Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi. Matematik kutish (Aholining o'rtacha qiymati) - matematik kutish moduli
Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotidir
Matematik kutish, ta'rif, diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni matematik kutish, selektiv, shartli kutish, hisoblash, xossalar, vazifalar, kutilishni baholash, dispersiya, taqsimot funktsiyasi, formulalar, hisoblash misollari.
Tarkibni kengaytirish
Kontentni yig'ish
Matematik kutish - bu ta'rif
Matematik statistika va ehtimollar nazariyasidagi eng muhim tushunchalardan biri, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari yoki ehtimolliklarining taqsimlanishini tavsiflovchi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. U texnik tahlilda, sonlar qatorlarini oʻrganishda, uzluksiz va uzoq muddatli jarayonlarni oʻrganishda keng qoʻllaniladi. U moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholash, narx ko‘rsatkichlarini bashorat qilishda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, qimor o‘yinlari nazariyasida o‘yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo‘llaniladi.
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.
Matematik kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi x belgilangan M(x).
Matematik kutish
Matematik kutish ehtimollik nazariyasida ushbu tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi.
Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining ushbu qiymatlarning ehtimolliklari bo'yicha yig'indisi.
Matematik kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin.
Matematik kutish qimor nazariyasida, har bir tikish uchun o'yinchi olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor o'yinchilari tilida buni ba'zan "o'yinchining chekkasi" (agar o'yinchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uy chekkasi" (o'yinchi uchun salbiy bo'lsa) deb ataladi.
Matematik kutish G'alaba qozongan foyda foizi o'rtacha foyda minus yo'qotish ehtimolini o'rtacha yo'qotish bilan ko'paytiriladi.
Matematik nazariyada tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Tasodifiy o'zgaruvchining muhim raqamli xarakteristikalaridan biri bu matematik kutishdir. Keling, tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tushunchasini kiritamiz. Xuddi shu tasodifiy tajriba natijalari bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini ko'rib chiqing. Agar tizimning mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri bo'lsa, hodisa Kolmogorov aksiomalarini qondiradigan ma'lum bir ehtimollikka mos keladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning har qanday mumkin bo'lgan qiymatlari uchun aniqlangan funktsiya qo'shma taqsimot qonuni deb ataladi. Bu funksiya har qanday hodisaning ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Xususan, to'plamdan qiymatlarni oladigan va tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotining qo'shma qonuni ehtimollar bilan beriladi.
"Kutish" atamasi Per Simon Markiz de Laplas (1795) tomonidan kiritilgan va birinchi marta 17-asrda qimor oʻyinlari nazariyasida Blez Paskal va Kristian Gyuygenslarning asarlarida paydo boʻlgan “toʻlovning kutilayotgan qiymati” tushunchasidan kelib chiqqan. . Biroq, bu kontseptsiyani birinchi to'liq nazariy tushunish va baholashni Pafnuty Lvovich Chebyshev (19-asr o'rtalari) bergan.
Tasodifiy raqamli o'zgaruvchilarning taqsimot qonuni (tarqatish funktsiyasi va taqsimot qatori yoki ehtimollik zichligi) tasodifiy o'zgaruvchining harakatini to'liq tavsiflaydi. Ammo bir qator masalalarda qo'yilgan savolga javob berish uchun o'rganilayotgan miqdorning ayrim sonli xarakteristikalarini (masalan, uning o'rtacha qiymati va undan mumkin bo'lgan og'ishini) bilish kifoya. Tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy raqamli xarakteristikalari matematik kutish, dispersiya, rejim va mediandir.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisidir. Ba'zida matematik kutish o'rtacha og'irlik deb ataladi, chunki u ko'p sonli tajribalar davomida tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. Matematik kutishning ta'rifidan kelib chiqadiki, uning qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan eng kichik qiymatidan kam emas va eng kattasidan ko'p emas. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.
Matematik kutish oddiy jismoniy ma'noga ega: agar birlik massa to'g'ri chiziqqa joylashtirilsa, ba'zi bir massani ba'zi nuqtalarga joylashtirsa (diskret taqsimlash uchun) yoki uni ma'lum bir zichlik bilan "yog'lash" (mutlaq uzluksiz taqsimlash uchun), u holda matematik kutishga mos keladigan nuqta to'g'ri "og'irlik markazi" koordinatasi bo'ladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati ma'lum bir raqam bo'lib, u go'yo uning "vakili" bo'lib, uni taxminiy taxminiy hisob-kitoblarda almashtiradi. Biz: "chiroqning o'rtacha ishlash vaqti 100 soat" yoki "o'rtacha ta'sir nuqtasi nishonga nisbatan 2 m o'ngga siljiydi" deganda, biz bu bilan tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir raqamli xarakteristikasini ko'rsatamiz, bu uni tavsiflaydi. raqamli o'qdagi joylashuv, ya'ni. pozitsiya tavsifi.
Ehtimollar nazariyasidagi pozitsiyaning xususiyatlaridan eng muhim rolni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishi o'ynaydi, bu ba'zan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.
Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bu mumkin bo'lgan qiymatlarga ega x1, x2, …, xn ehtimolliklar bilan p1, p2, …, pn. Ushbu qiymatlarning turli xil ehtimolliklarga ega ekanligini hisobga olgan holda, biz tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining x o'qidagi o'rnini qandaydir raqam bilan tavsiflashimiz kerak. Buning uchun qiymatlarning "o'rtacha vaznli" deb ataladiganidan foydalanish tabiiydir xi, va o'rtacha hisoblash paytida har bir xi qiymati ushbu qiymatning ehtimoliga mutanosib "og'irlik" bilan hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini hisoblaymiz X, biz buni belgilaymiz M|X|:
Ushbu vaznli o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi deb ataladi. Shunday qilib, biz ehtimollik nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri - matematik kutish tushunchasini ko'rib chiqdik. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.
X ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymatiga o'ziga xos bog'liqlik tufayli. Bu bog'liqlik chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik bilan bir xil, ya'ni: ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matematik kutilishiga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlikdan kelib chiqib, natijada o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasida o'xshash bog'liqlik mavjudligini xulosa qilish mumkin. Haqiqatan ham, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bir qator taqsimotlar bilan tavsiflanadi:
Ishlab chiqarilsin N mustaqil tajribalar, ularning har birida qiymat X ma'lum bir qiymatni oladi. Qiymati deylik x1 paydo bo'ldi m1 marta, qiymat x2 paydo bo'ldi m2 vaqt, umumiy ma'no xi marta paydo bo'ldi. Keling, matematik kutishdan farqli o'laroq, X ning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaylik. M|X| belgilaymiz M*|X|:
Tajribalar sonining ko'payishi bilan N chastotalar pi mos keladigan ehtimollarga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati M|X| tajribalar sonining ko'payishi bilan u o'zining matematik kutishiga yaqinlashadi (ehtimollik bilan). O'rtacha arifmetik va yuqorida tuzilgan matematik kutish o'rtasidagi bog'liqlik katta sonlar qonuni shakllaridan birining mazmunini tashkil qiladi.
Biz allaqachon bilamizki, katta sonlar qonunining barcha shakllari ko'p miqdordagi tajribalarda ma'lum o'rtacha qiymatlarning barqarorligini bildiradi. Bu yerda gap bir xil qiymatdagi bir qator kuzatishlar natijasida o‘rtacha arifmetik qiymatning barqarorligi haqida ketmoqda. Kam miqdordagi tajribalar bilan ularning natijalarining arifmetik o'rtacha qiymati tasodifiydir; tajribalar sonining etarli darajada ko'payishi bilan u "deyarli tasodifiy emas" bo'lib qoladi va barqarorlashtirib, doimiy qiymatga - matematik kutishga yaqinlashadi.
Ko'p sonli tajribalar uchun o'rtacha qiymatlarning barqarorlik xususiyatini eksperimental tekshirish oson. Masalan, laboratoriyada har qanday jismni aniq tarozida tortish, tortish natijasida har safar yangi qiymatga ega bo'lamiz; kuzatish xatosini kamaytirish uchun tanani bir necha marta tortamiz va olingan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalanamiz. Ko'rinib turibdiki, tajribalar (tortishishlar) sonining yanada ortishi bilan o'rtacha arifmetik bu o'sishga kamroq va kamroq ta'sir qiladi va etarlicha ko'p tajribalar bilan u amalda o'zgarishni to'xtatadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining eng muhim xarakteristikasi - matematik kutish barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Matematik kutish mavjud bo'lmagan bunday tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar tuzish mumkin, chunki tegishli yig'indi yoki integral ajralib chiqadi. Biroq, amaliyot uchun bunday holatlar katta qiziqish uyg'otmaydi. Odatda, biz ko'rib chiqayotgan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan qiymat diapazoniga ega va, albatta, kutishga ega.
Tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining xarakteristikasidan eng muhimi - matematik kutishdan tashqari, ba'zan boshqa pozitsiya xarakteristikalari, xususan, tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va medianasi qo'llaniladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. "Ehtimoliy qiymat" atamasi, aniq aytganda, faqat uzluksiz miqdorlarga nisbatan qo'llaniladi; uzluksiz miqdor uchun rejim - ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymat. Raqamlar mos ravishda uzluksiz va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar rejimini ko'rsatadi.
Agar taqsimot ko'pburchagi (tarqatish egri chizig'i) birdan ortiq maksimalga ega bo'lsa, taqsimot "polimodal" deyiladi.
Ba'zan o'rtada maksimal emas, balki minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar "antimodal" deb ataladi.
Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Muayyan holatda, taqsimot simmetrik va modal bo'lsa (ya'ni rejimga ega) va matematik kutish mavjud bo'lsa, u taqsimotning rejimi va simmetriya markaziga to'g'ri keladi.
Lavozimning yana bir xarakteristikasi tez-tez ishlatiladi - tasodifiy o'zgaruvchining medianasi. Bu xarakteristika odatda faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladi, lekin u rasmiy ravishda uzluksiz o'zgaruvchi uchun ham aniqlanishi mumkin. Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon ikkiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.
Simmetrik modal taqsimotda mediana o'rtacha va rejimga to'g'ri keladi.
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati - tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining raqamli xarakteristikasi. Eng umumiy tarzda, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X(w) ehtimollik o'lchoviga nisbatan Lebeg integrali sifatida aniqlanadi R asl ehtimollik maydonida:
Matematik kutishni Lebeg integrali sifatida ham hisoblash mumkin X ehtimollik taqsimoti bo'yicha px miqdorlar X:
Tabiiy tarzda, cheksiz matematik kutish bilan tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasini aniqlash mumkin. Oddiy misol - ba'zi tasodifiy yurishlarda qaytish vaqtlari.
Matematik kutish yordamida taqsimotning ko'plab sonli va funktsional xususiyatlari aniqlanadi (tasodifiy o'zgaruvchining mos keladigan funktsiyalarining matematik taxmini kabi), masalan, generatsiya qiluvchi funktsiya, xarakterli funktsiya, har qanday tartibli momentlar, xususan, dispersiya. , kovariatsiya.
Matematik kutish - bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining joylashuvining xarakteristikasi (uning taqsimotining o'rtacha qiymati). Bu sig'imda matematik kutish qandaydir "odatiy" taqsimot parametri bo'lib xizmat qiladi va uning roli mexanikada statik moment - massa taqsimotining og'irlik markazining koordinatasi roliga o'xshaydi. Boshqa joylashish xususiyatlaridan, ular yordamida taqsimot umumiy ma'noda tasvirlangan - medianlar, rejimlar, matematik kutish u va tegishli tarqalish xarakteristikasi - dispersiya - ehtimollik nazariyasining chegara teoremalarida ega bo'lgan kattaroq qiymat bilan farqlanadi. Eng katta to'liqlik bilan matematik kutishning ma'nosi katta sonlar qonuni (Chebishev tengsizligi) va katta sonlarning mustahkamlangan qonuni bilan ochib beriladi.
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Bir nechta raqamli qiymatlardan birini olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin (masalan, rulondagi nuqtalar soni 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 bo'lishi mumkin). Ko'pincha amalda bunday qiymat uchun savol tug'iladi: ko'p sonli testlar bilan "o'rtacha" qanday qiymatni oladi? Xavfli bitimlarning har biridan bizning o'rtacha daromadimiz (yoki zararimiz) qanday bo'ladi?
Aytaylik, qandaydir lotereya bor. Biz unda ishtirok etish (yoki hatto qayta-qayta, muntazam ravishda ishtirok etish) foydali yoki yo'qligini tushunishni istaymiz. Aytaylik, har to'rtinchi chipta yutadi, sovrin 300 rublni, har qanday chiptaning narxi esa 100 rublni tashkil qiladi. Cheksiz sonli ishtiroklar bilan bu sodir bo'ladi. Ishlarning to'rtdan uch qismida biz yo'qotamiz, har uchta yo'qotish 300 rublni tashkil qiladi. Har to'rtinchi holatda biz 200 rubl yutib olamiz. (mukofot minus narxi), ya'ni to'rtta ishtirok uchun biz o'rtacha 100 rubl, bittasi uchun - o'rtacha 25 rubl yo'qotamiz. Umuman olganda, bizning xarobamizning o'rtacha narxi chipta uchun 25 rublni tashkil qiladi.
Biz zar tashlaymiz. Agar u aldamasa (og'irlik markazini o'zgartirmasdan va hokazo), unda biz bir vaqtning o'zida o'rtacha qancha ball olamiz? Har bir variant bir xil bo'lganligi sababli, biz ahmoqona arifmetik o'rtachani olamiz va 3,5 ni olamiz. Bu O'RTA bo'lgani uchun, hech qanday aniq otish 3,5 ball bermasligidan g'azablanishning hojati yo'q - yaxshi, bu kubning bunday raqamga ega yuzi yo'q!
Endi misollarimizni umumlashtiramiz:
Keling, yuqoridagi rasmni ko'rib chiqaylik. Chap tomonda tasodifiy miqdorni taqsimlash jadvali mavjud. X qiymati n ta mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin (yuqori qatorda berilgan). Boshqa qadriyatlar bo'lishi mumkin emas. Har bir mumkin bo'lgan qiymat ostida uning ehtimoli quyida imzolanadi. O'ng tomonda formula mavjud, bu erda M (X) matematik kutish deb ataladi. Ushbu qiymatning ma'nosi shundaki, ko'p sonli sinovlar (katta namuna bilan) bilan o'rtacha qiymat ushbu matematik kutishga moyil bo'ladi.
Keling, xuddi shu o'yin kubiga qaytaylik. Otishdagi ochkolar sonining matematik taxmini 3,5 ni tashkil qiladi (agar bunga ishonmasangiz, formuladan foydalanib hisoblang). Aytaylik, siz uni bir necha marta tashladingiz. 4 va 6 tushib ketdi.O'rtacha 5 ga chiqdi, ya'ni 3,5 dan uzoqda. Ular uni yana tashladilar, 3 tasi tushib ketdi, ya'ni o'rtacha (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Qandaydir matematik kutishdan uzoqda. Endi aqldan ozgan tajriba qiling - kubni 1000 marta aylantiring! Va agar o'rtacha ko'rsatkich 3,5 ga teng bo'lmasa, u shunga yaqin bo'ladi.
Keling, yuqorida tavsiflangan lotereya uchun matematik kutishni hisoblaylik. Jadval quyidagicha ko'rinadi:
Keyin yuqorida aniqlaganimizdek, matematik kutish bo'ladi.:
Yana bir narsa shundaki, u ham "barmoqlarda", formulasiz, ko'proq variantlar bo'lsa, qiyin bo'lar edi. Aytaylik, 75% yutqazilgan chiptalar, 20% yutuqli chiptalar va 5% yutuq chiptalari bor edi.
Endi matematik kutishning ba'zi xususiyatlari.
Buni isbotlash oson:
Doimiy multiplikatorni kutish belgisidan chiqarish mumkin, ya'ni:
Bu matematik kutishning chiziqlilik xususiyatining alohida holatidir.
Matematik kutishning chiziqliligining yana bir natijasi:
ya'ni tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutishlari yig'indisiga teng.
X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar bo'lsin, Keyin:
Buni isbotlash ham oson) XY o'zi tasodifiy o'zgaruvchidir, agar boshlang'ich qiymatlar olishi mumkin bo'lsa n Va m qiymatlari, mos ravishda, keyin XY nm qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Har bir qiymatning ehtimoli mustaqil hodisalarning ehtimolliklari ko'paytirilishiga asoslanib hisoblanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi
Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot zichligi (ehtimollik zichligi) kabi xususiyatga ega. Bu, aslida, tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy sonlar to'plamidan ba'zi qiymatlarni tez-tez, ba'zilari esa kamroq qabul qiladigan vaziyatni tavsiflaydi. Masalan, ushbu diagrammani ko'rib chiqing:
Bu yerga X- aslida tasodifiy o'zgaruvchi, f(x)- tarqatish zichligi. Ushbu grafikdan ko'ra, tajribalar davomida qiymat X ko'pincha nolga yaqin raqam bo'ladi. oshib ketish imkoniyatlari 3 yoki kamroq bo'lsin -3 anchagina nazariy.
Masalan, bir xil taqsimot mavjud bo'lsin:
Bu intuitiv tushunchaga juda mos keladi. Aytaylik, agar biz bir xil taqsimotga ega bo'lgan juda ko'p tasodifiy haqiqiy sonlarni olsak, segmentning har biri |0; 1| , keyin arifmetik o'rtacha taxminan 0,5 bo'lishi kerak.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladigan matematik kutish xususiyatlari - chiziqlilik va boshqalar bu erda ham qo'llaniladi.
Matematik kutishning boshqa statistik ko'rsatkichlar bilan aloqasi
Statistik tahlilda matematik kutish bilan bir qatorda hodisalarning bir xilligi va jarayonlarning barqarorligini aks ettiruvchi o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar tizimi mavjud. Ko'pincha variatsiya ko'rsatkichlari mustaqil ma'noga ega emas va ma'lumotlarni keyingi tahlil qilish uchun ishlatiladi. Istisno - bu qimmatli statistik tavsif bo'lgan ma'lumotlarning bir xilligini tavsiflovchi o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Statistikada jarayonlarning o'zgaruvchanligi yoki barqarorligi darajasini bir nechta ko'rsatkichlar yordamida o'lchash mumkin.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'zgaruvchanligini tavsiflovchi eng muhim ko'rsatkich Dispersiya, bu matematik kutish bilan eng yaqin va bevosita bog'liqdir. Ushbu parametr statistik tahlilning boshqa turlarida (gipotezani tekshirish, sabab-natija munosabatlarini tahlil qilish va boshqalar) faol qo'llaniladi. O'rtacha chiziqli og'ish kabi, dispersiya ham ma'lumotlarning o'rtacha atrofida tarqalish darajasini aks ettiradi.
Belgilar tilini so'zlar tiliga tarjima qilish foydalidir. Ma'lum bo'lishicha, dispersiya og'ishlarning o'rtacha kvadratidir. Ya'ni, avval o'rtacha qiymat hisoblab chiqiladi, so'ngra har bir asl va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq olinadi, kvadratga olinadi, qo'shiladi va keyin ushbu populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'linadi. Shaxsiy qiymat va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq og'ish o'lchovini aks ettiradi. Barcha og'ishlar faqat ijobiy raqamlarga aylanishini ta'minlash va ular yig'ilganda ijobiy va salbiy og'ishlarning o'zaro bekor qilinishiga yo'l qo'ymaslik uchun kvadratga aylantiriladi. Keyin, kvadrat og'ishlarni hisobga olgan holda, biz oddiygina arifmetik o'rtachani hisoblaymiz. O'rtacha - kvadrat - og'ishlar. Og'ishlar kvadrat bo'lib, o'rtacha hisoblanadi. Sehrli "tarqalish" so'ziga javob faqat uchta so'zdan iborat.
Biroq, uning sof shaklida, masalan, arifmetik o'rtacha yoki indeks, dispersiya ishlatilmaydi. Bu statistik tahlilning boshqa turlari uchun qo'llaniladigan yordamchi va oraliq ko'rsatkichdir. Uning oddiy o‘lchov birligi ham yo‘q. Formulaga ko'ra, bu asl ma'lumotlar birligining kvadratidir.
Keling, tasodifiy o'zgaruvchini o'lchaymiz N marta, masalan, biz shamol tezligini o'n marta o'lchaymiz va o'rtacha qiymatni topmoqchimiz. O'rtacha qiymat taqsimot funktsiyasi bilan qanday bog'liq?
Yoki biz zarlarni ko'p marta tashlaymiz. Har bir otish paytida o'limga tushadigan ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1 dan 6 gacha har qanday tabiiy qiymatlarni olishi mumkin. N u juda aniq raqamga - matematik kutishga intiladi Mx. Bu holda, Mx = 3,5.
Bu qiymat qanday paydo bo'ldi? Ichkariga ruxsat bering N sinovlar n1 1 ball tushirilsa, n2 marta - 2 ball va boshqalar. Keyin bitta nuqta tushgan natijalar soni:
Xuddi shunday, 2, 3, 4, 5 va 6 ball tushib qolgan natijalar uchun.
Keling, biz x tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini bilamiz deb faraz qilaylik, ya'ni biz bilamizki, x tasodifiy o'zgaruvchisi p1, p2, ... ehtimolliklari bilan x1, x2, ..., xk qiymatlarini olishi mumkin. , pk.
X tasodifiy o'zgaruvchining Mx matematik taxmini:
Matematik kutish har doim ham ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning oqilona bahosi emas. Shunday qilib, o'rtacha ish haqini baholash uchun mediana tushunchasidan foydalanish yanada oqilona bo'ladi, ya'ni o'rtacha maoshdan kamroq va undan ko'p oladigan odamlar soni bir xil bo'lgan shunday qiymat.
X tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan kichik bo'lishi ehtimoli p1 va x tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan katta bo'lishi p2 ehtimolligi bir xil va 1/2 ga teng. Median barcha taqsimotlar uchun yagona aniqlanmaydi.
Standart yoki standart og'ish statistikada kuzatuv ma'lumotlari yoki to'plamlarning O'RTA qiymatdan chetlanish darajasi deyiladi. s yoki s harflari bilan belgilanadi. Kichik standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha atrofida guruhlanganligini va katta standart og'ish boshlang'ich ma'lumotlarning undan uzoqligini ko'rsatadi. Standart og'ish dispersiya deb ataladigan miqdorning kvadrat ildiziga teng. Bu o'rtachadan chetga chiqqan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik farqlari yig'indisining o'rtacha qiymati. Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi dispersiyaning kvadrat ildizidir:
Misol. Sinov sharoitida nishonga otish paytida tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va standart og'ishini hisoblang:
Variatsiya- atribut qiymatining populyatsiya birliklarida tebranishi, o'zgaruvchanligi. O'rganilayotgan populyatsiyada mavjud bo'lgan atributning alohida raqamli qiymatlari qiymat variantlari deb ataladi. Populyatsiyani to'liq tavsiflash uchun o'rtacha qiymatning etarli emasligi o'rganilayotgan belgining tebranishini (variatsiyasini) o'lchash orqali ushbu o'rtacha ko'rsatkichlarning tipikligini baholash imkonini beradigan ko'rsatkichlar bilan o'rtacha qiymatlarni to'ldirishni talab qiladi. O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
O'zgaruvchanlik(R) - o'rganilayotgan populyatsiyadagi belgining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq. Ushbu ko'rsatkich o'rganilayotgan belgining o'zgarishi haqida eng umumiy fikrni beradi, chunki u faqat variantlarning ekstremal qiymatlari orasidagi farqni ko'rsatadi. Atributning ekstremal qiymatlariga bog'liqlik o'zgaruvchanlik diapazoniga beqaror, tasodifiy belgi beradi.
O'rtacha chiziqli og'ish tahlil qilinayotgan populyatsiyaning barcha qiymatlarining o'rtacha qiymatidan mutlaq (modul) og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati:
Qimor nazariyasida matematik kutish
Matematik kutish Qimorboz berilgan tikishda yutishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan o'rtacha pul miqdori. Bu o'yinchi uchun juda muhim tushunchadir, chunki u ko'pchilik o'yin vaziyatlarini baholashda asosiy hisoblanadi. Matematik kutish, shuningdek, asosiy karta tartiblari va o'yin holatlarini tahlil qilish uchun eng yaxshi vositadir.
Aytaylik, siz do'stingiz bilan tanga o'ynayapsiz, nima bo'lishidan qat'i nazar, har safar 1 dollarga teng pul tikasiz. Dumlar - g'alaba qozonasiz, boshlar - yutqazasiz. Uning paydo bo'lish ehtimoli birdaniga va siz 1 dollardan 1 dollargacha pul tikasiz. Shunday qilib, sizning matematik kutishingiz nolga teng, chunki Matematik jihatdan aytganda, siz ikkita rulodan keyin yoki 200 dan keyin etakchi bo'lishingiz yoki yo'qotishingizni bilolmaysiz.
Sizning soatlik daromadingiz nolga teng. Soatlik to'lov - bu bir soat ichida yutib olishni kutgan pul miqdori. Siz tangani bir soat ichida 500 marta aylantirishingiz mumkin, lekin siz g'alaba qozonmaysiz yoki yutqazmaysiz sizning koeffitsientlaringiz ijobiy ham, salbiy ham emas. Agar qarasangiz, jiddiy o'yinchi nuqtai nazaridan, bunday tikish tizimi yomon emas. Lekin bu shunchaki vaqtni behuda sarflash.
Aytaylik, kimdir xuddi shu o'yinda sizning 1 dollaringizga 2 dollar tikishni xohlaydi. Shunda siz darhol har bir tikishdan 50 sent miqdorida ijobiy umidga ega bo'lasiz. Nega 50 sent? O'rtacha, siz bitta garovda g'alaba qozonasiz va ikkinchisini yo'qotasiz. Birinchi dollar tiking va 1 dollar yo'qoting, ikkinchisini tiking va 2 dollar yutib oling. Siz ikki marta 1 dollar tikdingiz va $1 ga oldindasiz. Shunday qilib, sizning har bir dollar tikishingiz sizga 50 sent berdi.
Agar tanga bir soat ichida 500 marta tushib qolsa, sizning soatlik daromadingiz allaqachon $250 bo'ladi, chunki. o'rtacha, siz $ 1 250 marta yo'qotgansiz va $ 2 250 marta yutgansiz. $ 500 minus $ 250 $ 250 ga teng, bu umumiy g'alaba. E'tibor bering, kutilgan qiymat, ya'ni bitta tikish bo'yicha o'rtacha yutgan summa 50 sent. Siz bir dollarga 500 marta tikish orqali 250 dollar yutib oldingiz, bu sizning tikishingizning 50 sentiga teng.
Matematik kutishning qisqa muddatli natijalar bilan hech qanday aloqasi yo'q. Sizga qarshi $2 tikishga qaror qilgan raqibingiz sizni ketma-ket birinchi o'nta to'pda mag'lub etishi mumkin edi, lekin siz 2 ga 1 ga teng bo'lgan tikish ustunligi bilan, har qanday pul tikish uchun har $1 ga 50 sent ishlab olasiz. holatlar. Bitta garov yoki bir nechta garov yutishingiz yoki yutqazishingiz muhim emas, faqat xarajatlarni osonlikcha qoplash uchun yetarlicha naqd pulingiz bo‘lishi sharti bilan. Agar siz xuddi shu tarzda tikishda davom etsangiz, uzoq vaqt davomida sizning yutuqlaringiz individual rulonlarda kutilgan qiymatlar yig'indisiga etadi.
Har safar yaxshiroq tikish (uzoq muddatda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan garov) koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lganda, siz uni berilgan qo'lda yo'qotasizmi yoki yo'qmi, unda biror narsa yutib olishingiz shart. Aksincha, agar siz koeffitsientlar foydangizga bo'lmaganda yomonroq natijaga ega (uzoq muddatda foydasiz garov) tikilgan bo'lsangiz, bu qo'lda yutganingiz yoki yutqazganingizdan qat'i nazar, biror narsani yo'qotasiz.
Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, eng yaxshi natijaga pul tikasiz va koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lsa, bu ijobiy bo'ladi. Eng yomon natijaga pul tikish orqali siz salbiy umidga ega bo'lasiz, bu koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganda sodir bo'ladi. Jiddiy o'yinchilar faqat eng yaxshi natijaga pul tikadilar, eng yomoni - ular katlanadilar. Sizning foydangizga koeffitsientlar nimani anglatadi? Siz haqiqiy koeffitsientlardan ko'ra ko'proq g'alaba qozonishingiz mumkin. Dumlarni urishning haqiqiy koeffitsienti 1 dan 1 gacha, lekin tikish nisbati tufayli siz 2 dan 1 gacha olasiz. Bunday holda, koeffitsientlar sizning foydangizga. Har bir tikish uchun 50 tsent ijobiy kutish bilan siz, albatta, eng yaxshi natijaga erishasiz.
Bu erda matematik kutishning yanada murakkab misoli. Do'st birdan beshgacha bo'lgan raqamlarni yozib qo'yadi va sizning 1 dollaringizga 5 dollar tikadi, siz raqamni tanlamaysiz. Siz bunday garovga rozimisiz? Bu erda nimani kutish mumkin?
O'rtacha, siz to'rt marta xato qilasiz. Shunga asoslanib, bu raqamni taxmin qilishda sizga qarshi koeffitsient 4 ga 1 bo'ladi. Imkoniyatlar shundan iboratki, siz bir urinishda bir dollar yo'qotasiz. Biroq, siz 5: 1 hisobida g'alaba qozonasiz, 4: 1 hisobida mag'lub bo'lish ehtimoli bilan. Shuning uchun, koeffitsientlar sizning foydangizga, siz tikishingiz va eng yaxshi natijaga umid qilishingiz mumkin. Agar siz ushbu garovni besh marta qilsangiz, o'rtacha hisobda to'rt marta 1 dollar yo'qotasiz va bir marta 5 dollar yutib olasiz. Shunga asoslanib, barcha beshta urinish uchun siz har bir tikish uchun 20 tsentlik ijobiy matematik kutish bilan 1 dollar ishlab olasiz.
Yuqoridagi misoldagi kabi tikishdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonmoqchi bo'lgan o'yinchi koeffitsientlarni qo'lga kiritadi. Aksincha, u tiklaganidan kamroq g'alaba qozonishni kutsa, imkoniyatni buzadi. Gamblingchi koeffitsientlarni qo'lga olish yoki yo'q qilishiga qarab ijobiy yoki salbiy kutishlari mumkin.
Agar siz 4 ga 1 g'alaba qozonish imkoniyati bilan 10 dollar yutib olish uchun 50 dollar tiksangiz, siz 2 dollarlik salbiy kutilasiz, chunki o'rtacha, siz to'rt marta g'alaba qozonasiz $10 va yo'qotasiz $50 bir marta, bu har bir tikish uchun yo'qotish $10 bo'lishini ko'rsatadi. Ammo agar siz 10 dollar yutib olish uchun 30 dollar tiksangiz, 4 ga 1 yutish koeffitsienti bir xil bo'lsa, bu holda sizda 2 dollarga ijobiy umid bor, chunki siz yana to'rt marta g'alaba $10 va yo'qotish $30 bir marta, foyda uchun $10. Bu misollar birinchi tikish yomon, ikkinchisi esa yaxshi ekanligini ko'rsatadi.
Matematik kutish har qanday o'yin vaziyatining markazidir. Bukmekerlik kontorlari futbol muxlislarini 10 dollar yutib olish uchun 11 dollar tikishga undasa, ular har 10 dollar uchun 50 sentdan ijobiy umidga ega. Agar kazino Craps-dagi o'tish chizig'idan hatto pul to'lasa, uyning ijobiy kutilishi har 100 dollar uchun taxminan 1,40 dollarni tashkil qiladi, chunki bu o'yin shunday tuzilganki, bu chiziqqa pul tikgan har bir kishi o'rtacha 50,7% yutqazadi va vaqtning 49,3% yutadi. Shubhasiz, bu dunyo bo'ylab qimorxona egalariga katta foyda keltiradigan minimal ijobiy kutishdir. Vegas World kazino egasi Bob Stupak ta'kidlaganidek, "Etarli uzoq masofadagi salbiy ehtimollikning mingdan bir qismi dunyodagi eng boy odamni bankrot qiladi".
Poker o'ynashda matematik kutish
Poker o'yini matematik kutishning nazariyasi va xususiyatlaridan foydalanish nuqtai nazaridan eng yorqin va yorqin misoldir.
Pokerda kutilayotgan qiymat - bu ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin. Muvaffaqiyatli poker har doim ijobiy matematik kutish bilan harakatlarni qabul qilishdir.
Poker o'ynashda matematik kutishning matematik ma'nosi shundan iboratki, biz qaror qabul qilishda ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilarga duch kelamiz (biz raqibning qo'lida qaysi kartalar borligini, keyingi tikish raundlarida qaysi kartalar kelishini bilmaymiz). Yechimlarning har birini katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqishimiz kerak, ya'ni etarlicha katta tanlov bilan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati uning matematik kutilishiga moyil bo'ladi.
Matematik kutishni hisoblash uchun maxsus formulalar orasida quyidagilar pokerda eng ko'p qo'llaniladi:
Poker o'ynaganda, matematik kutish ham tikish, ham qo'ng'iroqlar uchun hisoblanishi mumkin. Birinchi holda, katlama kapitali, ikkinchisida, potning o'z imkoniyatlarini hisobga olish kerak. Muayyan harakatning matematik kutishini baholashda, katlama har doim nol matematik kutishga ega ekanligini esga olish kerak. Shunday qilib, kartalardan voz kechish har doim har qanday salbiy harakatdan ko'ra foydaliroq qaror bo'ladi.
Kutish, siz xavf ostiga qo'ygan har bir dollar uchun nimani kutishingiz mumkinligini (foyda yoki zarar) aytadi. Kazinolar pul ishlashadi, chunki ularda o'tkaziladigan barcha o'yinlarning matematik kutilishi kazino foydasiga. Etarlicha uzun o'yinlar seriyasi bilan mijoz o'z pulini yo'qotishini kutish mumkin, chunki "ehtimol" kazino foydasiga. Biroq, professional kazino o'yinchilari o'z o'yinlarini qisqa vaqt oralig'ida cheklaydilar va shu bilan o'z foydasiga koeffitsientlarni oshiradilar. Xuddi shu narsa investitsiya qilish uchun ham amal qiladi. Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, qisqa vaqt ichida ko'plab savdolarni amalga oshirish orqali ko'proq pul ishlashingiz mumkin. Kutish - bu sizning har bir g'alabadan olingan foydaning o'rtacha foydaning foizini, minus yo'qotish ehtimolini o'rtacha yo'qotishni ko'paytirishdir.
Pokerni matematik kutish nuqtai nazaridan ham ko'rib chiqish mumkin. Siz ma'lum bir harakatni foydali deb hisoblashingiz mumkin, lekin ba'zi hollarda u eng yaxshisi bo'lmasligi mumkin, chunki boshqa harakat foydaliroq. Aytaylik, siz beshta karta o'ynagan pokerda to'liq uyni urdingiz. Raqibingiz tikadi. Bilasizmi, agar siz oldinga chiqsangiz, u qo'ng'iroq qiladi. Demak, ko'tarish eng yaxshi taktikaga o'xshaydi. Ammo agar siz ko'tarsangiz, qolgan ikkita o'yinchi aniq katlanadi. Ammo agar siz garovga qo'ng'iroq qilsangiz, sizdan keyingi ikki o'yinchi ham xuddi shunday qilishiga to'liq amin bo'lasiz. Tikishni ko'targaningizda, siz bitta birlik olasiz va shunchaki qo'ng'iroq qilib, ikkita olasiz. Shunday qilib, qo'ng'iroq qilish sizga yuqori ijobiy kutilgan qiymatni beradi va eng yaxshi taktikadir.
Matematik kutish, shuningdek, qaysi poker taktikasi kamroq foydali va qaysi biri foydaliroq ekanligi haqida fikr berishi mumkin. Misol uchun, agar siz ma'lum bir qo'lni o'ynasangiz va o'rtacha yo'qotish 75 sentni tashkil etadi deb hisoblasangiz, unda siz bu qo'lni o'ynashingiz kerak, chunki bu ante $1 bo'lganda katlamadan yaxshiroqdir.
Kutilayotgan qiymatni tushunishning yana bir muhim sababi shundaki, bu sizga garovda g'alaba qozonganingiz yoki yo'qligingizdan qat'iy nazar xotirjamlik hissi beradi: agar siz yaxshi garov o'tkazsangiz yoki o'z vaqtida o'tsangiz, ma'lum miqdorda pul tikganingiz yoki saqlaganingizni bilib olasiz. kuchsizroq o'yinchi saqlay olmaydigan pul. Raqibingizning durangda qo‘li yaxshiroq ekanligidan xafa bo‘lsangiz, buklanish ancha qiyin bo‘ladi. Ya'ni, tikish o'rniga, o'ynamaslik orqali tejagan pulingiz bir kechada yoki oylik yutuqlaringizga qo'shiladi.
Shuni yodda tutingki, agar siz qo'lingizni almashtirsangiz, raqibingiz sizga qo'ng'iroq qiladi va Pokerning asosiy teoremasi maqolasida ko'rib turganingizdek, bu sizning afzalliklaringizdan biridir. Bu sodir bo'lganda xursand bo'lishingiz kerak. Siz hatto qo'lingizni yo'qotishdan zavqlanishni ham o'rganishingiz mumkin, chunki sizning poyabzalingizdagi boshqa o'yinchilar ko'proq narsani yo'qotishini bilasiz.
Boshida tanga o'yini misolida muhokama qilinganidek, daromadning soatlik darajasi matematik kutish bilan bog'liq va bu tushuncha professional o'yinchilar uchun ayniqsa muhimdir. Poker o'ynamoqchi bo'lganingizda, bir soatlik o'yinda qancha yutib olishingiz mumkinligini aqlan hisoblashingiz kerak. Aksariyat hollarda siz sezgi va tajribangizga tayanishingiz kerak bo'ladi, lekin siz ba'zi matematik hisob-kitoblardan ham foydalanishingiz mumkin. Misol uchun, agar siz lotereya o'yinini o'ynayotgan bo'lsangiz va uchta o'yinchi 10 dollar tikib, keyin ikkita karta o'ynaganini ko'rsangiz, bu juda yomon taktikadir, siz o'zingiz hisoblab ko'rishingiz mumkin, ular har safar 10 dollar tikishganda ular taxminan 2 dollar yo'qotadilar. Ularning har biri buni soatiga sakkiz marta qiladi, ya'ni uchalasi ham soatiga taxminan 48 dollar yo'qotadi. Siz taxminan teng bo'lgan qolgan to'rt o'yinchidan birisiz, shuning uchun bu to'rtta o'yinchi (va siz ular orasida) 48 dollarni baham ko'rishlari kerak va har biri soatiga 12 dollardan foyda oladi. Bu holda sizning soatlik stavkangiz shunchaki soatiga uchta yomon o'yinchi tomonidan yo'qotilgan pul miqdoridagi ulushingizdir.
Uzoq vaqt davomida o'yinchining umumiy yutug'i uning alohida taqsimotlardagi matematik taxminlarining yig'indisidir. Ijobiy kutish bilan qanchalik ko'p o'ynasangiz, shuncha ko'p g'alaba qozonasiz va aksincha, salbiy kutish bilan qancha qo'l o'ynasangiz, shuncha ko'p yo'qotasiz. Natijada, siz soatlik daromadingizni maksimal darajada oshirishingiz uchun ijobiy kutishingizni maksimal darajada oshiradigan yoki salbiy kutishingizni inkor etadigan o'yinni birinchi o'ringa qo'yishingiz kerak.
O'yin strategiyasida ijobiy matematik kutish
Agar siz kartalarni qanday hisoblashni bilsangiz, ular buni sezmasa va sizni haydab chiqarishmasa, siz kazinodan ustunlikka ega bo'lishingiz mumkin. Kazinolar mast qimorbozlarni yaxshi ko'radilar va kartalarni sanashga dosh berolmaydilar. Afzallik sizga vaqt o'tishi bilan yo'qotganingizdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonish imkonini beradi. Kutish hisob-kitoblaridan foydalangan holda pulni yaxshi boshqarish sizga o'z imkoniyatlarini ishga solishga va yo'qotishlaringizni kamaytirishga yordam beradi. Imtiyozsiz, pulni xayriyaga berganingiz ma'qul. Birjadagi o'yinda ustunlik o'yin tizimi tomonidan beriladi, bu esa yo'qotishlardan, narxlardagi farqlardan va komissiyalardan ko'ra ko'proq foyda keltiradi. Hech qanday pul boshqaruvi yomon o'yin tizimini saqlab qolmaydi.
Ijobiy kutish noldan katta qiymat bilan belgilanadi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, statistik kutish shunchalik kuchli bo'ladi. Agar qiymat noldan kichik bo'lsa, matematik kutish ham manfiy bo'ladi. Salbiy qiymat moduli qanchalik katta bo'lsa, vaziyat shunchalik yomon bo'ladi. Agar natija nolga teng bo'lsa, kutilgan natija buziladi. Siz faqat ijobiy matematik kutish, oqilona o'yin tizimiga ega bo'lganingizda g'alaba qozonishingiz mumkin. Sezgi ustida o'ynash falokatga olib keladi.
Matematik kutish va birja savdosi
Matematik kutish moliyaviy bozorlarda birja savdolarida juda keng talab qilinadigan va mashhur statistik ko'rsatkichdir. Avvalo, bu parametr savdo muvaffaqiyatini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Bu qiymat qanchalik katta bo'lsa, o'rganilayotgan savdoni muvaffaqiyatli deb hisoblash uchun sabab ko'proq ekanligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, treyder ishini tahlil qilish faqat ushbu parametr yordamida amalga oshirilmaydi. Biroq, hisoblangan qiymat ish sifatini baholashning boshqa usullari bilan birgalikda tahlilning aniqligini sezilarli darajada oshirishi mumkin.
Matematik kutish tez-tez depozit bo'yicha amalga oshirilgan ishlarni tezda baholash imkonini beruvchi savdo hisobini monitoring qilish xizmatlarida hisoblab chiqiladi. Istisno sifatida biz savdolarni yo'qotishning "ortiqcha qolishi" dan foydalanadigan strategiyalarni keltirishimiz mumkin. Treyder bir muncha vaqt omadli bo'lishi mumkin va shuning uchun uning ishida hech qanday yo'qotish bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, faqat kutish orqali harakat qilish mumkin bo'lmaydi, chunki ishda ishlatiladigan xavflar hisobga olinmaydi.
Bozorda savdo qilishda matematik kutish ko'pincha savdo strategiyasining rentabelligini bashorat qilishda yoki uning oldingi savdolari statistikasi asosida treyderning daromadini bashorat qilishda qo'llaniladi.
Pulni boshqarishga kelsak, salbiy kutish bilan savdo qilishda, albatta, yuqori daromad keltiradigan pulni boshqarish sxemasi yo'qligini tushunish juda muhimdir. Agar siz ushbu shartlar ostida birjani o'ynashda davom etsangiz, pulingizni qanday boshqarishingizdan qat'i nazar, boshida qanchalik katta bo'lishidan qat'i nazar, butun hisobingizni yo'qotasiz.
Bu aksioma nafaqat salbiy kutish o'yinlari yoki savdolari uchun, balki hatto koeffitsientli o'yinlar uchun ham amal qiladi. Shuning uchun, uzoq muddatda foyda olish imkoniyatiga ega bo'lgan yagona holat - bu ijobiy matematik kutish bilan bitimlar tuzish.
Salbiy kutish va ijobiy kutish o'rtasidagi farq hayot va o'lim o'rtasidagi farqdir. Kutish qanchalik ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas; muhimi ijobiy yoki salbiy. Shuning uchun, pulni boshqarishni ko'rib chiqishdan oldin, siz ijobiy kutilgan o'yinni topishingiz kerak.
Agar sizda bu o'yin bo'lmasa, unda dunyodagi hech qanday pul boshqaruvi sizni qutqarmaydi. Boshqa tomondan, agar sizda ijobiy umid bo'lsa, pulni to'g'ri boshqarish orqali uni eksponent o'sish funktsiyasiga aylantirish mumkin. Ijobiy kutish qanchalik kichik bo'lishi muhim emas! Boshqacha qilib aytganda, bitta shartnomaga asoslangan savdo tizimi qanchalik foydali ekanligi muhim emas. Agar sizda bitta savdo bo'yicha har bir shartnoma uchun 10 dollar yutib oladigan tizim bo'lsa (to'lovlar va sirg'ayishdan keyin), har bir savdo uchun o'rtacha 1000 AQSh dollari foyda ko'rsatadigan tizimdan ko'ra ko'proq foyda keltirish uchun pulni boshqarish usullaridan foydalanishingiz mumkin (komissiya va komissiyalar chegirib tashlanganidan keyin). sirpanish).
