Kapag nilulutas ang maraming praktikal na mga problema, hindi palaging kinakailangan na ganap na makilala ang isang random na variable, iyon ay, upang matukoy ang mga batas ng pamamahagi. Bilang karagdagan, ang pagbuo ng isang function o isang serye ng mga distribusyon para sa isang discrete random variable at density para sa isang tuluy-tuloy na random variable ay mahirap at hindi kailangan.

Minsan sapat na upang ipahiwatig ang mga indibidwal na mga parameter ng numero na bahagyang nagpapakilala sa mga tampok ng pamamahagi. Kinakailangang malaman ang ilang average na halaga ng bawat random na variable sa paligid kung saan ang posibleng halaga nito ay pinagsama-sama, o ang antas ng pagkalat ng mga halagang ito na may kaugnayan sa average, atbp.

Ang mga katangian ng pinakamahalagang katangian ng pamamahagi ay tinatawag na mga numerical na katangian random variable. Sa kanilang tulong, mas madaling malutas ang maraming probabilistikong problema nang hindi tinukoy ang mga batas sa pamamahagi para sa kanila.

Ang pinakamahalagang katangian ng posisyon ng isang random na variable sa number axis ay inaasahang halaga M[X]= a, na kung minsan ay tinatawag na mean ng random variable. Para sa discrete random variable X na may posibleng mga halaga x 1 , x 2 , … , x n at mga probabilidad p 1 , p 2 ,… , p n ito ay tinutukoy ng formula

Isinasaalang-alang na =1, maaari tayong sumulat

kaya, inaasahan sa matematika Ang isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga probabilidad. Sa isang malaking bilang ng mga eksperimento, ang ibig sabihin ng aritmetika ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable ay lumalapit sa inaasahan ng matematika nito.

Para sa tuluy-tuloy na random variable X Ang pag-asa sa matematika ay tinutukoy hindi ng kabuuan, ngunit integral

saan f(x) - density ng pamamahagi ng dami X.

Ang inaasahan sa matematika ay hindi umiiral para sa lahat ng mga random na variable. Para sa ilan sa kanila, ang kabuuan, o integral, ay nag-iiba, at samakatuwid ay walang pag-asa sa matematika. Sa mga kasong ito, para sa mga dahilan ng katumpakan, ang hanay ng mga posibleng pagbabago sa random variable ay dapat na limitado X, kung saan ang kabuuan, o integral, ay magtatagpo.

Sa pagsasagawa, ang mga katangian ng posisyon ng isang random na variable bilang mode at median ay ginagamit din.

Random na variable na modeang pinakamalamang na halaga nito ay tinatawag. Sa pangkalahatan, ang mode at ang matematikal na inaasahan ay hindi nagtutugma.

Median ng isang random na variableAng X ay ang halaga nito na may kaugnayan kung saan ito ay pantay na posibilidad na makakuha ng mas malaki o mas maliit na halaga ng random variable., ibig sabihin, ito ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nililimitahan ng curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati. Para sa isang simetriko na pamamahagi, lahat ng tatlong katangian ay pareho.

Bilang karagdagan sa inaasahan sa matematika, mode at median, ang iba pang mga katangian ay ginagamit sa teorya ng posibilidad, na ang bawat isa ay naglalarawan ng isang partikular na katangian ng pamamahagi. Halimbawa, ang mga numerical na katangian na nagpapakilala sa pagpapakalat ng isang random na variable, ibig sabihin, na nagpapakita kung gaano kalapit ang mga posibleng halaga nito ay naka-grupo sa paligid ng inaasahan ng matematika, ay dispersion at standard deviation. Ang mga ito ay makabuluhang umakma sa random na variable, dahil sa pagsasanay ay madalas na may mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika, ngunit magkaibang mga distribusyon. Kapag tinutukoy ang mga katangian ng pagpapakalat, gamitin ang pagkakaiba sa pagitan ng random variable X at ang mathematical expectation nito, i.e.

saan A = M[X] - inaasahang halaga.

