Ginagamit ang mga partial derivative sa mga problemang kinasasangkutan ng mga function ng ilang variable. Ang mga patakaran para sa paghahanap ay eksaktong kapareho ng para sa mga function ng isang variable, na ang pagkakaiba lamang ay ang isa sa mga variable ay dapat ituring na isang pare-pareho (pare-parehong numero) sa oras ng pagkita ng kaibhan.

Formula

Ang mga partial derivatives para sa isang function ng dalawang variable na $ z(x,y) $ ay nakasulat sa sumusunod na anyo na $ z"_x, z"_y $ at matatagpuan gamit ang mga formula:

Mga partial derivative sa unang order

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Mga partial derivative ng pangalawang order

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Pinaghalong derivative

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Bahagyang hinango ng isang kumplikadong function

a) Hayaan ang $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, pagkatapos ay ang derivative ng isang complex function ay tinutukoy ng formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Hayaan ang $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, pagkatapos ay ang mga partial derivatives ng function ay matatagpuan ng formula:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Mga partial derivatives ng isang implicit na function

a) Hayaan ang $ F(x,y(x)) = 0 $, pagkatapos ay $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Hayaan ang $ F(x,y,z)=0 $, pagkatapos ay $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1

Maghanap ng mga partial derivative sa unang order $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Solusyon

Upang mahanap ang partial derivative na may kinalaman sa $ x $, isasaalang-alang namin ang $ y $ bilang isang pare-parehong halaga (numero): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Upang mahanap ang bahagyang derivative ng isang function na may kinalaman sa $y$, tinutukoy namin ang $y$ sa pamamagitan ng isang pare-pareho: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong tingnan ang pag-usad ng pagkalkula at makakuha ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyo na makuha ang iyong marka mula sa iyong guro sa napapanahong paraan!

Sagot

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Halimbawa 2

Hanapin ang mga partial derivatives ng second order function $ z = e^(xy) $

Solusyon

Una kailangan mong hanapin ang mga unang derivatives, at pagkatapos ay alam mo ang mga ito maaari mong mahanap ang pangalawang order derivatives. Hayaang maging pare-pareho ang $y$: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Itakda natin ngayon ang $ x $ na maging isang pare-parehong halaga: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Ang pag-alam sa mga unang derivatives, pareho nating nahanap ang pangalawa. Itakda ang $y$ sa isang pare-pareho: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Itinakda namin ang $ x $ sa isang pare-pareho: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Ngayon ang natitira na lang ay hanapin ang pinaghalong derivative. Maaari mong ibahin ang $ z"_x $ ng $ y $, at maaari mong ibahin ang $ z"_y $ ng $ x $, dahil sa pamamagitan ng theorem $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Sagot

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z"" _(xy) = yxe^(xy) $$

Halimbawa 4

Hayaang tukuyin ng $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ ang implicit function na $ F(x,y,z) = 0 $. Maghanap ng mga partial derivative sa unang order.

Solusyon

Sinusulat namin ang function sa format na: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ at hanapin ang mga derivatives: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Sagot

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Ang paglutas ng mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika ay ganap na imposible nang walang kaalaman sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, kung paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , na tinukoy sa isang tiyak na agwat (a, b) . Ang mga puntos na x at x0 ay kabilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - ang pagkakaiba sa mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng isang function sa dalawang punto. Kahulugan ng derivative:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang silbi ng paghahanap ng gayong limitasyon? At narito kung ano ito:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Pisikal na kahulugan ng derivative: ang derivative ng landas na may paggalang sa oras ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan alam ng lahat na ang bilis ay isang partikular na landas x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang sandali sa oras t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Unang panuntunan: magtakda ng pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa derivative sign. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin ito bilang panuntunan - Kung maaari mong pasimplehin ang isang expression, siguraduhing pasimplehin ito .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng function:

Pangatlong panuntunan: derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Solusyon:

Mahalagang pag-usapan ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function dito. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument at ang derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas nakita natin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, kalkulahin muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na panuntunan: derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't bigyan ng babala: madalas na may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang mga katanungan tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming malutas ang pinakamahirap na pagsubok at maunawaan ang mga gawain, kahit na hindi ka pa nakagawa ng mga derivative na kalkulasyon dati.

Hayaang magbigay ng function ng dalawang variable. Bigyan natin ang argumento ng pagtaas at iwanan ang argumento na hindi nagbabago. Pagkatapos ang function ay makakatanggap ng isang pagtaas, na kung saan ay tinatawag na isang bahagyang pagtaas sa pamamagitan ng variable at ay denoted:

Katulad nito, ang pag-aayos ng argumento at pagbibigay ng increment sa argumento, nakakakuha tayo ng bahagyang pagtaas ng function sa pamamagitan ng variable:

Ang dami ay tinatawag na kabuuang pagtaas ng function sa isang punto.

