Quadratic na hugis Ang f(x 1, x 2,...,x n) ng n variable ay isang kabuuan, na ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Ang matrix A na binubuo ng mga coefficient na ito ay tinatawag na matrix ng quadratic form. Ito'y palaging simetriko matrix (ibig sabihin, isang matrix na simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal, isang ij =a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng quadratic form. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient ng mga squared variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng mga halves ng kaukulang coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-singular matrix ng nth order. Pagkatapos ay ang quadratic form f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng quadratic form ay tumatagal sa anyo: A * =C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang parisukat na anyo f(y 1, y 2), na nakuha mula sa parisukat na anyo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Mayroon itong canonical view), kung ang lahat ng coefficientsa nito ij = 0 para sa i≠j, ibig sabihin, f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(hindi ibinigay ang patunay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, dalhin natin sa canonical form ang quadratic form f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Upang gawin ito, pumili muna ng kumpletong parisukat na may variable na x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Ngayon pumili kami ng isang kumpletong parisukat na may variable na x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Pagkatapos, ang non-degenerate linear transformation na y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 at y 3 = x 3 ay dinadala ang quadratic form na ito sa canonical formf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi tiyak na tinutukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo sa iba't ibang paraan 1). Gayunpaman, ang mga canonical form na nakuha sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan ay may ilang mga karaniwang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng form sa form na ito (halimbawa, sa halimbawang isinasaalang-alang ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang ari-arian na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagdadala ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable na x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , kung saan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito mayroong isang positibong koepisyent ng 2 para sa y 3 at dalawang negatibong koepisyent (-3) para sa y 1 at y 2 (at gamit ang isa pang paraan, nakakuha kami ng positibong koepisyent ng 2 para sa y 1 at dalawang negatibo - (-5) para sa y 2 at (-1/20) para sa y 3 ).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng quadratic form, na tinatawag ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga nonzero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag positibo(negatibo)tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, ibig sabihin, f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin, f(X)< 0).

Halimbawa, ang parisukat na anyo f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ay positibong tiyak, dahil ay isang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin sa anyof 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, kaya para dito ginagamit namin ang isa sa mga sumusunod na theorems (bubuuin namin ang mga ito nang walang patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (Sylvester criterion). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng mga nangungunang menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.

Pangunahing (sulok) menor Ang k-th order matrice ng An-th order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, suriin natin ang quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa katiyakan ng sign.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Principal minor ng unang order ng matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Principal minor ng pangalawang order  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa Sylvester's criterion, ang quadratic ang anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang parisukat na anyo para sa katiyakan ng tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Samakatuwid, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak (ang mga palatandaan ng mga pangunahing menor ay kahalili, nagsisimula sa minus).

At bilang isa pang halimbawa, sinusuri natin ang quadratic form na tinutukoy ng sign f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Ang isa sa mga numerong ito ay negatibo at ang isa ay positibo. Ang mga palatandaan ng eigenvalues ​​ay iba. Dahil dito, ang parisukat na anyo ay maaaring hindi negatibo o positibong tiyak, i.e. ang quadratic form na ito ay hindi sign-definite (maaari itong kumuha ng mga halaga ng anumang sign).

Paraan 2. Principal minor ng unang order ng matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Principal minor ng pangalawang order 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Ang isinasaalang-alang na paraan ng pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo ay maginhawang gamitin kapag ang mga di-zero na coefficient ay nakatagpo sa mga parisukat ng mga variable. Kung wala sila doon, posible pa ring isagawa ang conversion, ngunit kailangan mong gumamit ng ilang iba pang mga diskarte. Halimbawa, hayaan ang f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, kung saan y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Ang konsepto ng quadratic form. Matrix ng quadratic form. Kanonikal na anyo ng parisukat na anyo. Paraan ng Lagrange. Normal na view ng isang parisukat na anyo. Ranggo, index at lagda ng quadratic form. Positibong tiyak na parisukat na anyo. Quadrics.

Konsepto ng quadratic form: isang function sa isang vector space na tinukoy ng isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa mga coordinate ng vector.

Quadratic na anyo mula sa n hindi kilala ay tinatawag na kabuuan, na ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga hindi alam na ito, o ang produkto ng dalawang magkaibang hindi alam.

Quadratic matrix: Ang matrix ay tinatawag na matrix ng quadratic form sa isang naibigay na batayan. Kung ang katangian ng field ay hindi katumbas ng 2, maaari nating ipagpalagay na ang matrix ng quadratic form ay simetriko, iyon ay.

