Пряма лінія. Паралельні прямі. Основні поняття. Ознаки паралельності двох прямих. Властивості паралельних прямих Перша ознака паралельності двох прямих

Паралельність двох прямих можна довести на основі теореми, згідно з якою, два проведені перпендикуляри по відношенню до однієї прямої, будуть паралельні. Існують певні ознаки паралельності прямих - всього їх три, і всі ми розглянемо більш конкретно.

Перша ознака паралельності

Прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямої, утворені внутрішні кути, що лежать навхрест, будуть рівні.

Припустимо, при перетині прямих АВ та СD прямою лінією ЕF, були утворені кути /1 та /2. Вони рівні, тому що пряма лінія ЕF проходить під одним ухилом по відношенню до двох інших прямих. У місцях перетину ліній, ставимо точки Кі L – у нас вийшов відрізок секучої ЕF. Знаходимо його середину та ставимо точку О (чорт. 189).

На пряму АВ опускаємо перпендикуляр із точки О. Назвемо його ОМ. Продовжуємо перпендикуляр доти, доки він не перетнеться з прямої СD. В результаті, первісна пряма АВ строго перпендикулярна МN, а це означає, що і СD_|_МN, але це твердження вимагає доказу. В результаті проведення перпендикуляра та лінії перетину, у нас утворилося два трикутники. Один із них – МОЄ, другий – NОК. Розглянемо їх докладніше. ознаки паралельності прямих 7 клас

Дані трикутники рівні, оскільки, відповідно до умов теореми, /1 =/2, а відповідно до побудови трикутників, сторона ОК = стороні ОL. Кут МОL =/NОК, оскільки це вертикальні кути. З цього випливає, що сторона і два кути, що прилягають до неї одного з трикутників відповідно, рівні стороні і двом кутам, що прилягають до неї, іншого з трикутників. Отже, трикутник МОL =трикутникуNОК, отже, і кут LМО = куті КNО, але відомо, що/LМО прямий, отже, і відповідний йому, кут КNО теж прямий. Тобто нам вдалося довести, що до прямої МN, як пряма АВ, так і пряма СD перпендикулярні. Тобто, АВ та СD по відношенню один до одного є паралельними. Це нам і потрібно було довести. Розглянемо інші ознаки паралельності прямих (7 клас), які від першого ознаки за способом доказу.

Друга ознака паралельності

Згідно з другою ознакою паралельності прямих, нам необхідно довести, що кути, отримані в процесі перетину паралельних прямих АВ і СD прямий ЕF, будуть рівними. Таким чином, ознаки паралельності двох прямих, як перший, так і другий, ґрунтується на рівні кутів, одержуваних при перетині їх третьою лінією. Припускаємо, що /3 = /2, а кут 1 = /3, оскільки він вертикальний. Таким чином, і /2 дорівнюватиме куту1, проте слід враховувати, що як кут 1, так і кут 2 є внутрішніми, навхрест лежачими кутами. Отже, нам залишається застосувати свої знання, а саме те, що два відрізки будуть паралельними, якщо при їх перетині третьої прямої утворені, навхрест кути, що лежать, будуть рівними. Отже, ми з'ясували, що АВ || СD.

Нам вдалося довести, що за умови паралельності двох перпендикулярів до однієї прямої, відповідно до відповідної теореми, ознака паралельності прямих очевидна.

Третя ознака паралельності

Існує ще й третя ознака паралельності, яка доводиться за допомогою суми односторонніх внутрішніх кутів. Такий доказ ознаки паралельності прямих дозволяє зробити висновок, що дві прямі будуть паралельні, якщо при перетині їх третя пряма, сума отриманих односторонніх внутрішніх кутів, дорівнюватиме 2d. рисунок 192. Див.

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині та у просторі, введено позначення, наведено приклади та графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних завдань на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої прямокутної системи координат на площині і в тривимірному просторі.

Навігація на сторінці.

Паралельні прямі основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Визначення.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Зауважте, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих у просторі дуже важливе. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї листа зошита лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площину стелі та підлоги, є паралельними. Залізничні колії на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовується символ «». Тобто якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, можна сказати, що пряма a паралельна прямий b , і навіть, що пряма b паралельна прямий a .

Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль щодо паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ можна знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний наприкінці статті у списку літератури).

Для випадку у просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.

Паралельність прямих - ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямихє достатня умова паралельності прямих, тобто така умова, виконання якої гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні та достатні умови паралельності прямих на площині та у тривимірному просторі.

