Mga pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan: ang kanilang mga formulations at derivation. Paano patunayan ang isang trigonometric identity? Paghahanap ng tangent at cotangent gamit ang sine at cosine

Sa artikulong ito ay titingnan natin ang isang komprehensibong pagtingin. Ang mga pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagpapahintulot sa isa na mahanap ang alinman sa mga trigonometrikong function na ito sa pamamagitan ng isang kilalang iba.

Ilista natin agad ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na ating susuriin sa artikulong ito. Isulat natin ang mga ito sa isang talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay natin ang output ng mga formula na ito at ibibigay ang mga kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo

Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan mabait . Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong mga bahagi nito sa pamamagitan ng at, ayon sa pagkakabanggit, at ang mga pagkakapantay-pantay. At sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pag-uusapan natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na talata.

Iyon ay, ito ay ang pagkakapantay-pantay na partikular na interes, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.

Bago patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, ibinibigay namin ang pagbabalangkas nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.

Ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit kapag pag-convert ng mga trigonometrikong expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi gaanong madalas, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay ginagamit sa reverse order: ang yunit ay pinapalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng anumang anggulo.

Tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine

Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent na may sine at cosine ng isang anggulo ng view at sundin kaagad mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, , at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, .

Salamat sa gayong kaliwanagan ng mga pagkakakilanlan at Ang tangent at cotangent ay madalas na tinutukoy hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.

Sa pagtatapos ng puntong ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at magaganap para sa lahat ng mga anggulo kung saan may katuturan ang mga trigonometrikong function na kasama sa mga ito. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang , maliban sa (kung hindi, ang denominator ay magkakaroon ng zero, at hindi namin tinukoy ang paghahati sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat , naiiba mula sa , kung saan ang z ay anuman .

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa naunang dalawa ay ang pagkakakilanlan na nagkokonekta sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng form . Ito ay malinaw na ito ay humahawak para sa anumang mga anggulo maliban sa , kung hindi man ang tangent o ang cotangent ay hindi tinukoy.

Katibayan ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at mula saan . Ang patunay ay maaaring naisagawa nang medyo naiiba. Since , Iyon .

Kaya, ang tangent at cotangent ng parehong anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay .

Ito ang huli at pinakamahalagang aralin na kailangan upang malutas ang mga problema B11. Alam na natin kung paano i-convert ang mga anggulo mula sa radian measure sa isang degree measure (tingnan ang aralin na "Radian at degree na sukat ng isang anggulo"), at alam din namin kung paano matukoy ang sign ng isang trigonometriko function, na tumutuon sa mga coordinate quarters ( tingnan ang aralin na "Mga palatandaan ng trigonometriko function").

Ang tanging bagay na natitira upang gawin ay kalkulahin ang halaga ng mismong function - ang mismong numero na nakasulat sa sagot. Ito ay kung saan ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan dumating sa pagsagip.

Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan. Para sa anumang anggulo α ang sumusunod na pahayag ay totoo:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Iniuugnay ng formula na ito ang sine at cosine ng isang anggulo. Ngayon, alam ang sine, madali nating mahahanap ang cosine - at kabaliktaran. Ito ay sapat na upang kunin ang square root:

Tandaan ang "±" sign sa harap ng mga ugat. Ang katotohanan ay mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay hindi malinaw kung ano ang orihinal na sine at cosine: positibo o negatibo. Pagkatapos ng lahat, ang pag-squaring ay isang pantay na function na "sinusunog" ang lahat ng mga minus (kung mayroon man).

Iyon ang dahilan kung bakit sa lahat ng mga problema B11, na matatagpuan sa Unified State Examination sa matematika, mayroong kinakailangang karagdagang mga kondisyon na makakatulong na mapupuksa ang kawalan ng katiyakan na may mga palatandaan. Kadalasan ito ay isang indikasyon ng coordinate quarter, kung saan maaaring matukoy ang tanda.

Maaaring magtanong ang isang matulungin na mambabasa: "Paano ang tangent at cotangent?" Imposibleng direktang kalkulahin ang mga function na ito mula sa mga formula sa itaas. Gayunpaman, may mga mahahalagang kahihinatnan mula sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan, na naglalaman na ng mga tangent at cotangent. Namely:

Isang mahalagang resulta: para sa anumang anggulo α, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Ang mga equation na ito ay madaling nakuha mula sa pangunahing pagkakakilanlan - sapat na upang hatiin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng cos 2 α (upang makuha ang tangent) o sa pamamagitan ng sin 2 α (upang makuha ang cotangent).

Tingnan natin ang lahat ng ito na may mga tiyak na halimbawa. Nasa ibaba ang mga tunay na problema sa B11, na kinuha mula sa mga trial na bersyon ng Unified State Examination in Mathematics 2012.

Alam natin ang cosine, ngunit hindi natin alam ang sine. Ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan (sa "dalisay" na anyo nito) ay nag-uugnay lamang sa mga pag-andar na ito, kaya gagana kami dito. Mayroon kaming:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.

Upang malutas ang problema, nananatili itong hanapin ang tanda ng sine. Dahil ang anggulo α ∈ (π /2; π ), kung gayon sa sukat ng antas ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: α ∈ (90°; 180°).

Dahil dito, ang anggulo α ay nasa II coordinate quarter - lahat ng mga sine ay positibo. Samakatuwid sin α = 0.1.

Kaya, alam natin ang sine, ngunit kailangan nating hanapin ang cosine. Pareho sa mga function na ito ay nasa pangunahing trigonometric identity. Palitan natin:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

Ito ay nananatiling harapin ang tanda sa harap ng fraction. Ano ang pipiliin: plus o minus? Sa pamamagitan ng kundisyon, ang anggulo α ay kabilang sa pagitan (π 3π /2). I-convert natin ang mga anggulo mula sa radian measures sa degrees - makuha natin ang: α ∈ (180°; 270°).

