Kanang parallelepiped na kahulugan. Ano ang parallelepiped? Mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang gawain sa Unified State Exam

TEXT TRANSCRIPT NG ARALIN:

Isaalang-alang ang mga item na ito:

Pagbuo ng mga brick, dice, microwave oven. Ang mga bagay na ito ay pinagsama ng hugis.

Isang ibabaw na binubuo ng dalawang magkaparehong paralelogram na ABCD at A1B1C1D1

at apat na parallelograms AA1B1B at BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D ay tinatawag na parallelepiped.

Ang mga parallelogram na bumubuo sa isang parallelepiped ay tinatawag na mga mukha. Mukha А1В1С1D1. Gilid ВВ1С1С. Edge ABCD.

Sa kasong ito, ang mga mukha na ABCD at A1B1C1D1 ay mas madalas na tinatawag na mga base, at ang natitirang mga mukha ay lateral.

Ang mga gilid ng parallelograms ay tinatawag na mga gilid ng parallelepiped. Tadyang A1B1. Tadyang CC1. Tadyang AD.

Ang Edge CC1 ay hindi kabilang sa mga base; ito ay tinatawag na gilid ng gilid.

Ang vertices ng parallelograms ay tinatawag na vertices ng parallelepiped.

Vertex D1. Vershina B. Vershina S.

Vertices D1 at B

hindi kabilang sa parehong mukha at tinatawag na kabaligtaran.

Ang isang parallelepiped ay maaaring ilarawan sa iba't ibang paraan

Isang parallelepiped sa base kung saan namamalagi ang isang rhombus, at ang mga imahe ng mga mukha ay parallelograms.

Isang parallelepiped sa base kung saan matatagpuan ang isang parisukat. Ang mga invisible na gilid AA1, AB, AD ay inilalarawan ng mga putol-putol na linya.

Isang parallelepiped sa base kung saan matatagpuan ang isang parisukat

Isang parallelepiped sa base kung saan matatagpuan ang isang parihaba o paralelogram

Isang parallelepiped na ang lahat ng mga mukha ay parisukat. Mas madalas itong tinatawag na isang kubo.

Ang lahat ng itinuturing na parallelepiped ay may mga katangian. Bumalangkas at patunayan natin ang mga ito.

Pag-aari 1. Ang magkasalungat na mukha ng parallelepiped ay parallel at pantay.

Isaalang-alang natin ang parallelepiped ABCDA1B1C1D1 at patunayan, halimbawa, ang paralelismo at pagkakapantay-pantay ng mga mukha na BB1C1C at AA1D1D.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang parallelepiped, ang mukha ABCD ay isang parallelogram, na nangangahulugang, sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang gilid BC ay parallel sa gilid AD.

Ang mukha ABB1A1 ay isa ring parallelogram, na nangangahulugang magkatulad ang mga gilid ng BB1 at AA1.

Nangangahulugan ito na ang dalawang intersecting na tuwid na linya BC at BB1 ng isang eroplano, ayon sa pagkakabanggit, ay parallel sa dalawang tuwid na linya AD at AA1, ayon sa pagkakabanggit, ng isa pang eroplano, na nangangahulugan na ang mga eroplanong ABB1A1 at BCC1D1 ay magkatulad.

Ang lahat ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallelograms, na nangangahulugang BC = AD, BB1 = AA1.

Sa kasong ito, ang mga gilid ng mga anggulo na B1BC at A1AD ay magkakaugnay na nakadirekta, na nangangahulugang magkapantay sila.

Kaya, ang dalawang magkatabing gilid at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng parallelogram ABB1A1 ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang magkatabing gilid at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng parallelogram BCC1D1, na nangangahulugan na ang mga parallelogram na ito ay pantay.

Ang parallelepiped ay mayroon ding pag-aari tungkol sa mga diagonal. Ang dayagonal ng isang parallelepiped ay isang segment na nagkokonekta sa mga di-katabing vertices. Ang tuldok na linya sa pagguhit ay nagpapakita ng mga diagonal na B1D, BD1, A1C.

Kaya, ang ari-arian 2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa kalahati ng intersection point.

Upang patunayan ang ari-arian, isaalang-alang ang quadrilateral na BB1D1D. Ang mga diagonal nito na B1D, BD1 ay ang mga dayagonal ng parallelepiped ABCDA1B1C1D1.

