Що таке функція таблиці. Побудова графіків функцій. Ступінна функція з парним позитивним показником

1. Дробно-лінійна функція та її графік

Функція виду y = P(x) / Q(x), де P(x) та Q(x) – багаточлени, називається дробово-раціональною функцією.

З поняттям раціональних чисел ви вже, напевно, знайомі. Аналогічно раціональні функції– це функції, які можна як приватне двох многочленов.

Якщо дробно-раціональна функція є приватне двох лінійних функцій – многочленів першого ступеня, тобто. функцію виду

y = (ax + b) / (cx + d), то її називають дробово-лінійною.

Зауважимо, що функції y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (інакше функція стає лінійною y = ax/d + b/d) і що a/c ≠ b/d (інакше функція константа ). Дробно-лінійна функція визначена за всіх дійсних числах, крім x = -d/c. Графіки дробово-лінійних функцій формою не відрізняються від відомого вам графіка y = 1/x. Крива, що є графіком функції y = 1/x, називається гіперболою. При необмеженому збільшенні x за абсолютною величиною функція y = 1/x необмежено зменшується за абсолютною величиною і обидві гілки графіка наближаються до осі абсцис: права наближається зверху, а ліва – знизу. Прямі, до яких наближаються гілки гіперболи, називають її асимптотами.

приклад 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

Рішення.

Виділимо цілу частину: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зсувом на 3 одиничні відрізки вправо, розтягуванням вздовж осі Oy в 7 разів і зсувом на 2 одиничних відрізки вгору.

Будь-який дріб y = (ax + b) / (cx + d) можна записати аналогічним чином, виділивши цілу частину. Отже, графіки всіх дробово-лінійних функцій є гіперболи, по-різному зсунуті вздовж координатних осей і розтягнуті по осі Oy.

Для побудови графіка будь-якої довільної дробово-лінійної функції не обов'язково дріб, що задає цю функцію, перетворювати. Оскільки знаємо, що графік є гіпербола, досить знайти прямі, яких наближаються її гілки – асимптоти гіперболи x = -d/c і y = a/c.

приклад 2.

Знайти асимптоти графіка функції y = (3x + 5) / (2x + 2).

Рішення.

Функція не визначена при x = -1. Значить, пряма x = -1 є вертикальною асимптотою. Для знаходження горизонтальної асимптоти, з'ясуємо, чого наближаються значення функції y(x), коли аргумент x зростає по абсолютній величині.

Для цього розділимо чисельник та знаменник дробу на x:

y = (3+5/x)/(2+2/x).

При x → ∞ дріб прагнутиме 3/2. Значить, горизонтальна асимптота – пряма y = 3/2.

приклад 3.

Побудувати графік функції y = (2x + 1) / (x + 1).

Рішення.

Виділимо у дробу «цілу частину»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 - 1/(x + 1).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зсувом на 1 одиницю вліво, симетричним відображенням щодо Ox і зрушенням на 2 одиничних відрізки вгору осі Oy.

Область визначення D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значень E(y) = (-∞; 2) ᴗ(2; +∞).

Точки перетину з осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функція зростає кожному з проміжків області визначення.

Відповідь: рисунок 1.

2. Дробно-раціональна функція

Розглянемо дробово-раціональну функцію виду y = P(x) / Q(x), де P(x) і Q(x) – багаточлени, ступеня вище за першу.

Приклади таких раціональних функцій:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) або y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Якщо функція y = P(x) / Q(x) являє собою приватне двох багаточленів ступеня вище за першу, то її графік буде, як правило, складніше, і побудувати його точно, з усіма деталями буває іноді важко. Однак, часто достатньо застосувати прийоми, аналогічні тим, з якими ми вже ознайомилися вище.

Нехай дріб – правильний (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно, що графік дробово-раціональної функції можна одержати як суму графіків елементарних дробів.

Побудова графіків дробово-раціональних функцій

Розглянемо кілька способів побудови графіків дрібно-раціональної функції.

приклад 4.

Побудувати графік функції y = 1/x2.

Рішення.

Використовуємо графік функції y = x 2 для побудови графіка y = 1/x 2 та скористаємося прийомом «поділу» графіків.

