Kahulugan. Axioms - Geometry - Mahusay na reference na libro para sa mga mag-aaral. Pagpapaliban ng mga segment at anggulo Ang pangunahing pag-aari ng mga anggulo ng pagpapaliban

>>Matematika ika-7 baitang. Kumpletuhin ang mga aralin >>Geometry: Paglalagay ng mga segment at anggulo. Kumpletuhin ang mga aralin

Pagpapaliban ng mga Linya at Anggulo

Ipinapakita ng larawan kung paano gamitin mga pinuno sa isang kalahating linya a na may panimulang punto A, maaari kang mag-plot ng isang segment na 3 cm ang haba.

Ipinapakita ng figure na ito kung paano gamitin protraktor alisin ang isang anggulo na may sukat na degree na 60° mula sa kalahating linya a hanggang sa itaas na eroplano


Bumuo tayo ng mga pangunahing katangian ng pagtitiwalag ng mga segment at anggulo:

1. sa anumang kalahating linya mula sa panimulang punto nito, maaari kang mag-plot ng isang segment ng isang naibigay na haba at isa lamang;
2. Mula sa anumang kalahating linya, ang isang anggulo na may ibinigay na sukat ng degree, mas mababa sa 180°, ay maaaring i-plot sa isang ibinigay na kalahating eroplano.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema.

Sa ray AB mayroong isang segment na AC na mas maliit kaysa sa segment na AB. Alin sa tatlong puntong A, B, C ang nasa pagitan ng dalawa?

Solusyon.
Dahil ang mga punto B at C ay nasa parehong kalahating linya na may paunang punto A, nangangahulugan ito na hindi sila pinaghihiwalay ng punto A, iyon ay, ang punto A ay hindi nasa pagitan ng mga punto B at C.

Kung ang punto B ay nasa pagitan ng mga punto A at C, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: AB+BC=AC. Imposible ito, dahil sa kondisyon ang segment na AC ay mas mababa sa segment na AB. Samakatuwid ang punto C ay hindi nasa pagitan ng mga punto A at C.

Sa tatlong puntos na A, B, C, isa lamang ang nasa pagitan ng dalawa. Sa aming kaso: ang punto C ay matatagpuan sa pagitan ng mga punto A at B.

Ray.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya a at markahan ang punto O dito (Larawan 11).

Hinahati ng puntong ito ang linya sa dalawang bahagi, ang bawat isa ay tinatawag na sinag na nagmumula sa punto O (sa Figure 11, isa sa mga sinag ay naka-highlight na may naka-bold na linya). Point O ay tinatawag na simula ng bawat sinag. Karaniwan, ang isang sinag ay itinalaga alinman sa pamamagitan ng isang maliit na letrang Latin (halimbawa, ray h sa Figure 12, a), o sa pamamagitan ng dalawang malalaking letrang Latin, ang una ay nagpapahiwatig ng simula ng sinag, at ang pangalawa - ilang punto sa ang ray (halimbawa, ray OA sa Figure 12, b).

Sulok.

Alalahanin na ang anggulo ay isang geometric figure na binubuo ng isang punto at dalawang ray na nagmumula sa puntong ito. Ang mga sinag ay tinatawag na mga gilid ng anggulo, at ang kanilang karaniwang pinagmulan ay ang tuktok ng anggulo. Ang Figure 13 ay nagpapakita ng isang anggulo na may vertex O at mga gilid na h at k ay minarkahan sa mga gilid Ang anggulong ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: hk, o AOB, o O.

Ang anggulo ay tinatawag na nakabukas, kung ang magkabilang panig nito ay nasa parehong tuwid na linya. Masasabi nating ang bawat panig ng isang nakabukas na anggulo ay isang pagpapatuloy ng kabilang panig. Ipinapakita ng Figure 14 ang isang nabuong anggulo na may vertex C at mga gilid na p at q.

