Pangkalahatang pag-unawa sa paghahati ng mga natural na numero sa natitira. Paghahati ng mga integer na may natitira, mga panuntunan, mga halimbawa Paano magsagawa ng paghahati sa isang natitira

Ang pinakamadaling paraan upang hatiin ang mga multi-digit na numero ay gamit ang isang column. Ang paghahati ng hanay ay tinatawag din dibisyon ng sulok.

Bago tayo magsimulang magsagawa ng paghahati ayon sa isang hanay, isasaalang-alang natin nang detalyado ang mismong anyo ng paghahati ng pagtatala ayon sa isang hanay. Una, isulat ang dibidendo at maglagay ng patayong linya sa kanan nito:

Sa likod ng patayong linya, sa tapat ng dibidendo, isulat ang divisor at gumuhit ng pahalang na linya sa ilalim nito:

Sa ilalim ng pahalang na linya, ang resultang quotient ay isusulat nang hakbang-hakbang:

Ang mga intermediate na kalkulasyon ay isusulat sa ilalim ng dibidendo:

Ang buong anyo ng pagsulat na paghahati ayon sa hanay ay ang mga sumusunod:

Paano hatiin sa hanay

Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 780 sa 12, isulat ang aksyon sa isang hanay at magpatuloy sa paghahati:

Ang paghahati ng haligi ay isinasagawa sa mga yugto. Ang unang bagay na kailangan nating gawin ay matukoy ang hindi kumpletong dibidendo. Tinitingnan namin ang unang digit ng dibidendo:

ang numerong ito ay 7, dahil ito ay mas mababa kaysa sa divisor, hindi namin maaaring simulan ang paghahati mula dito, na nangangahulugang kailangan naming kumuha ng isa pang digit mula sa dibidendo, ang numero 78 ay mas malaki kaysa sa divisor, kaya simulan namin ang paghahati mula dito:

Sa aming kaso ang bilang na 78 ay magiging hindi kumpleto mahahati, ito ay tinatawag na hindi kumpleto dahil ito ay bahagi lamang ng mahahati.

Ang pagkakaroon ng pagtukoy sa hindi kumpletong dibidendo, maaari nating malaman kung gaano karaming mga numero ang nasa quotient, para dito kailangan nating kalkulahin kung gaano karaming mga numero ang natitira sa dibidendo pagkatapos ng hindi kumpletong dibidendo, sa aming kaso mayroon lamang isang digit - 0, ito nangangahulugan na ang quotient ay bubuo ng 2 digit.

Nang malaman ang bilang ng mga digit na dapat nasa quotient, maaari kang maglagay ng mga tuldok sa lugar nito. Kung, kapag nakumpleto ang dibisyon, ang bilang ng mga digit ay lumalabas na higit pa o mas kaunti kaysa sa ipinahiwatig na mga puntos, kung gayon ang isang error ay ginawa sa isang lugar:

Simulan na natin ang paghahati-hati. Kailangan nating matukoy kung gaano karaming beses ang 12 ay nakapaloob sa bilang na 78. Upang gawin ito, sunud-sunod nating i-multiply ang divisor sa mga natural na numero 1, 2, 3, ... hanggang sa makakuha tayo ng numero na mas malapit hangga't maaari sa hindi kumpletong dibidendo o katumbas nito, ngunit hindi hihigit dito. Kaya, nakukuha namin ang numero 6, isulat ito sa ilalim ng divisor, at mula sa 78 (ayon sa mga patakaran ng pagbabawas ng haligi) binabawasan namin ang 72 (12 · 6 = 72). Pagkatapos nating ibawas ang 72 sa 78, ang natitira ay 6:

Pakitandaan na ang natitirang bahagi ng dibisyon ay nagpapakita sa amin kung napili namin nang tama ang numero. Kung ang natitira ay katumbas o mas malaki kaysa sa divisor, hindi namin napili nang tama ang numero at kailangan naming kumuha ng mas malaking numero.

Sa resultang natitira - 6, idagdag ang susunod na digit ng dibidendo - 0. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng hindi kumpletong dibidendo - 60. Tukuyin kung gaano karaming beses ang 12 ay nakapaloob sa numero 60. Nakuha natin ang numero 5, isulat ito sa ang quotient pagkatapos ng bilang 6, at ibawas ang 60 sa 60 ( 12 5 = 60). Ang natitira ay zero:

Dahil wala nang mga digit na natitira sa dibidendo, nangangahulugan ito na ang 780 ay nahahati sa 12 nang buo. Bilang resulta ng pagsasagawa ng mahabang dibisyon, natagpuan namin ang quotient - ito ay nakasulat sa ilalim ng divisor:

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa kapag ang quotient ay naging mga zero. Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 9027 sa 9.

