Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng isang punto parallel sa isang vector. Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos. Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

Ang artikulong ito ay naglalaman ng impormasyong kinakailangan upang malutas ang problema sa pagbuo ng equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang partikular na linya at isang ibinigay na punto. Matapos malutas ang problemang ito sa pangkalahatang anyo, magpapakita kami ng mga detalyadong solusyon sa mga halimbawa ng pagbuo ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na linya at punto.

Pag-navigate sa pahina.

Paghahanap ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na linya at isang ibinigay na punto.

Hayaang maayos ang Oxyz sa three-dimensional na espasyo, isang linya a at isang puntong hindi nakalagay sa linyang a ay ibibigay. Itakda natin sa ating sarili ang gawain: upang makuha ang equation ng eroplano na dumadaan sa linya a at sa puntong M 3.

Una, ipapakita namin na mayroong isang solong eroplano kung saan kailangan naming bumuo ng isang equation.

Alalahanin natin ang dalawang axiom:

• ang isang eroplano ay dumadaan sa tatlong magkakaibang mga punto sa espasyo na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya;
• kung ang dalawang magkaibang punto ng isang linya ay nasa isang tiyak na eroplano, ang lahat ng mga punto ng linyang ito ay nasa eroplanong ito.

Mula sa mga pahayag na ito ay sumusunod na ang isang natatanging eroplano ay maaaring iguguhit sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito. Kaya, sa problemang aming iniharap, ang isang solong eroplano ay dumadaan sa tuwid na linya a at punto M 3, at kailangan naming isulat ang equation ng eroplanong ito.

Ngayon simulan natin ang paghahanap ng equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na tuwid na linya a at point .

Kung ang tuwid na linya a ay ibinibigay sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga coordinate ng dalawang magkaibang mga punto M 1 at M 2 na nakahiga dito, kung gayon ang aming gawain ay nabawasan sa paghahanap ng equation ng eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto M 1, M 2 at M 3.

Kung ang tuwid na linya a ay ibinigay nang iba, pagkatapos ay kailangan muna nating hanapin ang mga coordinate ng dalawang puntos na M 1 at M 2 na nakahiga sa linya a, at pagkatapos nito isulat ang equation ng eroplano na dumadaan sa tatlong puntos na M 1, M 2 at M 3, na magiging nais na equation ng eroplano na dumadaan sa linya a at sa puntong M 3.

Alamin natin kung paano hanapin ang mga coordinate ng dalawang magkaibang puntos na M 1 at M 2 na nakahiga sa isang tuwid na linya a.

Sa isang rectangular coordinate system sa espasyo, ang anumang tuwid na linya ay tumutugma sa ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo. Ipagpalagay namin na ang paraan ng pagtukoy ng isang tuwid na linya a sa pahayag ng problema ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang mga parametric na equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ng form. . Pagkatapos, sa pagtanggap, mayroon kaming punto , nakahiga sa linya a. Sa pamamagitan ng pagbibigay sa parameter ng isang tunay na halaga maliban sa zero, mula sa mga parametric na equation ng linya a maaari nating kalkulahin ang mga coordinate ng point M 2, na nasa linya din a at naiiba sa point M 1.

Pagkatapos nito, kailangan lang nating isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong magkakaibang at hindi nakahiga sa parehong mga tuwid na linya ng mga punto at , sa anyo .

Kaya, nakuha namin ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na linya a at isang naibigay na punto M 3 na hindi nakahiga sa linya a.

Mga halimbawa ng pagbubuo ng equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto at isang tuwid na linya.

Magpapakita kami ng mga solusyon sa ilang mga halimbawa kung saan susuriin namin ang isinasaalang-alang na paraan ng paghahanap ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na tuwid na linya at isang ibinigay na punto.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso.

Halimbawa.

Solusyon.

Kumuha tayo ng dalawang magkaibang punto sa coordinate line Ox, halimbawa, at .

