Noaniq integralni qismlar bo'yicha integrallash usuli keltirilgan. Ushbu usul bilan hisoblangan integrallarga misollar keltirilgan. Yechimlarga misollar tahlil qilinadi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Noaniq integrallarni hisoblash usullari
Noaniq integrallar jadvali
Asosiy elementar funksiyalar va ularning xossalari

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi:
.

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli ushbu formulani qo'llashdan iborat. Amaliy qo'llashda shuni ta'kidlash kerakki, u va v integratsiya o'zgaruvchisining funktsiyalari. Integratsiya o‘zgaruvchisi x (integral yozuv oxiridagi d differensial belgisidan keyingi belgi) sifatida belgilansin. U va v funksiyalari x ning funksiyalari: u(x) va v(x) .
Keyin
, .
Va qismlar bo'yicha integratsiya formulasi quyidagi shaklni oladi:
.

Ya'ni, integral ikkita funktsiya mahsulotidan iborat bo'lishi kerak:
,
ulardan birini u sifatida belgilaymiz: g(x) \u003d u va integral ikkinchisi uchun hisoblanishi kerak (aniqrog'i, antiderivativ topilishi kerak):
, keyin dv = f(x) dx .

Ayrim hollarda f(x) = 1 . Ya'ni integralda
,
g (x) = u, x = v ni qo'yishimiz mumkin.

Xulosa

Shunday qilib, ushbu usulda qismlarga integratsiya formulasini eslab qolish va ikki shaklda qo'llash kerak:
;
.

Qismlar bo'yicha integrallash yo'li bilan hisoblangan integrallar

Logarifm va teskari trigonometrik (giperbolik) funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallar

Logarifm va teskari trigonometrik yoki giperbolik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallar ko'pincha qismlar bilan integrallanadi. Bunda logarifm yoki teskari trigonometrik (giperbolik) funksiyalar joylashgan qism u bilan, qolgan qismi dv bilan belgilanadi.

Qismlar bo'yicha integrallash usuli bilan hisoblangan bunday integrallarga misollar:
, , , , , , .

Ko‘phad va sin x, cos x yoki e x ko‘paytmasi bo‘lgan integrallar

Qismlarni integrallash formulasiga ko'ra, shaklning integrallari topiladi:
, , ,
Bu erda P(x) x dagi ko'phaddir. Integratsiyada P(x) ko‘phad u bilan belgilanadi va e ax dx , cos ax dx yoki gunoh ax dx- dv orqali.

Mana shunday integrallarga misollar:
, , .

Integrallarni qismlar bo'yicha integrallash usuli bilan hisoblash misollari

Logarifm va teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarga misollar

Misol

Integralni hisoblang:

Batafsil yechim

Bu yerda integranda logarifm mavjud. O'zgartirishlarni amalga oshirish
u= ln x,
dv=x 2dx.
Keyin
,
.

Qolgan integralni hisoblaymiz:
.
Keyin
.
Hisob-kitoblar oxirida doimiy C ni qo'shish kerak, chunki noaniq integral barcha antiderivativlar to'plamidir. U oraliq hisob-kitoblarga ham qo'shilishi mumkin, ammo bu faqat hisob-kitoblarni chalkashtirib yuboradi.

Qisqacha yechim

Yechimni qisqaroq versiyada taqdim etish mumkin. Buning uchun u va v bilan almashtirishlarni amalga oshirish shart emas, lekin siz omillarni guruhlashingiz va ikkinchi shaklda qismlarga integratsiya formulasini qo'llashingiz mumkin.

.

Boshqa misollar

Ko'phad va sin x, cos x yoki ex ko'paytmasini o'z ichiga olgan integrallarga misollar

Misol

Integralni hisoblang:
.

Differensial belgisi ostida ko'rsatkichni kiritamiz:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Biz qismlarga birlashamiz.
.
Shuningdek, biz qismlarga bo'lgan integratsiyadan foydalanamiz.
.
.
.
Nihoyat bizda bor.

Ushbu usul quyidagi formulaga asoslanadi: (*)

Mayli Va x ning uzluksiz hosilalariga ega funksiyalari va .

Ma'lumki yoki; yoki .

Integrallar va , chunki farazga ko'ra u va v funktsiyalari differensiallanadi va shuning uchun uzluksizdir.

Formula (*) qismlar bo'yicha integrallash formulasi deb ataladi.

Uning qo'llanilishiga asoslangan usul qismlar bo'yicha integratsiya usuli deb ataladi.

Bu hisobni boshqa integralning hisobiga qisqartiradi: .

Qismlar bo'yicha integrallash usulini qo'llash shundan iboratki, berilgan integralning integral ifodasi ostida ular ko'paytma ko'rinishida tasvirlashga harakat qiladilar, bu erda va x ning ba'zi funktsiyalari bo'ladi va bu funktsiyalar shunday tanlanadi: dastlabki integraldan ko'ra hisoblash osonroq edi. Qachon hisoblash kerak ilgari topilgan va .

("v" sifatida biz dv dan topilgan asl antiderivativlardan birini olamiz, shuning uchun kelajakda "v" ni hisoblashda biz yozuvda doimiy C ni o'tkazib yuboramiz).