Tinutukoy namin ang hindi kumpletong dibidendo - ito ang numero 9. Isinulat namin ang 1 sa quotient at ibawas ang 9 mula sa 9. Ang natitira ay zero. Karaniwan, kung sa mga intermediate na kalkulasyon ang natitira ay zero, hindi ito nakasulat:

Ibinababa namin ang susunod na digit ng dibidendo - 0. Naaalala namin na kapag hinahati ang zero sa anumang numero magkakaroon ng zero. Sinusulat namin ang zero sa quotient (0: 9 = 0) at ibawas ang 0 sa 0 sa mga intermediate na kalkulasyon. Karaniwan, upang hindi masira ang mga intermediate na kalkulasyon, ang mga kalkulasyon na may zero ay hindi nakasulat:

Ibinaba namin ang susunod na digit ng dibidendo - 2. Sa mga intermediate na kalkulasyon, lumabas na ang hindi kumpletong dibidendo (2) ay mas mababa sa divisor (9). Sa kasong ito, isulat ang zero sa quotient at alisin ang susunod na digit ng dibidendo:

Tinutukoy namin kung gaano karaming beses ang 9 ay nakapaloob sa numero 27. Nakukuha namin ang numero 3, isulat ito bilang isang quotient, at ibawas ang 27 mula sa 27. Ang natitira ay zero:

Dahil wala nang mga digit na natitira sa dibidendo, nangangahulugan ito na ang bilang na 9027 ay nahahati sa 9 na ganap:

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa kapag ang dibidendo ay nagtatapos sa mga zero. Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 3000 sa 6.

Tinutukoy namin ang hindi kumpletong dibidendo - ito ang bilang na 30. Isinulat namin ang 5 sa quotient at ibawas ang 30 mula sa 30. Ang natitira ay zero. Tulad ng nabanggit na, hindi kinakailangang isulat ang zero sa natitira sa mga intermediate na kalkulasyon:

Ibinababa namin ang susunod na digit ng dibidendo - 0. Dahil ang paghahati ng zero sa anumang numero ay magreresulta sa zero, isinusulat namin ang zero sa quotient at ibawas ang 0 mula sa 0 sa mga intermediate na kalkulasyon:

Ibinababa namin ang susunod na digit ng dibidendo - 0. Nagsusulat kami ng isa pang zero sa quotient at ibawas ang 0 mula sa 0 sa mga intermediate na kalkulasyon. Dahil sa mga intermediate na kalkulasyon ang kalkulasyon na may zero ay karaniwang hindi naisulat, ang entry ay maaaring paikliin, iiwan lamang ang natitira - 0. Ang zero sa natitira sa sa pinakadulo ng pagkalkula ay karaniwang isinusulat upang ipakita na ang dibisyon ay kumpleto na:

Dahil wala nang mga digit na natitira sa dibidendo, nangangahulugan ito na ang 3000 ay nahahati sa 6 na ganap:

Dibisyon ng column na may natitira

Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 1340 sa 23.

Tinutukoy namin ang hindi kumpletong dibidendo - ito ang bilang na 134. Isinulat namin ang 5 sa quotient at ibawas ang 115 mula sa 134. Ang natitira ay 19:

Ibinababa namin ang susunod na digit ng dibidendo - 0. Tinutukoy namin kung gaano karaming beses ang 23 ay nakapaloob sa numerong 190. Nakukuha namin ang numero 8, isulat ito sa quotient, at ibawas ang 184 mula sa 190. Nakukuha namin ang natitirang 6:

Dahil wala nang digit na natitira sa dibidendo, tapos na ang dibisyon. Ang resulta ay isang hindi kumpletong kusyente ng 58 at ang natitira sa 6:

1340: 23 = 58 (natitira 6)

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahati na may natitira, kapag ang dibidendo ay mas mababa kaysa sa divisor. Kailangan nating hatiin ang 3 sa 10. Nakita natin na ang 10 ay hindi kailanman nakapaloob sa bilang 3, kaya't isinusulat natin ang 0 bilang isang kusyente at ibawas ang 0 sa 3 (10 · 0 = 0). Gumuhit ng pahalang na linya at isulat ang natitira - 3:

3: 10 = 0 (natitira 3)

Long division calculator

Tutulungan ka ng calculator na ito na magsagawa ng mahabang paghahati. Ipasok lamang ang dibidendo at divisor at i-click ang pindutang Kalkulahin.

Ano ang ginagawa ng 3rd grade sa math? Dibisyon na may natitira, mga halimbawa at mga problema - ito ang pinag-aaralan sa mga aralin. Ang dibisyon na may natitira at ang algorithm para sa naturang mga kalkulasyon ay tatalakayin sa artikulo.

Mga kakaiba

Tingnan natin ang mga paksang kasama sa programa na pinag-aaralan ng ika-3 baitang. Ang dibisyon na may natitira ay kasama sa isang espesyal na seksyon ng matematika. Tungkol Saan iyan? Kung ang dibidendo ay hindi pantay na mahahati ng divisor, ang natitira ay nananatili. Halimbawa, hinahati namin ang 21 sa 6. Lumalabas na 3, ngunit ang natitira ay nananatiling 3.

Sa mga kaso kung saan, kapag hinahati ang mga natural na numero, ang natitira ay zero, sinasabing isang kumpletong dibisyon ang isinagawa. Halimbawa, kung ang 25 ay hinati sa 5, ang resulta ay 5. Ang natitira ay zero.

Paglutas ng mga Halimbawa

Upang maisagawa ang paghahati sa isang natitira, isang tiyak na notasyon ang ginagamit.

Magbigay tayo ng mga halimbawa sa matematika (3rd grade). Ang dibisyon na may natitira ay hindi kailangang isulat sa isang hanay. Sapat na ang isulat sa linyang: 13:4=3 (natitira 1) o 17:5=3 (natitira 2).

Tingnan natin ang lahat nang mas detalyado. Halimbawa, ang paghahati ng 17 sa tatlo ay nagbibigay sa integer na lima at nag-iiwan din ng natitirang dalawa. Ano ang pamamaraan para sa paglutas ng halimbawang ito para sa paghahati na may natitira? Una kailangan mong hanapin ang maximum na numero hanggang 17, na maaaring hatiin nang walang natitira sa tatlo. Ang pinakamalaki ay magiging 15.