Ngayon nakuha namin ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos M 1, M 2 at M 3:

Ang equation na ito ay ang nais na pangkalahatang equation ng eroplano na dumadaan sa ibinigay na tuwid na linya na Ox at ang punto .

Sagot:

.

Kung alam na ang eroplano ay dumadaan sa isang ibinigay na punto at isang naibigay na linya, at kailangan mong magsulat ng isang equation ng eroplano sa mga segment o isang normal na equation ng eroplano, pagkatapos ay dapat mo munang makuha ang pangkalahatang equation ng ibinigay na eroplano, at mula dito magpatuloy sa equation ng eroplano ng kinakailangang uri.

Halimbawa.

Sumulat ng isang normal na equation para sa isang eroplano na dumadaan sa linya at panahon .

Solusyon.

Una, isulat natin ang pangkalahatang equation ng isang naibigay na eroplano. Upang gawin ito, hanapin ang mga coordinate ng dalawang magkaibang mga punto na nakahiga sa isang tuwid na linya . Ang mga parametric equation ng linyang ito ay may anyo . Hayaang tumutugma ang point M 1 sa value, at point M 2 -. Kinakalkula namin ang mga coordinate ng mga puntos M 1 at M 2:

Ngayon ay maaari nating isulat ang pangkalahatang equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto at direktang :

Nananatili itong makuha ang kinakailangang anyo ng equation ng eroplano sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng isang normalizing factor. .

Sagot:

.

Kaya, ang paghahanap ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto at isang naibigay na linya ay nakasalalay sa paghahanap ng mga coordinate ng dalawang magkaibang mga punto na nakahiga sa isang naibigay na linya. Kadalasan ito ang pangunahing kahirapan sa paglutas ng mga ganitong problema. Sa konklusyon, susuriin natin ang solusyon sa halimbawa sa pamamagitan ng pagbubuo ng equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto at isang tuwid na linya, na tinutukoy ng mga equation ng dalawang intersecting na eroplano.

Halimbawa.

Sa rectangular coordinate system na Oxyz, isang punto at isang tuwid na linya a ang ibinibigay, na siyang linya ng intersection ng dalawang eroplano At . Isulat ang equation ng eroplanong dumadaan sa linya a at sa puntong M 3.

Gamit ang online na calculator na ito, mahahanap mo ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto at kahanay sa ibinigay na eroplano. Ang isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ay ibinigay. Upang mahanap ang equation ng isang eroplano, ipasok ang mga coordinate ng punto at ang mga coefficient ng equation ng eroplano sa mga cell at mag-click sa pindutan ng "Solve".

×

Babala

I-clear ang lahat ng mga cell?

Isara ang Clear

Mga tagubilin sa pagpasok ng data. Ang mga numero ay ipinasok bilang mga integer (mga halimbawa: 487, 5, -7623, atbp.), mga decimal (hal. 67., 102.54, atbp.) o mga fraction. Dapat ilagay ang fraction sa anyong a/b, kung saan ang a at b (b>0) ay mga integer o decimal. Mga halimbawa 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, atbp.

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto at parallel sa isang naibigay na eroplano - teorya, mga halimbawa at solusyon

Hayaang bigyan ng punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) at equation ng eroplano

Ang lahat ng parallel planes ay may collinear normal na vectors. Samakatuwid, upang bumuo ng isang eroplano parallel sa (1) na dumadaan sa punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ay dapat kunin bilang normal na vector ng nais na eroplano, ang normal na vector n=(A, B, C) eroplano (1). Susunod na kailangan mong makahanap ng ganoong halaga D, Saang punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) nasiyahan ang equation ng eroplano (1):

Pagpapalit sa halaga D mula (3) hanggang (1), nakukuha natin:

Ang equation (5) ay ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) at parallel sa eroplano (1).

Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto M 0 (1, −6, 2) at parallel sa eroplano:

Pagpapalit ng mga coordinate ng punto M 0 at ang mga coordinate ng normal na vector sa (3), nakuha namin.

