To'rtburchak koordinatalar tizimi. Dekart koordinatalar tizimi: asosiy tushunchalar va misollar Koordinata tekisligi bilan ishlash
Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi ikkita o'zaro perpendikulyar chiziq bilan berilgan. To'g'ri chiziqlar koordinata o'qlari (yoki koordinata o'qlari) deb ataladi. Bu chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinata deb ataladi va O harfi bilan belgilanadi.
Odatda chiziqlardan biri gorizontal, ikkinchisi vertikaldir. Gorizontal chiziq x (yoki Ox) o'qi sifatida belgilanadi va abscissa o'qi deb ataladi, vertikal o'qi y (Oy) o'qi, y o'qi deb ataladi. Butun koordinatalar tizimi xOy bilan belgilanadi.
O nuqta har bir o'qni ikkita yarim o'qga ajratadi, ulardan biri musbat (u o'q bilan belgilanadi), ikkinchisi salbiy hisoblanadi.
Tekislikning har bir F nuqtasiga bir juft son (x;y) — uning koordinatalari beriladi.
X koordinatasi abscissa deyiladi. Tegishli belgi bilan olingan Ox ga teng.
Y koordinatasi ordinata deb ataladi va F nuqtadan Oy o'qigacha bo'lgan masofaga teng (tegishli belgi bilan).
Aks masofalari odatda (lekin har doim ham emas) bir xil uzunlik birligida o'lchanadi.
Y o'qining o'ng tomonidagi nuqtalarda musbat abtsissalar mavjud. Y o'qining chap tomonida joylashgan nuqtalar uchun abscissalar manfiy hisoblanadi. Oy o'qida yotgan har qanday nuqta uchun uning x koordinatasi nolga teng.
Ijobiy ordinatali nuqtalar x o'qining tepasida, manfiy ordinatali nuqtalar pastda yotadi. Agar nuqta x o'qida yotsa, uning y koordinatasi nolga teng.
Koordinata o'qlari tekislikni to'rt qismga ajratadi, ular koordinata choraklari (yoki koordinata burchaklari yoki kvadrantlar) deb ataladi.
1 koordinatali chorak xOy koordinata tekisligining yuqori o'ng burchagida joylashgan. I chorakda joylashgan nuqtalarning ikkala koordinatasi ham ijobiy.
Bir chorakdan ikkinchisiga o'tish soat sohasi farqli o'laroq amalga oshiriladi.
2-chorak yuqori chap burchakda joylashgan. Ikkinchi chorakda yotgan nuqtalar manfiy abscissa va musbat ordinataga ega.
3-chorak xOy tekisligining pastki chap kvadrantida yotadi. III koordinata burchagiga tegishli nuqtalarning ikkala koordinatasi ham manfiy.
4-koordinata choragi koordinata tekisligining pastki o'ng burchagidir. IV chorakdagi har qanday nuqta ijobiy birinchi koordinataga va salbiy ikkinchi koordinataga ega.
To'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtalarning joylashishiga misol:
Matematika ancha murakkab fan. Uni o'rganib, siz nafaqat misollar va muammolarni hal qilishingiz, balki turli xil raqamlar va hatto samolyotlar bilan ishlashingiz kerak. Matematikada eng ko'p qo'llaniladiganlardan biri tekislikdagi koordinatalar tizimidir. Bolalar bir yildan ortiq vaqt davomida u bilan qanday qilib to'g'ri ishlashga o'rgatilgan. Shuning uchun, bu nima ekanligini va u bilan qanday qilib to'g'ri ishlashni bilish muhimdir.
Keling, ushbu tizim nima ekanligini, u bilan qanday harakatlarni amalga oshirishingiz mumkinligini, shuningdek uning asosiy xususiyatlari va xususiyatlarini bilib olaylik.
Kontseptsiya ta'rifi
Koordinata tekisligi - bu ma'lum bir koordinata tizimi aniqlangan tekislik. Bunday tekislik to'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita to'g'ri chiziq bilan belgilanadi. Bu chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi hisoblanadi. Koordinata tekisligidagi har bir nuqta bir juft son bilan beriladi, ular koordinatalar deb ataladi.
Maktab matematika kursida o`quvchilar koordinatalar tizimi bilan juda yaqindan ishlashlari kerak - unda figuralar va nuqtalar qurish, u yoki bu koordinata qaysi tekislikka tegishli ekanligini aniqlash, shuningdek, nuqta koordinatalarini aniqlash va ularni yozish yoki nomlash. Shuning uchun, keling, koordinatalarning barcha xususiyatlari haqida batafsilroq gapiraylik. Lekin, avvalo, yaratilish tarixiga to'xtalib o'tamiz, keyin esa koordinata tekisligida qanday ishlash kerakligi haqida gapiramiz.
