Kahulugan 1 . Set ng mga puntos sa espasyo R n , na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, tinawag ( n - 1 )-dimensional na hyperplane sa n-dimensional na espasyo.

Teorama 1. Hinahati ng hyperplane ang lahat ng espasyo sa dalawang kalahating espasyo. Ang kalahating espasyo ay isang convex set.

Ang intersection ng isang may hangganan na bilang ng mga kalahating espasyo ay isang convex set.

Teorama 2 . Paglutas ng linear inequality sa n hindi kilala

A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b

ay isa sa mga kalahating espasyo kung saan ang buong espasyo ay nahahati sa isang hyperplane

A 1 X 1 + A 2 X 2 +…+a n x n= b.

Isaalang-alang ang isang sistema ng m linear inequalities sa n hindi kilala.

Ang solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay sa system ay isang tiyak na kalahating espasyo. Ang solusyon sa system ay ang intersection ng lahat ng kalahating espasyo. Ang set na ito ay isasara at matambok.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

na may dalawang variable

Hayaan ang isang sistema ng m linear inequalities na may dalawang variable.

Ang solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ay magiging isa sa kalahating eroplano kung saan ang buong eroplano ay nahahati sa kaukulang tuwid na linya. Ang solusyon sa sistema ay ang intersection ng mga kalahating eroplanong ito. Ang problemang ito ay maaaring malutas sa graphically sa isang eroplano X 1 0 X 2 .

37. Representasyon ng isang convex polyhedron

Kahulugan 1. sarado matambok limitado ang set in R n pagkakaroon ng may hangganang bilang mga punto ng sulok, ay tinatawag na convex n-dimensional na polyhedron.

Kahulugan 2 . Naka-set in ang saradong convex na walang hangganan R n ang pagkakaroon ng isang may hangganang bilang ng mga punto ng sulok ay tinatawag na isang matambok na polyhedral na rehiyon.

Kahulugan 3 . Isang grupo ng AR n ay tinatawag na bounded kung mayroon n-dimensional na bola na naglalaman ng set na ito.

Kahulugan 4. Ang convex linear na kumbinasyon ng mga puntos ay ang expression kung saan t i , .

Teorama (isang theorem sa representasyon ng isang convex polyhedron). Ang anumang punto ng convex polyhedron ay maaaring katawanin bilang isang convex linear na kumbinasyon ng mga sulok na punto nito.

38. Rehiyon ng mga tinatanggap na solusyon ng isang sistema ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaan ang isang sistema ng m linear equation at inequalities sa n hindi kilala.

Kahulugan 1 . Dot R n ay tinatawag na isang posibleng solusyon ng sistema kung ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ang hanay ng lahat ng posibleng solusyon ay tinatawag na possible solutions area (PSA) ng system.

Kahulugan 2. Ang isang posibleng solusyon na ang mga coordinate ay hindi negatibo ay tinatawag na isang magagawa na solusyon ng system. Ang hanay ng lahat ng magagawang solusyon ay tinatawag na feasible solution domain (ADA) ng system.

Teorama 1 . Ang ODR ay isang closed, convex, bounded (o unbounded) subset in R n.

Teorama 2. Ang isang tinatanggap na solusyon ng system ay isang reference na solusyon kung at kung ang puntong ito ay isang sulok na punto ng ODS.

Teorama 3 (ang teorama sa representasyon ng ODR). Kung ang ODS ay isang bounded set, kung gayon ang anumang magagawa na solusyon ay maaaring katawanin bilang isang convex linear na kumbinasyon ng mga corner point ng ODS (sa anyo ng isang convex linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa suporta ng system).

Teorama 4 (ang theorem sa pagkakaroon ng suportang solusyon ng system). Kung ang system ay may kahit isang katanggap-tanggap na solusyon (ADS), kung gayon kabilang sa mga tinatanggap na solusyon ay mayroong kahit isang reference na solusyon.

Paraan ng graphic.. 3

Simplex na paraan.. 6

Artipisyal na batayan na paraan... 8

Ang prinsipyo ng duality.. 10

Listahan ng mga ginamit na literatura... 12

Panimula

Ang ilang mga katangian ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang noong unang kalahati ng ika-19 na siglo na may kaugnayan sa ilang mga problema ng analytical mechanics. Ang sistematikong pag-aaral ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay nagsimula sa pinakadulo ng ika-19 na siglo, ngunit naging posible na pag-usapan ang tungkol sa teorya ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay lamang sa huling bahagi ng twenties ng ika-20 siglo, kapag ang isang sapat na bilang ng mga resulta na nauugnay sa kanila ay nagkaroon ng naipon na.