Tatlong punto sa espasyo na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya ay tumutukoy sa isang solong eroplano. Gumawa tayo ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto M 1 (X 1 ; sa 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; sa 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; sa 3 ; z 3). Kumuha tayo ng di-makatwirang punto sa eroplano M(X; sa; z) at bumuo ng mga vectors = ( x – x 1 ; sa– sa 1 ; z–z 1), = (X 2 - X 1 ; sa 2 – sa 1 ; z 2 – z 1), = (X 3 - X 1 ; sa 3 – sa 1 ; z 3 – z 1). Ang mga vector na ito ay namamalagi sa parehong eroplano, samakatuwid sila ay coplanar. Gamit ang kondisyon ng coplanarity ng tatlong vectors (ang kanilang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero), nakukuha namin ang ∙ ∙ = 0, iyon ay

= 0. (3.5)

Ang equation (3.5) ay tinatawag equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos.

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano sa kalawakan

Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Hayaang bigyan ang dalawang eroplano

A 1 X + SA 1 sa + SA 1 z + D 1 = 0,

A 2 X + SA 2 sa + SA 2 z + D 2 = 0.

Sa likod anggulo sa pagitan ng mga eroplano kinukuha namin ang anggulo φ sa pagitan ng alinmang dalawang vector na patayo sa kanila (na nagbibigay ng dalawang anggulo, acute at obtuse, na umaayon sa isa't isa sa π). Dahil ang mga normal na vector ng mga eroplano = ( A 1 , SA 1 , SA 1) at = ( A 2 , SA 2 , SA 2) ay patayo sa kanila, pagkatapos makuha namin

cosφ = .

Kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang eroplano

Kung ang dalawang eroplano ay patayo, kung gayon ang mga normal na vector ng mga eroplanong ito ay patayo din at ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: ∙ = 0. Nangangahulugan ito na ang kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang eroplano ay

A 1 A 2 + SA 1 SA 2 + SA 1 SA 2 = 0.

Kondisyon para sa parallelism ng dalawang eroplano

Kung ang mga eroplano ay parallel, kung gayon ang kanilang mga normal na vector ay magiging parallel din. Pagkatapos ang mga coordinate ng mga normal na vectors ng parehong pangalan ay proporsyonal. Nangangahulugan ito na ang kondisyon para sa mga parallel na eroplano ay

= = .

Distansya mula sa puntoM 0 (x 0 , y 0 , z 0) sa eroplano Oh + Wu + Cz + D = 0.

Distansya mula sa punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) sa eroplano Ax + Wu + Cz + D Ang = 0 ay ang haba ng perpendikular na iginuhit mula sa puntong ito hanggang sa eroplano at matatagpuan sa pamamagitan ng formula

d = .

Halimbawa 1. R(– 1, 2, 7) patayo sa vector = (3, – 1, 2).

Solusyon

Ayon sa equation (3.1) nakuha namin

3(x + 1) – (y – 2) + 2(z – 7) = 0,

3X – sa + 2z – 9 = 0.

Halimbawa 2. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto M(2; – 3; – 7) parallel sa eroplano 2 X – 6sa – 3z + 5 = 0.

Solusyon

Vector = (2; – 6; – 3) patayo sa eroplano ay patayo din sa parallel na eroplano. Nangangahulugan ito na ang nais na eroplano ay dumadaan sa punto M(2; – 3; – 7) patayo sa vector = (2; – 6; – 3). Hanapin natin ang equation ng eroplano gamit ang formula (3.1):

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,

2X – 6sa – 3z – 43 = 0.

Halimbawa 3. Hanapin ang equation ng eroplano na dumadaan sa mga puntos M 1 (2; 3; – 1) at M 2 (1; 5; 3) patayo sa eroplano 3 X – sa + 3z + 15 = 0.

Solusyon

Vector = (3; – 1; 3) patayo sa ibinigay na eroplano ay magiging parallel sa nais na eroplano. Kaya, ang eroplano ay dumadaan sa mga punto M 1 at M 2 ay parallel sa vector .