Tarix ma'lumotnomasi
Koordinatalar tizimini yaratish g'oyalari Ptolemey davrida edi. O'shanda ham astronomlar va matematiklar nuqtaning tekislikdagi o'rnini qanday o'rnatishni o'rganish haqida o'ylashgan. Afsuski, o'sha paytda bizga ma'lum bo'lgan koordinatalar tizimi yo'q edi va olimlar boshqa tizimlardan foydalanishga majbur bo'ldilar.
Dastlab, ular kenglik va uzunlikni ko'rsatib, nuqtalarni o'rnatadilar. Uzoq vaqt davomida u yoki bu ma'lumotni xaritalashning eng ko'p qo'llaniladigan usullaridan biri edi. Ammo 1637 yilda Rene Dekart o'zining koordinata tizimini yaratdi, keyinchalik "Kartezian" nomini oldi.
XVII asr oxirida allaqachon. "koordinatalar tekisligi" tushunchasi matematika olamida keng qo'llanila boshlandi. Ushbu tizim yaratilganidan beri bir necha asrlar o'tganiga qaramay, u hali ham matematikada va hatto hayotda keng qo'llaniladi.
Koordinata tekisligiga misollar
Nazariya haqida gapirishdan oldin, biz koordinata tekisligiga bir nechta illyustrativ misollar keltiramiz, shunda siz uni tasavvur qilishingiz mumkin. Koordinatalar tizimi asosan shaxmatda qo'llaniladi. Doskada har bir kvadrat o'z koordinatasiga ega - bitta harf koordinatasi, ikkinchisi - raqamli. Uning yordami bilan siz doskadagi ma'lum bir qismning o'rnini aniqlashingiz mumkin.
Ikkinchi eng yorqin misol - bu sevimli o'yin "Battleship". Esingizda bo'lsin, o'ynayotganda siz koordinatani qanday nomlaysiz, masalan, B3, shu bilan siz qaerga mo'ljallayotganingizni aniq ko'rsatasiz. Shu bilan birga, kemalarni joylashtirishda siz koordinata tekisligida nuqtalarni o'rnatasiz.
Ushbu koordinatalar tizimi nafaqat matematika, mantiqiy o'yinlarda, balki harbiy ishlarda, astronomiya, fizika va boshqa ko'plab fanlarda ham keng qo'llaniladi.
Koordinata o'qlari
Yuqorida aytib o'tilganidek, koordinatalar tizimida ikkita o'q ajralib turadi. Keling, ular haqida bir oz gaplashaylik, chunki ular katta ahamiyatga ega.
Birinchi o'q - abscissa - gorizontal. U quyidagicha belgilanadi ( ho'kiz). Ikkinchi o'q - ordinata bo'lib, u mos yozuvlar nuqtasi orqali vertikal ravishda o'tadi va ( Oy). Aynan shu ikki o'q tekislikni to'rtdan to'rt qismga bo'lib, koordinata tizimini tashkil qiladi. Boshlanish bu ikki o'qning kesishish nuqtasida joylashgan va qiymatni oladi 0 . Agar tekislik perpendikulyar ravishda kesishuvchi ikkita o'qdan tashkil topgan bo'lsa, mos yozuvlar nuqtasiga ega bo'lsa, u koordinata tekisligi hisoblanadi.
Shuningdek, eksalarning har biri o'z yo'nalishiga ega ekanligini unutmang. Odatda, koordinatalar tizimini qurishda o'qning yo'nalishini o'q shaklida ko'rsatish odatiy holdir. Bundan tashqari, koordinata tekisligini qurishda o'qlarning har biri imzolanadi.
chorak
Keling, koordinata tekisligining choraklari kabi tushuncha haqida bir necha so'z aytaylik. Samolyot ikki o'q bilan to'rt chorakka bo'linadi. Ularning har biri o'z raqamiga ega, samolyotlarning raqamlanishi esa soat sohasi farqli o'laroq.
Kvartallarning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega. Demak, birinchi chorakda abscissa va ordinata musbat, ikkinchi chorakda abscissa manfiy, ordinata musbat, uchinchi chorakda abscissa ham, ordinata ham manfiy, to'rtinchi chorakda abscissa ham, ordinata ham manfiy bo'ladi. musbat, ordinatasi esa manfiy.
Ushbu xususiyatlarni eslab, siz ma'lum bir nuqta qaysi chorakka tegishli ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin. Bundan tashqari, agar siz Dekart tizimidan foydalangan holda hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz kerak bo'lsa, ushbu ma'lumot siz uchun foydali bo'lishi mumkin.
Koordinata tekisligi bilan ishlash
Samolyot tushunchasini aniqlab, uning choraklari haqida gapirganda, biz ushbu tizim bilan ishlash kabi muammoga o'tishimiz mumkin, shuningdek, unga nuqtalar, raqamlar koordinatalarini qanday qo'yish haqida gapirishimiz mumkin. Koordinata tekisligida bu birinchi qarashda ko'rinadigan darajada qiyin emas.
Avvalo, tizimning o'zi qurilgan, unga barcha muhim belgilar qo'llaniladi. Keyin to'g'ridan-to'g'ri nuqtalar yoki raqamlar bilan ishlash mavjud. Bunday holda, hatto raqamlarni qurishda ham, nuqtalar birinchi navbatda tekislikka qo'llaniladi, keyin esa raqamlar allaqachon chizilgan.