Область визначення D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значень E(y) = (0; +∞).

Точок перетину з осями немає. Функція парна. Зростає при всіх з інтервалу (-∞; 0), зменшується при x від 0 до +∞.

Відповідь: рисунок 2.

Приклад 5.

Побудувати графік функції y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Рішення.

Область визначення D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3+1/3.

Тут ми використовували прийом розкладання на множники, скорочення та приведення до лінійної функції.

Відповідь: рисунок 3.

Приклад 6.

Побудувати графік функції y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Рішення.

Область визначення D(y) = R. Оскільки функція парна, то графік симетричний щодо осі ординат. Перш ніж будувати графік, знову перетворимо вираз, виділивши цілу частину:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

Зауважимо, що виділення цілої частини у формулі дробово-раціональної функції є одним із основних при побудові графіків.

Якщо x → ±∞ то y → 1, тобто. Пряма y = 1 є горизонтальною асимптотою.

Відповідь: рисунок 4.

Приклад 7.

Розглянемо функцію y = x/(x 2 + 1) і спробуємо точно визначити максимальне її значення, тобто. найвищу точку правої половини графіка. Щоб точно збудувати цей графік, сьогоднішніх знань недостатньо. Вочевидь, що крива неспроможна «піднятися» дуже високо, т.к. знаменник досить швидко починає «обганяти» чисельник. Подивимося, чи може значення функції дорівнювати 1. Для цього потрібно вирішити рівняння x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Це рівняння не має дійсних коренів. Отже, наше припущення не є вірним. Щоб знайти найбільше значення функції, треба дізнатися, при якому найбільшому рівнянні А = x/(x 2 + 1) буде мати рішення. Замінимо вихідне рівняння квадратним: Аx 2 – x + А = 0. Це рівняння має рішення, коли 1 – 4А 2 ≥ 0. Звідси знаходимо найбільше значення А = 1/2.

Відповідь: рисунок 5, max y(x) = ½.

Залишились питання? Чи не знаєте, як будувати графіки функцій?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Основні елементарні функції, притаманні їм якості та відповідні графіки – одні з азів математичних знань, схожих за рівнем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є основою, опорою вивчення всіх теоретичних питань.

Стаття нижче дає ключовий матеріал на тему основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; докладно вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють такі види основних елементарних функцій:

Визначення 1

• постійна функція (константа);
• корінь n-ого ступеня;
• статечна функція;
• показова функція;
• логарифмічна функція;
• тригонометричні функції;
• братні тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y = C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якому дійсному значенню незалежної змінної x одного і того ж значення змінної y значення C .

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (на кресленні позначено чорним, червоним та синім кольорами відповідно).

Визначення 2

Ця елементарна функція визначається формулою y = x n (n – натуральне число більше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

1. Корінь n-го ступеня, n – парне число

Для наочності вкажемо креслення, у якому зображені графіки таких функций: y = x , y = x 4 і y = x8. Ці функції позначені кольором: чорний, червоний та синій відповідно.

Схожий вигляд у графіків функції парного ступеня за інших значень показника.

Визначення 3

Властивості функції корінь n-ого ступеня, n – парне число

• область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
• коли x = 0, функція y = x n має значення, що дорівнює нулю;
• дана функція-функція загального виду (не є ні парною, ні непарною);
• область значень: [0, + ∞);
• дана функція y = x n при парних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має опуклість з напрямком вгору по всій області визначення;
• відсутні точки перегину;
• асимптоти відсутні;
• графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

1. Корінь n-го ступеня, n – непарне число

Така функція визначена на всій множині дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y = x 3 , y = x 5 і х 9 . На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний та синій кольори кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y = xn дадуть графік аналогічного виду.

Визначення 4

Властивості функції корінь n-го ступеня, n – непарне число

• область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
• дана функція – непарна;
• область значень – безліч усіх дійсних чисел;
• функція y = x n при непарних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має увігнутість на проміжку (- ∞ ; 0 ) і опуклість на проміжку [ 0 , + ∞) ;
• точка перегину має координати (0; 0);
• асимптоти відсутні;
• графік функції при непарних n проходить через точки (-1; - 1), (0; 0) і (1; 1).