Sa unang pag-aari, nalaman na namin na ang gilid BB1 ay parallel at katumbas ng gilid AA1, ngunit ang gilid AA1 ay parallel at katumbas ng gilid DD1. Samakatuwid, ang mga gilid BB1 at DD1 ay parallel at pantay, na nagpapatunay na ang quadrilateral BB1D1D ay isang parallelogram. At sa isang paralelogram, ayon sa ari-arian, ang mga diagonal na B1D, BD1 ay bumalandra sa ilang punto O at nahahati sa kalahati sa puntong ito.

Ang quadrilateral na BC1D1A ay isa ring parallelogram at ang mga diagonal nito na C1A ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa puntong ito. Ang mga diagonal ng parallelogram C1A, ВD1 ay ang mga diagonal ng parallelepiped, na nangangahulugang ang formulated property ay napatunayan na.

Upang pagsamahin ang teoretikal na kaalaman tungkol sa parallelepiped, isaalang-alang ang patunay na problema.

Ang mga puntong L,M,N,P ay minarkahan sa mga gilid ng parallelepiped upang ang BL=CM=A1N=D1P. Patunayan na ang ALMDNB1C1P ay parallelepiped.

Ang mukha BB1A1A ay isang parallelogram, na nangangahulugang ang gilid ng BB1 ay pantay at kahanay sa gilid ng AA1, ngunit ayon sa kondisyon, ang mga segment na BL at A1N, na nangangahulugang ang mga segment na LB1 at NA ay pantay at kahanay.

3) Samakatuwid, ang quadrilateral LB1NA ay isang paralelogram.

4) Dahil ang CC1D1D ay isang parallelogram, nangangahulugan ito na ang gilid ng CC1 ay katumbas at kahanay ng gilid D1D, at ang CM ay katumbas ng D1P ayon sa kundisyon, na nangangahulugan na ang mga segment na MC1 at DP ay pantay-pantay at parallel

Samakatuwid, ang quadrilateral MC1PD ay isa ring paralelogram.

5) Ang mga anggulo LB1N at MC1P ay katumbas ng mga anggulo na may magkatulad na magkatulad at magkaparehong direksyon.

6) Nalaman namin na ang mga parallelogram at MC1PD ay may pantay na panig at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay, na nangangahulugang ang mga paralelogram ay pantay.

7) Ang mga segment ay pantay ayon sa kundisyon, na nangangahulugan na ang BLMC ay isang parallelogram at ang side BC ay parallel sa side LM ay parallel sa side B1C1.

8) Katulad nito, mula sa parallelogram NA1D1P sinusundan nito na ang gilid ng A1D1 ay parallel sa gilid ng NP at parallel sa gilid ng AD.

9) Ang kabaligtaran na mga mukha ng ABB1A1 at DCC1D1 ng parallelepiped ay magkatulad sa pag-aari, at ang mga segment ng parallel na tuwid na linya sa pagitan ng mga parallel na eroplano ay pantay, na nangangahulugang ang mga segment na B1C1, LM, AD, NP ay pantay.

Napag-alaman na sa quadrilaterals ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, ang dalawang panig ay parallel at pantay, na nangangahulugang sila ay parallelograms. Pagkatapos ang aming ibabaw na ALMDNB1C1P ay binubuo ng anim na parallelograms, dalawa sa mga ito ay pantay-pantay, at sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang parallelepiped.

Sa geometry, ang mga pangunahing konsepto ay eroplano, punto, tuwid na linya at anggulo. Gamit ang mga terminong ito, maaari mong ilarawan ang anumang geometric figure. Ang polyhedra ay karaniwang inilalarawan sa mga tuntunin ng mas simpleng mga figure na nasa parehong eroplano, tulad ng isang bilog, tatsulok, parisukat, parihaba, atbp. Sa artikulong ito titingnan natin kung ano ang isang parallelepiped, ilarawan ang mga uri ng parallelepiped, mga katangian nito, kung anong mga elemento ang binubuo nito, at ibibigay din ang mga pangunahing formula para sa pagkalkula ng lugar at dami para sa bawat uri ng parallelepiped.

Kahulugan

Ang parallelepiped sa three-dimensional na espasyo ay isang prisma, ang lahat ng panig nito ay parallelograms. Alinsunod dito, maaari lamang itong magkaroon ng tatlong pares ng parallel parallelograms o anim na mukha.

Upang mailarawan ang isang parallelepiped, isipin ang isang ordinaryong karaniwang brick. Ang isang brick ay isang magandang halimbawa ng isang parihabang parallelepiped na kahit isang bata ay maiisip. Kasama sa iba pang mga halimbawa ang mga multi-storey panel house, cabinet, mga lalagyan ng imbakan ng pagkain na may naaangkop na hugis, atbp.