Malinaw, ito ang III coordinate quarter, kung saan negatibo ang lahat ng cosine. Samakatuwid cos α = −0.5.

Gawain. Hanapin ang tan α kung alam ang sumusunod:

Ang tangent at cosine ay nauugnay sa equation na sumusunod mula sa pangunahing trigonometric identity:

Nakukuha namin ang: tan α = ±3. Ang tanda ng tangent ay tinutukoy ng anggulo α. Ito ay kilala na α ∈ (3π /2; 2π ). I-convert natin ang mga anggulo mula sa radian measures sa degrees - makuha natin ang α ∈ (270°; 360°).

Malinaw, ito ang IV coordinate quarter, kung saan negatibo ang lahat ng tangent. Samakatuwid tan α = −3.

Gawain. Hanapin ang cos α kung alam ang sumusunod:

Muli ang sine ay kilala at ang cosine ay hindi kilala. Isulat natin ang pangunahing trigonometric identity:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.

Ang tanda ay tinutukoy ng anggulo. Mayroon kaming: α ∈ (3π /2; 2π ). I-convert natin ang mga anggulo mula sa mga degree sa radians: α ∈ (270°; 360°) ay ang IV coordinate quarter, ang mga cosine doon ay positibo. Samakatuwid, cos α = 0.6.

Gawain. Hanapin ang sin α kung alam ang sumusunod:

Isulat natin ang isang formula na sumusunod mula sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan at direktang nag-uugnay sa sine at cotangent:

Mula dito nakukuha natin ang kasalanan 2 α = 1/25, i.e. kasalanan α = ±1/5 = ±0.2. Ito ay kilala na anggulo α ∈ (0; π /2). Sa antas ng sukat, ito ay nakasulat tulad ng sumusunod: α ∈ (0°; 90°) - I coordinate quarter.

Kaya, ang anggulo ay nasa I coordinate quadrant - lahat ng trigonometric function doon ay positibo, kaya sin α = 0.2.

Ang teksto ng trabaho ay nai-post nang walang mga larawan at mga formula.
Ang buong bersyon ng trabaho ay available sa tab na "Mga Work File" sa format na PDF

Panimula

Trigonometry ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng trigonometriko function at ang kanilang mga aplikasyon sa geometry. Ang termino mismo, na nagbigay ng pangalan nito sa sangay ng matematika na ito, ay unang natuklasan sa pamagat ng isang aklat na isinulat ng German mathematician na si Pitiscus noong 1505. Ang salitang trigonometry ay nagmula sa Greek: trigwnon - tatsulok at metrew - upang sukatin, at literal na nangangahulugang pagsukat ng mga tatsulok. Upang maging mas tumpak, hindi namin pinag-uusapan ang literal na pagsukat ng figure na ito, ngunit tungkol sa solusyon nito, iyon ay, ang pagtukoy ng mga halaga ng mga hindi kilalang elemento nito gamit ang mga kilalang. Iyon ay, ang trigonometry ay lumitaw sa isang geometric na batayan, nagkaroon ng isang geometric na wika at inilapat sa paglutas ng mga problemang geometriko. Ang pag-unlad ng simbolismo ng algebra ay naging posible na magsulat ng mga relasyon sa trigonometriko sa anyo ng mga formula.

Una naming nakatagpo ng trigonometriko na materyal sa ika-8 baitang nang pag-aralan ang paksang "Mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok." Kaya natutunan namin kung ano ang sine, cosine at tangent, at natutong lutasin ang mga tamang tatsulok.

Lumipas ang ilang oras at noong ika-9 na baitang muli kaming bumalik sa trigonometry. Ngunit itong trigonometrya ay hindi katulad ng pinag-aralan noon. Ang mga relasyon nito ay tinutukoy na ngayon gamit ang isang bilog (unit kalahating bilog) sa halip na isang tamang tatsulok. Bagama't ang mga ito ay tinukoy pa rin bilang mga pag-andar ng mga anggulo, ang mga anggulong ito ay naging hindi lamang talamak, ngunit din mahina.

Lumipat sa ika-10 na baitang, muli naming nakatagpo ang trigonometrya at nakita na ito ay naging mas kumplikado, ang konsepto ng isang radian na sukat ng isang anggulo ay ipinakilala, at ang mga trigonometric na pagkakakilanlan, ang pagbabalangkas ng mga problema, at ang interpretasyon ng kanilang mga solusyon ay mukhang iba. . Ang mga graph ng trigonometriko function ay ipinakilala. Sa wakas, lumitaw ang mga trigonometrikong equation. At ang lahat ng materyal na ito ay lumitaw sa harap namin bilang bahagi ng algebra, at hindi bilang geometry. At naging interesado kaming malaman kung posible bang patunayan ang mga formula na pinag-aaralan namin sa algebra gamit ang mga geometric na pamamaraan.

Bagay pananaliksik - trigonometriko formula.

item pananaliksik - mga geometric na patunay ng mga formula na ito.

Target pananaliksik - pag-aaral ng mga paraan upang patunayan ang mga trigonometrikong formula gamit ang geometry.

Mga gawain pananaliksik:

Pag-aralan ang pang-edukasyon, sikat na literatura sa agham sa paksa.

Isaalang-alang ang kasaysayan ng paglitaw at pag-unlad ng trigonometrya.

Patunayan ang ilang mga formula ng trigonometry gamit ang mga geometric na pamamaraan.

Magsagawa ng isang sarbey sa mga mag-aaral sa klase 10A upang matukoy ang kanilang opinyon tungkol sa algebraic at geometric na paraan ng pagpapatunay ng mga trigonometrikong formula.

Suriin ang mga patunay ng mga formula at tukuyin kung aling mga geometric na katotohanan ang kadalasang ginagamit sa pagpapatunay ng mga formula.

