Sınava hazırlanıyor. Logaritmik ve üstel eşitsizliklerin rasyonelleştirme yöntemi ile çözümü. Manov'un çalışması "sınavdaki logaritmik eşitsizlikler" Logaritmik eşitsizliklerin çözümü profil seviyesini inceliyor
Bölümler: Matematik
Genellikle karar verirken logaritmik eşitsizlikler, logaritmanın değişken bir tabanıyla ilgili sorunlar var. Yani, formun eşitsizliği
standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, çözmek için eşdeğer bir sistem setine geçiş uygulanır:
Bu yöntemin dezavantajı, iki sistemi ve bir seti saymamak, yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Zaten belirli ikinci dereceden fonksiyonlarla, bir seti çözmek zaman alıcı olabilir.
Bu standart eşitsizliği çözmenin alternatif, daha az zahmetli bir yolu önerilebilir. Bunun için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.
Teorem 1. X kümesinde sürekli artan bir fonksiyona izin verin. Sonra bu sette, fonksiyonun artışının işareti, argümanın artışının işareti ile çakışacaktır, yani, nerede 
.
Not: X setinde sürekli bir azalma işlevi varsa, o zaman.
Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya gidelim (sabit tabanı birden büyük olan herhangi birine gidebilirsiniz).
Şimdi teoremi kullanabilirsiniz, payda fonksiyonların artışına dikkat edin 
ve paydada. Bu yüzden doğru
Sonuç olarak, yanıta götüren hesaplamaların sayısı yaklaşık olarak yarıya iner, bu sadece zaman kazandırmakla kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve "dikkatsizlik" hatası yapmanıza da olanak tanır.
Örnek 1.
(1) ile karşılaştırdığımızda 
, 
, .
(2) 'ye geçersek:
Örnek 2.
(1) ile karşılaştırıldığında ,,.
(2) 'ye geçersek:
Örnek 3.
Eşitsizliğin sol tarafı artan bir işlev olduğundan ve 
, sonra cevap belirlenir.
Teorem 1'in uygulanabileceği örnekler seti, Teorem 2 hesaba katılırsa kolayca genişletilebilir.
Sette bırak X fonksiyonlar ,,, ve bu sette işaretler ve örtüşür, yani o zaman adil olacak.
Örnek 4.
Örnek 5.
Standart yaklaşımla, örnek şemaya göre çözülür: faktörler farklı işaretlere sahip olduğunda ürün sıfırdan küçüktür. Şunlar. Başlangıçta belirtildiği gibi, her eşitsizliğin yediye bölündüğü iki eşitsizlik sistemi göz önünde bulundurulur.
Teorem 2'yi hesaba katarsak, (2) 'yi hesaba katarsak, faktörlerin her biri, bu örnekte O.D.Z.'de aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.
Teorem 2'yi hesaba katarak, bir fonksiyonun artışını argümanın bir artışıyla değiştirme yöntemi, muayenenin tipik C3 problemlerini çözerken çok uygun olduğu ortaya çıktı.
Örnek 6.
Örnek 7.
... Gösterelim. Biz alırız
... Değiştirmenin şu anlama geldiğine dikkat edin: Denkleme dönersek,
.
Örnek 8.
Kullandığımız teoremlerde, fonksiyon sınıfları üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede, örneğin, teoremler logaritmik eşitsizliklerin çözümüne uygulanmıştır. Sonraki birkaç örnek, diğer eşitsizlik türlerini çözme yönteminin vaat ettiğini gösterecektir.
KULLANIMDA LOGARİTMİK EŞİTSİZLİKLER
Sechin Mikhail Alexandrovich
Kazakistan Cumhuriyeti "Arayıcı" öğrencileri için Küçük Bilimler Akademisi
MBOU "Sovetskaya orta öğretim okulu №1", 11. sınıf, kasaba. Sovetsky Bölgesi
Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU "Sovyet okulu №1" öğretmeni
Sovyet bölgesi
Amaç: standart olmayan yöntemler kullanarak C3 logaritmik eşitsizlikleri çözme mekanizmasının araştırılması, ilginç gerçekler logaritma.