Ступінна функція

Визначення 5

Ступінна функція визначається формулою y = x a.

Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.

• коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
• показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, поставивши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.

Визначення 6

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний

• функція зростає при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
• точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола.

Визначення 7

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• спадаючою при x ∈ (- ∞; 0];
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• окуляри перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – непарне від'ємне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.

Визначення 8

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).

Визначення 9

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , застерігаючи при цьому, що показник a – нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональне чи ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Визначення 10

Властивості статечної функції при 0< a < 1:

• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .

Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.

Визначення 11

Властивості статечної функції при a > 1:

• область визначення: x ∈ [0; + ∞);
• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку – інтервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

Визначення 12

Властивості статечної функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ 0; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (чорний, червоний, синій, зелений кольори кривих відповідно).

Визначення 13

Властивості статечної функції при a< - 1:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
• точка проходження функції: (1; 1) .

Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься ніякого значення).

Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний вигляд матимуть графіки показової функції за інших значень основи за умови 0< a < 1 .

Визначення 14

Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне + ∞;

Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більше ніж одиниця (а > 1) .

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.

Визначення 15

Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення - все безліч дійсних чисел;
• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
• точка проходження функції: (0; 1) .

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x), де a > 0, a ≠ 1 .

Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення основи а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення підстави, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли основа менше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля праворуч, значення функції прагнуть до - ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна функція є зростаючою при x ∈ 0; + ∞;
• функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точка проходження функції: (1; 0) .

Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної їх і відповідні графіки.

Загалом всім тригонометричних функцій характерна властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.

1. Функція синусу: y = sin (х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

Визначення 18

Властивості функції синус:

• область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• асимптоти відсутні.

1. Функція косинус: y = cos(х)

Графік цієї функції називається косінусоїда.

Визначення 19

Властивості функції косинус:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• найменший позитивний період: Т = 2 π;
• область значень: y ∈ - 1; 1;
• дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
• функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптоти відсутні.

1. Функція тангенс: y = tg(х)

Графік цієї функції називається тангенсоїду.

Визначення 20

Властивості функції тангенс:

• область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклою при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Функція котангенс: y = ctg(х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

Визначення 21

Властивості функції котангенс:

• область визначення: x ∈ (π · k ; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенсу на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;

• найменший позитивний період: Т = π;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
• функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z і опуклою при x ∈ [ - π 2 + π · k ;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції – це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями. .

1. Функція арксинус: y = a r c sin (x)

Визначення 22

Властивості функції арксинус:

• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
• точки перегину мають координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арккосинус: y = r c cos (х)

Визначення 23

Властивості функції арккосинус:

• область визначення: x ∈ - 1; 1;
• область значень: y ∈ 0; π;
• дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
• точки перегину мають координати 0; π 2;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арктангенс: y = r c t g (х)

Визначення 24

Властивості функції арктангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ - π 2; π 2;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою по всій області визначення;
• функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегину має координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).

1. Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)

Визначення 25

Властивості функції арккотангенсу:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ (0; π);
• дана функція – загального виду;
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞; 0];
• точка перегину має координати 0; π 2;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = π при x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) та y = 0 при x → + ∞ .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Знання основних елементарних функцій, їх властивостей та графіківне менш важливо, ніж знання таблиці множення. Вони як фундамент, на них усе ґрунтується, з них все будується і до них все зводиться.

У цій статті ми перерахуємо всі основні елементарні функції, наведемо їх графіки та дамо без висновку та доказів властивості основних елементарних функційза схемою:

• поведінка функції на межах області визначення, вертикальні асимптоти (за потреби дивіться статтю класифікація точок розриву функції);
• парність та непарність;
• проміжки опуклості (випуклості вгору) та увігнутості (випуклості вниз), точки перегину (при необхідності дивіться статтю опуклість функції, напрям опуклості, точки перегину, умови опуклості та перегину);
• похилі та горизонтальні асимптоти;
• особливі точки функцій;
• особливі властивості деяких функцій (наприклад, найменший позитивний період тригонометричних функцій).

