Linear vector space: kahulugan, mga katangian. Kahulugan ng linear space. Mga halimbawa ng mga linear na espasyo Mga linear na espasyo para sa mga dummies

Lecture 6. Vector space.

Pangunahing katanungan.

1. Vector linear space.

2. Batayan at sukat ng espasyo.

3. Oryentasyon sa espasyo.

4. Pagkabulok ng isang vector ayon sa batayan.

5. Vector coordinate.

1. Vector linear space.

Isang set na binubuo ng mga elemento ng anumang kalikasan kung saan ang mga linear na operasyon ay tinukoy: ang pagdaragdag ng dalawang elemento at pagpaparami ng isang elemento sa isang numero ay tinatawag mga espasyo, at ang kanilang mga elemento ay mga vector puwang na ito at tinutukoy sa parehong paraan tulad ng mga dami ng vector sa geometry: . Mga vector Ang mga abstract na espasyo, bilang panuntunan, ay walang pagkakatulad sa mga ordinaryong geometric na vector. Ang mga elemento ng abstract space ay maaaring mga function, isang sistema ng mga numero, matrice, atbp., at sa isang partikular na kaso, mga ordinaryong vector. Samakatuwid, ang mga naturang puwang ay karaniwang tinatawag mga puwang ng vector .

Ang mga vector space ay, Halimbawa, isang hanay ng mga collinear vectors, na ipinahiwatig V1 , set ng mga coplanar vectors V2 , set ng mga vectors ng ordinaryo (real space) V3 .

Para sa partikular na kaso na ito, maaari naming ibigay ang sumusunod na kahulugan ng isang vector space.

Kahulugan 1. Ang hanay ng mga vector ay tinatawag espasyo ng vector, kung ang isang linear na kumbinasyon ng anumang mga vector ng isang set ay isa ring vector ng set na ito. Ang mga vector mismo ay tinatawag mga elemento espasyo ng vector.

Ang mas mahalaga, parehong theoretically at inilapat, ay ang pangkalahatang (abstract) na konsepto ng vector space.

Kahulugan 2. Isang grupo ng R mga elemento, kung saan tinutukoy ang kabuuan para sa alinmang dalawang elemento at para sa anumang elemento https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> tinatawag vector(o linear) space, at ang mga elemento nito ay mga vector, kung ang mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng vector sa isang numero ay nakakatugon sa mga sumusunod na kundisyon ( mga axiom) :

1) ang karagdagan ay commutative, ibig sabihin..gif" width="184" height="25">;

3) mayroong isang elemento (zero vector) na para sa anumang https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) para sa anumang vector at at anumang numero λ ang pagkakapantay-pantay;

6) para sa anumang mga vector at anumang mga numero λ At µ totoo ang pagkakapantay-pantay: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> at anumang numero λ At µ patas ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Ang pinakasimpleng mga axiom na tumutukoy sa isang vector space ay sumusunod: kahihinatnan :

1. Sa isang vector space mayroon lamang isang zero - ang elemento - ang zero vector.

2. Sa vector space, ang bawat vector ay may isang kabaligtaran na vector.

3. Para sa bawat elemento ang pagkakapantay-pantay ay nasisiyahan.

4. Para sa anumang tunay na numero λ at zero vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> ay isang vector na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Kaya, sa katunayan, ang hanay ng lahat ng mga geometric na vector ay isang linear (vector) na espasyo, dahil para sa mga elemento ng set na ito ang mga aksyon ng pagdaragdag at pagpaparami sa pamamagitan ng isang numero ay tinukoy na nagbibigay-kasiyahan sa mga formulated axioms.

2. Batayan at sukat ng espasyo.

Ang mahahalagang konsepto ng isang vector space ay ang mga konsepto ng batayan at sukat.

Kahulugan. Ang isang hanay ng mga linearly independent vectors, na kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, kung saan ang anumang vector ng espasyo ay maaaring linearly na ipahayag, ay tinatawag na batayan ang espasyong ito. Mga vector. Tinatawag ang mga bahagi ng batayan ng espasyo basic .

Ang batayan ng isang set ng mga vector na matatagpuan sa isang arbitrary na linya ay maaaring ituring na isang collinear vector sa linyang ito.

Base sa eroplano tawagan natin ang dalawang non-collinear vector sa eroplanong ito, na kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Kung ang mga batayang vector ay pairwise perpendicular (orthogonal), kung gayon ang batayan ay tinatawag orthogonal, at kung ang mga vector na ito ay may haba na katumbas ng isa, kung gayon ang batayan ay tinatawag orthonormal .

Ang pinakamalaking bilang ng mga linearly independent vectors sa espasyo ay tinatawag sukat ng espasyong ito, ibig sabihin, ang dimensyon ng espasyo ay tumutugma sa bilang ng mga batayang vector ng espasyong ito.