Susunod, hatiin ang 15 sa bilang na tatlo, ang resulta ng aksyon ay ang bilang na lima. Ngayon binabawasan namin ang numero na aming natagpuan mula sa dibidendo, iyon ay, mula sa 17 ay binabawasan namin ang 15, nakakuha kami ng dalawa. Ang isang ipinag-uutos na aksyon ay upang magkasundo ang divisor at ang natitira. Pagkatapos ng pag-verify, dapat na maitala ang tugon ng nakumpletong pagkilos. 17:3=15 (natitira 2).

Kung ang natitira ay mas malaki kaysa sa divisor, ang aksyon ay ginawa nang hindi tama. Ito ang algorithm na ginamit upang maisagawa ang class 3 division na may natitira. Ang mga halimbawa ay unang sinusuri ng guro sa pisara, pagkatapos ay hihilingin sa mga bata na subukan ang kanilang kaalaman sa pamamagitan ng paggawa ng malayang gawain.

Halimbawa na may multiplikasyon

Isa sa pinakamahirap na paksang kinakaharap ng ika-3 baitang ay ang paghahati na may natitira. Ang mga halimbawa ay maaaring maging kumplikado, lalo na kapag ang mga karagdagang kalkulasyon ay kinakailangan, na naitala sa isang column.

Sabihin nating kailangan mong hatiin ang numerong 190 sa 27 upang makuha ang pinakamababang natitira. Subukan nating lutasin ang problema gamit ang multiplication.

Pumili tayo ng isang numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng figure na mas malapit hangga't maaari sa numerong 190. Kung i-multiply natin ang 27 sa 6, makukuha natin ang numerong 162. Ibawas ang numerong 162 sa 190, ang natitira ay magiging 28. Ito ay lumiliko mas malaki kaysa sa orihinal na divisor. Samakatuwid, ang bilang na anim ay hindi angkop bilang isang multiplier para sa aming halimbawa. Ipagpatuloy natin ang paglutas ng halimbawa, pagkuha ng numero 7 para sa multiplikasyon.

Ang pagpaparami ng 27 sa pamamagitan ng 7, makuha natin ang produkto 189. Susunod, susuriin natin ang kawastuhan ng solusyon, upang gawin ito, ibawas ang resulta na nakuha mula sa 190, iyon ay, ibawas ang numero 189. Ang natitira ay magiging 1, na malinaw na mas mababa sa 27. Ito ay kung paano malulutas ang mga kumplikadong expression sa paaralan (3rd grade, division with remainder). Palaging kasama sa mga halimbawa ang pagtatala ng tugon. Ang buong mathematical expression ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: 190:27 = 7 (natitira 1). Ang mga katulad na kalkulasyon ay maaaring gawin sa isang hanay.

Ganito talaga ginagawa ng grade 3 ang division na may natitira. Ang mga halimbawang ibinigay sa itaas ay makakatulong sa iyong maunawaan ang algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema.

Konklusyon

Upang ang mga mag-aaral sa elementarya ay makabuo ng wastong mga kasanayan sa pag-compute, ang guro sa panahon ng mga klase sa matematika ay dapat bigyang-pansin ang pagpapaliwanag ng algorithm ng mga aksyon ng bata kapag nilulutas ang mga problemang kinasasangkutan ng paghahati na may natitira.

Ayon sa bagong pamantayang pang-edukasyon ng pederal na estado, ang espesyal na atensyon ay binabayaran sa isang indibidwal na diskarte sa pag-aaral. Ang guro ay dapat pumili ng mga gawain para sa bawat bata na isinasaalang-alang ang kanyang mga indibidwal na kakayahan. Sa bawat yugto ng pagtuturo ng mga alituntunin ng paghahati na may natitira, ang guro ay dapat magsagawa ng intermediate control. Ito ay nagpapahintulot sa kanya na makilala ang mga pangunahing problema na lumitaw sa asimilasyon ng materyal para sa bawat mag-aaral, napapanahong tamang kaalaman at kasanayan, alisin ang mga umuusbong na problema, at makuha ang ninanais na resulta.

Susunod kami mula sa pangkalahatang ideya ng paghahati ng mga natural na numero sa isang natitira, at sa artikulong ito mauunawaan natin ang mga prinsipyo kung saan isinasagawa ang aksyon na ito. Sa lahat paghahati sa natitira ay may maraming pagkakatulad sa paghahati ng mga natural na numero nang walang natitira, kaya madalas naming tinutukoy ang materyal sa artikulong ito.

Una, tingnan natin ang paghahati ng mga natural na numero sa natitira. Susunod na ipapakita namin kung paano mo mahahanap ang resulta ng paghahati ng mga natural na numero sa natitira sa pamamagitan ng pagsasagawa ng sequential subtraction. Pagkatapos nito, magpapatuloy tayo sa paraan ng pagpili ng hindi kumpletong quotient, hindi nakakalimutang magbigay ng mga halimbawa na may detalyadong paglalarawan ng solusyon. Susunod, magsusulat kami ng isang algorithm na nagpapahintulot sa amin na hatiin ang mga natural na numero sa isang natitira sa pangkalahatang kaso. Sa dulo ng artikulo, ipapakita namin kung paano suriin ang resulta ng paghahati ng mga natural na numero sa isang natitira.