Çalışma konusu:
3) Standart olmayan yöntemler kullanarak spesifik C3 logaritmik eşitsizlikleri çözmeyi öğrenin.
Sonuçlar:
içerik
Giriş ………………………………………………………………………… .4
Bölüm 1. Arka Plan ………………………………………………… ... 5
Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması ………………………… 7
2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi …………… 7
2.2. Rasyonelleştirme yöntemi ………………………………………………… 15
2.3. Standart dışı ikame ……………… .......................................... ..... 22
2.4. Tuzak Görevleri ………………………………………………… 27
Sonuç …………………………………………………………………… 30
Edebiyat……………………………………………………………………. 31
Giriş
11. sınıftayım ve bir üniversiteye girmeyi planlıyorum. profil konusu matematiktir. Bu nedenle, C bölümündeki problemlerle çok çalışıyorum. Görev C3'te, standart olmayan bir eşitsizliği veya genellikle logaritmalarla ilişkili bir eşitsizlikler sistemini çözmeniz gerekir. Sınava hazırlanırken, C3'te sunulan sınav logaritmik eşitsizliklerini çözmek için yöntem ve tekniklerin eksikliği sorunuyla karşılaştım. Öğrenilen yöntemler okul müfredatı bu konuda, C3 görevlerini çözmek için bir temel sağlamayın. Matematik öğretmeni beni onun rehberliğinde C3 görevleriyle tek başıma çalışmaya davet etti. Ayrıca şu soruyla da ilgilenmiştim: Hayatımızda logaritmalar var mı?
Bunu akılda tutarak konu seçildi:
"Sınavdaki logaritmik eşitsizlikler"
Amaç: logaritmanın ilginç gerçeklerini ortaya çıkaran standart olmayan yöntemler kullanarak C3 problemlerini çözme mekanizmasının incelenmesi.
Çalışma konusu:
1) Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemler hakkında gerekli bilgileri bulun.
2) Logaritmalar hakkında daha fazla bilgi bulun.
3) Standart olmayan yöntemler kullanarak belirli C3 problemlerini çözmeyi öğrenin.
Sonuçlar:
Pratik önemi, C3 problemlerini çözmek için aparatın genişletilmesinde yatmaktadır. Bu materyal, matematikte daireler, ders dışı etkinlikler için bazı derslerde kullanılabilir.
Proje ürünü, "Çözümlerle birlikte Logaritmik C3 eşitsizlikleri" koleksiyonu olacaktır.
Bölüm 1. Arka Plan
16. yüzyıl boyunca, başta astronomi olmak üzere yaklaşık hesaplamaların sayısı hızla arttı. Aletleri geliştirmek, gezegen hareketlerini incelemek ve diğer işler muazzam, bazen yıllarca süren hesaplamalar gerektiriyordu. Astronomi, yerine getirilmeyen hesaplamalarda boğulma tehlikesiyle karşı karşıyaydı. Diğer alanlarda, örneğin sigorta işinde, çeşitli faiz değerleri için bileşik faiz tablolarına ihtiyaç duyuldu. Ana zorluk, çarpma, çok basamaklı sayıların bölünmesi, özellikle trigonometrik büyüklükler ile temsil edildi.
Logaritmaların keşfi, 16. yüzyılın sonunda ilerlemelerin iyi bilinen özelliklerine dayanıyordu. Arşimet, Q, q2, q3, ... geometrik ilerlemesinin üyeleri ve Mezmur'daki üsleri 1, 2, 3, ... arasındaki aritmetik ilerlemeden bahsetti. Diğer bir ön koşul, derece kavramının negatif ve kesirli göstergelere genişletilmesiydi. Birçok yazar, bir kökün çarpma, bölme, üs alma ve çıkarma işlemlerinin aritmetiğe - aynı sırayla - toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile üstel olarak karşılık geldiğini belirtmiştir.