Пояснимо зміст фрази «необхідна та достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що таке «необхідна умова паралельності прямих»? За назвою "необхідне" зрозуміло, що виконання цієї умови необхідне для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не є паралельними. Таким чином, необхідна та достатня умова паралельності прямих- Це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, з другого боку – це властивість, яким мають паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну та достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Поточна пряма- Це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих. У формулюванні необхідної та достатньої умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежачі, відповідніі односторонні кути. Покажемо їх на кресленні.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січній, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест кути, що лежали, були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусів.

Покажемо графічну ілюстрацію цієї необхідної та достатньої умови паралельності прямих на площині.

Докази цих умов паралельності прямих можна знайти у підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі та січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються за доказом паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умова паралельності прямих у тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі у просторі паралельні третьої прямої, всі вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії у 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні.

Зобразимо малюнки, які відповідають цим теоремам.

Всі сформульовані вище теореми, ознаки та необхідні та достатні умови чудово підходять для доказу паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третьої прямої, або показати рівність навхрест кутів, що лежать, і т.п. Безліч подібних завдань вирішується під час уроків геометрії у неповній середній школі. Однак слід зазначити, що у багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доказу паралельності прямих на площині або тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямих, які задані у прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні та достатні умови паралельності прямиху прямокутній системі координат залежно від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні розв'язки характерних завдань.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині прямокутної системі координат Oxy . В основі його доказу лежить визначення напрямного вектора прямої та визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох неспівпадаючих прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або напрямний вектор однієї прямої був перпендикулярний до нормального вектора другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і - напрямні вектори прямих a і b а і - нормальні вектори прямих a та b відповідно, то необхідна та достатня умова паралельності прямих а та b запишеться як , або , або де t - деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних та (або) нормальних векторів прямих a та b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a у прямокутній системі координат Oxy на площині задає загальне рівняння прямого виду , а пряму b - то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямий з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b - , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде вигляду . Отже, якщо прямі на площині прямокутної системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти прямих будуть рівні. І навпаки: якщо прямі, що не збігаються, на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a та пряму b у ​​прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині виду і , або параметричні рівняння прямої на площині виду і відповідно, напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Чи паралельні прямі і?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння прямої: . Тепер видно, що – нормальний вектор прямий , а нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, тому що не існує такого дійсного числа t, для якого правильна рівність ( ). Отже, не виконується необхідна та достатня умова паралельності прямих на площині, тому задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

приклад.

Чи є прямі та паралельними?

Рішення.

Наведемо канонічний рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: . Вочевидь, що рівняння прямих і однакові (у разі задані прямі були б збігаються) і кутові коефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

Другий спосіб розв'язання.

Спочатку покажемо, що вихідні прямі не збігаються: візьмемо будь-яку точку прямої, наприклад, (0, 1), координати цієї точки не задовольняють рівняння прямої, отже, прямі не збігаються. Тепер перевіримо виконання умови паралельності цих прямих. Нормальний вектор прямої є вектор, а напрямний вектор прямої є вектор. Обчислимо і: . Отже, вектори та перпендикулярні, отже, виконується необхідна та достатня умова паралельності заданих прямих. Таким чином, прямі паралельні.

Відповідь:

Задані прямі паралельні.

Щоб довести паралельність прямих у прямокутній системі координат у тривимірному просторі користуються наступною необхідною та достатньою умовою.

Теорема.

Для паралельності несхожих прямих у тривимірному просторі необхідно і достатньо, щоб їх напрямні вектори були колінеарними.

Таким чином, якщо відомі рівняння прямих у прямокутній системі координат у тривимірному просторі і потрібно відповісти на питання паралельні ці прямі чи ні, потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих і перевірити виконання умови колінеарності напрямних векторів. Іншими словами, якщо і - напрямні вектори прямих a заданих прямих мають координати та . Так як , то. Таким чином, виконано необхідну та достатню умову паралельності двох прямих у просторі. Цим доведено паралельність прямих і .

Список літератури.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
• Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.
• Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Клас: 2

Мета уроку:

• сформувати поняття про паралельність 2-х прямих, розглянути першу ознаку паралельності прямих;
• виробити вміння застосовувати ознаку під час вирішення завдань.

Завдання:

1. Освітні: повторення та закріплення вивченого матеріалу, формування поняття про паралельність 2-х прямих, доказ 1-ї ознаки паралельності 2-х прямих.
2. Виховні: виховувати вміння акуратно вести записи у зошиті та дотримуватись правил побудови креслень.
3. Розвиваючі завдання: розвиток логічного мислення, пам'яті, уваги.

Обладнання уроку:

• мультимедійний проектор;
• екран, презентації;
• креслярські інструменти.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

вітання, перевірка готовності до уроку.

ІІ. Підготовка до активного УПД.

Етап 1.

На першому уроці геометрії ми розглядали взаємне розташування двох прямих на площині.

Запитання.Скільки загальних точок можуть мати дві прямі?
Відповідь.Дві прямі можуть мати або одну загальну точку, або не мають однієї спільної точки.

Запитання.Як будуть розташовані відносно один одного 2 прямі, якщо вони мають одну загальну точку?
Відповідь.Якщо прямі мають одну загальну точку, то вони перетинаються

Запитання.Як розташовані 2 прямі відносно один одного, якщо вони не мають спільних точок?
Відповідь.То у цьому випадку дані прямі не перетинаються.

Етап 2.

На минулому уроці Ви отримали завдання зробити презентацію, де ми зустрічаємося з прямими, що не перетинаються, в нашому житті і в природі. Зараз ми подивимося на ці презентації і виберемо з них найкращі. (До журі увійшли учні, яким через низький інтелект складно створити свої презентації.)

Перегляд презентацій, виконаних учнями: «Паралельність прямих у природі та житті», та вибір з них найкращих.

ІІІ. Активна УПД (пояснення нового матеріалу).

Етап 1.

Малюнок 1

Визначення.Дві прямі на площині, що не перетинаються, називаються паралельними.

На цій таблиці зображені різні випадки розташування 2-х паралельних прямих на площині.

Розглянемо які відрізки будуть паралельними.

Малюнок 2

1) Якщо пряма a паралельна b, то й відрізки AB та CD паралельні.

2) Відрізок може бути паралельний прямий. Так відрізок MN паралельний прямий a.

Малюнок 3

3) Відрізок AB паралельний до променя h. Промінь h паралельний променю k.

4) Якщо пряма a перпендикулярна до прямої c, і пряма b перпендикулярна до прямої c, то прямі a та b паралельні.

Етап 2.

Кути, утворені двома паралельними прямими та січною.

Малюнок 4

Дві паралельні прямі перетинаються третьою прямою у двох точках. У цьому утворюються вісім кутів, позначених малюнку числами.

Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви (див. рисунок 4).

Існує три ознаки, паралельності двох прямих, пов'язані з цими кутами. На цьому уроці ми розглянемо перша ознака.

Етап 3.

Повторимо матеріал, необхідний докази цієї ознаки.

Малюнок 5

Запитання.Як називаються кути, зображені на малюнку 5?
Відповідь.Кути AOC та COB називаються суміжними.

Запитання.Які кути називаються суміжними? Дайте визначення.
Відповідь.Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона є спільною, а дві інші є продовженнями один одного.

Запитання.Яку властивість мають суміжні кути?
Відповідь.Суміжні кути у сумі дають 180 градусів.
AOC + COB = 180 °

Запитання.Як називаються кути 1 та 2?
Відповідь.Кути 1 та 2 називаються вертикальними.

Запитання.Які властивості мають вертикальні кути?
Відповідь.Вертикальні кути рівні між собою.

Етап 4.

Доказ першої ознаки паралельності.

Теорема.Якщо при перетині двох прямих січною навхрест кути рівні, то прямі паралельні.

Малюнок 6

Дано:а та b – прямі
AB – січна
1 = 2
Довести: a//b.

Перший випадок.

Малюнок 7

Якщо 1 і 2 прямі, a перпендикулярний AB, і b перпендикулярний AB, то а//b.

Другий випадок.

Малюнок 8

Розглянемо випадок, коли 1 і 2 не прямі Розділимо відрізок AB навпіл крапкою O.

Запитання.Якими будуть відрізки AO та OB за довжиною?
Відповідь.Відрізки AO та OB рівні по довжині.

1) З точки O проведемо перпендикуляр до прямої а, він перпендикулярний a.

Запитання.Яким буде кут 3?
Відповідь.Кут 3 буде прямим.

2) Від точки А на прямій b відкладемо циркулем відрізок АН 1 = ВН.

3) Проведемо відрізок ОН 1 .

Запитання.Які трикутники утворилися внаслідок доказу?
Відповідь.Трикутник ОНВ та трикутник ОН 1 А.

Доведемо, що вони є рівними.