Pag-navigate sa pahina.

Paghahati ng mga natural na numero sa natitira

Ang isa sa mga pinaka-maginhawang paraan upang hatiin ang mga natural na numero sa isang natitira ay mahabang dibisyon. Sa artikulong Dividing Natural Numbers by Columns, tinalakay namin ang paraan ng paghahati na ito nang detalyado. Hindi namin uulitin ang ating sarili dito, ngunit ibigay lamang ang solusyon sa isang halimbawa.

Halimbawa.

Hatiin sa natitira sa natural na bilang na 273,844 sa natural na bilang na 97.

Solusyon.

Gawin natin ang paghahati ayon sa hanay:

Kaya, ang partial quotient ng 273,844 na hinati sa 97 ay 2,823, at ang natitira ay 13.

Sagot:

273,844:97=2,823 (pahinga. 13) .

Paghahati ng mga natural na numero na may natitira sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbabawas

Maaari mong mahanap ang partial quotient at remainder kapag hinahati ang mga natural na numero sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbabawas sa divisor.

Ang kakanyahan ng diskarte na ito ay simple: ang mga set na may kinakailangang bilang ng mga elemento ay sunud-sunod na nabuo mula sa mga elemento ng umiiral na set hanggang sa ito ay posible, ang bilang ng mga resultang set ay nagbibigay ng hindi kumpletong quotient, at ang bilang ng mga natitirang elemento sa orihinal na set ay ang natitira sa dibisyon.

Magbigay tayo ng halimbawa.

Halimbawa.

Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 7 sa 3.

Solusyon.

Isipin natin na kailangan nating maglagay ng 7 mansanas sa mga bag ng 3 mansanas. Mula sa orihinal na bilang ng mga mansanas, kumuha kami ng 3 piraso at inilagay ang mga ito sa unang bag. Sa kasong ito, dahil sa kahulugan ng pagbabawas ng mga natural na numero, naiwan tayo ng 7−3=4 na mansanas. Kumuha ulit kami ng 3 at inilagay sa pangalawang bag. Pagkatapos nito, naiwan tayo sa 4−3=1 mansanas. Malinaw na dito nagtatapos ang proseso (hindi tayo makakabuo ng isa pang pakete na may kinakailangang bilang ng mga mansanas, dahil ang natitirang bilang ng mga mansanas 1 ay mas mababa kaysa sa dami ng 3 na kailangan natin). Bilang resulta, mayroon kaming dalawang bag na may kinakailangang bilang ng mga mansanas at isang mansanas na natitira.

Pagkatapos, dahil sa kahulugan ng paghahati ng mga natural na numero sa isang natitira, masasabi nating nakuha natin ang sumusunod na resulta 7:3=2 (pahinga. 1).

Sagot:

7:3=2 (pahinga. 1) .

Isaalang-alang natin ang solusyon sa isa pang halimbawa, at magbibigay lamang tayo ng mga kalkulasyon sa matematika.

Halimbawa.

Hatiin ang natural na bilang na 145 sa 46 gamit ang sequential subtraction.

Solusyon.

145−46=99 (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulong pagbabawas ng mga natural na numero). Dahil ang 99 ay mas malaki sa 46, ibawas natin ang divisor sa pangalawang pagkakataon: 99−46=53. Dahil 53>46, ibawas natin ang divisor sa pangatlong beses: 53−46=7. Dahil ang 7 ay mas mababa sa 46, hindi na natin maisasagawa muli ang pagbabawas, iyon ay, ito ang nagtatapos sa proseso ng sequential subtraction.

Bilang resulta, kailangan naming sunud-sunod na ibawas ang divisor 46 mula sa dibidendo 145 3 beses, pagkatapos ay nakuha namin ang natitirang 7. Kaya, 145:46=3 (natitira 7).

Sagot:

145:46=3 (natitira 7) .

Dapat pansinin na kung ang dibidendo ay mas mababa kaysa sa divisor, kung gayon hindi natin magagawang magsagawa ng sunud-sunod na pagbabawas. Oo, hindi ito kinakailangan, dahil sa kasong ito maaari nating isulat agad ang sagot. Sa kasong ito, ang partial quotient ay katumbas ng zero, at ang natitira ay katumbas ng dibidendo. Ibig sabihin, kung a

Dapat ding sabihin na ang paghahati ng mga natural na numero sa isang natitira gamit ang paraang isinasaalang-alang ay mabuti lamang kapag ang isang maliit na bilang ng sunud-sunod na pagbabawas ay kinakailangan upang makuha ang resulta.

Pagpili ng hindi kumpletong quotient

Kapag hinahati ang ibinigay na natural na mga numerong a at b sa isang natitira, ang partial quotient c ay matatagpuan. Ngayon ay ipapakita namin kung ano ang batayan ng proseso ng pagpili at kung paano ito dapat magpatuloy.

Una, magpasya tayo kung aling mga numero ang hahanapin para sa hindi kumpletong quotient. Nang pag-usapan natin ang kahulugan ng paghahati ng mga natural na numero sa isang natitira, nalaman namin na ang isang hindi kumpletong quotient ay maaaring maging zero o isang natural na numero, iyon ay, isa sa mga numero 0, 1, 2, 3, ... Kaya, ang kinakailangang incomplete quotient ay isa sa mga nakasulat na numero, at kailangan lang nating dumaan sa mga ito para matukoy kung aling numero ang partial quotient.