Samolyot qurish qoidalari
Agar siz qog'ozda shakllar va nuqtalarni belgilashni boshlashga qaror qilsangiz, sizga koordinatali tekislik kerak bo'ladi. Unda nuqtalarning koordinatalari chizilgan. Koordinatali tekislikni qurish uchun sizga faqat o'lchagich va qalam yoki qalam kerak bo'ladi. Birinchidan, gorizontal abtsissa, keyin vertikal - ordinata chiziladi. O'qlar to'g'ri burchak ostida kesishishini unutmaslik kerak.
Keyingi majburiy element - bu belgilash. Birlik-segmentlar har ikki yo'nalishdagi o'qlarning har birida belgilanadi va imzolanadi. Bu samolyot bilan maksimal qulaylik bilan ishlashingiz uchun amalga oshiriladi.
Bir nuqtani belgilash
Endi koordinata tekisligida nuqtalar koordinatalarini qanday chizish haqida gapiramiz. Bu tekislikda turli xil shakllarni muvaffaqiyatli joylashtirish va hatto tenglamalarni belgilash uchun bilishingiz kerak bo'lgan asoslardir.
Nuqtalarni qurishda ularning koordinatalari qanday to'g'ri yozilganligini esga olish kerak. Shunday qilib, odatda nuqta qo'yish, ikkita raqam qavs ichida yoziladi. Birinchi raqam nuqtaning abscissa o'qi bo'ylab koordinatasini, ikkinchisi - ordinat o'qi bo'ylab ko'rsatadi.
Nuqta shu tarzda qurilishi kerak. Avval o'qda belgilang ho'kiz berilgan nuqta, so'ngra o'qdagi nuqtani belgilang Oy. Keyinchalik, ushbu belgilardan xayoliy chiziqlar torting va ularning kesishish joyini toping - bu berilgan nuqta bo'ladi.
Buning uchun uni belgilash va imzolash kifoya. Ko'rib turganingizdek, hamma narsa juda oddiy va maxsus ko'nikmalarni talab qilmaydi.
Shaklni joylashtirish
Endi koordinata tekisligida figuralarni qurish kabi savolga o'tamiz. Koordinata tekisligida har qanday figurani qurish uchun siz unga nuqta qo'yishni bilishingiz kerak. Agar buni qanday qilishni bilsangiz, unda samolyotga raqamni joylashtirish unchalik qiyin emas.
Avvalo, sizga rasm nuqtalarining koordinatalari kerak bo'ladi. Aynan ular bo'yicha siz tanlaganlarni koordinatalar sistemamizga qo'llaymiz.Keling, to'rtburchak, uchburchak va aylana chizishni ko'rib chiqamiz.
Keling, to'rtburchakdan boshlaylik. Uni qo'llash juda oson. Birinchidan, to'rtburchakning burchaklarini ko'rsatadigan tekislikka to'rtta nuqta qo'llaniladi. Keyin barcha nuqtalar ketma-ket bir-biriga ulanadi.
Uchburchakni chizish ham bundan farq qilmaydi. Bitta narsa shundaki, uning uchta burchagi bor, ya'ni tekislikka uchta nuqta qo'llaniladi, bu uning uchlarini bildiradi.
Doiraga kelsak, bu erda siz ikkita nuqtaning koordinatalarini bilishingiz kerak. Birinchi nuqta aylananing markazi, ikkinchisi uning radiusini bildiruvchi nuqta. Bu ikki nuqta tekislikda chizilgan. Keyin kompas olinadi, ikki nuqta orasidagi masofa o'lchanadi. Kompasning nuqtasi markazni bildiruvchi nuqtaga qo'yiladi va aylana tasvirlanadi.
Ko'rib turganingizdek, bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, asosiysi har doim qo'lda o'lchagich va kompas bor.
Endi siz shakl koordinatalarini qanday tuzishni bilasiz. Koordinata tekisligida buni qilish unchalik qiyin emas, chunki bu birinchi qarashda ko'rinishi mumkin.
xulosalar
Shunday qilib, biz siz bilan har bir talaba bilan shug'ullanishi kerak bo'lgan matematika uchun eng qiziqarli va asosiy tushunchalardan birini ko'rib chiqdik.
Koordinata tekisligi ikki o'qning kesishishidan hosil bo'lgan tekislik ekanligini aniqladik. Uning yordami bilan siz nuqtalarning koordinatalarini o'rnatishingiz, unga shakllar qo'yishingiz mumkin. Samolyot choraklarga bo'lingan, ularning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega.
Koordinata tekisligi bilan ishlashda rivojlanishi kerak bo'lgan asosiy ko'nikma - bu unga berilgan nuqtalarni to'g'ri tuzish qobiliyati. Buning uchun siz o'qlarning to'g'ri joylashishini, choraklarning xususiyatlarini, shuningdek, nuqtalarning koordinatalarini o'rnatish qoidalarini bilishingiz kerak.