Bu, bir üs olarak logaritmanın arkasındaki fikirdi.
Logaritma doktrininin gelişiminin tarihinde birkaç aşama geçti.
1. Aşama
Logaritmalar en geç 1594'te İskoç baron Napier (1550-1617) tarafından bağımsız olarak ve on yıl sonra İsviçreli mekanikçi Burghi (1552-1632) tarafından icat edildi. Her ikisi de, bu göreve farklı şekillerde yaklaşmış olsalar da, aritmetik hesaplamalar için yeni ve uygun bir araç vermek istedi. Neper, logaritmik fonksiyonu kinematik olarak ifade etti ve böylece yeni bir fonksiyon teorisi alanına girdi. Burghi, ayrık ilerlemeleri dikkate alma temelinde kaldı. Bununla birlikte, her ikisi için logaritmanın tanımı modern olana benzemiyor. "Logaritma" (logaritma) terimi Napier'e aittir. Yunanca kelimelerin bir kombinasyonundan ortaya çıktı: logos - "ilişki" ve ariqmo - "ilişki sayısı" anlamına gelen "sayı". Başlangıçta, Napier farklı bir terim kullandı: numeri artificiales - "yapay sayılar", numeri naturalts yerine "doğal sayılar".
1615'te, Londra'daki Gresch Koleji'nde matematik profesörü olan Henry Briggs (1561-1631) ile yaptığı bir konuşmada Napier, logaritmanın logaritması için sıfır ve on'un logaritması için 100, ya da aynı şeye varan basitçe 1'i almayı önerdi. Ondalık logaritmalar bu şekilde ortaya çıktı ve ilk logaritmik tablolar yazdırıldı. Daha sonra Briggs tabloları Hollandalı kitapçı ve matematik aşığı Andrian Flakk (1600-1667) tarafından tamamlandı. Napier ve Briggs, logaritmaya herkesten daha erken gelseler de tablolarını diğerlerinden daha sonra yayınladılar - 1620'de. Log ve Log işaretleri 1624'te I. Kepler tarafından tanıtıldı. "Doğal logaritma" terimi 1659'da Mengoli tarafından, ardından 1668'de N. Mercator tarafından tanıtıldı ve Londralı öğretmen John Speidel "Yeni Logaritmalar" başlığı altında 1'den 1000'e kadar sayıların doğal logaritma tablolarını yayınladı.
Rusça'daki ilk logaritmik tablolar 1703'te yayınlandı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplamada hatalar yapılmıştır. İlk hatasız tablolar, Alman matematikçi K. Bremiker (1804-1877) tarafından 1857'de Berlin'de yayınlandı.
2. aşama
Logaritma teorisinin daha da geliştirilmesi, analitik geometri ve sonsuz küçük analizin daha geniş bir uygulamasıyla ilişkilidir. Bir eşkenar hiperbolün karesi ile doğal logaritma arasında bir bağlantı kurulması o zamana kadar uzanır. Bu dönemin logaritma teorisi, bir dizi matematikçinin isimleriyle ilişkilidir.
Kompozisyonda Alman matematikçi, astronom ve mühendis Nikolaus Mercator
"Logaritmik teknik" (1668), ln (x + 1) in genişlemesini veren bir seri verir.
x'in üsleri:
Bu ifade, düşüncesinin gidişatına tam olarak karşılık gelir, ancak elbette, d, ... işaretlerini kullanmamış, ancak daha hantal semboller kullanmıştır. Logaritmik serilerin keşfedilmesiyle, logaritmaları hesaplama tekniği değişti: sonsuz seriler kullanılarak belirlenmeye başlandı. 1907-1908'de verilen "En Yüksek Bakış Açısından İlköğretim Matematik" derslerinde F. Klein, formülü logaritma teorisini inşa etmek için bir başlangıç \u200b\u200bnoktası olarak kullanmayı önerdi.