Izoh. Integral ifoda ostida faktoring bo'lganda, nima va nimani o'z ichiga olishi kerakligini tushunish kerak.

Afsuski, integral ifodani "u" va "dv" omillariga faktorlashtirishning umumiy qoidalarini berish mumkin emas. Buni ko'p va o'ylangan amaliyot orqali o'rgatish mumkin.

Bularning barchasi bilan shuni yodda tutish kerak asl integraldan oddiyroq edi.

6.6.22-misol.

Ba'zan yakuniy natijaga erishish uchun qismlar bo'yicha integratsiya qoidasi ketma-ket bir necha marta qo'llaniladi.

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli foydalanish uchun qulay, albatta, har doim emas va uni ishlatish qobiliyati tajribaga bog'liq.

Integrallarni hisoblashda qaysi integratsiya usulini qo'llash kerakligini to'g'ri aniqlash muhim (oldingi misolda bo'lgani kabi, trigonometrik almashtirish maqsadga tezroq olib keladi).

Qismlar bo'yicha integrallash yo'li bilan hisoblangan eng keng tarqalgan integrallarni ko'rib chiqing.

1.Shaklning integrallari :

bu yerda butun son (x ga nisbatan) ko‘phad; a doimiy son.

Agar trigonometrik yoki ko'rsatkichli funktsiyaning mahsuloti integral belgisi ostida algebraik bo'lsa, u holda algebraik funktsiya odatda "u" uchun olinadi.

6.6.23-misol.

E'tibor bering, omillarga yana bir bo'linish: maqsadga olib kelmaydi.

Isbotlangan
.

Biz murakkabroq integral olamiz.

2.Shaklning integrallari :

polinom qayerda.

Agar integral belgisi funktsiyaning logarifmi yoki teskari trigonometrik funktsiyaning algebraik ko'paytmasi bo'lsa, u holda funktsiyalar "u" sifatida qabul qilinishi kerak.

6.6.23-misol.

3.Shaklning integrallari:

Bu erda siz integral ifodaning omillarga bo'linishi mumkin bo'lgan 2 ta variantdan foydalanishingiz mumkin: "u" uchun siz ikkalasini ham, ikkalasini ham olishingiz mumkin. .

Bundan tashqari, bunday integrallarni qismlar bo'yicha integrallash usuli yordamida hisoblash dastlabki integralga olib keladi, ya'ni kerakli integralga nisbatan tenglama olinadi.

6.6.24-misol Hisoblash .

.

Integratsiyalashda ko'pincha almashtirish usuli va qismlar bo'yicha integratsiya usulini ketma-ket qo'llash kerak.

6.6.25-misol.

Kvadrat trinomialni o'z ichiga olgan ba'zi funktsiyalarni integrallash

1)

.

va bular jadvalli integrallardir.

2) haqiqiy son koeffitsientlari

hisoblagichda biz maxrajning hosilasini tanlaymiz.

a,b,c haqiqiy sonlar

A) ; keyin bizda:

b) . Bunday holda, faqat diskriminantni hisobga olish mantiqan trinomial ijobiy:

Endi bizda:

Izoh. Amalda, ular odatda tayyor natijalardan foydalanmaydilar, lekin har safar yana shunga o'xshash hisob-kitoblarni amalga oshirishni afzal ko'radilar.

Misol.

4)

Numeratorni shunday aylantiramizki, undan kvadrat trinomning hosilasi olinadi:

Amalda noaniq integrallarni hisoblashning qulay umumiy usuli mavjud emasligi sababli (oldingi ma'ruzaga qarang) alohida integrallash usullari bilan bir qatorda, biz integrallari bo'lgan ba'zi alohida funktsiyalar sinflarini integrallash usullarini ham ko'rib chiqishimiz kerak. amaliyotda tez-tez uchrab turadi.

Ularning eng muhim sinfi ratsional funktsiyalar sinfidir.

“Kesr-ratsional funksiyalarning integrasiyasi”

To'g'ri ratsional kasrni integrallash ratsional kasrni elementar kasrlar yig'indisiga kengaytirishga asoslangan.

Elementar (oddiy) kasrlar va ularni integrallash.

Ta'rif. Shaklning kasrlari: ; (1)

(2), qayerda

(ya’ni uch a’zoning ildizlari murakkab), elementar deyiladi.

Elementar kasrlarni integrallashini ko'rib chiqaylik

2)

(qaerda bo'lsin).

Biz integralni hisoblaymiz

(*)

Oxirgi integral rekursiv formula yordamida hisoblanadi.

Ba'zan qismlar bo'yicha integrallash sizga biron bir funktsiya darajasini o'z ichiga olgan noaniq integral va shunga o'xshash integral o'rtasidagi munosabatni olish imkonini beradi, lekin bir xil funktsiyaning kichikroq ko'rsatkichiga ega. Bunday munosabatlar rekursiv formulalar deyiladi.

tomonidan belgilang .

Bizda ... bor:

Oxirgi integralga qo'yamiz:

Shunung uchun

qayerda

Shunday qilib, biz rekursiv formulaga keldik: uni takroran qo'llash oxir-oqibat "jadval" integraliga olib keladi:

Keyin "t" va "k" o'rniga biz ularning qiymatlarini almashtiramiz.