Anumang anggulo ay naghahati sa eroplano sa dalawang bahagi. Kung ang anggulo ay hindi nakabukas, kung gayon ang isa sa mga bahagi ay tinatawag panloob, at ang iba pa - panlabas lugar ng anggulong ito (Larawan 15, a). Ang Figure 15, b ay nagpapakita ng isang hindi nabuong anggulo. Ang mga puntong A, B, C ay nasa loob ng anggulong ito (i.e., sa panloob na rehiyon ng anggulo), ang mga puntong D at E ay nasa mga gilid ng anggulo, at ang mga puntong P at Q ay nasa labas ng anggulo (ibig sabihin, sa panlabas na rehiyon. ng anggulo). Kung ang anggulo ay nabuksan, kung gayon ang alinman sa dalawang bahagi kung saan ito naghahati sa eroplano ay maaaring ituring na panloob na rehiyon ng anggulo. Ang isang pigura na binubuo ng isang anggulo at ang panloob na rehiyon nito ay tinatawag ding anggulo.

Kung ang isang sinag ay nagmumula sa tuktok ng isang hindi nabuong anggulo at pumasa sa loob ng anggulo, hinati nito ang anggulo sa dalawang anggulo. Sa Figure (16,a), hinahati ng ray OS ang anggulong AOB sa dalawang anggulo: AOS at COB. Kung ang anggulong AOB ay nabuksan, kung gayon ang anumang sinag OC na hindi tumutugma sa mga sinag na OA at OB ay naghahati sa anggulong ito sa dalawang anggulo: AOS at COB (Fig. 16, b).


Paghahambing ng mga segment at anggulo.

Ipinapakita ng Figure 20a ang dalawang segment. Upang matukoy kung sila ay pantay o hindi, ipapatong namin ang isang segment sa isa pa upang ang dulo ng isang segment ay tumutugma sa dulo ng isa pa (Larawan 20, b). Kung sa parehong oras ang dalawang iba pang mga dulo ay nag-tutugma din, kung gayon ang mga segment ay ganap na magkakasabay at, samakatuwid, sila ay pantay. Kung ang iba pang dalawang dulo ay hindi nagtutugma, kung gayon ang segment na bumubuo sa bahagi ng isa pa ay itinuturing na mas maliit. Sa Figure 20, ang segment AC ay bahagi ng segment AB, samakatuwid ang segment AC ay mas mababa sa segment AB (nakasulat na ganito: AC<АВ).

Ang punto sa isang segment na naghahati dito sa kalahati, iyon ay, sa dalawang pantay na mga segment, ay tinatawag na midpoint ng segment. Sa Figure 21, ang point C ay ang gitna ng segment AB.

Ipinapakita ng Figure 22a hindi lumiko ang mga kanto 1 at 2. Upang matukoy kung pantay ang mga ito o hindi, ipapatong namin ang isang anggulo sa kabila upang ang gilid ng isang anggulo ay nakahanay sa gilid ng isa, at ang dalawa pa ay nasa magkabilang panig ng mga nakahanay na panig (Fig. 22 , b). Kung ang iba pang dalawang panig ay nagtagpo din, kung gayon ang mga anggulo ay ganap na nakahanay at samakatuwid ay pantay. Kung ang mga panig na ito ay hindi nagtutugma, kung gayon ang anggulo na bumubuo sa bahagi ng isa ay itinuturing na mas maliit. Sa figure (22, b) ang anggulo 1 ay bahagi ng anggulo 2, samakatuwid 1<2.

Hindi lumiko na kanto mga halaga sa bahagi ng pinalawak(Larawan 23), samakatuwid ang nabuong anggulo ay mas malaki kaysa sa hindi nabuong anggulo. Anumang dalawang baligtad na anggulo ay malinaw na pantay.

Ang sinag na nagmumula sa tuktok ng isang anggulo at hinahati ito sa dalawang magkaparehong anggulo ay tinatawag bisector sulok. Sa Figure 24 mayroong isang sinag l- bisector ng anggulo hk.

Mga Tanong:

1. Ilang degrees ang rotated angle?
2. Ano ang bisector?
3. Ano ang layunin ng isang protractor?

Listahan ng mga mapagkukunang ginamit:

1. P. I. Altynov, Geometry grades 7-9. Moscow. Publishing house na "Drofa", 2005.
2. Mga programa ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon. Geometry baitang 7-9. Compiled by: S.A. Burmistrova. Moscow. "Enlightenment", 2009.
3. Pahayagang "Mathematics" No. 19, 2000.
4. Atanasyan, Geometry 7-9 grades.
5. Pavlov A. N. Geometry: Planimetry sa mga tesis at solusyon.
6. In-edit at ipinadala ni Potunak S.A.