Ngayon ang teorya ng mga may hangganan na sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ituring bilang isang sangay ng linear algebra, na lumago mula dito na may karagdagang pangangailangan ng pag-order ng larangan ng mga coefficient.

Ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay lalong mahalaga para sa mga ekonomista, dahil ito ay sa tulong ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na ang isang tao ay maaaring magmodelo ng mga proseso ng produksyon at mahanap ang pinaka-pinakinabangang mga plano para sa produksyon, transportasyon, paglalaan ng mga mapagkukunan, atbp.

Ang papel na ito ay magbabalangkas ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na inilalapat sa mga partikular na problema.

Paraan ng graphic

Ang graphical na paraan ay binubuo sa pagbuo ng isang set ng mga tinatanggap na solusyon sa PLP, at paghahanap sa set na ito ng punto na tumutugma sa max/min na layunin ng function.

Dahil sa limitadong mga posibilidad ng visual na graphical na representasyon, ang pamamaraang ito ay ginagamit lamang para sa mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam at mga sistema na maaaring mabawasan sa form na ito.

Upang malinaw na maipakita ang graphical na pamamaraan, lutasin natin ang sumusunod na problema:

Sa unang yugto, kinakailangan upang bumuo ng isang rehiyon ng mga magagawang solusyon. Para sa halimbawang ito, pinaka-maginhawang piliin ang X2 bilang abscissa, at X1 bilang ordinate, at isulat ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:

parehong ang mga graph at ang lugar ng mga magagawang solusyon ay nasa unang quarter.

Upang mahanap ang mga boundary point, malulutas namin ang mga equation (1)=(2), (1)=(3) at (2)=(3).

Tulad ng makikita mula sa ilustrasyon, ang polyhedron ABCDE ay bumubuo ng isang rehiyon ng mga magagawang solusyon.

Kung ang rehiyon ng mga posibleng solusyon ay hindi sarado, ang alinman sa max(f)=+ ∞ o min(f)= -∞.

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa direktang paghahanap ng maximum ng function f.

Sa pamamagitan ng halili na pagpapalit ng mga coordinate ng vertices ng polyhedron sa function f at paghahambing ng mga halaga, nakita namin na

f(C)=f(4;1)=19 – maximum ng function.

Ang diskarte na ito ay lubos na kapaki-pakinabang sa isang maliit na bilang ng mga vertices. Ngunit ang pamamaraang ito ay maaaring tumagal ng mahabang panahon kung mayroong masyadong maraming mga vertices.

Sa kasong ito, mas maginhawang isaalang-alang ang isang antas na linya ng anyong f=a. Sa isang monotonikong pagtaas sa bilang a mula -∞ hanggang +∞, ang mga tuwid na linya f=a ay lumilipat kasama ang normal na vector. Kung, sa gayong paggalaw ng linya ng antas, mayroong isang tiyak na punto X - ang unang karaniwang punto ng rehiyon ng mga magagawang solusyon (polyhedron ABCDE) at ang linya ng antas, kung gayon ang f(X) ay ang minimum na f sa set ABCDE. Kung ang X ay ang huling punto ng intersection ng linya ng antas at ang hanay ng ABCDE, kung gayon ang f(X) ay ang pinakamataas sa hanay ng mga magagawang solusyon. Kung, bilang a→-∞, ang tuwid na linya na f=a ay nag-intersect sa hanay ng mga magagawang solusyon, min(f)= -∞. Kung nangyari ito bilang a→+∞, kung gayon

Sa aming halimbawa, ang tuwid na linya f=a ay nag-intersect sa lugar na ABCDE sa punto C(4;1). Dahil ito ang huling intersection point, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Simplex na pamamaraan

Ang mga problema sa real linear programming ay naglalaman ng napakalaking bilang ng mga hadlang at hindi alam at ginagawa sa isang computer. Ang simplex na paraan ay ang pinaka-pangkalahatang algorithm na ginagamit upang malutas ang mga naturang problema. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga espesyal na pagbabagong simplex, ang ZLP, na nabawasan sa isang espesyal na anyo, ay nalutas. Upang maipakita ang pagkilos ng simplex na paraan, lutasin natin ang sumusunod na problema sa mga kasamang komento:

Upang simulan ang paglutas ng problema sa pamamagitan ng simplex na paraan, kailangan mong dalhin ang problema sa isang espesyal na form at punan ang simplex table.