Ang pagkakaibang ito ay tinatawag nakasentro random variable, katumbas na halaga X, at itinalaga :

Pagkakaiba-iba ng isang random na variable ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng isang value mula sa mathematical expectation nito, i.e.:

D[ X]=M[( X–a) 2 ], o

D[ X]=M[ 2 ].

Ang pagpapakalat ng isang random na variable ay isang maginhawang katangian ng pagpapakalat at pagkakalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Gayunpaman, hindi ito visual, dahil mayroon itong sukat ng isang parisukat ng isang random na variable.

Upang biswal na makilala ang pagpapakalat, mas maginhawang gumamit ng isang halaga na ang dimensyon ay tumutugma sa dimensyon ng random na variable. Ang dami na ito karaniwang lihis random variable, na siyang positibong square root ng variance nito.

Expectation, mode, median, variance, standard deviation - ang pinakakaraniwang ginagamit na numerical na katangian ng mga random na variable. Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, kapag imposibleng matukoy ang batas sa pamamahagi, ang isang tinatayang paglalarawan ng isang random na variable ay ang mga numerical na katangian nito, na nagpapahayag ng ilang pag-aari ng pamamahagi.

Bilang karagdagan sa mga pangunahing katangian ng pamamahagi ng sentro (asa sa matematika) at pagpapakalat (pagpakalat), madalas na kinakailangan upang ilarawan ang iba pang mahahalagang katangian ng pamamahagi - simetriya At pagiging pointed, na maaaring ilarawan gamit ang mga sandali ng pamamahagi.

Ang pamamahagi ng isang random na variable ay ganap na tinukoy kung ang lahat ng mga sandali nito ay kilala. Gayunpaman, maraming mga distribusyon ang maaaring ganap na mailarawan gamit ang unang apat na sandali, na hindi lamang mga parameter na naglalarawan ng mga pamamahagi, ngunit mahalaga din sa pagpili ng mga empirikal na pamamahagi, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga numerical na halaga ng mga sandali para sa isang naibigay na istatistika. serye at gamit ang mga espesyal na graph, matutukoy mo ang batas sa pamamahagi.

Sa teorya ng posibilidad, ang mga sandali ng dalawang uri ay nakikilala: una at sentral.

Paunang sandali ng kth order random variable T ay tinatawag na mathematical expectation ng isang quantity Xk, i.e.

Dahil dito, para sa isang discrete random variable ito ay ipinahayag ng kabuuan

at para sa tuluy-tuloy – sa pamamagitan ng integral

Kabilang sa mga unang sandali ng isang random na variable, ang sandali ng unang pagkakasunud-sunod, na kung saan ay ang matematikal na inaasahan, ay partikular na kahalagahan. Pangunahing ginagamit ang mga paunang sandali ng mas mataas na pagkakasunud-sunod upang kalkulahin ang mga gitnang sandali.

Gitnang sandali ng kth order random variable ay ang matematikal na inaasahan ng halaga ( X - M [X])k

saan A = M[X].

Para sa isang discrete random variable ito ay ipinahayag ng kabuuan

A para sa tuluy-tuloy – sa pamamagitan ng integral

Kabilang sa mga sentral na sandali ng isang random na variable, ang partikular na kahalagahan ay pangalawang order gitnang sandali, na kumakatawan sa pagkakaiba ng random variable.

Ang unang pagkakasunud-sunod gitnang sandali ay palaging zero.

Pangatlong panimulang sandali nailalarawan ang kawalaan ng simetrya (skewness) ng pamamahagi at, batay sa mga resulta ng mga obserbasyon para sa discrete at tuloy-tuloy na random na mga variable, ay tinutukoy ng kaukulang mga expression:

Dahil mayroon itong sukat ng isang kubo ng isang random na variable, upang makakuha ng isang walang sukat na katangian, m 3 hinati ng standard deviation sa ikatlong kapangyarihan

Ang nagresultang halaga ay tinatawag na koepisyent ng kawalaan ng simetrya at, depende sa tanda, ay nagpapakilala sa positibo ( Bilang> 0) o negatibo ( Bilang< 0) skewness ng pamamahagi (Larawan 2.3).

Inaasahang halaga. Pag-asa sa matematika discrete random variable X, kumukuha ng limitadong bilang ng mga halaga Xi may probabilidad Ri, ang halaga ay tinatawag na:

Pag-asa sa matematika tuluy-tuloy na random variable X ay tinatawag na integral ng produkto ng mga halaga nito X sa density ng pamamahagi ng posibilidad f(x):

(6b)

Hindi wastong integral (6 b) ay ipinapalagay na ganap na nagtatagpo (kung hindi, sinasabi nila na ang inaasahan sa matematika M(X) ay wala). Ang pag-asa sa matematika ay nailalarawan average na halaga random variable X. Ang sukat nito ay tumutugma sa sukat ng random variable.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika:

Pagpapakalat. Pagkakaiba random variable X ang numero ay tinatawag na:

Ang pagkakaiba ay katangian ng scattering random variable na mga halaga X kaugnay sa average na halaga nito M(X). Ang dimensyon ng variance ay katumbas ng dimensyon ng random variable squared. Batay sa mga kahulugan ng variance (8) at mathematical expectation (5) para sa discrete random variable at (6) para sa tuluy-tuloy na random variable, nakakakuha tayo ng mga katulad na expression para sa variance:

(9)

Dito m = M(X).

Mga katangian ng pagpapakalat:

Karaniwang lihis:

(11)

Dahil ang standard deviation ay may parehong dimensyon bilang isang random variable, mas madalas itong ginagamit bilang isang sukatan ng dispersion kaysa sa variance.

Mga sandali ng pamamahagi. Ang mga konsepto ng pag-asa sa matematika at pagpapakalat ay mga espesyal na kaso ng isang mas pangkalahatang konsepto para sa mga numerical na katangian ng mga random na variable - mga sandali ng pamamahagi. Ang mga sandali ng pamamahagi ng isang random na variable ay ipinakilala bilang matematikal na mga inaasahan ng ilang mga simpleng function ng isang random variable. Kaya, sandali ng pagkakasunud-sunod k kaugnay sa punto X 0 ay tinatawag na mathematical expectation M(X–X 0 )k. Mga sandali tungkol sa pinagmulan X= 0 ang tinatawag mga paunang sandali at itinalaga:

(12)

Ang unang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay ang sentro ng pamamahagi ng random na variable na isinasaalang-alang:

(13)

Mga sandali tungkol sa sentro ng pamamahagi X= m ay tinatawag gitnang mga punto at itinalaga:

(14)

Mula sa (7) sumusunod na ang unang-order na gitnang sandali ay palaging katumbas ng zero:

Ang mga gitnang sandali ay hindi nakasalalay sa pinagmulan ng mga halaga ng random na variable, dahil kapag inilipat ng isang pare-parehong halaga SA ang sentro ng pamamahagi nito ay nagbabago sa parehong halaga SA, at ang paglihis mula sa gitna ay hindi nagbabago: X – m = (X – SA) – (m – SA).
Ngayon ay halata na pagpapakalat- Ito pangalawang order gitnang sandali:

Kawalaan ng simetrya. Pangatlong order gitnang sandali:

(17)

nagsisilbi para sa pagsusuri mga kawalaan ng simetrya sa pamamahagi. Kung ang distribusyon ay simetriko tungkol sa punto X= m, pagkatapos ay magiging zero ang third-order central moment (tulad ng lahat ng central moments ng mga kakaibang order). Samakatuwid, kung ang third-order central moment ay iba sa zero, ang distribution ay hindi maaaring simetriko. Ang magnitude ng kawalaan ng simetrya ay tinasa gamit ang isang walang sukat koepisyent ng kawalaan ng simetrya:

(18)

Ang tanda ng asymmetry coefficient (18) ay nagpapahiwatig ng right-sided o left-sided asymmetry (Fig. 2).

kanin. 2. Mga uri ng kawalaan ng simetrya sa pamamahagi.

Sobra. Pang-apat na utos sa gitnang sandali:

(19)

nagsisilbing pagsusuri sa tinatawag na sobra, na tumutukoy sa antas ng steepness (peakedness) ng distribution curve malapit sa gitna ng distribution kaugnay ng normal distribution curve. Dahil para sa isang normal na distribusyon, ang halaga na kinuha bilang kurtosis ay:

(20)

Sa Fig. Ang Figure 3 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng distribution curves na may iba't ibang kurtosis value. Para sa normal na pamamahagi E= 0. Ang mga curves na mas matulis kaysa sa normal ay may positibong kurtosis, ang mga mas flat-topped ay may negatibong kurtosis.

kanin. 3. Distribution curves na may iba't ibang antas ng steepness (kurtosis).

Ang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga sandali ay hindi karaniwang ginagamit sa mga aplikasyon ng engineering ng mga istatistika ng matematika.

Fashion discrete ang isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito. Fashion tuloy-tuloy ang isang random na variable ay ang halaga nito kung saan ang probability density ay pinakamataas (Fig. 2). Kung ang kurba ng pamamahagi ay may isang maximum, kung gayon ang pamamahagi ay tinatawag unimodal. Kung ang isang kurba ng pamamahagi ay may higit sa isang maximum, kung gayon ang pamamahagi ay tinatawag multimodal. Minsan may mga distribusyon na ang mga kurba ay may minimum kaysa sa maximum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag anti-modal. Sa pangkalahatang kaso, ang mode at mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa espesyal na kaso, para sa modal, ibig sabihin. pagkakaroon ng mode, simetriko distribusyon at sa kondisyon na mayroong matematikal na inaasahan, ang huli ay tumutugma sa mode at sentro ng simetriya ng distribusyon.

Median random variable X- ito ang kahulugan nito Meh, kung saan may pagkakapantay-pantay: i.e. ito ay pantay na posibilidad na ang random variable X magiging mas kaunti o higit pa Meh. Sa geometriko panggitna ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar sa ilalim ng curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati (Larawan 2). Sa kaso ng simetriko modal distribution, ang median, mode at mathematical na inaasahan ay pareho.

RANDOM VARIABLE AT ANG MGA BATAS NG KANILANG DISTRIBUTION.

Random Tinatawag nila ang isang dami na kumukuha ng mga halaga depende sa kumbinasyon ng mga random na pangyayari. Makilala discrete at random tuloy-tuloy dami.

discrete Ang isang dami ay tinatawag kung ito ay tumatagal sa isang mabibilang na hanay ng mga halaga. ( Halimbawa: ang bilang ng mga pasyente sa appointment ng isang doktor, ang bilang ng mga titik sa isang pahina, ang bilang ng mga molekula sa isang naibigay na dami).

Tuloy-tuloy ay isang dami na maaaring kumuha ng mga halaga sa loob ng isang tiyak na agwat. ( Halimbawa: temperatura ng hangin, timbang ng katawan, taas ng tao, atbp.)

Batas ng pamamahagi Ang isang random na variable ay isang hanay ng mga posibleng halaga ng variable na ito at, na naaayon sa mga halagang ito, mga probabilities (o mga frequency ng paglitaw).

HALIMBAWA:

Mga de-numerong katangian ng mga random na variable.

