Funktsiyalar jadvali nima. Funksiyalarning grafiklarini qurish. Hatto musbat darajali quvvat funksiyasi

1. Chiziqli kasr funksiya va uning grafigi

P(x) va Q(x) polinom bo‘lgan y = P(x) / Q(x) ko‘rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi.

Ehtimol, siz ratsional sonlar tushunchasi bilan tanish bo'lgansiz. Xuddi shunday ratsional funktsiyalar ikki koʻphadning boʻlimi sifatida ifodalanishi mumkin boʻlgan funksiyalardir.

Agar kasrli ratsional funktsiya ikkita chiziqli funktsiyaning koeffitsienti bo'lsa - birinchi darajali polinomlar, ya'ni. ko'rish funktsiyasi

y = (ax + b) / (cx + d), keyin u kasr chiziqli deb ataladi.

y = (ax + b) / (cx + d) funktsiyasida c ≠ 0 (aks holda funktsiya chiziqli y = ax/d + b/d ga aylanadi) va a/c ≠ b/d (aks holda funktsiya doimiydir). Chiziqli-kasr funksiyasi x = -d/c dan tashqari barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Chiziqli-kasrli funksiyalarning grafiklari siz bilgan y = 1/x grafikdan shakli jihatidan farq qilmaydi. y = 1/x funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq deyiladi giperbola. Mutlaq qiymatdagi x ning cheksiz o'sishi bilan y = 1/x funksiya mutlaq qiymatda cheksiz kamayadi va grafikning ikkala shoxlari ham abscissa o'qiga yaqinlashadi: o'ng tomon yuqoridan, chap tomon esa pastdan yaqinlashadi. Giperbolaning shoxlari yaqinlashgan chiziqlarga uning deyiladi asimptotlar.

1-misol

y = (2x + 1) / (x - 3).

Yechim.

Butun son qismini tanlaymiz: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funktsiya grafigidan quyidagi o'zgartirishlar orqali olinganligini ko'rish oson: 3 birlik segmentga o'ngga siljitish, Oy o'qi bo'ylab 7 marta cho'zish va siljish 2 birlik segment yuqoriga.

Har qanday kasr y = (ax + b) / (cx + d) xuddi shu tarzda yozilishi mumkin, "butun qism" ni ta'kidlaydi. Binobarin, barcha chiziqli-kasr funksiyalarning grafiklari koordinata o'qlari bo'ylab turli yo'llar bilan siljigan va Oy o'qi bo'ylab cho'zilgan giperbolalardir.

Ba'zi bir ixtiyoriy chiziqli-kasr funksiyasining grafigini tuzish uchun ushbu funktsiyani aniqlaydigan kasrni o'zgartirish umuman shart emas. Grafik giperbola ekanligini bilganimiz uchun uning shoxlari yaqinlashadigan chiziqlar - x = -d/c va y = a/c giperbola asimptotalarini topish kifoya qiladi.

2-misol

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim.

Funktsiya aniqlanmagan, qachonki x = -1. Demak, x = -1 chiziq vertikal asimptota vazifasini bajaradi. Gorizontal asimptotani topish uchun x argumenti mutlaq qiymatga oshganda y(x) funksiyaning qiymatlari qanday yondashishini bilib olaylik.

Buning uchun kasrning pay va maxrajini x ga ajratamiz:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

X → ∞ sifatida kasr 3/2 ga intiladi. Demak, gorizontal asimptota y = 3/2 to'g'ri chiziqdir.

3-misol

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Biz kasrning "butun qismini" tanlaymiz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi oʻzgartirishlar orqali olinganligini koʻrish oson: 1 birlik chapga siljish, Oxga nisbatan simmetrik displey va siljish. Oy o'qi bo'ylab 2 birlik intervalgacha.

Ta'rif sohasi D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymatlar diapazoni E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

O'qlar bilan kesishish nuqtalari: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktsiya aniqlanish sohasining har bir intervalida ortadi.

Javob: 1-rasm.

2. Kasr-ratsional funksiya

y = P(x) / Q(x) ko'rinishdagi kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda P(x) va Q(x) birinchisidan yuqori darajali polinomlardir.

Bunday ratsional funktsiyalarga misollar:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) yoki y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Agar y = P(x) / Q(x) funktsiyasi birinchisidan yuqori bo'lgan ikkita polinomning ko'rsatkichi bo'lsa, unda uning grafigi, qoida tariqasida, murakkabroq bo'ladi va uni aniq qurish ba'zan qiyin bo'lishi mumkin. , barcha tafsilotlari bilan. Biroq, ko'pincha biz yuqorida tanishgan usullarga o'xshash usullarni qo'llash kifoya.

Kasr to'g'ri bo'lsin (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Shubhasiz, kasr ratsional funktsiyaning grafigi elementar kasrlar grafiklarining yig'indisi sifatida olinishi mumkin.

Kasrli ratsional funksiyalarning grafigini tuzish

Kasr-ratsional funktsiyani chizishning bir necha usullarini ko'rib chiqing.

4-misol

y = 1/x 2 funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Biz y \u003d x 2 funktsiyasining grafigidan y \u003d 1 / x 2 grafigini chizish uchun foydalanamiz va grafiklarni "bo'lish" usulidan foydalanamiz.

Domen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

E(y) = (0; +∞) qiymatlar diapazoni.

O'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Funktsiya teng. Barcha x uchun (-∞; 0) oraliqdan ortadi, x uchun 0 dan +∞ gacha kamayadi.

Javob: 2-rasm.

5-misol

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Domen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Bu erda chiziqli funktsiyani faktorizatsiya qilish, kamaytirish va kamaytirish texnikasidan foydalandik.

Javob: 3-rasm.

6-misol

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) funktsiyasini chizing.

Yechim.

Ta'rif sohasi D(y) = R. Funktsiya juft bo'lgani uchun grafik y o'qiga nisbatan simmetrikdir. Chizma tuzishdan oldin biz butun sonni ajratib ko'rsatish orqali ifodani yana o'zgartiramiz:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

E'tibor bering, kasr-ratsional funktsiya formulasida butun son qismini tanlash grafiklarni tuzishda asosiylardan biridir.

Agar x → ±∞ bo'lsa, u holda y → 1, ya'ni, y = 1 chiziq gorizontal asimptotadir.

Javob: 4-rasm.

7-misol

y = x/(x 2 + 1) funktsiyasini ko'rib chiqing va uning eng katta qiymatini topishga harakat qiling, ya'ni. grafikning o'ng yarmidagi eng yuqori nuqta. Ushbu grafikni aniq qurish uchun bugungi bilim etarli emas. Ko'rinib turibdiki, bizning egri chiziq juda baland "ko'tarila olmaydi", chunki maxraj tezlik bilan hisoblagichni "quvib o'tishni" boshlaydi. Keling, funktsiyaning qiymati 1 ga teng bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqaylik. Buning uchun siz x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 tenglamasini echishingiz kerak. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Funktsiyaning eng katta qiymatini topish uchun A \u003d x / (x 2 + 1) tenglama qaysi eng katta A uchun yechimga ega bo'lishini aniqlashingiz kerak. Dastlabki tenglamani kvadratik tenglama bilan almashtiramiz: Ax 2 - x + A \u003d 0. Bu tenglama 1 - 4A 2 ≥ 0 bo'lganda yechimga ega. Bu erdan biz A \u003d 1/2 eng katta qiymatini topamiz.