6.6.26-misol.

(takrorlanish formulasi bo'yicha).=

.

Ratsional kasr - bu shaklda ifodalanadigan funksiya ; bu yerda va haqiqiy koeffitsientli ko'phadlar.

Ratsional kasr to'g'ri deyiladi, agar hisoblagichning darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa.

Har qanday to'g'ri ratsional kasrni chekli sonli elementar kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin.

To'g'ri kasrning elementar kasrga bo'linishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi, biz buni isbotsiz ko'rib chiqamiz.

Teorema . Agar kasr - to'g'ri va, (qaerda trinomiyaning haqiqiy ildizlari bo'lmasa), u holda o'ziga xoslik to'g'ri bo'ladi:

(men)

E'tibor bering, har bir haqiqiy ildiz, masalan, bu kengaytmada ko'pnomning ko'pligi “ ” ko'pligi (1) va har bir juft murakkab konjugat ildizlar va (shunday) ko'plik “ ”ning elementar kasrlari yig'indisiga mos keladi. (2) ko`rinishdagi elementar kasrlar yig`indisiga mos keladi.

Kengayish (I) ni amalga oshirish uchun siz koeffitsientlarni qanday aniqlashni o'rganishingiz kerak .

Ularni topishning turli usullari mavjud. Noaniq koeffitsientlar usuli va qisman qiymatlar usulini ko'rib chiqamiz.

Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechim misollari

Yana bir bor salom. Bugun darsda biz qismlar bo'yicha integratsiyani o'rganamiz. Qismlar bo'yicha integrallash usuli integral hisobning asoslaridan biridir. Sinov, imtihonda talabaga deyarli har doim quyidagi turdagi integrallarni echish taklif etiladi: eng oddiy integral (maqolaga qarang) yoki o'zgaruvchini o'zgartirish uchun integral (maqolaga qarang) yoki faqat integral qismlar bo'yicha integratsiya usuli.

Har doimgidek, qo'lda bo'lishi kerak: Integrallar jadvali Va Hosiliy jadval. Agar sizda hali ham ular yo'q bo'lsa, iltimos, mening saytim omboriga tashrif buyuring: Matematik formulalar va jadvallar. Men takrorlashdan charchamayman - hamma narsani chop etish yaxshiroqdir. Men barcha materiallarni izchil, sodda va tushunarli tarzda taqdim etishga harakat qilaman, qismlarga integratsiya qilishda alohida qiyinchiliklar yo'q.

Qismlar bo'yicha integratsiya qanday muammoni hal qiladi? Qismlar bo'yicha integratsiya usuli juda muhim muammoni hal qiladi, bu sizga jadvalda bo'lmagan ba'zi funktsiyalarni birlashtirishga imkon beradi, ish funktsiyalari va ba'zi hollarda - va xususiy. Esda tutganimizdek, qulay formula yo'q: . Ammo bu bor: shaxsan qismlar bo'yicha integratsiya formulasi. Bilaman, bilaman, siz yagonasiz - u bilan biz butun darsni ishlaymiz (bu allaqachon osonroq).

Va darhol studiyadagi ro'yxat. Quyidagi turdagi integrallar qismlar tomonidan olinadi:

1) , , - logarifm, logarifmni ba'zi ko'phadga ko'paytirish.

2) ,koʻrsatkichli funksiya baʼzi koʻphadga koʻpaytiriladi. Bu, shuningdek, ko'paytmali funktsiya kabi integrallarni ham o'z ichiga oladi - polinomga ko'paytiriladi, lekin amalda bu 97 foizni tashkil qiladi, integral ostida chiroyli "e" harfi ko'rinadi. ... maqola lirik bir narsa bo'lib chiqadi, ha ... bahor keldi.

3) , , trigonometrik funksiyalar ba'zi ko'phadga ko'paytiriladi.

4) , - teskari trigonometrik funktsiyalar ("arklar"), "arklar", ba'zi polinomga ko'paytiriladi.

Shuningdek, ba'zi kasrlar qismlarga bo'linadi, biz tegishli misollarni ham batafsil ko'rib chiqamiz.

Logarifmlarning integrallari

1-misol

Klassik. Vaqti-vaqti bilan bu integralni jadvallarda topish mumkin, ammo tayyor javobdan foydalanish istalmagan, chunki o'qituvchi bahorda beriberi bilan kasallangan va u ko'p ta'na qiladi. Chunki ko'rib chiqilayotgan integral hech qanday jadval shaklida emas - u qismlarga bo'linadi. Biz qaror qilamiz:

Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.

Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formuladan foydalanamiz:

Formula chapdan o'ngga qo'llaniladi

Biz chap tomonga qaraymiz:. Shubhasiz, bizning misolimizda (va biz ko'rib chiqadigan barcha boshqa misollarda) nimanidir bilan, nimanidir esa bilan belgilash kerak.

Ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarda biz doimo logarifmni belgilaymiz.

Texnik jihatdan, yechimning dizayni quyidagicha amalga oshiriladi, biz ustunga yozamiz:

Ya'ni, biz logarifmni belgiladik va - qolgan qismi integral.

Keyingi qadam: differentsialni toping:

Differensial hosila bilan deyarli bir xil, biz uni qanday topishni oldingi darslarda muhokama qilgan edik.

Endi biz funktsiyani topamiz. Funktsiyani topish uchun integratsiya qilish kerak o'ng tomon past tenglik:

Endi biz yechimimizni ochamiz va formulaning o'ng tomonini quramiz: .
Aytgancha, bu erda bir nechta eslatmalar bilan yakuniy yechimning namunasi:

Mahsulotdagi yagona lahza, men darhol qayta tartibladim va ko'paytirgichni logarifmdan oldin yozish odat tusiga kirganligi sababli.

Ko'rib turganingizdek, qismlarga integratsiya formulasini qo'llash bizning yechimimizni ikkita oddiy integralga qisqartirdi.

E'tibor bering, ba'zi hollarda keyin darhol formulani qo'llash, soddalashtirish majburiy ravishda qolgan integral ostida amalga oshiriladi - ko'rib chiqilayotgan misolda biz integralni "x" ga kamaytirdik.

Keling, tekshirib ko'raylik. Buning uchun siz javobning hosilasini olishingiz kerak:

Asl integral olindi, ya'ni integral to'g'ri yechilgan.

Tekshiruv davomida biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalandik: . Va bu tasodif emas.

Qismlar formulasi bo'yicha integratsiya va formula Bu bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita qoidadir.

2-misol

Noaniq integralni toping.

Integratsiya logarifm va ko'phadning ko'paytmasidir.
Biz qaror qilamiz.

Men yana bir bor qoidani qo'llash tartibini batafsil tasvirlab beraman, kelajakda misollar qisqacha tuziladi va agar siz uni o'zingiz hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, darsning dastlabki ikkita misoliga qaytishingiz kerak. .

Yuqorida aytib o'tilganidek, logarifmni belgilash kerak (uning bir darajada bo'lishi muhim emas). belgilaymiz qolgan qismi integral.

Biz ustunga yozamiz:

Avval biz differentsialni topamiz:

Bu yerda kompleks funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz . Mavzuning birinchi darsida bu bejiz emas Noaniq integral. Yechim misollari Men integrallarni o'zlashtirish uchun hosilalarga "qo'lingizni olish" kerakligiga e'tibor qaratdim. Derivativlar bir necha marta duch kelishlari kerak.

Endi biz funktsiyani topamiz, buning uchun biz birlashamiz o'ng tomon past tenglik:

Integratsiya uchun biz eng oddiy jadval formulasini qo'lladik

Endi siz formulani qo'llashga tayyormiz . Biz uni "yulduzcha" bilan ochamiz va o'ng tomonga qarab yechimni "loyihalaymiz":

Integral ostida, bizda yana logarifm bo'yicha polinom bor! Shuning uchun yechim yana uzilib, qismlar bo'yicha integrallash qoidasi ikkinchi marta qo'llaniladi. Shuni unutmangki, shunga o'xshash vaziyatlarda logarifm doimo belgilanadi.

Shu nuqtada siz eng oddiy integral va hosilalarni og'zaki ravishda topsangiz yaxshi bo'lardi.

(1) Belgilarda adashmang! Ko'pincha bu erda minus yo'qoladi, shuningdek minus amal qilishiga e'tibor bering hammaga qavs , va bu qavslar to'g'ri ochilishi kerak.

(2) Qavslarni kengaytiring. Biz oxirgi integralni soddalashtiramiz.

(3) Biz oxirgi integralni olamiz.

(4) Javobni “tarash”.

Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasini ikki marta (hatto uch marta) qo'llash zarurati kam uchraydi.

Va endi mustaqil yechim uchun bir nechta misol:

3-misol

Noaniq integralni toping.

Bu misol o'zgaruvchilar usulini o'zgartirish (yoki differentsial belgi ostida yig'ish) bilan hal qilinadi! Va nima uchun emas - siz uni qismlarga ajratishga harakat qilishingiz mumkin, siz kulgili narsani olasiz.

4-misol

Noaniq integralni toping.

Ammo bu integral qismlar (va'da qilingan kasr) bilan integrallanadi.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misollar, dars oxiridagi echimlar va javoblar.

Ko'rinishidan, 3,4-misollarda integrallar o'xshash, ammo yechim usullari boshqacha! Bu integrallarni o'zlashtirishdagi asosiy qiyinchilik - agar siz integralni echishning noto'g'ri usulini tanlasangiz, u bilan haqiqiy jumboq kabi soatlab skripka qilishingiz mumkin. Shuning uchun, turli integrallarni qanchalik ko'p yechsangiz, shuncha yaxshi, test va imtihon shunchalik oson bo'ladi. Bundan tashqari, ikkinchi yilda differensial tenglamalar paydo bo'ladi va integral va lotinlarni echish tajribasi bo'lmasa, u erda hech narsa qilish mumkin emas.

Logarifmlar bo'yicha, ehtimol ko'proq. Atıştırmalık uchun men texnologiya talabalari ayol ko'kraklarini logarifmlar =) deb ataganini ham eslayman. Aytgancha, asosiy elementar funktsiyalarning grafiklarini yoddan bilish foydalidir: sinus, kosinus, yoy tangensi, ko'rsatkich, uchinchi, to'rtinchi darajali polinomlar va boshqalar. Yo'q, albatta, globusdagi prezervativ
Men tortmayman, lekin endi siz bo'limdan ko'p narsalarni eslaysiz Grafiklar va funksiyalar =).

Ko'rsatkichning ko'paytmali integrallari

Umumiy qoida:

5-misol

Noaniq integralni toping.

Tanish algoritmdan foydalanib, biz qismlarga birlashamiz:

Agar sizda integral bilan bog'liq qiyinchiliklar bo'lsa, maqolaga qaytishingiz kerak Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Javobni "taroqlash" uchun boshqa narsa qilish kerak:

Ammo agar sizning hisoblash texnikangiz unchalik yaxshi bo'lmasa, javob sifatida eng foydali variantni qoldiring. yoki hatto

Ya'ni oxirgi integral olinganda misol yechilgan hisoblanadi. Bu xato bo'lmaydi, o'qituvchi javobni soddalashtirishni so'rashi mumkin bo'lgan boshqa masala.

6-misol

Noaniq integralni toping.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Bu integral ikki marta qismlar bilan integrallanadi. Belgilarga alohida e'tibor berilishi kerak - ularda chalkashib ketish oson, biz buni ham eslaymiz - murakkab funktsiya.

Ko'rgazma ishtirokchisi haqida ko'p gapirish mumkin emas. Men shuni qo'shishim mumkinki, ko'rsatkich va natural logarifm o'zaro teskari funksiyalar, bu men oliy matematikaning qiziqarli grafiklari mavzusida =) To'xtash-stop, xavotir olmang, ma'ruzachi hushyor.

Trigonometrik funktsiyalarning ko'phadga ko'paytiriladigan integrallari

Umumiy qoida: har doim polinomni bildiradi

7-misol

Noaniq integralni toping.

Qismlar bo'yicha integratsiya:

Hmmm... va sharhlash uchun hech narsa yo'q.

8-misol

Noaniq integralni toping

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol

9-misol

Noaniq integralni toping

Kasr bilan yana bir misol. Oldingi ikkita misolda bo'lgani kabi, ko'phad bilan belgilanadi.

Qismlar bo'yicha integratsiya:

Agar sizda integralni topishda qiyinchiliklar yoki tushunmovchiliklar bo'lsa, men darsga borishni tavsiya qilaman Trigonometrik funksiyalarning integrallari.

10-misol

Noaniq integralni toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

Maslahat: qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashdan oldin, ikkita trigonometrik funktsiyaning mahsulotini bitta funktsiyaga aylantiradigan ba'zi trigonometrik formulalarni qo'llashingiz kerak. Formuladan kimga qulayroq bo'lgan qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llash jarayonida ham foydalanish mumkin.

Bu, ehtimol, bu paragrafda. Negadir fizika-matematika kafedrasi madhiyasidan "Va to'lqindan keyin sinus grafik to'lqin abscissa o'qi bo'ylab harakat qiladi" degan satrni esladim.

Teskari trigonometrik funksiyalarning integrallari.
Teskari trigonometrik funksiyalarning ko‘phadga ko‘paytirilgan integrallari

Umumiy qoida: har doim teskari trigonometrik funktsiyani anglatadi.

Teskari trigonometrik funksiyalarga arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens kiradi. Qisqalik uchun men ularni "arkalar" deb atayman.

Qismlar bo'yicha integrallash usuli mavjud noaniq integralni soddalashtirish yoki uni jadval qiymatiga kamaytirish zarur bo'lganda qo'llaniladi. Ko'pincha u ko'rsatkichli, logarifmik, to'g'ridan-to'g'ri va teskari trigonometrik formulalar va ularning integratsiyadagi kombinatsiyalarida qo'llaniladi.

Ushbu usuldan foydalanish uchun zarur bo'lgan asosiy formula quyidagicha ko'rinadi:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

Bu shuni anglatadiki, biz birinchi navbatda integral ostidagi ifodani u (x) funksiya va v (x) funktsiyaning differentsial mahsuloti sifatida ifodalashimiz kerak. Shundan so'ng, biz v (x) funktsiyasining qiymatini qandaydir usul bilan hisoblaymiz (ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli qo'llaniladi) va natijada olingan ifodalar ko'rsatilgan formulaga almashtirilib, asl integralni u (x) farqiga kamaytiradi. ) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . Olingan integralni har qanday integrasiya usuli yordamida ham olish mumkin.

Logarifm funktsiyasining antiderivativlari to'plamini topish kerak bo'lgan masalani ko'rib chiqing.

1-misol

Noaniq integral ∫ ln (x) d x ni hisoblang.

Yechim

Biz qismlar bo'yicha integratsiya usulidan foydalanamiz. Buning uchun ln (x) ni u (x) ning funksiyasi sifatida, qolgan qismini esa d (v (x)) sifatida olamiz. Natijada, biz ln (x) d x = u (x) d (v (x)) ni olamiz, bu erda u (x) = ln (x) , d (v (x)) = d x.

u(x) funksiyaning differensiali d(u(x)) - u"(x) d x = d x x, v(x) funksiyani v(x) = ∫ d(v(x) shaklida ifodalash mumkin. ) = ∫ d x = x

Muhim: v (x) funksiyani hisoblashda C doimiysi 0 ga teng deb hisoblanadi.

Olingan narsalarni integratsiya formulasiga qismlarga almashtiramiz:

∫ ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x \u003d ln (x) x - x + C 1 \u003d \u003d x (ln (x) - 1) + C

bu erda C \u003d - C 1

Javob:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

Ushbu usulni qo'llashda eng qiyin narsa integral ostidagi asl ifodaning qaysi qismini u (x) va qaysi - d (v (x)) sifatida qabul qilishni tanlashdir.

Keling, bir nechta standart holatlarni ko'rib chiqaylik.

Agar ∫ P n (x) e a x d x, ∫ P n (x) sin (a x) d x yoki ∫ P n (x) cos (a x) d x ko‘rinishdagi integrallarga ega bo‘lsak, bu erda a koeffitsient va P n (x) ) n darajali ko‘phad bo‘lsa, u (x) funksiya sifatida P n (x) ni olish kerak.

2-misol

f (x) = (x + 1) sin (2 x) funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping.

Yechim

Noaniq integral ∫ (x + 1) sin (2 x) d x ni qismlarga bo'lib olishimiz mumkin. Biz x + 1 ni u (x) va sin (2 x) d x ni d (v (x)) deb olamiz, ya'ni d (u (x)) = d (x + 1) = d x .

To'g'ridan-to'g'ri integratsiyadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

v (x) = ∫ sin (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

Integratsiya formulasini qismlarga almashtiring:

∫ (x + 1) sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x ) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 sin (2 x) + C

Javob:∫ (x + 1) sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

3-misol

Noaniq integral ∫ (x 2 + 2 x) e x d x ni hisoblang.

Yechim

Ikkinchi tartibli x 2 + 2 x ko'phadni u (x) va d (v (x)) - e x d x sifatida olamiz.

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

Biz qilgan ishimizga yana qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashimiz kerak:

∫ (2 x + 2) e x d x = (x 2 + 2 x) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u (x) = (2 x + 2) , d (v (x)) = e x d x d (u () x)) = 2 d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Javob:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

4-misol

∫ x 3 cos 1 3 x d x integralini hisoblang.

Yechim

Qismlar bo'yicha integrallash usuliga ko'ra u (x) = x 3 va d (v (x)) = cos 1 3 x d x ni olamiz.

Bunda d (u (x)) = 3 x 2 d x va v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x.

Endi olingan iboralarni formulaga almashtiramiz:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

Bizda noaniq integral bor, uni yana qismlarga bo'lish kerak:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2, d (v (x)) = sin 1 3 x d x d (u (x) )) = 2 x d x , v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Biz yana qisman integratsiyani amalga oshiramiz:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x, d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x , v (x) = ∫ cos 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Javob:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C.

Agar ∫ P n (x) ln (a x) d x , ∫ P n (x) a r c sin (a x) d x, ∫ P n (x) a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x) ko‘rinishdagi integrallarga ega bo‘lsak. ) a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) a r c c t g (a x) d x

u holda a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x), a r c sin (a x) , a r cos (a x) funksiyalarini u (x) sifatida qabul qilishimiz kerak.

5-misol

(x + 1) ln (2 x) funksiyaning anti hosilalari to'plamini hisoblang.

Yechim

ln (2 x) ni u (x) va (x + 1) d x ni d (v (x)) sifatida qabul qilamiz. Biz olamiz:

d (u (x)) = (ln (2 x)) " d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

Ushbu iboralarni formulaga almashtiring:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Javob:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

6-misol

Noaniq integral ∫ x · a r c sin (2 x) d x ni hisoblang.

Yechim

Biz u (x) uchun qaysi qismni va d (v (x)) uchun qaysi qismni olishni hal qilamiz. Yuqoridagi qoidaga ko'ra, birinchi funktsiya sifatida siz r c sin (2 x) va d (v (x)) = x d x ni olishingiz kerak. Biz olamiz:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) "d x = 2 x" d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

Formuladagi qiymatlarni almashtiring:

∫ x a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Natijada biz quyidagi tenglikka erishdik:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Endi olingan ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 integralini hisoblaymiz:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2x)

Bu erda siz qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashingiz va quyidagilarni olishingiz mumkin:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 "d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Endi bizning tengligimiz quyidagicha ko'rinadi:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

O'ngdagi integral chapdagiga o'xshashligini ko'ramiz. Biz uni boshqa qismga o'tkazamiz va olamiz:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

Bu erda C 2 = C 1 2

Keling, asl o'zgaruvchilarga qaytaylik:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

bu erda C \u003d - C 2

Javob:∫ x a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C.

Agar masalada ∫ e a x sin (b x) d x yoki ∫ e a x cos (b x) d x ko’rinishdagi integralga ega bo’lsak, u holda istalgan funksiyani u (x) sifatida tanlash mumkin.

7-misol

Noaniq integral ∫ e x · sin (2 x) d x ni hisoblang.

Yechim

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = sin (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = sin (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (e x (- 2 sin (2 x) d x)) = = sin (2 x) e x = 2 cos (2 x ) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Biz chap va o'ng tomonda bir xil integrallarni ko'ramiz, ya'ni biz o'xshash atamalarni keltira olamiz:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ⇒ ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Javob: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Yechishning bu usuli standart bo'lib, o'ng tomonda ko'pincha asl integral bilan bir xil bo'lgan integral olinadi.

Biz eng tipik vazifalarni ko'rib chiqdik, unda siz d (v (x)) uchun ifodaning qaysi qismini va u (x) uchun qaysi qismini olish kerakligini aniq belgilashingiz mumkin. Boshqa hollarda, buni mustaqil ravishda aniqlash kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Noaniq integral

1Antiderivativ va noaniq integral 1

2Noaniq integralning eng oddiy xossalari. 3

Asosiy integrallar jadvali 3

2.1 Integrallarning qo'shimcha jadvali 4

3O‘zgaruvchining noaniq integraldagi o‘zgarishi 5

3.1 Shakl va (a≠ 0) funksiyalarini integrallash usuli. 6

4Noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash 7

4.1 Shaklning funksiyalarini integrallash usuli. 7

4.2 Shaklning funksiyalarini integrallash usuli: 8

5 Ratsional kasrlarni integrallash 8

5.1 4-turdagi eng oddiy kasrlarni integrallash usuli. o'n bir

6Irratsional ifodalarni integrallash 12

6.1Trigonometrik ifodalarni integrallash 14

1. Anti hosila va noaniq integral

Differensial tenglamani yeching

oraliqda, ya'ni. shunday funksiya toping. Chunki (1) tenglamani differentsiallarda qayta yozish mumkin:

Bunday tenglamaning har qanday yechimi antiderivativ funktsiya deyiladi. Shunday qilib, funktsiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya barcha uchun agar interval bo'yicha. Holatlar va/yoki istisno qilinmaydi. Aniqki, agar antiderivativ bo'lsa, unda antiderivativ ham. Bizning vazifamiz (1) tenglamaning barcha yechimlarini topishdir. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi (1) tenglamaning umumiy yechimi yoki boshqacha qilib aytganda, noaniq integral funktsiyani bajaradi, agar biron-bir raqamni almashtirganda, biz (1) tenglamaning ma'lum bir yechimini olsak va (1) tenglamaning har qanday maxsus yechimi shu tarzda olinadi.

Noaniq integral bilan belgilanadi. Funktsiya integrand, differentsial integrand deb ataladi va integralning belgisidir (cho'zilgan lotin S harfi, Sum so'zining birinchi harfi yig'indi). Antiderivativ va noaniq integralning mavjudligi haqida savol tug'iladi. "Aniq integral" bo'limida, § Nyuton-Leybnits formulasida uzluksiz funktsiyaning anti hosilasi doimo mavjud ekanligi isbotlanadi.

Lemma.Hamma uchun bir xil bo'lsin. Keyin bu oraliqda doimiy bo'ladi.

Isbot. Har qanday nuqtani belgilaymiz. Keling, ixtiyoriy nuqtani olaylik va farqga Lagrange teoremasini qo'llaymiz: bir nuqta uchun. Demak, lemma isbotlangan.□

Antiderivativlar haqidagi teorema. Intervalda aniqlangan bir xil funktsiyaning ikkita antiderivativi doimiy bilan farqlanadi.

Isbot. Qarama-qarshi hosila funksiyalari bo'lsin va bo'lsin. Keyin qayerdan, lemma bo'yicha -- doimiy. Demak, . □

Natija. Agar funktsiyaning anti hosilasi bo'lsa, u holda .

E'tibor bering, agar biz ODZ funktsiyasi sifatida intervalni emas, balki, masalan, ikkita intervalning birlashuvi kabi ajratilgan to'plamni olsak. , Bu shaklning har qanday funktsiyasi

nol hosilasiga ega va shuning uchun lemma va antiderivativ teorema bu holda haqiqat bo'lishni to'xtatadi.

1. Noaniq integralning eng oddiy xossalari.

1. Yig‘indining integrali integrallar yig‘indisiga teng:

2. Konstantani integral belgisidan chiqarish mumkin:

3. Integralning hosilasi integralga teng.

4. Integraldan differensial integralga teng.

5. (O'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishi) Agar , Bu (Bu yerga ).

Asosiy integrallar jadvali

Ayniqsa,

Istisno holatlar uchun bizda:

1. Integrallarning qo'shimcha jadvali

1. Noaniq integralda o'zgaruvchining o'zgarishi

Keling, noaniq integralning ta'rifini umumiy holatga kengaytiraylik: ta'rif bo'yicha faraz qilamiz. Shunday qilib, masalan

Teorema. Differensiallanuvchi funksiya bo'lsin. Keyin

Isbot. Mayli . Keyin

isbotlanishi kerak edi.□

O'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishini olganimizda (5-xususiyat, §1-ga qarang). (1) formulani "chapdan o'ngga" qo'llash o'zgaruvchining o'zgarishini anglatadi. (1) formulani teskari yo'nalishda "o'ngdan chapga" qo'llash differentsial belgi ostida kiritish deb ataladi.

Misollar. A.

1. Numeratorda kvadrat trinomning hosilasini tanlaymiz:

3. (2) dagi birinchi integralni hisoblash uchun differentsial belgisi ostidagi yozuvdan foydalanamiz:

Ikkinchi integralni hisoblash uchun kvadrat trinomialda to'liq kvadratni tanlaymiz va uni o'zgaruvchilarning chiziqli o'zgarishi bilan jadvalga keltiramiz.

Shaklning integrallari

Misollar

1. Noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash

Teorema. Differensiallanuvchi funktsiyalar uchun va bizda munosabat mavjud

Isbot. Formulaning chap va o'ng tomonlarini birlashtirish , biz olamiz:

Chunki va ta'rifi bo'yicha (1) formuladan keyin keladi.□

Misol.

Bunday funksiyalarni integrallash uchun ko‘phadni differensial belgisi ostiga qo‘yamiz va qismlar bo‘yicha integrallash formulasini qo‘llaymiz. Jarayon k marta takrorlanadi.

Misol.

1. Ratsional kasrlarni integrallash

Ratsional kasr shaklning funksiyasi deyiladi, bu erda ko'phadlar. Agar bo'lsa, ratsional kasr deyiladi to'g'ri. Aks holda, deyiladi noto'g'ri.

Quyidagi ratsional kasrlar eng oddiy kasrlar deyiladi

(2-toifa)

(3-tur)

(4 turdagi) ,

Teorema 1. Har qanday kasrni ko'phad va to'g'ri ratsional kasr yig'indisiga ajratish mumkin.

Isbot. Noto'g'ri ratsional kasr bo'lsin. Numeratorni qoldiq bilan maxrajga bo'ling: Bu erda ko'phadlar va keyin

Kasr tengsizlik tufayli to'g'ri. □

Teorema 2. Har qanday to'g'ri ratsional kasrni eng oddiylar yig'indisiga ajratish mumkin.

Dekompozitsiya algoritmi.

a) To'g'ri kasrning maxrajini qaytarilmas ko'phadlar ko'paytmasiga kengaytiramiz (manfiy diskriminantli chiziqli va kvadratik):

Bu yerga va -- mos keladigan ildizlarning ko'pligi.

b) Kasrni quyidagi printsiplarga ko'ra noaniq koeffitsientli eng oddiylar yig'indisiga ajratamiz:

Biz buni har bir chiziqli omil va har bir kvadratik omil uchun qilamiz.

v) Olingan kengayish umumiy maxrajga ko'paytirilib, chap va o'ng qismlari bir xil bo'lishi shartidan noaniq koeffitsientlar topiladi. Ikki usulning kombinatsiyasi bilan ishlash

??? - algoritmni asoslash

Misollar. A. Parchalanish eng oddiylari yig'indisida

Demak, bundan kelib chiqadi. Ushbu nisbatni almashtirsak, biz darhol topamiz. Shunday qilib

B. Ratsional kasrni kengaytiring eng oddiylari yig'indisida. Ushbu kasrning noaniq koeffitsientlar bilan kengayishi shaklga ega

Umumiy maxrajga ko'paytirib, biz nisbatni olamiz

Bu erda o'rniga, biz qaerda topamiz. O'rnini bosgan holda topamiz . da koeffitsientlarni tenglashtirib, sistemani olamiz

Bu yerdan va . Oxirgi sistemaning tengliklarini qo'shib, va ni olamiz. Keyin Va

Demak,

//**/ Vazifa. A misol natijasini umumlashtiring va tenglikni isbotlang

1. 4-turdagi eng oddiy kasrlarni integrallash usuli.

a) maxrajning hosilasini payda ajratib, integralni kengaytiramiz. ikkita integral yig'indisiga.

b) Hosil bo'lgan integrallarning birinchisi differensial belgisi ostida kiritilgandan keyin jadvalga aylanadi.

c) Ikkinchi maxrajda to'liq kvadratni tanlang va hisobni shaklning integraliga kamaytiring. Ushbu integralga quyidagi rekursiv protsedurani qo'llaymiz

Oxirgi integralga qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llaymiz:

Shunday qilib, agar biz belgilasak , Bu

Bu boshlang'ich qiymat berilgan integrallarni hisoblash uchun rekursiv formuladir .

Misol

1. Irratsional ifodalarning integrasiyasi

Shaklning integrallari , bu yerda m/n,...,r/s umumiy maxraji k bo‘lgan ratsional sonlar o‘zgarishi bilan ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.

Keyin ratsional ifodalarning mohiyati, shuning uchun almashtirishdan keyin biz ratsional kasrning integralini olamiz:

Ushbu integralni hisoblash (4-bandga qarang) va teskari almashtirishni amalga oshirish, biz javobni olamiz.

Xuddi shunday, shaklning integrallari

Bu erda ad-bc≠ 0 va k yuqoridagi ma'noga ega bo'lib, ratsional kasrning integrallariga almashtiriladi.

Misollar. A. Integralni hisoblang

B. Integralni hisoblang

Xuddi shu funktsiya uchun integratsiyaning oddiy usuli (lekin taxmin qilishni talab qiladi):

1. Trigonometrik ifodalarni integrallash

Shaklning integrallari universal o'zgarish orqali ratsional funktsiyaning integrallariga keltiriladi

demak, ratsional ifodaning integralini olamiz

Maxsus holatlarda  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx va R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, mos ravishda almashtirishlardan foydalangan ma’qul. .