Kaya, ayon sa mga kahulugang ito:

1. Isang-dimensional na espasyo V1 ay isang tuwid na linya, at ang batayan ay binubuo ng isang collinear vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ang ordinaryong espasyo ay tatlong-dimensional na espasyo V3 , na ang batayan ay binubuo ng tatlong di-coplanar mga vector

Mula dito makikita natin na ang bilang ng mga batayang vector sa isang linya, sa isang eroplano, sa totoong espasyo ay tumutugma sa kung ano sa geometry ay karaniwang tinatawag na bilang ng mga sukat (dimensyon) ng isang linya, eroplano, espasyo. Samakatuwid, natural na magpakilala ng mas pangkalahatang kahulugan.

Kahulugan. Vector space R tinawag n– dimensional kung walang hihigit sa n linearly independent vectors at denote R n. Numero n tinawag sukat space.

Alinsunod sa sukat ng espasyo ay nahahati sa may hangganan-dimensional At walang hanggan-dimensional. Ang dimensyon ng null space ay itinuturing na katumbas ng zero sa pamamagitan ng kahulugan.

Tandaan 1. Sa bawat espasyo maaari mong tukuyin ang maraming base hangga't gusto mo, ngunit ang lahat ng mga base ng isang ibinigay na espasyo ay binubuo ng parehong bilang ng mga vector.

Tandaan 2. SA n– sa isang dimensional na vector space, ang batayan ay anumang ordered collection n linearly independent vectors.

3. Oryentasyon sa espasyo.

Hayaan ang mga batayang vector sa espasyo V3 mayroon pangkalahatang simula At inutusan, ibig sabihin, ipinapahiwatig kung aling vector ang itinuturing na una, na itinuturing na pangalawa at kung alin ang itinuturing na pangatlo. Halimbawa, sa batayan ang mga vector ay inayos ayon sa indexation.

Para doon upang i-orient ang espasyo, kinakailangan na magtakda ng ilang batayan at ideklara itong positibo .

Maipapakita na ang hanay ng lahat ng base ng espasyo ay nahahati sa dalawang klase, iyon ay, sa dalawang magkahiwalay na subset.

a) lahat ng mga base na kabilang sa isang subset (klase) ay mayroon pareho oryentasyon (mga base ng parehong pangalan);

b) alinmang dalawang base na kabilang sa iba-iba mga subset (mga klase), mayroon ang kabaliktaran oryentasyon, ( iba't ibang pangalan mga base).

Kung ang isa sa dalawang klase ng mga base ng isang espasyo ay idineklara na positibo at ang isa ay negatibo, kung gayon sinasabing ang puwang na ito nakatuon .

Kadalasan, kapag nag-orient ng espasyo, ang ilang mga base ay tinatawag tama, at iba pa - umalis .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> ay tinatawag na tama, kung, kapag nagmamasid mula sa dulo ng ikatlong vector, ang pinakamaikling pag-ikot ng unang vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > ay isinasagawa counterclock-wise(Larawan 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

kanin. 1.8. Kanan na batayan (a) at kaliwang batayan (b)

Karaniwan ang tamang batayan ng espasyo ay ipinahayag na isang positibong batayan

Ang kanan (kaliwa) na batayan ng espasyo ay maaari ding matukoy gamit ang panuntunan ng isang "kanan" ("kaliwa") na tornilyo o gimlet.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad dito, ipinakilala ang konsepto ng kanan at kaliwa tatlo non-coplanar vectors na dapat i-order (Fig. 1.8).

Kaya, sa pangkalahatang kaso, ang dalawang ordered triplets ng non-coplanar vectors ay may parehong oryentasyon (parehong pangalan) sa espasyo. V3 kung pareho silang kanan o parehong kaliwa, at - ang kabaligtaran na oryentasyon (kabaligtaran) kung ang isa sa kanila ay kanan at ang isa ay kaliwa.

Ang parehong ay ginagawa sa kaso ng espasyo V2 (eroplano).

4. Pagkabulok ng isang vector ayon sa batayan.

Para sa pagiging simple ng pangangatwiran, isaalang-alang natin ang tanong na ito gamit ang halimbawa ng isang three-dimensional na vector space R3 .

Hayaan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> maging isang arbitraryong vector ng espasyong ito.

Kabanata 3. Linear vector space

Paksa 8. Linear vector space

Kahulugan ng linear space. Mga halimbawa ng mga linear na espasyo

Sa §2.1 ang operasyon ng pagdaragdag ng mga libreng vector mula sa R 3 at ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga vector sa pamamagitan ng tunay na mga numero, at inililista din ang mga katangian ng mga operasyong ito. Ang pagpapalawig ng mga operasyong ito at ang kanilang mga katangian sa isang hanay ng mga bagay (mga elemento) ng di-makatwirang kalikasan ay humahantong sa isang pangkalahatan ng konsepto ng isang linear na espasyo ng mga geometric na vector mula sa R 3 na tinukoy sa §2.1. Bumuo tayo ng kahulugan ng isang linear vector space.