Susunod, kakailanganin namin ang isang equation ng form na d=a−b·c, na tumutukoy sa , pati na rin ang katotohanan na ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor (nabanggit din namin ito noong pinag-usapan namin ang kahulugan ng paghahati ng mga natural na numero. na may natitira).

Ngayon ay maaari na tayong magpatuloy nang direkta sa paglalarawan ng proseso ng pagpili ng hindi kumpletong quotient. Ang dibidendo a at ang divisor b ay alam natin sa simula; bilang isang hindi kumpletong quotient c sunud-sunod nating kinukuha ang mga numerong 0, 1, 2, 3, ..., sa bawat oras na kinakalkula ang halaga d=a−b·c at paghahambing nito kasama ang divisor. Matatapos ang prosesong ito sa sandaling mas mababa ang resultang halaga kaysa sa divisor. Sa kasong ito, ang bilang c sa hakbang na ito ay ang nais na hindi kumpletong quotient, at ang halaga d=a−b·c ay ang natitira sa dibisyon.

Ito ay nananatiling pag-aralan ang proseso ng pagpili ng isang hindi kumpletong kusyente gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Hatiin sa natitira sa natural na bilang na 267 ng 21.

Solusyon.

Pumili tayo ng hindi kumpletong quotient. Sa aming halimbawa, a=267, b=21. Sunud-sunod naming itatalaga ang c ang mga halaga 0, 1, 2, 3, ..., kinakalkula sa bawat hakbang ang halaga d=a−b·c at paghahambing nito sa divisor 21.

Sa c=0 mayroon kami d=a−b·c=267−21·0=267−0=267(Ang unang pagpaparami ng mga natural na numero ay ginaganap, at pagkatapos ay pagbabawas, ito ay nakasulat sa artikulo). Ang resultang numero ay higit sa 21 (kung kinakailangan, pag-aralan ang materyal sa artikulong paghahambing ng mga natural na numero). Samakatuwid, ipinagpatuloy namin ang proseso ng pagpili.

Sa c=1 mayroon kami d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. Mula noong 246>21, ipinagpatuloy namin ang proseso.

Sa c=2 makuha natin d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. Since 225>21, we move on.

Sa c=3 mayroon kami d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. Mula noong 204>21, ipinagpatuloy namin ang pagpili.

Sa c=12 makuha natin d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Natanggap namin ang numero 15, na mas mababa sa 21, kaya ang proseso ay maituturing na kumpleto. Pinili namin ang hindi kumpletong quotient c=12, na ang natitirang d ay katumbas ng 15.

Sagot:

267:21=12 (pahinga. 15) .

Algorithm para sa paghahati ng mga natural na numero na may natitira, mga halimbawa, mga solusyon

Sa seksyong ito, isasaalang-alang namin ang isang algorithm na nagbibigay-daan sa paghahati sa isang natitira sa isang natural na numero a sa isang natural na bilang b sa mga kaso kung saan ang paraan ng sunud-sunod na pagbabawas (at ang paraan ng pagpili ng isang hindi kumpletong quotient) ay nangangailangan ng masyadong maraming mga pagpapatakbo ng computational.

Tandaan natin kaagad na kung ang dibidendo a ay mas mababa kaysa sa divisor b, alam natin ang partial quotient at ang natitira: para sa isang b.

Bago natin ilarawan nang detalyado ang lahat ng mga hakbang ng algorithm para sa paghahati ng mga natural na numero sa isang natitira, sasagutin natin ang tatlong tanong: ano ang una nating alam, ano ang kailangan nating hanapin, at batay sa kung anong mga pagsasaalang-alang ang gagawin natin ito? Sa simula, alam natin ang dibidendo a at ang divisor b. Kailangan nating hanapin ang partial quotient c at ang natitira d. Ang pagkakapantay-pantay na a=b·c+d ay tumutukoy sa kaugnayan sa pagitan ng dibidendo, divisor, partial quotient at remainder. Mula sa nakasulat na pagkakapantay-pantay ay sumusunod na kung ipapakita natin ang dibidendo a bilang isang kabuuan b·c+d, kung saan ang d ay mas mababa sa b (dahil ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor), makikita natin ang parehong hindi kumpletong quotient c at ang natitira d.

Ang natitira na lang ay alamin kung paano ikakatawan ang dibidendo a bilang isang kabuuan b·c+d. Ang algorithm para sa paggawa nito ay halos kapareho sa algorithm para sa paghahati ng mga natural na numero nang walang natitira. Ilalarawan namin ang lahat ng mga hakbang, at sa parehong oras ay malulutas namin ang halimbawa para sa higit na kalinawan. Hatiin ang 899 sa 47.

Ang unang limang puntos ng algorithm ay magbibigay-daan sa iyo na kumatawan sa dibidendo bilang kabuuan ng ilang termino. Dapat tandaan na ang mga aksyon mula sa mga puntong ito ay paulit-ulit na paulit-ulit hanggang sa matagpuan ang lahat ng mga termino na nagdaragdag sa dibidendo. Sa panghuling ikaanim na punto, ang resultang kabuuan ay iko-convert sa form na b·c+d (kung ang resultang kabuuan ay wala na itong form), mula sa kung saan makikita ang kinakailangang hindi kumpletong quotient at natitira.

Kaya, simulan nating katawanin ang dibidendo 899 bilang kabuuan ng ilang termino.