Hayaan M(x; y; z) arbitrary na punto ng eroplano, pagkatapos ay mga vectors = ( X – 2; sa – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) ay coplanar, na nangangahulugang ang kanilang pinaghalong produkto ay zero:

= 0.

Kalkulahin natin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak sa mga elemento ng unang hilera:

(X – 2) – (sa – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y – 3) – (z + 1) = 0,

2x + 3sa – z– 14 = 0 – equation ng eroplano.

Halimbawa 4. Sumulat ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa pinanggalingan patayo sa mga eroplano 2 X – sa + 5z+ 3 = 0 at X + 3sa – z – 7 = 0.

Solusyon

Hayaan ang normal na vector ng nais na eroplano. Sa kondisyon, ang eroplano ay patayo sa mga eroplanong ito, na nangangahulugang at , kung saan = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Nangangahulugan ito na bilang isang vector maaari nating kunin ang produkto ng vector ng mga vector at , iyon ay, = ×.

= = – 14 + 7 + 7 .

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng vector sa equation ng eroplanong dumadaan sa pinanggalingan Oh + Wu + Сz= 0, nakukuha namin

– 14X + 7sa + 7z = 0,

2X – sa – z = 0.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1 Isulat ang pangkalahatang equation ng eroplano.

2 Para saan ang geometric na kahulugan ng mga coefficient X, y, z sa pangkalahatang equation ng eroplano?

3 Isulat ang equation ng eroplanong dumadaan sa punto M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) patayo sa vector = ( A; SA; SA).

4 Isulat ang equation ng eroplano sa mga segment kasama ang mga axes at ipahiwatig ang geometric na kahulugan ng mga parameter na kasama dito.

5 Isulat ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos M 1 (X 1 ; sa 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; sa 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; sa 3 ; z 3).

6 Isulat ang formula na ginamit upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano.

7 Isulat ang mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang eroplano.

8 Isulat ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang eroplano.

9 Isulat ang formula na kinakalkula ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

1 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto M(2; – 1; 1) patayo sa vector = (1; – 2; 3). ( Sagot: X – 2sa + 3z – 7 = 0)

2 Dot R(1; – 2; – 2) ay ang base ng patayo na iginuhit mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano. Sumulat ng isang equation para sa eroplanong ito. ( Sagot: X – 2sa – 2z – 9 = 0)

3 Binigyan ng dalawang puntos M 1 (2; – 1; 3) at M 2 (– 1; 2; 4). Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto M 1 ay patayo sa vector . ( Sagot: 3X – 3sa – z – 6 = 0)

4 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Sagot: 3X + 3sa + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) at M 2 (2; 1; 3) parallel sa vector = (3; – 1; 4). ( Sagot: 9X + 7sa – 5z – 10 = 0)

6 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto M 1 (2; 3; – 4) parallel sa mga vectors = (3; 1; – 1) at = (1; – 2; 1). ( Sagot: X + sa + 7z + 14 = 0)

7 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto M(1; – 1; 1) patayo sa mga eroplano 2 X – sa + z– 1 = 0 at X + 2sa – z + 1 = 0. (Sagot: X – 3sa – 5z + 1 = 0)

8 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa mga puntos M 1 (1; 0; 1) at M 2 (1; 2; – 3) patayo sa eroplano X – sa + z – 1 = 0. (Sagot: X + 2sa + z – 2 = 0)

9 Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano 4 X – 5sa + 3z– 1 = 0 at X – 4sa – z + 9 = 0. (Sagot: φ = arccos0.7)

10 Hanapin ang distansya mula sa isang punto M(2; – 1; – 1) sa eroplano 16 X – 12sa + 15z – 4 = 0. (Sagot: d = 1)

11 Hanapin ang intersection point ng tatlong eroplano 5 X + 8sa – z – 7 = 0, X + 2sa + 3z – 1 = 0, 2X – 3sa + 2z – 9 = 0. (Sagot: (3; – 1; 0))

