Обчислюємо суму кутів та площу паралелограма: властивості та ознаки. Як знайти площу паралелограма? Як обчислити площу паралелограма
Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.
Вконтакте
Визначення паралелограма
Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.
Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.
Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.
Сторони та кути: особливості співвідношення
Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:
- Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
- Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.
Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).
Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.
Характеристики діагоналей фігури
Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.
Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.
AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.
За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.
Особливості суміжних кутів
У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Властивості бісектриси:
- опущені на один бік, є перпендикулярними;
- протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
- трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.
Визначення характерних рис паралелограма з теореми
Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.
Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.
Обчислення площі фігури
Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.
Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:
Інші способи знаходження площі
Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.
,
Sпр-ма – площа;
a та b - його сторони
α - кут між відрізками a та b.
Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого перебувають тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.
Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.
Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.
Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:
.
Застосування у векторній алгебрі
Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.
Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .
Формули для обчислення параметрів паралелограма
Тотожності наведені за таких умов:
- a і b, α - сторони та кут між ними;
- d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
- h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;
Параметр | Формула |
Знаходження сторін | |
по діагоналях і косинус кута між ними | ![]() |
по діагоналях та стороні | ![]() |
через висоту та протилежну вершину | |
Знаходження довжини діагоналей | |
по сторонах та величині вершини між ними | |
з боків та однієї з діагоналей | ![]()
ВисновокПаралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування у житті, наприклад, у будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки та способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя. |
Перш ніж дізнатися, як знайти площу паралелограма, нам необхідно згадати, що таке паралелограм і що називається його висотою. Паралелограм – чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). Перпендикуляр, проведений з довільної точки протилежної сторони до прямої, що містить цю сторону, називається висотою паралелограма.
Квадрат, прямокутник і ромб – це окремі випадки паралелограма.
Площа паралелограма позначається як (S).
Формули знаходження площі паралелограма
S = a * h , де а - це основа, h - це висота, яка проведена до основи.
S=a*b*sinα , де a та b – це основи, а α - кут між основами а та b.
S = p * r, де р - це напівпериметр, r - це радіус кола, яке вписано в паралелограм.
Площа паралелограма, який утворений векторами a та b дорівнює модулю добутку заданих векторів, а саме:
Розглянемо приклад №1: Даний паралелограм, сторона якого дорівнює 7 см, а висота 3 см. Як знайти площу паралелограма, формула для вирішення нам необхідна.
Таким чином, S = 7x3. S=21. Відповідь: 21 см 2 .
Розглянемо приклад №2: Дано основи 6 і 7 см, а також дано кут між основами 60 градусів. Як знайти площу паралелограма? Формула, яка використовується для вирішення:
Отже, спочатку знайдемо синус кута. Синус 60 = 0,5, відповідно S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Відповідь: 21 см 2 .
Сподіваюся, що ці приклади Вам допоможуть під час вирішення завдань. І пам'ятайте, головне – це знання формул та уважність
Що таке паралелограм? Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
1. Площа паралелограма обчислюється за такою формулою:
\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]
де:
a - сторона паралелограма,
h a – висота, проведена до цієї сторони.
2. Якщо відомі довжини двох суміжних сторін паралелограма та кут між ними, то площа паралелограма обчислюється за формулою:
\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]
3. Якщо задані діагоналі паралелограма та відомий кут між ними, то площа паралелограма обчислюється за формулою:
\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]
Властивості паралелограма
У паралелограмі протилежні сторони дорівнюють: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)
У паралелограмі протилежні кути рівні: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)
Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл \(AO = OC \) , \(BO = OD \)
Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.
Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 o:
\(\angle A + \angle B = 180^(o) \), \(\angle B + \angle C = 180^(o)\)
\(\angle C + \angle D = 180^(o) \), \(\angle D + \angle A = 180^(o)\)
Діагоналі та сторони паралелограма пов'язані наступним співвідношенням:
\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)
У паралелограмі кут між висотами дорівнює його гострому куту: \(\angle K B H =\angle A \) .
Бісектриси кутів, що належать до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.
Бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.