Sumulat ng isang matrix ng quadratic form:

Kaya naman,

Sa vector matrix form, ang quadratic form ay:

A, saan

Kanonikal na anyo ng parisukat na anyo: Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical kung lahat i.e.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang mga linear na pagbabago. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod na pamamaraan ay karaniwang ginagamit.

Paraan ng Lagrange : sunud-sunod na pagpili ng kumpletong mga parisukat. Halimbawa, kung

Pagkatapos ang isang katulad na pamamaraan ay ginanap sa parisukat na anyo atbp Kung sa parisukat na anyo ang lahat ay ngunit pagkatapos pagkatapos ng paunang pagbabagong-anyo ang bagay ay bumaba sa pamamaraang isinasaalang-alang. Kaya, kung, halimbawa, pagkatapos ay ipinapalagay namin

Normal na anyo ng quadratic form: Ang normal na quadratic form ay isang canonical quadratic form kung saan ang lahat ng coefficient ay katumbas ng +1 o -1.

Ranggo, index at lagda ng quadratic form: Ranggo ng parisukat na anyo A ay tinatawag na ranggo ng matris A. Ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay hindi nagbabago sa ilalim ng mga di-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga hindi alam.

Ang bilang ng mga negatibong koepisyent ay tinatawag na index ng negatibong anyo.

Ang bilang ng mga positibong termino sa canonical form ay tinatawag na positibong index ng inertia ng quadratic form, ang bilang ng mga negatibong termino ay tinatawag na negatibong index. Ang pagkakaiba sa pagitan ng positibo at negatibong mga indeks ay tinatawag na lagda ng parisukat na anyo

Positibong tiyak na parisukat na anyo: Tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na positive definite (negative definite) kung, para sa anumang tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na zero,

. (36)

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive definite (negative definite) form ay bahagi ng class ng non-negative (resp. non-positive) forms.

Quadrics: Quadric - n-dimensional na hypersurface sa n+1-dimensional na espasyo, na tinukoy bilang set ng mga zero ng isang polynomial ng pangalawang degree. Kung ilalagay mo ang mga coordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (sa Euclidean o affine space), ang pangkalahatang equation ng isang quadric ay

Ang equation na ito ay maaaring muling isulat nang mas compact sa matrix notation:

kung saan x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — row vector, x Ang T ay isang transposed vector, Q- laki ng matrix ( n+1)×( n+1) (pinapalagay na kahit isa sa mga elemento nito ay hindi zero), P ay isang row vector, at R— pare-pareho. Ang mga quadric sa tunay o kumplikadong mga numero ay madalas na isinasaalang-alang. Ang kahulugan ay maaaring palawakin sa quadrics sa projective space, tingnan sa ibaba.

Sa pangkalahatan, ang hanay ng mga zero ng isang sistema ng mga polynomial equation ay kilala bilang isang algebraic variety. Kaya, ang quadric ay isang (affine o projective) algebraic variety ng pangalawang degree at codimension 1.

Mga pagbabago sa eroplano at espasyo.

Kahulugan ng pagbabago ng eroplano. Pagtuklas ng paggalaw. katangian ng paggalaw. Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri. Mga halimbawa ng paggalaw. Analytical expression ng paggalaw. Pag-uuri ng mga paggalaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong mga linya). Grupo ng mga paggalaw ng eroplano.

Kahulugan ng pagbabago ng eroplano: Kahulugan. Ang pagbabagong-anyo ng eroplano na nagpapanatili ng distansya sa pagitan ng mga punto ay tinatawag paggalaw(o paggalaw) ng eroplano. Ang pagbabago ng eroplano ay tinatawag affine, kung binago nito ang anumang tatlong puntos na nakahiga sa parehong linya sa tatlong puntos na nakahiga din sa parehong linya at sabay na pinapanatili ang simpleng kaugnayan ng tatlong puntos.

Kahulugan ng Paggalaw: Ito ay mga pagbabago sa hugis na nagpapanatili ng mga distansya sa pagitan ng mga punto. Kung ang dalawang figure ay tiyak na nakahanay sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw, kung gayon ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

Mga katangian ng paggalaw: Ang bawat paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang parallel na pagsasalin o isang pag-ikot; Kapag gumagalaw, ang mga puntong nakahiga sa isang tuwid na linya ay nagiging mga punto na nakahiga sa isang tuwid na linya, at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang mga kamag-anak na posisyon ay pinananatili. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya ay napanatili.

Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri: Ang mga paggalaw ng unang uri ay ang mga paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng mga base ng isang tiyak na pigura. Maaari silang mapagtanto sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang mga paggalaw na nagbabago sa oryentasyon ng mga base sa kabaligtaran. Hindi sila maisasakatuparan sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga halimbawa ng mga paggalaw ng unang uri ay pagsasalin at pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya, at ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay sentral at mirror symmetry.

Ang komposisyon ng anumang bilang ng mga paggalaw ng unang uri ay isang paggalaw ng unang uri.

Ang komposisyon ng isang pantay na bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang paggalaw ng unang uri, at ang komposisyon ng isang kakaibang bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang paggalaw ng ika-2 uri.

Mga halimbawa ng paggalaw:Parallel na paglipat. Hayaan ang isang ibinigay na vector. Ang parallel transfer sa vector a ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat point M ay nakamapa sa point M 1, upang ang vector MM 1 ay katumbas ng vector a.

Ang parallel translation ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na pinapanatili ang mga distansya. Ang paggalaw na ito ay maaaring biswal na kinakatawan bilang isang paglipat ng buong eroplano sa direksyon ng isang naibigay na vector a sa pamamagitan ng haba nito.

Iikot. Tukuyin natin ang puntong O sa eroplano ( pagliko sa gitna) at itakda ang anggulo α ( anggulo ng pag-ikot). Ang pag-ikot ng eroplano sa paligid ng puntong O sa pamamagitan ng isang anggulong α ay ang pagmamapa ng eroplano sa sarili nito, kung saan ang bawat puntong M ay nakamapa sa puntong M 1, upang ang OM = OM 1 at ang anggulo ng MOM 1 ay katumbas ng α. Sa kasong ito, ang point O ay nananatili sa lugar nito, ibig sabihin, ito ay naka-map sa sarili nito, at ang lahat ng iba pang mga punto ay umiikot sa paligid ng point O sa parehong direksyon - clockwise o counterclockwise (ang figure ay nagpapakita ng counterclockwise rotation).

Ang pag-ikot ay isang paggalaw dahil ito ay kumakatawan sa isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang mga distansya ay pinapanatili.

Analytical expression ng paggalaw: ang analytical na koneksyon sa pagitan ng mga coordinate ng preimage at ang imahe ng punto ay may form (1).

Pag-uuri ng mga paggalaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya): Kahulugan:

Ang isang punto sa isang eroplano ay invariant (naayos) kung, sa ilalim ng isang ibinigay na pagbabago, ito ay nagbabago sa sarili nito.

Halimbawa: Sa gitnang simetrya, ang punto ng sentro ng simetriya ay invariant. Kapag lumiliko, ang punto ng sentro ng pag-ikot ay invariant. Sa axial symmetry, ang invariant line ay isang straight line - ang axis of symmetry ay isang straight line ng invariant point.

Theorem: Kung ang isang kilusan ay walang iisang invariant point, kung gayon mayroon itong kahit isang invariant na direksyon.

Halimbawa: Parallel transfer. Sa katunayan, ang mga tuwid na linya na parallel sa direksyon na ito ay invariant bilang isang figure sa kabuuan, bagama't hindi ito binubuo ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang isang sinag ay gumagalaw, ang sinag ay nagsasalin sa sarili nito, kung gayon ang paggalaw na ito ay alinman sa isang magkaparehong pagbabago o simetriya na may paggalang sa tuwid na linya na naglalaman ng ibinigay na sinag.

Samakatuwid, batay sa pagkakaroon ng mga invariant na puntos o figure, posibleng pag-uri-uriin ang mga paggalaw.

Pangalan ng paggalaw	Mga invariant na puntos	Mga linyang walang pagbabago
Ang paggalaw ng unang uri.
1. - lumiko	(gitna) - 0	Hindi
2. Pagbabago ng pagkakakilanlan	lahat ng punto ng eroplano	diretso lahat
3. Gitnang simetrya	punto 0 - gitna	lahat ng linyang dumadaan sa point 0
4. Parallel transfer	Hindi	diretso lahat
Ang paggalaw ng pangalawang uri.
5. Axial symmetry.	hanay ng mga puntos	axis of symmetry (tuwid na linya) lahat ng tuwid na linya

Grupo ng paggalaw ng eroplano: Sa geometry, ang mga grupo ng mga self-composition ng mga figure ay may mahalagang papel. Kung ang isang tiyak na pigura sa isang eroplano (o sa kalawakan), maaari nating isaalang-alang ang hanay ng lahat ng mga paggalaw ng eroplano (o espasyo) kung saan ang pigura ay nagiging sarili nito.