12 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa mga puntos M 1 (1; – 2; 6) at M 2 (5; – 4; 2) at pinuputol ang pantay na mga segment sa mga palakol Oh At OU. (Sagot: 4X + 4sa + z – 2 = 0)

13 Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga eroplano X + 2sa – 2z+ 2 = 0 at 3 X + 6sa – 6z – 4 = 0. (Sagot: d = )

Isaalang-alang natin ang eroplanong Q sa kalawakan Ang posisyon nito ay ganap na natutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa vector N patayo sa eroplanong ito at ang ilang nakapirming punto na nakahiga sa eroplanong Q Ang vector N patayo sa eroplanong Q ay tinatawag na normal na vector ng eroplanong ito. Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A, B at C ang mga projection ng normal na vector N, kung gayon

Kunin natin ang equation ng eroplanong Q na dumadaan sa isang ibinigay na punto at pagkakaroon ng isang naibigay na normal na vector . Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang vector na nagkokonekta sa isang punto na may isang arbitrary na punto sa Q plane (Larawan 81).

Para sa anumang posisyon ng point M sa plane Q, ang vector MHM ay patayo sa normal na vector N ng plane Q. Samakatuwid, ang scalar product Isinulat namin ang scalar product sa mga tuntunin ng projection. Dahil ang , at ay isang vector, kung gayon

at samakatuwid

Ipinakita namin na ang mga coordinate ng anumang punto sa Q plane ay nakakatugon sa equation (4). Madaling makita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa Q plane ay hindi nakakatugon sa equation na ito (sa huling kaso). Dahil dito, nakuha natin ang kinakailangang equation ng eroplanong Q. Ang equation (4) ay tinatawag na equation ng eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto. Ito ay nasa unang antas na may kaugnayan sa kasalukuyang mga coordinate

Kaya, ipinakita namin na ang bawat eroplano ay tumutugma sa isang equation ng unang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate.

Halimbawa 1. Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa vector.

Solusyon. Dito . Batay sa formula (4) nakukuha natin

o, pagkatapos ng pagpapasimple,

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga coefficient A, B at C ng equation (4) ng magkakaibang mga halaga, maaari nating makuha ang equation ng anumang eroplano na dumadaan sa punto. Ang hanay ng mga eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto ay tinatawag na isang bundle ng mga eroplano. Ang equation (4), kung saan ang mga coefficient A, B at C ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga, ay tinatawag na equation ng isang grupo ng mga eroplano.

Halimbawa 2. Gumawa ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos (Larawan 82).

Solusyon. Isulat natin ang equation para sa isang grupo ng mga eroplano na dumadaan sa punto

Lecture 5. Paglutas ng mga problema sa paksang "Analytical geometry sa espasyo"

1. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto M 0 (1, -2, 5) parallel sa eroplano 7 x-y-2z-1=0.

Solusyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng R binigay na eroplano, hayaan R 0 – ang gustong parallel plane na dumadaan sa punto M 0 (1, -2, 5).

Isaalang-alang ang normal (perpendicular) vector eroplano R. Ang mga coordinate ng normal na vector ay ang mga coefficient ng mga variable sa plane equation 
.

Mula sa eroplano R At R 0 ay parallel, pagkatapos ay ang vector patayo sa eroplano R 0 , ibig sabihin. - normal na vector ng eroplano R 0 .

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) na may normal
:

Palitan ang mga coordinate ng punto M 0 at normal na mga vector sa equation (1):

Pagbukas ng mga bracket, nakuha namin ang pangkalahatang equation ng eroplano (panghuling sagot):

2. Bumuo ng mga canonical at parametric equation ng isang linyang dumadaan sa isang punto M 0 (-2, 3, 0) parallel sa tuwid na linya
.

Solusyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng L binigyan ng tuwid na linya, hayaan L 0 – ang nais na parallel line na dumadaan sa punto M 0 (-2,3,0).

Gabay na vector tuwid L(hindi-zero na vector na kahanay sa linyang ito) ay kahanay din ng linya L 0 . Samakatuwid, ang vector ay ang vector ng direksyon ng linya L 0 .