Una, kinakalkula namin kung gaano kalaki ang bilang ng mga digit sa dibidendo kaysa sa bilang ng mga digit sa divisor, at tandaan ang numerong ito.

Sa aming halimbawa, ang dibidendo ay may 3 digit (899 ay isang tatlong-digit na numero), at ang divisor ay may dalawang digit (47 ay isang dalawang-digit na numero), samakatuwid, ang dibidendo ay may isa pang digit, at naaalala namin ang numero 1 .

Ngayon sa entry ng divisor sa kanan ay idinagdag namin ang mga numero 0 sa halagang tinutukoy ng bilang na nakuha sa nakaraang talata. Bukod dito, kung ang nakasulat na numero ay mas malaki kaysa sa dibidendo, kailangan mong ibawas ang 1 mula sa bilang na naalala sa nakaraang talata.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sa notasyon ng divisor 47, nagdaragdag kami ng isang digit 0 sa kanan, at nakuha namin ang numero 470. Mula noong 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Pagkatapos nito, sa numero 1 sa kanan ay itinalaga namin ang mga numero 0 sa isang halaga na tinutukoy ng bilang na kabisado sa nakaraang talata. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang yunit ng digit, na gagawin pa namin.

Sa aming halimbawa, nagtatalaga kami ng 1 digit 0 sa numero 1, at nakuha namin ang numero 10, iyon ay, gagana kami sa sampu-sampung lugar.

Ngayon, sunud-sunod nating i-multiply ang divisor sa 1, 2, 3, ... units ng working digit hanggang makakuha tayo ng numerong mas malaki kaysa o katumbas ng dibidendo.

Nalaman namin na sa aming halimbawa ang working digit ay ang tens digit. Samakatuwid, una nating i-multiply ang divisor sa isang yunit sa sampu na lugar, iyon ay, i-multiply ang 47 sa 10, makakakuha tayo ng 47 10 = 470. Ang resultang numero 470 ay mas mababa kaysa sa dibidendo 899, kaya't magpatuloy tayo sa pagpaparami ng divisor sa dalawang yunit sa sampu-sampung lugar, iyon ay, pinarami natin ang 47 sa 20. Mayroon kaming 47·20=940. Nakakuha kami ng isang numero na higit sa 899.

Ang bilang na nakuha sa penultimate step sa panahon ng sequential multiplication ay ang una sa mga kinakailangang termino.

Sa halimbawang sinusuri, ang kinakailangang termino ay ang numerong 470 (ang numerong ito ay katumbas ng produktong 47·100, gagamitin namin ang pagkakapantay-pantay na ito sa ibang pagkakataon).

Pagkatapos nito, nakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng dibidendo at ang unang termino na natagpuan. Kung ang resultang numero ay mas malaki kaysa sa divisor, pagkatapos ay magpapatuloy kami upang mahanap ang pangalawang termino. Upang gawin ito, inuulit namin ang lahat ng inilarawan na mga hakbang ng algorithm, ngunit ngayon ay kinukuha namin ang numero na nakuha dito bilang dibidendo. Kung sa puntong ito muli tayong nakakuha ng isang numero na mas malaki kaysa sa divisor, pagkatapos ay magpapatuloy tayo upang hanapin ang ikatlong termino, muli na ulitin ang mga hakbang ng algorithm, na kinuha ang resultang numero bilang dibidendo. At kaya magpatuloy pa kami, sa paghahanap ng ikaapat, ikalima at kasunod na termino hanggang sa ang bilang na nakuha sa puntong ito ay mas mababa sa divisor. Sa sandaling mangyari ito, kukunin natin ang numerong nakuha dito bilang huling terminong hinahanap natin (sa hinaharap, sabihin natin na ito ay katumbas ng natitira), at magpatuloy sa huling yugto.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sa hakbang na ito mayroon kaming 899−470=429. Mula 429>47, kinuha namin ang numerong ito bilang dibidendo at inuulit ang lahat ng mga yugto ng algorithm kasama nito.

Ang numerong 429 ay may isa pang digit kaysa sa numerong 47, kaya tandaan ang numero 1.

Ngayon sa notasyon ng dibidendo sa kanan ay nagdaragdag kami ng isang digit na 0, nakuha namin ang numerong 470, na mas malaki kaysa sa bilang na 429. Samakatuwid, mula sa numero 1 na naalala sa nakaraang talata, binabawasan namin ang 1, nakuha namin ang numero 0, na naaalala namin.

Dahil sa nakaraang talata naalala namin ang numero 0, pagkatapos ay sa numero 1 hindi na kailangang magtalaga ng isang solong digit 0 sa kanan. Sa kasong ito, mayroon kaming numero 1, iyon ay, ang gumaganang digit ay ang mga digit.

Ngayon ay sunud-sunod nating i-multiply ang divisor 47 sa 1, 2, 3, ... Hindi natin ito tatalakayin nang detalyado. Sabihin na lang natin na 47·9=423<429 , а 47·10=470>429. Ang pangalawang termino na hinahanap natin ay ang numerong 423 (na katumbas ng 47 9, na gagamitin pa natin).

Ang pagkakaiba sa pagitan ng 429 at 423 ay 6. Ang bilang na ito ay mas mababa sa divisor 47, kaya ito ang pangatlo (at huling) termino na hinahanap namin. Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa huling yugto.