Ang set na ito ay isang grupo. Halimbawa, para sa isang equilateral triangle, ang grupo ng mga paggalaw ng eroplano na nagbabago sa tatsulok sa sarili nito ay binubuo ng 6 na elemento: mga pag-ikot sa mga anggulo sa paligid ng isang punto at mga simetriko tungkol sa tatlong tuwid na linya.

Ang mga ito ay ipinapakita sa Fig. 1 na may mga pulang linya. Ang mga elemento ng pangkat ng mga self-alignment ng isang regular na tatsulok ay maaaring matukoy nang iba. Upang ipaliwanag ito, bilangin natin ang mga vertice ng isang regular na tatsulok na may mga numerong 1, 2, 3. Ang anumang pag-align sa sarili ng tatsulok ay tumatagal ng mga puntos 1, 2, 3 sa parehong mga punto, ngunit kinuha sa ibang pagkakasunud-sunod, i.e. maaaring kondisyon na nakasulat sa anyo ng isa sa mga bracket na ito:

atbp.

kung saan ang mga numero 1, 2, 3 ay nagpapahiwatig ng mga bilang ng mga vertice kung saan napupunta ang mga vertex 1, 2, 3 bilang resulta ng kilusang isinasaalang-alang.

Projective space at ang kanilang mga modelo.

Ang konsepto ng projective space at ang modelo ng projective space. Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry. Ang isang grupo ng mga linya na nakasentro sa punto O ay isang modelo ng projective plane. Mga projective na puntos. Ang pinalawig na eroplano ay isang modelo ng projective plane. Ang pinalawak na three-dimensional na affine o Euclidean space ay isang modelo ng projective space. Mga larawan ng mga flat at spatial na figure sa parallel na disenyo.

Ang konsepto ng projective space at ang modelo ng projective space:

Ang projective space sa ibabaw ng field ay isang puwang na binubuo ng mga linya (one-dimensional na mga subspace) ng ilang linear na espasyo sa isang partikular na field. Ang mga direktang puwang ay tinatawag tuldok projective space. Ang kahulugan na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa isang arbitraryong katawan

Kung ito ay may dimensyon , kung gayon ang dimensyon ng projective space ay tinatawag na numero , at ang projective space mismo ay tinutukoy at tinatawag na nauugnay sa (upang ipahiwatig ito, ang notasyon ay pinagtibay).

Ang paglipat mula sa isang vector space ng dimensyon sa kaukulang projective space ay tinatawag projectivization space.

Maaaring ilarawan ang mga puntos gamit ang mga homogenous na coordinate.

Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry: Ang projective geometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga projective na eroplano at espasyo. Ang pangunahing tampok ng projective geometry ay ang prinsipyo ng duality, na nagdaragdag ng eleganteng simetrya sa maraming mga disenyo. Ang projective geometry ay maaaring pag-aralan pareho mula sa isang purong geometric na punto ng view, at mula sa isang analytical (gamit ang homogenous coordinates) at salgebraic point of view, isinasaalang-alang ang projective plane bilang isang istraktura sa ibabaw ng isang field. Kadalasan, at ayon sa kasaysayan, ang totoong projective plane ay itinuturing na Euclidean plane na may pagdaragdag ng "line at infinity".

Samantalang ang mga katangian ng mga figure kung saan ang Euclidean geometry ay nakikitungo panukat(mga tiyak na halaga ng mga anggulo, mga segment, mga lugar), at ang pagkakapareho ng mga numero ay katumbas ng kanilang pagkakatugma(ibig sabihin, kapag ang mga figure ay maaaring isalin sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw habang pinapanatili ang mga metric na katangian), mayroong higit pang "malalim na kasinungalingan" na mga katangian ng mga geometric na figure na pinapanatili sa ilalim ng mga pagbabagong mas pangkalahatang uri kaysa sa paggalaw. Ang projective geometry ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga katangian ng mga figure na invariant sa ilalim ng klase projective transformations, pati na rin ang mga pagbabagong ito mismo.

Ang projective geometry ay umaakma sa Euclidean geometry sa pamamagitan ng pagbibigay ng maganda at simpleng solusyon sa maraming problemang kumplikado ng pagkakaroon ng mga parallel na linya. Ang projective theory ng conic sections ay lalong simple at eleganteng.

May tatlong pangunahing diskarte sa projective geometry: independent axiomatization, complementation ng Euclidean geometry, at structure sa isang field.

Axiomatization

Maaaring tukuyin ang projective space gamit ang ibang hanay ng mga axiom.