Javob: 5-rasm, max y(x) = ½.

Savollaringiz bormi? Funktsiya grafiklarini qanday yaratishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Asosiy elementar funksiyalar, ularga xos xususiyatlar va mos keladigan grafiklar matematik bilimlarning asoslaridan biri bo'lib, ahamiyatiga ko'ra ko'paytirish jadvaliga o'xshaydi. Elementar funktsiyalar barcha nazariy masalalarni o'rganish uchun asos, tayanchdir.

Quyidagi maqolada asosiy elementar funktsiyalar mavzusi bo'yicha asosiy materiallar keltirilgan. Biz atamalarni kiritamiz, ularga ta'riflar beramiz; Keling, elementar funktsiyalarning har bir turini batafsil o'rganamiz va ularning xususiyatlarini tahlil qilamiz.

Asosiy elementar funktsiyalarning quyidagi turlari ajratiladi:

Ta'rif 1

• doimiy funktsiya (doimiy);
• n-darajali ildiz;
• quvvat funktsiyasi;
• eksponensial funktsiya;
• logarifmik funktsiya;
• trigonometrik funktsiyalar;
• birodarlik trigonometrik funktsiyalari.

Doimiy funktsiya quyidagi formula bilan aniqlanadi: y = C (C - qandaydir haqiqiy son) va shuningdek, nomi bor: doimiy. Bu funktsiya x mustaqil o'zgaruvchining har qanday haqiqiy qiymati y o'zgaruvchining bir xil qiymatiga - C qiymatiga mos kelishini aniqlaydi.

Konstantaning grafigi x o'qiga parallel bo'lgan va koordinatalari (0, C) bo'lgan nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqdir. Aniqlik uchun y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (chizmada mos ravishda qora, qizil va ko'k ranglar bilan belgilangan) doimiy funktsiyalarning grafiklarini taqdim etamiz.

Ta'rif 2

Bu elementar funksiya y = x n formulasi bilan aniqlanadi (n - birdan katta natural son).

Funktsiyaning ikkita variantini ko'rib chiqaylik.

1. n-darajali ildiz, n - juft son

Aniqlik uchun biz bunday funktsiyalarning grafiklarini ko'rsatadigan chizmani ko'rsatamiz: y = x , y = x 4 va y = x 8. Bu funksiyalar rangli kodlangan: mos ravishda qora, qizil va ko'k.

Indikatorning boshqa qiymatlari uchun teng darajali funktsiya grafiklarining o'xshash ko'rinishi.

Ta'rif 3

n-darajali funktsiya ildizining xossalari, n - juft son

• ta'rif sohasi barcha manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlar to'plamidir [ 0 , + ∞) ;
• x = 0 bo'lganda, funktsiya y = x n nolga teng qiymatga ega;
• bu funksiya umumiy shakldagi funksiyadir (u juft ham, toq ham emas);
• diapazon: [ 0 , + ∞);
• bu funktsiya y = x n ildizning juft ko'rsatkichlari bilan butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi;
• funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha yuqoriga yo'naltirilgan qavariqga ega;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• asimptotlar yo'q;
• juft n uchun funksiya grafigi (0 ; 0) va (1 ; 1) nuqtalardan oʻtadi.

1. n-darajali ildiz, n toq son

Bunday funktsiya butun haqiqiy sonlar to'plamida aniqlanadi. Aniqlik uchun funktsiyalar grafiklarini ko'rib chiqing y = x 3 , y = x 5 va x 9. Chizmada ular ranglar bilan ko'rsatilgan: mos ravishda egri chiziqlarning qora, qizil va ko'k ranglari.

y = x n funktsiya ildizining ko'rsatkichining boshqa g'alati qiymatlari shunga o'xshash shakldagi grafikni beradi.

Ta'rif 4

n-darajali funktsiya ildizining xossalari, n toq son

• ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami;
• bu funksiya g'alati;
• qiymatlar diapazoni - barcha haqiqiy raqamlar to'plami;
• ildizning toq darajali ko'rsatkichlari bo'lgan y = x n funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi;
• funksiya (- ∞ ; 0 ] oraliqda botiqlikka va [ 0 , + ∞) intervalda qavariqlikka ega;
• burilish nuqtasi koordinatalariga ega (0 ; 0);
• asimptotlar yo'q;
• toq n uchun funksiya grafigi (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) va (1 ; 1) nuqtalardan oʻtadi.

Quvvat funktsiyasi

Ta'rif 5

Quvvat funksiyasi y = x a formula bilan aniqlanadi.

Grafiklarning turi va funksiyaning xossalari ko'rsatkich qiymatiga bog'liq.

• daraja funksiyasi a butun ko‘rsatkichga ega bo‘lsa, daraja funksiyasi grafigining shakli va uning xossalari ko‘rsatkichning juft yoki toq ekanligiga, shuningdek, ko‘rsatkich qanday belgiga ega ekanligiga bog‘liq. Keling, ushbu barcha maxsus holatlarni quyida batafsilroq ko'rib chiqaylik;
• ko'rsatkich kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin - bunga qarab, grafiklarning turi va funksiyaning xususiyatlari ham o'zgaradi. Biz bir nechta shartlarni o'rnatish orqali maxsus holatlarni tahlil qilamiz: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• quvvat funksiyasi nol ko'rsatkichga ega bo'lishi mumkin, biz bu holatni quyida batafsilroq tahlil qilamiz.

Keling, quvvat funksiyasini tahlil qilaylik y = x a toq musbat son bo'lganda, masalan, a = 1 , 3 , 5 ...

Aniqlik uchun biz bunday quvvat funktsiyalarining grafiklarini ko'rsatamiz: y = x (grafikning qora rangi), y = x 3 (grafikning ko'k rangi), y = x 5 (grafikning qizil rangi), y = x 7 (yashil grafik). a = 1 bo'lganda, y = x chiziqli funktsiyani olamiz.

Ta'rif 6

Ko‘rsatkich toq musbat bo‘lganda quvvat funksiyasining xossalari

• funksiya x ∈ (- ∞ ; + ∞) uchun ortib bormoqda;
• funksiya x ∈ uchun qavariq (- ∞ ; 0 ] va x ∈ [ 0 ; + ∞) uchun botiq (chiziqli funksiya bundan mustasno);
• burilish nuqtasi koordinatalariga ega (0 ; 0) (chiziqli funktsiyadan tashqari);
• asimptotlar yo'q;
• funksiya o‘tish nuqtalari: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Keling, quvvat funksiyasini tahlil qilaylik y = x a juft musbat son bo'lganda, masalan, a = 2 , 4 , 6 ...

Aniqlik uchun biz bunday quvvat funktsiyalarining grafiklarini ko'rsatamiz: y \u003d x 2 (grafikning qora rangi), y = x 4 (grafikning ko'k rangi), y = x 8 (grafikning qizil rangi). a = 2 bo'lganda, grafigi kvadratik parabola bo'lgan kvadrat funktsiyani olamiz.