Well, dumating na tayo sa huling yugto. Ang lahat ng nakaraang aksyon ay naglalayong ipakita ang dibidendo bilang kabuuan ng ilang termino. Ngayon ang resultang kabuuan ay nananatiling iko-convert sa anyo na b·c+d. Ang distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan ay makakatulong sa amin na makayanan ang gawaing ito. Pagkatapos nito, makikita ang kinakailangang incomplete quotient at natitira.

Sa aming halimbawa, ang dibidendo 899 ay katumbas ng kabuuan ng tatlong termino 470, 423 at 6. Ang kabuuan na 470+423+6 ay maaaring muling isulat bilang 47·10+47·9+6 (tandaan, binigyang-pansin namin ang mga pagkakapantay-pantay na 470=47·10 at 423=47·9). Ngayon ay inilalapat namin ang pag-aari ng pagpaparami ng natural na numero sa isang kabuuan, at makakakuha kami ng 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6. Kaya, ang dibidendo ay binago sa form na kailangan natin 899=47·19+6, kung saan ang hindi kumpletong quotient 19 at ang natitirang 6 ay madaling mahanap.

Kaya, 899:47=19 (pahinga. 6).

Siyempre, kapag nilulutas ang mga halimbawa, hindi mo ilalarawan nang detalyado ang proseso ng paghahati na may natitira.

Basahin ang paksa ng aralin: “Hatiin ang natitira.” Ano ang alam mo na tungkol sa paksang ito?

Maaari mo bang ipamahagi ang 8 plum nang pantay-pantay sa dalawang plato (Fig. 1)?

kanin. 1. Ilustrasyon halimbawa

Maaari kang maglagay ng 4 na plum sa bawat plato (Larawan 2).

kanin. 2. Ilustrasyon halimbawa

Ang aksyon na ginawa namin ay maaaring isulat ng ganito.

8: 2 = 4

Sa tingin mo, posible bang hatiin ang 8 plum nang pantay-pantay sa 3 plato (Larawan 3)?

kanin. 3. Ilustrasyon halimbawa

Kumilos tayo ng ganito. Una, maglagay ng isang plum sa bawat plato, pagkatapos ay isang pangalawang plum. Mayroon kaming 2 plum na natitira, ngunit 3 plato. Nangangahulugan ito na hindi natin sila maaaring ipamahagi nang pantay-pantay. Naglagay kami ng 2 plum sa bawat plato, at mayroon kaming 2 plum na natitira (Fig. 4).

kanin. 4. Ilustrasyon halimbawa

Ipagpatuloy natin ang pagmamasid.

Basahin ang mga numero. Sa mga ibinigay na numero, hanapin ang mga nahahati sa 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Subukin ang sarili.

Ang natitirang mga numero (11, 13, 14, 16, 17, 19) ay hindi nahahati sa 3, o sinasabi nila "ibinahagi sa natitira."

Hanapin natin ang halaga ng quotient.

Alamin natin kung gaano karaming beses ang 3 ay nakapaloob sa bilang 17 (Larawan 5).

kanin. 5. Ilustrasyon halimbawa

Nakikita namin na ang 3 oval ay magkasya nang 5 beses at 2 oval ang nananatili.

Ang nakumpletong aksyon ay maaaring isulat ng ganito.

17:3 = 5 (natitirang 2)

Maaari mo ring isulat ito sa isang column (Fig. 6)

kanin. 6. Ilustrasyon halimbawa

Tingnan ang mga larawan. Ipaliwanag ang mga caption sa mga figure na ito (Fig. 7).

kanin. 7. Ilustrasyon halimbawa

Tingnan natin ang unang larawan (Larawan 8).

kanin. 8. Ilustrasyon halimbawa

Nakikita namin na ang 15 ovals ay nahahati sa 2. 2 ay inulit ng 7 beses, na ang natitira ay 1 oval.

Tingnan natin ang pangalawang larawan (Larawan 9).

kanin. 9. Ilustrasyon halimbawa

Sa figure na ito, 15 parisukat ay nahahati sa 4. 4 ay inulit ng 3 beses, na may natitira ay 3 parisukat.

Tingnan natin ang pangatlong larawan (Larawan 10).

kanin. 10. Ilustrasyon halimbawa

Masasabi natin na ang 15 ovals ay nahahati sa 3. 3 ay inulit ng 5 beses nang pantay. Sa ganitong mga kaso ang natitira ay sinasabing 0.

Gawin natin ang paghahati.

Hinahati namin ang pitong parisukat sa tatlo. Kumuha kami ng dalawang grupo, at isang parisukat ang natitira. Isulat natin ang solusyon (Larawan 11).

kanin. 11. Ilustrasyon halimbawa

Gawin natin ang paghahati.

Alamin natin kung ilang beses apat ang nakapaloob sa bilang 10. Nakita natin na ang bilang 10 ay naglalaman ng apat na beses ng 2 beses at 2 parisukat ang natitira. Isulat natin ang solusyon (Larawan 12).

kanin. 12. Ilustrasyon halimbawa

Gawin natin ang paghahati.

Alamin natin kung gaano karaming beses ang dalawa ay nakapaloob sa bilang 11. Nakita natin na sa bilang 11 ang dalawa ay naglalaman ng 5 beses at 1 parisukat ang natitira. Isulat natin ang solusyon (Larawan 13).

kanin. 13. Ilustrasyon halimbawa

Bumuo tayo ng konklusyon. Ang paghahati sa isang natitira ay nangangahulugan ng pag-alam kung gaano karaming beses ang divisor ay nakapaloob sa dibidendo at kung gaano karaming mga yunit ang natitira.