Pamamaraan pananaliksik: pag-aaral sa panitikan, pagproseso ng mga materyales at resulta, paghahambing, pagsusuri, pagtatanong (survey), paglalahat.

Kasaysayan ng pag-unlad ng trigonometrya

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa trigonometrya

Ang kasaysayan ng trigonometrya ay sumasaklaw ng higit sa dalawang milenyo. Sa una, ang paglitaw nito ay nauugnay sa pangangailangan na linawin ang mga ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at gilid ng isang tatsulok. Naniniwala ang mga mananalaysay na ang trigonometry ay nilikha ng mga sinaunang astronomo, at ilang sandali pa ay nagsimula itong gamitin sa geodesy at arkitektura. Sa paglipas ng panahon, ang saklaw ng trigonometrya ay patuloy na lumalawak. Ang mga function ng trigonometric ay naging kapaki-pakinabang lalo na sa pag-aaral ng mga proseso ng oscillatory; Ang harmonic analysis ng mga function ay nakabatay din sa kanila. Tinawag ni Thomas Paine, sa kaniyang aklat na The Age of Reason (1974), ang trigonometrya na “ang kaluluwa ng siyensiya.”

Ang mga simula ng trigonometry ay matatagpuan sa mga manuskrito ng matematika ng sinaunang Egypt, Babylon at sinaunang Tsina. Ang ika-56 na problema mula sa Rhinda papyrus (2nd millennium BC) ay nagmumungkahi ng paghahanap ng hilig ng isang piramide na ang taas ay 250 siko at ang haba ng base na gilid ay 360 siko.

Ginagabayan ng data sa nakaligtas na mga labi ng siyentipiko, napagpasyahan ng mga istoryador na ang kasaysayan ng trigonometrya ay konektado sa gawain ng astronomong Griyego na si Hipparchus, na unang nag-isip tungkol sa paghahanap ng mga paraan upang malutas ang (spherical) na mga tatsulok. Ang kanyang mga gawa ay nagsimula noong ika-2 siglo BC.

Gayundin, ang isa sa pinakamahalagang tagumpay ng mga panahong iyon ay ang pagpapasiya ng ugnayan sa pagitan ng mga binti at hypotenuse sa mga right triangle, na kalaunan ay naging kilala bilang Pythagorean theorem.

Kasaysayan ng Trigonometry: Sinaunang Greece

Karamihan sa mga sinaunang gawa sa matematika ay hindi nakaligtas hanggang sa araw na ito, at kilala lamang mula sa mga pagbanggit ng mga huling may-akda at komentarista, lalo na si Pappus ng Alexandria (III siglo), Proclus (V siglo), atbp. Kabilang sa mga nabubuhay na gawa, ang unang ang pangalanan ay “Principia » Euclid at mga piling aklat ni Aristotle, Archimedes, Apollonius at Diophantus. Ang Euclid's Elements ay naglalaman ng ilang theorems na may katangiang trigonometriko Halimbawa, sa pangalawang aklat, ang Theorem 12 ay isang verbal na analogue ng cosine theorem: Sa mga obtuse triangles, ang parisukat sa gilid na nagpapa-subte sa obtuse na anggulo ay mas malaki kaysa sa square sa mga gilid. na naglalaman ng obtuse angle ng rectangle na kinuha dalawang beses sa pagitan ng isa sa mga gilid sa isang obtuse angle kung saan nahuhulog ang perpendicular, at ang segment ay pinutol mula sa labas ng perpendicular na ito sa isang obtuse angle. Gayundin, ang pag-unlad ng trigonometrya ay nauugnay sa pangalan ng astronomer na si Aristarchus ng Samos (III AD). Ang kanyang treatise na "Sa magnitude at mga distansya ng Araw at Buwan" ay nagbigay ng problema sa pagtukoy ng mga distansya sa mga celestial na katawan; ang problemang ito ay nangangailangan ng pagkalkula ng ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok na ibinigay ang halaga ng isa sa mga anggulo.

Sa buong panahon ng pag-unlad ng sinaunang agham, ang astronomiya ay nanatiling pangunahing larangan para sa paglalapat ng mga resulta ng trigonometrya ng eroplano sa mga Griyego. Ang paggamit ng trigonometry ay kinakailangan, halimbawa, sa pamamagitan ng problema sa pagtukoy ng mga parameter ng paggalaw ng isang luminary sa espasyo. Ang problemang ito ay unang binuo at nalutas ni Hipparchus (kalagitnaan ng ika-2 siglo BC Sa halip na ang modernong sine function, Hipparchus at iba pang sinaunang Greek mathematician ay karaniwang isinasaalang-alang ang pag-asa ng haba ng chord ng isang bilog sa isang naibigay na gitnang anggulo. Nang maglaon, dinagdagan ng astronomer na si Claudius Ptolemy sa Almagest ang mga resulta ni Hipparchus. Ang labintatlong aklat ng Almagest ay ang pinaka makabuluhang trigonometriko na gawain sa lahat ng unang panahon. Sa partikular, ang aklat ay naglalaman ng malawak na limang-digit na mga talahanayan ng chord para sa talamak at malabo na mga anggulo. Ang mga yunit para sa pagsukat ng mga chord ay mga degree, minuto at segundo. Ang isang degree ay katumbas ng ikaanimnapung bahagi ng radius. Gayundin, ang pananaliksik ng mga sinaunang Griyego ay sumulong sa pagbuo ng spherical trigonometrya. Sa partikular, si Euclid sa kanyang "Mga Prinsipyo" ay nagbibigay ng isang teorama tungkol sa mga pattern ng mga relasyon sa pagitan ng mga volume ng mga bola ng iba't ibang mga diameter. Ang kanyang mga gawa sa lugar na ito ay naging isang uri ng impetus para sa pag-unlad ng mga kaugnay na lugar ng kaalaman. Ito ay, sa partikular, ang teknolohiya ng mga instrumentong pang-astronomiya, ang teorya ng mga projection ng mapa, ang celestial coordinate system, atbp.