Ta'rif 7

Ko‘rsatkich hatto musbat bo‘lganda quvvat funksiyasining xossalari:

• aniqlash sohasi: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• x ∈ uchun kamayuvchi (- ∞ ; 0 ] ;
• funksiya x ∈ (- ∞ ; + ∞) uchun botiq;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• asimptotlar yo'q;
• funksiya o‘tish nuqtalari: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Quyidagi rasmda eksponensial funktsiya grafiklarining misollari ko'rsatilgan a toq manfiy son bo'lganda y = x a: y = x - 9 (diagrammaning qora rangi); y = x - 5 (grafikning ko'k rangi); y = x - 3 (diagrammaning qizil rangi); y = x - 1 (yashil grafik). Agar \u003d - 1 bo'lsa, biz teskari proportsionallikni olamiz, uning grafigi giperbola.

Ta'rif 8

Ko'rsatkich g'alati manfiy bo'lganda quvvat funksiyasi xususiyatlari:

X \u003d 0 bo'lganda, biz ikkinchi turdagi uzilishni olamiz, chunki lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Shunday qilib, x = 0 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir;

• diapazon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
• funksiya x ∈ - ∞ uchun kamayib bormoqda; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) uchun qavariq va x ∈ (0 ; + ∞) uchun botiq;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 bo'lganda a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funksiya o‘tish nuqtalari: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Quyidagi rasmda a juft manfiy son bo'lganda y = x a quvvat funksiyasi grafiklariga misollar ko'rsatilgan: y = x - 8 (qora rangdagi diagramma); y = x - 4 (grafikning ko'k rangi); y = x - 2 (grafikning qizil rangi).

Ta'rif 9

Ko'rsatkich hatto manfiy bo'lganda quvvat funksiyasi xususiyatlari:

• aniqlash sohasi: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

X \u003d 0 bo'lganda, biz ikkinchi turdagi uzilishga ega bo'lamiz, chunki lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Shunday qilib, x = 0 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir;

• funksiya juft, chunki y (- x) = y (x) ;
• funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) uchun ortib bormoqda va x ∈ 0 uchun kamaymoqda; +∞ ;
• funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) uchun botiq;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• gorizontal asimptota to'g'ri chiziq y = 0, chunki:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 bo'lganda a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funksiya o'tish nuqtalari: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Boshidanoq quyidagi jihatga e'tibor bering: a toq maxrajli musbat kasr bo'lsa, ba'zi mualliflar bu daraja funksiyasini aniqlash sohasi sifatida - ∞ oralig'ini oladilar; + ∞ , a ko'rsatkichining kamaytirilmaydigan kasr ekanligini ko'rsatadi. Ayni paytda algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha ko'plab o'quv nashrlarining mualliflari kuch funktsiyalarini TA'RIQLAMASDI, bunda ko'rsatkich argumentning salbiy qiymatlari uchun toq maxrajli kasrdir. Keyinchalik, biz aynan shunday pozitsiyaga amal qilamiz: biz to'plamni olamiz [ 0 ; +∞). Talabalar uchun tavsiya: kelishmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu nuqtada o'qituvchining nuqtai nazarini bilib oling.

Shunday qilib, keling, quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik ko'rsatkich ratsional yoki irratsional son bo'lganda y = x a 0 bo'lganda< a < 1 .

Keling, quvvat funktsiyalarini grafiklar bilan ko'rsatamiz y = x a qachon a = 11 12 (qora rangdagi diagramma); a = 5 7 (grafikning qizil rangi); a = 1 3 (diagrammaning ko'k rangi); a = 2 5 (grafikning yashil rangi).

a ko'rsatkichining boshqa qiymatlari (0 bo'lsa< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ta'rif 10

0 da quvvat funksiyasi xususiyatlari< a < 1:

• diapazon: y ∈ [ 0 ; +∞);
• funksiya x ∈ [ 0 uchun ortib bormoqda; +∞);
• funksiya x ∈ (0 ; + ∞) uchun qavariqlikka ega;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• asimptotlar yo'q;

Keling, quvvat funksiyasini tahlil qilaylik y = x a ko'rsatkich butun son bo'lmagan ratsional yoki irratsional son bo'lganda, a > 1 bo'lsa.

Biz quvvat funktsiyasining grafiklarini tasvirlaymiz y \u003d x a berilgan sharoitlarda quyidagi funktsiyalardan foydalanib misol sifatida: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 p (qora, qizil, ko'k, yashil mos ravishda grafiklar).

a > 1 shartidagi a ko‘rsatkichining boshqa qiymatlari grafikning o‘xshash ko‘rinishini beradi.

Ta'rif 11

a > 1 uchun quvvat funksiyasi xususiyatlari:

• ta'rif sohasi: x ∈ [ 0 ; +∞);
• diapazon: y ∈ [ 0 ; +∞);
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• funksiya x ∈ [ 0 uchun ortib bormoqda; +∞);
• funksiya x ∈ (0 ; + ∞) uchun botiq bo'ladi (1 bo'lganda< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• asimptotlar yo'q;
• funksiya o'tish nuqtalari: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Sizning e'tiboringizni qaratamiz!a toq maxrajli manfiy kasr bo'lsa, ba'zi mualliflarning ishlarida bu holda ta'rif sohasi interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) a ko‘rsatkichi qaytarilmas kasr bo‘lishi sharti bilan. Ayni paytda algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha o'quv materiallari mualliflari argumentning salbiy qiymatlari uchun g'alati maxrajli kasr ko'rinishidagi ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarini TA'NIQLAMADI. Bundan tashqari, biz aynan shunday ko'rinishga amal qilamiz: kasr manfiy ko'rsatkichlari bo'lgan quvvat funktsiyalari sohasi sifatida (0 ; + ∞) to'plamni olamiz. Talabalar uchun maslahat: kelishmovchilikni oldini olish uchun o'qituvchingizning nuqtai nazarini aniqlang.

Biz mavzuni davom ettiramiz va quvvat funktsiyasini tahlil qilamiz y = x a taqdim etilgan: - 1< a < 0 .

Bu yerda quyidagi funksiyalar grafiklarining chizmasi keltirilgan: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (mos ravishda qora, qizil, ko'k, yashil chiziqlar) ).

Ta'rif 12

Quvvat funksiyasi xususiyatlari - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ qachon - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazon: y ∈ 0 ; +∞ ;
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;

Quyidagi chizmada y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (mos ravishda egri chiziqlarning qora, qizil, ko'k, yashil ranglari) quvvat funktsiyalarining grafiklari ko'rsatilgan.

Ta'rif 13

a uchun quvvat funksiyasi xususiyatlari< - 1:

• ta'rif sohasi: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ qachon a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• funksiya x ∈ 0 uchun kamayib bormoqda; +∞ ;
• funksiya x ∈ 0 uchun botiq; +∞ ;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• gorizontal asimptota - to'g'ri chiziq y = 0;
• funktsiyaning o'tish nuqtasi: (1 ; 1) .

Agar \u003d 0 va x ≠ 0 bo'lsa, biz y \u003d x 0 \u003d 1 funktsiyasini olamiz, bu nuqta (0; 1) chiqarib tashlanadigan to'g'ri chiziqni aniqlaydi (biz 0 0 ifodasi bo'lmasligiga kelishib oldik) har qanday qiymat berilgan).

Eksponensial funktsiya shaklga ega y = a x, bu erda a > 0 va a ≠ 1 va bu funktsiyaning grafigi a asosining qiymatiga qarab boshqacha ko'rinadi. Keling, alohida holatlarni ko'rib chiqaylik.