Якщо Вас цікавить або, то можете перейти до цих розділів теорії.

Основними елементарними функціямиє: постійна функція (константа), корінь n-го ступеня, статечна функція, показова, логарифмічна функція, тригонометричні та зворотні тригонометричні функції.

Навігація на сторінці.

Постійна функція.

Постійна функція задається на множині всіх дійсних чисел формулою , де C - деяке дійсне число. Постійна функція ставить у відповідність кожному дійсному значенню незалежної змінної x те саме значення залежної змінної y – значення С . Постійну функцію називають константою.

Графіком постійної функції є пряма, паралельна осі абсцис і через точку з координатами (0,C) . Наприклад покажемо графіки постійних функцій y=5 , y=-2 і , яким малюнку, наведеному нижче, відповідають чорна, червона і синя прямі відповідно.

Властивості постійної функції.

• Область визначення: всі множини дійсних чисел.
• Постійна функція є парною.
• Область значень: безліч, що складається з однини С .
• Постійна функція незростаюча і неубутня (на те вона і постійна).
• Говорити про опуклість і увігнутість постійної немає сенсу.
• Асимптот немає.
• Функція проходить через точку координатної площини (0,C).

Корінь n-ого ступеня.

Розглянемо основну елементарну функцію, яка задається формулою , де n - натуральне число, більше одиниці.

Корінь n-ого ступеня, n - парне число.

Почнемо з функції корінь n-ого ступеня при парних значеннях показника кореня n.

Для прикладу наведемо малюнок із зображеннями графіків функцій і , їм відповідають чорна, червона та синя лінії.

Аналогічний вигляд мають графіки функцій корінь парного ступеня за інших значень показника.

Властивості функції корінь n-ого ступеня при парних n.

Корінь n-ого ступеня, n - непарне число.

Функція корінь n-ого ступеня з непарним показником кореня n визначена на всій кількості дійсних чисел. Для прикладу наведемо графіки функцій і , їм відповідають чорна, червона та синя криві.

При інших непарних значеннях показника кореня графіки функції матимуть схожий вид.

Властивості функції корінь n-ого ступеня при непарних n.

Ступінна функція.

Ступінна функція задається формулою виду.

Розглянемо вид графіків статечної функції та властивості статечної функції залежно від значення показника ступеня.

Почнемо зі статечної функції з цілим показником a. У цьому випадку вид графіків статечних функцій та властивості функцій залежать від парності чи непарності показника ступеня, а також його знака. Тому спочатку розглянемо статечні функції при непарних позитивних значеннях показника a, далі – при парних позитивних, далі – при непарних негативних показниках ступеня, і, нарешті, при парних негативних a.

Властивості статечних функцій з дробовими та ірраціональними показниками (як і вид графіків таких статечних функцій) залежать від значення показника a . Їх розглядатимемо, по-перше, при a від нуля до одиниці, по-друге, при a великих одиниці, по-третє, при a від мінус одиниці до нуля, по-четверте, при a менших мінус одиниці.

Наприкінці цього пункту для повноти картини опишемо статечну функцію з нульовим показником.

Ступінна функція з непарним позитивним показником.

Розглянемо статечну функцію при непарному позитивному показнику ступеня, тобто при а = 1,3,5, ....

На малюнку нижче наведено графіки статечних фнукцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=1 маємо лінійну функцію y=x.

Властивості статечної функції з непарним позитивним показником.

Ступінна функція з парним позитивним показником.

Розглянемо статечну функцію з парним позитивним показником ступеня, тобто при а=2,4,6,….

Як приклад наведемо графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія. При а=2 маємо квадратичну функцію, графіком якої є квадратична парабола.

Властивості статечної функції з парним позитивним показником.

Ступінна функція з непарним негативним показником.

Подивіться графіки статечної функції при непарних негативних значеннях показника ступеня, тобто, при а=-1,-3,-5,… .

На малюнку як приклади показані графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=-1 маємо зворотну пропорційність, графіком якої є гіпербола.

Властивості статечної функції з непарним негативним показником.

Ступінна функція з парним негативним показником.

Перейдемо до статечної функції при а=-2,-4,-6,….

