Ipinasok namin ang pagpapalawak na ito sa equation sa halip na ang quadratic trinomial:

(x+1)(x+3)=0

Ito ay nananatiling upang malaman na ang produkto ng mga kadahilanan ay zero pagkatapos at pagkatapos lamang, kapag ang alinman sa mga ito ay zero. Kaya itinutumbas natin (sa isip!) Ang bawat panaklong sa zero.

Nakukuha namin: x 1 =-3 x 2 =-1

Iyon lang. Ang parehong dalawang ugat. Ganyan ang matalinong panlilinlang. Bilang karagdagan sa diskriminasyon.)

Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa discriminant at pangkalahatang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:

Sa aking aralin, ang derivation ng masalimuot na pormula na ito ay tinanggal. Bilang hindi kailangan. Pero heto siya.) Gusto mo bang malaman kung paano lumalabas ang formula na ito? Saan nagmula ang expression para sa discriminant at bakit eksaktob 2 -4ac, at hindi kung hindi? Gayunpaman, ang kumpletong pag-unawa sa kakanyahan ng kung ano ang nangyayari ay mas kapaki-pakinabang kaysa sa walang pag-iisip na pagsulat ng anumang mga titik at simbolo, tama ba?)

Ang ikatlong kapaki-pakinabang na bagay ay ang derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation.

Dito na tayo! Kumuha kami ng square trinomial sa pangkalahatang anyo palakol 2 + bx+ c at… nagsisimula kaming pumili ng isang buong parisukat! Yeah straight sa pamamagitan ng mga sulat! Nagkaroon ng aritmetika, ngayon - algebra.) Una, gaya ng dati, isinasagawa namin ang liham a sa labas ng mga bracket, at lahat ng iba pang coefficient ay hinati ng a:

Ganito. Ito ay isang ganap na legal na conversion: a hindi katumbas ng zero, at maaari mong hatiin ito. At muli ay nagtatrabaho kami sa mga bracket ayon sa karaniwang algorithm: mula sa term na may x gumawa kami ng isang dobleng produkto, idagdag / ibawas ang parisukat ng pangalawang numero ...

Ang lahat ay pareho, ngunit may mga titik.) Subukang tapusin ito sa iyong sarili! Malusog!)

Pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, dapat mong makuha ito:

At bakit tayo dapat bumuo ng mga tambak mula sa isang hindi nakakapinsalang trinomial - itatanong mo? Wala, ngayon ito ay magiging kawili-wili! At ngayon, siyempre, tinutumbasan natin ang bagay na ito sa zero:

Nilulutas namin ito bilang isang ordinaryong equation, nagtatrabaho kami ayon sa lahat ng mga patakaran, may mga titik lamang... Ginagawa namin ang elementarya:

1) Ilipat ang malaking bahagi sa kanan. Kapag naglilipat, binago namin ang plus sa minus. Upang hindi gumuhit ng minus sa harap ng fraction mismo, babaguhin ko lang ang lahat ng mga palatandaan sa numerator. Sa kaliwa, ang numerator ay4ac-b 2 , at pagkatapos ng paglipat ay magiging -( 4ac-b 2 ) , ibig sabihin. b 2 -4 ac. Isang bagay na pamilyar, hindi ba? Oo! Ang discriminant, siya ang pinaka ...) Magiging ganito:

2) Nililinis namin ang parisukat ng mga bracket mula sa koepisyent. Hinahati namin ang dalawang bahagi sa " a". Sa kaliwa, sa harap ng mga bracket, ang sulat a nawawala, at sa kanan ay napupunta sa denominator ng isang malaking fraction, nagiging ito 4 a 2 .

Lumalabas ang pagkakapantay-pantay na ito:

Nagkamali ba para sa iyo? Kung gayon ang paksang "" ay para sa iyo. Agad na pumunta doon!