Muhimi, tizim qanchalik foydali bo'lganligi emas, balki kelajakda tizim hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatishini qanchalik aniq aytish mumkin. Shuning uchun, treyder amalga oshirishi mumkin bo'lgan eng muhim tayyorgarlik, tizim kelajakda kutilgan ijobiy qiymatni ko'rsatishiga ishonch hosil qilishdir.
Kelajakda kutilgan ijobiy qiymatga ega bo'lish uchun tizimingizning erkinlik darajasini cheklamaslik juda muhimdir. Bunga nafaqat optimallashtiriladigan parametrlar sonini yo'q qilish yoki kamaytirish, balki imkon qadar ko'proq tizim qoidalarini kamaytirish orqali erishiladi. Siz qo'shadigan har bir parametr, siz kiritgan har bir qoida, tizimga kiritilgan har bir kichik o'zgarish erkinlik darajalari sonini kamaytiradi. Ideal holda, siz deyarli har qanday bozorda doimiy ravishda kichik daromad keltiradigan juda ibtidoiy va oddiy tizimni qurmoqchisiz. Yana shuni tushunishingiz kerakki, tizim qanchalik foydali bo'lishidan qat'iy nazar, agar u foydali bo'lsa. Savdoda topgan pulingiz pulni samarali boshqarish orqali olinadi.
Savdo tizimi oddiygina pul boshqaruvidan foydalanish uchun sizga ijobiy matematik kutish imkonini beruvchi vositadir. Faqat bir yoki bir nechta bozorlarda ishlaydigan (hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatadigan) yoki turli bozorlar uchun turli qoidalar yoki parametrlarga ega bo'lgan tizimlar real vaqtda uzoq vaqt ishlamaydi. Ko'pgina texnik yo'naltirilgan treyderlar bilan bog'liq muammo shundaki, ular savdo tizimining turli qoidalari va parametrlarini optimallashtirish uchun juda ko'p vaqt va kuch sarflashadi. Bu butunlay qarama-qarshi natijalar beradi. Savdo tizimining foydasini oshirish uchun energiya va kompyuter vaqtini behuda sarflashning o'rniga, kuchingizni minimal foyda olishning ishonchlilik darajasini oshirishga yo'naltiring.
Pulni boshqarish ijobiy umidlardan foydalanishni talab qiladigan shunchaki raqamli o'yin ekanligini bilgan holda, treyder birja savdosining "muqaddas kosasi" ni qidirishni to'xtatishi mumkin. Buning o'rniga, u o'zining savdo usulini sinab ko'rishni boshlashi mumkin, bu usulning mantiqan qanchalik to'g'ri ekanligini, ijobiy umidlarni beradimi yoki yo'qligini bilib oladi. Har qanday, hatto juda o'rtacha savdo usullarida qo'llaniladigan to'g'ri pul boshqarish usullari qolgan ishni bajaradi.
Har qanday treyder o'z ishida muvaffaqiyat qozonishi uchun uchta eng muhim vazifani hal qilishi kerak: . Muvaffaqiyatli bitimlar soni muqarrar xatolar va noto'g'ri hisob-kitoblardan oshib ketishini ta'minlash; Pul topish imkoniyati imkon qadar tez-tez bo'lishi uchun savdo tizimingizni sozlang; Operatsiyalaringizning barqaror ijobiy natijasiga erishing.
Va bu erda, biz, ishlaydigan treyderlar uchun matematik kutish yaxshi yordam berishi mumkin. Ehtimollik nazariyasidagi bu atama kalitlardan biridir. Uning yordamida siz tasodifiy qiymatning o'rtacha bahosini berishingiz mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tortishish markaziga o'xshaydi, agar biz barcha mumkin bo'lgan ehtimollarni turli xil massali nuqtalar sifatida tasavvur qilsak.
Savdo strategiyasiga nisbatan uning samaradorligini baholash uchun ko'pincha foyda (yoki zarar) ni matematik kutish qo'llaniladi. Ushbu parametr foyda va zararning berilgan darajalari mahsulotlarining yig'indisi va ularning paydo bo'lish ehtimoli sifatida aniqlanadi. Misol uchun, ishlab chiqilgan savdo strategiyasi barcha operatsiyalarning 37% foyda keltiradi, qolgan qismi - 63% - foydasiz bo'ladi. Shu bilan birga, muvaffaqiyatli bitimdan o'rtacha daromad $7, o'rtacha yo'qotish $1,4 bo'ladi. Keling, quyidagi tizim yordamida savdoning matematik kutilishini hisoblaylik:
Bu raqam nimani anglatadi? Unda aytilishicha, ushbu tizim qoidalariga rioya qilgan holda, biz har bir yopiq bitimdan o'rtacha 1,708 dollar olamiz. Olingan samaradorlik ko'rsatkichi noldan katta bo'lganligi sababli, bunday tizim haqiqiy ish uchun ishlatilishi mumkin. Agar hisob-kitob natijasida matematik kutish salbiy bo'lib chiqsa, bu allaqachon o'rtacha yo'qotishni ko'rsatadi va bunday savdo halokatga olib keladi.
Savdo bo'yicha foyda miqdori nisbiy qiymat sifatida% shaklida ham ifodalanishi mumkin. Masalan:
– 1 tranzaksiya uchun daromad ulushi - 5%;
– muvaffaqiyatli savdo operatsiyalari ulushi - 62%;
– 1 savdo uchun yo‘qotish foizi – 3%;
- muvaffaqiyatsiz bitimlar ulushi - 38%;
Ya'ni, o'rtacha bitim 1,96% olib keladi.
Savdolarni yo'qotishning ustunligiga qaramay, uning MO>0 bo'lganligi sababli ijobiy natija beradigan tizimni ishlab chiqish mumkin.
Biroq, yolg'iz kutish etarli emas. Tizim juda kam savdo signallarini bersa, pul ishlash qiyin. Bunday holda, uning rentabelligi bank foizlari bilan taqqoslanadi. Har bir operatsiya o'rtacha atigi 0,5 dollar olib kelsin, lekin agar tizim yiliga 1000 ta tranzaksiyani o'z zimmasiga olsa-chi? Bu nisbatan qisqa vaqt ichida juda jiddiy miqdor bo'ladi. Bundan mantiqan kelib chiqadiki, yaxshi savdo tizimining yana bir o'ziga xos belgisi qisqa muddatli saqlash muddati deb hisoblanishi mumkin.
Manbalar va havolalar
dic.academic.ru - akademik onlayn lug'at
mathematics.ru - matematika bo'yicha o'quv sayti
nsu.ru - Novosibirsk davlat universitetining o'quv sayti
webmath.ru - talabalar, abituriyentlar va maktab o'quvchilari uchun ta'lim portali.
exponenta.ru o'quv matematik sayti
ru.tradimo.com - bepul onlayn savdo maktabi
crypto.hut2.ru - ko'p tarmoqli axborot resursi
poker-wiki.ru - pokerning bepul ensiklopediyasi
sernam.ru - Tanlangan tabiatshunoslik nashrlarining ilmiy kutubxonasi
reshim.su - veb-sayt SOLVE topshiriqlarni nazorat qilish kurs ishlari
unfx.ru - UNFX bo'yicha Forex: ta'lim, savdo signallari, ishonchli boshqaruv
slovopedia.com - Katta ensiklopedik lug'at
pokermansion.3dn.ru - Sizning poker olamiga qo'llanma
statanaliz.info - "Statistik ma'lumotlarni tahlil qilish" axborot blogi
forex-trader.rf - Forex-Trader portali
megafx.ru - eng so'nggi Forex tahlillari
fx-by.com - treyder uchun hamma narsa
Ehtimollar nazariyasi matematikaning faqat oliy o'quv yurtlari talabalari tomonidan o'rganiladigan maxsus bo'limidir. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishamiz.
Keling, asosiy narsalarni eslaylik
Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.
Shunday qilib, qandaydir tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.
O'rta arifmetik
Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Hozir biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.
Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlar yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.
Dispersiya
Ilmiy nuqtai nazardan, dispersiya - bu olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.
Dispersiya shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni, X*X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng.
Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.
Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farq nima bo'ladi?
Birinchidan, biz o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Biz uni 7 ga bo'lamiz, 3 olamiz. Endi biz dastlabki ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiramiz va natijalarni birgalikda qo'shamiz. . Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, muhokama qilaylik.
Tajribalar soniga bog'liqlik
Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil). Bu nimaga bog'liq?
Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, u holda biz maxrajga N qo'yishimiz kerak, agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.
Vazifa
Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.
Kutilgan qiymat
Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, qancha natijalarni hisobga olishidan qat'i nazar, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.
Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy operatsiyalarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'itdik - amaliyot vaqti keldi.
Yana bir misol
Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish masalasini yechish misolini keltiramiz.
Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.
Keling, hisoblashni qulayroq qilish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element bilan buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyinchalik: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, unda hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ni olasiz.
90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.
Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.
Burilish
Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.
Agar siz oddiy taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ishini ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning o'rtasi va gorizontal o'qdagi natijada proyeksiya o'rtasidagi segmentning qiymati standart og'ish bo'ladi.
Dasturiy ta'minot
Formulalarning tavsifi va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollik nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.
Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nihoyat
Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari tufayli ko‘pchilik talabalar darhol dasturda qolib keta boshlaydilar va keyinchalik mashg‘ulotlar oxirida yomon baho oladilar, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.
Kuniga kamida bir hafta yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.
DSW ning xarakteristikalari va ularning xususiyatlari. Matematik kutish, dispersiya, standart og'ish
Taqsimot qonuni tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflaydi. Biroq, taqsimot qonunini topishning iloji bo'lmaganda yoki bu talab qilinmasa, tasodifiy o'zgaruvchining sonli xarakteristikalari deb ataladigan qiymatlarni topish bilan cheklanishi mumkin. Ushbu qiymatlar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari guruhlangan ba'zi o'rtacha qiymatni va ularning ushbu o'rtacha qiymat atrofida tarqalish darajasini belgilaydi.
matematik kutish Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.
Tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud.
Ehtimollik nuqtai nazaridan shuni aytishimiz mumkinki, matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.
Misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni ma'lum. Matematik taxminni toping.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Yechim:
9.2 Kutish xususiyatlari
1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng.
2. Kutish belgisidan doimiy omilni olish mumkin. 
3. Ikkita mustaqil tasodifiy miqdor ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko‘paytmasiga teng.
Bu xususiyat tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soni uchun amal qiladi.
4. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng.
Bu xususiyat tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soniga ham tegishli.
n ta mustaqil sinov o'tkazilsin, A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli p ga teng.
Teorema. n ta mustaqil sinovda A hodisaning sodir bo‘lish sonining M(X) matematik kutilmasi sinovlar soni va har bir sinovda hodisaning ro‘y berish ehtimoli ko‘paytmasiga teng.
Misol. X va Y ning matematik kutilmalari ma'lum bo'lsa, Z tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilmasini toping: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Yechim:
9.3 Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
Biroq, matematik kutish tasodifiy jarayonni to'liq tavsiflay olmaydi. Matematik kutishga qo'shimcha ravishda, tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining matematik kutishdan og'ishini tavsiflovchi qiymatni kiritish kerak.
Bu og'ish tasodifiy o'zgaruvchi va uning matematik kutilishi o'rtasidagi farqga teng. Bunday holda, og'ishning matematik kutilishi nolga teng. Bu ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari salbiy bo'lishi va ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida nolga erishilishi bilan izohlanadi.
Tarqalish (tarqalish) Diskret tasodifiy miqdor tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan kvadrat og'ishning matematik kutilishi deb ataladi.
Amalda dispersiyani hisoblashning bu usuli noqulay, chunki tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari uchun noqulay hisob-kitoblarga olib keladi.
Shuning uchun boshqa usul qo'llaniladi.
Teorema. Dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi va uning matematik kutilmasining kvadrati o'rtasidagi farqga teng..
Isbot. Matematik kutilma M (X) va M 2 (X) matematik kutilma kvadrati doimiy qiymatlar ekanligini hisobga olib, yozishimiz mumkin:
Misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bilan berilgan dispersiyasini toping.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Yechim: .
9.4 Dispersiya xossalari
1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng. .
2. Dispersiya belgisidan doimiy koeffitsientni kvadratga ajratib olish mumkin. 
.
3. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. .
4. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar ayirmasining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. .
Teorema. Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lgan n ta mustaqil sinovda A hodisasining sodir bo‘lish sonining dispersiyasi sinovlar soni va yuzaga kelish va sodir bo‘lmaslik ehtimoli ko‘paytmasiga teng. har bir sud jarayonidagi voqea.
9.5 Diskret tasodifiy miqdorning standart og'ishi
Standart og'ish X tasodifiy o'zgaruvchiga dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi.
Teorema. O'zaro mustaqil tasodifiy miqdorlarning cheklangan soni yig'indisining standart og'ishi bu o'zgaruvchilarning kvadratik standart og'ishlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng.
Diskret ehtimollik fazosida berilgan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi (o'rtacha qiymati), agar qator mutlaq yaqinlashsa, m =M[X]=∑x i p i soni.
Xizmat topshirig'i. Onlayn xizmat bilan matematik kutish, dispersiya va standart og'ish hisoblanadi(misolga qarang). Bundan tashqari, F(X) taqsimot funksiyasining grafigi chiziladi.
Tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalari
- Doimiy qiymatning matematik kutilishi o'ziga teng: M[C]=C , C doimiy;
- M=C M[X]
- Tasodifiy o‘zgaruvchilar yig‘indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M=M[X]+M[Y]
- Mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng: M=M[X] M[Y], agar X va Y mustaqil bo‘lsa.
Dispersiya xususiyatlari
- Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng: D(c)=0.
- Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisi ostidan uning kvadratiga aylantirib chiqarish mumkin: D(k*X)= k 2 D(X).
- Agar X va Y tasodifiy miqdorlar mustaqil bo‘lsa, yig‘indining dispersiyasi dispersiyalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'lsa: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dispersiya uchun hisoblash formulasi amal qiladi:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Misol. Ikki mustaqil X va Y tasodifiy miqdorlarning matematik taxminlari va dispersiyalari ma’lum: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Z=9X-8Y+7 tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Matematik kutilma xossalari asosida: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersiya xususiyatlariga ko'ra: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Matematik kutishni hisoblash algoritmi
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlari: ularning barcha qiymatlarini natural sonlar bilan qayta raqamlash mumkin; Har bir qiymatga nolga teng bo'lmagan ehtimollikni tayinlang.- Juftlarni birma-bir ko'paytiring: x i ni p i ga.
- Har bir juftlik mahsulotini qo'shamiz x i p i .
Masalan, n = 4 uchun: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
№1 misol.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematik kutilma m = ∑x i p i formula bilan topiladi.
Matematik kutish M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersiya d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formulasi bilan topiladi.
Dispersiya D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart og'ish s(x).
s = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
№2 misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi taqsimot qatoriga ega:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Yechim. Munosabatdan a qiymati topiladi: sp i = 1
Sp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 yoki 0,24=3 a , bundan a = 0,08
№3 misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlang, agar uning dispersiyasi ma'lum bo'lsa va x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Yechim.
Bu erda siz d (x) dispersiyani topish uchun formulani yaratishingiz kerak:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
Bu yerda kutilma m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Bizning ma'lumotlarimiz uchun
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
yoki -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Shunga ko'ra, tenglamaning ildizlarini topish kerak va ulardan ikkitasi bo'ladi.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
X 1 shartni qanoatlantiradiganini tanlaymiz
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Oldingi birida biz argumentlarni taqsimlash qonunlari ma'lum bo'lganda, funksiyalarning sonli xarakteristikalarini topishga imkon beruvchi bir qator formulalar bergan edik. Biroq, ko'p hollarda funksiyalarning son xarakteristikalarini topish uchun argumentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini bilish ham shart emas, lekin ularning faqat ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya; bu holda, biz umuman taqsimot qonunlarisiz qilamiz. Argumentlarning berilgan raqamli xarakteristikalari bo'yicha funktsiyalarning sonli xarakteristikalarini aniqlash ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va bir qator muammolarni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi. Ko'pincha bunday soddalashtirilgan usullar chiziqli funktsiyalarga tegishli; ammo, ba'zi elementar chiziqli bo'lmagan funktsiyalar ham bu yondashuvga imkon beradi.
Hozirgi vaqtda biz funktsiyalarning sonli xarakteristikalari bo'yicha bir qator teoremalarni taqdim etamiz, ular o'zlarining umumiyligida keng sharoitlarda qo'llaniladigan ushbu xususiyatlarni hisoblash uchun juda oddiy apparatdir.
1. Tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchining matematik kutilishi
Belgilangan mulk juda aniq; tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchini tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir turi sifatida ko'rib chiqish orqali isbotlanishi mumkin, bitta ehtimollik bilan bitta mumkin bo'lgan qiymatga ega; keyin matematik kutishning umumiy formulasiga ko'ra:
.
2. Tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchining dispersiyasi
Agar tasodifiy bo'lmagan qiymat bo'lsa, u holda
3. Matematik kutish belgisidan tashqari tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchini olib tashlash
, (10.2.1)
ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymat kutish belgisidan chiqarilishi mumkin.
Isbot.
a) Uzluksiz miqdorlar uchun
b) uzluksiz miqdorlar uchun
.
4. Dispersiya va standart og'ish belgisi uchun tasodifiy bo'lmagan qiymatni olib tashlash
Agar tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchi bo'lsa va tasodifiy bo'lsa, u holda
, (10.2.2)
ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymatni kvadratga solish orqali dispersiya belgisidan chiqarish mumkin.