Ang System (4) ay isang natural na limitasyon at hindi nababagay sa talahanayan. Ang mga equation (1), (2), (3) ay bumubuo sa rehiyon ng mga posibleng solusyon. Ang pagpapahayag (5) ay ang layuning tungkulin. Ang mga libreng tuntunin sa sistema ng mga paghihigpit at ang rehiyon ng mga tinatanggap na solusyon ay dapat na hindi negatibo.

Sa halimbawang ito, ang X3, X4, X5 ay ang mga pangunahing hindi alam. Dapat silang ipahayag sa mga tuntunin ng mga libreng hindi alam at palitan sa layunin ng function.

Ngayon ay maaari mong simulan ang pagpuno sa simplex table:

B.	X1	X2	X3	X4	X5	C
X3	0	-1	1	1	0	1
X4	0	1	-1	0	1	1
X5	1	1	1	0	0	2
f	0	-6	7	0	0	3

Ang unang hanay ng talahanayang ito ay nagpapahiwatig ng mga pangunahing hindi alam, ang huli - ang mga halaga ng mga libreng hindi alam, at ang iba pa - ang mga koepisyent ng mga hindi alam.

Upang mahanap ang maximum ng function f, gamit ang mga pagbabagong Gaussian, kailangan mong tiyakin na ang lahat ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa huling hilera ay hindi negatibo (upang mahanap ang minimum, siguraduhin na ang lahat ng mga coefficient ay mas mababa sa o katumbas sa zero).

B	X1	X2	X3	X4	X5	C
X3	-1	1	1	0	0	1
X4	1	-1	0	1	0	1
X5	1	1	0	0	1	2
f	-6	7	0	0	0	3

Upang gawin ito, piliin ang column na may negatibong coefficient sa huling row (column 3) at buuin ang free term/coefficient na relasyon (1/1; 2/1) para sa mga positibong elemento ng column na ito. Mula sa mga ratio na ito, piliin ang pinakamaliit at markahan ang kaukulang linya.

Pinili namin ang elemento sa cell (3;3). Ngayon, gamit ang pamamaraang Gaussian, ni-reset namin ang iba pang mga coefficient sa column na ito, humahantong ito sa pagbabago sa batayan at isang hakbang kami na mas malapit sa pinakamainam na solusyon.

B	X1	X2	X3	X4	X5	C
X3	0	0	1	1	0	2
X1	1	-1	0	1	0	1
X5	0	2	0	-1	1	1
f	0	1	0	6	0	9

Tulad ng makikita mula sa talahanayan, ngayon ang lahat ng mga coefficient sa huling hilera ay mas malaki sa o katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na natagpuan namin ang pinakamainam na halaga. Ang mga libreng hindi alam ay katumbas ng zero, ang halaga ng mga pangunahing hindi alam at ang maximum ng function f ay tumutugma sa mga halaga ng mga libreng hindi alam.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng pamahalaan sa Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Matapos makuha ang paunang impormasyon tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga variable, nagpapatuloy kami sa tanong ng paglutas ng mga ito. Susuriin namin ang solusyon ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable at lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga algorithm at mga halimbawa. Tanging mga linear equation na may isang variable ang isasaalang-alang.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang linear inequality?

Una, kailangan mong tukuyin ang isang linear equation at alamin ang karaniwang anyo nito at kung paano ito maiiba sa iba. Mula sa kurso ng paaralan mayroon kaming walang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kaya kinakailangan na gumamit ng ilang mga kahulugan.

Kahulugan 1

Linear inequality na may isang variable Ang x ay isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong a · x + b > 0, kapag ginamit ang anumang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa halip na >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Kahulugan 2

Mga hindi pagkakapantay-pantay a x< c или a · x >c, na ang x ay isang variable at a at c bilang ilang mga numero, ay tinatawag linear inequalities na may isang variable.

Dahil walang sinabi tungkol sa kung ang koepisyent ay maaaring katumbas ng 0, kung gayon ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng anyo 0 x > c at 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ang kanilang mga pagkakaiba ay:

• notation form a · x + b > 0 sa una, at a · x > c – sa pangalawa;
• admissibility ng coefficient a pagiging katumbas ng zero, a ≠ 0 - sa una, at a = 0 - sa pangalawa.