Nagtrabaho sa aralin:

Poturnak S.A.

Ang sistema ng pagtuturo na ginagamit ko ngayon sa aking mga aralin ay nakabatay sa prinsipyo: ang posisyon ng guro ay lumapit sa klase hindi na may sagot (ready-made na kaalaman, kakayahan at kasanayan), ngunit sa isang tanong, ang posisyon ng mag-aaral ay umunawa. ang mundo. Ang paglikha ng mga kondisyon sa silid-aralan para sa pagbuo ng mga kasanayan sa intelektwal at mga kasanayan sa nagbibigay-malay na sumasailalim sa pag-iisip, ang pagbuo ng mga malikhaing kakayahan at independiyenteng aktibidad ng mga mag-aaral, ang pagbuo ng mga pangunahing kakayahan ay napupunta nang maayos sa diskarte sa paghahanap ng problema sa pagtuturo. Ito ay sa batayan ng "pag-aaral sa pamamagitan ng pagtuklas" na sinusubukan kong buuin ang lahat ng aking mga aralin. Mula sa unang mga aralin sa geometry sa ika-7 baitang, tinuturuan ko ang mga bata na matiyaga at may kamalayan, sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali, makakuha ng hindi kilalang kaalaman. Ang mga problemang tanong, magkasalungat na katotohanan, kapwa eksklusibong pananaw o mga sagot mula sa mga mag-aaral, at mga praktikal na gawain na humahantong sa paghahanap ng hindi kilalang kaalaman ay nagiging isang paraan ng pagkontrol sa pag-iisip. Gusto kong mag-alok ng ilang mga presentasyon ng mga aralin sa geometry sa ika-7 baitang, na binuo sa mga prinsipyo sa itaas.

I-download:

Preview:

Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, gumawa ng Google account at mag-log in dito: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Mga pangunahing katangian ng paglalagay ng mga segment at anggulo

1. Gumuhit ng isang tuwid na linya (pahalang), markahan ang mga puntong O at B dito 2. Sa ray OB mula sa panimulang punto nito, magtabi ng isang segment na katumbas ng 5 cm. 3. Mula sa ray OB hanggang sa lower half-plane, alisin ang isang anggulo na BOA na katumbas ng 50 ° Mga Tanong: Ilang mga segment ng isang ibinigay na haba ang maaaring tanggalin sa isang kalahating linya mula sa panimulang punto nito? Gaano karaming mga segment ng isang ibinigay na haba ang maaaring i-plot sa isang ibinigay na linya mula sa isang naibigay na punto? Gaano karaming mga anggulo ng isang ibinigay na magnitude (degree measure) ang maaaring i-plot mula sa isang kalahating linya patungo sa isang ibinigay na kalahating eroplano? Gaano karaming mga anggulo ng isang binigay na sukat ng antas ang maaaring i-plot mula sa isang ibinigay na kalahating linya?

O B C OS = 5cm B O A 50 ° ∠ BOA = 50 ° O B C C " OS = 5 cm OS ‘ = 5 cm O B A B " 50 ° 50 ° ∠ BOA = 50 ° ∠ B ‘ OA = 50 °

VI. Sa anumang kalahating linya mula sa panimulang punto nito, maaari kang mag-plot ng isang segment ng isang partikular na haba at isa lamang. VII. Mula sa anumang kalahating linya, sa isang ibinigay na kalahating eroplano, maaari kang maglagay ng isang anggulo na may ibinigay na sukat ng degree na mas mababa sa 180 °, at isa lamang.

PAKSA "Mga pangunahing katangian ng isang segment"

Bilang halimbawa ng paggamit ng electronic textbook sa mga aralin sa geometry sa ika-7 baitang, titingnan natin kung paano ipinakilala ang konseptong "Mga pangunahing katangian ng isang segment".

