Chiziqli vektor fazo: ta'rifi, xossalari. Chiziqli fazoning ta'rifi. Chiziqli fazolarga misollar Dummies uchun chiziqli fazolar

Ma’ruza 6. Vektor fazosi.

Asosiy savollar.

1. Vektorli chiziqli fazo.

2. Fazoning asosi va o'lchami.

3. Kosmosning orientatsiyasi.

4. Vektorning bazis nuqtai nazaridan parchalanishi.

5. Vektor koordinatalari.

1. Vektorli chiziqli fazo.

Har qanday tabiatdagi elementlardan tashkil topgan, unda chiziqli operatsiyalar aniqlanadi: ikkita elementni qo'shish va elementni songa ko'paytirish deyiladi. bo'shliqlar, va ularning elementlari vektorlar bu fazo va geometriyadagi vektor kattaliklar bilan bir xil tarzda belgilanadi: . Vektorlar bunday mavhum bo'shliqlar, qoida tariqasida, oddiy geometrik vektorlar bilan hech qanday umumiylikka ega emas. Mavhum fazolarning elementlari funksiyalar, sonlar tizimi, matritsalar va boshqalar va muayyan holatda oddiy vektorlar bo'lishi mumkin. Shuning uchun bunday bo'shliqlar deyiladi vektor bo'shliqlari .

Vektor bo'shliqlar, Masalan, bilan belgilanadigan kollinear vektorlar to'plami V1 , koplanar vektorlar to'plami V2 , oddiy (real fazo) vektorlar to'plami V3 .

Ushbu alohida holat uchun vektor fazoning quyidagi ta'rifini berishimiz mumkin.

Ta'rif 1. Vektorlar to'plami deyiladi vektor maydoni, agar to'plamning har qanday vektorlarining chiziqli birikmasi ham ushbu to'plamning vektori bo'lsa. Vektorlarning o'zi deyiladi elementlar vektor maydoni.

Nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham vektor fazosining umumiy (mavhum) tushunchasi muhimroqdir.

Ta'rif 2. Bir guruh R elementlar , unda har qanday ikkita element va yig'indisi aniqlanadi va har qanday element uchun https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20">deb ataladi. vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy, va uning elementlari vektorlar, agar vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish amallari quyidagi shartlarni qanoatlantirsa ( aksiomalar) :

1) qo'shimcha almashinish, ya'ni.gif" width="184" height="25">;

3) shunday element (nol vektor) mavjudki, har qanday https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif uchun width="45" height="20">.gif" width= " 99"balandlik="27">;

5) har qanday vektor va har qanday l soni uchun tenglik bajariladi;

6) har qanday vektorlar va har qanday raqamlar uchun λ Va µ tenglik amal qiladi https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> va har qanday raqamlar λ Va µ adolatli ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Vektor fazosini belgilaydigan aksiomalardan eng oddiyiga amal qiling oqibatlari :

1. Vektor fazoda faqat bitta nol - element - nol vektor mavjud.

2. Vektor fazoda har bir vektor yagona qarama-qarshi vektorga ega.

3. Har bir element uchun tenglik bajariladi.

4. Har qanday haqiqiy son uchun λ va nol vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" eni="145" balandligi="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> - tenglikni qanoatlantiruvchi vektor https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Demak, haqiqatan ham barcha geometrik vektorlar to‘plami ham chiziqli (vektor) fazodir, chunki bu to‘plamning elementlari uchun formulalangan aksiomalarni qanoatlantiradigan songa qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlanadi.

2. Fazoning asosi va o'lchami.

Vektor fazosining muhim tushunchalari asos va o'lchov tushunchalaridir.

Ta'rif. Fazoning har qanday vektori chiziqli ifodalanadigan ma'lum tartibda olingan chiziqli mustaqil vektorlar to'plami deyiladi. asos bu bo'shliq. Vektorlar. Asosni tashkil etuvchi bo'shliqlar deyiladi Asosiy .

Ixtiyoriy chiziqda joylashgan vektorlar to'plamining asosini ushbu chiziq vektoriga bitta kollinear deb hisoblash mumkin.

Samolyotda asos ma'lum bir tartibda olingan ushbu tekislikdagi ikkita kollinear bo'lmagan vektorni chaqiramiz https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Agar bazis vektorlari juft perpendikulyar (ortogonal) bo'lsa, bazis deyiladi ortogonal, va agar bu vektorlarning uzunligi bir ga teng bo'lsa, unda bazis deyiladi ortonormal .

Kosmosdagi chiziqli mustaqil vektorlarning eng ko'p soni deyiladi o'lcham bu fazo, ya'ni fazoning o'lchami bu fazoning bazis vektorlari soniga to'g'ri keladi.

Shunday qilib, ushbu ta'riflarga ko'ra:

1. Bir o‘lchovli fazo V1 toʻgʻri chiziq boʻlib, asos dan iborat bitta kollinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">.

3. Oddiy fazo uch o'lchamli fazodir V3 , uning asosini tashkil etadi uchta mos kelmaydigan vektorlar.

Bu erdan ko'ramizki, to'g'ri chiziqdagi, tekislikdagi, real fazodagi bazis vektorlar soni geometriyada odatda to'g'ri chiziq, tekislik, fazoning o'lchamlari (o'lchamlari) soni deb ataladigan narsaga to'g'ri keladi. Shuning uchun umumiyroq ta'rifni kiritish tabiiydir.

Ta'rif. vektor maydoni R chaqirdi n- agar u eng ko'p bo'lsa, o'lchovli n chiziqli mustaqil vektorlar va belgilanadi R n. Raqam n chaqirdi o'lcham bo'sh joy.

Kosmosning o'lchamiga ko'ra bo'linadi chekli o'lchovli Va cheksiz o'lchovli. Nol bo'shliqning o'lchami, ta'rifga ko'ra, nolga teng deb hisoblanadi.

Izoh 1. Har bir bo'shliqda siz xohlagancha ko'p bazani belgilashingiz mumkin, ammo bu bo'shliqning barcha asoslari bir xil miqdordagi vektorlardan iborat.

Izoh 2. IN n- o'lchovli vektor fazoda har qanday tartiblangan to'plam asos hisoblanadi n chiziqli mustaqil vektorlar.

3. Kosmosning orientatsiyasi.

Bazis vektorlari fazoda bo'lsin V3 bor umumiy boshlanish Va buyurdi, ya'ni qaysi vektor birinchi, qaysi biri ikkinchi va qaysi biri uchinchi deb hisoblanishi ko'rsatilgan. Masalan, asosda vektorlar indeksatsiya bo'yicha tartiblanadi.

Buning uchun makonni yo'naltirish uchun qandaydir asosni belgilash va uni ijobiy deb e'lon qilish kerak .

Fazoning barcha asoslari to'plami ikki sinfga, ya'ni ikkita kesishmaydigan kichik to'plamga tushishini ko'rsatish mumkin.

a) bitta kichik to'plamga (sinfga) tegishli barcha asoslar mavjud xuddi shu orientatsiya (bir xil nomdagi asoslar);

b) tegishli bo'lgan har qanday ikkita asos har xil kichik to'plamlar (sinflar), ega qarama-qarshi orientatsiya, ( turli nomlar asoslar).

Agar fazo asoslarining ikkita sinfidan biri musbat, ikkinchisi manfiy deb e'lon qilinsa, bu fazoni aytamiz. yo'naltirilgan .

Ko'pincha, makonni yo'naltirishda ba'zi bazalar chaqiriladi to'g'ri, boshqalar esa so'lchilar .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> chaqirildi to'g'ri, agar uchinchi vektorning oxiridan kuzatilganda, birinchi vektorning eng qisqa aylanishi https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> bajariladi soat miliga teskari(1.8-rasm, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Guruch. 1.8. O'ng asos (a) va chap asos (b)

Odatda, makonning to'g'ri asosi ijobiy asos deb e'lon qilinadi

Bo'shliqning o'ng (chap) asosini "o'ng" ("chap") vint yoki gimlet qoidasi yordamida ham aniqlash mumkin.

Bunga o'xshab, o'ng va chap tushunchasi uchlik buyurtma qilinishi kerak bo'lgan to'ldiruvchi bo'lmagan vektorlar (1.8-rasm).