Ito ay pinaniniwalaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay na a · x + b > 0 at a · x > c ay katumbas, dahil ang mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng isang termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa. Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na 0 x + 5 > 0 ay hahantong sa katotohanan na kakailanganin itong lutasin, at ang kaso a = 0 ay hindi gagana.

Kahulugan 3

Ito ay pinaniniwalaan na ang mga linear inequalities sa isang variable x ay mga inequalities ng form isang x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 At a x + b ≥ 0, kung saan ang a at b ay mga tunay na numero. Sa halip na x ay maaaring mayroong regular na numero.

Batay sa panuntunan, mayroon tayong 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 ay tinatawag na reducible sa linear.

Paano malutas ang linear inequality

Ang pangunahing paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang paggamit ng mga katumbas na pagbabagong-anyo upang mahanap ang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay x< p (≤ , >, ≥), p na isang tiyak na numero, para sa isang ≠ 0, at sa anyong a< p (≤ , >, ≥) para sa a = 0.

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable, maaari mong gamitin ang paraan ng agwat o ipakita ito nang graphic. Ang alinman sa mga ito ay maaaring gamitin nang hiwalay.

Paggamit ng katumbas na pagbabago

Upang malutas ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong a x + b< 0 (≤ , >, ≥), kinakailangang maglapat ng mga katumbas na pagbabagong hindi pagkakapantay-pantay. Ang koepisyent ay maaaring zero o hindi. Isaalang-alang natin ang parehong mga kaso. Upang malaman, kailangan mong sumunod sa isang pamamaraan na binubuo ng 3 puntos: ang kakanyahan ng proseso, ang algorithm, at ang solusyon mismo.

Kahulugan 4

Algorithm para sa paglutas ng linear inequality isang x + b< 0 (≤ , >, ≥) para sa isang ≠ 0

• ang numero b ay ililipat sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na may kabaligtaran na tanda, na magbibigay-daan sa amin na makarating sa katumbas na a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hahatiin sa isang numerong hindi katumbas ng 0. Bukod dito, kapag ang isang ay positibo, ang tanda ay nananatili; kapag ang isang ay negatibo, ito ay nagbabago sa kabaligtaran.

Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng algorithm na ito upang malutas ang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay ng form na 3 x + 12 ≤ 0.

Solusyon

Ang linear inequality na ito ay may a = 3 at b = 12. Nangangahulugan ito na ang coefficient a ng x ay hindi katumbas ng zero. Ilapat natin ang mga algorithm sa itaas at lutasin ito.

Kinakailangang ilipat ang termino 12 sa isa pang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at baguhin ang tanda sa harap nito. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na 3 x ≤ − 12. Kinakailangan na hatiin ang parehong bahagi ng 3. Ang tanda ay hindi magbabago dahil ang 3 ay isang positibong numero. Nakukuha namin iyon (3 x): 3 ≤ (− 12) : 3, na nagbibigay ng resulta x ≤ − 4.

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong x ≤ − 4 ay katumbas. Iyon ay, ang solusyon para sa 3 x + 12 ≤ 0 ay anumang tunay na numero na mas mababa sa o katumbas ng 4. Ang sagot ay isinulat bilang isang hindi pagkakapantay-pantay x ≤ − 4, o isang numerical interval ng form (− ∞, − 4].

Ang buong algorithm na inilarawan sa itaas ay nakasulat tulad nito:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Sagot: x ≤ − 4 o (− ∞ , − 4 ] .

Halimbawa 2

Ipahiwatig ang lahat ng magagamit na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay − 2, 7 · z > 0.

Solusyon

Mula sa kundisyon makikita natin na ang coefficient a para sa z ay katumbas ng - 2.7, at ang b ay tahasang wala o katumbas ng zero. Hindi mo magagamit ang unang hakbang ng algorithm, ngunit agad na lumipat sa pangalawa.

Hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng numero - 2, 7. Dahil negatibo ang numero, kailangang baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Ibig sabihin, nakukuha natin iyon (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Isulat natin ang buong algorithm sa maikling anyo:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Sagot: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Halimbawa 3

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Solusyon

Ayon sa kondisyon, nakikita natin na kinakailangan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na may koepisyent a para sa variable na x, na katumbas ng - 5, na may koepisyent b, na tumutugma sa fraction - 15 22. Kinakailangang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagsunod sa algorithm, iyon ay: ilipat - 15 22 sa ibang bahagi na may kabaligtaran na tanda, hatiin ang parehong bahagi ng - 5, baguhin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Sa huling paglipat para sa kanang bahagi, ang panuntunan para sa paghahati ng numero na may iba't ibang mga palatandaan ay ginagamit 15 22: - 5 = - 15 22: 5, pagkatapos nito ay hinati namin ang ordinaryong fraction sa natural na numero - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Sagot: x ≥ - 3 22 at [ - 3 22 + ∞) .