Kahulugan 4. Ang partial derivative ng isang function ng dalawang variable na may kinalaman sa isa sa mga variable na ito ay ang limitasyon ng ratio ng katumbas na partial increment ng function sa increment ng isang naibigay na variable kapag ang huli ay may posibilidad na zero (kung ang limitasyong ito umiiral). Ang partial derivative ay tinutukoy bilang mga sumusunod: o, o.

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan mayroon kaming:

Ang mga partial derivatives ng mga function ay kinakalkula ayon sa parehong mga patakaran at mga formula bilang isang function ng isang variable, na isinasaalang-alang na kapag ang pagkakaiba-iba na may paggalang sa isang variable, ito ay itinuturing na pare-pareho, at kapag ang pagkakaiba-iba tungkol sa isang variable, ito ay itinuturing na pare-pareho. .

Halimbawa 3. Maghanap ng mga partial derivatives ng mga function:

Solusyon. a) Upang mahanap, itinuturing namin itong isang pare-parehong halaga at iniiba ito bilang isang function ng isang variable:

Katulad nito, sa pag-aakalang isang pare-parehong halaga, makikita natin:

Depinisyon 5. Ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga partial derivatives ng function na ito at ang mga increment ng mga kaukulang independent variable, i.e.

Isinasaalang-alang na ang mga pagkakaiba-iba ng mga independiyenteng variable ay nag-tutugma sa kanilang mga pagtaas, i.e. , ang formula para sa kabuuang pagkakaiba ay maaaring isulat bilang

Halimbawa 4. Hanapin ang kumpletong pagkakaiba ng function.

Solusyon. Dahil, gamit ang kabuuang formula ng pagkakaiba na nakikita namin

Mga partial derivative ng mas mataas na order

Ang mga partial derivatives ay tinatawag na first order partial derivatives o first partial derivatives.

Kahulugan 6. Ang mga partial derivatives ng pangalawang-order ng isang function ay ang mga partial derivatives ng first-order na partial derivatives.

Mayroong apat na pangalawang order na bahagyang derivatives. Ang mga ito ay itinalaga bilang mga sumusunod:

Ang mga partial derivatives ng ika-3, ika-4 at mas mataas na mga order ay parehong tinukoy. Halimbawa, para sa isang function na mayroon kami:

Ang mga partial derivatives ng ikalawa o mas mataas na pagkakasunud-sunod, na kinuha na may kinalaman sa iba't ibang mga variable, ay tinatawag na mixed partial derivatives. Para sa isang function, ito ay mga derivatives. Tandaan na sa kaso kapag ang mga halo-halong derivative ay tuloy-tuloy, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 5. Maghanap ng pangalawang-order na mga partial derivatives ng isang function

Solusyon. Ang unang pagkakasunud-sunod na mga partial derivatives para sa function na ito ay matatagpuan sa Halimbawa 3:

Ang pagkakaiba sa paggalang sa mga variable na x at y, nakuha namin

Kinakalkula ng calculator ang mga derivatives ng lahat ng elementary function, na nagbibigay ng detalyadong solusyon. Ang variable ng pagkita ng kaibhan ay awtomatikong tinutukoy.

Derivative ng isang function- isa sa pinakamahalagang konsepto sa pagsusuri sa matematika. Ang paglitaw ng derivative ay humantong sa mga problema tulad ng, halimbawa, pagkalkula ng madalian na bilis ng isang punto sa isang sandali sa oras, kung ang landas depende sa oras ay kilala, ang problema ng paghahanap ng tangent sa isang function sa isang punto.

Kadalasan, ang derivative ng isang function ay tinukoy bilang ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argument, kung mayroon ito.

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function sa ilang kapitbahayan ng punto. Kung gayon ang derivative ng function sa isang punto ay tinatawag na limitasyon, kung ito ay umiiral

Paano makalkula ang derivative ng isang function?

Upang matutunan ang pagkakaiba-iba ng mga function, kailangan mong matuto at maunawaan mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at matutong gumamit talahanayan ng mga derivatives.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Hayaan at maging arbitrary differentiable function ng isang real variable at maging ilang real constant. Pagkatapos

— panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto ng mga function

— panuntunan para sa pagkita ng kaibahan ng mga quotient function

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — pagkita ng kaibhan ng isang function na may variable exponent

— panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function

— panuntunan para sa pagkakaiba ng isang function ng kapangyarihan

Derivative ng isang function online

Mabilis at tumpak na kakalkulahin ng aming calculator ang derivative ng anumang function online. Ang programa ay hindi magkakamali kapag kinakalkula ang derivative at tutulungan kang maiwasan ang mahaba at nakakapagod na mga kalkulasyon. Magiging kapaki-pakinabang din ang isang online na calculator sa mga kaso kung saan kailangang suriin kung tama ang iyong solusyon, at kung ito ay mali, mabilis na makahanap ng isang error.