Birinchidan, eksponensial funktsiyaning asosi noldan birgacha (0) qiymatga ega bo'lgan vaziyatni tahlil qilaylik.< a < 1) . A = 1 2 (egri chiziqning ko'k rangi) va a = 5 6 (egri chiziqning qizil rangi) uchun funktsiyalar grafiklari tasviriy misoldir.

Eksponensial funktsiyaning grafiklari bazaning boshqa qiymatlari uchun xuddi shunday shaklga ega bo'ladi, agar 0 bo'lsa.< a < 1 .

Ta'rif 14

Baza birdan kichik bo'lgan ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari:

• diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• asosi birdan kichik bo'lgan eksponensial funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayib bormoqda;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• gorizontal asimptota - x o'zgaruvchisi + ∞ ga moyil bo'lgan y = 0 to'g'ri chiziq;

Endi ko'rsatkichli funktsiyaning asosi birdan (a > 1) katta bo'lgan holatni ko'rib chiqing.

Ushbu maxsus holatni y = 3 2 x (egri chiziqning ko'k rangi) va y = e x (grafikning qizil rangi) ko'rsatkichli funktsiyalar grafigi bilan ko'rsatamiz.

Bazaning birdan katta bo'lgan boshqa qiymatlari eksponensial funktsiya grafigiga o'xshash ko'rinishni beradi.

Ta'rif 15

Baza birdan katta bo'lganda ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari:

• ta'rif sohasi haqiqiy sonlarning butun to'plamidir;
• diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• asosi birdan katta bo'lgan ko'rsatkichli funksiya x ∈ - ∞ uchun ortib bormoqda; +∞ ;
• funksiya x ∈ - ∞ uchun botiq; +∞ ;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• gorizontal asimptota - to'g'ri chiziq y = 0 o'zgaruvchan x bilan - ∞ ga moyil;
• funktsiyaning o'tish nuqtasi: (0 ; 1) .

Logarifmik funktsiya y = log a (x) ko'rinishga ega, bu erda a > 0, a ≠ 1 .

Bunday funktsiya faqat argumentning ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi: x ∈ 0 uchun; +∞ .

Logarifmik funktsiyaning grafigi a asosining qiymatidan kelib chiqqan holda boshqa shaklga ega.

Avval 0 bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqing< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Bazaning bittadan katta bo'lmagan boshqa qiymatlari grafikning o'xshash ko'rinishini beradi.

Ta'rif 16

Logarifmik funktsiyaning asosi birdan kichik bo'lganda xossalari:

• ta'rif sohasi: x ∈ 0 ; +∞ . X o'ngdan nolga moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari + ∞ ga moyil bo'ladi;
• diapazon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• logarifmik
• funksiya x ∈ 0 uchun botiq; +∞ ;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• asimptotlar yo'q;

Endi logarifmik funktsiyaning asosi birdan katta bo'lgan maxsus holatni tahlil qilaylik: a > 1. . Quyidagi chizmada y = log 3 2 x va y = ln x logarifmik funksiyalarning grafiklari (mos ravishda grafiklarning ko'k va qizil ranglari) mavjud.

Birdan kattaroq bazaning boshqa qiymatlari grafikning o'xshash ko'rinishini beradi.

Ta'rif 17

Bazasi birdan katta bo'lgan logarifmik funksiyaning xossalari:

• ta'rif sohasi: x ∈ 0 ; +∞ . X o'ngdan nolga moyil bo'lganligi sababli, funktsiyaning qiymatlari - ∞ ga intiladi;
• diapazon: y ∈ - ∞ ; + ∞ (haqiqiy sonlarning butun to'plami);
• bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
• logarifmik funksiya x ∈ 0 uchun ortib bormoqda; +∞ ;
• funksiya x ∈ 0 uchun qavariqlikka ega; +∞ ;
• hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
• asimptotlar yo'q;
• funktsiyaning o'tish nuqtasi: (1 ; 0) .

Trigonometrik funksiyalar sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Keling, ularning har birining xususiyatlarini va tegishli grafiklarni tahlil qilaylik.

Umuman olganda, barcha trigonometrik funktsiyalar davriylik xususiyati bilan tavsiflanadi, ya'ni. f (x + T) = f (x) davri qiymati bilan bir-biridan farq qiluvchi argumentning turli qiymatlari uchun funktsiyalar qiymatlari takrorlanganda (T - davr). Shunday qilib, trigonometrik funktsiyalarning xossalari ro'yxatiga "eng kichik ijobiy davr" bandi qo'shiladi. Bundan tashqari, biz tegishli funktsiya yo'qolgan argumentning bunday qiymatlarini ko'rsatamiz.

1. Sinus funksiyasi: y = sin(x)

Ushbu funktsiyaning grafigi sinus to'lqin deb ataladi.

Ta'rif 18

Sinus funksiyasining xossalari:

• ta'rif sohasi: haqiqiy sonlarning butun to'plami x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funktsiya x = p k bo'lganda yo'qoladi, bu erda k ∈ Z (Z - butun sonlar to'plami);
• funksiya x ∈ - p 2 + 2 p · k uchun ortib bormoqda; p 2 + 2 p k, k ∈ Z va x ∈ p 2 + 2 p k uchun kamayuvchi; 3 p 2 + 2 p k, k ∈ Z;
• sinus funksiyasi p 2 + 2 p · k nuqtalarda mahalliy maksimallarga ega; 1 va nuqtalarda mahalliy minimal - p 2 + 2 p · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• x ∈ - p + 2 p k bo'lganda sinus funksiya botiq bo'ladi; 2 p k, k ∈ Z va x ∈ 2 p k bo'lganda qavariq; p + 2 p k , k ∈ Z ;
• asimptotlar yo'q.

1. kosinus funktsiyasi: y=cos(x)

Ushbu funktsiyaning grafigi kosinus to'lqini deb ataladi.

Ta'rif 19

Kosinus funksiyasining xossalari:

• ta'rif sohasi: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• eng kichik ijobiy davr: T \u003d 2 p;
• diapazon: y ∈ - 1 ; 1 ;
• bu funksiya juft, chunki y (- x) = y (x) ;
• funksiya x ∈ - p + 2 p · k uchun ortib bormoqda; 2 p · k, k ∈ Z va x ∈ 2 p · k uchun kamayuvchi; p + 2 p k , k ∈ Z ;
• kosinus funksiyasi 2 p · k nuqtalarda mahalliy maksimallarga ega; 1, k ∈ Z va p + 2 p · k nuqtalarda mahalliy minimallar; - 1 , k ∈ z ;
• x ∈ p 2 + 2 p · k bo'lganda kosinus funksiyasi konkav bo'ladi; 3 p 2 + 2 p k, k ∈ Z va x ∈ - p 2 + 2 p k bo'lganda qavariq; p 2 + 2 p · k, k ∈ Z;
• burilish nuqtalari koordinatalariga ega p 2 + p · k ; 0 , k ∈ Z
• asimptotlar yo'q.

1. Tangent funktsiyasi: y = t g (x)

Bu funksiyaning grafigi deyiladi tangentoid.

Ta'rif 20

Tangens funksiyaning xossalari:

• ta'rif sohasi: x ∈ - p 2 + p · k ; p 2 + p k , bu erda k ∈ Z (Z - butun sonlar to'plami);
• Tangens funksiyaning aniqlanish sohasi chegarasidagi xatti-harakati lim x → p 2 + p · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → p 2 + p · k - 0 t g (x) = + ∞ . Shunday qilib, x = p 2 + p · k k ∈ Z chiziqlar vertikal asimptotadir;
• k ∈ Z uchun x = p k bo'lganda funktsiya yo'qoladi (Z - butun sonlar to'plami);
• diapazon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
• funktsiya - p 2 + p · k da ortib bormoqda; p 2 + p k, k ∈ Z;
• tangens funksiya x ∈ [ p · k uchun konkavdir; p 2 + p k) , k ∈ Z va x ∈ uchun qavariq (- p 2 + p k ; p k ] , k ∈ Z ;
• burilish nuqtalari p k koordinatalariga ega; 0, k ∈ Z;

1. Kotangent funktsiyasi: y = c t g (x)

Bu funksiyaning grafigi kotangentoid deyiladi. .

Ta'rif 21

Kotangent funksiyaning xossalari:

• ta'rif sohasi: x ∈ (p k ; p + p k) , bu erda k ∈ Z (Z - butun sonlar to'plami);

Kotangent funksiyaning aniqlanish sohasi chegarasidagi harakati lim x → p · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → p · k - 0 t g (x) = - ∞ . Shunday qilib, x = p k k ∈ Z chiziqlar vertikal asimptotadir;

• eng kichik ijobiy davr: T \u003d p;
• k ∈ Z uchun x = p 2 + p k bo'lganda funktsiya yo'qoladi (Z - butun sonlar to'plami);
• diapazon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
• funksiya x ∈ p · k uchun kamayib bormoqda; p + p k , k ∈ Z ;
• kotangent funksiya x ∈ (p k ; p 2 + p k ] , k ∈ Z va x ∈ [ - p 2 + p k ; p k ) uchun qavariq, k ∈ Z uchun botiq;
• burilish nuqtalari koordinatalariga ega p 2 + p · k ; 0, k ∈ Z;
• qiya va gorizontal asimptotlar mavjud emas.

Teskari trigonometrik funksiyalar arksinus, arkkosinus, arktangent va arkkotangentdir. Ko'pincha, nomida "ark" prefiksi mavjudligi sababli, teskari trigonometrik funktsiyalar yoy funktsiyalari deb ataladi. .

1. Arksinus funksiyasi: y = a r c sin (x)

Ta'rif 22

Arksinus funksiyasining xossalari:

• bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
• arksinus funksiyasi x ∈ 0 uchun botiq; 1 va x ∈ - 1 uchun qavariq; 0;
• burilish nuqtalari koordinatalariga ega (0 ; 0) , u ham funktsiyaning noli;
• asimptotlar yo'q.

1. Arkkosin funktsiyasi: y = a r c cos (x)

Ta'rif 23

Arkkosin funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif sohasi: x ∈ - 1 ; 1 ;
• diapazon: y ∈ 0 ; p;
• bu funksiya umumiy shaklda (juft ham, toq ham emas);
• funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha kamayib bormoqda;
• arkkosinus funksiyasi x ∈ - 1 uchun konkav; 0 va x ∈ 0 uchun qavariqlik; 1 ;
• burilish nuqtalari koordinatalariga ega 0 ; p2;
• asimptotlar yo'q.

1. Arktangens funksiya: y = a r c t g (x)

Ta'rif 24

Arktangent funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif sohasi: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• diapazon: y ∈ - p 2 ; p2;
• bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
• funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda;
• arktangens funksiya x ∈ (- ∞ ; 0 ] uchun botiq va x ∈ [ 0 ; + ∞) uchun qavariq;
• burilish nuqtasi koordinatalariga ega (0; 0), u ham funktsiyaning noli;
• gorizontal asimptotlar x → - ∞ uchun y = - p 2 to'g'ri chiziqlar va x → + ∞ uchun y = p 2 (rasmdagi asimptotlar yashil chiziqlar).

1. Ark kotangent funktsiyasi: y = a r c c t g (x)

Ta'rif 25

Ark kotangent funktsiyasi xususiyatlari:

• ta'rif sohasi: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• diapazon: y ∈ (0 ; p) ;
• bu funksiya umumiy turdagi;
• funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha kamayib bormoqda;
• yoy kotangenti funksiyasi x ∈ [ 0 uchun botiq; + ∞) va x ∈ (- ∞ ; 0 ] uchun qavariqlik;
• burilish nuqtasi 0 koordinatalariga ega; p2;
• gorizontal asimptotlar x → - ∞ (chizmadagi yashil chiziq) da y = p to'g'ri chiziqlar va x → + ∞ da y = 0.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bilim asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari ko'paytirish jadvalini bilishdan kam emas. Ular poydevorga o'xshaydi, hamma narsa ularga asoslanadi, hamma narsa ulardan qurilgan va hamma narsa ularga tushadi.

Ushbu maqolada biz barcha asosiy elementar funktsiyalarni sanab o'tamiz, ularning grafiklarini beramiz va ularni hosila va isbotlarsiz beramiz. asosiy elementar funksiyalarning xossalari sxema bo'yicha:

• funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralaridagi xatti-harakati, vertikal asimptotlar (agar kerak bo'lsa, funktsiyaning to'xtash nuqtalari tasnifi maqolasiga qarang);
• juft va toq;
• qavariq (yuqoriga qarab qavariq) va konkavlik (pastga qarab qavariq) oraliqlari, burilish nuqtalari (agar kerak bo'lsa, maqola funktsiyasi qavariqlik, qavariqlik yo'nalishi, burilish nuqtalari, qavariq va egilish shartlariga qarang);
• qiya va gorizontal asimptotlar;
• funksiyalarning yagona nuqtalari;
• ayrim funksiyalarning maxsus xossalari (masalan, trigonometrik funksiyalar uchun eng kichik musbat davr).

Agar siz qiziqsangiz yoki nazariyaning ushbu bo'limlariga o'tishingiz mumkin.

Asosiy elementar funksiyalar quyidagilardir: doimiy funksiya (doimiy), n-darajali ildiz, daraja funksiyasi, darajali, logarifmik funksiya, trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalar.

Sahifani navigatsiya qilish.

Doimiy funktsiya.

Doimiy funktsiya barcha haqiqiy sonlar to'plamida formula bo'yicha berilgan, bu erda C - qandaydir haqiqiy son. Doimiy funktsiya x mustaqil o'zgaruvchining har bir haqiqiy qiymatiga y bog'liq o'zgaruvchining bir xil qiymatini - S qiymatini beradi. Doimiy funktsiya doimiy deb ham ataladi.

Doimiy funktsiya grafigi x o'qiga parallel bo'lgan va (0,C) koordinatali nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir. Masalan, quyidagi rasmda mos ravishda qora, qizil va ko‘k chiziqlarga to‘g‘ri keladigan y=5 , y=-2 va doimiy funksiyalarning grafiklarini ko‘rsatamiz.

Doimiy funktsiyaning xossalari.