Nagbibigay ang Coxeter ng sumusunod:

1. May tuwid na linya at wala dito.

2. Ang bawat linya ay may hindi bababa sa tatlong puntos.

3. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

4. Kung A, B, C, At D- iba't ibang mga punto at AB At CD bumalandra, pagkatapos A.C. At BD bumalandra.

5. Kung ABC ay isang eroplano, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto na wala sa eroplano ABC.

6. Dalawang magkaibang eroplano ay nagsalubong ng hindi bababa sa dalawang punto.

7. Ang tatlong dayagonal na punto ng isang kumpletong may apat na gilid ay hindi collinear.

8. Kung tatlong puntos ang nasa isang linya X X

Ang projective plane (walang pangatlong dimensyon) ay tinukoy ng bahagyang magkakaibang mga axiom:

1. Sa pamamagitan ng dalawang puntos maaari kang gumuhit ng eksaktong isang tuwid na linya.

2. Magsalubong ang alinmang dalawang linya.

3. Mayroong apat na puntos, kung saan ang tatlo ay hindi collinear.

4. Ang tatlong dayagonal na punto ng kumpletong quadrilaterals ay hindi collinear.

5. Kung tatlong puntos ang nasa isang linya X ay invariant na may paggalang sa projectivity ng φ, pagkatapos ay ang lahat ng mga puntos sa X invariant na may kinalaman sa φ.

6. Teorama ni Desargues: Kung ang dalawang tatsulok ay pananaw sa pamamagitan ng isang punto, kung gayon ang mga ito ay pananaw sa pamamagitan ng isang linya.

Sa pagkakaroon ng ikatlong dimensyon, ang teorama ni Desargues ay mapapatunayan nang hindi nagpapakilala ng perpektong punto at linya.

Pinalawak na eroplano - modelo ng projective na eroplano: Sa puwang ng affine A3 kumuha kami ng isang bundle ng mga linya S(O) na may sentro sa punto O at isang eroplanong Π na hindi dumadaan sa gitna ng bundle: O 6∈ Π. Ang isang bundle ng mga linya sa isang affine space ay isang modelo ng projective plane. Tukuyin natin ang isang pagmamapa ng hanay ng mga punto ng eroplano Π papunta sa hanay ng mga tuwid na linya ng connective S (Fuck, manalangin kung nakuha mo ang tanong na ito, patawarin mo ako)

Extended three-dimensional affine o Euclidean space—isang modelo ng projective space:

Upang gawing surjective ang pagmamapa, inuulit namin ang proseso ng pormal na pagpapalawak ng affine plane Π sa projective plane, Π, na dinadagdagan ang plane Π na may isang set ng mga hindi wastong puntos (M∞) tulad ng: ((M∞)) = P0(O). Dahil sa mapa ang kabaligtaran na imahe ng bawat eroplano ng bundle ng mga eroplanong S(O) ay isang linya sa eroplanong d, malinaw na ang hanay ng lahat ng mga hindi tamang punto ng pinalawig na eroplano: Π = Π ∩ (M∞) Ang , (M∞), ay kumakatawan sa isang hindi tamang linya d∞ ng pinalawig na eroplano, na siyang kabaligtaran na imahe ng isahan na eroplano Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sumang-ayon tayo na dito at mula ngayon mauunawaan natin ang huling pagkakapantay-pantay na P0(O) = Π0 sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay ng mga puntos, ngunit pinagkalooban ng ibang istraktura. Sa pamamagitan ng pagdaragdag sa affine plane ng hindi tamang linya, tiniyak namin na ang pagmamapa (I.21) ay naging bijective sa hanay ng lahat ng mga punto ng pinalawig na eroplano:

Mga larawan ng mga flat at spatial na figure sa panahon ng parallel na disenyo:

Sa stereometry, pinag-aaralan ang mga spatial figure, ngunit sa pagguhit ay inilalarawan sila bilang mga flat figure. Paano dapat ilarawan ang isang spatial figure sa isang eroplano? Karaniwan sa geometry, parallel na disenyo ang ginagamit para dito. Hayaan akong maging isang eroplano, l- isang tuwid na linya na bumabagtas dito (Larawan 1). Sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto A, hindi kabilang sa linya l, gumuhit ng linyang parallel sa linya l. Ang punto ng intersection ng linyang ito sa eroplanong p ay tinatawag na parallel projection ng punto A sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l. Ipahiwatig natin ito A". Kung ang punto A nabibilang sa linya l, pagkatapos ay sa pamamagitan ng parallel projection A ang punto ng intersection ng linya ay itinuturing na nasa eroplano p l may eroplano p.