Umid qilamizki, biz taqdim etgan ma'lumotlar ochiq va tushunarli bo'lib, siz uchun foydali bo'ldi va ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam berdi.
- O nuqtada kesishgan ikkita o'zaro perpendikulyar koordinata chizig'i - koordinata, shakl to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, Dekart koordinata tizimi deb ham ataladi.
- Koordinatalar tizimi tanlangan tekislik deyiladi koordinata tekisligi. Koordinata chiziqlari deyiladi koordinata o'qlari. Gorizontal - abscissa o'qi (Ox), vertikal - ordinata o'qi (Oy).
- Koordinata o'qlari koordinata tekisligini to'rt qismga - chorakka ajratadi. Kvartallarning seriya raqamlari odatda soat sohasi farqli ravishda hisoblanadi.
- Koordinata tekisligidagi har qanday nuqta uning koordinatalari bilan beriladi - abscissa va ordinata. Masalan, A(3; 4). Ular o'qiydilar: 3 va 4 koordinatali A nuqta. Bu erda 3 - abscissa, 4 - ordinata.
I. A(3; 4) nuqtani qurish.
Absissa 3 ko'rsatadiki, boshlang'ichdan - O nuqtadan o'ngga qoldirilishi kerak 3 bitta segment, so'ngra chetga surib qo'ying 4 bitta segment va nuqta qo'ying.
Gap shundaki A(3; 4).
B nuqtasini qurish (-2; 5).
Noldan chapga bir chetga surib qo'ying 2 bitta kesilgan va keyin yuqoriga 5 yagona kesmalar.
Biz nuqta qo'ydik V.
Odatda bitta segment sifatida olinadi 1 hujayra.
II. xOy koordinata tekisligida nuqtalarni tuzing:
A(-3;1);B(-1;-2);
C(-2:4);D(2;3);
F(6:4);K(4; 0)
III. Tuzilgan nuqtalarning koordinatalarini aniqlang: A, B, C, D, F, K.
A(-4; 3);IN 20);
C(3; 4);D(6;5);
F(0;-3);K(5;-2).
Boshi (kelib chiqishi) umumiy va uzunlik birligi umumiy boʻlgan bir-biriga perpendikulyar boʻlgan ikki yoki uchta kesishuvchi oʻqlardan iborat tartibli sistema deyiladi. to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimi .
Umumiy dekart koordinatalar tizimi (afin koordinatalar tizimi) perpendikulyar o'qlarni ham o'z ichiga olishi mumkin. Frantsuz matematigi Rene Dekart (1596-1662) sharafiga bunday koordinatalar tizimi barcha o'qlarda umumiy uzunlik birligi hisoblangan va o'qlar to'g'ri bo'lgan deb nomlanadi.
Tekislikdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi ikkita eksa bor kosmosdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi - uchta eksa. Tekislikdagi yoki fazodagi har bir nuqta tartiblangan koordinatalar to'plami - koordinatalar tizimining birlik uzunligiga mos keladigan raqamlar bilan aniqlanadi.
E'tibor bering, ta'rifdan kelib chiqqan holda, to'g'ri chiziqda, ya'ni bir o'lchovda Dekart koordinata tizimi mavjud. To'g'ri chiziqqa dekart koordinatalarini kiritish to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasiga aniq aniqlangan haqiqiy son, ya'ni koordinata berish usullaridan biridir.
Rene Dekart asarlarida paydo bo'lgan koordinatalar usuli barcha matematikaning inqilobiy qayta tuzilishini belgilab berdi. Algebraik tenglamalarni (yoki tengsizliklarni) geometrik tasvirlar (grafiklar) ko‘rinishida izohlash va aksincha, analitik formulalar, tenglamalar sistemasi yordamida geometrik masalalar yechimini izlash imkoniyati paydo bo‘ldi. Ha, tengsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy va bu tekislikdan 3 birlik yuqorida joylashgan.
Dekart koordinata tizimi yordamida nuqtaning berilgan egri chiziqqa tegishliligi raqamlarning x va y qandaydir tenglamani qanoatlantiring. Shunday qilib, ma'lum bir nuqtada joylashgan aylananing nuqtasining koordinatalari ( a; b) tenglamani qanoatlantiring (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Tekislikdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi
Tekislikdagi ikkita perpendikulyar o'q umumiy kelib chiqishi va bir xil masshtab birligini hosil qiladi Tekislikdagi kartezian koordinatalar tizimi . Ushbu o'qlardan biri eksa deb ataladi ho'kiz, yoki x o'qi , ikkinchisi - eksa Oy, yoki y o'qi . Bu o'qlar koordinata o'qlari deb ham ataladi. tomonidan belgilang Mx va My mos ravishda ixtiyoriy nuqtaning proyeksiyasi M aks ustida ho'kiz va Oy. Prognozlarni qanday olish mumkin? Nuqta orqali o'ting M ho'kiz. Bu chiziq o'qni kesib o'tadi ho'kiz nuqtada Mx. Nuqta orqali o'ting M o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq Oy. Bu chiziq o'qni kesib o'tadi Oy nuqtada My. Bu quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
x va y ball M mos ravishda yo'naltirilgan segmentlarning kattaliklarini chaqiramiz OMx va OMy. Ushbu yo'nalish segmentlarining qiymatlari mos ravishda quyidagicha hisoblanadi x = x0 - 0 va y = y0 - 0 . Dekart koordinatalari x va y ball M abscissa va ordinata . Bu nuqta M koordinatalariga ega x va y, quyidagicha belgilanadi: M(x, y) .
Koordinata o'qlari tekislikni to'rtga bo'ladi kvadrant , ularning raqamlanishi quyidagi rasmda ko'rsatilgan. Shuningdek, u yoki bu kvadrantda joylashishiga qarab nuqtalarning koordinatalari uchun belgilarning joylashishini ko'rsatadi.
Tekislikdagi Dekart to'rtburchaklar koordinatalaridan tashqari, ko'pincha qutb koordinatalari tizimi ham ko'rib chiqiladi. Bir koordinatalar tizimidan ikkinchisiga o'tish usuli haqida - darsda qutbli koordinatalar tizimi .
Kosmosdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi
Kosmosdagi dekart koordinatalari tekislikdagi Dekart koordinatalari bilan to'liq o'xshashlikda kiritilgan.
Kosmosdagi uchta o'zaro perpendikulyar o'q (koordinata o'qlari) umumiy kelib chiqishi O va bir xil shkala birligi shakli Kosmosdagi kartezian to'rtburchaklar koordinatalar tizimi .
Ushbu o'qlardan biri eksa deb ataladi ho'kiz, yoki x o'qi , ikkinchisi - eksa Oy, yoki y o'qi , uchinchi - o'q Oz, yoki o'qni qo'llash . Mayli Mx, My Mz- ixtiyoriy nuqtaning proyeksiyalari M eksa ustidagi bo'shliqlar ho'kiz , Oy va Oz mos ravishda.
Nuqta orqali o'ting M ho'kizho'kiz nuqtada Mx. Nuqta orqali o'ting M o'qiga perpendikulyar tekislik Oy. Bu tekislik o'qni kesib o'tadi Oy nuqtada My. Nuqta orqali o'ting M o'qiga perpendikulyar tekislik Oz. Bu tekislik o'qni kesib o'tadi Oz nuqtada Mz.
Dekart to'rtburchaklar koordinatalari x , y va z ball M mos ravishda yo'naltirilgan segmentlarning kattaliklarini chaqiramiz OMx, OMy va OMz. Ushbu yo'nalish segmentlarining qiymatlari mos ravishda quyidagicha hisoblanadi x = x0 - 0 , y = y0 - 0 va z = z0 - 0 .
Dekart koordinatalari x , y va z ball M mos ravishda nomlanadi abscissa , ordinata va applikatsiya .
Juft bo‘lib olinganda koordinata o‘qlari koordinata tekisliklarida joylashgan xOy , yOz va zOx .
Dekart koordinata sistemasidagi nuqtalarga oid masalalar
1-misol
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Bu nuqtalarning x o’qidagi proyeksiyalarining koordinatalarini toping.
Yechim. Ushbu darsning nazariy qismidan kelib chiqqan holda, nuqtaning x o'qiga proyeksiyasi x o'qining o'zida, ya'ni o'qda joylashgan. ho'kiz, va shuning uchun nuqtaning o'zi abtsissasiga teng abscissa va ordinataga (o'qdagi koordinata) ega. Oy, x o'qi 0 nuqtada kesishgan), nolga teng. Shunday qilib, biz x o'qidagi ushbu nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
2-misol Nuqtalar tekislikdagi Dekart koordinata tizimida berilgan
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Bu nuqtalarning y o‘qidagi proyeksiyalarining koordinatalarini toping.
Yechim. Ushbu darsning nazariy qismidan kelib chiqadigan bo'lsak, nuqtaning y o'qiga proyeksiyasi y o'qining o'zida, ya'ni o'qda joylashgan. Oy, va shuning uchun nuqtaning o'zi ordinatasiga teng ordinataga va abscissaga (o'qdagi koordinata) ega. ho'kiz, y o'qi 0 nuqtada kesishgan), nolga teng. Shunday qilib, biz y o'qi bo'yicha ushbu nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
3-misol Nuqtalar tekislikdagi Dekart koordinata tizimida berilgan
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
ho'kiz .
ho'kiz ho'kiz ho'kiz, berilgan nuqta bilan bir xil abstsissaga ega bo'ladi va ordinatasi berilgan nuqtaning ordinatasiga mutlaq qiymatiga teng va unga ishorasi bo'yicha qarama-qarshi bo'ladi. Shunday qilib, biz o'qga nisbatan ushbu nuqtalarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz ho'kiz :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Dekart koordinatalari tizimiga oid masalalarni o‘zingiz yeching, so‘ngra yechimlarni ko‘ring
4-misol Nuqta qaysi kvadrantlarda (choraklar, kvadrantli rasm - "Teklikdagi to'rtburchaklar dekart koordinatalar tizimi" paragrafining oxirida) joylashishi mumkinligini aniqlang. M(x; y) , agar
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5-misol Nuqtalar tekislikdagi Dekart koordinata tizimida berilgan
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Ushbu nuqtalarga o'qga nisbatan simmetrik nuqtalarning koordinatalarini toping Oy .
Biz muammolarni birgalikda hal qilishda davom etamiz
6-misol Nuqtalar tekislikdagi Dekart koordinata tizimida berilgan
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Ushbu nuqtalarga o'qga nisbatan simmetrik nuqtalarning koordinatalarini toping Oy .
Yechim. Eksa atrofida 180 daraja aylantiring Oy o'qdan yo'naltirilgan chiziq segmenti Oy shu nuqtaga qadar. Tekislikning kvadrantlari ko'rsatilgan rasmda biz o'qga nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik ekanligini ko'ramiz. Oy, berilgan nuqta bilan bir xil ordinata va abtsissa berilgan nuqtaning abtsissasiga mutlaq qiymatiga teng, ishorasi boʻyicha unga qarama-qarshi boʻladi. Shunday qilib, biz o'qga nisbatan ushbu nuqtalarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7-misol Nuqtalar tekislikdagi Dekart koordinata tizimida berilgan
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Bu nuqtalarga koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan nuqtalarning koordinatalarini toping.
Yechim. Biz boshlang'ichdan berilgan nuqtaga yo'naltirilgan segmentning kelib chiqishi atrofida 180 daraja aylantiramiz. Tekislikning kvadrantlari ko'rsatilgan rasmda koordinatalarning kelib chiqishi bo'yicha berilgan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta abtsissa va berilgan nuqtaning abscissa va ordinatasiga mutlaq qiymatiga teng bo'lgan ordinataga ega bo'lishini ko'ramiz. , lekin ularga qarama-qarshi belgi. Shunday qilib, biz boshlang'ichga nisbatan ushbu nuqtalarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
8-misol
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Ushbu nuqtalarning proyeksiyalarining koordinatalarini toping:
1) samolyotda Oksi ;
2) samolyotga Oxz ;
3) samolyotga Oyz ;
4) abtsissalar o'qi bo'yicha;
5) y o'qi bo'yicha;
6) applikatsiya o'qi bo'yicha.
1) Nuqtaning tekislikka proyeksiyasi Oksi bu tekislikning o'zida joylashgan va shuning uchun berilgan nuqtaning abscissa va ordinatasiga teng abscissa va ordinataga va nolga teng applikatsiyaga ega. Shunday qilib, biz ushbu nuqtalarning proyeksiyalarining quyidagi koordinatalarini olamiz Oksi :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Nuqtaning tekislikka proyeksiyasi Oxz bu tekislikning o'zida joylashgan va shuning uchun berilgan nuqtaning abssissa va applikatsiyasiga teng abscissa va applikatsiyaga va nolga teng ordinataga ega. Shunday qilib, biz ushbu nuqtalarning proyeksiyalarining quyidagi koordinatalarini olamiz Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Nuqtaning tekislikka proyeksiyasi Oyz o'zi shu tekislikda joylashgan va shuning uchun berilgan nuqtaning ordinatasi va applikatsiyasiga teng ordinata va applikatsiyaga, nolga teng abscissaga ega. Shunday qilib, biz ushbu nuqtalarning proyeksiyalarining quyidagi koordinatalarini olamiz Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Ushbu darsning nazariy qismidan kelib chiqqan holda, nuqtaning x o'qiga proyeksiyasi x o'qining o'zida, ya'ni o'qda joylashgan. ho'kiz, va shuning uchun nuqtaning o'zi abssissasiga teng abtsissaga ega va proyeksiyaning ordinatasi va ilovasi nolga teng (chunki ordinata va qo'llaniladigan o'qlar abssissani 0 nuqtada kesishadi). Ushbu nuqtalarning x o'qi bo'yicha proyeksiyalarining quyidagi koordinatalarini olamiz:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) nuqtaning y o'qidagi proyeksiyasi y o'qining o'zida, ya'ni o'qda joylashgan. Oy, va shuning uchun nuqtaning o'zi ordinatasiga teng ordinataga ega va proyeksiyaning abscissa va ilovasi nolga teng (chunki abscissa va qo'llash o'qlari ordinata o'qini 0 nuqtada kesishadi). Ushbu nuqtalarning y o'qi bo'yicha proyeksiyalarining quyidagi koordinatalarini olamiz:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Qo'llaniladigan o'qdagi nuqtaning proyeksiyasi qo'llaniladigan o'qning o'zida, ya'ni o'qda joylashgan. Oz, va shuning uchun nuqtaning oʻzi ilovasiga teng ilovaga ega va proyeksiyaning abscissa va ordinatasi nolga teng (chunki abscissa va ordinata oʻqlari ilova oʻqini 0 nuqtada kesishadi). Ushbu nuqtalarning amaliy o'qdagi proyeksiyalarining quyidagi koordinatalarini olamiz:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
9-misol Nuqtalar fazoda Dekart koordinata tizimida berilgan
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Ushbu nuqtalarga nisbatan simmetrik nuqtalarning koordinatalarini toping:
1) samolyot Oksi ;
2) samolyot Oxz ;
3) samolyot Oyz ;
4) abtsissa o'qi;
5) y o'qi;
6) applikatsiya o'qi;
7) koordinatalarning kelib chiqishi.