Kahulugan 8.1. Isang grupo ng V mga elemento X , sa , z ,... tinawag linear vector space, Kung:

may tuntunin na ang bawat dalawang elemento x At sa mula sa V tumutugma sa ikatlong elemento mula sa V, tinawag halaga X At sa at itinalaga X + sa ;

may tuntunin na ang bawat elemento x at tumutugma sa anumang tunay na numero sa isang elemento mula sa V, tinawag produkto ng elemento X bawat numero at itinalaga x .

Bukod dito, ang kabuuan ng anumang dalawang elemento X + sa at trabaho x anumang elemento para sa anumang numero ay dapat matugunan ang mga sumusunod na kinakailangan - axioms ng linear space:

1°. X + sa = sa + X (commutativity ng karagdagan).

2°. ( X + sa ) + z = X + (sa + z ) (pagkakaugnay ng karagdagan).

3°. May elemento 0 , tinawag sero, ganyan

X + 0 = X , x .

4°. Para kahit kanino x may elemento (– X ), tinawag kabaligtaran para sa X , ganyan

X + (– X ) = 0 .

5°. ( x ) = ()x , x , , R.

6°. x = x , x .

7°. () x = x + x , x , , R.

8°. ( X + sa ) = x + y , x , y , R.

Tatawagin natin ang mga elemento ng linear space mga vector anuman ang kanilang kalikasan.

Mula sa axioms 1°–8° sinusundan nito iyon sa anumang linear space V ang mga sumusunod na katangian ay may bisa:

1) mayroong isang solong zero vector;

2) para sa bawat vector x mayroon lamang isang kabaligtaran na vector (– X ), at (– X ) = (– l) X ;

3) para sa anumang vector X ang pagkakapantay-pantay 0× ay totoo X = 0 .

Patunayan natin, halimbawa, ang ari-arian 1). Ipagpalagay natin na sa kalawakan V mayroong dalawang zero: 0 1 at 0 2. Paglalagay ng 3° sa axiom X = 0 1 , 0 = 0 2, nakukuha namin 0 1 + 0 2 = 0 1 . Gayundin, kung X = 0 2 , 0 = 0 1, pagkatapos 0 2 + 0 1 = 0 2. Isinasaalang-alang ang axiom 1°, nakukuha namin 0 1 = 0 2 .

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga linear na espasyo.

1. Ang hanay ng mga tunay na numero ay bumubuo ng isang linear na espasyo R. Ang mga Axiom 1°–8° ay malinaw na nasisiyahan dito.

2. Ang hanay ng mga libreng vector sa tatlong-dimensional na espasyo, tulad ng ipinapakita sa §2.1, ay bumubuo rin ng isang linear na espasyo, na tinutukoy R 3. Ang zero ng puwang na ito ay ang zero vector.

Ang hanay ng mga vector sa eroplano at sa linya ay mga linear space din. Ipapakilala natin sila R 1 at R 2 ayon sa pagkakabanggit.

3. Paglalahat ng mga espasyo R 1 , R 2 at R 3 naghahain ng espasyo Rn, n N, tinawag arithmetic n-dimensional na espasyo, na ang mga elemento (vectors) ay nakaayos na mga koleksyon n di-makatwirang tunay na mga numero ( x 1 ,…, x n), ibig sabihin.

Rn = {(x 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Maginhawang gamitin ang notasyon x = (x 1 ,…, x n), kung saan x i tinawag i-th coordinate(sangkap)vector x .

Para sa X , sa Rn At R Tinutukoy namin ang pagdaragdag at pagpaparami sa isang numero gamit ang mga sumusunod na formula:

X + sa = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

x = (x 1 ,…, x n).

Ang zero na elemento ng espasyo Rn ay isang vector 0 = (0,…, 0). Pagkakapantay-pantay ng dalawang vectors X = (x 1 ,…, x n) At sa = (y 1 ,…, y n) mula sa Rn, sa pamamagitan ng kahulugan, ay nangangahulugan ng pagkakapantay-pantay ng kaukulang mga coordinate, i.e. X = sa Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.

Ang katuparan ng mga axioms 1°–8° ay kitang-kita dito.

4. Hayaan C [ a ; b] – hanay ng mga tunay na tuloy-tuloy sa pagitan [ a; b] mga function f: [a; b] R.

Kabuuan ng mga function f At g mula sa C [ a ; b] ay tinatawag na function h = f + g, tinukoy ng pagkakapantay-pantay

h = f + g Û h(x) = (f + g)(x) = f(X) + g(x), " x Î [ a; b].

Produkto ng isang function f Î C [ a ; b] ayon sa numero a Î R ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(x), " x Î [ a; b].

Kaya, ang ipinakilala na mga operasyon ng pagdaragdag ng dalawang function at pagpaparami ng isang function sa pamamagitan ng isang numero ay nagbabago sa set C [ a ; b] sa isang linear space na ang mga vector ay mga function. Ang mga Axiom 1°–8° ay malinaw na nasisiyahan sa espasyong ito. Ang zero vector ng puwang na ito ay ang identically zero function, at ang pagkakapantay-pantay ng dalawang function f At g nangangahulugang, ayon sa kahulugan, ang mga sumusunod:

f = g f(x) = g(x), " x Î [ a; b].