Kaya, ang bawat punto A space ang projection nito ay inihambing A" papunta sa eroplano p. Ang sulat na ito ay tinatawag na parallel projection papunta sa plane p sa direksyon ng tuwid na linya l.

Grupo ng mga projective na pagbabago. Application sa paglutas ng problema.

Ang konsepto ng projective transformation ng isang eroplano. Mga halimbawa ng projective transformations ng eroplano. Mga katangian ng projective transformations. Homology, katangian ng homology. Grupo ng mga projective na pagbabago.

Ang konsepto ng projective transformation ng isang eroplano: Ang konsepto ng isang projective transformation ay nagsa-generalize ng konsepto ng isang central projection. Kung gagawa tayo ng gitnang projection ng plane α sa ilang plane α 1, pagkatapos ay isang projection ng α 1 papunta sa α 2, α 2 sa α 3, ... at sa wakas, ilang plane α n muli sa α 1, kung gayon ang komposisyon ng lahat ng mga projection na ito ay ang projective transformation ng eroplanong α; Ang mga parallel projection ay maaari ding isama sa naturang chain.

Mga halimbawa ng pagbabago ng projective plane: Ang isang projective transformation ng isang nakumpletong eroplano ay ang isa-sa-isang pagmamapa nito sa sarili nito, kung saan ang collinearity ng mga puntos ay pinapanatili, o, sa madaling salita, ang imahe ng anumang linya ay isang tuwid na linya. Ang anumang projective transformation ay isang komposisyon ng isang chain ng central at parallel projection. Ang affine transformation ay isang espesyal na kaso ng projective transformation, kung saan ang linya sa infinity ay nagiging sarili nito.

Mga katangian ng projective transformations:

Sa panahon ng projective transformation, tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang linya ay binago sa tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang linya.

Sa panahon ng projective transformation, nagiging frame ang frame.

Sa panahon ng projective transformation, ang isang linya ay napupunta sa isang tuwid na linya, at ang isang lapis ay napupunta sa isang lapis.

Homology, katangian ng homology:

Ang isang projective na pagbabagong-anyo ng isang eroplano na may linya ng mga invariant na punto, at samakatuwid ay isang lapis ng mga invariant na linya, ay tinatawag na homology.

1. Ang isang linyang dumadaan sa hindi magkakatugmang kaukulang homology na mga punto ay isang invariant na linya;

2. Ang mga linyang dumadaan sa hindi magkakatugmang kaukulang mga homology point ay nabibilang sa parehong lapis, ang gitna nito ay isang invariant point.

3. Ang punto, imahe nito at ang sentro ng homology ay nasa parehong tuwid na linya.

Grupo ng mga projective na pagbabago: isaalang-alang ang projective mapping ng projective plane P 2 sa sarili nito, iyon ay, ang projective transformation ng plane na ito (P 2 ’ = P 2).

Gaya ng dati, ang komposisyon f ng projective transformations f 1 at f 2 ng projective plane P 2 ay resulta ng sequential execution ng transformations f 1 at f 2: f = f 2 °f 1 .

Theorem 1: ang set H ng lahat ng projective transformations ng projective plane P 2 ay isang grupo na may paggalang sa komposisyon ng projective transformations.

Positibong tiyak na mga parisukat na anyo

Kahulugan. Quadratic na anyo mula sa n hindi kilala ang tawag positibong tiyak, kung ang ranggo nito ay katumbas ng positive inertia index at katumbas ng bilang ng mga hindi alam.

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ito ay kukuha lamang ng mga positibong halaga sa anumang di-zero na hanay ng mga halaga ng mga variable.

Patunay. Hayaang ang quadratic form ay isang non-degenerate linear transformation ng mga hindi alam

ibinalik sa normal

.

Para sa anumang hindi-zero na hanay ng mga variable na halaga, kahit isa sa mga numero iba sa zero, ibig sabihin. . Ang pangangailangan ng teorama ay napatunayan.

Ipagpalagay na ang quadratic form ay kumukuha ng mga positibong halaga sa anumang non-zero set ng mga variable, ngunit ang positive inertia index nito ay isang non-degenerate linear transformation ng mga hindi alam.

Dalhin natin ito sa normal na anyo. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na sa normal na anyo na ito ang parisukat ng huling variable ay alinman sa wala o kasama sa isang minus sign, i.e. , saan o . Ipagpalagay natin na ito ay isang di-zero na hanay ng mga variable na halaga na nakuha bilang resulta ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation

Sa sistemang ito, ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga variable at ang determinant ng system ay nonzero. Ayon sa teorama ni Cramer, ang sistema ay may natatanging solusyon, at ito ay nonzero. Para sa set na ito. Pagsalungat sa kondisyon. Dumating tayo sa isang pagkakasalungatan sa palagay, na nagpapatunay sa kasapatan ng teorama.