Mga coordinate ng vector ng direksyon ay katumbas ng mga katumbas na denominator sa mga canonical equation ng isang linya

.

Canonical equation ng isang linya sa espasyo na dumadaan sa isang punto M 0 (x 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Palitan ang mga coordinate ng punto M 0 at vector ng direksyon sa equation (2) at makuha ang mga canonical equation ng tuwid na linya:

.

Parametric equation ng isang linya sa espasyo na dumadaan sa isang punto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) parallel sa isang non-zero vector {l, m, n), magkaroon ng form:

(3)

Palitan ang mga coordinate ng punto M 0 at vector ng direksyon sa mga equation (3) at makuha ang mga parametric equation ng tuwid na linya:

3. Humanap ng punto
, simetriko sa punto
, kaugnay sa: a) tuwid
b) mga eroplano

Solusyon. a) Gumawa tayo ng equation para sa perpendicular plane P, projecting point
sa linyang ito:

Hanapin
ginagamit namin ang kondisyon ng perpendicularity ng ibinigay na tuwid na linya at ang projecting plane. Direksyon ng vector tuwid
patayo sa eroplano  vector
ay ang normal na vector
sa eroplano  Ang equation ng isang eroplanong patayo sa isang naibigay na linya ay may anyo o

Hanapin natin ang projection R puntos M sa tuwid na linya. Dot R ay ang punto ng intersection ng isang tuwid na linya at isang eroplano, i.e. ang mga coordinate nito ay dapat magkasabay na matugunan ang parehong mga equation ng linya at ang equation ng eroplano. Lutasin natin ang sistema:

.

Upang malutas ito, isinusulat namin ang equation ng linya sa parametric form:

Pagpapalit ng mga expression para sa
sa equation ng eroplano, nakukuha natin ang:

Mula dito makikita natin Ang nahanap na mga coordinate ay ang mga coordinate ng gitna R segment ng linya na nag-uugnay sa isang punto
at isang puntong simetriko dito

Ang isang teorama ay nabuo sa isang kursong geometry ng paaralan.

Ang mga coordinate ng gitna ng isang segment ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga kaukulang coordinate ng mga dulo nito.

Paghahanap ng mga coordinate ng punto
mula sa mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment:

Nakukuha namin: Kaya,
.

Solusyon. b) Upang makahanap ng isang puntong simetriko sa isang punto
kamag-anak sa isang naibigay na eroplano P, maghulog ng patayo mula sa punto
sa eroplanong ito. Gumawa tayo ng equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon
, dumadaan sa punto
:

Ang perpendicularity sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay nangangahulugan na ang vector ng direksyon ng linya ay patayo sa eroplano 
. Pagkatapos ay ang equation ng tuwid na linya na nagpapalabas ng punto
sa isang naibigay na eroplano, ay may anyo:

Ang pagkakaroon ng malutas ang mga equation nang magkasama
At
hanapin natin ang projection R puntos
papunta sa eroplano. Upang gawin ito, muling isulat namin ang mga equation ng tuwid na linya sa parametric form:

Palitan natin ang mga halagang ito
sa equation ng eroplano: Katulad ng hakbang a), gamit ang mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment, nakita namin ang mga coordinate ng simetriko point
:

Yung.
.

4. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan a) sa isang tuwid na linya
parallel sa vector
; b) sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya
At
(na may dati nang napatunayan na sila ay nagsalubong); c) sa pamamagitan ng dalawang magkatulad na linya
At
; d) sa pamamagitan ng direkta
at panahon
.

Solusyon. a) Dahil ang ibinigay na tuwid na linya ay nasa nais na eroplano, at ang nais na eroplano ay parallel sa vector , kung gayon ang normal na vector ng eroplano ay magiging patayo sa vector ng direksyon ng linya
at vector .

Samakatuwid, bilang normal na vector ng eroplano, maaari nating piliin ang produkto ng vector ng mga vector At :

Nakukuha namin ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano
.

