Ko'phadning qaytarilmas karralarini ajratish. Faktorizatsiya laboratoriyasi imkoniyatlari

Ushbu onlayn kalkulyator funktsiyani faktorlarga ajratish uchun mo'ljallangan.

Masalan, faktorlarga ajrating: x 2 /3-3x+12. Uni x^2/3-3*x+12 shaklida yozamiz. Siz barcha hisob-kitoblar Word formatida saqlanadigan ushbu xizmatdan ham foydalanishingiz mumkin.

Masalan, atamalarga ajrating. Keling, uni (1-x^2)/(x^3+x) shaklida yozamiz. Yechimning borishini ko‘rish uchun Qadamlarni ko‘rsatish tugmasini bosing. Agar natijani Word formatida olishingiz kerak bo'lsa, ushbu xizmatdan foydalaning.

Eslatma: "pi" (p) soni pi ko'rinishida yoziladi; kvadrat ildiz sqrt sifatida, masalan sqrt(3) , tangens tg yoziladi tan . Javobni ko'rish uchun Muqobilga qarang.

1. Agar oddiy ifoda berilsa, masalan, 8*d+12*c*d, u holda ifodani faktorlarga ajratish ifodani omillar shaklida ifodalashni anglatadi. Buning uchun umumiy omillarni topishingiz kerak. Bu ifodani quyidagicha yozamiz: 4*d*(2+3*c) .
2. Mahsulotni ikkita binom shaklida taqdim eting: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Bu erda siz allaqachon bir nechta umumiy omillarni topishingiz kerak: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Biz (x+7z) ni chiqaramiz va olamiz: (x+7z)(x + 3y) .

Shuningdek qarang: polinomlarni burchak bilan bo'lish (ustun bilan bo'lishning barcha bosqichlari ko'rsatilgan)

Faktorizatsiya qoidalarini o'rganishda foydali bo'ladi qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, uning yordamida kvadrat bilan qavslarni qanday ochish aniq bo'ladi:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktorizatsiya usullari

Bir nechta fokuslarni o'rgangandan so'ng faktorizatsiya Eritmalarni quyidagi tasniflash mumkin:

1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish.
2. Umumiy omilni topish.

Ta'rif 1. Agar c soni noma’lum o‘rniga qo‘yilganda f(x) ko‘phad yo‘qolib qolsa, c ko‘phad f(x) ko‘phadning ildizi deyiladi (yoki f(x)=0 tenglama).

1-misol. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

1 soni f(x) ning ildizi, 2 soni esa f(x) ning ildizi emas, chunki f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 va f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Ma’lum bo‘lishicha, ko‘phadning ildizlari uning bo‘luvchilari bilan bog‘langan.

c soni f(x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi, agar f(x) x-c ga bo‘linsa.

Ta'rif 2. Agar c f(x) ko‘phadning ildizi bo‘lsa, f(x) x-c ga bo‘linadi. U holda f(x) (x-c) k ga bo'linadigan, lekin (x-c) k+1 ga bo'linmaydigan k natural son mavjud. Bu k son f(x) ko’phadning c ildizining ko’paytmasi deyiladi, c ildizning o’zi esa bu ko’phadning k marta ildizidir. Agar k=1 bo'lsa, u holda c ildiz oddiy deyiladi.

f(x) ko‘phadning ildizining k ko‘paytmasini topish uchun quyidagi teoremadan foydalaning:

Agar c soni f(x) ko'phadning k-katta ildizi bo'lsa, u holda k>1 uchun u shu ko'phadning birinchi hosilasining (k-1) barobar ildizi bo'ladi; agar k=1 bo'lsa, u f "(x) uchun c ildiz bo'lib xizmat qilmaydi.

Natija. Birinchi marta f(x) ko‘phadning k-katta ildizi k-chi hosila uchun ildiz bo‘lib xizmat qilmaydi.

2-misol. 2 soni f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 ko‘phadning ildizi ekanligiga ishonch hosil qiling. Uning ko'pligini aniqlang.

Yechim. 2 soni f(x) ning ildizidir, chunki 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

2 soni birinchi marta f"""(x) ning ildizi emas, shuning uchun 2 soni f(x) ko'phadning uch karrali ildizidir.

Etakchi koeffitsienti 1 bo'lgan n≥1 darajali f(x) ko'phad berilsin: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n va a 1 ,... ,a n - uning ildizlari. Polinomning ildizlari va uning koeffitsientlari Vieta formulalari deb ataladigan formulalar bilan bog'lanadi:

a 1 = -(a 1 +...+a n),

a 2 =a 1 a 2 +...+a n-1 a n ,

a 3 = -(a 1 a 2 a 3 +...+a n-2 a n-1 a n),

...........................

a n =(-1) n a 1 a 2 ...a n .

Vietaning formulalari ko'phadni ildizlarini hisobga olgan holda yozishni osonlashtiradi.

3-misol. Oddiy ildizli ko‘phadni toping 2; 3 va qo'sh ildiz -1.

Yechim. Polinomning koeffitsientlarini topamiz:

va 1 =– (2+3–1–1)=-3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

va 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Kerakli polinom x 4 –3x ​​3 –3x 2 –7x+6.

