TARQISH XUSUSIYATLARI

Pozitsiya xususiyatlaridan - matematik kutish, median, rejim - tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish xususiyatlariga o'tamiz. x. dispersiya D(X)= a 2, standart og'ish a va o'zgarish koeffitsienti v. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun dispersiyaning ta'rifi va xususiyatlari oldingi bobda ko'rib chiqilgan. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun

Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizining manfiy bo'lmagan qiymatidir:

Variatsiya koeffitsienti standart og'ishning matematik kutishga nisbati:

Variatsiya koeffitsienti - qachon qo'llaniladi M(X)> O - tarqalishni nisbiy birliklarda o'lchaydi, standart og'ish esa - mutlaq.

Misol 6. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor uchun X dispersiyani, standart og'ish va o'zgarish koeffitsientini toping. Dispersiya quyidagicha:

O'zgaruvchan almashtirish yozish imkonini beradi:

qayerda dan = f - aU2.

Shunday qilib, standart og'ish va o'zgaruvchanlik koeffitsienti:

TASOSODIY QIYMATLARNING TRANSFORMASIYALARI

Har bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun X yana uchta miqdorni aniqlang - markazlashtirilgan Y, normallashtirilgan V va berilgan U. Markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi Y berilgan tasodifiy miqdor orasidagi farqdir X va uning matematik kutilishi M(X), bular. Y=X - M(X). Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi Y 0 ga teng va dispersiya berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasidir:

tarqatish funktsiyasi Fy(x) markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi Y taqsimlash funktsiyasi bilan bog'liq F(x) asl tasodifiy miqdor X nisbat:

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarning zichligi uchun tenglik

Normallashtirilgan tasodifiy miqdor V berilgan tasodifiy miqdorning nisbati X uning standart og'ishi a ga, ya'ni. V = XIo. Normallashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi V xususiyatlari orqali ifodalanadi X Shunday qilib:

Bu erda v - dastlabki tasodifiy miqdorning o'zgarish koeffitsienti x. Tarqatish funktsiyasi uchun Fv(x) va zichlik fv(x) normallashtirilgan tasodifiy miqdor V bizda ... bor:

qayerda F(x)- dastlabki tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi x; tuzatish) uning ehtimollik zichligi.

Qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchi U markazlashtirilgan va normallashtirilgan tasodifiy miqdor:

Qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Normallashtirilgan, markazlashtirilgan va qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar nazariy tadqiqotlarda ham, algoritmlarda, dasturiy mahsulotlarda, me'yoriy-texnik va ko'rsatma va uslubiy hujjatlarda doimiy ravishda qo'llaniladi. Xususan, tenglik tufayli M(U) = 0, D(lf) = 1 usullarni asoslashni, teoremalarni shakllantirishni va hisoblash formulalarini soddalashtirishga imkon beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni o'zgartirish va umumiy rejadan foydalaniladi. Demak, agar U = aX + b, qayerda lekin Va b demak, ba'zi raqamlar

Misol 7. Agar lekin= 1/G, b = -M(X)/G, u holda Y kamaytirilgan tasodifiy miqdor bo'lib, (8) formulalar (7) formulalarga aylantiriladi.

Har bir tasodifiy o'zgaruvchi bilan X Y = formula bilan berilgan Y tasodifiy miqdorlar to'plamini ulash mumkin Oh + b har xilda a > 0 va b. Ushbu to'plam deyiladi shkalani kesish oilasi, tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan yaratilgan x. Tarqatish funktsiyalari Fy(x) taqsimot funksiyasi tomonidan hosil qilingan taqsimotlarning masshtabli siljishlar oilasini tashkil qiladi F(x). Y= oʻrniga aX + b tez-tez ishlatiladigan belgi

Raqam dan shift parametri va raqam deb ataladi d- masshtab parametri. Formula (9) buni ko'rsatadi X- ma'lum qiymatni o'lchash natijasi - K ga o'tadi - bir xil qiymatni o'lchash natijasi, agar o'lchov boshlanishi bir nuqtaga o'tkazilsa. dan, va keyin yangi o'lchov birligidan foydalaning, in d eskisidan ko'ra ko'proq.

Shkala-shift oilasi uchun (9), taqsimot X standart deb ataladi. Ehtimoliy-statistik qarorlar qabul qilish usullari va boshqa amaliy tadqiqotlarda standart normal taqsimot, standart Weibull-Gnedenko taqsimoti, standart gamma taqsimoti qo'llaniladi.

tarqatish va boshqalar (pastga qarang).

Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa transformatsiyalari ham qo'llaniladi. Masalan, ijobiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun X ko'rib chiqing Y = IgX, qayerda IgX- sonning o'nlik logarifmi x. Tenglik zanjiri

taqsimlash funktsiyalari bilan bog'liq X Va Y.

Yuqorida biz tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonuniyatlari bilan tanishdik. Har bir taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik xususiyatlarini to'liq tavsiflaydi va tasodifiy o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan har qanday hodisalarning ehtimolliklarini hisoblash imkonini beradi. Biroq, amaliyotning ko'pgina savollarida bunday to'liq tavsifga ehtiyoj yo'q va ko'pincha taqsimotning muhim xususiyatlarini tavsiflovchi faqat individual raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya. Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari tarqaladigan o'rtacha, bu tarqalishning kattaligini tavsiflovchi ba'zi bir raqam. Bu raqamlar taqsimotning eng muhim xususiyatlarini qisqacha ifodalash uchun mo'ljallangan va deyiladi tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari orasida, birinchi navbatda, ular tasodifiy o'zgaruvchining sonlar o'qi bo'yicha o'rnini aniqlaydigan xususiyatlarni ko'rib chiqadilar, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati, uning atrofida uning mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlanadi. Ehtimollar nazariyasidagi pozitsiyaning xususiyatlaridan eng katta rol o'ynaydi kutilgan qiymat, bu ba'zan oddiygina tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati deb ataladi.

Faraz qilaylik, diskret SW?, qiymatlarni oladi x ( , x 2 ,..., x p ehtimollar bilan R j, p 2 ,...y Ptv bular. tarqatish seriyasi tomonidan berilgan

Bu tajribalarda qiymat bo'lishi mumkin x x kuzatilgan N( marta, qiymat x 2 - N 2 marta,..., qiymat x n - N n bir marta. Shu bilan birga + N 2 +... + N n =N.

Kuzatish natijalarining o'rtacha arifmetik qiymati

Agar N katta, ya'ni. N- "Oh, unda

tarqatish markazini tavsiflash. Shu tarzda olingan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati matematik kutish deb ataladi. Keling, ta'rifning og'zaki formulasini beraylik.

Ta'rif 3.8. matematik kutish (MO) diskret SV% - bu uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari ko'paytmalari yig'indisiga teng son (M belgisi):

Endi diskret CV ning mumkin bo'lgan qiymatlari soni hisoblanishi mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqing, ya'ni. bizda RR bor

Matematik kutish formulasi o'zgarishsiz qoladi, faqat yig'indining yuqori chegarasida P oo bilan almashtiriladi, ya'ni.

Bunday holda, biz allaqachon ajralishi mumkin bo'lgan ketma-ketlikni olamiz, ya'ni. tegishli CV ^ matematik kutishga ega bo'lmasligi mumkin.

3.8-misol. CB?, tarqatish seriyasi tomonidan berilgan

Keling, ushbu SW ning MO ni topamiz.

Yechim. Ta'rifi bo'yicha. bular. Mt, mavjud emas.

Shunday qilib, SW qiymatlarining sanaladigan soni bo'lsa, biz quyidagi ta'rifni olamiz.

Ta'rif 3.9. matematik kutish, yoki o'rtacha qiymat, diskret SW, Sanoqli qiymatlar soniga ega bo'lgan, uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklarning ko'paytmalari qatorining yig'indisiga teng son deyiladi, agar bu qator mutlaqo yaqinlashsa, ya'ni.

Agar bu qator shartli ravishda ajralib chiqsa yoki yaqinlashsa, unda biz CV ^ ning matematik kutilishi yo'qligini aytamiz.

Zichlik bilan diskretdan uzluksiz SWga o'tamiz p(x).

Ta'rif 3.10. matematik kutish, yoki o'rtacha qiymat, doimiy SW ga teng sonni chaqirdi

bu integral absolyut yaqinlashsa.

Agar bu integral shartli ravishda ajralib chiqsa yoki yaqinlashsa, ular uzluksiz CB? ning matematik kutilishi yo'qligini aytishadi.

Izoh 3.8. J tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari bo'lsa;

faqat intervalga tegishli ( lekin; b) keyin

Matematik kutish ehtimollar nazariyasida qo'llaniladigan yagona pozitsiya xarakteristikasi emas. Ba'zan rejim va median ishlatiladi.

Ta'rif 3.11. Moda CB ^ (belgisi Mot,) uning eng ehtimoliy qiymati deyiladi, ya'ni. ehtimoli bo'lgan biri pi yoki ehtimollik zichligi p(x) eng yuqori qiymatiga etadi.

Ta'rif 3.12. Median SV?, (belgisi uchrashdi) uchun shunday qiymat deyiladi P(t> Met) = P(? > uchrashdi) = 1/2.

Geometrik jihatdan, uzluksiz SW uchun mediana o'qdagi ushbu nuqtaning abscissasidir Oh, buning uchun uning chap va o'ng tomonidagi maydonlar bir xil va 1/2 ga teng.

3.9-misol. SWt,tarqatish raqamiga ega

SW ning matematik kutilishi, rejimi va medianasini topamiz

Yechim. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Men(?) mavjud emas.

3.10-misol. Uzluksiz CB % zichlikka ega

Keling, matematik kutish, mediana va rejimni topamiz.

Yechim.

p(x) maksimalga etadi, keyin Shubhasiz, mediana ham teng, chunki nuqtadan o'tadigan chiziqning o'ng va chap tomonlari teng.

Ehtimollar nazariyasida pozitsiyaning xarakteristikalari bilan bir qatorda, turli maqsadlar uchun bir qator sonli xarakteristikalar ham qo'llaniladi. Ular orasida lahzalar - boshlang'ich va markaziy - alohida ahamiyatga ega.

Ta'rif 3.13. K-tartibning dastlabki momenti SW?, matematik kutish deyiladi k-chi Ushbu qiymat darajasi: =M(t > k).

Diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik kutishning ta'riflaridan kelib chiqadi

Izoh 3.9. Shubhasiz, 1-tartibning boshlang'ich momenti matematik kutishdir.

Markaziy momentni aniqlashdan oldin biz markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning yangi tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 3.14. Markazlashtirilgan CV - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan og'ishi, ya'ni.

Buni tekshirish oson

Tasodifiy o'zgaruvchini markazlashtirish, ko'rinib turibdiki, boshlang'ichni M nuqtaga o'tkazishga teng. Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari deyiladi markaziy nuqtalar.

Ta'rif 3.15. K-tartibning markaziy momenti SW % matematik kutish deyiladi k-chi markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining darajalari:

Matematik kutishning ta'rifidan kelib chiqadiki

Shubhasiz, har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun ^ 1-tartibning markaziy momenti nolga teng: x bilan= M(? 0) = 0.

Amaliyot uchun ikkinchi markaziy nuqta alohida ahamiyatga ega 2 dan. Bu dispersiya deb ataladi.

Ta'rif 3.16. dispersiya CB?, mos keladigan markazlashtirilgan qiymat kvadratining matematik kutilishi deb ataladi (notatsiya D?)

Dispersiyani hisoblash uchun to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan quyidagi formulalarni olish mumkin:

Formulani (3.4) o'zgartirib, hisoblash uchun quyidagi formulani olishimiz mumkin D.L.

SW ning tarqalishi xarakterlidir tarqalish, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi.

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun, aniqlik uchun, dispersiyaning xarakteristikasi sifatida, o'lchami tasodifiy o'zgaruvchiga to'g'ri keladigan raqamdan foydalanish qulay. Buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini oling. Olingan qiymat chaqiriladi standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi. Biz uni quyidagicha belgilaymiz: a = l / w.

Salbiy bo'lmagan CB uchun?, ba'zan u xarakteristikasi sifatida ishlatiladi o'zgaruvchanlik koeffitsienti, standart og'ishning matematik kutishga nisbatiga teng:

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va standart og'ishini bilib, siz uning mumkin bo'lgan qiymatlari diapazoni haqida taxminiy tasavvurga ega bo'lishingiz mumkin. Ko'pgina hollarda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari% faqat vaqti-vaqti bilan M oralig'idan tashqariga chiqadi deb taxmin qilishimiz mumkin; ± uchun. Biz keyinroq asoslab beradigan normal taqsimot uchun bu qoida deyiladi uch sigma qoidasi.

Matematik kutish va dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Matematik kutish va dispersiya ta'rifidan ushbu raqamli xususiyatlarning ba'zi oddiy va juda aniq xususiyatlari kelib chiqadi.

Protozoamatematik kutish va dispersiyaning xossalari.

1. Tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchining matematik kutilishi dan c qiymatiga teng: M(lar) = s.

Haqiqatan ham, qiymatdan beri dan 1 ehtimollik bilan faqat bitta qiymat qabul qiladi, u holda M(s) = dan 1 = s.

2. Tasodifiy bo'lmagan c o'zgaruvchining dispersiyasi nolga teng, ya'ni. D(c) = 0.

Haqiqatan ham, DC \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Tasodifiy bo‘lmagan ko‘paytuvchini kutish belgisidan chiqarish mumkin: M(c^) = c M(?,).

Keling, ushbu xususiyatning haqiqiyligini diskret RV misolida ko'rsatamiz.

RV taqsimot seriyasi bilan berilsin

Keyin

Binobarin,

Bu xususiyat uzluksiz tasodifiy miqdor uchun xuddi shunday isbotlangan.

4. Kvadrat dispersiya belgisidan tasodifiy bo‘lmagan ko‘paytuvchini chiqarish mumkin:

Tasodifiy o'zgaruvchining qancha ko'p momentlari ma'lum bo'lsa, biz taqsimlash qonuni haqida shunchalik batafsil fikrga ega bo'lamiz.

Ehtimollar nazariyasi va uning qo'llanilishida 3 va 4 tartiblarning markaziy momentlari, assimetriya koeffitsienti yoki m x ga asoslangan tasodifiy miqdorning yana ikkita raqamli xarakteristikalaridan foydalaniladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun kutilgan qiymat :

Tasodifiy o'zgaruvchilar ehtimoli bo'yicha mos keladigan qiymat qiymatlarining yig'indisi.

Moda X tasodifiy o'zgaruvchining (Mod) eng ehtimoliy qiymati deyiladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun.

Unimodal taqsimot

Ko'p modal taqsimot

Umuman olganda, Mod va kutilgan qiymat emas

mos.

Median X tasodifiy o'zgaruvchining (Med) P(X) ehtimoli bo'lgan qiymat Med). Har qanday Med tarqatish faqat bitta bo'lishi mumkin.

Med egri chiziq ostidagi maydonni 2 ta teng qismga ajratadi. Unimodal va nosimmetrik taqsimotda

Lahzalar.

Ko'pincha amalda ikki turdagi moment qo'llaniladi: boshlang'ich va markaziy.

Boshlanish momenti. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining X tartibi quyidagi shaklning yig'indisidir:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uchun tartibning boshlang'ich momenti integraldir , ko'rinib turibdiki, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi birinchi boshlang'ich momentdir.

M belgisi (operator) yordamida --tartibning boshlang'ich momentini mat shaklida ifodalash mumkin. ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning th darajasining kutilishi.

Markazlashtirilgan mos keladigan X tasodifiy o'zgaruvchining tasodifiy o'zgaruvchisi X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan chetlanishidir:

Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi 0 ga teng.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun bizda:

Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari deyiladi Markaziy daqiqalar

Buyurtmaning markaziy vaqti X tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining th kuchining matematik kutilishi deyiladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun:

Turli tartiblarning markaziy va boshlang'ich momentlari o'rtasidagi munosabat

Barcha momentlardan birinchi moment (matematik. kutish) va ikkinchi markaziy moment ko'pincha tasodifiy miqdorning xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.

Ikkinchi markaziy moment deyiladi dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi. Uning belgilanishi bor:

Ta'rifi bo'yicha

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun:

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X tasodifiy o'zgaruvchilarning uning matematik kutilishi atrofida tarqalishining (tarqalishining) xarakteristikasidir.

Dispersiya sochilishini bildiradi. Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega.

Dispersiyani vizual tavsiflash uchun tasodifiy o'zgaruvchining o'lchami bilan bir xil m y qiymatidan foydalanish qulayroqdir. Buning uchun dispersiyadan ildiz olinadi va - deb ataladigan qiymat olinadi. standart og'ish (RMS) X tasodifiy o'zgaruvchisi, belgilashni kiritishda:

Standart og'ish ba'zan X tasodifiy o'zgaruvchining "standarti" deb ataladi.