Sahne 3
Tanım logaritmik fonksiyon tersin bir fonksiyonu olarak
üstel, belirli bir tabanın derecesinin bir göstergesi olarak logaritma
hemen formüle edilmedi. Leonard Euler Tarafından Kompozisyon (1707-1783)
Sonsuz Küçük (1748) Analizine Giriş
logaritmik fonksiyon teorisinin gelişimi. Böylece,
logaritmaların ilk tanıtılmasının üzerinden 134 yıl geçti
(1614'ten itibaren) matematikçiler tanıma gelmeden önce
şimdi okul dersinin temeli olan logaritma kavramı.
Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması
2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi.
Eşdeğer geçişler
eğer a\u003e 1
0 ise <
а <
1
Genelleştirilmiş aralık yöntemi
Bu yöntem, hemen hemen her türden eşitsizliği çözmek için çok yönlüdür. Çözüm şeması şuna benzer:
1. Eşitsizliği, işlevin 
ve sağda 0.
2. Fonksiyonun etki alanını bulun .
3. İşlevin sıfırlarını bulun yani denklemi çözmek için 
(ve bir denklemi çözmek genellikle bir eşitsizliği çözmekten daha kolaydır).
4. Sayı doğrusu üzerine fonksiyonun etki alanını ve sıfırlarını çizin.
5. İşlevin işaretlerini belirleyin elde edilen aralıklarla.
6. Fonksiyonun gerekli değerleri aldığı aralıkları seçin ve cevabı yazın.
Örnek 1.
Karar:
Boşluk yöntemini uygulayalım
nereden
Bu değerler için, logaritma işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitiftir.
Cevap:
Örnek 2.
Karar:
1 inci yol . ODZ eşitsizlikle belirlenir x \u003e 3. Bunun için logaritmayı almak x baz 10, anlıyoruz
Son eşitsizlik, ayrıştırma kuralları uygulanarak çözülebilir, örn. faktörlerin sıfır ile karşılaştırılması. Bununla birlikte, bu durumda, fonksiyonun sabitlik aralıklarını belirlemek kolaydır.
bu nedenle, aralık yöntemini uygulayabilirsiniz.
fonksiyon f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ sürekli x \u003e 3 ve noktalarda kaybolur x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Böylece, fonksiyonun sabitlik aralıklarını tanımlarız. f(x):
Cevap:
2. yol . Aralıklar yönteminin fikirlerini doğrudan orijinal eşitsizliğe uygulayalım.
Bunu yapmak için, ifadelerin bir b - bir c ve ( bir - 1)(b - 1) bir işaret var. O zaman eşitsizliğimiz x \u003e 3 eşitsizliğe eşdeğerdir
veya
Son eşitsizlik aralıklar yöntemi ile çözülür
Cevap:
Örnek 3.
Karar:
Boşluk yöntemini uygulayalım
Cevap:
Örnek 4.
Karar:
2'den beri x 2 - 3x Tüm gerçek için + 3\u003e 0 xsonra
İkinci eşitsizliği çözmek için aralıklar yöntemini kullanıyoruz
İlk eşitsizlikte, değiştirmeyi yapıyoruz
sonra 2y 2 eşitsizliğine ulaşıyoruz - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y-0.5 eşitsizliği karşılayan< y < 1.
Nereden beri
eşitsizliği elde ederiz
bunlarla yapılan xhangi 2 için x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Şimdi, sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümünü hesaba katarak, nihayet elde ediyoruz
Cevap:
Örnek 5.
Karar:
Eşitsizlik bir dizi sisteme eşdeğerdir
veya
Aralık yöntemini uygulayalım veya
Cevap:
Örnek 6.
Karar:
Eşitsizlik sisteme eşdeğerdir
İzin vermek
sonra y > 0,
ve ilk eşitsizlik
sistem formu alır
veya genişleterek
çarpanlara göre üç terimli kare,
Son eşitsizliğe aralık yöntemini uygulamak,
çözümlerinin koşulu karşıladığını görüyoruz y \u003e 0 hepsi olacak y > 4.