Mga uri ng figure

Mayroon lamang dalawang uri ng parallelepipeds:

Parihaba, ang lahat ng panig na mukha nito ay nasa anggulong 90° sa base at mga parihaba.
Sloping, ang mga gilid ng gilid na kung saan ay matatagpuan sa isang tiyak na anggulo sa base.

Anong mga elemento ang maaaring hatiin ang figure na ito?

Tulad ng sa anumang iba pang geometric figure, sa isang parallelepiped anumang 2 mga mukha na may isang karaniwang gilid ay tinatawag na katabi, at ang mga wala nito ay parallel (batay sa pag-aari ng isang parallelogram, na may mga pares ng parallel na magkabilang panig).
Ang mga vertices ng isang parallelepiped na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na kabaligtaran.
Ang segment na nagkokonekta sa naturang mga vertex ay isang dayagonal.
Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang cuboid na nagtatagpo sa isang vertex ay ang mga sukat nito (ibig sabihin, ang haba, lapad at taas nito).

Mga Katangian ng Hugis

Ito ay palaging binuo nang simetriko na may paggalang sa gitna ng dayagonal.
Ang intersection point ng lahat ng diagonal ay naghahati sa bawat diagonal sa dalawang pantay na segment.
Ang magkasalungat na mukha ay pantay ang haba at nakahiga sa magkatulad na linya.
Kung idaragdag mo ang mga parisukat ng lahat ng dimensyon ng isang parallelepiped, ang magreresultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng haba ng dayagonal.

Mga formula ng pagkalkula

Magiiba ang mga formula para sa bawat partikular na kaso ng parallelepiped.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped, totoo na ang dami nito ay katumbas ng ganap na halaga ng triple scalar product ng mga vector ng tatlong panig na nagmumula sa isang vertex. Gayunpaman, walang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang arbitrary na parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay nalalapat:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

Ang V ay ang dami ng figure;
Sb - lateral surface area;
Sp - kabuuang lugar sa ibabaw;
a - haba;
b - lapad;
c - taas.

Ang isa pang espesyal na kaso ng parallelepiped kung saan ang lahat ng panig ay parisukat ay isang kubo. Kung ang alinman sa mga gilid ng parisukat ay itinalaga ng titik a, kung gayon ang mga sumusunod na formula ay maaaring gamitin para sa ibabaw na lugar at dami ng figure na ito:

S=6*a*2;
V=3*a.

S - lugar ng figure,
Ang V ay ang dami ng figure,
a ay ang haba ng mukha ng pigura.

Ang huling uri ng parallelepiped na aming isinasaalang-alang ay isang tuwid na parallelepiped. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang right parallelepiped at isang cuboid, itatanong mo. Ang katotohanan ay ang base ng isang rectangular parallelepiped ay maaaring maging anumang parallelogram, ngunit ang base ng isang straight parallelepiped ay maaari lamang maging isang rectangle. Kung tukuyin natin ang perimeter ng base, katumbas ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig, bilang Po, at tukuyin ang taas ng titik h, may karapatan tayong gamitin ang mga sumusunod na formula upang kalkulahin ang volume at mga lugar ng kabuuang at mga lateral surface.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa araling ito, pag-aaralan ng lahat ang paksang “Rectangular parallelepiped”. Sa simula ng aralin, uulitin natin kung ano ang mga arbitrary at tuwid na parallelepiped, alalahanin ang mga katangian ng kanilang mga kabaligtaran na mukha at mga dayagonal ng parallelepiped. Pagkatapos ay titingnan natin kung ano ang isang cuboid at tatalakayin ang mga pangunahing katangian nito.

Paksa: Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Aralin: Kuboid

Ang ibabaw na binubuo ng dalawang magkapantay na parallelograms ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 at apat na parallelograms ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ay tinatawag parallelepiped(Larawan 1).

kanin. 1 Parallelepiped

Iyon ay: mayroon kaming dalawang pantay na parallelograms ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 (mga base), nakahiga sila sa magkatulad na mga eroplano upang ang mga gilid na gilid AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ay magkatulad. Kaya, ang isang ibabaw na binubuo ng mga paralelogram ay tinatawag parallelepiped.

Kaya, ang ibabaw ng isang parallelepiped ay ang kabuuan ng lahat ng parallelograms na bumubuo sa parallelepiped.

1. Ang kabaligtaran ng mga mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.

(ang mga hugis ay pantay-pantay, iyon ay, maaari silang pagsamahin sa pamamagitan ng magkakapatong)

Halimbawa:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (katumbas ng mga paralelogram ayon sa kahulugan),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (dahil ang AA 1 B 1 B at DD 1 C 1 C ay magkatapat na mukha ng parallelepiped),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (dahil ang AA 1 D 1 D at BB 1 C 1 C ay magkatapat na mukha ng parallelepiped).

2. Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa puntong ito.

Ang mga diagonal ng parallelepiped AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ay nagsalubong sa isang punto O, at ang bawat dayagonal ay nahahati sa kalahati sa puntong ito (Larawan 2).

kanin. 2 Ang mga dayagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong at nahahati sa kalahati ng intersection point.

3. May tatlong quadruples ng pantay at parallel na mga gilid ng isang parallelepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Kahulugan. Ang isang parallelepiped ay tinatawag na tuwid kung ang mga lateral edge nito ay patayo sa mga base.

Hayaang ang gilid ng gilid AA 1 ay patayo sa base (Larawan 3). Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya AA 1 ay patayo sa mga tuwid na linya AD at AB, na nasa eroplano ng base. Nangangahulugan ito na ang mga gilid na mukha ay naglalaman ng mga parihaba. At ang mga base ay naglalaman ng mga di-makatwirang paralelogram. Ipahiwatig natin ang ∠BAD = φ, ang anggulo φ ay maaaring maging anuman.

kanin. 3 Kanang parallelepiped

Kaya, ang isang kanang parallelepiped ay isang parallelepiped kung saan ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ng parallelepiped.

Kahulugan. Ang parallelepiped ay tinatawag na hugis-parihaba, kung ang mga gilid nito ay patayo sa base. Ang mga base ay mga parihaba.

Ang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay parihaba (Fig. 4), kung:

1. AA 1 ⊥ ABCD (lateral edge patayo sa eroplano ng base, iyon ay, isang tuwid na parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, ibig sabihin, ang base ay isang parihaba.

kanin. 4 Parihabang parallelepiped

Ang isang parihabang parallelepiped ay may lahat ng mga katangian ng isang arbitrary parallelepiped. Ngunit may mga karagdagang katangian na nagmula sa kahulugan ng isang cuboid.

Kaya, kuboid ay isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa base. Ang base ng isang cuboid ay isang parihaba.

1. Sa isang parihabang parallelepiped, lahat ng anim na mukha ay mga parihaba.

Ang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay mga parihaba ayon sa kahulugan.

2. Ang mga lateral ribs ay patayo sa base. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga lateral na mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba.

3. Ang lahat ng mga dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped ay tama.

Isaalang-alang natin, halimbawa, ang dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped na may gilid AB, ibig sabihin, ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC 1 at ABC.

Ang AB ay isang gilid, ang punto A 1 ay nasa isang eroplano - sa eroplanong ABB 1, at ang punto D sa kabilang banda - sa eroplano A 1 B 1 C 1 D 1. Kung gayon ang anggulo ng dihedral na isinasaalang-alang ay maaari ding tukuyin bilang mga sumusunod: ∠A 1 ABD.

Kunin natin ang punto A sa gilid ng AB. Ang AA 1 ay patayo sa gilid ng AB sa eroplanong АВВ-1, ang AD ay patayo sa gilid ng AB sa eroplanong ABC. Nangangahulugan ito na ang ∠A 1 AD ay ang linear na anggulo ng isang ibinigay na anggulo ng dihedral. ∠A 1 AD = 90°, na nangangahulugan na ang dihedral na anggulo sa gilid AB ay 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Katulad nito, napatunayan na ang anumang dihedral na anggulo ng isang parihabang parallelepiped ay tama.

Ang parisukat ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito.

Tandaan. Ang mga haba ng tatlong gilid na nagmumula sa isang vertex ng isang cuboid ay ang mga sukat ng cuboid. Minsan tinatawag silang haba, lapad, taas.

Ibinigay: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parihabang parallelepiped (Larawan 5).

Patunayan: .

kanin. 5 Parihabang parallelepiped

Patunay:

Ang straight line CC 1 ay patayo sa plane ABC, at samakatuwid ay sa straight line AC. Nangangahulugan ito na ang tatsulok na CC 1 A ay right-angled. Ayon sa Pythagorean theorem:

Isaalang-alang ang tamang tatsulok na ABC. Ayon sa Pythagorean theorem:

Ngunit ang BC at AD ay magkabilang panig ng parihaba. Kaya BC = AD. Pagkatapos:

kasi , A , Iyon. Dahil CC 1 = AA 1, ito ang kailangang patunayan.

Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay.

Tukuyin natin ang mga sukat ng parallelepiped ABC bilang a, b, c (tingnan ang Fig. 6), pagkatapos AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =