Sfera va uning elementlari sharining ta'rifini shakllantirish. Sfera, shar, segment va sektor. Sferaning formulalari va xossalari. Sferaning sekant, akkorda, sekant tekisligi va ularning xossalari

Ko'pchiligimiz futbol o'ynashni yaxshi ko'ramiz yoki hech bo'lmaganda deyarli hammamiz ushbu mashhur sport o'yini haqida eshitganmiz. Futbol to'p bilan o'ynashini hamma biladi.

Agar siz o'tayotgan odamdan to'p qanday geometrik shaklga ega ekanligini so'rasangiz, kimdir to'pning shakli, kimdir sharning shakli deb aytadi. Xo'sh, qaysi biri to'g'ri? Va shar va shar o'rtasidagi farq nima?

Muhim!

To'p kosmik jismdir. To'pning ichi biror narsa bilan to'ldirilgan. Demak, shar hajmni topa oladi.

Hayotdagi to'pga misollar: tarvuz va po'lat shar.

To'p va shar, xuddi aylana va aylana kabi, markazga, radiusga va diametrga ega.

Muhim!

Sfera sharning sirtidir. Siz sharning sirt maydonini topishingiz mumkin.

Hayotdagi sohaga misollar: voleybol va stol tennisi to'pi.

Sfera maydonini qanday topish mumkin

Eslab qoling!

Sfera maydoni formulasi: S=4 p R 2

Sharning maydonini topish uchun siz raqamning kuchi nima ekanligini eslab qolishingiz kerak. Darajaning ta'rifini bilib, sharning maydoni uchun formulani quyidagicha yozishimiz mumkin.
S=4 p R 2 \u003d 4p R R;

Olingan bilimlarni mustahkamlash va sharning maydoni uchun muammoni hal qiling.

Zubareva 6-sinf. Raqam 692(a)

Vazifa:

• Agar sharning radiusi bo'lsa, uning maydonini hisoblang 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Muhim!

Hurmatli ota-onalar!

Radiusni yakuniy hisoblashda bolani kub ildizini hisoblashga majbur qilish kerak emas. 6-sinf o'quvchilari matematikada ildizlarning ta'rifini hali topshirmagan va bilishmaydi.

6-sinfda bunday masalani echishda sanab o'tish usulidan foydalaning.

Talabadan qaysi son o'z-o'zidan 3 marta ko'paytirilsa, bittani berishini so'rang.

Sfera va shar uch o'lchamli fazoda aylana va aylana analogidir. Ushbu raqamlarning har biri haqida gapirish, o'xshashlik va farqlarni, shuningdek, ushbu raqamlarga xos bo'lgan formulalarni ta'kidlash kerak.

Geometrik konstruktsiyalarning aksariyati tekislikda yasaladi, lekin o'rta maktabda ular uch o'lchamli figuralarni o'rganishni boshlaydilar. Ikki o'lchovli makon faqat ikkita xususiyatga ega: uzunlik va kenglik. 3D hududlarida balandlik qo'shiladi. 6-sinf matematikasida individual 3D figuralar o'rganiladi.

Samolyotda raqam maydon va perimetr bilan tavsiflangan. Uch o'lchamli ob'ektlarda ularga hajm qo'shiladi.

Guruch. 1. Uch o‘lchamli fazo.

Bundan tashqari, 3D shakllarining bir qator o'ziga xos xususiyatlari mavjud. Ularni to'g'ri chiziq va tekislik bilan kesib o'tish mumkin, boshqa figuralar shaklini oladigan sekant tekisliklar bo'lishi mumkin.

Vazifalarni yaratish uchun 3D shakllardan foydalanish ularni juda murakkablashtiradi, lekin ayni paytda ularni yanada qiziqarli qiladi. Biz to'p va sharning ta'riflarini beramiz, shundan so'ng biz bu raqamlar orasidagi farqlarni ajratib ko'rsatishga harakat qilamiz.

To'p

Sfera va shar tekislikdagi aylana va aylananing analogidir. To'p - yarim doirani bir nuqta atrofida aylantirish natijasida olingan figura.

To'pning sirt maydoni bor: $S=4pir^2$

Radius - bu to'pning markazini va uning yuzasidagi har qanday nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti.

Sfera uchun hajm formulasi$V=(4pir^3\over3)$

Ovoz figura qancha joy egallaganligini ko'rsatadi. Ovoz nima ekanligini tushunish uchun siz ichi bo'sh raqamni tasavvur qilishingiz kerak. Keyin hajm - bu raqamga quyilishi mumkin bo'lgan suv miqdori

To'p, boshqa har qanday uch o'lchamli shakl kabi, tekislik bilan kesilishi mumkin. To'pning sekant tekisligi aylana bo'lib, uning markazini aylanaga to'pning markazidan perpendikulyar tushirish orqali topish mumkin.

Guruch. 2. To'pning bo'limi.

Sfera - bu sharning markazidan teng masofada joylashgan fazodagi nuqtalar to'plamidir. Sfera:

• U shar bilan bir xil hajm va sirt maydoni formulalariga ega.
• Sharning kesish tekisligi aylanadir
• Sekant aylananing markazi xuddi to'p holatida bo'lgani kabi topiladi

Guruch. 3. Sfera.

Farqi nimada

Shunda savol tug'iladi, ta'rifdan tashqari to'p va shar o'rtasidagi farq nima? Gap shundaki, to'p va shar o'rtasidagi farqlar doira va aylana o'rtasidagi farqlarga qaraganda ancha xiralashgan. Sfera ham hajm va sirt maydoniga ega.

Ehtimol, ta'rifdan tashqari, farq sohaning hajmi hech qachon muammolarda topilmasligidadir. Qoida tariqasida, ular to'pning hajmini qidiradilar. Bu sharning hajmi yo'q degani emas. Bu uch o'lchamli raqam, shuning uchun uning hajmi bor.

O'xshatish oddiygina maydoni bo'lmagan doira bilan chiziladi. Bu qoida emas, balki esda tutish kerak bo'lgan an'anadir: geometriyada shar hajmini shakllantirish ma'qul kelmaydi.

Ko'proq yoki kamroq ahamiyatga ega deb hisoblanishi mumkin bo'lgan yana bir farq: sharning kesish tekisligi: ichki bo'shliqqa ega bo'lmagan, lekin uzunligi bo'lgan doira. Sferaning kesma tekisligi: maydoni bo'lgan va aylanasi bo'lmagan doira. Shuning uchun, bunday mayda-chuydalar tufayli xatolar bo'lmasligi uchun muammoning matnida ehtiyot bo'lish kerak.

Biz nimani o'rgandik?

Biz shar va shar nima ekanligini bilib oldik. Biz ularning o'xshashliklari va farqlari haqida gaplashdik. Bu raqamlar o'rtasida deyarli farq yo'qligini bilib oldik. Biz sharning hajmi kabi formulani berishning hojati yo'q deb qaror qildik.

Mavzu viktorina

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.7. Qabul qilingan umumiy baholar: 105.

Ta'rif.

Sfera (to'p yuzasi) bir nuqtadan bir xil masofada joylashgan uch oʻlchamli fazodagi barcha nuqtalarning yigʻindisi deyiladi sharning markazi(O).

Sferani o'z diametri atrofida aylanani 180 ° ga yoki yarim doirani diametri atrofida 360 ° ga aylantirish natijasida hosil bo'lgan uch o'lchamli figura deb ta'riflash mumkin.

Ta'rif.

To'p uch o'lchovli fazodagi barcha nuqtalarning yig'indisi bo'lib, ularning masofasi ma'lum masofadan oshmaydigan nuqtaga to'p markazi(O) (sfera bilan chegaralangan uch o'lchamli fazoning barcha nuqtalari to'plami).

To'pni diametri atrofida 180 ° yoki yarim doira atrofida 360 ° ga aylantirish natijasida hosil bo'lgan uch o'lchamli figura sifatida ta'riflash mumkin.

Ta'rif. Sfera (to'p) radiusi(R) - shar (to'p) markazidan masofa O sharning istalgan nuqtasiga (to'pning yuzasi).

Ta'rif. Sfera (to'p) diametri(D) sharning ikkita nuqtasini (to'pning sirtini) bog'laydigan va uning markazidan o'tadigan segment.

Formula. To'p hajmi:

V =	4	p R 3 =	1	p D 3
	3		6

Formula. Sharning sirt maydoni radius yoki diametr orqali:

S = 4p R 2 = p D 2

Sfera tenglamasi

1. Radiusi R va markazi Dekart koordinata tizimining boshidagi shar tenglamasi:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Dekart koordinata sistemasida koordinatalari (x 0 , y 0 , z 0) boʻlgan nuqtada radiusi R va markazi boʻlgan shar tenglamasi.:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Ta'rif. diametrik qarama-qarshi nuqtalar shar (shar) yuzasida diametr bilan bog'langan har qanday ikkita nuqta.