Kasaysayan ng Trigonometry: Middle Ages

Nakamit ng mga astronomong medieval ng India ang makabuluhang tagumpay. Ang pagkamatay ng sinaunang agham noong ika-4 na siglo ay humantong sa paggalaw ng sentro ng pag-unlad ng matematika sa India. Noon pinalitan ng mga siyentipiko ang mga chord ng sinuses. Ang pagtuklas na ito ay nagpapahintulot sa pagpapakilala ng mga pag-andar tungkol sa pag-aaral ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok. Iyon ay, noon ay nagsimulang ihiwalay ng trigonometrya ang sarili mula sa astronomiya, na naging isang sangay ng matematika. Ang mga unang talahanayan ng mga sine ay lumitaw sa mga gawa ni Aryabhata (ika-5 siglo), ang mga ito ay iginuhit sa pamamagitan ng 3°. Ang isang mahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng trigonometrya ay ginawa ni Brahmagupta (ika-7 siglo), na nakatuklas ng ilang mga trigonometriko na relasyon, kabilang ang mga na sa modernong notasyon ay kinuha ang anyo: Sa mga gawa ng isa pang natitirang siyentipiko, si Bhaskara II (ika-12 siglo), ang mga pormula ay ibinigay para sa sine at cosine ng kabuuan at pagkakaiba ng anggulo.

Ang unang espesyal na treatise sa trigonometrya ay lumitaw noong ika-10-11 siglo. Ang may-akda nito ay ang Central Asian scientist na si Al-Biruni. Sa kanyang pangunahing gawain, "The Canon of Mas'ud" (Book III), ang medyebal na may-akda ay lumalim pa sa trigonometrya, na nagbibigay ng isang talahanayan ng mga sine (sa 15-pulgada na mga palugit) at isang talahanayan ng mga tangent (sa 1° na mga palugit) .

Matapos ang pagsasalin ng Arabic treatises sa Latin (XII-XIII siglo), karamihan sa mga ideya ng Indian at Persian scientists ay hiniram ng European science. Ang mga unang pagbanggit ng trigonometrya sa Europa ay nagsimula noong ika-12 siglo. Ayon sa mga mananaliksik, ang kasaysayan ng trigonometrya sa Europa ay konektado sa pangalan ng Ingles na si Richard ng Wallingford, na naging may-akda ng sanaysay na "Four Treatises on Straight and Inverted Chords." Ang kanyang trabaho ang naging unang gawain na ganap na nakatuon sa trigonometrya.

Kasaysayan ng trigonometrya: Makabagong panahon

Sa modernong panahon, ang karamihan sa mga siyentipiko ay nagsimulang mapagtanto ang labis na kahalagahan ng trigonometrya hindi lamang sa astronomiya at astrolohiya, kundi pati na rin sa iba pang mga lugar ng buhay. Ito ay, una sa lahat, artilerya, optika at nabigasyon sa mahabang paglalakbay sa dagat. Samakatuwid, sa ikalawang kalahati ng ika-16 na siglo, ang paksang ito ay interesado sa maraming kilalang tao noong panahong iyon, kabilang sina Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, at Francois Vieta. Inilaan ni Copernicus ang ilang mga kabanata sa trigonometrya sa kanyang treatise na "On the Rotation of the Celestial Spheres" (1543).

Si François Viète sa kanyang "Canon of Mathematics" (1579) ay nagbibigay ng detalyado at sistematiko, bagama't hindi napatunayan, ang paglalarawan ng eroplano at spherical trigonometrya. At si Albrecht Durer ang naging isa salamat kung kanino ipinanganak ang sine wave. Ang pagbibigay ng trigonometrya ng modernong nilalaman ay ang merito ni Leonhard Euler. Ang kanyang treatise na "An Introduction to the Analysis of Infinites" (1748) ay naglalaman ng depinisyon ng terminong "trigonometric functions" na katumbas ng modernong isa, at nagawa rin niyang tukuyin ang inverse trigonometric functions. Itinuring ni Euler ang mga negatibong anggulo at anggulo na higit sa 360° bilang pinahihintulutan, na naging posible na tukuyin ang mga function ng trigonometriko sa buong linya ng numero. Siya ang, sa kanyang mga gawa, unang pinatunayan na ang cosine at tangent ng isang mahinang anggulo ay negatibo, at tinukoy ang mga palatandaan para sa mga anggulo sa iba't ibang mga coordinate quadrant. Ang pagpapalawak ng mga integer na kapangyarihan ng cosine at sine ay naging merito rin ng siyentipikong ito.

Mga aplikasyon ng trigonometrya

Ang trigonometrya ay hindi isang inilapat na agham; Gayunpaman, hindi binabawasan ng katotohanang ito ang kahalagahan nito. Napakahalaga, halimbawa, ang pamamaraan ng triangulation, na nagpapahintulot sa mga astronomo na tumpak na sukatin ang distansya sa mga kalapit na bituin at subaybayan ang mga satellite navigation system. Ginagamit din ang trigonometry sa nabigasyon, teorya ng musika, acoustics, optika, pagsusuri sa merkado ng pananalapi, electronics, teorya ng probabilidad, istatistika, biology, gamot (halimbawa, sa pag-decode ng mga pagsusuri sa ultrasound, ultrasound at computed tomography), mga parmasyutiko, kimika, teorya ng numero, seismology, meteorology , oceanology, cartography, maraming seksyon ng physics, topography at geodesy, arkitektura, phonetics, economics, electronic engineering, mechanical engineering, computer graphics, crystallography, atbp. Ang kasaysayan ng trigonometry at ang papel nito sa pag-aaral ng natural at mathematical pinag-aaralan pa rin hanggang ngayon ang mga agham. Marahil sa hinaharap ay magkakaroon ng higit pang mga lugar ng aplikasyon nito.