На малюнку зображені графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія.

Властивості статечної функції з парним негативним показником.

Ступінна функція з раціональним або ірраціональним показником, значення якого більше за нуль і менше одиниці.

Зверніть увагу!Якщо a - позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори вважають областю визначення статечної функції інтервал . У цьому обумовлюються, що показник ступеня a – нескоротний дріб. Зараз автори багатьох підручників з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Ми будемо дотримуватися саме такого погляду, тобто вважатимемо областями визначення статечних функцій з дробовими позитивними показниками ступеня безліч. Рекомендуємо учням дізнатися погляд Вашого викладача на цей тонкий момент, щоб уникнути розбіжностей.

Розглянемо статечну функцію з раціональним чи ірраціональним показником a, причому.

Наведемо графіки статечних функцій при а=11/12 (чорна лінія), а=5/7 (червона лінія), (синя лінія), а=2/5 (зелена лінія).

Ступінна функція з нецілим раціональним чи ірраціональним показником, більшим за одиниці.

Розглянемо статечну функцію з нецілісним раціональним чи ірраціональним показником a, причому.

Наведемо графіки статечних функцій, заданих формулами (чорна, червона, синя та зелена лінії відповідно).

>

При інших значеннях показника ступеня a графіки функції матимуть схожий вигляд.

Властивості статечної функції при .

Ступінна функція з дійсним показником, який більший за мінус одиниці і менший за нуль.

Зверніть увагу!Якщо a - негативний дріб з непарним знаменником, деякі автори вважають областю визначення статечної функції інтервал . У цьому обумовлюються, що показник ступеня a – нескоротний дріб. Зараз автори багатьох підручників з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Ми дотримуватимемося саме такого погляду, тобто вважатимемо областями визначення статечних функцій із дробовими дробовими негативними показниками ступеня безліч відповідно. Рекомендуємо учням дізнатися погляд Вашого викладача на цей тонкий момент, щоб уникнути розбіжностей.

Переходимо до статечної функції, до року.

Щоб добре представляти вид графіків статечних функцій при наведемо приклади графіків функцій (чорна, червона, синя та зелена криві відповідно).

Властивості статечної функції з показником a, .

Ступінна функція з нецілим дійсним показником, який менший за мінус одиниці.

Наведемо приклади графіків статечних функцій при , вони зображені чорною, червоною, синьою та зеленою лініями відповідно.

Властивості статечної функції з нецілим негативним показником, меншим за мінус одиниці.

При а=0 і маємо функцію - це пряма з якої виключена точка (0;1) (виразу 0 0 домовилися не надавати жодного значення).

Показова функція.

Однією з основних елементарних функцій показова функція.

Графік показової функції , де приймає різний вид залежно від значення підстави а . Розберемося в цьому.

Спочатку розглянемо випадок, коли основа показової функції набуває значення від нуля до одиниці, тобто .

Наприклад наведемо графіки показової функції при а = 1/2 – синя лінія, a = 5/6 – червона лінія. Аналогічний вигляд мають графіки показової функції за інших значеннях основи з інтервалу.

Властивості показової функції з основою меншою одиниці.

Переходимо до випадку, коли основа показової функції більше одиниці, тобто .

Як ілюстрацію наведемо графіки показових функцій – синя лінія та – червона лінія. При інших значеннях підстави, високих одиниць, графіки показової функції матимуть схожий вид.

Властивості показової функції з основою великої одиниці.

Логарифмічна функція.

Наступною основною елементарною функцією є логарифмічна функція де , . Логарифмічна функція визначена лише позитивних значень аргументу, тобто, при .

Графік логарифмічної функції набуває різного вигляду залежно від значення підстави а.

Почнемо з нагоди, коли .

Наприклад наведемо графіки логарифмічної функції при а = 1/2 – синя лінія, a = 5/6 – червона лінія. При інших значеннях підстави, не перевищують одиниці, графіки логарифмічної функції матимуть подібний вид.

Властивості логарифмічної функції із основою меншою одиниці.

Перейдемо на випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці ().

Покажемо графіки логарифмічних функцій – синя лінія – червона лінія. При інших значеннях підстави, високих одиниць, графіки логарифмічної функції матимуть схожий вид.