• Ta'rif sohasi: haqiqiy sonlarning butun to'plami.
• Doimiy funktsiya juft.
• Qiymatlar diapazoni: bitta C raqamidan iborat to'plam.
• Doimiy funktsiya o'smaydigan va kamaymaydigan (shuning uchun u doimiydir).
• Sobitning konveksligi va konkavligi haqida gapirishning ma'nosi yo'q.
• Asimptot yo'q.
• Funktsiya koordinata tekisligining (0,C) nuqtasidan o'tadi.

n-darajaning ildizi.

Formula bilan berilgan asosiy elementar funktsiyani ko'rib chiqing, bu erda n - birdan katta natural son.

n-darajaning ildizi, n - juft son.

n ildiz darajasining juft qiymatlari uchun n-chi ildiz funksiyasidan boshlaylik.

Masalan, biz funksiyalar grafiklarining tasvirlari bilan rasm beramiz va , ular qora, qizil va ko'k chiziqlarga mos keladi.

Juft darajali ildiz funksiyalarining grafiklari indikatorning boshqa qiymatlari uchun xuddi shunday shaklga ega.

Juft n uchun n-darajali ildizning xossalari.

n-darajaning ildizi n toq sondir.

Ildizning toq ko‘rsatkichi n bo‘lgan n-darajali ildiz funksiyasi butun haqiqiy sonlar to‘plamida aniqlanadi. Masalan, biz funksiyalar grafiklarini keltiramiz va , qora, qizil va ko'k egri chiziqlar ularga mos keladi.

Ildiz ko'rsatkichining boshqa g'alati qiymatlari uchun funktsiyaning grafiklari xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi.

Toq n uchun n-darajali ildiz funksiyasining xossalari.

Quvvat funktsiyasi.

Quvvat funksiyasi shakl formulasi bilan berilgan.

Ko'rsatkichning qiymatiga qarab quvvat funktsiyasining grafiklarining turini va quvvat funktsiyasining xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Butun ko'rsatkichi a bo'lgan quvvat funksiyasidan boshlaylik. Bunda darajali funksiyalar grafiklarining shakli va funksiyalarning xossalari juft yoki toq ko'rsatkichga, shuningdek, uning belgisiga bog'liq. Shuning uchun, birinchi navbatda a ko'rsatkichining toq musbat qiymatlari uchun, keyin juft musbatlar uchun, keyin toq manfiy ko'rsatkichlar uchun va nihoyat, hatto manfiy a uchun quvvat funksiyalarini ko'rib chiqamiz.

Kasr va irratsional darajali darajali funksiyalarning xossalari (shuningdek, bunday darajali funksiyalarning grafiklarining turi) a ko‘rsatkichining qiymatiga bog‘liq. Biz ularni, birinchidan, a noldan birgacha bo'lganda, ikkinchidan, a birdan katta bo'lganda, uchinchidan, a minus birdan nolga teng bo'lganda va to'rtinchidan, a minus birdan kichik bo'lganda ko'rib chiqamiz.

Ushbu kichik bo'limni yakunlab, to'liqlik uchun biz nol ko'rsatkichli quvvat funktsiyasini tasvirlaymiz.

Toq musbat darajali quvvat funksiyasi.

Toq musbat ko‘rsatkichli, ya’ni a=1,3,5,… bo‘lgan quvvat funksiyasini ko‘rib chiqaylik.

Quyidagi rasmda quvvat funktsiyalarining grafiklari ko'rsatilgan - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziq, - yashil chiziq. a=1 uchun bizda bor chiziqli funksiya y=x.

Toq musbat darajali daraja funksiyasining xossalari.

Hatto musbat darajali quvvat funksiyasi.

Ko‘rsatkichi juft musbat bo‘lgan quvvat funksiyasini ko‘rib chiqaylik, ya’ni a=2,4,6,… uchun.

Misol tariqasida quvvat funksiyalarining grafiklarini olaylik - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziq. a=2 uchun grafigi bo'lgan kvadrat funktsiyaga egamiz kvadratik parabola.

Juft musbat darajali daraja funksiyasining xossalari.

Toq manfiy ko'rsatkichli quvvat funksiyasi.

Ko'rsatkichning g'alati manfiy qiymatlari, ya'ni \u003d -1, -3, -5, ... uchun eksponensial funktsiyaning grafiklariga qarang.

Rasmda ko'rsatkichli funksiyalarning grafiklari misol sifatida ko'rsatilgan - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziq, - yashil chiziq. a=-1 uchun bizda bor teskari proportsionallik, kimning grafigi giperbola.

Toq manfiy darajali daraja funksiyasining xossalari.

Juft manfiy darajali quvvat funksiyasi.

a=-2,-4,-6,… da quvvat funksiyasiga o‘tamiz.

Rasmda quvvat funktsiyalarining grafiklari ko'rsatilgan - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziq.

Juft manfiy darajali daraja funksiyasining xossalari.

Qiymati noldan katta va birdan kichik bo'lgan ratsional yoki irratsional ko'rsatkichli quvvat funksiyasi.

Eslatma! Agar a toq maxrajga ega bo'lgan musbat kasr bo'lsa, u holda ba'zi mualliflar intervalni daraja funktsiyasining sohasi deb hisoblashadi. Shu bilan birga, a ko'rsatkichi qaytarilmas kasr ekanligi ko'rsatilgan. Endi algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha ko'plab darsliklarning mualliflari argumentning manfiy qiymatlari uchun g'alati maxrajli kasr ko'rinishidagi ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarini TA'RIQLAMASDI. Biz aynan shunday ko'rinishga amal qilamiz, ya'ni kasr musbat ko'rsatkichlari bo'lgan daraja funktsiyalarining sohalarini to'plam deb hisoblaymiz. Biz talabalarni kelishmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu nozik nuqta bo'yicha o'qituvchingizning nuqtai nazarini olishga taklif qilamiz.

Ratsional yoki irratsional a , va ko'rsatkichli quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik.

a=11/12 (qora chiziq), a=5/7 (qizil chiziq), (ko‘k chiziq), a=2/5 (yashil chiziq) uchun quvvat funksiyalarining grafiklarini taqdim etamiz.

Butun bo'lmagan ratsional yoki irratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan daraja funksiyasi.

Butun bo'lmagan ratsional yoki irratsional ko'rsatkichli a , va ga ega bo'lgan daraja funksiyasini ko'rib chiqing.

Formulalar orqali berilgan quvvat funksiyalarining grafiklarini taqdim qilaylik (mos ravishda qora, qizil, ko'k va yashil chiziqlar).

>

a ko'rsatkichining boshqa qiymatlari uchun funktsiyaning grafiklari xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi.

uchun quvvat funksiyasi xususiyatlari.

Haqiqiy ko'rsatkichi minus birdan katta va noldan kichik bo'lgan quvvat funksiyasi.

Eslatma! Agar a toq maxrajli manfiy kasr bo'lsa, ba'zi mualliflar intervalni ko'rib chiqadilar . Shu bilan birga, a ko'rsatkichi qaytarilmas kasr ekanligi ko'rsatilgan. Endi algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha ko'plab darsliklarning mualliflari argumentning manfiy qiymatlari uchun g'alati maxrajli kasr ko'rinishidagi ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarini TA'RIQLAMASDI. Biz aynan shunday ko'rinishga amal qilamiz, ya'ni kasr manfiy ko'rsatkichli darajali funktsiyalar sohalarini mos ravishda to'plam deb hisoblaymiz. Biz talabalarni kelishmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu nozik nuqta bo'yicha o'qituvchingizning nuqtai nazarini olishga taklif qilamiz.

Biz quvvat funktsiyasiga o'tamiz, bu erda.

Quvvat funktsiyalari grafiklarining turlari haqida yaxshi tasavvurga ega bo'lish uchun biz funktsiyalar grafiklariga misollar keltiramiz. (mos ravishda qora, qizil, ko'k va yashil egri chiziqlar).

a , darajali darajali funksiyaning xossalari.

Butun son boʻlmagan haqiqiy koʻrsatkichi minus birdan kichik boʻlgan quvvat funksiyasi.

Quvvat funksiyalarining grafiklariga misollar keltiramiz , ular mos ravishda qora, qizil, ko'k va yashil chiziqlar bilan tasvirlangan.

Butun bo'lmagan manfiy ko'rsatkichi minus birdan kichik bo'lgan daraja funksiyasining xossalari.

a=0 bo'lganda va bizda funktsiya mavjud bo'lganda - bu to'g'ri chiziq bo'lib, undan (0; 1) nuqta chiqarib tashlanadi (0 0 ifodasi hech qanday ahamiyat bermaslikka kelishilgan).

Eksponensial funktsiya.

Asosiy elementar funksiyalardan biri eksponensial funksiyadir.

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi, bu erda va a asosining qiymatiga qarab boshqa ko'rinish oladi. Keling, buni aniqlaylik.

Birinchidan, ko'rsatkichli funktsiyaning asosi noldan birgacha qiymat oladigan holatni ko'rib chiqing, ya'ni .

Masalan, a = 1/2 - ko'k chiziq, a = 5/6 - qizil chiziq uchun ko'rsatkichli funktsiyaning grafiklarini taqdim etamiz. Eksponensial funktsiyaning grafiklari oraliqdan bazaning boshqa qiymatlari uchun xuddi shunday ko'rinishga ega.

Bazasi birdan kichik bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiyaning xossalari.

Ko'rsatkichli funktsiyaning asosi birdan katta bo'lgan holatga murojaat qilamiz, ya'ni.

Rasm sifatida biz eksponensial funktsiyalarning grafiklarini taqdim etamiz - ko'k chiziq va - qizil chiziq. Bazaning birdan katta bo'lgan boshqa qiymatlari uchun eksponensial funktsiyaning grafiklari xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi.

Bazasi birdan katta bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiyaning xossalari.

Logarifmik funktsiya.

Keyingi asosiy elementar funksiya logarifmik funktsiya bo'lib, bu erda, . Logarifmik funktsiya faqat argumentning ijobiy qiymatlari uchun, ya'ni uchun aniqlanadi.

Logarifmik funktsiyaning grafigi a asosining qiymatiga qarab boshqa ko'rinishga ega bo'ladi.

Qachon ishi bilan boshlaylik.

Masalan, a = 1/2 - ko'k chiziq, a = 5/6 - qizil chiziq uchun logarifmik funktsiyaning grafiklarini taqdim etamiz. Bazaning birdan ortiq bo'lmagan boshqa qiymatlari uchun logarifmik funktsiyaning grafiklari xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi.

Bazasi birdan kichik bo‘lgan logarifmik funksiyaning xossalari.

Keling, logarifmik funktsiyaning asosi bittadan () katta bo'lgan holatga o'tamiz.

Logarifmik funksiyalarning grafiklarini ko'rsatamiz - ko'k chiziq, - qizil chiziq. Bazaning boshqa qiymatlari birdan katta bo'lsa, logarifmik funktsiyaning grafiklari xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi.

Bazasi birdan katta bo‘lgan logarifmik funksiyaning xossalari.

Trigonometrik funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.

Barcha trigonometrik funksiyalar (sinus, kosinus, tangens va kotangens) asosiy elementar funksiyalardir. Endi biz ularning grafiklarini ko'rib chiqamiz va ularning xususiyatlarini sanab o'tamiz.

Trigonometrik funktsiyalar tushunchasiga ega davriylik(davr qiymati bilan bir-biridan farq qiluvchi argumentning turli qiymatlari uchun funktsiya qiymatlarining takrorlanishi , bu erda T - davr), shuning uchun trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari ro'yxatiga element qo'shildi. "eng kichik ijobiy davr". Bundan tashqari, har bir trigonometrik funktsiya uchun biz mos keladigan funktsiya yo'qolgan argumentning qiymatlarini ko'rsatamiz.

Keling, barcha trigonometrik funktsiyalarni tartibda ko'rib chiqaylik.

Sinus funksiyasi y = sin(x) .

Sinus funksiyasining grafigini chizamiz, u “sinusoid” deyiladi.

Sinus funksiyasining xossalari y = sinx .

Kosinus funksiyasi y = cos(x) .

Kosinus funksiyasining grafigi (u "kosinus" deb ataladi) quyidagicha ko'rinadi:

Kosinus funksiya xossalari y = cosx.

Tangens funksiya y = tg(x) .

Tangens funksiyaning grafigi (u "tangentoid" deb ataladi) quyidagicha ko'rinadi:

Funksiya xossalari tangensi y = tgx .

Kotangent funksiya y = ctg(x) .

Keling, kotangent funksiyaning grafigini chizamiz (u “kotangentoid” deb ataladi):

Kotangent funksiya xossalari y = ctgx.

Teskari trigonometrik funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.

Teskari trigonometrik funksiyalar (arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangents) asosiy elementar funksiyalardir. Ko'pincha "arc" prefiksi tufayli teskari trigonometrik funktsiyalar yoy funktsiyalari deb ataladi. Endi biz ularning grafiklarini ko'rib chiqamiz va ularning xususiyatlarini sanab o'tamiz.

Arksinus funksiyasi y = arcsin(x) .

Arksinus funksiyasini chizamiz:

Funksiya xossalari arkkotangent y = arcctg(x) .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. ta'lim muassasalari.
• Vygodskiy M.Ya. Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma.
• Novoselov S.I. Algebra va elementar funksiyalar.
• Tumanov S.I. Elementar algebra. O'z-o'zini tarbiyalash uchun qo'llanma.

Funktsiyalar va ularning grafiklari maktab matematikasining eng qiziqarli mavzularidan biridir. Achinarlisi, u... darsdan o‘tib, talabalardan o‘tib ketadi. O'rta maktabda unga vaqt hech qachon etarli emas. Va 7-sinfda amalga oshiriladigan funktsiyalar - chiziqli funktsiya va parabola - har xil qiziqarli vazifalarni ko'rsatish uchun juda oddiy va murakkab emas.

Funktsiyalar grafiklarini qurish qobiliyati matematikadan imtihonda parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun zarurdir. Bu universitetdagi matematik tahlil kursining birinchi mavzularidan biridir. Bu shunchalik muhim mavzuki, biz Yagona Davlat imtihon-studiyasida o'rta maktab o'quvchilari va o'qituvchilari uchun Moskvada va Internetda maxsus intensiv kurslarni o'tkazamiz. Va ko'pincha ishtirokchilar: "Afsuski, biz buni ilgari bilmaganmiz", deyishadi.