Golovizin V.V. Mga lektura sa algebra at geometry. 4

Mga lektura sa algebra at geometry. Semester 2.

Lektura 22. Vector spaces.

Buod: kahulugan ng isang vector space, ang pinakasimpleng katangian nito, mga sistema ng mga vector, linear na kumbinasyon ng isang sistema ng mga vector, trivial at non-trivial na linear na kumbinasyon, linearly dependent at independiyenteng mga sistema ng mga vector, mga kondisyon para sa linear dependence o kalayaan ng isang sistema ng mga vector, mga subsystem ng isang sistema ng mga vector, mga sistema ng mga haligi ng isang espasyo ng vector ng arithmetic.

sugnay 1. Kahulugan ng vector space at ang pinakasimpleng katangian nito.

Dito, para sa kaginhawahan ng mambabasa, inuulit namin ang mga nilalaman ng talata 13 ng lektura 1.

Kahulugan. Hayaan ang isang di-makatwirang hanay na hindi walang laman, na ang mga elemento ay tatawagin nating mga vector, K – isang patlang, na ang mga elemento ay tatawagin nating mga scalar. Hayaang tukuyin ang isang internal na binary algebraic operation sa isang set, na tutukuyin natin sa pamamagitan ng sign + at tumawag sa vector addition. Hayaang tukuyin din ang isang panlabas na binary algebraic na operasyon sa set, na tatawagin nating multiplikasyon ng isang vector sa pamamagitan ng scalar at tinutukoy ng multiplication sign. Sa madaling salita, dalawang mapping ang tinukoy:

Ang isang set kasama ng dalawang algebraic na operasyon na ito ay tinatawag na vector space sa ibabaw ng field K kung ang mga sumusunod na axiom ay mayroong:

1. Ang pagdaragdag ay nag-uugnay, i.e.

2. Mayroong zero vector, i.e.

3. Para sa anumang vector mayroong isang kabaligtaran:

Ang vector y na nasa tapat ng vector x ay karaniwang tinutukoy -x, kaya

4. Ang pagdaragdag ay commutative, i.e. .

5. Ang pagpaparami ng isang vector sa pamamagitan ng isang scalar ay sumusunod sa batas ng pagkakaugnay, i.e.

kung saan ang produkto ay produkto ng mga scalar na tinukoy sa patlang na K.

6. , kung saan ang 1 ay ang yunit ng K field.

7. Ang pagpaparami ng isang vector sa isang scalar ay distributive na may kinalaman sa pagdaragdag ng mga vectors:

8. Ang pagpaparami ng isang vector sa isang scalar ay distributive na may paggalang sa pagdaragdag ng mga scalar: .

Kahulugan. Ang isang vector space sa ibabaw ng field ng real numbers ay tinatawag na real vector space.

Teorama. (Ang pinakasimpleng katangian ng mga vector space.)

1. Mayroon lamang isang zero vector sa isang vector space.

2. Sa vector space, ang anumang vector ay may kakaibang kabaligtaran dito.

3. o
.

4. .

Patunay. 1) Ang uniqueness ng zero vector ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng uniqueness ng identity matrix at, sa pangkalahatan, bilang uniqueness ng neutral na elemento ng anumang internal binary algebraic operation.

Hayaan ang 0 na maging zero vector ng vector space V. Pagkatapos . Hayaan
– isa pang zero vector. Tapos . Kunin natin ang unang kaso
, at sa pangalawa –
. Pagkatapos
At
, kung saan sinusundan iyon
, atbp.

2a) Una naming pinatunayan na ang produkto ng isang zero scalar at anumang vector ay katumbas ng isang zero vector.

Hayaan
. Pagkatapos, ang paglalapat ng mga vector space axioms, nakuha namin:

Kaugnay ng karagdagan, ang vector space ay isang Abelian group, at ang batas sa pagkansela ay may bisa sa anumang grupo. Ang paglalapat ng batas ng pagkansela, ito ay sumusunod mula sa huling pagkakapantay-pantay

.

2b) Ngayon patunayan natin ang pahayag 4). Hayaan
– di-makatwirang vector. Pagkatapos

Kaagad itong sumusunod na ang vector
ay kabaligtaran ng vector x.

2c) Hayaan mo na
. Pagkatapos, gamit ang vector space axioms,
At
makuha namin:

2d) Hayaan
at ipagpalagay natin na
. kasi
, kung saan ang K ay isang field, pagkatapos ay mayroon
. Paramihin natin ang pagkakapantay-pantay
iniwan sa
:
, na sumusunod
o
o
.

Ang teorama ay napatunayan.

sugnay 2. Mga halimbawa ng mga vector space.

1) Isang set ng mga numerical real function ng isang variable, tuluy-tuloy sa interval (0; 1) na may paggalang sa mga karaniwang operasyon ng pagdaragdag ng mga function at pagpaparami ng function sa isang numero.