1) O'qning boshqa tomonidagi nuqtani "oldinga siljiting" Oksi Oksi, berilgan nuqtaning abssissasi va ordinatasiga teng abscissa va ordinataga, kattaligi boʻyicha berilgan nuqtaning ilovasiga teng, lekin belgisiga qarama-qarshi boʻlgan ilovaga ega boʻladi. Shunday qilib, biz tekislikka nisbatan ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz Oksi :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) O'qning narigi tomonidagi nuqtani "oldinga siljiting" Oxz bir xil masofa uchun. Koordinata maydonini ko'rsatadigan rasmga ko'ra, biz nuqta o'qga nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik ekanligini ko'ramiz. Oxz, berilgan nuqtaning abssissasi va applikatsiyasiga teng abscissa va applikatsiyaga, kattaligi boʻyicha berilgan nuqta ordinatasiga teng, lekin ishorasi boʻyicha qarama-qarshi boʻlgan ordinataga ega boʻladi. Shunday qilib, biz tekislikka nisbatan ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) O'qning boshqa tomonidagi nuqtani "oldinga siljiting" Oyz bir xil masofa uchun. Koordinata maydonini ko'rsatadigan rasmga ko'ra, biz nuqta o'qga nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik ekanligini ko'ramiz. Oyz, berilgan nuqtaning ordinatasi va applikatsiyasiga teng ordinata va applikatsiya, kattaligi bo‘yicha berilgan nuqtaning abssissasiga teng, lekin belgisiga qarama-qarshi bo‘lgan abscissaga ega bo‘ladi. Shunday qilib, biz tekislikka nisbatan ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Tekislikdagi simmetrik nuqtalar va fazodagi nuqtalarni tekisliklarga nisbatan simmetrik ma'lumotlarga o'xshatib, shuni ta'kidlaymizki, fazoda Dekart koordinata tizimining ba'zi o'qlariga nisbatan simmetriya bo'lsa, simmetriya o'rnatiladigan o'qdagi koordinata. o'z belgisini saqlab qoladi va qolgan ikkita o'qdagi koordinatalar mutlaq qiymatda berilgan nuqtaning koordinatalari bilan bir xil, lekin ishoraga qarama-qarshi bo'ladi.
4) Abscissa o'z belgisini saqlab qoladi, ordinata va applikatsiya esa belgilarni o'zgartiradi. Shunday qilib, biz x o'qi haqidagi ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata o'z belgisini saqlab qoladi, abscissa va applikatsiya esa belgilarni o'zgartiradi. Shunday qilib, biz y o'qi haqidagi ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Ilova o'z belgisini saqlab qoladi, abscissa va ordinata belgilarini o'zgartiradi. Shunday qilib, biz ilova o'qi haqidagi ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Tekislikdagi nuqtalarda simmetriyaga o'xshatib, koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetriya bo'lsa, berilgan nuqtaga simmetrik bo'lgan barcha koordinatalar mutlaq qiymatda berilgan nuqta koordinatalariga teng bo'ladi; lekin ularga qarama-qarshi belgi. Shunday qilib, biz boshlang'ichga nisbatan ma'lumotlarga simmetrik bo'lgan nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz.
Bersin ikki oʻzgaruvchili tenglama F(x; y). Siz allaqachon bunday tenglamalarni analitik usulda echishni o'rgandingiz. Bunday tenglamalar yechimlari to'plamini grafik shaklida ham tasvirlash mumkin.
F(x; y) tenglamaning grafigi xOy koordinata tekisligining koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to‘plamidir.
Ikki o‘zgaruvchili tenglamani tuzish uchun avval y o‘zgaruvchini tenglamadagi x o‘zgaruvchisi bilan ifodalang.
Albatta, siz ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan turli xil tenglamalar grafiklarini qanday qurishni allaqachon bilasiz: ax + b \u003d c - to'g'ri chiziq, yx \u003d k - giperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 - radiusi R, markazi esa O(a; b) nuqtada joylashgan aylana.
1-misol
x 2 - 9y 2 = 0 tenglamani chizing.
Yechim.
Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz.
(x - 3y)(x+ 3y) = 0, ya'ni y = x/3 yoki y = -x/3.
Javob: 1-rasm.