2. Mga patunay ng mga formula

Bago patunayan ang mga trigonometric na pagkakakilanlan, tandaan natin kung ano ang sine, cosine at tangent ng isang acute angle ng right triangle.

Sinus Ang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse. .

Cosine Ang acute angle ng right triangle ay ang ratio ng katabing gilid sa hypotenuse.

Padaplis Ang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Ngayon ay patunayan natin ang ilang mga formula ng trigonometrya gamit ang mga geometric na pamamaraan.

2.1. Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan

Isulat natin para sa ∆ABC ang Pythagorean theorem AB 2 = AC 2 + BC 2 o c 2 = a 2 + b 2 . Sa pamamagitan ng kahulugan ng sine at cosine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok, a = c sin , b = c cos . Pagkatapos ay makuha natin na c 2 = c 2 sin 2  + c 2 cos 2 .

Ang pagbabawas ng c 2, nakuha namin ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan

kasalanan 2  + cos 2  = 1.

2.2. Mga formula ng pagbabawas.

Mula sa mga kahulugan ng sine at cosine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok, maaaring makuha ang mga sumusunod na formula ng pagbabawas: .

Ang natitira ay maaaring ilarawan gamit ang isang bilog na yunit (Appendix 1).

Sa pag-survey sa mga mag-aaral sa klase 10A, lumabas na ang karamihan ng klase (57%) ay naniniwala na ang geometric na paglalarawan ng mga pormula ng pagbabawas ay mas malinaw, at sa gayon ang mga formula ay mas mabilis na naaalala.

2.3. cos ( + ) = cos cos - kasalanan  kasalanan .

Sa bilog ng yunit ay minarkahan natin ang mga puntong A at B. Ipahiwatig natin ang  ROA = ,  AOB = , pagkatapos ay  ROM =  + .

Kaya, ang punto A ay may mga coordinate A(cos ; sin ),

Ang punto B ay may mga coordinate B(cos ( + ); sin ( + )).

Sa unit circle, markahan ang point C upang  ROC = , i.e. Ang punto C ay magkakaroon ng mga coordinate C(cos (- ); sin (- )), at  AOC =  + .

Dahil ∆ROV = ∆AOC (OA = OB = OS = OR = 1,  ROV =  AOC), pagkatapos ay AC = BP, na nangangahulugang AC 2 = BP 2.

Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos, nakukuha namin

Ang equating ang dalawang expression na ito at pagbubukas ng mga panaklong, makuha namin

Gamit ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan, makuha namin

Napatunayan ang formula.

2.4. kasalanan ( + ) = kasalanan  cos  + cos  kasalanan .

Ang formula na ito ay maaaring mapatunayan sa maraming paraan. Titingnan natin silang tatlo.

A) 1 paraan.

Arbitraryo nating hinahati ang anggulo A sa pamamagitan ng sinag AE sa dalawang anggulo  at . Sa gilid ng anggulo  minarkahan namin ang punto B at sa gilid ng anggulo  binababa namin ang perpendikular na BH. Mula din sa punto B ay ibinababa natin ang patayo BE sa ray AE. Mula sa punto E gumuhit kami ng isang patayo na EM at isang patayo na EF. Ang mga tatsulok na AON at BOE ay magkatulad (AON = BOE - patayo,  VEO =  ANO = 90), na nangangahulugang  NAO =  EBO = .

Mula sa kanang tatsulok ABH sinusundan nito,

Mula sa kanang tatsulok na BME nakukuha natin ang BM = BE  cos  (2). Ipinapahayag namin ang segment na BE mula sa kanang tatsulok na ABE at nakuha na BE = AB  sin  (3). Ang pagpapalit ng expression (3) sa expression (2), mahihinuha natin na BM = AB  sin   cos  (4).

Mula sa kanang tatsulok na AEF nakukuha natin ang EF = МН = АЭ  sin  (5). Ipinapahayag namin ang segment na AE mula sa kanang tatsulok na ABE at nakuha na AE = AB  cos  (6). Ang pagpapalit ng expression (6) sa expression (5), mahihinuha natin na MN = AB  cos   sin  (7).

Kaya, ang pagpapalit ng mga expression (4) at (7) sa expression (1), nakuha namin iyon ,

Napatunayan ang formula.

b ) 2 paraan.

Sa tatsulok na ABC iginuhit namin ang taas na BH. Hayaang AB = a, BC = b, AN = h, ABH = , CBH = .

Hatiin natin ang ekspresyong ito sa pamamagitan ng, . Mula sa tatsulok na ABN ay sumusunod na ang ratio ay pantay at mula sa tatsulok na CBN ay sumusunod na ang ratio ay pantay. Ibig sabihin,

Napatunayan ang formula.

V) 3 paraan.

Sa tatsulok na ABC iginuhit namin ang taas ВН at ipinakilala ang notasyon AB = c, ВС = a, AC = b,  A = ,  C = , pagkatapos B = 180 - ( + ).

Isulat natin ang sine theorem para sa tatsulok na ito. Isinasaalang-alang na, nakukuha namin, .

Mula sa kanang tatsulok ABH at SVN sinusundan nito iyon at.

Tapos o

Napatunayan ang formula.

Ang mga mag-aaral sa Baitang 10a ay hiniling na suriin ang lahat ng 3 paraan upang patunayan ang formula na ito. Mga resulta: 1st method - 0% (walang pumili nito), 2nd method - 18 tao. (69%), ika-3 paraan - 8 tao. (31%). Yung. Para sa mga mag-aaral sa klase 10A, ang pangalawang paraan ng pagpapatunay ng formula ay tila pinakasimple.

2.5. kasalanan ( - ) = kasalanan  cos  - cos  kasalanan .