2) Isang hanay ng mga polynomial mula sa isang titik na may mga coefficient mula sa field K na may paggalang sa pagdaragdag ng mga polynomial at ang multiplikasyon ng mga polynomial sa isang scalar.

3) Ang hanay ng mga kumplikadong numero na may paggalang sa pagdaragdag ng mga kumplikadong numero at pagpaparami sa isang tunay na numero.

4) Isang set ng mga matrice na may parehong laki na may mga elemento mula sa field K na may paggalang sa matrix addition at matrix multiplication sa isang scalar.

Ang sumusunod na halimbawa ay isang mahalagang espesyal na kaso ng Halimbawa 4.

5) Hayaan ay isang arbitrary na natural na numero. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng hanay ng lahat ng mga haligi ng taas n, i.e. set ng mga matrice sa isang field na may sukat na K
.

Ang set ay isang vector space sa ibabaw ng field K at tinatawag na arithmetic vector space ng mga column ng taas n sa ibabaw ng field K.

Sa partikular, kung sa halip na isang arbitrary na patlang K ay kinukuha natin ang larangan ng mga tunay na numero, kung gayon ang puwang ng vector
ay tinatawag na isang tunay na arithmetic vector space ng mga haligi ng taas n.

Katulad nito, ang isang vector space ay isang set din ng mga matrice sa isang field na K ng laki
o, sa madaling salita, mga string ng haba n. Tinutukoy din ito ng at tinatawag ding arithmetic vector space ng mga string na may haba n sa ibabaw ng field K.

sugnay 3. Vector space vector system.

Kahulugan. Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay anumang may hangganan na hindi walang laman na hanay ng mga vector sa espasyong ito.

pagtatalaga:
.

Kahulugan. Pagpapahayag

, (1)

kung saan ang mga scalar ng field K, ay ang mga vector ng vector space V, ay tinatawag na isang linear na kumbinasyon ng isang sistema ng mga vectors
. Ang mga scalar ay tinatawag na mga coefficient ng linear na kumbinasyong ito.

Kahulugan. Kung ang lahat ng mga coefficient ng isang linear na kumbinasyon (1) ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang linear na kumbinasyon ay tinatawag na trivial, kung hindi man - non-trivial.

Halimbawa. Hayaan
sistema ng tatlong vectors sa vector space V. Pagkatapos

- maliit na linear na kumbinasyon ng isang naibigay na sistema ng mga vectors;

ay isang non-trivial linear na kumbinasyon ng isang ibinigay na sistema ng mga vector, dahil ang unang koepisyent ng kumbinasyong ito
.

Kahulugan. Kung anumang vector x ng vector space V ay maaaring katawanin bilang:

pagkatapos ay sinasabi nila na ang vector x ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga vectors ng system
. Sa kasong ito sinasabi rin na ang sistema
linearly na kumakatawan sa vector x.

Magkomento. Dito at sa naunang kahulugan, ang salitang "linear" ay madalas na nilaktawan at sinasabing ang sistema ay kumakatawan sa isang vector o ang vector ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vector ng system, atbp.

Halimbawa. Hayaan
ay isang sistema ng dalawang column ng isang arithmetic real vector space ng mga column na may taas na 2. Pagkatapos ay ang column
linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga column ng system o isang ibinigay na column system na linearly na kumakatawan sa x column. Talaga,

sugnay 4. Linearly dependent at linearly independent system ng mga vectors sa isang vector space.

Dahil ang produkto ng isang zero scalar ng anumang vector ay isang zero vector at ang kabuuan ng mga zero na vector ay katumbas ng isang zero na vector, kung gayon para sa anumang sistema ng mga vector ang pagkakapantay-pantay

Kasunod nito na ang zero vector ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga vectors ng anumang sistema ng mga vectors o, sa madaling salita, anumang sistema ng mga vectors ay linearly na kumakatawan sa zero vector.

Halimbawa. Hayaan
. Sa kasong ito ang null column maaaring ipahayag nang linear sa pamamagitan ng mga column ng system sa higit sa isang paraan:

o

Upang makilala sa pagitan ng mga pamamaraang ito ng linear na representasyon ng zero vector, ipinakilala namin ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan. Kung may pagkakapantay-pantay

at sa parehong oras ang lahat ng mga coefficients , pagkatapos ay sinasabi nila na ang sistema
kinakatawan ang null vector nang walang kabuluhan. Kung sa pagkakapantay-pantay (3) kahit isa sa mga coefficient
ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay sinasabi nila na ang sistema ng mga vectors
kinakatawan ang null vector na hindi mahalaga.

Mula sa huling halimbawa ay makikita natin na may mga sistema ng mga vector na maaaring kumatawan sa zero vector sa mga di-maliit na paraan. Mula sa sumusunod na halimbawa ay makikita natin na mayroong mga sistema ng mga vector na hindi maaaring kumatawan sa null vector sa isang di-maliit na paraan.