Mutlaq qiymat belgisini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan tekislikda raqamlarni belgilash alohida o'rinni egallaydi, biz bu haqda batafsil to'xtalib o'tamiz. |y| ko'rinishdagi tenglamalarni tuzish bosqichlarini ko'rib chiqing = f(x) va |y| = |f(x)|.
Birinchi tenglama tizimga teng
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) yoki y = -f(x).
Ya'ni, uning grafigi ikkita funktsiya grafiklaridan iborat: y = f(x) va y = -f(x), bu erda f(x) ≥ 0.
Ikkinchi tenglamaning grafigini tuzish uchun ikkita funksiyaning grafiklari chiziladi: y = f(x) va y = -f(x).
2-misol
|y| tenglamasini tuzing = 2 + x.
Yechim.
Berilgan tenglama tizimga ekvivalent
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 yoki y = -x - 2.
Biz nuqtalar to'plamini quramiz.
Javob: 2-rasm.
3-misol
|y – x| tenglamasini tuzing = 1.
Yechim.
Agar y ≥ x bo'lsa, u holda y = x + 1, agar y ≤ x bo'lsa, u holda y = x - 1 bo'ladi.
Javob: 3-rasm.
Modul belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar grafiklarini qurishda foydalanish qulay va oqilona. hudud usuli, koordinata tekisligini har bir submodul ifodasi o'z belgisini saqlaydigan qismlarga bo'lish asosida.
4-misol
x + |x| tenglamasini tuzing + y + |y| = 2.
Yechim.
Ushbu misolda har bir submodul ifodasining belgisi koordinatali kvadrantga bog'liq.
1) Birinchi koordinata choragida x ≥ 0 va y ≥ 0. Modul kengaytirilgandan so'ng, berilgan tenglama quyidagicha ko'rinadi:
2x + 2y = 2 va soddalashtirilgandan keyin x + y = 1.
2) Ikkinchi chorakda, bu erda x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) Uchinchi chorakda x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) to'rtinchi chorakda, x ≥ 0 va y uchun< 0 получим, что x = 1.
Biz bu tenglamani choraklarda tuzamiz.
Javob: 4-rasm.
5-misol
Koordinatalari |x – 1| tenglikni qanoatlantiradigan nuqtalar to‘plamini chizing + |y – 1| = 1.
Yechim.
X = 1 va y = 1 submodul ifodalarining nollari koordinata tekisligini to'rtta mintaqaga ajratadi. Keling, modullarni mintaqalar bo'yicha ajratamiz. Keling, buni jadval shaklida qo'yaylik.
| Mintaqa |
Submodul ifoda belgisi |
Modulni kengaytirgandan so'ng hosil bo'lgan tenglama |
| I | x ≥ 1 va y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x+y=1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 va y< 1 | x – y = 1 |
Javob: 5-rasm.
Koordinata tekisligida raqamlar ko'rsatilishi mumkin va tengsizliklar.
Tengsizlik grafigi ikkita o'zgaruvchili - koordinatalari bu tengsizlikning yechimlari bo'lgan koordinata tekisligining barcha nuqtalari to'plami.
O'ylab ko'ring ikki o'zgaruvchili tengsizlikni yechish modelini qurish algoritmi:
- Tengsizlikka mos keladigan tenglamani yozing.
- 1-bosqichdan boshlab tenglamani tuzing.
- Yarim tekisliklardan birida ixtiyoriy nuqtani tanlang. Tanlangan nuqtaning koordinatalari berilgan tengsizlikni qanoatlantirishini tekshiring.
- Tengsizlikning barcha yechimlari to‘plamini grafik tarzda chizing.
Avvalo ax + bx + c > 0 tengsizligini ko'rib chiqaylik. ax + bx + c = 0 tenglama tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi. Ularning har birida f(x) = ax + bx + c funksiya belgini saqlaydi. Bu belgini aniqlash uchun yarim tekislikka tegishli har qanday nuqtani olish va shu nuqtadagi funksiyaning qiymatini hisoblash kifoya. Agar funksiyaning ishorasi tengsizlik belgisi bilan mos tushsa, bu yarim tekislik tengsizlikning yechimi bo'ladi.
Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan eng keng tarqalgan tengsizliklarning grafik yechimlari misollarini ko'rib chiqing.
1) ax + bx + c ≥ 0. 6-rasm.
2)
|x| ≤ a, a > 0. 7-rasm.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. 8-rasm.
4) y ≥ x2. 9-rasm
5)
xy ≤ 1. 10-rasm. 
Agar sizda savollar bo'lsa yoki matematik modellashtirish yordamida ikki o'zgaruvchili tengsizliklarning barcha yechimlari to'plamini modellashtirishni mashq qilmoqchi bo'lsangiz, onlayn o'qituvchi bilan bepul 25 daqiqalik dars keyin. O'qituvchi bilan keyingi ishlash uchun siz o'zingizga eng mosini tanlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.
Savollaringiz bormi? Koordinata tekisligida figurani qanday chizishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.