Ang pagpili na ito ay dahil sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang:

1. Ito ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa parehong inisyal at sistematikong mga kursong geometry;

2. Ang isang segment, hindi katulad, halimbawa, isang ray o isang tuwid na linya, ay may sukatan na katangian - haba.

Ang kasalukuyang programa sa matematika ay gumagawa ng mga sumusunod na rekomendasyon:

1. Ang pag-aaral ng materyal ay isinaayos batay sa karanasan sa buhay ng mga mag-aaral at sa kanilang mga praktikal na kasanayan;

2. Ang mga katangiang katangian ng segment ay napansin sa kurso ng paglutas ng mga problema at pagsasagawa ng mga konstruksyon;

3. Ang pangunahing pokus ay sa pagbuo ng mga kasanayan sa pagsukat at pagbuo ng mga segment gamit ang isang ruler.

Bilang resulta ng pag-aaral ng geometric na materyal alinsunod sa kasalukuyang programa, dapat malaman ng mga mag-aaral:

1. Na mayroong isang segment na nagkokonekta sa dalawang punto ng eroplano;

2. Na ang segment ay nakatali sa magkabilang panig at bahagi ng isang tuwid na linya;

3. Pagpapasiya ng pantay na mga segment;

4. Property ng haba ng isang segment - ang haba ng kabuuan ng mga segment ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga summand segment.

Ang mga mag-aaral ay dapat na:

1. Kilalanin ang mga segment, kabilang ang mga kasama sa iba't ibang geometric na figure;

2. Bumuo ng mga segment, lagyan ng label at sukatin ang mga ito;

3. Paghambingin ang mga segment.

Sa tradisyonal na pagtatanghal, ang pag-aaral ng materyal na ito ay isinasagawa alinsunod sa sumusunod na pamamaraan:

1. Konstruksyon ng isang segment;

2. Pagtatalaga ng segment;

3. Haba ng segment, mga yunit ng haba;

4. Mga katangian ng paglalagay ng mga segment;

5. Paghahanap ng haba ng kabuuan ng mga segment.

Ang mga pagsasanay na nakapaloob sa iba't ibang kasalukuyang aklat-aralin at mga pantulong sa pagtuturo ay maaaring uriin sa mga sumusunod na uri:

a) pagtatayo ng mga segment;

b) pagtatalaga ng mga segment;

c) pagsukat at paghahambing ng mga segment;

d) paghahanap ng haba ng isang putol na linya o ang perimeter ng isang polygon;

e) paghahanap ng haba ng kabuuan ng mga segment.

Kaya, ang konsepto ng "segment" ay direktang nauugnay sa haba nito. Sisimulan namin ang aming pagsasaalang-alang sa konsepto ng "Segment" sa pamamagitan ng pag-highlight ng mga katangiang katangian na hindi nauugnay sa pagsukat. Ito ang mga pag-aari na ginagawang posible na maitatag ang pagkakapareho ng isang segment sa iba pang mga geometric na figure at ang pagkakaiba nito mula sa kanila, iyon ay, upang isama ang ideya ng isang segment sa umiiral nang sistema ng mga geometric na ideya ng mga mag-aaral.

Ang mga pangunahing katangian ng isang segment - straightness at boundedness sa dalawang direksyon - ay ipinapakita kapag ito ay inihambing sa isang tuwid na linya o isang ray.

Nagbibigay-daan sa iyo ang mga katangiang ito na sukatin ang isang segment, iyon ay, ihambing ang haba nito sa isang pamantayan ng haba.

Sa katunayan, ang haba ng isang tuwid na linya at isang sinag ay hindi masusukat dahil sa kanilang walang limitasyong kalikasan. Para sa isang hubog na linya, ang direktang pagsukat ng haba ay mahirap dahil sa di-makatwirang hugis nito. Gayunpaman, kahit na alam ang haba ng kurba, walang sinasabi ang numerong ito tungkol sa hugis nito, dahil mayroong walang katapusang bilang ng mga hubog na linya ng isang partikular na haba. Ang haba ng segment ay natatanging tumutukoy dito bilang isang geometric na pigura.