Halimbawa. Hayaan
– isang sistema ng dalawang column mula sa isang vector space. Isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay:

,

saan
hindi kilalang coefficients pa. Gamit ang mga panuntunan para sa pagpaparami ng column sa isang scalar (number) at pagdaragdag ng mga column, nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay:

.

Mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng matrix ito ay sumusunod na
At
.

Kaya, ang sistemang ito ay hindi maaaring kumatawan sa null column sa isang hindi maliit na paraan.

Mula sa mga halimbawa sa itaas ay sumusunod na mayroong dalawang uri ng mga sistema ng vector. Ang ilang mga sistema ay kumakatawan sa null vector na hindi mahalaga, habang ang iba ay hindi. Tandaan muli na ang anumang sistema ng mga vector ay kumakatawan sa zero vector nang walang kabuluhan.

Kahulugan. Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space na kumakatawan sa null vector LAMANG na walang kabuluhan ay tinatawag na linearly independent.

Kahulugan. Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space na maaaring kumatawan sa zero vector sa isang di-trivial na paraan ay tinatawag na linearly dependent.

Ang huling kahulugan ay maaaring ibigay sa isang mas detalyadong anyo.

Kahulugan. Sistema ng vector
Ang vector space V ay tinatawag na linearly dependent kung mayroong isang non-zero set ng mga scalar ng field K

Magkomento. Anumang vector system
maaaring kumatawan sa null vector nang walang kabuluhan:

Ngunit hindi ito sapat upang malaman kung ang isang ibinigay na sistema ng mga vector ay linearly dependent o linearly independent. Mula sa kahulugan ito ay sumusunod na ang isang linearly independiyenteng sistema ng mga vector ay hindi maaaring kumatawan sa zero vector na hindi trivially, ngunit trivially lamang. Samakatuwid, upang mapatunayan ang linear na kalayaan ng isang naibigay na sistema ng mga vector, kailangan nating isaalang-alang ang representasyon ng zero sa pamamagitan ng isang arbitraryong linear na kumbinasyon ng sistemang ito ng mga vectors:

Kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay imposible sa kondisyon na ang hindi bababa sa isang koepisyent ng linear na kumbinasyong ito ay nonzero, kung gayon ang sistemang ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, linearly independent.

Kaya sa mga halimbawa ng nakaraang talata ang sistema ng hanay
ay linearly independent, at ang column system
ay linearly dependent.

Ang linear na kalayaan ng sistema ng mga haligi ay napatunayan sa katulad na paraan , , ... ,

mula sa espasyo kung saan ang K ay isang arbitrary na field, ang n ay isang arbitraryong natural na numero.

Ang mga sumusunod na theorems ay nagbibigay ng ilang pamantayan para sa linear dependence at, nang naaayon, linear independence ng mga vector system.

Teorama. (Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa linear dependence ng isang sistema ng mga vectors.)

Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay linearly dependent kung at kung ang isa sa mga vectors ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vectors ng system na ito.

Patunay. Pangangailangan. Hayaan ang sistema
nakadepende sa linear. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, kinakatawan nito ang zero vector na hindi trivially, i.e. mayroong isang non-trivial linear na kumbinasyon ng sistemang ito ng mga vector na katumbas ng zero vector:

kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng linear na kumbinasyong ito ay hindi katumbas ng zero. Hayaan
,
.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng nakaraang pagkakapantay-pantay sa non-zero coefficient na ito (i.e. multiply sa :

Tukuyin natin:
, Saan .

mga. isa sa mga vector ng system ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito, atbp.

Kasapatan. Hayaang ang isa sa mga vector ng system ay linearly na ipahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vector ng system na ito:

Ilipat natin ang vector sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito:

Dahil ang koepisyent ng vector katumbas
, pagkatapos ay mayroon kaming isang hindi mahalaga na representasyon ng zero sa pamamagitan ng isang sistema ng mga vector
, na nangangahulugan na ang sistemang ito ng mga vector ay linearly na umaasa, atbp.

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga.

1. Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay linearly independent kung at tanging kung wala sa mga vectors ng system ang linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vectors ng system na ito.

2. Ang isang sistema ng mga vector na naglalaman ng isang zero vector o dalawang magkaparehong vector ay linearly dependent.

Patunay.

1) Pangangailangan. Hayaang maging linearly independent ang system. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran at mayroong isang vector ng system na linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito. Pagkatapos, ayon sa theorem, ang sistema ay linearly dependent at dumating tayo sa isang kontradiksyon.

Kasapatan. Huwag hayaang maipahayag ang alinman sa mga vectors ng system sa mga tuntunin ng iba. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaan ang system na maging linearly dependent, ngunit pagkatapos ay sumusunod mula sa theorem na mayroong isang vector ng system na linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito, at muli tayong dumating sa isang kontradiksyon.