Gamit ang criterion na ito, imposibleng matukoy mula sa mga coefficient kung ang quadratic form ay positive definite. Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng isa pang teorama, para sa pagbabalangkas kung saan ipinakilala namin ang isa pang konsepto. Mga pangunahing dayagonal na menor de edad ng isang matrix– ito ay mga menor de edad na matatagpuan sa itaas na kaliwang sulok:

, , , … , .

Teorama.Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng pangunahing dayagonal na menor de edad nito ay positibo.

Patunay isasagawa natin ang paraan ng kumpletong mathematical induction sa bilang n parisukat na mga variable f.

Induction hypothesis. Ipagpalagay natin na para sa mga parisukat na anyo na may mas kaunting mga variable n totoo ang pahayag.

Isaalang-alang ang parisukat na anyo ng n mga variable. Ilagay natin ang lahat ng terminong naglalaman ng . Ang natitirang mga termino ay bumubuo ng isang parisukat na anyo ng mga variable. Ayon sa induction hypothesis, totoo ang pahayag para sa kanya.

Ipagpalagay na ang parisukat na anyo ay positibong tiyak. Pagkatapos ang parisukat na anyo ay positibong tiyak. Kung ipagpalagay natin na hindi ito ang kaso, mayroong isang non-zero na hanay ng mga variable na halaga , para sa at kaugnay nito, , at ito ay sumasalungat sa katotohanan na ang parisukat na anyo ay positibong tiyak. Sa pamamagitan ng induction hypothesis, lahat ng principal diagonal minors ng isang quadratic form ay positibo, i.e. lahat ng unang pangunahing menor de edad ng parisukat na anyo f ay positibo. Huling pangunahing menor ng parisukat na anyo – ito ang determinant ng matrix nito. Ang determinant na ito ay positibo, dahil ang tanda nito ay kasabay ng tanda ng matrix ng normal nitong anyo, i.e. na may tanda ng determinant ng identity matrix.

Hayaang maging positibo ang lahat ng pangunahing dayagonal na menor ng parisukat at ang lahat ng pangunahing dayagonal na menor ng parisukat ay positibo mula sa pagkakapantay-pantay . Sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang quadratic form ay positive definite, kaya mayroong non-degenerate linear transformation ng mga variable na binabawasan ang form sa anyo ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bagong variable. Ang linear na pagbabagong ito ay maaaring i-extend sa isang non-degenerate na linear na pagbabago ng lahat ng mga variable sa pamamagitan ng pagtatakda . Binabawasan ng pagbabagong ito ang parisukat na anyo sa anyo

Quadratic na mga hugis

Quadratic na hugis Ang f(x 1, x 2,...,x n) ng n variable ay isang kabuuan, na ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ang matrix A na binubuo ng mga coefficient na ito ay tinatawag na matrix ng quadratic form. Ito'y palaging simetriko matrix (i.e. isang matrix na simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng quadratic form. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient ng mga squared variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng mga halves ng kaukulang coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-singular matrix ng nth order. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng quadratic form ay tumatagal sa anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang parisukat na anyo f(y 1, y 2), na nakuha mula sa parisukat na anyo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Mayroon itong canonical view), kung ang lahat ng mga coefficient nito a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(hindi ibinigay ang patunay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin ang quadratic form sa canonical form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Upang gawin ito, pumili muna ng kumpletong parisukat na may variable na x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Ngayon pumili kami ng isang kumpletong parisukat na may variable na x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation na y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 at y 3 = x 3 ay dinadala ang quadratic form na ito sa canonical form f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi tiyak na tinutukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo sa iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang mga canonical form na nakuha sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan ay may ilang mga karaniwang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng form sa form na ito (halimbawa, sa halimbawang isinasaalang-alang ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang ari-arian na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagdadala ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito mayroong isang positibong koepisyent ng 2 sa y 3 at dalawang negatibong koepisyent (-3) sa y 1 at y 2 (at gamit ang isa pang pamamaraan ay nakakuha kami ng positibong koepisyent ng 2 sa y 1 at dalawang negatibong koepisyent - (-5) sa y 2 at (-1 /20) sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng quadratic form, na tinatawag ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga nonzero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag positibo (negatibo) tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang parisukat na anyo f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ay positibong tiyak, dahil ay isang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, kaya para dito ginagamit namin ang isa sa mga sumusunod na theorems (bubuuin namin ang mga ito nang walang patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (Sylvester criterion). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng mga nangungunang menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.