Sa kanang tatsulok na ABC, mula sa tuktok ng talamak na anggulo A gumuhit kami ng segment AD. Tukuyin natin ang AC = b, BC = a, AB = c, CAB = , CAD = , pagkatapos (mula sa  ABC), (mula sa  ADC).

I-multiply natin itong pagkakapantay-pantay.

Napatunayan ang formula.

2.6. .

Hayaan, AOM = , AOP = , pagkatapos ay MOP =  - ,.

Ang scalar product ng mga vector ay katumbas ng.

Mula noon (1).

Sa kabilang banda, ang produkto ng tuldok ay katumbas ng kung saan ang mga coordinate ng vector at ang mga coordinate ng vector. Alam ang mga coordinate ng mga vectors, nakuha namin ang (2).

Ang paghahambing ng mga expression (1) at (2), nakuha namin iyon

Napatunayan ang formula.

2.7. kasalanan 2 = 2 kasalanancos.

Sa kanang tatsulok ABC iginuhit namin ang median CM. Ipakilala natin ang notasyon AB = c, BC = a, AC = b, CAB = , pagkatapos SM = MV = , at SMV = 2.

Ang lugar ng tatsulok na CMB ay katumbas ng o.

Ang lugar ng tatsulok na ABC ay pantay.

Dahil ang CM ay ang median ng tatsulok na ABC, kung gayon, i.e.

Sa tatsulok na ABC ang ratio ay pantay. Kaya, nakuha namin sa wakas. Napatunayan ang formula.

2.8. cos 2 = 2cos 2  - 1.

Bago patunayan ang formula para sa cosine ng isang dobleng anggulo, malalaman natin kung ano ang katumbas ng bisector sa isang tatsulok (Appendix 2).

Ngayon, gamit ang pagkakapantay-pantay na ito, patunayan natin ang formula mismo.

Sa isang tamang tatsulok na ABC, iguhit ang bisector AD mula sa vertex ng acute angle. Ipakilala natin ang notasyon: AC = b, AB = c, CAD = BAD = .

Batay sa formula na nakuha kanina, ang bisector AD ay katumbas ng.

Sa isang right triangle ACD, ang hypotenuse AD ay katumbas ng. Equating ang dalawang expression, makuha namin. Ibahin natin ang ekspresyong ito:

Sa tatsulok na ABC ang ratio ay pantay, kung gayon

o. Napatunayan ang formula.

2.9. Mga formula para sa kabuuan ng mga sine at cosine.

Sa isang rectangular coordinate system, gumuhit kami ng dalawang vectors mula sa pinanggalingan na may haba na 1.

Hayaang ang anggulo sa pagitan ng axis ng OX at ng vector ay katumbas ng , at ang anggulo sa pagitan ng axis ng OX at ng vector ay katumbas ng . Para sa katiyakan, ipagpalagay namin na ang mga vector ay matatagpuan tulad ng ipinapakita sa figure. Pagdaragdag ng mga vector ayon sa paralelogram na panuntunan, nakakakuha kami ng isang vector. Dahil ang lahat ng mga vector na ito ay mga radius vector ng mga puntos A, B at C, ang mga coordinate ng mga vector na ito ay magiging pantay,

Sa pamamagitan ng pagbuo, ang OASV ay isang parallelogram, ngunit ang OA = OB = 1, samakatuwid, ang OASV ay isang rhombus, ang OS ay isang bisector  BOA, i.e. .

Sa tatsulok na BOS iginuhit namin ang taas ВН, pagkatapos, samakatuwid, o (dahil OB = 1) (2).

Ang anggulo sa pagitan ng axis ng OX at ng vector ay pantay. Kaya, ang mga coordinate ng vector Ang pagpapalit ng expression (2) sa ibinigay na mga coordinate, nakuha namin (3).

Kung ihahambing ang mga ekspresyon (1) at (3), nakukuha natin iyon

Ang mga formula ay napatunayan na.

2.10.

A) geometric na pamamaraan

Sa bilog ng yunit ay minarkahan namin ang punto A, at ang anggulo sa pagitan ng axis OX at ang radius OA ay itinalagang . Mula sa punto A gumuhit kami ng patayo sa axis ng OX. Pagkatapos AB = sin , OB = cos .

Ikonekta natin ang mga punto A at C(-1; 0), pagkatapos ay BC = OS + OB = 1 + cos .

 AOB (gitna) at  BCA (naka-inscribe) ay nakasalalay sa parehong arko ( AR), na nangangahulugang  BCA = .

Napatunayan ang formula.

b) algebraic na pamamaraan.

Hiniling namin sa mga estudyante mula sa klase 10A na suriin ang dalawang pamamaraang ito. 16 na tao ang nagsalita pabor sa geometric na pamamaraan. (62%), para sa algebraic method - 10 tao. (38%). Kaya, ang geometric na pamamaraan ay naging mas kanais-nais sa klase na ito.

Konklusyon

Sa loob ng mahabang panahon, ang trigonometrya ay purong geometriko sa kalikasan, iyon ay, ang mga katotohanang binubuo natin ngayon sa mga tuntunin ng mga pag-andar ng trigonometriko ay nabuo at napatunayan gamit ang mga geometric na konsepto at pahayag. Ito ang kaso noong Middle Ages, bagama't kung minsan ay ginagamit din ang mga analytical na pamamaraan.

Sa kurso ng gawaing ito, sinubukan naming ilapat ang mga geometric na pamamaraan upang patunayan ang mga trigonometrikong formula sa algebra. Inilalagay namin ang mga geometric na katotohanan na ginamit namin sa paggawa ng gawaing ito sa isang talahanayan (Appendix 3). Sa isang survey ng mga mag-aaral sa ika-10 baitang, lumabas na mas mainam na patunayan ang ilang mga formula sa geometriko.

Napatunayan din ang 9 na mga formula ng trigonometry, isa sa mga ito sa maraming paraan, at ipinakita ang isang geometric na paglalarawan ng mga formula ng pagbabawas. Naniniwala ako na ang layunin ng gawain ay nakamit.