Sa papel na ito, iminungkahi na pag-aralan ang konsepto ng "segment" alinsunod sa sumusunod na pamamaraan:

1. pagbuo ng isang segment;

2. pagtatalaga ng segment;

3. mga pangunahing di-sukat na katangian ng isang segment;

4. ang pangunahing katangian ng pagkaantala ng isang segment;

5. haba ng segment, mga yunit ng haba;

6. pantay na mga segment, paghahambing ng mga segment ayon sa haba;

7. paghahanap ng haba ng kabuuan ng mga segment.

Isang oras ang inilalaan para maging pamilyar sa paksang "Isang segment at mga katangian nito".

ARALIN "Mga pangunahing katangian ng mga segment."

Ang layunin ng aralin: upang bumuo ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa isang segment bilang isang limitadong rectilinear geometric figure at tungkol sa relatibong posisyon ng mga puntos sa isang eroplano.

I. Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal.

Pamilyar ang mga mag-aaral sa isang segment, ang pagbuo at pagsukat nito mula sa elementarya. Samakatuwid, sa simula ng aralin, naaalala ng mga mag-aaral ang iba't ibang paraan upang makabuo ng isang segment gamit ang isang ruler at ang pagtatalaga nito.

Pag-uulit:

Paraan 1: Gamit ang isang ruler, gumuhit ng isang tuwid na linya, markahan ang dalawang punto A at B dito, na tumutukoy sa segment na AB.

Ang Segment AB ay bahagi ng isang tuwid na linya,

A B limitado ng mga puntos.

Segment ng linya AB

Paraan 2: Markahan ang dalawang puntos na A at B sa eroplano.

Ang Segment AB ay binubuo ng lahat ng puntos

tuwid na linya na nakahiga sa pagitan ng mga punto

A SA A at B, at ang mga puntos mismo.

Segment ng linya AB

Naaalala ng mga estudyante ang lahat ng nalalaman nila tungkol sa isang segment: 1) ang isang segment ay isang flat figure (nakahiga sa isang eroplano); 2) ito ay bahagi ng isang tuwid na linya; 3) ang segment ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga puntos; 4) ito ay limitado sa magkabilang panig; 5) ang bawat punto ng segment ay nasa pagitan ng dalawang ibinigay na punto, na tinatawag na mga dulo ng segment.

Naaalala ng mga mag-aaral ang lahat ng ito batay sa elektronikong aklat-aralin sa pamamagitan ng pagbubukas ng pahina ng "segment". (Larawan 8)

Larawan 8.

Pagtatanghal ng bagong materyal. Gamit ang EUP page na "Planimetry": "Mga pangunahing katangian ng isang segment"

Matapos maalala at maulit ng mga mag-aaral ang kanilang nalalaman tungkol sa segment, sinabi ng guro: na ang mga dulo ng segment ay tinatawag na mga boundary point, at ang lahat ng nasa pagitan ng mga ito ay ang mga panloob na punto ng segment.

Pagkatapos nito, hinihiling ng guro ang mga bata na bumaling sa elektronikong aklat-aralin, na nagpapakita ng isang pagguhit at nagbibigay ng paliwanag na humahantong sa mga mag-aaral sa mga pangunahing katangian ng pagsukat at pag-plot ng isang segment.

II. Pagsasama-sama

Hinihiling sa mga mag-aaral na kumpletuhin ang ilang mga gawain sa pagmamay-ari ng mga puntos sa mga segment, mga segment ng linya at mga sinag, pati na rin ang kanilang pagbuo, ng form:

1. Markahan ang mga puntos na K at M sa iyong kuwaderno Gamit ang isang ruler, bumuo ng isang segment na KM. Markahan ang mga puntong P at T sa segment na ito. Anong mga segment ang hinahati ng point T sa segment ng KM?

2. Alin sa mga puntong ipinahiwatig sa Fig. nabibilang sa segment ng CD, at alin sa kanila ang hindi kabilang?

Mga tanong para sa pagsasama-sama:

1. Paano itinalaga ang mga punto at linya?

2. Aling mga puntos na minarkahan sa figure ang nasa linya a, alin ang mga puntos sa linya b? Sa anong punto nagsasalubong ang mga linya a at b?