Pangunahing (sulok) menor Ang kth order matrix A ng nth order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, suriin natin ang quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa katiyakan ng sign.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang parisukat na anyo para sa katiyakan ng tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Sa seksyong ito ay tututuon natin ang isang espesyal ngunit mahalagang klase ng mga positibong parisukat na anyo.

Kahulugan 3. Ang isang tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na non-negative (non-positive) kung, para sa anumang tunay na halaga ng mga variable

. (35)

Sa kasong ito, ang simetriko matrix ng mga coefficient ay tinatawag na positibong semidefinite (negatibong semidefinite).

Kahulugan 4. Ang isang tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na positibong tiyak (negatibong tiyak) kung, para sa anumang tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na zero,

. (36)

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive definite (negative definite) form ay bahagi ng class ng non-negative (resp. non-positive) forms.

Hayaang magbigay ng di-negatibong anyo. Isipin natin ito bilang isang kabuuan ng mga independiyenteng parisukat:

. (37)

Sa representasyong ito, ang lahat ng mga parisukat ay dapat na positibo:

. (38)

Sa katunayan, kung mayroon man, posible na pumili ng mga halagang ganoon

Ngunit pagkatapos, sa mga halagang ito ng mga variable, ang form ay magkakaroon ng negatibong halaga, na imposible sa kondisyon. Malinaw, sa kabaligtaran, mula sa (37) at (38) sumusunod na ang anyo ay positibo.

Kaya, ang isang non-negatibong parisukat na anyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga pagkakapantay-pantay.

Hayaan ngayon na maging isang positibong tiyak na anyo. Pagkatapos ito ay isang di-negatibong anyo. Samakatuwid, maaari itong ilarawan sa anyo (37), kung saan lahat ay positibo. Mula sa positibong katiyakan ng anyo ito ay sumusunod na . Sa katunayan, sa kaso posible na pumili ng mga halaga na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, kung saan ang lahat ay magiging zero. Ngunit pagkatapos, sa bisa ng (37), para sa , na sumasalungat sa kondisyon (36).

Madaling makita na sa kabaligtaran, kung sa (37) at lahat ay positibo, kung gayon ito ay isang positibong tiyak na anyo.

Sa madaling salita, ang isang di-negatibong anyo ay positibong tiyak kung at kung hindi ito isahan.

Ang sumusunod na theorem ay nagbibigay ng criterion para sa positibong katiyakan ng isang anyo sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay na dapat matugunan ng mga koepisyent ng anyo. Sa kasong ito, ang notasyon na nakatagpo na sa mga nakaraang talata para sa sunud-sunod na pangunahing mga menor de edad ng matrix ay ginagamit:

.

Theorem 3. Upang ang isang parisukat na anyo ay maging positibong tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay masiyahan.

Patunay. Ang kasapatan ng mga kondisyon (39) ay sumusunod nang direkta mula sa Jacobi formula (28). Ang pangangailangan ng mga kondisyon (39) ay itinatag bilang mga sumusunod. Mula sa positibong definiteness ng form ay sumusunod sa positive definiteness ng "pinutol" na mga form

.

Ngunit pagkatapos ang lahat ng mga form na ito ay dapat na hindi isahan, i.e.

Ngayon ay mayroon tayong pagkakataon na gamitin ang formula ng Jacobi (28) (sa ). Dahil sa kanang bahagi ng formula na ito ang lahat ng mga parisukat ay dapat na positibo, kung gayon

Ito ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay (39). Ang teorama ay napatunayan.

Dahil ang anumang pangunahing menor de edad ng isang matrix, na may wastong muling pagbilang ng mga variable, ay maaaring ilagay sa kaliwang sulok sa itaas, kung gayon mayroon tayong

Bunga. Sa positive definite quadratic form, lahat ng major minors ng coefficient matrix ay positibo:

Magkomento. Mula sa hindi negatibiti ng sunud-sunod na punong menor de edad

hindi sumusunod ang non-negativity ng form. Talaga, ang anyo

,

kung saan , natutugunan ang mga kundisyon , ngunit hindi hindi negatibo.

Gayunpaman, ang mga sumusunod ay humahawak

Theorem 4. Upang maging non-negative ang isang quadratic form, kinakailangan at sapat na ang lahat ng major minors ng coefficient matrix nito ay non-negative:

Patunay. Ipakilala natin ang auxiliary form ay hindi positibo, ito ay kinakailangan at sapat para maganap ang mga hindi pagkakapantay-pantay.