Sa maraming mga kaso, kasama ang pamamahagi ng isang random na variable o sa halip nito, ang impormasyon tungkol sa mga dami na ito ay maaaring ibigay ng mga numerical na parameter na tinatawag na numerical na katangian ng isang random variable . Ang pinakakaraniwan sa kanila:

1 .Inaasahang halaga - (average na halaga) ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang mga probabilidad ng mga halagang ito:

2 .Pagpapakalat random variable:

3 .Karaniwang lihis :

"TATLONG SIGMA" na panuntunan - kung ang isang random na variable ay ipinamamahagi ayon sa isang normal na batas, kung gayon ang paglihis ng halagang ito mula sa average na halaga sa ganap na halaga ay hindi lalampas sa tatlong beses sa karaniwang paglihis

Batas ni Gauss - batas ng normal na pamamahagi

Kadalasan mayroong mga dami na ipinamamahagi normal na batas (Batas ni Gauss). pangunahing tampok : ito ang batas na naglilimita kung saan nalalapit ang ibang mga batas ng pamamahagi.

Ang isang random na variable ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas kung ito density ng probabilidad ay may anyo:

M(X) - pag-asa sa matematika ng isang random na variable;

 - karaniwang paglihis.

Probability Density (distribution function) ay nagpapakita kung paano nagbabago ang probabilidad na itinalaga sa isang interval dx random variable, depende sa halaga ng variable mismo:

Pangunahing konsepto ng mga istatistika ng matematika

Mga istatistika sa matematika - isang sangay ng inilapat na matematika na direktang katabi ng teorya ng posibilidad. Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad ay ang mga istatistika ng matematika ay hindi isinasaalang-alang ang mga aksyon sa mga batas sa pamamahagi at mga numerical na katangian ng mga random na variable, ngunit tinatayang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga batas na ito at mga numerical na katangian batay sa mga resulta ng mga eksperimento.

Pangunahing konsepto Ang mga istatistika ng matematika ay:

Pangkalahatang populasyon;

sample;

serye ng pagkakaiba-iba;

fashion;

panggitna;

percentile,

dalas ng polygon,

bar chart.

Populasyon - isang malaking istatistikal na populasyon kung saan napili ang bahagi ng mga bagay para sa pananaliksik

(Halimbawa: ang buong populasyon ng rehiyon, mga estudyante sa unibersidad ng isang partikular na lungsod, atbp.)

Sample (sample na populasyon) - isang hanay ng mga bagay na pinili mula sa pangkalahatang populasyon.

Serye ng pagkakaiba-iba - istatistikal na pamamahagi na binubuo ng mga variant (mga halaga ng isang random na variable) at ang kanilang kaukulang mga frequency.

Halimbawa:

X , kg

m

x - halaga ng isang random na variable (mass ng mga batang babae na may edad na 10 taon);

m - dalas ng paglitaw.

Fashion – ang halaga ng random variable na tumutugma sa pinakamataas na dalas ng paglitaw. (Sa halimbawa sa itaas, ang fashion ay tumutugma sa halaga na 24 kg, ito ay mas karaniwan kaysa sa iba: m = 20).

Median – ang halaga ng isang random na variable na naghahati sa pamamahagi sa kalahati: kalahati ng mga halaga ay matatagpuan sa kanan ng median, kalahati (wala na) - sa kaliwa.

Halimbawa:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Sa halimbawa ay naobserbahan namin ang 40 mga halaga ng isang random na variable. Ang lahat ng mga halaga ay nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod, na isinasaalang-alang ang dalas ng kanilang paglitaw. Makikita mo na sa kanan ng naka-highlight na value 7 ay 20 (kalahati) ng 40 value. Samakatuwid, 7 ang median.

Upang makilala ang scatter, makikita namin ang mga halaga na hindi mas mataas kaysa sa 25 at 75% ng mga resulta ng pagsukat. Ang mga halagang ito ay tinatawag na ika-25 at ika-75 mga percentile . Kung hinati ng median ang pamamahagi sa kalahati, ang ika-25 at ika-75 na porsyento ay puputulin ng isang quarter. (Ang median mismo, sa pamamagitan ng paraan, ay maaaring ituring na 50th percentile.) Gaya ng makikita mula sa halimbawa, ang 25th at 75th percentile ay katumbas ng 3 at 8, ayon sa pagkakabanggit.