3. Bumuo ng mga pangunahing katangian ng paglalagay ng mga segment.

4. Bumuo ng pangunahing katangian ng pagsukat ng mga segment.

Geometry

Mga pangunahing katangian ng pinakasimpleng geometric na figure

Kahulugan. Mga Axiom

Geometry ay ang agham ng mga katangian ng mga geometric na hugis.
Pakitandaan: ang isang geometric na figure ay hindi lamang isang tatsulok, bilog, pyramid, atbp., kundi pati na rin ang anumang hanay ng mga puntos.
Planimetry ay isang sangay ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga figure sa isang eroplano.
Dot At tuwid ay ang mga pangunahing konsepto ng planimetry. Nangangahulugan ito na ang konseptong ito ay hindi maaaring tiyak na matukoy. Maaari lamang silang isipin batay sa karanasan at paglilista ng kanilang mga ari-arian.
Ang mga pahayag na ang katotohanan ay tinatanggap nang walang patunay ay tinatawag mga axiom. Naglalaman ang mga ito ng mga pormulasyon ng mga pangunahing katangian ng pinakasimpleng mga numero.
Ang mga pahayag na napatunayan ay tinatawag theorems.
Kahulugan ay isang pagpapaliwanag ng isang konsepto na umaasa sa alinman sa mga pangunahing konsepto o konsepto na naunang tinukoy.
Mga pagtatalaga: ang mga puntos ay ipinahiwatig sa malalaking titik na Latin; mga tuwid na linya - sa maliliit na letrang Latin o dalawang malalaking letrang Latin (kung ang dalawang punto ay ipinahiwatig sa isang tuwid na linya).
Mga puntos sa larawan A, B, C, N,M at tuwid a At b. Direkta A maaaring italaga bilang isang tuwid na linya MN(o N.M.).

Ang entry ay nangangahulugan na ang punto M namamalagi sa isang tuwid na linya A. Ang entry ay nangangahulugan na ang punto SA ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya A.
Dapat natin itong intindihin ng tuwid a At b sa figure intersect, kahit na hindi namin makita, sa isang punto.

Mga pangunahing katangian (axioms) ng pag-aari ng mga punto at linya sa isang eroplano

Axiom I.
1. Anuman ang linya, may mga puntong kabilang sa linyang ito at mga puntong hindi kabilang dito.
2. Sa pamamagitan ng alinmang dalawang punto maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya, at isa lamang. (Dapat nating maunawaan na naglalaman ito ng dalawang pahayag: una, ang pagkakaroon ng naturang linya, at pangalawa, ang pagiging natatangi nito.)
Axiom II. Sa tatlong puntos sa isang linya, isa at isa lamang ang nasa pagitan ng dalawa.
Sa pamamagitan ng segment ay ang bahagi ng isang linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng linyang ito na nasa pagitan ng dalawang ibinigay na mga punto. Ang mga puntong ito ay tinatawag dulo ng segment. Ang figure ay nagpapakita ng isang segment AB(Ang isang segment ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng pagsulat ng pagtatapos nito).

Mga pangunahing katangian (axioms) ng pagsukat ng mga segment

Axiom III.
1. Ang bawat segment ay may partikular na haba na higit sa zero.
2. Ang haba ng isang segment ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga bahagi kung saan ito ay nahahati sa alinman sa mga punto nito.

Ang pangunahing pag-aari ng paglalagay ng mga puntos na may kaugnayan sa isang tuwid na linya sa isang eroplano

Axiom IV. Ang isang tuwid na linya ay naghahati sa isang eroplano sa dalawang kalahating eroplano.
Ang partisyon na ito ay may sumusunod na katangian: kung ang mga dulo ng anumang segment ay nabibilang sa parehong eroplano, kung gayon ang segment ay hindi bumalandra sa linya; kung ang mga dulo ng segment ay nabibilang sa iba't ibang mga ibabaw, pagkatapos ay ang segment ay nag-intersect sa linya.
Direkta, o sinag, tinatawag na bahagi ng isang linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng linyang ito na nakahiga sa isang gilid ng isang ibinigay na punto dito. Ang puntong ito ay tinatawag na sinag na panimulang punto. Iba't ibang linya ng isang linya na may karaniwang panimulang punto ay tinatawag karagdagang.
Ipinapakita ng figure ang mga sinag AB(aka A.C.), D.A.(o D.B., DC), B.C., C.B.(o C.A., CD), B.A.(o BD), AD.

Sinag AB At A.D., B.C. At BD- karagdagan. Sinag BD At A.C. ay hindi komplementaryo dahil magkaiba sila ng mga panimulang punto.
Sulok- ito ay isang pigura na binubuo ng isang punto - mga sulok ng sulok- at dalawang magkaibang tuwid na linya na nagmumula sa puntong ito, - mga gilid ng anggulo.
Ang anggulo na ipinapakita sa figure ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod: , , .

Kung ang mga gilid ng isang anggulo ay pantulong na tuwid na linya, ang anggulo ay tinatawag pinalawak:

Sabi nila ang sinag ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng anggulo, kung ito ay nagmumula sa tuktok nito at nag-intersect sa ilang segment na may mga dulo sa mga gilid nito. Para sa isang nabuong anggulo, ipinapalagay namin na ang anumang sinag na nagmumula sa tuktok nito at naiiba sa mga gilid nito ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng anggulo.

Mga pangunahing katangian ng pagsukat ng anggulo

Axiom V.
1. Ang bawat anggulo ay may tiyak na sukat ng antas na higit sa zero. Ang tuwid na anggulo ay katumbas ng .
2. Ang sukat ng antas ng isang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng antas ng mga anggulo kung saan ito ay nahahati sa anumang sinag na dumadaan sa pagitan ng mga gilid nito.

Mga pangunahing katangian ng paglalagay ng mga segment at anggulo

Axiom VI. Sa anumang tuwid na linya mula sa panimulang punto nito, maaari kang mag-plot ng isang segment ng isang partikular na haba, at isa lamang.
Axiom VII. Mula sa anumang direktang linya patungo sa isang partikular na eroplano, ang isang anggulo ng isang partikular na antas ay maaaring gawin, mas mababa sa , at isa lamang.
Tatsulok ay isang figure na binubuo ng tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong linya, at tatlong mga segment na nagkokonekta sa mga puntong ito nang magkapares. Tinatawag ang mga puntos ang mga vertex ng tatsulok, at ang mga segment ay kanya mga partido.
Ang tatsulok sa figure ay maaaring italaga bilang mga sumusunod: o, atbp.

Mga pangunahing elemento ng tatsulok sa itaas: mga gilid AB, A.C., B.C.(o a, b, c); anggulo (o), , . at - katabi sa gilid A.C.. - kabaligtaran A.C..
Tatsulok ang tawag pantay, kung ang kanilang mga kaukulang panig ay pantay at ang kanilang mga katumbas na anggulo ay pantay. Sa kasong ito, ang mga kaukulang anggulo ay dapat na nasa tapat ng mga kaukulang panig.
Ang ibig sabihin ng entry ay (tingnan ang figure) na:
; ;
; ;
; .

Ang pangunahing pag-aari ng pagkakaroon ng mga kaparehong tatsulok

Axiom VIII. Anuman ang tatsulok, mayroong isang tatsulok na katumbas nito sa isang naibigay na lokasyon na may kaugnayan sa isang ibinigay na tuwid na linya.
Ang mga direktang linya ay tinatawag parallel, kung hindi sila magsalubong.
Ang mga parallel na linya na ipinapakita sa figure ay maaaring italaga bilang mga sumusunod: o.

Axiom ng mga parallel na linya

Axiom IX. Sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, posibleng gumuhit sa eroplano ng hindi hihigit sa isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na isa.
Pakitandaan: iginiit ng axiom ang pagiging natatangi ng naturang linya, ngunit hindi iginiit ang pagkakaroon nito.

Ang relatibong posisyon ng mga linya sa isang eroplano

Dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ay maaaring:
magkasabay;
maging parallel (i.e. hindi intersect);
magkaroon ng isang karaniwang punto.
(Sa katunayan, kung ang dalawang linya ay maaaring magkaroon ng hindi bababa sa dalawang karaniwang mga punto, kung gayon ang dalawang magkaibang linya ay dadaan sa dalawang puntong ito, na sumasalungat sa Axiom I, talata 2).