Запитання.Які кути рівні за умовою теореми?
Відповідь.Кут 1 дорівнює куту 2.

Запитання.Які сторони рівні щодо побудови.
Відповідь.АТ = ОВ та АН 1 = ВН

Запитання.За якою ознакою дорівнюють трикутники?
Відповідь.Трикутники рівні з двох сторін і куту між ними (перша ознака рівності трикутників).

Запитання.Яку властивість мають рівні трикутники?
Відповідь.У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути.

Запитання.Які кути будуть рівними?
Відповідь. 5 = 6, 3 = 4.

Запитання.Як називаються 5 та 6?
Відповідь.Ці кути називаються вертикальними.

З цього випливає, що точки: Н 1, О, Н лежать на одній прямій.
Т.к. 3 – прямий, а 3 = 4, то 4 – прямий.

Запитання.Як розташовані прямі а і b по відношенню до прямої ПН 1 якщо кути 3 і 4 прямі?
Відповідь.Прямі а та b перпендикулярні HH 1 .

Запитання.Що ми можемо сказати про два перпендикуляри до однієї прямої?
Відповідь.Два перпендикуляри однієї прямої паралельні.

Отже, а//b. Теорему доведено.

Зараз я повторюю весь доказ спочатку, а Ви уважно мене послухаєте постараєтеся все запам'ятати.

IV. Закріплення нового матеріалу.

Робота з груп з різним рівнем розвитку інтелекту, з подальшою перевіркою на екрані та на дошці. Біля дошки працюють 3 учні (по одному з кожної групи).

№1 (Для учнів зі зниженим рівнем інтелектуального розвитку).

Дано:а та b прямі
с – січна
1 = 37 °
7 = 143 °
Довести:а//b.

Рішення.

7 = 6 (вертикальні) 6 = 143 °
1 + 4 = 180 ° (суміжні) 4 = 180 ° - 37 ° = 143 °
4 = 6 = 143 °, а вони навхрест лежать а / / b 5 = 48 °, 3 і 5 - навхрест лежать кути, вони рівні a / / b.

Малюнок 11

V. Підсумок уроку.

Підсумок уроку проводиться за допомогою малюнків 1-8.

Проводиться оцінка діяльності учнів під час уроку (кожен учень отримує відповідний смайлик).

Домашнє завдання:вивчати – стор. 52-53; вирішити №186 (б, в).

Паралельність – дуже корисна властивість у геометрії. У реальному житті паралельні сторони дозволяють створювати красиві, симетричні речі, приємні будь-якому оку, тому геометрія завжди потребувала способів цю паралельність перевірити. Про ознаки паралельних прямих ми й поговоримо у цій статті.

Визначення для паралельності

Виділимо визначення, які потрібно знати на підтвердження ознак паралельності двох прямих.

Прямі називають паралельними, якщо вони не мають точок перетину. Крім того, в рішеннях зазвичай паралельні прямі йдуть у зв'язці з лінією.

Сікучою прямою називається пряма, яка перетинає обидві паралельні прямі. У цьому випадку утворюються навхрест лежачі, відповідні та односторонні кути. Нахрест лежать пари кутів 1 і 4; 2 та 3; 8 та 6; 7 та 5. Відповідними будуть 7 та 2; 1 та 6; 8 та 4; 3 та 5.

Односторонніми 1 та 2; 7 та 6; 8 та 5; 3 та 4.

При правильному оформленні пишеться: «Нахрест кути, що лежать, при двох паралельних прямих а і b і січній с», тому що для двох паралельних прямих може існувати нескінченна безліч сіючих, тому необхідно вказувати, яку саме січну, ви маєте на увазі.

Також для доказу знадобиться теорема про зовнішній вугіллі трикутника, яка свідчить, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника несуміжних з ним.

Ознаки

Усі ознаки паралельних прямих пов'язані знання властивостей кутів і теорему про зовнішньому куті трикутника.

Ознака 1

Дві прямі паралельні, якщо навхрест кути, що лежать, рівні.

Розглянемо дві прямі а і b із січною с. Нахрест кути, що лежать, 1 і 4 рівні. Припустимо, що прямі не паралельні. Значить прямі перетинаються і має бути точка перетину М. Тоді утворюється трикутник АВМ із зовнішнім кутом 1. Зовнішній кут повинен дорівнювати сумі кутів 4 і АВМ як несумежних з ним за теоремою про зовнішній кут у трикутнику. Але тоді вийде, що кут 1 більший за кут 4, а це суперечить умові завдання, значить, точки М не існує, прямі не перетинаються, тобто паралельні.