Maghanap tayo ng punto sa isang linya. Pag-equate ng mga ratio sa mga canonical equation ng tuwid na linya sa zero:

,

nahanap namin
,
,
. Ang ibinigay na tuwid na linya ay dumadaan sa punto
, samakatuwid, ang eroplano ay dumadaan din sa punto
. Gamit ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa vector , nakukuha natin ang equation ng eroplano , o , o, sa wakas,
.

Solusyon. b) Ang dalawang linya sa kalawakan ay maaaring magsalubong, magkrus o magkatulad. Binigyan ng mga tuwid na linya

At
(4)

ay hindi parallel, dahil ang kanilang mga vector ng direksyon
At
hindi collinear:
.

Paano suriin na ang mga linya ay nagsalubong? Maaari mong lutasin ang system (4) ng 4 na equation na may 3 hindi alam. Kung ang system ay may natatanging solusyon, pagkatapos ay makuha namin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya. Gayunpaman, upang malutas ang aming problema - paggawa ng isang eroplano kung saan ang parehong mga linya ay namamalagi, ang punto ng kanilang intersection ay hindi kailangan. Samakatuwid, posibleng magbalangkas ng kundisyon para sa intersection ng dalawang di-parallel na linya sa espasyo nang hindi nahanap ang intersection point.

Kung ang dalawang di-parallel na linya ay nagsalubong, kung gayon ang mga vector ng direksyon
,
at pag-uugnay ng mga punto na nakahiga sa mga tuwid na linya
At
vector lie sa parehong eroplano, i.e. coplanar  ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito ay katumbas ng zero:

. (5)

Tinutumbas namin ang mga ratio sa mga canonical equation ng mga linya sa zero (o sa 1 o anumang numero)

At
,

at hanapin ang mga coordinate ng mga puntos sa mga tuwid na linya. Ang unang linya ay dumadaan sa punto
, at ang pangalawang tuwid na linya – sa pamamagitan ng punto
. Ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay pantay-pantay
At
. Nakukuha namin

Ang pagkakapantay-pantay (5) ay nasiyahan, samakatuwid, ang mga ibinigay na linya ay nagsalubong. Nangangahulugan ito na mayroong isang eroplano na dumadaan sa dalawang linyang ito.

Lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng problema - pagguhit ng equation ng eroplano.

Bilang normal na vector ng eroplano, maaari mong piliin ang produkto ng vector ng kanilang mga vector ng direksyon At :

Mga coordinate ng normal na vector ng eroplano
.

Nalaman namin nang diretso
dumaraan
, samakatuwid, ang nais na eroplano ay dumadaan din sa puntong ito. Nakukuha namin ang equation ng eroplano, o
o, sa wakas,
.

c) Dahil sila ay tuwid
At
ay parallel, kung gayon ang produkto ng vector ng kanilang mga vector ng direksyon ay hindi mapipili bilang isang normal na vector;

Tukuyin natin ang mga coordinate ng mga puntos
At
, kung saan dumadaan ang mga linyang ito. Hayaan
At
, Pagkatapos
,
. Kalkulahin natin ang mga coordinate ng vector. Vector
namamalagi sa nais na eroplano at hindi collinear sa vector , pagkatapos ay bilang normal na vector nito maaari mong piliin ang cross product ng isang vector
at ang vector ng direksyon ng unang tuwid na linya
:

Kaya,
.

Ang eroplano ay dumaan sa linya
, na nangangahulugang dumadaan ito sa punto
. Nakukuha namin ang equation ng eroplano: , o .

d) Pag-equate ng mga relasyon sa mga canonical equation ng tuwid na linya sa zero
, nahanap namin
,
,
. Samakatuwid, ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto
.

Kalkulahin natin ang mga coordinate ng vector. Vector
nabibilang sa nais na eroplano, bilang normal na vector nito piliin ang produkto ng vector ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya
at vector
:

Pagkatapos ang equation ng eroplano ay may anyo: , o .