Isaalang-alang natin ang kaso kapag a = 0. Linear na pagpapahayag ng anyong a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Ang lahat ay nakabatay sa pagtukoy ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Para sa anumang halaga ng x nakakakuha tayo ng numerical inequality ng form b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Isasaalang-alang namin ang lahat ng mga paghatol sa anyo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga linear inequalities 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Kahulugan 5

Hindi pagkakapantay-pantay ng numero ng anyo b< 0 (≤ , >, ≥) ay totoo, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay may solusyon para sa anumang halaga, at ito ay mali kapag ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

Halimbawa 4

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x + 7 > 0.

Solusyon

Ang linear inequality na ito 0 x + 7 > 0 ay maaaring tumagal ng anumang halaga x. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form 7 > 0. Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay itinuturing na totoo, na nangangahulugang anumang numero ay maaaring maging solusyon nito.

Sagot: pagitan (− ∞ , + ∞) .

Halimbawa 5

Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Solusyon

Kapag pinapalitan ang variable x ng anumang numero, nakukuha natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong − 12, 7 ≥ 0. Ito ay hindi tama. Ibig sabihin, ang 0 x − 12, 7 ≥ 0 ay walang mga solusyon.

Sagot: walang solusyon.

Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga linear inequalities kung saan ang parehong coefficient ay katumbas ng zero.

Halimbawa 6

Tukuyin ang hindi malulutas na hindi pagkakapantay-pantay mula sa 0 x + 0 > 0 at 0 x + 0 ≥ 0.

Solusyon

Kapag pinapalitan ang anumang numero sa halip na x, nakakakuha tayo ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong 0 > 0 at 0 ≥ 0. Ang una ay hindi tama. Nangangahulugan ito na ang 0 x + 0 > 0 ay walang mga solusyon, at ang 0 x + 0 ≥ 0 ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, iyon ay, anumang numero.

Sagot: ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x + 0 > 0 ay walang mga solusyon, ngunit 0 x + 0 ≥ 0 ay may mga solusyon.

Ang pamamaraang ito ay tinalakay sa kursong matematika ng paaralan. Ang paraan ng pagitan ay may kakayahang lutasin ang iba't ibang uri ng hindi pagkakapantay-pantay, kabilang ang mga linear.

Ang paraan ng pagitan ay ginagamit para sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay kapag ang halaga ng coefficient x ay hindi katumbas ng 0. Kung hindi, kakailanganin mong kalkulahin gamit ang ibang paraan.

Kahulugan 6

Ang pamamaraan ng pagitan ay:

• pagpapakilala ng function na y = a · x + b ;
• paghahanap ng mga zero upang hatiin ang domain ng kahulugan sa mga pagitan;
• kahulugan ng mga palatandaan para sa kanilang mga konsepto sa pagitan.

Bumuo tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation a x + b< 0 (≤ , >, ≥) para sa isang ≠ 0 gamit ang interval method:

• paghahanap ng mga zero ng function na y = a · x + b upang malutas ang isang equation ng form na a · x + b = 0 . Kung ang isang ≠ 0, kung gayon ang solusyon ay magiging isang ugat, na kukuha ng pagtatalaga x 0;
• pagbuo ng isang linya ng coordinate na may isang imahe ng isang punto na may coordinate x 0, na may isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang punto ay tinutukoy ng isang nabutas, na may isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay - ng isang may kulay;
• pagtukoy ng mga palatandaan ng function na y = a · x + b sa mga pagitan; para dito kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga punto sa pagitan;
• paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na may mga palatandaan > o ≥ sa linya ng coordinate, pagdaragdag ng pagtatabing sa positibong pagitan,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga linear inequalities gamit ang interval method.

Halimbawa 6

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay − 3 x + 12 > 0.

Solusyon

Ito ay sumusunod mula sa algorithm na kailangan mo munang hanapin ang ugat ng equation − 3 x + 12 = 0. Nakukuha natin na − 3 · x = − 12 , x = 4 . Kinakailangan na gumuhit ng isang linya ng coordinate kung saan minarkahan namin ang punto 4. Mabutas ito dahil mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay. Isaalang-alang ang pagguhit sa ibaba.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga palatandaan sa mga pagitan. Upang matukoy ito sa pagitan (− ∞, 4), kinakailangan upang kalkulahin ang function na y = − 3 x + 12 sa x = 3. Mula dito nakukuha natin na − 3 3 + 12 = 3 > 0. Ang tanda sa pagitan ay positibo.