Shar va sharning asosiy xossalari

1. Sharning barcha nuqtalari markazdan bir xil masofada joylashgan.

2. Sferaning tekislikdagi istalgan kesimi aylanadir.

3. Sferaning tekislikdagi istalgan kesimi aylanadir.

4. Sfera yuzasi bir xil bo'lgan barcha fazoviy figuralar orasida eng katta hajmga ega.

5. Har qanday ikkita diametrik qarama-qarshi nuqtalar orqali shar uchun ko'plab katta doiralar yoki to'p uchun doiralar chizishingiz mumkin.

6. Diametral qarama-qarshi nuqtalardan tashqari har qanday ikkita nuqta orqali shar uchun faqat bitta katta doira yoki shar uchun katta doira chizish mumkin.

7. Bitta sharning har qanday ikkita katta aylanasi to‘pning markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishadi va aylanalar ikkita diametrik qarama-qarshi nuqtada kesishadi.

8. Agar har qanday ikkita sharning markazlari orasidagi masofa ularning radiuslari yig‘indisidan kichik va radiuslari orasidagi farq modulidan katta bo‘lsa, bunday sharlar kesishadi, va kesishuv tekisligida aylana hosil bo'ladi.

Sferaning sekant, akkorda, sekant tekisligi va ularning xossalari

Ta'rif. Sharlarning sekanti sharni ikki nuqtada kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq. Kesishish nuqtalari deyiladi teshilish nuqtalari sirt yoki sirtdagi kirish va chiqish nuqtalari.

Ta'rif. Shar akkordi (to'p) sharning ikkita nuqtasini (to'pning sirtini) bog'laydigan segmentdir.

Ta'rif. kesish tekisligi sharni kesib o'tuvchi tekislikdir.

Ta'rif. Diametrli tekislik- bu shar yoki sharning markazidan o'tuvchi tekislik bo'lib, kesma mos ravishda hosil bo'ladi. katta doira va katta doira. Katta doira va katta doira sharning (to'p) markaziga to'g'ri keladigan markazga ega.

Sharning (to'pning) markazidan o'tadigan har qanday akkord diametrdir.

Akkord - bu sekant chiziqning segmenti.

Sfera markazidan sekantgacha bo'lgan masofa d har doim shar radiusidan kichikdir:

d< R

Kesuvchi tekislik va sharning markazi orasidagi masofa m har doim R radiusidan kichik:

m< R

Kesuvchi tekislikning shardagi kesimi har doim bo'ladi kichik doira, va to'pda bo'lim bo'ladi kichik doira. Kichik doira va kichik doira o'z markazlariga ega bo'lib, ular sharning (to'p) markaziga to'g'ri kelmaydi. Bunday doiraning r radiusini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

r \u003d √ R 2 - m2,

Bu erda R - shar (to'p) radiusi, m - to'pning markazidan kesish tekisligigacha bo'lgan masofa.

Ta'rif. Yarim shar (yarim shar)- bu diametrli tekislik bilan kesilganda hosil bo'lgan sharning yarmi (to'p).

Sferaga teginish, teginish tekislik va ularning xossalari

Ta'rif. Sferaga teginish sharga faqat bir nuqtada tegib turuvchi toʻgʻri chiziq.

Ta'rif. Sferaga teguvchi tekislik sharga faqat bir nuqtada tegib turgan tekislikdir.

Tangens chiziq (tekislik) doimo aloqa nuqtasiga chizilgan sharning radiusiga perpendikulyar bo'ladi.

Sfera markazidan teginish chizig'i (tekisligi)gacha bo'lgan masofa sharning radiusiga teng.

Ta'rif. to'p segmenti- bu to'pning kesuvchi tekislik bilan to'pdan kesilgan qismi. Segmentning asosi bo'lim joyida hosil bo'lgan doirani chaqiring. segment balandligi h - segment asosining o'rtasidan segment yuzasiga chizilgan perpendikulyar uzunligi.

Formula. Sfera segmentining tashqi yuzasi Sfera radiusi R bo'yicha balandligi h bilan:

S = 2p Rh