Panitikan

Algebra at ang simula ng mathematical analysis. 10 - 11 baitang. Teksbuk Para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon: pangunahing antas/Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva at iba pa - M.: Edukasyon, 2012

Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Teksbuk para sa 10 - 11 baitang. avg. paaralan - M.: Edukasyon, 1991

SILA. Gelfand, S.M. Lvovsky, A.L. Toom. Trigonometry. - M.: MCMNRO, 2002

Appendix 1

Appendix 2

Hayaang iguhit ang bisector BL sa tatsulok na ABC. Tukuyin natin ang BC = a, AB = c, BL = m,  ABL =  CBL = . Ang lugar ng tatsulok na ABC ay pantay, ang lugar ng tatsulok na ABL ay pantay, at ang lugar ng tatsulok na CBL ay pantay. Ngunit ang lugar ng tatsulok na ABC ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok na ito, i.e. .

Gawin natin ang mga pagbabagong-anyo: ,

Kaya, ang bisector sa isang tatsulok ay katumbas ng.

Appendix 3

Suriin natin kung aling mga geometric na katotohanan ang madalas na ginagamit sa pagpapatunay ng mga formula.

Geometric na katotohanan	Qty
Kahulugan ng trigonometriko function
Lugar ng isang tatsulok
Mga coordinate ng vector
Inscribed at gitnang anggulo
Tuldok na produkto ng mga vector
Pythagorean theorem
Teorama ng mga sine
Pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok
Pagkakatulad ng mga tatsulok
Formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos
Panuntunan sa pagdaragdag ng vector
Mga katangian ng isang rhombus

Kaya, ang talahanayan ay nagpapakita na ang mga kahulugan ng trigonometric function at ang formula para sa lugar ng isang tatsulok (

Mga pagkakakilanlan ng trigonometric- ito ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga function na ito, basta't alam ang iba.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Relasyon sa pagitan ng sine at cosine

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

Sinasabi ng pagkakakilanlan na ito na ang kabuuan ng parisukat ng sine ng isang anggulo at ang parisukat ng cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa, na sa pagsasanay ay ginagawang posible upang makalkula ang sine ng isang anggulo kapag ang cosine nito ay kilala at vice versa .

Kapag nagko-convert ng mga trigonometric expression, ang pagkakakilanlan na ito ay madalas na ginagamit, na nagbibigay-daan sa iyo upang palitan ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine ng isang anggulo sa isa at gampanan din ang pagpapalit na operasyon sa reverse order.

Paghahanap ng tangent at cotangent gamit ang sine at cosine

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

Ang mga pagkakakilanlan na ito ay nabuo mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pagkatapos ng lahat, kung titingnan mo ito, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ang ordinate \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), at ang ratio \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- magiging isang cotangent.

Idagdag natin na para lamang sa mga naturang anggulo \(\alpha \) kung saan ang mga trigonometric function na kasama sa mga ito ay magkakaroon ng kahulugan ang mga pagkakakilanlan , .

Halimbawa: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \) ay may bisa para sa mga anggulo \(\alpha \) na iba sa \(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) , at \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- para sa isang anggulo \(\alpha \) maliban sa \(\pi z \) , ang \(z \) ay isang integer.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Ang pagkakakilanlang ito ay may bisa lamang para sa mga anggulo \(\alpha \) na iba sa \(\dfrac(\pi)(2) z \) . Kung hindi, alinman sa cotangent o tangent ay hindi matutukoy.

Batay sa mga puntos sa itaas, nakuha namin na \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) at \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . Sinusundan nito iyon \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). Kaya, ang tangent at cotangent ng parehong anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay magkabaligtaran na mga numero.

Mga ugnayan sa pagitan ng tangent at cosine, cotangent at sine

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- ang kabuuan ng squared tangent ng anggulo \(\alpha \) at \(\alpha \) maliban sa \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- ang kabuuan \(\alpha \) ay katumbas ng inverse square ng sine ng isang naibigay na anggulo. Ang pagkakakilanlan na ito ay wasto para sa anumang \(\alpha \) na iba sa \(\pi z \) .

Ang Javascript ay hindi pinagana sa iyong browser.
Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, dapat mong paganahin ang mga kontrol ng ActiveX! "Mga pagkakakilanlan ng trigonometriko". ika-10 baitang

“Katotohanan sa matematika, anuman
sa Paris man o Toulouse, pareho lang."
B. Pascal

Uri ng aralin: Aralin sa pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan.

Aralin ng pangkalahatang metodolohikal na oryentasyon.

Layunin ng aktibidad : ang pagbuo ng kakayahan ng mga mag-aaral sa isang bagong paraan ng pagkilos na nauugnay sa pagbuo ng istruktura ng mga pinag-aralan na konsepto at algorithm.

Mga layunin ng aralin:

didaktiko : magturo na gumamit ng dating nakuhang kaalaman, kasanayan at kakayahan upang pasimplehin ang mga expression at patunayan ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan.

pagbuo: bumuo ng lohikal na pag-iisip, memorya, nagbibigay-malay na interes, ipagpatuloy ang pagbuo ng pagsasalita sa matematika, bumuo ng kakayahang mag-analisa at maghambing.

pang-edukasyon: upang ipakita na ang mga konsepto ng matematika ay hindi nakahiwalay sa isa't isa, ngunit kumakatawan sa isang tiyak na sistema ng kaalaman, ang lahat ng mga link ay magkakaugnay, upang ipagpatuloy ang pagbuo ng mga kasanayan sa aesthetic kapag gumagawa ng mga tala, kontrol at mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili.