Dolayısıyla, orijinal eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:
Yani, eşitsizliğe yönelik çözümlerin hepsi
2.2. Rasyonelleştirme yöntemi.
Daha önce, eşitsizliği rasyonelleştirme yöntemi çözülmüyordu, bilinmiyordu. Bu, "üstel ve logaritmik eşitsizlikleri çözmek için yeni ve modern bir etkili yöntemdir" (S.I. Kolesnikova'nın kitabından alıntı)
Ve öğretmen onu tanıyor olsa bile, bir endişe vardı - sınav görevlisi onu tanıyor mu ve neden okulda verilmiyor? Öğretmenin öğrenciye "Nereden aldın? Otur - 2." dediği durumlar oldu.
Şimdi yöntem yaygın olarak tanıtılmaktadır. Ve uzmanlar için bu yöntemle ilgili yönergeler vardır ve C3 çözümünde "Model varyantlarının en eksiksiz sürümlerinde ..." bu yöntem kullanılır.
HARİKA YÖNTEM!
"Sihirli masa"
Diğer kaynaklarda
eğer bir a\u003e 1 ve b\u003e 1, sonra log a b\u003e 0 ve (a -1) (b -1)\u003e 0;
eğer bir a\u003e 1 ve 0 0 ise<bir<1 и b
>1, sonra log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
0 ise<bir<1 и 00 ve (a -1) (b -1)\u003e 0. Yukarıdaki mantık basittir, ancak logaritmik eşitsizliklerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir. Örnek 4.
günlük x (x 2 -3)<0
Karar:
Örnek 5.
günlük 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Karar: Örnek 6.
Bu eşitsizliği çözmek için payda yerine (x-1-1) (x-1) ve pay yerine - çarpım (x-1) (x-3-9 + x) yazıyoruz. Örnek 7.
Örnek 8.
2.3. Standart olmayan ikame. Örnek 1.
Örnek 2.
Örnek 3.
Örnek 4.
Örnek 5.
Örnek 6.
Örnek 7.
günlük 4 (3 x -1) günlük 0.25 Yerini y \u003d 3 x -1 yapalım; sonra bu eşitsizlik biçimini alır Günlük 4 günlük 0.25 Gibi günlük 0.25 T \u003d log 4 y değişimini yaparız ve çözümü aralıklar olan t 2 -2t + ≥0 eşitsizliğini elde ederiz - Böylece, y'nin değerlerini bulmak için, en basit iki eşitsizliğe sahibiz Bu nedenle, orijinal eşitsizlik, iki üstel eşitsizlik kümesine eşdeğerdir, Bu kümenin ilk eşitsizliğinin çözümü 0 aralığıdır<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Örnek 8.
Karar:
Eşitsizlik sisteme eşdeğerdir DHS'yi belirleyen ikinci eşitsizliğin çözümü, x,
kimin için x > 0.
İlk eşitsizliği çözmek için değişikliği yapıyoruz Sonra eşitsizliği elde ederiz veya Son eşitsizliğe çözüm kümesi, yöntemle bulunur aralıklar: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, anlıyoruz veya Bunların çoğu xson eşitsizliği tatmin eden oDZ'ye aittir ( x \u003e 0), bu nedenle, sistem için bir çözümdür ve dolayısıyla orijinal eşitsizlik. Cevap: 2.4. Tuzak görevleri. Örnek 1.
Karar. ODZ eşitsizliklerinin tümü x, 0 koşulunu karşılar Örnek 2.
günlük 2 (2 x + 1-x 2)\u003e günlük 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Cevap... (0; 0.5) U.
Cevap :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, sonra son eşitsizliği 2log 4 y -log 4 2 y ≤ olarak yeniden yazın.