Ta'rif 3. n darajali f(x)ÌP[x] ko‘phad, agar uni darajalari kichik bo‘lgan P[x] dan ikki ph(x) va ps(x) omillar ko‘paytmasiga ajratish mumkin bo‘lsa, P maydonida kamaytiriladi. n:

f(x)=ph(x)ps(x). (1)

f(x)OP[x], agar uning P[x] dan birorta faktorizatsiyasida omillardan biri 0, ikkinchisi n darajaga ega bo'lsa, P maydoni bo'yicha kamaytirilmaydigan deyiladi.

Quyidagi teoremalar amal qiladi:

P[x] halqasidan nolga teng bo'lmagan f(x) har qanday ko'phadni P[x] dan nol daraja ko'rsatkichlarigacha bo'lgan kamaytirilmaydigan omillar ko'paytmasiga ajralishi mumkin.

Bundan osonlik bilan kelib chiqadiki, n, n≥1 darajali har qanday f(x)OR[x] ko‘phad uchun quyidagi qaytarilmas omillarga parchalanish sodir bo‘ladi:

bu yerda yetakchi koeffitsientlari birga teng bo‘lgan P[x] dagi qaytarilmas ko‘phadlar. Polinom uchun bu kengayish noyobdir.

Bunday kengayish tarkibiga kiradigan kamaytirilmaydigan omillar har xil bo'lishi shart emas. Agar qisqartirilmaydigan ko'phad (2) kengaytmada aynan k marta sodir bo'lsa, u f(x) ko'phadning k marta ko'rsatkichi deyiladi.Agar bu kengaytmada P(x) omil faqat bir marta paydo bo'lsa, u holda u f(x) ko'phadning k marta ko'rsatkichi deyiladi. f(x) uchun oddiy omil.

Agar kengayishda (2) bir xil omillar jamlangan bo'lsa, unda bu kengayish quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

, (3)

Bu erda R 1 (x),…, R r (x) omillari allaqachon bir-biridan farq qiladi. Bu erda k 1 ,…,k r ko'rsatkichlari mos omillarning ko'pligiga teng. Kengaytma (3) quyidagicha yozilishi mumkin:

Bu erda F 1 (x) barcha oddiy kamaytirilmaydigan omillarning mahsuloti, barcha ikki barobar kamaytirilmaydigan omillarning mahsuloti va boshqalar. kengaytirishda (3). Agar kengayishda (3) m-katta omillar bo'lmasa, u holda omil bittaga teng deb hisoblanadi.

F 1 (x),…, F s (x) ko‘phadlarni son maydonlari ustidagi f(x) ko‘phadlari hosila tushunchasi, avval tuzilgan teoremadan Evklid algoritmi (hosil bilan bog‘lanish haqida) yordamida topish mumkin. quyida bayon qilinganidek:

Shuning uchun biz olamiz

Shunday qilib, f(x) polinomi uchun omillarni topishimiz mumkin .

Agar f(x) ko‘phad uchun uning kengayishi (4) ning F 1 (x),...,F s (x) omillarini topish zarur bo‘lsa, unda uning ko‘p sonli ko‘rsatkichlarini ajratish zarur, deyishadi.

4-misol. Ko'p sonli ko'rsatkichlarni ajrating f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Yechim. f(x) va f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 gcd ni toping.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Endi biz d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x) ni topamiz.

v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x) ni ifodalaymiz.

(biz bo'linamiz).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(biz bo'linamiz).

Shuning uchun biz F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 ni olamiz,

Demak, f(x) ko‘phad f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 kengaytmaga ega. f(x) ko’phadning (3) kengayishida tub omillar yo’q, qo’sh faktor x-2, uch ko’rsatkich x+1 ga teng.

Eslatma 1. Agar f(x) ko'phadning barcha qaytarilmas omillari oddiy bo'lsa, bu usul hech narsa bermaydi (f(x)=F 1 (x) o'ziga xosligini olamiz).

Eslatma 2. Bu usul ixtiyoriy ko'phadning barcha ildizlarining ko'paytmalarini aniqlash imkonini beradi.

LABORATORIYA ISHLARI VARIANTLARI

Variant 1

1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 ko‘phadning 1+i ildizi borligiga ishonch hosil qiling. Ko‘phadning qolgan ildizlarini toping.

2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 ning karralarini ajrating.

3. Ildizlari: 5, i, i+3 bo‘lgan eng kichik darajali ko‘phadni toping.

Variant 2

1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 ko‘phad uchun x 0 = 2 ildizning ko‘pligi nechaga teng? Uning qolgan ildizlarini toping.

2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 ning alohida karralari.

3. x 3 +px+q=0 tenglamaning koeffitsientlari orasidagi bog'lanishni aniqlang, agar uning ildizlari x 1, x 2, x 3 munosabatni qanoatlantirsa.

Variant 3

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 ko'phad uchun x 0 = 4 ildizning ko'paytmasi nechaga teng? Qolgan ildizlarni toping.

2. X 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 karralarini ajrating.

3. Tenglamaning ildizlaridan biri ikkinchisining ikki barobariga teng bo‘lishi uchun l ni aniqlang: x 3 -7x+l=0.

Variant 4

1. f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 ko‘phadning ildizi x=3 ekanligini ko‘rsating. Uning ko'pligini aniqlang va qolgan ildizlarni toping.

2. x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 ko‘phadning ko‘paytmalarini ajrating.

3. 2x 3 -x 2 -7x+l=0 tenglamaning ikkita ildizi yig‘indisi 1 ga teng. l ni toping.

Variant 5

1. X 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 ko'phadning ildizi x 0 = -2 ekanligini ko'rsating. Uning ko'pligini aniqlang va qolgan ildizlarni toping.

2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 ko'phadning ko'paytmali ko'rsatkichlarini ajrating.

3. 1, 2, 3, 1+i ildizlari berilgan eng kichik darajali ko‘phadni toping.

Variant 6

1. x 5 + ax 4 + b ko'phadning noldan farqli qo'sh ildizga ega bo'lish shartini toping.

2. x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 ko'phadning karrali ko'paytmalarini ajrating.

3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n ko‘phadning x 1, x 2,…, x n ildizlari bor. Ko'phadlar qanday ildizlarga ega: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Variant 7

1. 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 koʻphadning ildizi x=-2 ekanligini koʻrsating. Ildizning ko'pligini toping va ko'phadning qolgan ildizlarini toping.

3. 2x 3 -2x 2 -4x-1 tenglama ildizlari kvadratlari yig‘indisini toping.

Variant 8

1. x=1 ko'phadning ildizi x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 ekanligini isbotlang. Uning ko'pligini aniqlang. Ko‘phadning qolgan ildizlarini toping.

3. Ko‘phadning ildizlaridan biri ikkinchisidan ikki barobar katta. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+l ko‘phadning ildizlarini toping.

Variant 9

1. x 5 +10ax 3 +5bx+c ko‘phadning noldan farqli uchlik ildizga ega bo‘lish shartini toping.

2. x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 ko'phadning ko'paytmalarini ajrating.

3. Agar uning ildizlari arifmetik progressiya hosil qilishi ma’lum bo‘lsa, x 3 -6x 2 +qx+2=0 tenglamani yeching.

Variant 10

1. f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 ko‘phadning ildizi x=3 ekanligini ko‘rsating. Ildizning ko'pligini aniqlang, ko'phadning boshqa ildizlarini toping.

2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 ko'phadning karrali ko'paytmalarini ajrating.

3. 1, 2+i, 3 ildizlari berilgan eng kichik darajadagi haqiqiy koeffitsientli ko‘phadni toping.

Variant 11

1. x=2 ko'phadning ildizi x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 ekanligini ko'rsating. Uning ko'pligini va boshqa ildizlarini toping.

2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 ko'phadning ko'paytmalarini ajrating.

3. Agar ildizlari x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 maʼlum boʻlsa, eng kichik darajali koʻphadni tuzing.

Variant 12

1. X = -1 ko'phadning ildizi x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 ekanligini ko'rsating. Uning ko'paytmasini va ko'phadning qolgan ildizlarini toping.

2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 ko'phadning karrali ko'paytmalarini ajrating.

3. Agar ildizlari x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 maʼlum boʻlsa, eng kichik darajali koʻphadni tuzing.

Variant 13

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 ko'phad uchun x 0 = 4 ildizning ko'paytmasi nechaga teng? Ko‘phadning qolgan ildizlarini toping.

2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 ko‘phadning karrali ko‘paytmalarini ajrating.

3. x 3 -7x+l=0 tenglamaning ildizlaridan biri ikkinchisining ikki barobariga teng bo‘lishi uchun l ni aniqlang.

Tegishli ma'lumotlar.

Ta'rif 1. Agar c soni noma’lum o‘rniga qo‘yilganda f(x) ko‘phad yo‘qolib qolsa, c ko‘phad f(x) ko‘phadning ildizi deyiladi (yoki f(x)=0 tenglama).

1-misol. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.

1 soni f(x) ning ildizi, 2 soni esa f(x) ning ildizi emas, chunki f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0 va f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Ma’lum bo‘lishicha, ko‘phadning ildizlari uning bo‘luvchilari bilan bog‘langan.

c soni f(x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi, agar f(x) x-c ga bo‘linsa.

Ta'rif 2. Agar c f(x) ko‘phadning ildizi bo‘lsa, f(x) x-c ga bo‘linadi. U holda f(x) (x-c) k ga bo'linadigan, lekin (x-c) k+1 ga bo'linmaydigan k natural son mavjud. Bu k son f(x) ko’phadning c ildizining ko’paytmasi deyiladi, c ildizning o’zi esa bu ko’phadning k marta ildizidir. Agar k=1 bo'lsa, u holda c ildiz oddiy deyiladi.

f(x) ko‘phadning ildizining k ko‘paytmasini topish uchun quyidagi teoremadan foydalaning:

Agar c soni f(x) ko'phadning k-katta ildizi bo'lsa, u holda k>1 uchun u shu ko'phadning birinchi hosilasining (k-1) barobar ildizi bo'ladi; agar k=1 bo'lsa, u f "(x) uchun c ildiz bo'lib xizmat qilmaydi.

Natija. Birinchi marta f(x) ko‘phadning k-katta ildizi k-chi hosila uchun ildiz bo‘lib xizmat qilmaydi.

2-misol. 2 soni f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 ko‘phadning ildizi ekanligiga ishonch hosil qiling. Uning ko'pligini aniqlang.

Yechim. 2 soni f(x) ning ildizidir, chunki 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

2 soni birinchi marta f"""(x) ning ildizi emas, shuning uchun 2 soni f(x) ko'phadning uch karrali ildizidir.

Etakchi koeffitsienti 1 bo'lgan n≥1 darajali f(x) ko'phad berilsin: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n va a 1 ,... ,a n - uning ildizlari. Polinomning ildizlari va uning koeffitsientlari Vieta formulalari deb ataladigan formulalar bilan bog'lanadi:

a 1 = -(a 1 +...+a n),

a 2 =a 1 a 2 +...+a n-1 a n ,

a 3 = -(a 1 a 2 a 3 +...+a n-2 a n-1 a n),

...........................

a n =(-1) n a 1 a 2 ...a n .

Vietaning formulalari ko'phadni ildizlarini hisobga olgan holda yozishni osonlashtiradi.

3-misol. Oddiy ildizli ko‘phadni toping 2; 3 va qo'sh ildiz -1.

Yechim. Polinomning koeffitsientlarini topamiz:

va 1 =– (2+3–1–1)=-3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

va 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Kerakli polinom x 4 –3x ​​3 –3x 2 –7x+6.

Ta'rif 3. n darajali f(x)ÌP[x] ko‘phad, agar uni darajalari kichik bo‘lgan P[x] dan ikki ph(x) va ps(x) omillar ko‘paytmasiga ajratish mumkin bo‘lsa, P maydonida kamaytiriladi. n:

f(x)=ph(x)ps(x). (1)

f(x)OP[x], agar uning P[x] dan birorta faktorizatsiyasida omillardan biri 0, ikkinchisi n darajaga ega bo'lsa, P maydoni bo'yicha kamaytirilmaydigan deyiladi.

Quyidagi teoremalar amal qiladi:

P[x] halqasidan nolga teng bo'lmagan f(x) har qanday ko'phadni P[x] dan nol daraja ko'rsatkichlarigacha bo'lgan kamaytirilmaydigan omillar ko'paytmasiga ajralishi mumkin.

Bundan osonlik bilan kelib chiqadiki, n, n≥1 darajali har qanday f(x)OR[x] ko‘phad uchun quyidagi qaytarilmas omillarga parchalanish sodir bo‘ladi:

bu yerda yetakchi koeffitsientlari birga teng bo‘lgan P[x] dagi qaytarilmas ko‘phadlar. Polinom uchun bu kengayish noyobdir.

Bunday kengayish tarkibiga kiradigan kamaytirilmaydigan omillar har xil bo'lishi shart emas. Agar qisqartirilmaydigan ko'phad (2) kengaytmada aynan k marta sodir bo'lsa, u f(x) ko'phadning k marta ko'rsatkichi deyiladi.Agar bu kengaytmada P(x) omil faqat bir marta paydo bo'lsa, u holda u f(x) ko'phadning k marta ko'rsatkichi deyiladi. f(x) uchun oddiy omil.

Agar kengayishda (2) bir xil omillar jamlangan bo'lsa, unda bu kengayish quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

, (3)

Bu erda R 1 (x),…, R r (x) omillari allaqachon bir-biridan farq qiladi. Bu erda k 1 ,…,k r ko'rsatkichlari mos omillarning ko'pligiga teng. Kengaytma (3) quyidagicha yozilishi mumkin:

Bu erda F 1 (x) barcha oddiy kamaytirilmaydigan omillarning mahsuloti, barcha ikki barobar kamaytirilmaydigan omillarning mahsuloti va boshqalar. kengaytirishda (3). Agar kengayishda (3) m-katta omillar bo'lmasa, u holda omil bittaga teng deb hisoblanadi.

F 1 (x),…, F s (x) ko‘phadlarni son maydonlari ustidagi f(x) ko‘phadlari hosila tushunchasi, avval tuzilgan teoremadan Evklid algoritmi (hosil bilan bog‘lanish haqida) yordamida topish mumkin. quyida bayon qilinganidek:

Shuning uchun biz olamiz

Shunday qilib, f(x) polinomi uchun omillarni topishimiz mumkin .

Agar f(x) ko‘phad uchun uning kengayishi (4) ning F 1 (x),...,F s (x) omillarini topish zarur bo‘lsa, unda uning ko‘p sonli ko‘rsatkichlarini ajratish zarur, deyishadi.

4-misol. Ko'p sonli ko'rsatkichlarni ajrating f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Yechim. f(x) va f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 gcd ni toping.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Endi biz d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x) ni topamiz.

v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x) ni ifodalaymiz.

(biz bo'linamiz).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(biz bo'linamiz).

Shuning uchun biz F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 ni olamiz,

Demak, f(x) ko‘phad f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 kengaytmaga ega. f(x) ko’phadning (3) kengayishida tub omillar yo’q, qo’sh faktor x-2, uch ko’rsatkich x+1 ga teng.

Eslatma 1. Agar f(x) ko'phadning barcha qaytarilmas omillari oddiy bo'lsa, bu usul hech narsa bermaydi (f(x)=F 1 (x) o'ziga xosligini olamiz).

Eslatma 2. Bu usul ixtiyoriy ko'phadning barcha ildizlarining ko'paytmalarini aniqlash imkonini beradi.

LABORATORIYA ISHLARI VARIANTLARI

Variant 1

1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 ko‘phadning 1+i ildizi borligiga ishonch hosil qiling. Ko‘phadning qolgan ildizlarini toping.

2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 ning karralarini ajrating.

3. Ildizlari: 5, i, i+3 bo‘lgan eng kichik darajali ko‘phadni toping.

Variant 2

1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 ko‘phad uchun x 0 = 2 ildizning ko‘pligi nechaga teng? Uning qolgan ildizlarini toping.

2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 ning alohida karralari.

3. x 3 +px+q=0 tenglamaning koeffitsientlari orasidagi bog'lanishni aniqlang, agar uning ildizlari x 1, x 2, x 3 munosabatni qanoatlantirsa.

Variant 3

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 ko'phad uchun x 0 = 4 ildizning ko'paytmasi nechaga teng? Qolgan ildizlarni toping.

2. X 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 karralarini ajrating.

3. Tenglamaning ildizlaridan biri ikkinchisining ikki barobariga teng bo‘lishi uchun l ni aniqlang: x 3 -7x+l=0.

Variant 4

1. f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 ko‘phadning ildizi x=3 ekanligini ko‘rsating. Uning ko'pligini aniqlang va qolgan ildizlarni toping.

2. x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 ko‘phadning ko‘paytmalarini ajrating.

3. 2x 3 -x 2 -7x+l=0 tenglamaning ikkita ildizi yig‘indisi 1 ga teng. l ni toping.

Variant 5

1. X 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 ko'phadning ildizi x 0 = -2 ekanligini ko'rsating. Uning ko'pligini aniqlang va qolgan ildizlarni toping.

2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 ko'phadning ko'paytmali ko'rsatkichlarini ajrating.

3. 1, 2, 3, 1+i ildizlari berilgan eng kichik darajali ko‘phadni toping.

Variant 6

1. x 5 + ax 4 + b ko'phadning noldan farqli qo'sh ildizga ega bo'lish shartini toping.

2. x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 ko'phadning karrali ko'paytmalarini ajrating.

3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n ko‘phadning x 1, x 2,…, x n ildizlari bor. Ko'phadlar qanday ildizlarga ega: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Variant 7

1. 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 koʻphadning ildizi x=-2 ekanligini koʻrsating. Ildizning ko'pligini toping va ko'phadning qolgan ildizlarini toping.

3. 2x 3 -2x 2 -4x-1 tenglama ildizlari kvadratlari yig‘indisini toping.

Variant 8

1. x=1 ko'phadning ildizi x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 ekanligini isbotlang. Uning ko'pligini aniqlang. Ko‘phadning qolgan ildizlarini toping.

3. Ko‘phadning ildizlaridan biri ikkinchisidan ikki barobar katta. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+l ko‘phadning ildizlarini toping.

Variant 9

1. x 5 +10ax 3 +5bx+c ko‘phadning noldan farqli uchlik ildizga ega bo‘lish shartini toping.

2. x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 ko'phadning ko'paytmalarini ajrating.

3. Agar uning ildizlari arifmetik progressiya hosil qilishi ma’lum bo‘lsa, x 3 -6x 2 +qx+2=0 tenglamani yeching.

Variant 10

1. f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 ko‘phadning ildizi x=3 ekanligini ko‘rsating. Ildizning ko'pligini aniqlang, ko'phadning boshqa ildizlarini toping.

2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 ko'phadning karrali ko'paytmalarini ajrating.

3. 1, 2+i, 3 ildizlari berilgan eng kichik darajadagi haqiqiy koeffitsientli ko‘phadni toping.

Variant 11

1. x=2 ko'phadning ildizi x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 ekanligini ko'rsating. Uning ko'pligini va boshqa ildizlarini toping.

2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 ko'phadning ko'paytmalarini ajrating.

3. Agar ildizlari x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 maʼlum boʻlsa, eng kichik darajali koʻphadni tuzing.

Variant 12

1. X = -1 ko'phadning ildizi x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 ekanligini ko'rsating. Uning ko'paytmasini va ko'phadning qolgan ildizlarini toping.

2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 ko'phadning karrali ko'paytmalarini ajrating.

3. Agar ildizlari x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 maʼlum boʻlsa, eng kichik darajali koʻphadni tuzing.

Variant 13

1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 ko'phad uchun x 0 = 4 ildizning ko'paytmasi nechaga teng? Ko‘phadning qolgan ildizlarini toping.

2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 ko‘phadning karrali ko‘paytmalarini ajrating.

3. x 3 -7x+l=0 tenglamaning ildizlaridan biri ikkinchisining ikki barobariga teng bo‘lishi uchun l ni aniqlang.

Berilgan ko'phadning bir nechta omillari bor yoki yo'qligini aniqlashga imkon beradigan usullar mavjud va agar javob ijobiy bo'lsa, ular ushbu ko'phadni o'rganishni endi bir nechta omillarni o'z ichiga olmaydi polinomlarni o'rganishga qisqartirish imkonini beradi.

Teorema. Agar ko'phadning ko'paytirilmas koeffitsienti bo'lsa, u bu ko'phadning hosilasining karrali koeffitsienti bo'ladi. Xususan, ko'phadning bosh omili. lotin kengayishiga kirmaydi.

Aslida, ruxsat bering

va endi bo'linmaydi. Tenglikni farqlash (5.1), biz quyidagilarni olamiz:

Qavs ichidagi atamalarning ikkinchisi ga bo'linmaydi. Haqiqatan ham, u shart bilan bo'linmaydi, u pastroq darajaga ega, ya'ni. ga ham bo'linmaydi. Boshqa tomondan, kvadrat qavsdagi yig'indining birinchi hadi bo'linadi, ya'ni. multiplikator aslida ko'plik bilan o'ynaydi.

Ushbu teoremadan va yuqoridagi ikkita ko'phadning eng katta umumiy bo'luvchisini topish usulidan shunday xulosa kelib chiqadiki, agar ko'phadning kamaytirilmas omillarga parchalanishi berilgan bo'lsa:

u holda ko'phad va uning hosilasining eng katta umumiy bo'luvchisi kamaytirilmaydigan omillarga quyidagi parchalanishga ega:

bu erda multiplikator bittaga almashtirilishi kerak. Xususan, ko‘phadda ko‘p sonli ko‘rsatkichlar bo‘lmaydi, agar u o‘z hosilasiga ko‘payuvchi bo‘lsa.

Ko'paytmalarni izolyatsiya qilish

Agar (5.2) kengaytmali ko'phad berilsa va eng katta umumiy bo'luvchi va uning hosilasini belgilasak, (5.3) uchun kengaytma bo'ladi. (5.2) ni (5.3) ga bo'lsak, biz quyidagilarni olamiz:

bular. biz ko'p sonli omillarni o'z ichiga olmaydigan ko'phadni olamiz va har bir kamaytirilmaydigan omil uchun, odatda, pastroq darajaga ega va har holda, faqat tub omillarni o'z ichiga oladi. Agar bu muammo hal etilsa, faqat bo'linish algoritmi yordamida erishiladigan topilgan qaytarilmas omillarning ko'pligini aniqlash qoladi.

Hozir ko'rsatilgan usulni murakkablashtirib, biz darhol bir nechta ko'phadli ko'phadlarni ko'rib chiqishga o'tishimiz mumkin va bu ko'phadlarning kamaytirilmaydigan omillarini topib, biz nafaqat barcha kamaytirilmaydigan omillarni topamiz, balki ularning ko'pligini ham bilib olamiz.

(5.2) qaytarilmas omillarga parchalanish bo'lsin va omillarning eng yuqori ko'pligi, . Ko'phadning barcha yagona omillari ko'paytmasi bilan, barcha qo'sh ko'paytmalar ko'paytmasi bilan, lekin faqat bir marta olingan va hokazolar bilan belgilaymiz, nihoyat, barcha -ko'p sonli ko'paytmalar ko'paytmasi bilan ham bir marta olingan; agar ba'zilari uchun - bir nechta omillar bo'lmasa, biz taxmin qilamiz. Keyin u ko'phad darajasiga bo'linadi va kengayish (5.2) shaklini oladi

va kengaytirish (5.3) uchun shaklda qayta yoziladi

ko‘phadning eng katta umumiy bo‘luvchisi va uning hosilasi orqali va umuman ko‘phadning eng katta umumiy bo‘luvchisi orqali belgilab, shu yo‘l bilan quyidagilarga erishamiz:

……………………………

……………………………

Va nihoyat

Shunday qilib, polinomning qaytarilmas omillarini bilishni talab qilmaydigan, ya'ni hosilani, Evklid algoritmini va bo'linish algoritmini olishni talab qilmaydigan usullardan foydalanib, biz ko'p sonli ko'phadsiz ko'phadlarni topishimiz mumkin va polinomning har bir kamaytirilmaydigan omili - ko'p bo'ladi. uchun.

Misol. Ko‘phadni ko‘paytmalarga ajrating.

Ko'phad shaklda kengayishga ega.

Ko‘phadni ko‘paytmalarga ko‘paytirish dasturini tuzdim.

Windows, Xabarlar, SysUtils, Variantlar, Sinflar, Grafika, Boshqaruv elementlari, Shakllar,

Dialoglar, StdCtrls, Gridlar;

TForm1 = sinf (TForm)

SGd1: TStringGrid;

1-tugma: TB tugmasi;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

protsedura Button1Click(Sender: TObject);

(Shaxsiy deklaratsiyalar)

(Ommaviy deklaratsiyalar)

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:integer;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:butun sonlar massivi;

izub,e,fx:butun sonlar massivi;

protsedurasi TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i,j,k_1,st3,l:integer;

k2_2,k1_1:butun sonlar massivi;

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

uchun i:=0 dan st1 gacha boshlanadi

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

uchun i:=0 dan st1 gacha boshlanadi

agar SGd1.Cells<>"" keyin

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else MessageDlg("Diqqat! Koeffitsient qiymatlari kiritilmagan!",mtWarning,,0);

uchun i:=st1 dan 0 gacha boshlanadi

agar kof1[i]<>0 keyin boshlang

agar (kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

uchun i:=st2 dan 0 gacha boshlanadi

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

agar kof2[i]<>0 keyin boshlang

agar (kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

uchun i:=0 dan st1 gacha boshlanadi

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

uchun i:=0 dan st2 gacha boshlanadi

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

kof2 esa<>0 boshlanadi

//Edit4.Text:="";

agar k1<>kof2 keyin boshlanadi

agar (k1 mod kof2)=0 bo'lsa, boshlang

j:=0 uchun st2 qilish

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

agar k2<>1 keyin

j:=0 uchun st1 qilish

k1[j]:=kof2*k1[j];

agar k_1<>1 keyin boshlang

j:=0 uchun st2 qilish

k2[j]:=k_1*kof2[j];

uchun i:=1 dan st1 gacha boshlanadi

k1:=k1[i]-k2[i];

st1gacha

agar k1<>0 keyin boshlanadi //Qisqartma

i:=1 uchun st1 qilish

agar k1[i]<>0 keyin boshlang

agar (k1[i] mod k1)<>0 keyin sokr:=false;

agar sokr = rost bo'lsa

i:=0 uchun st1 qilish

k1[i]:=k1[i] div k_1;

for i:=0 to st2 do //Ko‘phadlarni almashtirish

k2_2[i]:=kof2[i];

i:=0 uchun st1 qilish

i uchun:=0 dan 10 gacha boshlanadi

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

izub:=0;

izubst:=st2;

uchun i:=0 dan st2 gacha boshlanadi

SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

agar k1[i]<>0 keyin boshlang

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

agar (k2_2>0) va (i

uchun i:=0 dan st1 gacha boshlanadi

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Edit1.Text);

uchun i:=d_st+1 dan 1 gacha boshlanadi

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

// Topish E

n_nod:=1 uchun n_iz boshlanadi

m:=izubst;

uchun i:=n+1 dan 1 gacha boshlanadi

uchun i:=m+1 dan 1 gacha boshlanadi

b[i]:=izub;

uchun i:=n+1 dan 1 gacha boshlanadi

agar a[i]<>0 keyin boshlang

agar (a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

uchun i:=m+1 dan 1 gacha boshlanadi

agar b[i]<>0 keyin boshlang

agar (b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1 dan 1 gacha boshlanadi

j:=m+1 dan 1 gacha boshlanadi

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f uchun 1 gacha boshlanadi

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f uchun 1 gacha boshlanadi

a2[j]:=a2[j]-b2;

uchun i:=f+1 dan 1 gacha boshlanadi

e:=buf[i];

agar buf[i]<>0 keyin boshlang

agar (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

i:=n uchun 0 gacha boshlanadi

agar a2[i]<>0 keyin boshlang

agar (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

n_nod:=1 uchun n_iz-1 dan boshlanadi

m:=est;

uchun i:=n+1 dan 1 gacha boshlanadi

a[i]:=e;

uchun i:=m+1 dan 1 gacha boshlanadi

b[i]:=e;

agar n_nod=n_iz-1 keyin fx:=b[i];

uchun i:=n+1 dan 1 gacha boshlanadi

agar a[i]<>0 dan boshlanadi, agar (a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

uchun i:=m+1 dan 1 gacha boshlanadi

agar b[i]<>0 dan boshlanadi, agar (b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

j:=n+1 dan 1 gacha boshlanadi

i uchun:=qadam+1 dan 1gacha boshlanadi

j:=m+1 dan 1 gacha boshlanadi

b2[j]:=buf[i]*b[j];

j:=f uchun 1 gacha boshlanadi

a2[j]:=a2[j]*b;

j:=f uchun 1 gacha boshlanadi

a2[j]:=a2[j]-b2;

uchun i:=f+1 dan 1 gacha boshlanadi

fx:=buf[i];

agar buf[i]<>0 dan keyin if (buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

i:=n uchun 0 gacha boshlanadi

agar a2[i]<>0 dan keyin agar (a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

i:=1 uchun n_iz boshlanadi

j:=fxst[i] dan 0 gacha boshlanadi

agar fx<>0 keyin boshlang

agar (fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Edit6.Text:=Edit6.Text+s;

i uchun:=0 dan 10 gacha boshlanadi

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

Bir nechta ko'phadning eng katta umumiy bo'luvchisi ularning umumiy bo'luvchisi bo'lib, ularning har qanday umumiy bo'luvchisiga ko'paytiriladi. Agar

d= GCD(f 1 , … ,f n), u holda bunday ko'phadlar mavjud u 1 , … ,u n, Nima

d = u 1 f 1 +… + u n f n .

Bu ifoda chiziqli GCD tasviri deyiladi.

gcd ( f, g) va uning chiziqli tasvirida Evklid algoritmidan foydalaniladi. U birinchi ko'phadning qolgan qismi ikkinchisiga, so'ngra ikkinchisi qolganiga va boshqalar bilan ketma-ket bo'linishdan iborat. Oxirgi noldan farqli qoldiq GCD( f, g). Olingan bo'linish zanjiridan foydalanib, chiziqli tasvir topiladi.

2.1-misol. GCDni toping( f, g

f=X 4 + 2X 3 –X 2 +x + 1;

g= 2X 3 –X – 1.

Yechim. Biz qoldiq bilan bo'linish zanjirini bajaramiz:

R Bo'linish natijalari quyidagi shaklda yoziladi:

f = g  (1/2 x+ 1) – ½ r 1 , r 1 = x 2 – 5x + 4;

g = r 1  (2x + 10) + 41r 2 , r 2 = x – 1; (*)

r 1 = r 2  (x – 4).

Oxirgi noldan farqli qoldiq r 2 =x– 1 gcd( f, g). Biz (*) formulalar yordamida uning chiziqli tasvirini topamiz:

r 1 = 2f– 2g  (1/2 x + 1) = 2f – g  (x + 2);

41r 2 = g – r 1  (2x + 10) = g – (2f – g  (x + 2))  (2x + 10) =

= g– 2(2x+ 10)f+ (x+ 2)(2x+ 10)g= (4x+ 20)f+ (2x 2 + 14x+ 21)g;

GCD( f, g) = x – 1= r 2 =
f +
g.

