Masalalarda paralelogramma. Parallelogramm, uchburchak, trapetsiya maydonini qanday topish mumkin Paralelogramm maydonini qanday hisoblash mumkin

Geometrik maydon- bu raqamning o'lchamini ko'rsatadigan geometrik shaklning raqamli xarakteristikasi (bu raqamning yopiq konturi bilan chegaralangan sirtning bir qismi). Maydonning o'lchami undagi kvadrat birliklar soni bilan ifodalanadi.

Uchburchak maydoni formulalari

1. Yon va balandlik uchun uchburchak maydoni formulasi
   Uchburchakning maydoni uchburchakning bir tomoni uzunligi va bu tomonga chizilgan balandlik uzunligi ko'paytmasining yarmiga teng
   
2. Uchburchakning maydoni uchun formulada uch tomoni va aylana radiusi berilgan
   
3. Uchburchakning maydoni uchun formulada uchta tomon va chizilgan doira radiusi berilgan
   Uchburchakning maydoni uchburchakning yarim perimetri va chizilgan aylana radiusining mahsulotiga teng.
   
Bu erda S - uchburchakning maydoni,
- uchburchak tomonlarining uzunliklari,
- uchburchakning balandligi,
- tomonlar orasidagi burchak va,
- chizilgan doira radiusi,
R - aylana radiusi,

Kvadrat maydon formulalari

1. Tomonning uzunligi berilgan kvadrat maydoni uchun formula
   kvadrat maydon uning yon uzunligi kvadratiga teng.
2. Diagonal uzunligi berilgan kvadrat maydoni uchun formula
   kvadrat maydon uning diagonali uzunligi kvadratining yarmiga teng.
   

   S=	1	2
   	2

bu erda S - kvadratning maydoni,
kvadrat tomonining uzunligi,
kvadrat diagonalining uzunligi.

To'rtburchaklar maydoni formulasi

To'rtburchaklar maydoni uning ikki qo‘shni tomoni uzunliklarining ko‘paytmasiga teng

Bu erda S - to'rtburchakning maydoni,
to'rtburchak tomonlarining uzunliklari.

Parallelogramm maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi uchun paralelogramma maydoni formulasi
   Paralelogramma maydoni
2. Ikki tomon va ular orasidagi burchakka parallelogramm maydoni formulasi berilgan
   Paralelogramma maydoni uning tomonlari uzunliklarini ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasiga teng.
   

   a b sina

bu erda S - parallelogrammning maydoni,
- parallelogramm tomonlarining uzunliklari,
parallelogramm balandligi,
- parallelogrammning tomonlari orasidagi burchak.

Romb maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi berilgan romb maydoni formulasi
   Romb maydoni uning tomoni uzunligi va bu tomonga tushirilgan balandlik uzunligi ko'paytmasiga teng.
2. Yonning uzunligi va burchagi berilgan rombning maydoni uchun formula
   Romb maydoni uning tomoni uzunligi kvadrati va romb tomonlari orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng.
3. Rombning diagonallari uzunligidan uning maydoni formulasi
   Romb maydoni uning diagonallari uzunliklari ko'paytmasining yarmiga teng.
bu erda S - rombning maydoni,
- romb tomonining uzunligi,
- romb balandligining uzunligi,
- rombning yon tomonlari orasidagi burchak;
1, 2 - diagonallarning uzunliklari.

Trapesiya maydoni formulalari

1. Trapezoid uchun Heron formulasi

   Bu erda S - trapetsiya maydoni,
   - trapetsiya asoslarining uzunligi;
   - trapetsiya tomonlarining uzunligi,
   

Paralelogramma tomonlari juft parallel boʻlgan toʻrtburchakdir.

Bu rasmda qarama-qarshi tomonlar va burchaklar bir-biriga teng. Paralelogrammaning diagonallari bir nuqtada kesishadi va uni ikkiga bo'ladi. Paralelogramma maydoni formulalari tomonlar, balandlik va diagonallar orqali qiymatni topishga imkon beradi. Parallelogramma alohida holatlarda ham ifodalanishi mumkin. Ular to'rtburchak, kvadrat va romb deb hisoblanadi.
Birinchidan, parallelogrammning maydonini balandligi va uning tushirilgan tomoni bo'yicha hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Bu ish klassik hisoblanadi va qo'shimcha tekshirishni talab qilmaydi. Ikki tomondan maydonni va ular orasidagi burchakni hisoblash formulasini ko'rib chiqish yaxshiroqdir. Hisoblashda xuddi shu usul qo'llaniladi. Agar tomonlar va ular orasidagi burchak berilgan bo'lsa, u holda maydon quyidagicha hisoblanadi:

Faraz qilaylik, bizga tomonlari a = 4 sm, b = 6 sm bo'lgan parallelogramma berilgan bo'lsa, ular orasidagi burchak a = 30 ° ga teng. Maydonni topamiz:

Diagonallar bo'yicha parallelogrammning maydoni

Diagonallar bo'yicha parallelogramm maydonining formulasi tezda qiymatni topishga imkon beradi.
Hisob-kitoblar uchun diagonallar orasidagi burchakning qiymati kerak.

Diagonallar orqali parallelogrammning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqing. Diagonallari D = 7 sm, d = 5 sm bo'lgan parallelogramma berilsin, ular orasidagi burchak a = 30 ° ga teng. Formuladagi ma'lumotlarni almashtiring:

Diagonal orqali parallelogrammning maydonini hisoblash misoli bizga ajoyib natija berdi - 8,75.

Diagonal bo'yicha parallelogramm maydonining formulasini bilib, siz ko'plab qiziqarli muammolarni hal qilishingiz mumkin. Keling, ulardan birini ko'rib chiqaylik.

Vazifa: 92 kvadrat metr maydonga ega parallelogramma berilgan. qarang F nuqta uning BC tomonining o'rtasida joylashgan. Keling, parallelogramamizda joylashgan ADFB trapesiyasining maydonini topamiz. Boshlash uchun, keling, shartlarga muvofiq olgan hamma narsani chizamiz.
Keling, yechimga o'tamiz:

Bizning shartlarimizga ko'ra, ah \u003d 92 va shunga ko'ra, trapetsiyamizning maydoni teng bo'ladi.

Parallelogrammaning maydonini qanday topishni o'rganishdan oldin, parallelogramm nima ekanligini va uning balandligi nima ekanligini eslab qolishimiz kerak. Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel (parallel chiziqlar ustida yotgan) boʻlgan toʻrtburchakdir. Bu tomonni o'z ichiga olgan chiziqqa qarama-qarshi tomondagi ixtiyoriy nuqtadan chizilgan perpendikulyar parallelogramm balandligi deyiladi.

Kvadrat, to'rtburchak va romb parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Paralelogrammning maydoni (S) bilan belgilanadi.

Parallelogrammaning maydonini topish uchun formulalar

S=a*h, bu yerda a asos, h asosga chizilgan balandlik.

S=a*b*sina, bu yerda a va b asoslar, a esa a va b asoslar orasidagi burchak.

S \u003d p * r, bu erda p - yarim perimetr, r - parallelogramma ichiga kiritilgan aylananing radiusi.

a va b vektorlari hosil qilgan parallelogrammning maydoni berilgan vektorlar mahsulotining moduliga teng, xususan:

№1 misolni ko'rib chiqing: Yoni 7 sm va balandligi 3 sm bo'lgan parallelogramma berilgan. Parallelogrammaning maydonini qanday topish mumkin, bizga yechish uchun formula kerak.

Demak, S= 7x3. S=21. Javob: 21 sm 2.

2-misolni ko'rib chiqaylik: asoslar 6 va 7 sm, asoslar orasidagi burchak esa 60 daraja. Parallelogrammaning maydonini qanday topish mumkin? Yechish uchun formuladan foydalaniladi:

Shunday qilib, avval burchakning sinusini topamiz. Sinus 60 \u003d 0,5, mos ravishda S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Javob: 21 sm 2.

Umid qilamanki, ushbu misollar sizga muammolarni hal qilishda yordam beradi. Va esda tutingki, asosiysi formulalarni bilish va ehtiyotkorlikdir

Paralelogramma nima? Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

1. Parallelogrammaning maydoni quyidagi formula bilan hisoblanadi:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Qayerda:
a - parallelogrammning tomoni,
h a - bu tomonga chizilgan balandlik.

2. Agar parallelogrammaning qo‘shni ikki tomonining uzunliklari va ular orasidagi burchak ma’lum bo‘lsa, u holda parallelogrammning maydoni quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Agar parallelogrammaning diagonallari berilgan va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, parallelogrammning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

\[ \LOG S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Paralelogramma xossalari

Paralelogrammada qarama-qarshi tomonlar teng: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar: \(\ burchak A = \ burchak C \) , \ (\ burchak B = \ burchak D \)

Paralelogrammaning kesishish nuqtasida diagonallari ikkiga bo'lingan \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Paralelogrammaning diagonali uni ikkita teng uchburchakka ajratadi.

Bir tomoniga tutashgan parallelogramm burchaklarining yig'indisi 180 o ga teng:

\(\burchak A + \burchak B = 180^(o) \), \(\B burchak + \burchak C = 180^(o)\)

\(\ burchak C + \ burchak D = 180^(o) \), \(\D burchak + \burchak A = 180^(o)\)

Paralelogrammaning diagonallari va tomonlari quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Paralelogrammada balandliklar orasidagi burchak uning o'tkir burchagiga teng: \(\angle K B H =\angle A \) .

Paralelogrammaning bir tomoniga tutashgan burchaklarning bissektrisalari oʻzaro perpendikulyar.

Paralelogrammaning ikkita qarama-qarshi burchagining bissektrisalari parallel.

Paralelogramma xususiyatlari

To'rtburchak parallelogramm bo'ladi, agar:

\(AB = CD \) va \(AB || CD \)

\(AB = CD \) va \(BC = AD \)

\(AO = OC \) va \(BO = OD \)

\(\ burchak A = \ burchak C \) va \ (\ burchak B = \ burchak D \)

Brauzeringizda Javascript o'chirib qo'yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlari yoqilgan bo'lishi kerak!

Evklid geometriyasida bo'lgani kabi, nuqta va to'g'ri chiziq tekisliklar nazariyasining asosiy elementlari hisoblanadi, shuning uchun parallelogramma qavariq to'rtburchaklarning asosiy figuralaridan biridir. Undan, xuddi to'pdan iplar kabi, "to'rtburchaklar", "kvadrat", "romb" va boshqa geometrik miqdorlar tushunchalari oqadi.

Bilan aloqada

Paralelogramma ta'rifi

qavariq to'rtburchak, har bir jufti parallel bo'lgan segmentlardan iborat bo'lib, geometriyada parallelogramma sifatida tanilgan.

Klassik parallelogramma to'rtburchak ABCDga o'xshaydi. Yonlari asoslar (AB, BC, CD va AD), har qanday cho‘qqidan shu cho‘qqining qarama-qarshi tomoniga o‘tkazilgan perpendikulyar balandlik (BE va BF) deyiladi, AC va BD chiziqlari diagonallardir.

Diqqat! Kvadrat, romb va to'rtburchaklar parallelogrammning maxsus holatlaridir.

Tomonlar va burchaklar: nisbat xususiyatlari

Asosiy xususiyatlar, umuman olganda, belgilashning o'zi tomonidan oldindan belgilanadi, ular teorema bilan isbotlangan. Bu xususiyatlar quyidagilardan iborat:

1. Qarama-qarshi tomonlar juftlikda bir xil.
2. Bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan burchaklar juftlikda tengdir.

Isbot: ∆ABC va ∆ADC ni ko'rib chiqing, ular ABCD to'rtburchakni AC chizig'iga bo'lish orqali olinadi. ∠BCA=∠CAD va ∠BAC=∠ACD, chunki AC ular uchun umumiydir (mos ravishda BC||AD va AB||CD uchun vertikal burchaklar). Bundan kelib chiqadi: ∆ABC = ∆ADC (uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoni).

∆ABC dagi AB va BC segmentlari ∆ADC da CD va AD chiziqlariga juft holda mos keladi, bu ularning bir xil ekanligini bildiradi: AB = CD, BC = AD. Shunday qilib, ∠B ∠D ga mos keladi va ular tengdir. Chunki ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ular juftlikda ham bir xil, u holda ∠A = ∠C. Mulk isbotlangan.

Shakl diagonallarining xarakteristikalari

Asosiy xususiyat bu parallelogramma chiziqlar: kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi.

Isbot: m.E ABCD figurasining AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. Ular ikkita mutanosib uchburchak hosil qiladi - ∆ABE va ∆CDE.

AB=CD, chunki ular qarama-qarshidir. Chiziqlar va sekantlarga ko'ra, ∠ABE = ∠CDE va ​​∠BAE = ∠DCE.

Tenglikning ikkinchi belgisiga ko'ra, ∆ABE = ∆CDE. Bu shuni anglatadiki, ∆ABE va ∆CDE elementlari: AE = CE, BE = DE va ​​bundan tashqari, ular AC va BD ning mutanosib qismlaridir. Mulk isbotlangan.

Qo'shni burchaklarning xususiyatlari

Qo'shni tomonlarda burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng, chunki ular parallel chiziqlar va sekantning bir tomonida yotadi. ABCD to'rtburchak uchun:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bissektrisa xususiyatlari:

1. , bir tomonga tushib ketgan, perpendikulyar;
2. qarama-qarshi cho'qqilarning parallel bissektrisalari bor;
3. bissektrisasini chizish orqali olingan uchburchak teng yon tomonli bo'ladi.

Teorema orqali parallelogrammning xarakterli belgilarini aniqlash

Ushbu raqamning xususiyatlari uning asosiy teoremasidan kelib chiqadi, u quyidagicha o'qiydi: to'rtburchak parallelogramm deb hisoblanadi uning diagonallari kesishgan taqdirda va bu nuqta ularni teng segmentlarga ajratadi.

Isbot: ABCD to‘rtburchakning AC va BD chiziqlari t. E da kesishsin. ∠AED = ∠BEC va AE+CE=AC BE+DE=BD bo'lgani uchun ∆AED = ∆BEC (uchburchaklar tengligining birinchi belgisi bo'yicha). Ya'ni, ∠EAD = ∠ECB. Ular, shuningdek, AD va BC chiziqlari uchun sekant ACning ichki kesishish burchaklaridir. Shunday qilib, parallelizm ta'rifi bo'yicha - AD || Miloddan avvalgi. BC va CD chiziqlarining xuddi shunday xossasi ham olingan. Teorema isbotlangan.

Shaklning maydonini hisoblash

Ushbu raqamning maydoni bir necha usulda topilgan eng oddiylaridan biri: balandlikni va u chizilgan poydevorni ko'paytirish.

Isbot: B va C cho'qqilardan BE va CF perpendikulyarlarini chizing. AB = CD va BE = CF bo'lgani uchun ∆ABE va ∆DCF teng. ABCD EBCF to'rtburchakka teng, chunki ular ham mutanosib raqamlardan iborat: S ABE va S EBCD, shuningdek S DCF va S EBCD. Bundan kelib chiqadiki, bu geometrik shaklning maydoni to'rtburchakning maydoni bilan bir xil:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paralelogramm maydonining umumiy formulasini aniqlash uchun balandlikni quyidagicha belgilaymiz hb, va tomoni b. Mos ravishda:

Hududni topishning boshqa usullari

Hududni hisoblash parallelogrammning yon tomonlari va burchak orqali, ular hosil qiladi, ikkinchi ma'lum usuldir.

,

Spr-ma - maydon;

a va b uning tomonlari

a - a va b segmentlari orasidagi burchak.

Bu usul amalda birinchisiga asoslangan, ammo noma'lum bo'lsa. har doim parametrlari trigonometrik identifikatsiyalar bilan topilgan to'g'ri burchakli uchburchakni kesib tashlaydi, ya'ni. Nisbatni o'zgartirib, biz olamiz. Birinchi usulning tenglamasida biz balandlikni ushbu mahsulot bilan almashtiramiz va ushbu formulaning haqiqiyligini isbotlaymiz.

Paralelogramma va burchakning diagonallari orqali, ular kesishganda yaratadigan, siz maydonni ham topishingiz mumkin.

Isbot: AC va BD kesishgan to'rtta uchburchak hosil qiladi: ABE, BEC, CDE va ​​AED. Ularning yig'indisi ushbu to'rtburchakning maydoniga teng.

Ularning har birining maydonini ∆ ifodasidan topish mumkin, bu erda a=BE, b=AE, ∠g =∠AEB. dan boshlab, u holda hisob-kitoblarda sinusning yagona qiymati qo'llaniladi. Ya'ni . AE+CE=AC= d 1 va BE+DE=BD= d 2 bo‘lgani uchun maydon formulasi quyidagicha kamayadi:

.

Vektor algebrasida qo'llanilishi

Ushbu to'rtburchakning tarkibiy qismlarining xususiyatlari vektor algebrasida qo'llanilishini topdi, ya'ni: ikkita vektorni qo'shish. Paralelogramma qoidasi shuni bildiradi vektorlar berilgan bo'lsaVaYo'qkollinear bo'lsa, unda ularning yig'indisi bu raqamning diagonaliga teng bo'ladi, ularning asoslari ushbu vektorlarga mos keladi.

Isbot: o'zboshimchalik bilan tanlangan boshidan - ya'ni, taxminan. - vektorlarni quramiz va . Keyinchalik, biz OASV parallelogrammasini quramiz, bu erda OA va OB segmentlari tomonlardir. Shunday qilib, OS vektor yoki yig'indida yotadi.

Paralelogramma parametrlarini hisoblash formulalari

Shaxslar quyidagi shartlarda beriladi:

1. a va b, a - tomonlar va ular orasidagi burchak;
2. d 1 va d 2, g - diagonallar va ularning kesishish nuqtasida;
3. h a va h b - a va b tomonlarga tushirilgan balandliklar;

Parametr	Formula
Tomonlarni topish
diagonallar bo'ylab va ular orasidagi burchakning kosinusu
diagonal va yon tomonga
balandlik va qarama-qarshi cho'qqi orqali
Diagonallarning uzunligini topish
yon tomonlarda va ular orasidagi tepaning kattaligi
yon tomonlar va diagonallardan biri bo'ylab	 Xulosa Paralelogramma, geometriyaning asosiy ko'rsatkichlaridan biri sifatida, hayotda, masalan, qurilishda sayt maydonini yoki boshqa o'lchovlarni hisoblashda qo'llaniladi. Shuning uchun uning turli parametrlarini hisoblashning farqlovchi xususiyatlari va usullari haqidagi bilimlar hayotning istalgan vaqtida foydali bo'lishi mumkin.