Властивості логарифмічної функції з основою великої одиниці.

Тригонометричні функції, їх властивості та графіки.

Усі тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс та котангенс) відносяться до основних елементарних функцій. Тепер ми розглянемо їх графіки і перерахуємо характеристики.

Тригонометричним функціям властиве поняття періодичності(повторюваності значень функції при різних значеннях аргументу, відмінних один від одного на величину періоду де Т - період), тому, до списку властивостей тригонометричних функцій доданий пункт «найменший позитивний період». Також кожної тригонометричної функції ми вкажемо значення аргументу, у яких відповідна функція звертається в нуль.

Тепер розберемося з усіма тригонометричними функціями по порядку.

Функція синус y = sin (x).

Зобразимо графік функції синус, його називають синусоїда.

Властивості функції синус y = sinx.

Функція косинус y = cos(x).

Графік функції косинус (його називають "косинусоїда") має вигляд:

Властивості функції косинус y = cosx.

Функція тангенс y = tg (x).

Графік функції тангенс (його називають "тангенсоіда") має вигляд:

Властивості функції тангенс y = tgx.

Функція котангенс y = ctg (x).

Зобразимо графік функції котангенс (його називають "котангенсоіда"):

Властивості функції котангенс y = ctgx.

Зворотні тригонометричні функції, їх властивості та графіки.

Зворотні тригонометричні функції (арксінус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс) є основним елементарним функціями. Часто через приставку "арк" зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями. Тепер ми розглянемо їх графіки і перерахуємо характеристики.

Функція арксинус y = arcsin (x).

Зобразимо графік функції арксинус:

Властивості функції арккотангенс y = arcctg(x).

Список літератури.

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвітні установи.
• Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики.
• Новосьолов С.І. Алгебра та елементарні функції.
• Туманов С.І. Елементарна алгебра. Посібник для самоосвіти.

Функції та їх графіки - одна з найцікавіших тем у шкільній математиці. Шкода тільки, що проходить вона... повз уроки і повз учнів. На неї завжди бракує часу у старших класах. А ті функції, які проходять у 7-му класі, - лінійна функція та парабола - надто прості та нехитрі, щоб показати всю різноманітність цікавих завдань.

Вміння будувати графіки функцій необхідне вирішення завдань із параметрами на ЄДІ з математики. Це одна з перших тем курсу математичного аналізу у ВНЗ. Це настільки важлива тема, що ми в ЄДІ-Студії проводимо по ній спеціальні інтенсивності для старшокласників та вчителів, у Москві та онлайн. І часто учасники кажуть: "Шкода, що ми не знали цього раніше".

Але це не все. Саме з поняття функції і починається справжня, доросла математика. Адже додавання та віднімання, множення та поділ, дроби та пропорції – це все-таки арифметика. Перетворення виразів – це алгебра. А математика - наука як про числах, а й взаємозв'язки величин. Мова функцій та графіків зрозуміла і фізику, і біологу, і економісту. І, як сказав Галілео Галілей, «Книга природи написана мовою математики».

Точніше, Галілео Галілей сказав так: "Математика є алфавіт, через який Господь написав Всесвіт".

Теми для повторення:

1. Побудуємо графік функції

Знайоме завдання! Такі зустрічалися у випадках ОДЕ з математики. Там вони вважалися складними. Але складного тут нічого немає.

Спростимо формулу функції:

Графік функції – пряма з виколотою точкою

2. Побудуємо графік функції

Виділимо у формулі функції цілу частину:

Графік функції - гіпербола, зрушена на 3 вправо по x і на 2 вгору по y розтягнута в 10 разів у порівнянні з графіком функції

Виділення цілої частини - корисний прийом, що застосовується у вирішенні нерівностей, побудові графіків та оцінці цілих величин у задачах на числа та їх властивості. Він зустрінеться вам також на першому курсі, коли доведеться брати інтеграли.