Isbot. Variantning ta'rifi bo'yicha
Natija
,
ya'ni tasodifiy bo'lmagan qiymatni mutlaq qiymati bo'yicha standart og'ish belgisidan chiqarish mumkin. Biz dalilni (10.2.2) formuladan kvadrat ildizni ajratib olish va r.s.c. mohiyatan ijobiy qiymat hisoblanadi.
5. Tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi
Istalgan ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar uchun buni isbotlaylik va
ya'ni ikkita tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.
Bu xususiyat kutish qo'shilishi teoremasi sifatida tanilgan.
Isbot.
a) uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo‘lsin. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisiga ikkita argumentli funktsiyani matematik kutish uchun umumiy formulani (10.1.6) qo'llaymiz:
.
Ho - bu qiymatning qiymatini olishning umumiy ehtimolidan boshqa narsa emas:
;
shuning uchun,
.
Xuddi shunday, biz buni isbotlaymiz
,
va teorema isbotlangan.
b) uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo'lsin. Formula bo'yicha (10.1.7)
. (10.2.4)
Birinchi integralni o'zgartiramiz (10.2.4):
;
xuddi shunday
,
va teorema isbotlangan.
Shuni alohida ta'kidlash kerakki, matematik taxminlarni qo'shish teoremasi har qanday tasodifiy o'zgaruvchilar uchun amal qiladi - ham bog'liq, ham mustaqil.
Kutish qo'shilishi teoremasi ixtiyoriy sonli atamalarga umumlashtirilishi mumkin:
, (10.2.5)
ya'ni bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.
Buni isbotlash uchun to'liq induksiya usulini qo'llash kifoya.
6. Chiziqli funksiyaning matematik kutilishi
Bir nechta tasodifiy argumentlarning chiziqli funktsiyasini ko'rib chiqing:
tasodifiy bo'lmagan koeffitsientlar qayerda. Keling, buni isbotlaylik
, (10.2.6)
ya'ni chiziqli funktsiyaning o'rtacha qiymati argumentlarning o'rtacha qiymatining bir xil chiziqli funktsiyasiga teng.
Isbot. Qo‘shish teoremasidan foydalanish m.o. va m.o. belgisidan tasodifiy boʻlmagan oʻzgaruvchini olish qoidasi quyidagicha boʻladi:
.
7. Dispepbu tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi
Ikki tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig'indisiga va korrelyatsiya momentining ikki barobariga teng:
Isbot. Belgilamoq
Matematik kutilmalarni qo'shish teoremasi bo'yicha
Keling, tasodifiy o'zgaruvchilardan mos keladigan markazlashtirilgan o'zgaruvchilarga o'tamiz. Tenglikdan (10.2.8) tenglikdan (10.2.9) muddatni ayirib, bizda:
Variantning ta'rifi bo'yicha
Q.E.D.
Yig'indining dispersiyasi uchun formula (10.2.7) har qanday shartlar soniga umumlashtirilishi mumkin:
,
(10.2.10)
qiymatlarning korrelyatsiya momenti qayerda, yig'indi ostidagi belgi yig'indi tasodifiy o'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan juft birikmalariga tegishli ekanligini anglatadi 
.
Isbot avvalgisiga o'xshaydi va ko'phadning kvadrati formulasidan kelib chiqadi.
Formula (10.2.10) boshqa shaklda ham yozilishi mumkin:
, (10.2.11)
bu yerda qo‘sh yig‘indi miqdorlar sistemasi korrelyatsiya matritsasining barcha elementlariga tarqaladi , ham korrelyatsiya momentlarini, ham dispersiyalarni o'z ichiga oladi.
Agar barcha tasodifiy o'zgaruvchilar , tizimga kiritilgan, o'zaro bog'liq emas (ya'ni, da), formula (10.2.10) quyidagi shaklni oladi:
, (10.2.12)
ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining dispersiyasi shartlarning dispersiyalari yig'indisiga teng.
Ushbu taklif dispersiyani qo'shish teoremasi deb nomlanadi.
8. Chiziqli funktsiyaning dispersiyasi
Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilarning chiziqli funktsiyasini ko'rib chiqing.
tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchilar qayerda.
Bu chiziqli funksiyaning dispersiyasi formula bilan ifodalanganligini isbotlaylik
, (10.2.13)
kattaliklarning korrelyatsiya momenti qayerda, .
Isbot. Keling, belgi bilan tanishtiramiz:
. (10.2.14)
Yig'indining ifodaning o'ng tomoniga (10.2.14) dispersiyasi uchun formulani (10.2.10) qo'llash va buni hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:
kattaliklarning korrelyatsiya momenti qayerda:
.
Keling, ushbu daqiqani hisoblaylik. Bizda ... bor:
;
xuddi shunday
Bu ifodani (10.2.15) ga almashtirib, (10.2.13) formulaga kelamiz.
Maxsus holatda, barcha miqdorlar o'zaro bog'liq bo'lmagan formula (10.2.13) quyidagi shaklni oladi:
, (10.2.16)
ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarning chiziqli funksiyasining dispersiyasi koeffitsientlar kvadratlari ko'paytmalari va tegishli argumentlar dispersiyalari yig'indisiga teng.
9. Tasodifiy o'zgaruvchilar ko'paytmasining matematik kutilishi
Ikki tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari ko'paytmasiga va korrelyatsiya momentiga teng:
Isbot. Korrelyatsiya momentining ta'rifidan kelib chiqamiz:
Biz ushbu ifodani matematik kutishning xususiyatlaridan foydalanib o'zgartiramiz:
Bu (10.2.17) formulaga aniq ekvivalentdir.
Agar tasodifiy o'zgaruvchilar o'zaro bog'liq bo'lmasa, (10.2.17) formula quyidagi shaklni oladi:
ya'ni o'zaro bog'liq bo'lmagan ikkita tasodifiy o'zgaruvchining mahsulotining o'rtacha qiymati ularning o'rtacha ko'paytmasiga teng.
Ushbu bayonot kutish ko'paytirish teoremasi sifatida tanilgan.
Formula (10.2.17) ikkinchi aralash boshlang'ich moment va matematik taxminlar nuqtai nazaridan tizimning ikkinchi aralash markaziy momentini ifodalashdan boshqa narsa emas:
. (10.2.19)
Ushbu ifoda ko'pincha amalda korrelyatsiya momentini hisoblashda qo'llaniladi, xuddi bitta tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya ko'pincha ikkinchi boshlang'ich moment va matematik kutish orqali hisoblanadi.
Kutishni ko'paytirish teoremasi ixtiyoriy sonli omillarga ham umumlashtirilishi mumkin, faqat bu holda uni qo'llash uchun miqdorlarning o'zaro bog'liq bo'lmaganligi etarli emas, lekin ba'zi bir yuqori aralash momentlarning ham yo'qolishi talab qilinadi, ularning soni quyidagilarga bog'liq. mahsulotdagi atamalar soni. Agar mahsulotga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, bu shartlar albatta qondiriladi. Ushbu holatda
, (10.2.20)
ya'ni mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutishlari ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.
Bu taklifni to'liq induksiya orqali osongina isbotlash mumkin.
10. Mustaqil tasodifiy miqdorlar mahsulotining dispersiyasi
Keling, buni mustaqil kattaliklar uchun isbotlaylik
Isbot. belgilaylik. Variantning ta'rifi bo'yicha
Miqdorlar mustaqil bo'lgani uchun va
Mustaqil uchun, miqdorlar ham mustaqil; shuning uchun,
,
Ammo miqdorning ikkinchi boshlang'ich momentidan boshqa hech narsa yo'q va shuning uchun dispersiya shaklida ifodalanadi:
;
xuddi shunday
.
Ushbu iboralarni (10.2.22) formulaga almashtirib, o'xshash shartlarni keltirsak, (10.2.21) formulaga kelamiz.
Agar markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar ko'paytirilganda (matematik taxminlar nolga teng qiymatlar) formula (10.2.21) quyidagi shaklni oladi:
, (10.2.23)
ya'ni mustaqil markazlashtirilgan tasodifiy miqdorlar mahsulotining dispersiyasi ularning dispersiyalarining ko'paytmasiga teng.
11. Tasodifiy miqdorlar yig'indisining yuqori momentlari
Ba'zi hollarda mustaqil tasodifiy miqdorlar yig'indisining yuqori momentlarini hisoblash kerak. Keling, ba'zi bog'liq munosabatlarni isbotlaylik.
1) Agar kattaliklar mustaqil bo'lsa, u holda
Isbot.
buning uchun kutilgan ko'paytirish teoremasi bilan
Lekin har qanday miqdor uchun birinchi markaziy moment nolga teng; ikkita o'rta a'zo yo'qoladi va (10.2.24) formula isbotlanadi.
Munosabat (10.2.24) mustaqil atamalarning ixtiyoriy soniga induksiya orqali oson umumlashtirilishi mumkin:
. (10.2.25)
2) Ikki mustaqil tasodifiy miqdor yig‘indisining to‘rtinchi markaziy momenti formula bilan ifodalanadi
va ning dispersiyalari qayerda.
Dalil avvalgisi bilan bir xil.
To'liq induksiya usulidan foydalanib, (10.2.26) formulani ixtiyoriy sonli mustaqil atamalarga umumlashtirishni isbotlash oson.