Bu setin çözümü 0 aralıklarıdır<у≤2 и 8≤у<+.
yani bütünlük 
... Böylece, orijinal eşitsizlik 0 aralıklarından tüm x değerleri için geçerlidir.<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Bu nedenle, 0 aralığındaki tüm x
Sonuç
Çok sayıda farklı eğitim kaynağından C3 problemlerini çözmek için özel yöntemler bulmak kolay değildi. Yapılan çalışma sırasında, karmaşık logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemleri inceleyebildim. Bunlar: eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi, rasyonelleştirme yöntemi , standart olmayan ikame , oDZ'de tuzaklı görevler. Bu yöntemler okul müfredatında yoktur.
Farklı yöntemler kullanarak, sınavda önerilen 27 eşitsizliği C bölümünde, yani C3'ü çözdüm. Yöntemlerle çözümlerle bu eşitsizlikler, çalışmalarımın proje ürünü olan "Çözümlerle Logaritmik C3 eşitsizlikleri" koleksiyonunun temelini oluşturdu. Projenin başında ortaya koyduğum hipotez doğrulandı: C3 görevleri bu yöntemler bilerek etkili bir şekilde çözülebilir.
Ek olarak, logaritmalar hakkında ilginç gerçekler buldum. Bunu yapmak benim için ilginçti. Tasarım ürünlerim hem öğrenciler hem de öğretmenler için faydalı olacak.
Sonuç:
Böylelikle projenin belirlenen hedefine ulaşılmış, sorun çözülmüştür. Ve işin her aşamasında proje faaliyetlerinde en eksiksiz ve çok yönlü deneyime sahip oldum. Proje üzerindeki çalışma sırasında, temel gelişimsel etkim zihinsel yeterlilik, mantıksal zihinsel işlemlerle ilgili faaliyetler, yaratıcı yeterliliğin geliştirilmesi, kişisel inisiyatif, sorumluluk, sebat ve faaliyet üzerineydi.
İçin bir araştırma projesi oluştururken bir başarı garantisi Ben: önemli okul deneyimi, çeşitli kaynaklardan bilgi alma, güvenilirliğini kontrol etme, önem sırasına göre sıralama yeteneği oldum.
Matematikte doğrudan konu bilgisine ek olarak, bilgisayar bilimi alanındaki pratik becerilerini genişletti, psikoloji alanında yeni bilgi ve deneyim kazandı, sınıf arkadaşları ile bağlantılar kurdu ve yetişkinlerle işbirliği yapmayı öğrendi. Proje faaliyetleri sırasında örgütsel, entelektüel ve iletişimsel genel eğitim becerileri ve becerileri geliştirildi.
Edebiyat
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Tek değişkenli eşitsizlik sistemleri (tipik görevler C3).
2. Malkova AG Matematik sınavına hazırlık.
3. Samarova SS Logaritmik eşitsizliklerin çözümü.
4. Matematik. A.L. tarafından düzenlenen eğitim çalışmaları koleksiyonu. Semyonov ve I.V. Yashchenko. -M .: MTsNMO, 2009. - 72 s. -
Makale, 2017 için matematikte KULLANIM profilinden 15 görevin analizine ayrılmıştır. Bu görevde öğrencilere, çoğunlukla logaritmik eşitsizlikleri çözmeleri önerilmektedir. Gösterge olsa da. Bu makale, logaritmanın tabanında bir değişken içerenler de dahil olmak üzere, logaritmik eşitsizlik örneklerinin bir analizini sağlar. Tüm örnekler matematikte (profil) açık KULLANIM görev bankasından alınmıştır, bu nedenle bu tür eşitsizlikler sınavda görev 15 olarak karşınıza çıkacaktır. Profilin ikinci bölümünden görev 15'i nasıl çözeceğini öğrenmek isteyenler için idealdir. sınavdan daha fazla puan almak için matematikte.