3. Побудуємо графік функції

Він виходить з графіка функції розтягуванням у 2 рази, відображенням по вертикалі та зрушенням на 1 вгору по вертикалі

4. Побудуємо графік функції

Головне – правильна послідовність дій. Запишемо формулу функції у зручнішому вигляді:

Діємо по порядку:

1) Графік функції y=sinx зрушимо наліво;

2) стиснемо в 2 рази по горизонталі,

3) розтягнемо в 3 рази по вертикалі,

4) ссунемо на 1 вгору

Зараз ми збудуємо кілька графіків дробово-раціональних функцій. Щоб краще зрозуміти, як ми це робимо, читайте статтю «Поведінка функції в безкінечності». Асимптоти».

5. Побудуємо графік функції

Область визначення функції:

Нулі функції: і

Пряма x = 0 (вісь Y) – вертикальна асимптота функції. Асимптота- Пряма, до якої нескінченно близько підходить графік функції, але не перетинає її і не зливається з нею (дивись тему «Поведінка функції в нескінченності. Асимптоти»)

Чи є інші асимптоти нашої функції? Щоб з'ясувати це, подивимося, як поводиться функція, коли x прагне нескінченності.

Розкриємо дужки у формулі функції:

Якщо x прагне нескінченності, то прагне нуля. Пряма є похилою асимптотою до графіка функції.

6. Побудуємо графік функції

Це дрібно-раціональна функція.

Область визначення функції

Нулі функції: точки – 3, 2, 6.

Проміжки знаковості функції визначимо за допомогою методу інтервалів.

Вертикальні асимптоти:

Якщо x прагне нескінченності, то прагне 1. Значить, - горизонтальна асимптота.

Ось ескіз графіка:

Ще один цікавий прийом – складання графіків.

7. Побудуємо графік функції

Якщо x прагне нескінченності, то і графік функції буде нескінченно близько підходити до похилої асимптоті

Якщо x прагне до нуля, то функція поводиться як Це ми і бачимо на графіку:

Ось ми побудували графік суми функцій. Тепер графік твору!

8. Побудуємо графік функції

Область визначення цієї функції - позитивні числа, оскільки тільки для позитивних x визначено

Значення функції дорівнюють нулю при (коли логарифм дорівнює нулю), а також у точках, де тобто при

При , значення (cos x) дорівнює одиниці. Значення функції у цих точках дорівнюватиме

9. Побудуємо графік функції

Функція визначена при парних, оскільки є добутком двох непарних функцій і графік симетричний щодо осі ординат.

Нулі функції - у точках, де тобто при

Якщо x прагне нескінченності, прагне нуля. Але що буде, якщо x прагне нулю? Адже і x, і sin x стануть менше і менше. Як же поводитиметься приватне?

Виявляється, якщо x прагне до нуля, то прагне одиниці. У математиці це твердження зветься «Першої чудової межі».

А як же похідна? Так, нарешті ми до неї дісталися. Похідна допомагає точніше будувати графіки функцій. Знаходити точки максимуму та мінімуму, а також значення функції у цих точках.

10. Побудуємо графік функції

Область визначення функції - всі дійсні числа, оскільки

Функція непарна. Її графік симетричний щодо початку координат.

При x=0 значення функції дорівнює нулю. За значення функції позитивні, за негативні.

Якщо x прагне нескінченності, то прагне нуля.

Знайдемо похідну функції
За формулою похідної частки,

Якщо або

У точці похідна змінює знак з мінусу на плюс, - точка мінімуму функції.

У точці похідна змінює знак із «плюсу» на «мінус», - точка максимуму функції.

Знайдемо значення функції за x=2 і за x=-2.

Графіки функцій зручно будувати за певним алгоритмом або схемою. Пам'ятаєте, чи ви вивчали її в школі?

Загальна схема побудови графіка функції:

1. Область визначення функції

2. Область значень функції

3. Парність – непарність (якщо є)

4. Періодичність (якщо є)

5. Нулі функції (точки, у яких графік перетинає осі координат)

6. Проміжки знакостійності функції (тобто проміжки, у яких вона суворо позитивна чи суворо негативна).

7. Асимптоти (якщо є).

8. Поведінка функції у нескінченності

9. Похідна функції

10. Проміжки зростання та спадання. Точки максимуму та мінімуму та значення у цих точках.