Susunod na hakbang kunin ang ugat... Interesado kami sa X, tama ba? At ang X ay nakaupo sa ilalim ng parisukat ... Kinukuha namin ito ayon sa mga patakaran para sa pagkuha ng mga ugat, siyempre. Pagkatapos i-extract, makukuha mo ito:

Sa kaliwa ay ang parisukat ng kabuuan nawawala at ang halagang ito mismo ay nananatili. Alin ang kinakailangan.) Ngunit sa kanan ay lilitaw Dagdag bawas... Para sa aming mabigat na roll, sa kabila ng nakakatakot na hitsura nito, ay ilang numero lang... Fractional na numero. Coefficient Dependent a, b, c... Kasabay nito, ang ugat ng numerator ng fraction na ito ay hindi maganda ang nakuha, mayroong pagkakaiba sa pagitan ng dalawang expression. At narito ang ugat ng denominator 4 a 2 medyo self-extracting! Ito ay magiging simple 2 a.

"Nakakalito" na tanong na dapat punan: may karapatan ba ako, kinuha ang ugat mula sa expression 4 a2, magbigay ng sagot 2a lang? Pagkatapos ng lahat, ang panuntunan ng pagkuha parisukat na ugat obliges na ilagay ang module sign, i.e.2 | isang | !

Isipin kung bakit ko inalis ang modulus sign. Malaking tulong. Hint: ang sagot ay nasa sign Dagdag bawas bago ang fraction.)

May mga natitira na lamang. Nagbibigay kami ng malinis na X sa kaliwa. Upang gawin ito, ilipat ang maliit na bahagi sa kanan. Sa pagbabago ng tanda, ang paminta ay malinaw. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang sign sa isang fraction ay maaaring baguhin kahit saan at sa anumang paraan. Gusto naming baguhin bago ang fraction, gusto namin sa denominator, gusto namin sa numerator. Papalitan ko ang sign sa numerator... Ito ay + b, ito ay naging – b... Sana walang objection?) After the transfer, it will be like this:

Magdagdag ng dalawang fraction na may parehong denominator at makakuha ng (sa wakas!):

Well? Ano ang masasabi ko? Wow!)

Kapaki-pakinabang na ikaapat na bagay - tala para sa mga mag-aaral!

At ngayon ay maayos na kaming lilipat mula sa paaralan patungo sa unibersidad. Maniwala ka man o hindi, ang pagpili ng isang kumpletong parisukat sa mas mataas na matematika ay kailangan din!

Halimbawa, isang gawain tulad nito:

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Saan magsisimula? Ang direktang aplikasyon ay hindi gumulong. Tanging ang pagpili ng isang buong parisukat ang makakatipid, oo ...)

Ang sinumang hindi alam kung paano pumili ng isang kumpletong parisukat ay mananatili magpakailanman sa simpleng halimbawang ito. At sino ang nakakaalam kung paano, inilalaan at natatanggap niya:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

At ngayon ang integral (para sa mga nakakaalam) ay kinuha na may natitira!

Mahusay, hindi ba? At ang mga ito ay hindi lamang mga integral! Nananahimik na ako tungkol sa analytical geometry, kasama nito mga kurba ng pangalawang order – ellipse, hyperbola, parabola at bilog.

Halimbawa:

Tukuyin ang uri ng kurba na ibinigay ng equation:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Kung walang kakayahang pumili ng isang buong parisukat, ang gawain ay hindi malulutas, oo ... Ngunit ang isang halimbawa ay wala kahit saan na mas madali! Para sa mga nasa paksa, siyempre.

Pangkatin ang mga miyembro na may X at sa laro sa mga tambak at pumili ng kumpletong mga parisukat para sa bawat variable. Ito ay lalabas:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

O kamusta ba iyon? Nalaman mo ba kung anong uri ng hayop?) Well, siyempre! Ang bilog na radius ay isang triplet na nakasentro sa punto (3; 4).

At iyon lang.) Ang isang kapaki-pakinabang na bagay ay ang pagpili ng isang kumpletong parisukat!)