Matematikte profil sınavından 15 görevin analizi
| Örnek 1. Eşitsizliği çözün: |
15. matematik sınavının (profil) görevlerinde, logaritmik eşitsizlikler sıklıkla karşılaşılmaktadır. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü, kabul edilebilir değerlerin aralığını belirlemekle başlar. Bu durumda, her iki logaritmanın temelinde de değişken yoktur, yalnızca görevi büyük ölçüde basitleştiren 11 sayısı vardır. Bu nedenle, burada sahip olduğumuz tek sınırlama, logaritma işareti altındaki her iki ifadenin de pozitif olmasıdır:
Title \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Sistemdeki ilk eşitsizlik kare eşitsizliğidir. Çözmek için, sol tarafı faktörlere ayırmaktan gerçekten zarar gelmez. Sanırım formun herhangi bir kare üç terimli olduğunu biliyorsunuz 
aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılmıştır:
denklemin kökleri ve nerede. Bu durumda, katsayı 1'dir (bu, önündeki sayısal katsayıdır). Katsayı da 1'dir ve katsayı bir kesişimdir, -20'dir. Bir üç terimliğin kökleri en kolay şekilde Vieta teoremi ile belirlenir. Verdiğimiz denklem, o zaman köklerin toplamı, zıt işaretli katsayıya, yani -1'e eşit olacak ve bu köklerin çarpımı, katsayıya, yani -20'ye eşit olacaktır. Köklerin -5 ve 4 olacağını tahmin etmek kolaydır.
Artık eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılabilir: title \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X -5 ve 4 noktalarında. Bu nedenle, eşitsizliğin istenen çözümü bir aralıktır. Burada yazılanları anlamayanlar için videodaki detayları bu andan başlayarak görebilirsiniz. Orada ayrıca sistemin ikinci eşitsizliğinin nasıl çözüldüğüne dair ayrıntılı bir açıklama bulacaksınız. Çözülüyor. Dahası, cevap, sistemin ilk eşitsizliği ile tamamen aynı. Yani, yukarıda yazılan küme, kabul edilebilir eşitsizlik değerlerinin bölgesidir.
Öyleyse, çarpanlara ayırmayı hesaba katarak, orijinal eşitsizlik şu biçimi alır:
Formülü kullanarak, 11'i ilk logaritmanın işareti altındaki ifadenin kuvvetine getiriyoruz ve ikinci logaritmayı eşitsizliğin sol tarafına, işaretini tersine değiştirirken:
İndirgemeden sonra:
Artan işlev nedeniyle son eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğerdir 
çözümü aralığı olan 
... Eşitsizliğin kabul edilebilir değerleri ile kesişmeye devam ediyor ve bu tüm görevin cevabı olacak.
Yani, görev için istenen cevap:
Bu görevi bulduk, şimdi matematikte 15 KULLANIM görevinin bir sonraki örneğine (profil) dönüyoruz.
| Örnek 2. Eşitsizliği çözün:
|
Çözüme, bu eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığını belirleyerek başlıyoruz. Her logaritmanın tabanında 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olmalıdır. Logaritma işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olmalıdır. Kesrin paydasında sıfır olmamalıdır. Son koşul buna eşdeğerdir, çünkü aksi halde paydadaki her iki logaritma da yok olur. Tüm bu koşullar, aşağıdaki eşitsizlikler sistemiyle tanımlanan bu eşitsizliğin kabul edilebilir değer aralığını belirler:
Title \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Geçerli değerler aralığında, eşitsizliğin sol tarafını basitleştirmek için logaritma dönüşüm formüllerini kullanabiliriz. Formülü kullanarak 
paydadan kurtulun:
Şimdi sadece temel logaritmalarımız var. Bu zaten daha uygun. Ardından, ihtişamlı ifadeyi aşağıdaki forma getirmek için formülü ve ayrıca formülü kullanıyoruz:
Hesaplamalarda, kabul edilebilir değerler aralığında olanı kullandık. Değiştirmeyi kullanarak ifadeye ulaşırız:
Bir yedek daha kullanıyoruz: Sonuç olarak şu sonuca varıyoruz:
Böylece, yavaş yavaş orijinal değişkenlere dönüyoruz. İlk olarak değişkene:
