Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi. Funksiyaning nuqta va intervaldagi uzluksizligi. Misollar bilan funksiyaning uzluksizligi nimani anglatadi?
Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi
f(x) funksiya x0 nuqtaning (jumladan, x0 nuqtaning o'zi) O(x0) qo'shnisida aniqlansin.
f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar shu nuqtada f(x) funksiyaning qiymatiga teng limx → x0 f(x) mavjud bo‘lsa: lim.
f(x) = f(x0), (1)
bular. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .
Izoh. Tenglik (1) quyidagicha yozilishi mumkin: lim
bular. uzluksiz funksiya belgisi ostida chegaraga borish mumkin.
Dx = x − x0 argumentning o‘sish qismi, Dy = f(x) − f(x0) funksiyaning mos o‘smasi bo‘lsin.
Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligining zaruriy va yetarli sharti
y = f(x) funksiya x0 da uzluksiz bo'ladi, agar va faqat
Izoh. (2)-shartni nuqtadagi funksiya uzluksizligining ikkinchi ta’rifi sifatida talqin qilish mumkin. Ikkala ta'rif ham ekvivalentdir.
f(x) funksiya yarim oraliqda aniqlansin.
f(x) funksiya, agar bir tomonlama chegara lim bo'lsa, x0 da uzluksiz qoldirilgan deyiladi
Ikki uzluksiz funksiyaning yig'indisi, mahsuloti va qismining uzluksizligi
Teorema 1. Agar f(x) va g(x) funksiyalar x0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) bu nuqtada uzluksiz bo’ladi. nuqta
Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Teorema 2. Agar u(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz, f(u) funksiya esa mos keladigan u0 = f(x0) nuqtada uzluksiz bo’lsa, f(u(x)) kompleks funksiya uzluksiz bo’ladi. x0 nuqtada.
Barcha elementar funktsiyalar o'z ta'rif sohalarining har bir nuqtasida uzluksizdir.
Uzluksiz funksiyalarning lokal xossalari
3-teorema (uzluksiz funksiyaning chegaralanganligi). Agar f(x) funksiya x0 da uzluksiz bo'lsa, f(x) chegaralangan O(x0) qo'shnilik mavjud.
Isbot limiti bo'lgan funksiyaning chegaralanganligi haqidagi bayonotdan kelib chiqadi.
4-teorema (uzluksiz funksiya belgisining barqarorligi). Agar f(x) funksiya x0 va f(x0) ≠ 0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, f(x) ≠ 0 bo’lgan x0 nuqtaning qo’shnisi va shu qo’shnilikda f(x) ning ishorasi mavjud bo’ladi. f(x0) belgisi bilan mos tushadi.
Tanaffus nuqtalarining tasnifi
f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi uzluksizligining (1) sharti f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3) shartga ekvivalent.
Bu yerda f(x 0 − 0) = lim
f(x) va f(x0 + 0) = lim
f(x) - f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi bir tomonlama chegaralari.
Agar (3) shart buzilsa, x0 nuqta f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi. Shart (3) buzilishining turiga qarab, uzilish nuqtalari har xil xususiyatga ega va quyidagilarga bo'linadi:
1. Agar x0 nuqtada f(x0 − 0), f (x0 + 0) va bir tomonlama chegaralar mavjud bo‘lsa.
f(x0 - 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), u holda x0 nuqta f(x) funksiyaning olinadigan uzilish nuqtasi deb ataladi (1-rasm).
Izoh. x0 nuqtada funksiya aniqlanmasligi mumkin.
2. Agar x0 nuqtada f(x0 − 0), f (x0 + 0) va bir tomonlama chegaralar mavjud bo‘lsa.
f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), u holda x0 nuqta f(x) funksiyaning chekli sakrashi bilan uzilish nuqtasi deyiladi (2-rasm).
Izoh. Cheklangan sakrash bilan uzilish nuqtasida funktsiyaning qiymati istalgan bo'lishi mumkin yoki u aniqlanmagan bo'lishi mumkin.
Olinadigan uzilish va chekli sakrash nuqtalari 1-turdagi uzilish nuqtalari deyiladi. Ularning o'ziga xos xususiyati chekli bir tomonlama chegaralarning mavjudligi f(x0 - 0) va
3. Agar x0 nuqtada f(x0 − 0), f (x0 + 0) bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi cheksizlikka teng yoki mavjud bo‘lmasa, u holda 
x0 2-turdagi uzilish nuqtasi deyiladi (3-rasm).
Agar f(x0 − 0), f (x0 + 0) bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi cheksizlikka teng bo‘lsa, u holda x = x 0 to‘g‘ri chiziq y = f funksiya grafigining vertikal asimptotasi deyiladi. (x).
Ta'rif. Qaysidir x0 nuqtaning qo'shnisida aniqlangan f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar funktsiya chegarasi va uning shu nuqtadagi qiymati teng bo'lsa, ya'ni.
Xuddi shu fakt boshqacha yozilishi mumkin:
Ta'rif. Agar f(x) funksiya x0 nuqtaning qaysidir qo‘shnisida aniqlangan bo‘lsa, lekin x0 nuqtaning o‘zida uzluksiz bo‘lmasa, u uzluksiz funksiya, x0 nuqtasi esa uzilish nuqtasi deyiladi.
Ta'rif. f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar har qanday musbat e>0 son uchun D>0 son bo'lsa, har qanday x uchun shartni qondiradigan bo'lsa.
tengsizlik haqiqatdir.
Ta'rif. Agar funktsiyaning x0 nuqtadagi o'sishi cheksiz kichik qiymat bo'lsa, f(x) funksiya x = x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
f(x) = f(x0) + a(x)
bu yerda a(x) x®x0 da cheksiz kichikdir.
Uzluksiz funksiyalarning xossalari.
1) x0 nuqtada uzluksiz funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi x0 nuqtada uzluksiz funksiyadir.
2) Ikki uzluksiz funksiyaning bo'lagi x0 nuqtada g(x) nolga teng bo'lmasa, uzluksiz funksiya hisoblanadi.
3) Uzluksiz funksiyalarning superpozitsiyasi uzluksiz funksiyadir.
Bu xususiyatni quyidagicha yozish mumkin:
Agar u = f(x), v = g(x) x = x0 nuqtada uzluksiz funksiyalar bo'lsa, v = g(f(x)) funksiya ham shu nuqtada uzluksiz funksiya hisoblanadi.
Yuqoridagi xususiyatlarning haqiqiyligini chegara teoremalari yordamida osongina isbotlash mumkin
Intervalda uzluksiz funksiyalarning xossalari.
1-xususiyat: (Vyershtrasning birinchi teoremasi (Vayershtrass Karl (1815-1897) - nemis matematigi)). Intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda chegaralangan, ya'ni. -M £ f(x) £ M sharti segmentda qanoatlantiriladi.
Bu xossaning isboti x0 nuqtada uzluksiz bo'lgan funksiya uning ma'lum bir qo'shnisida chegaralanganligi va agar segment x0 nuqtaga "qisqartirilgan" cheksiz sonli segmentlarga bo'linishiga asoslanadi. , keyin x0 nuqtaning ma'lum bir qo'shnisi hosil bo'ladi.
2-xossa: intervalda uzluksiz bo‘lgan funksiya o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlarini oladi.
Bular. f(x1) = m, f(x2) = M, va x1 va x2 qiymatlari mavjud.
Funktsiya segmentni bir necha marta olishi mumkin bo'lgan eng katta va eng kichik qiymatlarga e'tibor bering (masalan, f(x) = sinx).
Funksiyaning intervaldagi eng katta va eng kichik qiymatlari orasidagi farq funksiyaning intervaldagi tebranishi deb ataladi.
3-xususiyat: (Ikkinchi Bolzano-Koshi teoremasi). Intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda ikkita ixtiyoriy qiymat orasidagi barcha qiymatlarni oladi.
4-xususiyat: Agar f(x) funksiya x = x0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda x0 nuqtaning qandaydir qo’shnisi borki, bunda funksiya o’z belgisini saqlab qoladi.
5-xususiyat: (Bolzanoning birinchi teoremasi (1781-1848) – Koshi). Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa va segmentning uchlarida qarama-qarshi belgilar qiymatlariga ega bo'lsa, u holda bu segmentning ichida f(x) = 0 bo'lgan nuqta mavjud.
Bular. agar (f(a)) ¹ belgisi(f(b)), u holda $ x0: f(x0) = 0.
Ta'rif. Agar har qanday e>0 uchun D>0 bo'lsa, f(x) funksiya oraliqda bir xil uzluksiz deyiladi, shundayki har qanday x1Î va x2Î nuqtalar uchun
ïx2 – x1ï< D
ïf(x2) – f(x1)ï tengsizlik rost< e
Yagona uzluksizlik va “oddiy” uzluksizlik o‘rtasidagi farq shundaki, har qanday e uchun x dan mustaqil bo‘lgan o‘z D mavjud va “oddiy” uzluksizlik bilan D e va x ga bog‘liq.
6-xususiyat: Kantor teoremasi (Georg Kantor (1845-1918) - nemis matematigi). Segmentda uzluksiz funksiya unda bir xil uzluksizdir.
(Bu xususiyat faqat segmentlar uchun to'g'ri, intervallar va yarim intervallar uchun emas.)
Davomiylik ta'rifi
f (x) funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi, agar: f () pp
1) f(x) funksiya a nuqtada aniqlangan,
2) x→ a kabi chekli chegaraga ega 2) x→ a kabi chekli chegaraga ega,
3) bu chegara funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng:
Intervaldagi uzluksizlik
Agar f () pp ru bo'lsa, f (x) funksiya X oraliqda uzluksiz deyiladi
Bu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz.
Bayonot. Barcha elementar funktsiyalar uzluksizdir
Ularni aniqlash sohalari.
Cheklangan funksiya
Funksiya if oraliqda chegaralangan deyiladi
barcha x ∈ uchun shunday M soni mavjud
tengsizlik:| f(x)| ≤ M.
Weierstrassning ikkita teoremasi
Veyershtrasning birinchi teoremasi. Agar funktsiya f (x r r r r f f (
segmentda uzluksiz bo'lsa, u holda bu segmentda chegaralanadi
Veyershtrasning ikkinchi teoremasi. Agar f(x
segmentda uzluksiz bo'lsa, keyin bu segmentga etadi
m ning eng kichik qiymati va M ning eng katta qiymati.
Bolzano-Koshi teoremasi
Agar f (x) funksiya f f () pp pdagi qiymat segmentida uzluksiz bo'lsa
bu segmentning oxirida f (a) va f (b) qarama-qarshi belgilarga ega,
Segment ichida c∈ (a,b) nuqta borki, f (c) = 0. ur p () f ()
Geyne bo'yicha uzluksizlik ta'rifi
Haqiqiy o'zgaruvchining funksiyasi \(f\left(x \right)\) deyiladi davomiy nuqtada \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)haqiqiy sonlar to’plami), agar har qanday ketma-ketlik uchun \(\chap\(((x_n)) \o’ng\ )\ ), shundayki \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] munosabat \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n)) ) \right) = f\left(a \right).\] Amalda \(f\left(x \right)\) funksiyaning uzluksizligi uchun quyidagi \(3\) shartlardan foydalanish qulay. nuqtada \(x = a\) ( bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak):
- \(f\left(x \right)\) funksiya \(x = a\) nuqtada aniqlanadi;
- \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) chegarasi mavjud;
- \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \o'ng)\) tengligi amal qiladi.
Koshi uzluksizligi ta'rifi (\(\varepsilon - \delta\) belgisi)
\(f\left(x \right)\) funksiyasini ko'rib chiqaylik, u \(\mathbb(R)\) haqiqiy sonlar to'plamini haqiqiy sonlarning boshqa \(B\) kichik to'plamiga moslashtiradi. \(f\left(x \o'ng)\) funksiyasi deyiladi davomiy nuqtada \(a \in \mathbb(R)\), agar biron-bir son \(\varepsilon > 0\) uchun \(\delta > 0\) soni mavjud bo'lsa, hammasi uchun \(x \in \) bo'ladi. mathbb (R)\), \[\left| munosabatini qanoatlantiradi (x - a) \o'ng| Argument va funktsiyaning o'sishi bo'yicha uzluksizlikning ta'rifi
Uzluksizlik ta'rifi argument va funktsiyaning o'sishidan foydalangan holda ham shakllantirilishi mumkin. Funktsiya \(x = a\) nuqtada uzluksiz bo'ladi, agar tenglik \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \chap[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \o'ng)) \o'ng] = 0,\] bu erda \(\Delta x = x - a\).
Funktsiya uzluksizligining yuqoridagi ta'riflari haqiqiy sonlar to'plamiga ekvivalentdir.
Funktsiya shunday berilgan oraliqda uzluksiz , agar bu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.
Uzluksizlik teoremalari
Teorema 1.\(f\left(x \right)\) funksiya \(x = a\) nuqtada uzluksiz, \(C\) esa doimiy bo'lsin. U holda \(Cf\left(x \right)\) funksiyasi ham \(x = a\) uchun uzluksizdir.
Teorema 2.
Berilgan ikkita funksiya \(f\left(x \o'ng))\) va \((g\left(x \o'ng))\), \(x = a\) nuqtada uzluksiz. U holda \(f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) bu funksiyalarning yig'indisi \(x = a\) nuqtada ham uzluksiz bo'ladi.
Teorema 3.
Faraz qilaylik, \(f\left(x \o'ng))\) va \((g\left(x \o'ng))\) ikkita funksiya \(x = a\) nuqtada uzluksiz bo'lsin. U holda bu funksiyalarning hosilasi \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) \(x = a\) nuqtada ham uzluksizdir.
Teorema 4.
Berilgan ikkita funksiya \(f\left(x \o'ng))\) va \((g\left(x \o'ng))\), \(x = a\) uchun uzluksiz. U holda bu funksiyalarning nisbati \(\large\frac((f\left(x \right))))((g\left(x \o'ng)))\normalsize\) \(x = a\ uchun ham uzluksiz bo'ladi. ) ga bo'ysunadi, bu \((g\left(a \o'ng)) \ne 0\).
Teorema 5.
Faraz qilaylik, \(f\left(x \o'ng))\) funksiya \(x = a\) nuqtada differensiallansin. U holda \((f\left(x \o'ng))\) funksiya bu nuqtada uzluksiz bo'ladi (ya'ni differentsiallik nuqtadagi funktsiyaning uzluksizligini bildiradi; buning aksi to'g'ri emas).
6-teorema (Cheklangan qiymat teoremasi).
Agar \(f\left(x \o'ng))\) funksiya yopiq va chegaralangan \(\left[ (a,b) \right]\ oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda u yuqoridan va pastdan chegaralanadi. interval. Boshqacha qilib aytganda, \(m\) va \(M\) shunday raqamlar mavjudki, \(\left[(a,b) \o'ng]\) oralig'ida \(x\) hammasi uchun \(1-rasm) .
|
||
1-rasm |
2-rasm |
\((f\left(x \o'ng)) funksiya yopiq va chegaralangan intervalda uzluksiz bo'lsin \(\left[ (a,b) \right]\). Agar \(c\) \((f\left(a \o'ng))\) dan katta va \((f\left(b \o'ng))\ dan kichik bo'lsa, unda raqam mavjud bo'ladi. \(( x_0)\), shundayki \ Bu teorema 2-rasmda tasvirlangan.
Elementar funksiyalarning uzluksizligi
Hammasi elementar funktsiyalar ta'rif sohasining istalgan nuqtasida uzluksizdir.
Funktsiya chaqiriladi boshlang'ich
, agar u cheklangan miqdordagi kompozitsiyalar va kombinatsiyalardan qurilgan bo'lsa
(\(4\) amallar yordamida - qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish va boʻlish)
. Bir guruh asosiy elementar funktsiyalar
o'z ichiga oladi:
Ta'rif. y = f(x) funksiya x0 nuqtada va uning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. y = f(x) funksiya chaqiriladi x0 nuqtada uzluksiz, Agar:
1. mavjud
2. bu chegara funksiyaning x0 nuqtadagi qiymatiga teng: 
Limitni belgilashda f(x) ni x0 nuqtada aniqlab bo‘lmasligi, agar u shu nuqtada aniqlansa, f(x0) qiymati chegarani aniqlashda hech qanday tarzda ishtirok etmasligi ta’kidlandi. Uzluksizlikni aniqlashda f(x0) ning mavjudligi asosiy hisoblanadi va bu qiymat lim f(x) ga teng bo'lishi kerak.
Ta'rif. y = f(x) funksiya x0 nuqtada va uning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar barcha e>0 uchun musbat d soni shunday bo'lsa, x0 nuqtaning d-qo'shnisidagi barcha x uchun (ya'ni |x-x0|
Bu erda chegaraning qiymati f(x0) ga teng bo'lishi kerakligi hisobga olinadi, shuning uchun chegara ta'rifi bilan solishtirganda, d-mahallaning 0 teshilish sharti olib tashlanadi.
Keling, o'sish bo'yicha yana bitta (avvalgiga teng) ta'rif beramiz. Dx = x - x0 ni belgilaymiz; bu qiymatni argumentning o'sishi deb ataymiz. Chunki x->x0, keyin Dx->0, ya'ni Dx - b.m. (cheksiz) miqdor. DU = f(x)-f(x0) ni belgilaymiz, bu qiymatni funktsiyaning o'sishi deb ataymiz, chunki |Du| (etarlicha kichik |Dx| uchun) ixtiyoriy e>0 sonidan kichik bo'lishi kerak, u holda Du- ham b.m. qiymat, shuning uchun
Ta'rif. y = f(x) funksiya x0 nuqtada va uning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. f(x) funksiya chaqiriladi x0 nuqtada uzluksiz, agar argumentdagi cheksiz kichik o'sish funksiyadagi cheksiz kichik o'sishga mos kelsa.
Ta'rif. x0 nuqtada uzluksiz bo'lmagan f(x) funksiyasi, uzluksiz deb ataladi ayni paytda.
Ta'rif. f(x) funksiya X to'plamda uzluksiz deyiladi, agar u shu to'plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.
Yig'indi, ko'paytma, qismning uzluksizligi haqidagi teorema 
Uzluksiz funksiya belgisi ostida chegaraga o'tish teoremasi 
Uzluksiz funksiyalar superpozitsiyasining uzluksizligi haqidagi teorema
f(x) funksiya oraliqda aniqlansin va shu oraliqda monoton bo‘lsin. U holda f(x) bu segmentda faqat birinchi turdagi uzilish nuqtalariga ega bo'lishi mumkin.
Oraliq qiymat teoremasi. Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa va ikkita nuqtada a va b (a b dan kichik) teng bo'lmagan qiymatlarni qabul qilsa A = f(a) ≠ B = f(b), u holda har qanday C soni uchun. A va B o'rtasida yotgan c ∈ nuqtasi mavjud bo'lib, bunda funktsiyaning qiymati C ga teng: f(c) = C.
Intervaldagi uzluksiz funksiyaning chegaralanganligi haqidagi teorema. Agar f(x) funksiya oraliqda uzluksiz bo'lsa, u shu oraliqda chegaralangan bo'ladi.
Minimal va maksimal qiymatlarga erishish teoremasi. Agar f(x) funksiya oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda shu oraliqda u o'zining pastki va yuqori chegaralariga etadi.
Teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema. y=f(x) funksiya uzluksiz va [a,b] oraliqda qat’iy ortib boruvchi (kamayuvchi) bo‘lsin. Keyin segmentda teskari funktsiya mavjud bo'ladi x = g (y), shuningdek, monoton ravishda ortib borayotgan (kamayuvchi) va uzluksiz.
Bitta o‘zgaruvchining uzluksiz funksiyasining asosiy teoremalari va xossalarining ta’riflari va formulalari berilgan. Uzluksiz funksiyaning nuqtadagi, segmentdagi xossalari, kompleks funksiyaning chegarasi va uzluksizligi, uzilish nuqtalarining tasnifi ko‘rib chiqiladi. Teskari funksiyaga oid ta’riflar va teoremalar berilgan. Elementar funksiyalarning xossalari tasvirlangan.
TarkibBiz davomiylik tushunchasini quyidagicha shakllantirishimiz mumkin o'sishlar bo'yicha. Buning uchun biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, u nuqtadagi x o'zgaruvchining o'sishi deb ataladi. U holda funktsiya if nuqtasida uzluksiz bo'ladi
.
Keling, yangi funktsiyani kiritamiz:
.
Uni chaqirishadi funktsiyaning o'sishi nuqtada. U holda funktsiya if nuqtasida uzluksiz bo'ladi
.
O'ngda (chapda) davomiylik ta'rifi
Funktsiya f (x) chaqirdi x nuqtada o'ngda (chapda) uzluksiz 0
, agar u bu nuqtaning ba'zi o'ng (chap tomonli) qo'shnilarida aniqlangan bo'lsa va agar o'ng (chap) nuqtada chegarasi x 0
x da funksiya qiymatiga teng 0
:
.
Uzluksiz funksiyaning chegaralanganligi haqidagi teorema
Funktsiya f bo'lsin (x) x nuqtada uzluksizdir 0
. Keyin U mahallasi bor (x0), bunda funksiya cheklangan.
Uzluksiz funksiya belgisining saqlanishi haqidagi teorema
Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsin. Va bu nuqtada u ijobiy (salbiy) qiymatga ega bo'lsin:
.
Keyin funktsiya ijobiy (salbiy) qiymatga ega bo'lgan nuqtaning qo'shnisi mavjud:
da .
Uzluksiz funksiyalarning arifmetik xossalari
Funktsiyalar va nuqtada uzluksiz bo'lsin.
Keyin funktsiyalari, va nuqtada uzluksiz.
Agar , u holda funksiya nuqtada uzluksizdir.
Chap-o'ng uzluksizlik xususiyati
Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'ladi, agar u o'ngda va chapda uzluksiz bo'lsa.
Xususiyatlarning isboti “Bir nuqtada uzluksiz funksiyalar xossalari” sahifasida berilgan.
Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Murakkab funksiya uchun uzluksizlik teoremasi
Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsin. Va funksiya nuqtada uzluksiz bo'lsin.
U holda kompleks funksiya nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Murakkab funktsiya chegarasi
Funksiyaning uzluksiz funksiya chegarasi haqidagi teorema
Funktsiyaning chegarasi bo'lsin va u quyidagilarga teng:
.
Mana t nuqtasi 0
chekli yoki cheksiz masofali bo'lishi mumkin: .
Va funksiya nuqtada uzluksiz bo'lsin.
U holda murakkab funktsiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga teng:
.
Kompleks funktsiya chegarasi haqidagi teorema
Funktsiya chegaraga ega bo'lsin va nuqtaning teshilgan qo'shnisini nuqtaning teshilgan qo'shnisiga ko'rsating. Funktsiya shu mahallada aniqlansin va uning chegarasi bo'lsin.
Mana oxirgi yoki cheksiz uzoq nuqtalar: . Mahallalar va ularning tegishli chegaralari ikki tomonlama yoki bir tomonlama bo'lishi mumkin.
U holda murakkab funksiyaning chegarasi mavjud va u quyidagilarga teng:
.
Tanaffus nuqtalari
Tanaffus nuqtasini aniqlash
Funktsiya nuqtaning ba'zi bir teshilgan mahallasida aniqlansin. Nuqta deyiladi funktsiyaning uzilish nuqtasi, agar ikkita shartdan biri bajarilsa:
1) da belgilanmagan;
2) da belgilangan, lekin bu nuqtada emas.
1-turdagi uzilish nuqtasini aniqlash
Nuqta deyiladi birinchi turdagi uzilish nuqtasi, agar tanaffus nuqtasi bo'lsa va chap va o'ngda chekli bir tomonlama chegaralar mavjud:
.
Funktsiya sakrashning ta'rifi
O'tish D funktsiyasi bir nuqtada o'ng va chapdagi chegaralar orasidagi farq
.
Tanaffus nuqtasini aniqlash
Nuqta deyiladi olinadigan uzilish nuqtasi, agar chegara bo'lsa
,
lekin nuqtadagi funksiya yo aniqlanmagan yoki chegaraviy qiymatga teng emas: .
Shunday qilib, olinadigan uzilish nuqtasi 1-turdagi uzilish nuqtasi bo'lib, bunda funksiyaning sakrashi nolga teng.
2-turdagi uzilish nuqtasini aniqlash
Nuqta deyiladi ikkinchi turdagi uzilish nuqtasi, agar u 1-turdagi uzilish nuqtasi bo'lmasa. Ya'ni, agar hech bo'lmaganda bir tomonlama chegara bo'lmasa yoki hech bo'lmaganda bir nuqtada bir tomonlama chegara cheksizlikka teng bo'lsa.
Intervalda uzluksiz funksiyalarning xossalari
Intervalda uzluksiz funksiya ta’rifi
Funktsiya ochiq intervalning barcha nuqtalarida (at) va mos ravishda a va b nuqtalarida uzluksiz bo'lsa, (at) intervalda uzluksiz deyiladi.
Intervalda uzluksiz funksiyaning chegaralanganligi haqidagi Veyershtrasning birinchi teoremasi
Agar funktsiya oraliqda uzluksiz bo'lsa, u shu oraliqda chegaralanadi.
Maksimal (minimal) ga erishish mumkinligini aniqlash
Agar argument mavjud bo'lsa, funktsiya to'plamda maksimal (minimal) ga etadi
Barcha uchun .
Yuqori (pastki) yuzning erishish imkoniyatini aniqlash
Agar argument mavjud bo'lsa, funktsiya to'plamda o'zining yuqori (pastki) chegarasiga etadi
.
Uzluksiz funksiyaning maksimal va minimumi haqidagi Veyershtrasning ikkinchi teoremasi
Segmentda uzluksiz funksiya undagi yuqori va pastki chegaralarga yetib boradi yoki bir xil bo‘lgan segmentda maksimal va minimumga etadi.
Bolzano-Koshi oraliq qiymat teoremasi
Funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsin. Va C segmentning oxiridagi funktsiya qiymatlari orasida joylashgan ixtiyoriy son bo'lsin: va . Keyin bir nuqta bor
.
Xulosa 1
Funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsin. Va segmentning oxiridagi funktsiya qiymatlari turli xil belgilarga ega bo'lsin: yoki . Keyin funktsiyaning qiymati nolga teng bo'lgan nuqta bor:
.
Xulosa 2
Funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsin. Qo'yib yubor . Keyin funktsiya barcha qiymatlarni va faqat quyidagi qiymatlarni intervalgacha oladi:
da .
Teskari funksiyalar
Teskari funktsiyaning ta'rifi
Funktsiya X ta'rif sohasiga va Y qiymatlar to'plamiga ega bo'lsin. Va u mulkka ega bo'lsin:
Barcha uchun .
U holda Y to'plamning istalgan elementi uchun X to'plamning faqat bitta elementini bog'lash mumkin, buning uchun . Ushbu yozishmalar chaqirilgan funktsiyani belgilaydi teskari funktsiya ga. Teskari funktsiya quyidagicha ifodalanadi:
.
Ta'rifdan kelib chiqadiki
;
Barcha uchun ;
Barcha uchun .
To'g'ridan-to'g'ri va teskari funktsiyalarning o'zaro monotonligi haqida lemma
Agar funktsiya qat'iy ravishda ortib borayotgan (kamayuvchi) bo'lsa, u holda teskari funktsiya mavjud bo'lib, u ham qat'iy ravishda ortib boradi (kamayuvchi).
To`g`ri va teskari funksiyalar grafiklarining simmetriya xossasi
To'g'ri va teskari funksiyalarning grafiklari to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.
Intervaldagi teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema
Funktsiya uzluksiz bo'lsin va segmentda qat'iy ravishda ortib borsin (kamayishi). Keyin teskari funktsiya aniqlangan va segmentda uzluksiz bo'lib, u qat'iy ravishda ortadi (kamayadi).
Ortib borayotgan funktsiya uchun. Kamaytirish uchun - .
Intervaldagi teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema
Funktsiya uzluksiz va ochiq chekli yoki cheksiz intervalda qat'iy ravishda ortib boruvchi (kamayuvchi) bo'lsin. Keyin teskari funktsiya aniqlangan va intervalda uzluksiz bo'lib, u qat'iy ravishda ortadi (kamayadi).
Ortib borayotgan funktsiya uchun.
Kamaytirish uchun: .
Shunga o'xshab, yarim oraliqda teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teoremani shakllantirishimiz mumkin.
Elementar funksiyalarning xossalari va uzluksizligi
Elementar funktsiyalar va ularning teskari funktsiyalari o'zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir. Quyida biz tegishli teoremalarning formulalarini keltiramiz va ularning isbotlariga havolalar beramiz.
Eksponensial funktsiya
Eksponensial funktsiya f (x) = a x, asosi bilan a > 0
ketma-ketlikning chegarasi hisoblanadi
,
bu erda x ga moyil bo'lgan ratsional sonlarning ixtiyoriy ketma-ketligi:
.
Teorema. Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari
Eksponensial funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
(P.0) belgilangan, uchun, hamma uchun;
(P.1) a ≠ uchun 1
ko'p ma'noga ega;
(P.2) da qat'iy ortadi, qat'iy kamayadi, da doimiy;
(3-bet) ;
(P.3*) ;
(4-bet) ;
(P.5) ;
(6-bet) ;
(7-bet) ;
(8-bet) hamma uchun doimiy;
(P.9) da ;
da .
Logarifm
Logarifmik funktsiya yoki logarifm, y = log a x, asosi bilan a a asosli ko'rsatkichli funktsiyaga teskari funktsiyadir.
Teorema. Logarifmning xossalari
A, y = asosli logarifmik funksiya log a x, quyidagi xususiyatlarga ega:
(L.1) aniqlangan va uzluksiz, va uchun, argumentning ijobiy qiymatlari uchun;
(L.2) ko'p ma'noga ega;
(L.3) kabi qat'iy ortadi, qat'iy ravishda kamayadi;
(L.4) da ;
da ;
(L.5) ;
(L.6) da ;
(L.7) da ;
(L.8) da ;
(L.9) da .
Ko'rsatkich va natural logarifm
Ko'rsatkichli funktsiya va logarifmning ta'riflarida kuchning asosi yoki logarifmning asosi deb ataladigan doimiy paydo bo'ladi. Matematik tahlilda, aksariyat hollarda, e raqami asos sifatida ishlatilsa, oddiyroq hisob-kitoblar olinadi:
.
Asos e bo'lgan ko'rsatkichli funksiya ko'rsatkich: , asosi e bo'lgan logarifm esa natural logarifm: deyiladi.
Ko'rsatkich va natural logarifmning xossalari sahifalarda keltirilgan
"Exponent, e x kuchiga",
"Natural logarifm, ln x funktsiyasi"
Quvvat funktsiyasi
Ko'rsatkich p bilan quvvat funktsiyasi f funksiyasi (x) = x p, uning x nuqtadagi qiymati p nuqtadagi x asosli ko'rsatkichli funktsiya qiymatiga teng.
Bundan tashqari, f (0) = 0 p = 0 p > uchun 0
.
Bu erda argumentning manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun y = x p quvvat funktsiyasining xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Ratsional m uchun, toq m uchun, quvvat funksiyasi manfiy x uchun ham aniqlanadi. Bunday holda, uning xossalarini juft yoki toq yordamida olish mumkin.
Ushbu holatlar batafsil ko'rib chiqiladi va "Quvvat funktsiyasi, uning xususiyatlari va grafiklari" sahifasida tasvirlangan.
Teorema. Quvvat funksiyasining xossalari (x ≥ 0)
Ko‘rsatkichi p bo‘lgan y = x p quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
(C.1) to'plamda aniqlangan va uzluksiz
da ,
da ".
Trigonometrik funktsiyalar
Trigonometrik funksiyalarning uzluksizligi haqidagi teorema
Trigonometrik funktsiyalar: sinus ( gunoh x), kosinus ( chunki x), tangens ( tg x) va kotangent ( ctg x
Teskari trigonometrik funksiyalarning uzluksizligi haqidagi teorema
Teskari trigonometrik funksiyalar: arksinus ( arcsin x), yoy kosinus ( arccos x), arttangens ( arktan x) va yoy tangensi ( arcctg x), ta'rif sohalarida uzluksizdir.
Adabiyotlar:
O.I. Besov. Matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalar. 1-qism. Moskva, 2004 yil.
L.D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.
Funktsiyaning nuqtadagi uzluksizligi.
Bir nuqtaning qo'shnisida aniqlangan funktsiya chaqiriladi bir nuqtada uzluksiz, agar funktsiyaning chegarasi va uning ushbu nuqtadagi qiymati teng bo'lsa, ya'ni.
Xuddi shu fakt boshqacha yozilishi mumkin:
Agar funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida aniqlangan bo'lsa, lekin nuqtaning o'zida uzluksiz bo'lmasa, u chaqiriladi portlovchi funktsiya, nuqta esa uzilish nuqtasidir.
Uzluksiz funksiyaga misol:
0 x 0 -D x 0 x 0 +D x
Uzluksiz funksiyaga misol:
Har qanday musbat son uchun shartni qondiradigan har qanday raqam uchun tengsizlik rost bo'ladigan son bo'lsa, funktsiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Funktsiya chaqiriladi davomiy nuqtada, agar nuqtadagi funktsiyaning o'sishi cheksiz kichik qiymat bo'lsa.
qaerda cheksiz kichik .
Uzluksiz funksiyalarning xossalari.
1) nuqtada uzluksiz funksiyalarning yig‘indisi, ayirmasi va mahsuloti nuqtada uzluksiz funksiyadir;
2) ikkita uzluksiz funktsiyaning qismi nuqtada nolga teng bo'lmasligi sharti bilan uzluksiz funktsiyadir;
3) uzluksiz funksiyalarning superpozitsiyasi - uzluksiz funksiya mavjud.
Bu xususiyatni quyidagicha yozish mumkin:
Agar nuqtada uzluksiz funktsiyalar bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiya ham uzluksiz funktsiyadir.
Yuqoridagi xususiyatlarning haqiqiyligini osongina isbotlash mumkin,
chegara teoremalaridan foydalanish.
Ayrim elementar funksiyalarning uzluksizligi.
1. Funktsiya , ta'rifning butun sohasi bo'yicha uzluksiz funksiyadir.
2. Ratsional funktsiya maxraj nolga aylanadigan qiymatlardan tashqari barcha qiymatlar uchun uzluksizdir. Shunday qilib, ushbu turdagi funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab uzluksizdir.
3. Trigonometrik funksiyalar va ularning aniqlanish sohasi uzluksizdir.
Funksiyaning 3-xususiyatini isbotlaymiz.
Funktsiyaning o'sishini yoki transformatsiyadan keyin yozamiz:
Haqiqatan ham, ikkita funktsiya va ning mahsuloti uchun chegara mavjud. Bu holda, kosinus funksiyasi uchun cheklangan funktsiya va beri sinus funksiyaning chegarasi, u holda u da cheksiz kichikdir.
Shunday qilib, cheklangan funksiya va cheksiz kichik ko'paytma mavjud, shuning uchun bu mahsulot, ya'ni. funksiya cheksiz kichikdir. Yuqorida ko'rib chiqilgan ta'riflarga muvofiq, funktsiya ta'rif sohasidan har qanday qiymat uchun uzluksiz funktsiyadir, chunki uning bu nuqtadagi o'sishi cheksiz kichik qiymatdir.
Tanaffus nuqtalari va ularning tasnifi.
Keling, nuqta qo'shnisida uzluksiz bo'lgan ba'zi bir funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu nuqtaning o'zi bundan mustasno. Funktsiyaning uzilish nuqtasining ta'rifidan kelib chiqadiki, agar funktsiya shu nuqtada aniqlanmagan bo'lsa yoki unda uzluksiz bo'lmasa, uzilish nuqtasi mavjud.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, funktsiyaning uzluksizligi bir tomonlama bo'lishi mumkin. Keling, buni quyidagicha tushuntiramiz.
Agar bir tomonlama chegara bo'lsa (yuqoriga qarang), u holda funksiya to'g'ri uzluksiz deyiladi.
Nuqta deyiladi uzilish nuqtasi funktsiya biror nuqtada aniqlanmagan yoki bu nuqtada uzluksiz bo'lmasa.
Nuqta deyiladi 1-turdagi uzilish nuqtasi, agar bu nuqtada funktsiya chekli, lekin teng bo'lmagan chap va o'ng chegaralarga ega bo'lsa:
Ushbu ta'rifning shartlarini qondirish uchun funktsiya nuqtada aniqlanishi shart emas, uning chap va o'ng tomonida aniqlangan bo'lishi kifoya.
Ta'rifdan xulosa qilishimiz mumkinki, 1-turdagi uzilish nuqtasida funktsiya faqat chekli sakrashga ega bo'lishi mumkin. Ba'zi maxsus holatlarda, ba'zan 1-turdagi uzilish nuqtasi ham deyiladi olinadigan buzilish nuqtasi, lekin biz bu haqda quyida ko'proq gaplashamiz.
Nuqta deyiladi 2-turdagi uzilish nuqtasi, agar bu nuqtada funktsiya bir tomonlama chegaralardan kamida bittasiga ega bo'lmasa yoki ulardan kamida bittasi cheksiz bo'lsa.
1-misol . Dirixlet funktsiyasi (Dirichlet Peter Gustav (1805-1859) - nemis matematigi, Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi 1837)
x 0 hech qanday nuqtada uzluksiz emas.
2-misol . Funktsiya nuqtada 2-turdagi uzilish nuqtasiga ega, chunki .
3-misol .
Funktsiya nuqtada aniqlanmagan, lekin unda chekli chegara mavjud, ya'ni. nuqtada funksiya 1-turdagi uzilish nuqtasiga ega. Bu olinadigan sinish nuqtasi, chunki funktsiyani aniqlasangiz:
Ushbu funktsiyaning grafigi:
4-misol .
Bu funktsiya belgi bilan ham ko'rsatilgan. Funktsiya nuqtada aniqlanmagan. Chunki funksiyaning chap va o'ng chegaralari har xil bo'lsa, uzilish nuqtasi 1-turga kiradi. Agar funktsiyani nuqtada qo'yish orqali kengaytirsak, u holda funksiya o'ng tomonda uzluksiz bo'ladi, agar qo'ysak, u holda funksiya chap tomonda uzluksiz bo'ladi, agar biz 1 yoki -1 dan boshqa istalgan songa teng qo'ysak, u holda funktsiya na chapda, na o'ngda uzluksiz bo'ladi, lekin hamma hollarda u nuqtada 1-turdagi uzilishga ega bo'ladi. Ushbu misolda 1-turdagi uzilish nuqtasi olib tashlanmaydi.
Shunday qilib, 1-turdagi uzilish nuqtasi olinadigan bo'lishi uchun o'ng va chapdagi bir tomonlama chegaralar chekli va teng bo'lishi va bu nuqtada funksiya aniqlanmagan bo'lishi kerak.
2.2. Funksiyaning interval va segmentdagi uzluksizligi.
Funktsiya chaqiriladi uzluksiz oraliqda (segment), agar u intervalning (segmentning) istalgan nuqtasida uzluksiz bo'lsa.
Bunda funksiyaning segment yoki interval oxiridagi uzluksizligi talab qilinmaydi, segment yoki intervalning uchlarida faqat bir tomonlama uzluksizlik talab qilinadi.
Intervalda uzluksiz funksiyalarning xossalari.
Mulk 1. (Vayershtrasning birinchi teoremasi (Karl Veyershtras (1815-1897) - nemis matematigi)). Intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda chegaralangan, ya'ni. segmentda quyidagi shart bajariladi:
Bu xususiyatning isboti shundan iboratki, nuqtada uzluksiz bo'lgan funktsiya uning qaysidir qo'shnisida chegaralangan bo'lsa va agar siz segmentni nuqtaga "qisqartirilgan" cheksiz sonli segmentlarga ajratsangiz, u holda a nuqtaning ma'lum qo'shnisi hosil bo'ladi.
Mulk 2. Segmentda uzluksiz bo'lgan funksiya undagi eng katta va eng kichik qiymatlarni oladi.
Bular. shunday qiymatlar bor va bu , , va:
Qayd qilaylik. Ushbu eng katta va eng kichik qiymatlarni funksiya segmentni bir necha marta olishi mumkin (masalan, -).
Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari orasidagi farq deyiladi ikkilanish segmentdagi funktsiyalar.
Mulk 3. (Ikkinchi Bolzano-Koshi teoremasi). Intervalda uzluksiz bo'lgan funksiya bu oraliqda ikkita ixtiyoriy qiymat orasidagi barcha qiymatlarni oladi.
Mulk 4. Agar funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda funktsiya o'z belgisini saqlab qoladigan nuqtaga qo'shni bo'ladi.
Mulk 5. (Bolzanoning birinchi teoremasi (1781-1848) - Koshi). Agar funktsiya segmentda uzluksiz bo'lsa va segmentning uchlarida qarama-qarshi belgilarning qiymatlari bo'lsa, u holda bu segmentning ichida nuqta mavjud bo'ladi. va nolga yaqin.
nuqtada funksiya 1-turdagi uzilish nuqtasida uzluksiz