Ang matagumpay na paglutas ng mga problema sa trigonometrya ay nangangailangan ng tiwala na kaalaman sa maraming mga formula. Dapat tandaan ang mga trigonometric formula. Ngunit hindi ito nangangahulugan na kailangan nilang isaulo ang lahat sa pamamagitan ng puso; ang pangunahing bagay ay tandaan hindi ang mga formula mismo, ngunit ang mga algorithm para sa kanilang pinagmulan. Ang anumang trigonometrikong formula ay maaaring makuha nang mabilis kung matatag mong alam ang mga kahulugan at pangunahing katangian ng mga function na sinα, cosα, tanα, ctgα, ang ugnayang sin 2 α+cos 2 α =1, atbp.

Ang pag-aaral ng mga trigonometric formula sa paaralan ay hindi para makalkula mo ang mga sine at cosine para sa natitirang bahagi ng iyong buhay, ngunit para magkaroon ang iyong utak ng kakayahang magtrabaho. ( . Slide 2 )

“ Ang mga kalsada ay hindi ang uri ng kaalaman na nakadeposito sa utak tulad ng taba; ang mga kalsada ay yaong nagiging kalamnan ng isip,” ang isinulat ni G. Speser, isang pilosopo at sosyologong Ingles.

Kami ay magbobomba at sasanayin ang aming mga kalamnan sa pag-iisip. Samakatuwid, ulitin natin ang pangunahing mga formula ng trigonometriko.PAGSUBOK (Slide 4)(Slide 5)

Inulit namin ang mga formula, ngayon ay makakatulong kami sa dalawang kaibigan, tawagin natin silang Islam at Magomed.

Pagkatapos mag-convert ng ilang napaka-komplikadong trigonometriko na expressionA sila nakatanggap ng mga sumusunod na expression:(Slide 6)

(Slide 7) Nagtanggol ang bawat isa sa kanilang sagot. Paano malalaman kung alin sa kanila ang tama? Napalingon kami kay Artyom, na kaibigan ni Peter"Si Plato ay aking kaibigan, ngunit ang katotohanan ay mas mahal": Sinabi ni Artyom at nagmungkahi ng ilang mga paraan upang malutas ang kanilang hindi pagkakaunawaan. Anong mga paraan ang maimumungkahi mo upang maitatag ang katotohanan?Nag-aalok sila ng mga paraan upang maitatag ang katotohanan (Slide 8):

1) Ibahin ang anyo, pasimplehin ang A P at A Sa , ibig sabihin. humantong sa isang ekspresyon

2) A P - A Sa = 0

3) …..

Ibig sabihin, pareho ang tama. At ang kanilang mga sagot ay pantay para sa lahat ng wastong halagaα at β .

Ano ang tawag sa gayong mga ekspresyon?Mga pagkakakilanlan. Anong mga pagkakakilanlan ang alam mo?

Pagkakakilanlan , ang pangunahing konsepto ng lohika, pilosopiya at matematika; ginagamit sa mga wika ng mga teoryang siyentipiko upang bumalangkas ng pagtukoy sa mga relasyon, batas at teorema.

Ang pagkakakilanlan ay isang pilosopiko na kategorya na nagpapahayag ng pagkakapantay-pantay, pagkakapareho ng isang bagay, isang kababalaghan sa sarili nito, o ang pagkakapantay-pantay ng ilang mga bagay.

Sa matematika pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa anumang mga tinatanggap na halaga ng mga variable na kasama dito.(Slide 9)

Paksa ng aralin : “Mga pagkakakilanlan ng trigonometriko.”

Mga layunin: maghanap ng mga paraan.

Dalawang tao ang nagtatrabaho sa board.

№ 2. Patunayan ang pagkakakilanlan.

P.h.=L.h.

Ang pagkakakilanlan ay napatunayan.

№ 3. Patunayan ang pagkakakilanlan:

1 paraan:

Paraan 2:

Mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan.

kanang bahagi ng pagkakakilanlan. Kung sa wakas ay makuha natin ang kaliwang bahagi, kung gayon ang pagkakakilanlan ay itinuturing na napatunayan.

Magsagawa ng mga katumbas na conversionkaliwa at kanang bahagi ng pagkakakilanlan. Kung makuha natin ang parehong resulta, ang pagkakakilanlan ay itinuturing na napatunayan.

Mula sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan ay ibawas natin ang kaliwang bahagi.

Ang kanang bahagi ay ibinabawas sa kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan. Nagsasagawa kami ng mga katumbas na pagbabago sa pagkakaiba. At kung sa huli ay makakakuha tayo ng zero, kung gayon ang pagkakakilanlan ay itinuturing na napatunayan.

Dapat ding tandaan na ang pagkakakilanlan ay may bisa lamang para sa mga pinahihintulutang halaga ng mga variable.

Bakit kailangang patunayan ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan? Sa Unified State Exam, ang gawain C1 ay trigonometric equation!

Nalutas ang Blg. 465-467

Kaya, sabihin sa buod ang aralin. (Slide 10)

Ano ang naging paksa ng aralin?

Anong mga paraan ng pagpapatunay ng pagkakakilanlan ang alam mo?

1. I-convert ang kaliwa pakanan o kanan pakaliwa.
2. I-convert ang kaliwa at kanang bahagi sa parehong expression.
3. Pagsasama-sama ng pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi at patunayan na ang pagkakaibang ito ay katumbas ng zero.

Anong mga formula ang ginagamit para dito?

1. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
2. 6 trigonometriko pagkakakilanlan.

Pagninilay ng aralin. (Slide 11)

Ipagpatuloy ang mga parirala:

– Ngayon sa klase natutunan ko...
- Ngayon sa klase natutunan ko...
- Ngayon sa klase inulit ko...
- Ngayon sa klase nakilala ko...
- Nagustuhan ko ang aralin ngayon...

Takdang-Aralin. №№465-467 (Slide 12)

Malikhaing gawain: Maghanda ng isang presentasyon tungkol sa mga sikat na pagkakakilanlan ng matematika. (Halimbawa, ang pagkakakilanlan ni Euler.)(I-slide