2a) Hayaang maglaman ang system ng zero vector. Ipagpalagay natin para sa katiyakan na ang vector
:. Saka halata ang pagkakapantay-pantay

mga. isa sa mga vector ng system ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang naturang sistema ng mga vectors ay linearly dependent, atbp.

Tandaan na ang katotohanang ito ay maaaring mapatunayan nang direkta mula sa kahulugan ng isang linearly dependent system ng mga vectors.

kasi
, kung gayon ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay halata

Ito ay isang nontrivial na representasyon ng zero vector, na nangangahulugang ang system
ay linearly dependent.

2b) Hayaan ang system na magkaroon ng dalawang pantay na vectors. Hayaan para sa katiyakan
. Saka halata ang pagkakapantay-pantay

Yung. ang unang vector ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng natitirang mga vectors ng parehong sistema. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang sistemang ito ay linearly dependent, atbp.

Katulad ng nauna, ang pahayag na ito ay maaaring direktang mapatunayan sa pamamagitan ng pagtukoy sa isang linearly dependent system.

Sa katunayan, mula noong
, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo

mga. mayroon kaming isang nontrivial na representasyon ng zero vector.

Napatunayan na ang imbestigasyon.

Theorem (Sa linear dependence ng isang sistema ng isang vector.

Ang isang sistema na binubuo ng isang vector ay linearly dependent kung at kung ang vector na ito ay zero.

Patunay.

Pangangailangan. Hayaan ang sistema
linearly dependent, ibig sabihin. mayroong isang hindi maliit na representasyon ng zero vector

,

saan
At
. Mula sa pinakasimpleng pag-aari ng vector space ay sinusundan ito noon
.

Kasapatan. Hayaang binubuo ang system ng isang zero vector
. Pagkatapos ay kinakatawan ng system na ito ang zero vector na hindi mahalaga

,

kung saan sumusunod ang linear dependence ng system
.

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga. Ang isang sistema na binubuo ng isang vector ay linearly independent kung at kung ang vector na ito ay nonzero.

Ang patunay ay iniiwan bilang pagsasanay sa mambabasa.

Ang isang vector (linear) na espasyo ay isang hanay ng mga vectors (mga elemento) na may mga tunay na bahagi, kung saan ang mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero ay tinukoy, na nagbibigay-kasiyahan sa ilang mga axiom (mga katangian)

1)x+sa=sa+X(commutability ng karagdagan);

2)(X+sa)+z=x+(y+z) (associativity ng karagdagan);

3) mayroong isang zero vector 0 (o null vector) na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon x+ 0 =x: para sa anumang vector x;

4) para sa anumang vector X mayroong isang kabaligtaran na vector sa ganyan X+sa = 0 ,

5) 1 x=X,

6) a(bx)=(ab)X(associativity ng multiplikasyon);

7) (a+b)X=ah+bx(distributive property na may kaugnayan sa numerical factor);

8) a(X+sa)=ah+ay(distributive property na nauugnay sa vector multiplier).

Ang linear (vector) space V(P) sa ibabaw ng field P ay isang non-empty set V. Ang mga elemento ng set V ay tinatawag na vectors, at ang mga elemento ng field P ay tinatawag na scalars.

Ang pinakasimpleng katangian.

1. Ang vector space ay isang pangkat ng Abelian (isang pangkat kung saan ang pagpapatakbo ng pangkat ay commutative. Ang pagpapatakbo ng pangkat sa mga pangkat ng Abelian ay karaniwang tinatawag na "pagdaragdag" at ipinapahiwatig ng tanda na +)

2. Ang neutral na elemento ay ang tanging sumusunod mula sa mga katangian ng pangkat para sa anumang .

3. Para sa alinman, ang kabaligtaran na elemento ay ang isa lamang na sumusunod mula sa mga katangian ng pangkat.

4.(–1) x = – x para sa anumang x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) para sa anumang α є P at x є V.

Pagpapahayag isang 1 e 1+isang 2 e 2+ … +a n e n(1) ay tinatawag na linear na kumbinasyon ng mga vector e 1 , e 2 ,..., e n may posibilidad isang 1, isang 2,..., isang n . Ang linear na kumbinasyon (1) ay tinatawag na nontrivial kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient a 1 , a 2 ,..., a n iba sa zero. Mga vector e 1 , e 2 ,..., e n ay tinatawag na linearly dependent kung mayroong isang non-trivial na kumbinasyon (1), na isang zero vector. Kung hindi (iyon ay, kung isang maliit na kumbinasyon lamang ng mga vectors e 1 , e 2 ,..., e n katumbas ng zero vector) vectors e 1 , e 2 ,..., e n ay tinatawag na linearly independent.

Ang dimensyon ng espasyo ay ang maximum na bilang ng mga LZ vectors na nakapaloob dito.