Izoh: Agar siz GCD ning chiziqli ko'rinishini topishingiz shart bo'lmasa, unda hisob-kitoblar paytida hosil bo'lgan qoldiqlarning raqamli koeffitsientlarini hisobga olish shart emas va ularni yo'q qilish mumkin. Hisob-kitoblarda kasrlar paydo bo'lishining oldini olish uchun bo'linishni amalga oshirishdan oldin dividendni mos butun songa ko'paytirishingiz mumkin.

2.1-mashq. GCDni toping( f, g) va uning chiziqli tasviri:

A) f=X 6 – 4X 5 + 11X 4 – 27X 3 + 37X 2 – 35x + 35;

g=X 5 – 3X 4 + 7X 3 – 20X 2 + 10x – 25.

b) f = 4X 4 – 2X 3 – 16X 2 + 5x + 9;

g= 2X 3 –X 2 – 5X + 4.

3. Ko‘paytmalar

Polinomning formal hosilasi f = a 0 + a 1 x + … + a n x n F maydoni ustidagi polinom deyiladi f  = a 1 + 2a 2 x 2 + … + na n x n-1, qayerga kN,a Bizda bor
.

Polinomlar f Va g ular bir-birining karrali bo'lsa, bog'langan deyiladi. Polinom f halqa ustidagi K, agar u nolga teng bo'lmasa va ikkita qaytarilmas ko'phadning ko'paytmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, K ga nisbatan qaytariladigan deyiladi. Polinom f agar u K ga nisbatan kamaytirilmaydigan bo'lsa va uning har qanday bo'luvchisi bilan bog'langan bo'lsa, uni K ga nisbatan kamaytirilmaydigan deyiladi. f yoki 1. Faqat musbat darajali ko'phadlar maydonda kamaytirilmaydi. Maydon ustidagi ko'phad kamaytirilmaydiganlar mahsulotiga parchalanadi va bu parchalanish tartib va ​​assotsiatsiyaga qadar yagonadir.

Polinom f qaytarilmas omilga ega p ko'plik k, Agar fp k ,fp k+1. Agar ko'paytuvchining ko'paytmasi 1 dan katta bo'lsa, ko'paytma ko'paytma deb ataladi.

3.1 teorema. Agar polinom bo'lsa f maydonda kamaytirilmas omilga ega p ko'plik k, Bu p- qaytarilmas ko'plik omili k-1 uchun f .

Bu teorema ko'phadning karralarini ajratish masalasini hal qilishga yordam beradi f va bu polinom yordamida faktoring. Buning uchun biz GCD( f, f ) =d. Polinom d polinomning bir nechta omillaridan iborat f, ularning har biri kiritilgan d ko'paytmasi dan 1 ga kam f. Agar siz parchalanishingiz mumkin bo'lsa d omillarga ajratiladi, keyin polinomning barcha ko'p omillari aniqlanadi f, faktoring vazifasi esa osonlashadi. Aks holda, polinomni ko'rib chiqishimiz mumkin
. U polinomning barcha tub omillaridan tuzilgan f, 1 ning ko'paytmasi bilan olingan. Agar bu ko'phadni kengaytirib bo'lmasa, siz, masalan, gcd( ni topishingiz mumkin. f 1 , d), yoki tavsiflangan algoritmni ko'phadga qo'llang d.

3.1-misol. Ko‘phadni ko‘paytiring

f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x+ 72.

Yechim. Biz hisoblaymiz f = 5x 4 – 45x 2 – 20x+ 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x+ 12). GCD ning chiziqli tasvirini izlashning hojati yo'qligi sababli, polinom koeffitsientlaridan olingan nolga teng bo'lmagan raqamli koeffitsientlarni olib tashlash mumkin. Shuning uchun, o'rniga f olaylik g =x 4 – 9x 2 – 4x+ 12. Qoldiq bilan bo'linish zanjirini tugatgandan so'ng f yoqilgan g Evklid algoritmiga ko'ra, biz olamiz

f = xg – 6r 1 , r 1 = x 3 + x 2 – 8x– 12;

g = (x– 1)r 1 .

Demak, d = GCD( f, f ) =r 1 = x 3 +x 2 – 8x – 12. Gcd ning darajasi 2 dan katta bo‘lgani uchun va uni faktorlarga ajratish ancha qiyin bo‘lganligi uchun ko‘phadni ko‘rib chiqamiz.
=x 2 –x – 6 = (x– 3)(x+ 2). Chunki f 1 2 darajaga ega va uni faktorlarga ajratish mumkin edi, keyin polinomning barcha qaytarilmas omillari aniqlanadi. f, va faqat ularning ko'pligini aniqlash qoladi. Keling, buni Horner sxemasidan foydalanib qilaylik.

Javob: f= (x+ 2) 3 (x– 3) 2 .

Izoh. Chunki yechish jarayonida polinomning barcha tub omillarini to‘liq aniqladik f, keyin omilning ko'pligini aniqlang ( x– 3) Horner sxemasiga ko‘ra, shart emas edi: polinom darajasi 5 ga, birinchi darajali birinchi omilning ko‘paytmasi 3 ga teng bo‘lgani uchun ikkinchi omilning ko‘paytmasi 2 ga teng bo‘lishi kerak.

Mashqlar.

3.1. Ko‘phadni ko‘paytiring:

A) f = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4;

b) f = x 5 – 6x 4 + 16x 3 – 24x 2 + 20x – 4.

3.2. Polinom ekanligini isbotlang x 2 n – nx n +1 +nx n –1 – 1 raqami uch ildiz sifatida 1 raqamiga ega.