Ознаки паралелограма
Чотирьохкутник буде паралелограмом, якщо:
\(AB = CD \) та \(AB || CD \)
\(AB = CD \) та \(BC = AD \)
\(AO = OC \) та \(BO = OD \)
\(\angle A = \angle C \) і \(\angle B = \angle D \)
У вашому браузері вимкнено Javascript.Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
При вирішенні завдань на цю тему крім основних властивостей паралелограмата відповідних формул можна запам'ятати та застосовувати наступне:
- Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник
- Бісектриси внутрішніх кутів прилеглі до однієї із сторін паралелограма взаємно перпендикулярні
- Бісектриси, що виходять із протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
- Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
- Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.
Розглянемо завдання, під час вирішення яких використовуються дані властивості.
Завдання 1.
Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає сторону АD у точці М та продовження сторони АВ за точку А у точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ = 4, DМ = 3.
Рішення.
1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, CD = МD = 3 см.
2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ = АМ = 4 див.
3. АD = АМ + МD = 7 див.
4. Периметр АВСD = 20 див.
Відповідь. 20 див.
Завдання 2.
У опуклому чотирикутнику АВСD проведено діагоналі. Відомо, що площі трикутників АВD, АСD, ВСD дорівнюють. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.
Рішення.
1. Нехай ВЕ – висота трикутника АВD, СF – висота трикутника АCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярні до АD. Точки В і С розташовані по одну сторону щодо прямої АD. ВЕ = СF. Отже, пряма ЗС || AD. (*)
3. Нехай АL – висота трикутника АСD, BK – висота трикутника BCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу СD, то висоти цих трикутників рівні. АL = BK.
4. АL та BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані по одну сторону щодо прямої CD. АL = BK. Отже, пряма АВ|| СD (**)
5. З умов (*), (**) випливає – АВСD паралелограм.
Відповідь. Доведено. АВСD – паралелограм.
Завдання 3.
На сторонах ВС і CD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці О;<ВМD = 95 о,
Рішення.
1. У трикутнику DОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. У прямокутному трикутнику DНС Тоді<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Але CD = АВ. Тоді АВ: НD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Відповідь: АВ: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Завдання 4. Одна з діагоналей паралелограма довжиною 4√6 становить з основою кут 60 про, а друга діагональ становить з тією ж основою кут 45 про. Знайти другу діагональ. Рішення.
1. АТ = 2√6. 2. До трикутника АОD застосуємо теорему синусів. АТ/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 про = OD/sin 60 про. ОD = (2√6sin 60 про) / sin 45 про = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Відповідь: 12.
Завдання 5. У паралелограма зі сторонами 5√2 та 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куту паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей. Рішення.
Нехай d 1 , d 2 – діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями та менший кут паралелограма дорівнює ф. 1. Порахуємо двома різними S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф або 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Використовуючи співвідношення між сторонами та діагоналями паралелограма запишемо рівність (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Складемо систему: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Помножимо друге рівняння системи на 2 та складемо з першим. Отримаємо (d 1 + d 2) 2 = 576. Звідси Id 1 + d 2 I = 24. Так як d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 = 24. Відповідь: 24.
Завдання 6. Сторони паралелограма 4 та 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма. Рішення.
1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косінусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма та діагоналями. АВ 2 = АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1 / 2) · (d 2 / 2) cos 45 про; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогічно запишемо співвідношення трикутника АОD. Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Маємо систему Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 = 80 або d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примітка:У цьому й попередньому завданні немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що у цій задачі для обчислення площі нам необхідний твір діагоналей. Відповідь: 10. Завдання 7. Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони дорівнюють 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі. Рішення.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Зробимо підстановку у формулу. Отримаємо 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD = 4/5. 2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4/5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD = 3/5. 3. З трикутника АВD за теоремою косінусів знайдемо квадрат діагоналі ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Відповідь: 145.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язати геометричне завдання? сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
(
(Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута в 30 о, дорівнює половині гіпотенузи).способами його площу.
(d 1 + d 2 = 140).
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144).
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!