Vector space ay tinatawag na n-dimensional (o may “dimension n"), kung ito ay umiiral n mga linearly independent na elemento e 1 , e 2 ,..., e n , at anuman n+ 1 ang mga elemento ay linearly dependent (generalized condition B). Vector space ay tinatawag na infinite-dimensional kung sa loob nito para sa anumang natural n umiiral n linearly independent vectors. Anuman n linearly independent n-dimensional vectors Vector space maging batayan ng espasyong ito. Kung e 1 , e 2 ,..., e n- batayan Vector space, pagkatapos ay anumang vector X ang puwang na ito ay maaaring kinakatawan nang natatangi bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector: x=isang 1 e 1+isang 2 e 2+... +a n e n.
Kasabay nito, ang mga numero a 1 , a 2, ..., a n ay tinatawag na mga vector coordinates X sa batayan na ito.

4.3.1 Kahulugan ng linear space

Hayaan ā , , - elemento ng ilang set ā , , L at λ , μ - tunay na mga numero, λ , μ R..

Ang set L ay tinatawaglinear ovector space, kung ang dalawang operasyon ay tinukoy:

1 0 . Dagdag. Ang bawat pares ng mga elemento ng set na ito ay nauugnay sa isang elemento ng parehong set, na tinatawag na kanilang kabuuan

ā + =

2°.Pagpaparami sa isang numero. Anumang tunay na numero λ at elemento ā L tumutugma sa isang elemento ng parehong set λ ā L at ang mga sumusunod na katangian ay nasiyahan:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. umiiral zero na elemento
, ganyan ā +=ā ;

4. umiiral kabaligtaran na elemento -
ganyan ā +(-ā )=.

Kung λ , μ - tunay na mga numero, kung gayon:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Mga elemento ng linear space ā, , ... ay tinatawag na vectors.

Mag-ehersisyo. Ipakita sa iyong sarili na ang mga set na ito ay bumubuo ng mga linear na espasyo:

1) Isang hanay ng mga geometric na vector sa isang eroplano;

2) Maraming mga geometric na vector sa tatlong-dimensional na espasyo;

3) Isang hanay ng mga polynomial ng ilang antas;

4) Isang hanay ng mga matrice ng parehong dimensyon.

4.3.2 Linearly dependent at independent vectors. Sukat at batayan ng espasyo

Linear na kumbinasyon mga vector ā 1 , ā 2 , …, ā n Lay tinatawag na vector ng parehong espasyo ng anyo:

,

saan λ ako ay tunay na mga numero.

Mga vector ā 1 , .. , ā n ay tinatawaglinearly independent, kung ang kanilang linear na kumbinasyon ay isang zero vector kung at kung lahat ng λ i ay katumbas ng zero, yan ay

λ ako =0

Kung ang linear na kumbinasyon ay isang zero vector at hindi bababa sa isa sa λ i ay iba sa zero, kung gayon ang mga vector na ito ay tinatawag na linearly dependent. Ang huli ay nangangahulugan na hindi bababa sa isa sa mga vector ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga vector. Sa katunayan, kahit na, halimbawa,
. pagkatapos,
, Saan

.

Tinatawag ang isang maximally linearly independent ordered system ng mga vectors batayan space L. Ang bilang ng mga batayang vector ay tinatawag sukat space.

Ipagpalagay natin na meron n linearly independent vectors, pagkatapos ay tinatawag ang space n-dimensional. Ang iba pang mga space vector ay maaaring kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon n mga batayan ng vector. Bawat batayan n- maaaring kunin ang dimensional na espasyo anuman n linearly independent vectors ng espasyong ito.

Halimbawa 17. Hanapin ang batayan at sukat ng mga linear space na ito:

a) isang hanay ng mga vector na nakahiga sa isang linya (collinear sa ilang linya)

b) isang hanay ng mga vector na kabilang sa eroplano

c) isang hanay ng mga vectors ng tatlong-dimensional na espasyo

d) isang hanay ng mga polynomial ng degree na hindi mas mataas sa dalawa.

Solusyon.

A) Anumang dalawang vector na nakahiga sa isang tuwid na linya ay linearly dependent, dahil ang mga vector ay collinear
, Iyon
, λ - scalar. Dahil dito, ang batayan ng isang ibinigay na espasyo ay isa lamang (anumang) vector na naiiba sa zero.

Karaniwan ang puwang na ito ay itinalaga R, ang dimensyon nito ay 1.

b) anumang dalawang non-collinear vectors
ay magiging linearly independent, at anumang tatlong vectors sa eroplano ay magiging linearly independent. Para sa anumang vector , may mga numero  At  ganyan
. Ang espasyo ay tinatawag na two-dimensional, na tinutukoy ng R 2 .

Ang batayan ng isang dalawang-dimensional na espasyo ay nabuo ng alinmang dalawang di-collinear na vector.

V) Anumang tatlong non-coplanar vectors ay magiging linearly independent, sila ang magiging batayan ng three-dimensional na espasyo R 3 .

G) Bilang batayan para sa espasyo ng mga polynomial ng degree na hindi mas mataas sa dalawa, maaari nating piliin ang sumusunod na tatlong vectors: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 ay isang polynomial na magkaparehong katumbas ng isa). Magiging three-dimensional ang espasyong ito.