Мал. 1. Малюнок доказу.

Ознака 2

Дві прямі паралельні, якщо відповідні кути при січній рівні.

Розглянемо дві прямі а і b із січною с. Відповідні кути 7 та 2 рівні. Звернімо увагу на кут 3. Він є вертикальним для кута 7. Отже, кути 7 та 3 рівні. Значить, кути 3 і 2 також рівні, оскільки<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Мал. 2. Малюнок доказу.

Ознака 3

Дві прямі паралельні, якщо сума односторонніх кутів дорівнює 180 градусів.

Мал. 3. Малюнок доказу.

Розглянемо дві прямі а і b із січною с. Сума односторонніх кутів 1 та 2 дорівнює 180 градусів. Звернімо увагу на кути 1 та 7. Вони є суміжними. Тобто:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Віднімемо з першого виразу друге:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Що ми дізналися?

Ми в подробицях розібрали, які кути виходять при розсіченні паралельних прямих третьою лінією, виділили та докладно розписали доказ трьох ознак паралельності прямих.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.1. Усього отримано оцінок: 220.

1. Перша ознака паралельності.

Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і ∠1 = ∠2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (рис.).

Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ ⊥ МN. Доведемо, що й CD ⊥ МN.

Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: ∠1 = ∠2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;

∠МОL = ∠NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, ΔМОL = ΔNОК, а звідси і ∠LМО = ∠КNО,
але ∠LМО прямий, отже, і ∠КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і CD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні, що і потрібно довести.

Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.

2. Друга ознака паралельності.

Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.

Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад ∠3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, як кути вертикальні; отже, ∠2 дорівнюватиме ∠1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.

Прикладемо трикутник до лінійки так, як показано на рис. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по будь-якій іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.

3. Третя ознака паралельності.

Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (рис.).

Нехай ∠1 та ∠2-внутрішні односторонні кути і в сумі становлять 2 d.

Але ∠3 + ∠2 = 2 dяк кути суміжні. Отже, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Звідси ∠1 = ∠3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d (або 180°), ці дві прямі паралельні.

Ознаки паралельних прямих:

1. Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

2.Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

3. Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то ці дві прямі паралельні.

4. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.

5. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.

Аксіома паралельності Евкліда

Завдання. Через точку М, взяту поза прямою АВ, провести пряму, паралельну до прямої АВ.

Користуючись доведеними теоремами про ознаки паралельності прямих, можна це завдання розв'язати різними способами,

Рішення. 1-й спосіб (черт. 199).

Проводимо МN⊥АВ і через точку М проводимо СD⊥МN;

отримуємо СD⊥МN та АВ⊥МN.

На підставі теореми ("Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні") укладаємо, що СD | АВ.

2-й запит (чорт. 200).

Проводимо МК, що перетинає АВ під будь-яким кутом α, і через точку М проводимо пряму ЕF, що утворює з прямої МК кут ЕМК, що дорівнює куту α. З теореми () укладаємо, що ЕF || АВ.

Розв'язавши це завдання, можемо вважати доведеним, що через будь-яку точку М, взяту поза прямою АВ, можна провести пряму, їй паралельну. Виникає питання, скільки ж прямих, паралельних даній прямий і проходять через цю точку, може існувати?

Практика побудов дозволяє припускати, що існує тільки одна така пряма, так як при ретельно виконаному кресленні прямі, проведені різними способами через ту саму точку паралельно одній і тій же прямій, зливаються.

Теоретично у відповідь поставлене питання дає так звана аксіома паралельності Евкліда; вона формулюється так:

Через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій.

На кресленні 201 через точку проведена пряма СК, паралельна прямий АВ.

Будь-яка інша пряма, що проходить через точку О, вже не буде паралельна прямий АВ, а її перетинатиме.

Прийнята Евклідом у його "Початках" аксіома, яка стверджує, що на площині через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій, називається аксіомою паралельності Евкліда.

Більше двох тисячоліть після Евкліда багато вчених-математиків намагалися довести цю математичну пропозицію, але завжди їхні спроби виявлялися безуспішними. Тільки в 1826 р. великий російський учений, професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський довів, що, використовуючи всі інші аксіоми Евкліда, цю математичну пропозицію довести не можна, що вона дійсно має бути прийнята за аксіому. М. І. Лобачевський створив нову геометрію, яка на відміну геометрії Евкліда названа геометрією Лобачевського.