Tinutukoy namin ang tanda mula sa pagitan (4, + ∞), pagkatapos ay palitan ang halaga ng x = 5. Mayroon tayong − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang > sign, at ang pagtatabing ay isinasagawa sa positibong pagitan. Isaalang-alang ang pagguhit sa ibaba.

Mula sa pagguhit ay malinaw na ang nais na solusyon ay may anyo (− ∞ , 4) o x< 4 .

Sagot: (− ∞ , 4) o x< 4 .

Upang maunawaan kung paano graphical na ilarawan, kinakailangang isaalang-alang ang 4 na linear na hindi pagkakapantay-pantay bilang isang halimbawa: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 at 0, 5 x − 1 ≥ 0. Ang kanilang mga solusyon ay ang mga halaga ng x< 2 , x ≤ 2 , x >2 at x ≥ 2. Upang gawin ito, i-plot natin ang linear function na y = 0, 5 x − 1 na ipinapakita sa ibaba.

Malinaw naman iyon

Kahulugan 7

• paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• ang solusyon 0, 5 x − 1 ≤ 0 ay itinuturing na ang pagitan kung saan ang function na y = 0, 5 x − 1 ay mas mababa sa O x o nagtutugma;
• ang solusyon 0, 5 · x − 1 > 0 ay itinuturing na isang pagitan, ang function ay matatagpuan sa itaas ng O x;
• ang solusyon 0, 5 · x − 1 ≥ 0 ay itinuturing na pagitan kung saan ang graph sa itaas ng O x o nagtutugma.

Ang punto ng graphical na paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay upang mahanap ang mga pagitan na kailangang ilarawan sa graph. Sa kasong ito, nakita namin na ang kaliwang bahagi ay may y = a · x + b, at ang kanang bahagi ay may y = 0, at tumutugma sa O x.

Kahulugan 8

Ang graph ng function na y = a x + b ay naka-plot:

• habang nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a · x + b ≤ 0, ang pagitan ay tinutukoy kung saan ang graph ay inilalarawan sa ibaba ng O x axis o nagtutugma;
• kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a · x + b > 0, ang pagitan ay tinutukoy kung saan ang graph ay inilalarawan sa itaas ng O x;
• Kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay a · x + b ≥ 0, ang pagitan ay tinutukoy kung saan ang graph ay nasa itaas ng O x o nag-tutugma.

Halimbawa 7

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay - 5 · x - 3 > 0 gamit ang isang graph.

Solusyon

Kinakailangang bumuo ng isang graph ng linear function - 5 · x - 3 > 0. Ang linyang ito ay bumababa dahil ang koepisyent ng x ay negatibo. Upang matukoy ang mga coordinate ng punto ng intersection nito sa O x - 5 · x - 3 > 0, nakuha namin ang halaga - 3 5. Ilarawan natin ito nang grapiko.

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang > sign, pagkatapos ay kailangan mong bigyang pansin ang pagitan sa itaas ng O x. I-highlight natin ang kinakailangang bahagi ng eroplano sa pula at kunin iyon

Ang kinakailangang puwang ay bahagi O x pula. Nangangahulugan ito na ang open number ray - ∞ , - 3 5 ay magiging solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Kung, ayon sa kondisyon, nagkaroon tayo ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang halaga ng punto - 3 5 ay magiging solusyon din sa hindi pagkakapantay-pantay. At ito ay magkakasabay sa O x.

Sagot: - ∞ , - 3 5 o x< - 3 5 .

Ang graphical na solusyon ay ginagamit kapag ang kaliwang bahagi ay tumutugma sa function na y = 0 x + b, iyon ay, y = b. Pagkatapos ay ang tuwid na linya ay magiging parallel sa O x o nagtutugma sa b = 0. Ang mga kasong ito ay nagpapakita na ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring walang mga solusyon, o ang solusyon ay maaaring anumang numero.

Halimbawa 8

Tukuyin mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Solusyon

Ang representasyon ng y = 0 x + 7 ay y = 7, pagkatapos ay bibigyan ng coordinate plane na may linyang parallel sa O x at matatagpuan sa itaas ng O x. Kaya 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Ang graph ng function na y = 0 x + 0 ay itinuturing na y = 0, iyon ay, ang tuwid na linya ay tumutugma sa O x. Nangangahulugan ito na ang hindi pagkakapantay-pantay 0 x + 0 ≥ 0 ay may maraming solusyon.

Sagot: Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay may solusyon para sa anumang halaga ng x.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na bumababa sa linear

Ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mabawasan sa solusyon ng isang linear equation, na tinatawag na inequalities na bumababa sa linear.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan, dahil sila ay isang espesyal na kaso ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, na humantong sa pagbubukas ng mga panaklong at pagbabawas ng mga katulad na termino. Halimbawa, isaalang-alang na 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ibinigay sa itaas ay palaging binabawasan sa anyo ng isang linear equation. Pagkatapos nito, ang mga bracket ay binuksan at ang mga katulad na termino ay ibinigay, inilipat mula sa iba't ibang bahagi, binabago ang sign sa kabaligtaran.

Kapag binabawasan ang hindi pagkakapantay-pantay na 5 − 2 x > 0 sa linear, kinakatawan namin ito sa paraang mayroon itong anyo − 2 x + 5 > 0, at upang bawasan ang pangalawa makuha namin na 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Kinakailangang buksan ang mga bracket, magdala ng mga katulad na termino, ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi at magdala ng mga katulad na termino. Mukhang ganito:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ito ay humahantong sa solusyon sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay itinuturing na linear, dahil mayroon silang parehong prinsipyo ng solusyon, pagkatapos nito ay posible na bawasan ang mga ito sa elementarya na hindi pagkakapantay-pantay.

Upang malutas ang ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang bawasan ito sa isang linear. Dapat itong gawin sa ganitong paraan:

Kahulugan 9

• bukas na panaklong;
• mangolekta ng mga variable sa kaliwa at mga numero sa kanan;
• magbigay ng mga katulad na termino;
• hatiin ang magkabilang panig sa coefficient ng x.

Halimbawa 9

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Solusyon

Binuksan namin ang mga bracket, pagkatapos ay nakakakuha kami ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, mayroon tayong 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Matapos ilipat ang mga termino mula sa kaliwa papunta sa kanan, nakita namin na 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Kaya't mayroong hindi pagkakapantay-pantay ng form na 32 ≤ 0 mula sa nakuha sa pamamagitan ng pagkalkula ng 0 x + 32 ≤ 0. Ito ay makikita na ang hindi pagkakapantay-pantay ay mali, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay na ibinigay ng kondisyon ay walang mga solusyon.

Sagot: walang solusyon.

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na mayroong maraming iba pang mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay na maaaring bawasan sa linear o hindi pagkakapantay-pantay ng uri na ipinakita sa itaas. Halimbawa, 5 2 x − 1 ≥ 1 ay isang exponential equation na bumababa sa isang solusyon ng linear form na 2 x − 1 ≥ 0. Ang mga kasong ito ay isasaalang-alang kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

tingnan din ang paglutas ng isang linear programming problem sa graphical na paraan, Canonical form ng linear programming problem

Ang sistema ng mga hadlang para sa naturang problema ay binubuo ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa dalawang variable:
at ang layunin ng function ay may anyo F = C 1 x + C 2 y na kailangang i-maximize.

Sagutin natin ang tanong: anong mga pares ng numero ( x; y) ang mga solusyon sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ibig sabihin, ay nagbibigay-kasiyahan sa bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay nang sabay-sabay? Sa madaling salita, ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema nang grapiko?
Una kailangan mong maunawaan kung ano ang solusyon sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam.
Ang paglutas ng isang linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam ay nangangahulugan ng pagtukoy sa lahat ng mga pares ng hindi kilalang mga halaga kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak.
Halimbawa, hindi pagkakapantay-pantay 3 x – 5y≥ 42 satisfy pairs ( x , y) : (100, 2); (3, –10), atbp. Ang gawain ay hanapin ang lahat ng ganoong pares.
Isaalang-alang natin ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay: palakol + sa pamamagitan ng≤ c, palakol + sa pamamagitan ng≥ c. Diretso palakol + sa pamamagitan ng = c hinahati ang eroplano sa dalawang kalahating eroplano upang ang mga coordinate ng mga punto ng isa sa mga ito ay masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay palakol + sa pamamagitan ng >c, at ang iba pang hindi pagkakapantay-pantay palakol + +sa pamamagitan ng <c.
Sa katunayan, kumuha tayo ng isang punto na may coordinate x = x 0 ; pagkatapos ay isang punto na nakahiga sa isang linya at pagkakaroon ng abscissa x 0, ay may ordinate

Hayaan para sa katiyakan a< 0, b>0, c>0. Lahat ng mga puntos na may abscissa x 0 nakahiga sa itaas P(halimbawa, tuldok M), mayroon y M>y 0 , at lahat ng puntos sa ibaba ng punto P, na may abscissa x 0, mayroon y N<y 0 . Dahil ang x Ang 0 ay isang arbitrary na punto, pagkatapos ay palaging may mga puntos sa isang gilid ng linya kung saan palakol+ sa pamamagitan ng > c, na bumubuo ng isang kalahating eroplano, at sa kabilang panig - mga punto kung saan palakol + sa pamamagitan ng< c.

Larawan 1

Ang inequality sign sa half-plane ay depende sa mga numero a, b , c.
Ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na paraan para sa graphical na paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa dalawang variable. Upang malutas ang system na kailangan mo:

1. Para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, isulat ang equation na tumutugma sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.
2. Bumuo ng mga tuwid na linya na mga graph ng mga function na tinukoy ng mga equation.
3. Para sa bawat linya, tukuyin ang kalahating eroplano, na ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, kumuha ng isang di-makatwirang punto na hindi nakahiga sa isang linya at palitan ang mga coordinate nito sa hindi pagkakapantay-pantay. kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kung gayon ang kalahating eroplano na naglalaman ng napiling punto ay ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Kung mali ang hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang kalahating eroplano sa kabilang panig ng linya ay ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.
4. Upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang mahanap ang lugar ng intersection ng lahat ng kalahating eroplano na solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Ang lugar na ito ay maaaring lumabas na walang laman, kung gayon ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon at hindi naaayon. Kung hindi, pare-pareho daw ang sistema.
Maaaring mayroong isang may hangganang bilang o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang lugar ay maaaring isang saradong polygon o walang hangganan.

Tingnan natin ang tatlong nauugnay na halimbawa.

Halimbawa 1. Lutasin ang system sa graphical na paraan:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• isaalang-alang ang mga equation na x+y–1=0 at –2x–2y+5=0 na tumutugma sa mga hindi pagkakapantay-pantay;
• Bumuo tayo ng mga tuwid na linya na ibinigay ng mga equation na ito.

Figure 2

Tukuyin natin ang kalahating eroplano na tinukoy ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Kumuha tayo ng isang arbitrary na punto, hayaan ang (0; 0). Isaalang-alang natin x+ y– 1 0, palitan ang punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Nangangahulugan ito na sa kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, ibig sabihin. ang kalahating eroplano na nasa ibaba ng linya ay isang solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay. Ang pagpapalit ng puntong ito (0; 0) sa pangalawa, makukuha natin ang: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. sa kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, at tinanong kami kung saan –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, samakatuwid, sa kabilang kalahating eroplano - sa isa sa itaas ng tuwid na linya.
Hanapin natin ang intersection ng dalawang kalahating eroplanong ito. Ang mga linya ay parallel, kaya ang mga eroplano ay hindi nagsalubong kahit saan, na nangangahulugan na ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay walang mga solusyon at hindi pare-pareho.

Halimbawa 2. Maghanap ng mga graphic na solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Larawan 3
1. Isulat natin ang mga equation na tumutugma sa mga hindi pagkakapantay-pantay at bumuo ng mga tuwid na linya.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Sa pagpili ng punto (0; 0), tinutukoy namin ang mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa mga kalahating eroplano:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ibig sabihin. x + 2y– 2 ≤ 0 sa kalahating eroplano sa ibaba ng tuwid na linya;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ibig sabihin. y –x– 1 ≤ 0 sa kalahating eroplano sa ibaba ng tuwid na linya;
0 + 2 =2 ≥ 0, ibig sabihin. y+ 2 ≥ 0 sa kalahating eroplano sa itaas ng tuwid na linya.
3. Ang intersection ng tatlong kalahating eroplanong ito ay magiging isang lugar na isang tatsulok. Hindi mahirap hanapin ang mga vertice ng rehiyon bilang mga intersection point ng mga kaukulang linya


kaya, A(–3; –2), SA(0; 1), SA(6; –2).

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa kung saan ang resultang solusyon na domain ng system ay hindi limitado.