Gamitin discrete (punto) istatistikal na pamamahagi at tuloy-tuloy (interval) istatistikal na pamamahagi.

Para sa kalinawan, ang mga istatistikal na pamamahagi ay inilalarawan nang grapiko sa anyo saklaw ng dalas o kaya - histograms .

Polygon ng dalas - isang sirang linya, ang mga segment kung saan kumokonekta ang mga punto na may mga coordinate ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., o para sa relatibong dalas ng polygon – may mga coordinate ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(Fig.1).

mm i / nf(x)

x x

Fig.1 Fig.2

Histogram ng dalas - isang hanay ng mga katabing parihaba na binuo sa isang tuwid na linya (Larawan 2), ang mga base ng mga parihaba ay pareho at pantay dx , at ang mga taas ay katumbas ng ratio ng dalas sa dx , o R * Upang dx (probability density).

Halimbawa:

x, kg

"Mga Yunit ng pagsukat ng mga pisikal na dami" - Ang ganap na error ay katumbas ng kalahati ng halaga ng paghahati ng aparato sa pagsukat. Micrometer. Ang resulta ay nakuha nang direkta gamit ang aparato ng pagsukat. Haba ng kahon: 4 cm na may kakulangan, 5 cm na may labis. Para sa bawat pisikal na dami mayroong kaukulang mga yunit ng pagsukat. Panoorin. Kamag-anak na error.

"Mga halaga ng haba" - 2. Anong mga dami ang maaaring ihambing sa isa't isa: 2. Ipaliwanag kung bakit nalulutas ang sumusunod na problema gamit ang karagdagan: 2. Bigyang-katwiran ang pagpili ng aksyon kapag nilulutas ang problema. Ilang pakete ang nakuha mo? Ilang panulat ang nasa tatlo sa mga kahon na ito? Ang mga damit ay ginawa mula sa 12 m ng tela, gamit ang 4 m para sa bawat isa. Ilang damit ang ginawa?

"Mga pisikal na dami" - Ang mga hangganan na naghihiwalay sa pisika at iba pang mga natural na agham ay may kundisyon sa kasaysayan. Ang resulta ng anumang pagsukat ay palaging naglalaman ng ilang error. Bagong paksa. Bilis. Pakikipag-ugnayan ng mga katawan. Ang mga pisikal na batas ay ipinakita sa anyo ng mga quantitative na relasyon na ipinahayag sa wika ng matematika. Error sa pagsukat.

"Bilang bilang resulta ng pagsukat ng dami" - "Bilang bilang resulta ng pagsukat ng dami" aralin sa matematika sa ika-1 baitang. Pagsukat ng haba ng isang segment gamit ang isang panukat.

"Mga Numero at dami" - Panimula sa konsepto ng masa. Paghahambing ng masa nang walang mga sukat. Romanong nakasulat na pagnunumero. Kapasidad. Matututuhan ng mag-aaral ang: Mga numero at dami (30 oras) Coordinate ray Ang konsepto ng coordinate ray. Nakaplanong resulta ng paksa para sa seksyong "Mga Numero at Dami" sa ika-2 baitang. Ang pangkalahatang prinsipyo ng pagbuo ng mga kardinal na numero sa loob ng mga limitasyon ng mga pinag-aralan na numero.

"Halaga ng demand" - Mga dahilan para sa mga pagbabago sa demand. Ang DD curve na nakuha sa graph (mula sa English na demand - "demand") ay tinatawag na demand curve. Elastic demand (Epd>1). Dami ng demand. Mga salik na nakakaimpluwensya sa demand. Ang dependence ng quantity demanded sa antas ng presyo ay tinatawag na demand scale. Ganap na hindi elastikong demand (Epd=0).