Lekin bu hammasi emas. Haqiqiy, "kattalar" matematikasi funksiya tushunchasi bilan boshlanadi. Axir, qo'shish va ayirish, ko'paytirish va bo'lish, kasrlar va nisbatlar - bu hali ham arifmetik. Ifodaning o'zgarishi algebradir. Matematika esa nafaqat sonlar, balki miqdorlar munosabatlari haqidagi fandir. Funksiyalar va grafiklar tili fizik, biolog va iqtisodchiga tushunarli. Va Galiley Galiley aytganidek, "Tabiat kitobi matematika tilida yozilgan".

Aniqrog'i, Galiley Galiley shunday degan: "Matematika - bu Rabbiy olamni chizgan alifbodir".

Ko'rib chiqiladigan mavzular:

1. Funksiyaning grafigini tuzing

Tanish sinov! Bu matematikada OGE variantlarida uchraydi. U erda ular qiyin deb hisoblangan. Ammo bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q.

Funktsiya formulasini soddalashtiramiz:

Funksiya grafigi - teshilgan nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq

2. Funksiyaning grafigini chizing

Funktsiya formulasida butun son qismini tanlaymiz:

Funksiya grafigi x da o‘ngga 3 ga, y da 2 ga yuqoriga siljigan va funksiya grafigiga nisbatan 10 marta cho‘zilgan giperboladir.

Butun qismni tanlash tengsizliklarni yechish, grafiklarni tuzish va sonlar va ularning xossalariga oid masalalarda butun sonlarni baholashda qo'llaniladigan foydali texnikadir. Shuningdek, siz u bilan birinchi yilda, integrallarni olishingiz kerak bo'lganda uchrashasiz.

3. Funksiyaning grafigini chizing

U funktsiya grafigidan 2 marta cho'zish, vertikal aylantirish va vertikal ravishda 1 yuqoriga siljish orqali olinadi.

4. Funksiyaning grafigini chizing

Asosiysi, harakatlarning to'g'ri ketma-ketligi. Funktsiya formulasini qulayroq shaklda yozamiz:

Biz tartibda harakat qilamiz:

1) y=sinx funksiya grafigini chapga siljiting;

2) gorizontal ravishda 2 marta siqish,

3) vertikal ravishda 3 marta cho'zing,

4) 1 ga yuqoriga siljiting

Endi biz kasrli ratsional funktsiyalarning bir nechta grafiklarini tuzamiz. Buni qanday qilishimizni yaxshiroq tushunish uchun "Funktsiyaning cheksizlikdagi xatti-harakati" maqolasini o'qing. Asimptotalar".

5. Funksiyaning grafigini chizing

Funktsiya doirasi:

Funktsiya nollari: va

To'g'ri chiziq x = 0 (y o'qi) funktsiyaning vertikal asimptotasidir. Asimptot- to‘g‘ri chiziq, unga funksiya grafigi cheksiz yaqinlashadi, lekin uni kesib o‘tmaydi va u bilan qo‘shilmaydi (“Funksiyaning cheksizlikdagi harakati. Asimptotlar” mavzusiga qarang).

Bizning funktsiyamiz uchun boshqa asimptotlar bormi? Buni bilish uchun, keling, funksiya x cheksizlikka ketayotganda o‘zini qanday tutishini ko‘rib chiqamiz.

Funktsiya formulasida qavslarni ochamiz:

Agar x cheksizlikka ketsa, u nolga tushadi. To'g'ri chiziq funksiya grafigiga qiya asimptotadir.

6. Funksiyaning grafigini chizing

Bu kasrli ratsional funktsiyadir.

Funktsiya doirasi

Funktsiya nollari: nuqtalar - 3, 2, 6.

Funksiyaning belgi doimiyligi intervallari intervallar usuli yordamida aniqlanadi.

Vertikal asimptotlar:

Agar x cheksizlikka moyil bo'lsa, u holda y 1 ga intiladi. Demak, gorizontal asimptota.

Mana grafikning eskizi:

Yana bir qiziqarli texnika - bu grafiklarni qo'shish.

7. Funksiyaning grafigini chizing

Agar x cheksizlikka moyil bo'lsa, u holda funktsiya grafigi qiya asimptotaga cheksiz yaqinlashadi.

Agar x nolga moyil bo'lsa, u holda funktsiya o'zini shunday tutadi: grafikda biz buni ko'ramiz:

Shunday qilib, biz funktsiyalar yig'indisining grafigini qurdik. Endi ish tartibi!

8. Funksiyaning grafigini tuzing

Bu funksiyaning sohasi musbat sonlardir, chunki faqat musbat x aniqlangan

Funktsiya qiymatlari nolga teng (logarifm nolga teng bo'lganda), shuningdek, nuqtalarda, ya'ni

Qachon , qiymat (cos x) birga teng. Bu nuqtalarda funktsiyaning qiymati teng bo'ladi

9. Funksiyaning grafigini tuzing

Funktsiya It is double uchun belgilangan, chunki u ikkita toq funksiyaning mahsuloti va Grafik y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiyaning nollari qaerda, ya'ni at nuqtalarida

Agar x cheksizlikka ketsa, nolga tushadi. Ammo x nolga moyil bo'lsa nima bo'ladi? Axir, x ham, sin x ham kichikroq va kichikroq bo'ladi. Xususiy o'zini qanday tutadi?

Ma'lum bo'lishicha, agar x nolga moyil bo'lsa, u birga intiladi. Matematikada bu bayonot "Birinchi ajoyib chegara" deb ataladi.

Ammo hosila haqida nima deyish mumkin? Ha, nihoyat u erga etib keldik. Loyima funksiyalarni aniqroq tuzishga yordam beradi. Maksimal va minimal nuqtalarni, shuningdek, ushbu nuqtalarda funktsiya qiymatlarini toping.

10. Funksiyaning grafigini tuzing

Funktsiya doirasi barcha haqiqiy sonlar, chunki

Funktsiya g'alati. Uning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

x=0 da funksiya qiymati nolga teng. Funktsiya qiymatlari uchun ijobiy, for manfiy.

Agar x cheksizlikka ketsa, u nolga tushadi.

Funktsiyaning hosilasi topilsin
Bo'limning hosilasi formulasiga ko'ra,

Agar yoki

Nuqtada hosila "minus" dan "plyus" ga ishorani o'zgartiradi, - funktsiyaning minimal nuqtasi.

Nuqtada lotin belgini "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgartiradi, - funktsiyaning maksimal nuqtasi.

Funktsiyaning x=2 va x=-2 da qiymatlari topilsin.

Funktsiya grafiklarini ma'lum bir algoritm yoki sxema bo'yicha qurish qulay. Maktabda o'qiganingizni eslaysizmi?

Funksiya grafigini qurishning umumiy sxemasi:

1. Funktsiya doirasi

2. Funksiya qiymatlari diapazoni

3. Juft - toq (agar mavjud bo'lsa)

4. Chastotasi (agar mavjud bo'lsa)

5. Funksiyaning nollari (grafikning koordinata o‘qlarini kesib o‘tgan nuqtalari)

6. Funksiyaning doimiylik intervallari (ya’ni u qat’iy musbat yoki qat’iy manfiy bo’lgan intervallar).

7. Asimptotalar (agar mavjud bo'lsa).

8. Funksiyaning cheksizlikdagi xatti-harakati

9. Funksiyaning hosilasi

10. O'sish va kamayish oraliqlari. Yuqori va past nuqtalar va bu nuqtalardagi qiymatlar.