Ang paghahati na may natitira ay maaari ding gawin sa linya ng numero.

Sa linya ng numero ay minarkahan namin ang mga segment ng 3 dibisyon at nakikita na mayroong tatlong dibisyon nang tatlong beses at isang dibisyon ang nananatili (Larawan 14).

kanin. 14. Ilustrasyon halimbawa

Isulat natin ang solusyon.

10: 3 = 3 (natitirang 1)

Gawin natin ang paghahati.

Sa linya ng numero ay minarkahan namin ang mga segment ng 3 dibisyon at nakikita na mayroong tatlong dibisyon nang tatlong beses at dalawang dibisyon ang nananatili (Larawan 15).

kanin. 15. Ilustrasyon halimbawa

Isulat natin ang solusyon.

11: 3 = 3 (natitirang 2)

Gawin natin ang paghahati.

Sa linya ng numero ay minarkahan namin ang mga segment ng 3 dibisyon at nakita namin na nakuha namin ang eksaktong 4 na beses, walang natitira (Larawan 16).

kanin. 16. Ilustrasyon halimbawa

Isulat natin ang solusyon.

12: 3 = 4

Ngayon sa aralin ay nakilala namin ang paghahati sa natitira, natutunan namin kung paano isagawa ang pinangalanang aksyon gamit ang isang guhit at isang linya ng numero, at nagsanay sa paglutas ng mga halimbawa sa paksa ng aralin.

Bibliograpiya

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova at iba pa.Mathematics: Textbook. Ika-3 baitang: sa 2 bahagi, bahagi 1. - M.: "Enlightenment", 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova at iba pa.Mathematics: Textbook. Ika-3 baitang: sa 2 bahagi, bahagi 2. - M.: "Enlightenment", 2012.
3. M.I. Moro. Mga aralin sa matematika: Mga rekomendasyong pamamaraan para sa mga guro. ika-3 baitang. - M.: Edukasyon, 2012.
4. Dokumento ng regulasyon. Pagsubaybay at pagsusuri ng mga resulta ng pag-aaral. - M.: "Enlightenment", 2011.
5. "School of Russia": Mga programa para sa elementarya. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: Pagsubok sa trabaho. ika-3 baitang. - M.: Edukasyon, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Mga pagsubok. - M.: "Pagsusulit", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Takdang aralin

1. Isulat ang mga bilang na nahahati sa 2 nang walang nalalabi.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Isagawa ang paghahati gamit ang natitira gamit ang larawan.

3. Magsagawa ng paghahati gamit ang natitira gamit ang number line.

4. Gumawa ng takdang-aralin para sa iyong mga kaibigan sa paksa ng aralin.

Dibisyon na may natitira- ito ang dibisyon ng isang numero sa isa pa, kung saan ang natitira ay hindi katumbas ng zero.

Hindi laging posible na magsagawa ng dibisyon, dahil may mga kaso kapag ang isang numero ay hindi nahahati sa isa pa. Halimbawa, ang numero 11 ay hindi nahahati sa 3, dahil walang natural na numero na, kapag pinarami ng 3, ay magreresulta sa 11.

Kapag hindi maisagawa ang paghahati, napagkasunduan naming hatiin hindi ang buong dibidendo, kundi ang pinakamalaking bahagi lamang nito na maaaring hatiin ng divisor. Sa halimbawang ito, ang pinakamalaking bahagi ng dibidendo na maaaring hatiin ng 3 ay 9 (ang resulta ay 3), ang natitirang mas maliit na bahagi ng dibidendo - 2 ay hindi hahatiin ng 3.

Sa pagsasalita tungkol sa paghahati ng 11 sa 3, ang 11 ay tinatawag pa ring dibidendo, 3 ang divisor, ang resulta ng paghahati ay ang numero 3, na tinatawag na hindi kumpletong pribado, at ang numero 2 ay natitira sa dibisyon. Ang dibisyon mismo sa kasong ito ay tinatawag na dibisyon na may natitira.

Ang incomplete quotient ay ang pinakamalaking bilang na, kapag pinarami ng divisor, ay nagbibigay ng produkto na hindi lalampas sa dibidendo. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dibidendo at produktong ito ay tinatawag na natitira. Ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor, kung hindi, maaari rin itong hatiin ng divisor.

Ang dibisyon na may natitira ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

11:3 = 3 (natitira 2)

Kung, kapag ang isang natural na numero ay hinati ng isa pa, ang natitira ay 0, kung gayon ang unang numero ay sinasabing mahahati ng pangalawa ng isang integer. Halimbawa, ang 4 ay nahahati sa 2. Ang numero 5 ay hindi nahahati ng 2. Ang salita ay karaniwang ganap na tinanggal para sa kaiklian at sinasabi nila: ang ganito at ganoong numero ay nahahati ng iba, halimbawa: 4 ay nahahati ng 2, ngunit ang 5 ay hindi nahahati ng 2.

Sinusuri ang dibisyon sa natitira

Maaari mong suriin ang resulta ng paghahati na may natitira sa sumusunod na paraan: i-multiply ang incomplete quotient sa divisor (o vice versa) at idagdag ang natitira sa resultang produkto. Kung ang resulta ay isang numero na katumbas ng dibidendo, kung gayon ang paghahati sa isang natitira ay ginagawa nang tama:

11:3 = 3 (natitira 2)