Shunday qilib, umumiy holatda, koplanar bo'lmagan vektorlarning ikkita tartibli uchligi fazoda bir xil yo'nalishga ega (bir xil nomga ega). V3 agar ular ikkalasi ham o'ngda yoki ikkalasi ham chapda bo'lsa va - qarama-qarshi yo'nalish (qarama-qarshi), agar ulardan biri o'ng, ikkinchisi chap bo'lsa.

Xuddi shu narsa kosmosda ham amalga oshiriladi V2 (samolyotlar).

4. Vektorning bazis nuqtai nazaridan parchalanishi.

Fikrlashning soddaligi uchun biz bu savolni uch o'lchovli vektor fazosi misolida ko'rib chiqamiz R3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bu fazoning ixtiyoriy vektori bo'lsin.

3-bob Chiziqli vektor fazolar

8-mavzu. Chiziqli vektor fazolar

Chiziqli fazoning ta'rifi. Chiziqli fazolarga misollar

2.1-bo'lim erkin vektorlarni qo'shish jarayonini belgilaydi R 3 va vektorlarni haqiqiy sonlarga ko'paytirish amali va bu amallarning xossalari ham sanab o'tilgan. Ushbu amallar va ularning xossalarini ixtiyoriy tabiatdagi ob'ektlar (elementlar) to'plamiga kengaytirish geometrik vektorlarning chiziqli fazosi tushunchasini umumlashtirishga olib keladi. R 2.1-bandda belgilangan 3. Keling, chiziqli vektor fazoning ta'rifini tuzamiz.

Ta'rif 8.1. Bir guruh V elementlar X , da , z ,... deyiladi chiziqli vektor fazosi, Agar:

har ikki element bir qoida bor x Va da dan V dan uchinchi elementga mos keladi V, chaqirildi so'm X Va da va belgilandi X + da ;

har bir elementning bir qoida bor x va har qanday haqiqiy son elementni bog'laydi V, chaqirildi element mahsuloti X raqam uchun va belgilandi x .

Har qanday ikkita elementning yig'indisi X + da va ish x Har qanday raqamning har qanday elementi quyidagi talablarga javob berishi kerak - chiziqli fazo aksiomalar:

1°. X + da = da + X (qo‘shishning kommutativligi).

2°. ( X + da ) + z = X + (da + z ) (qo‘shishning assotsiativligi).

3°. Element mavjud 0 , chaqirildi nol, shu kabi

X + 0 = X , x .

4°. Har kim uchun x element mavjud (- X ), chaqirdi uchun qarama-qarshi X , shu kabi

X + (– X ) = 0 .

5°. ( x ) = ()x , x , , R.

6°. x = x , x .

7°. () x = x + x , x , , R.

8°. ( X + da ) = x + y , x , y , R.

Chiziqli fazoning elementlari chaqiriladi vektorlar ularning tabiatidan qat'iy nazar.

Bu 1°–8° aksiomalardan kelib chiqadiki, har qanday chiziqli fazoda V quyidagi xususiyatlar to'g'ri keladi:

1) noyob nol vektor mavjud;

2) har bir vektor uchun x bitta qarama-qarshi vektor mavjud (- X ), va (- X ) = (–l) X ;

3) har qanday vektor uchun X tenglik 0 × X = 0 .

Masalan, 1) mulkni isbotlaylik. Buni kosmosda faraz qilaylik V ikkita nol bor: 0 1 va 0 2. 3° aksioma qo'yish X = 0 1 , 0 = 0 2, olamiz 0 1 + 0 2 = 0 1 . Xuddi shunday, agar X = 0 2 , 0 = 0 1, keyin 0 2 + 0 1 = 0 2. 1 ° aksiomani hisobga olgan holda, biz olamiz 0 1 = 0 2 .

Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz.

1. Haqiqiy sonlar to‘plami chiziqli fazoni hosil qiladi R. Unda 1°–8° aksiomalar qanoatlantirilishi aniq.

2. §2.1 da ko'rsatilganidek, uch o'lchovli fazodagi erkin vektorlar to'plami ham chiziqli fazoni tashkil qiladi, belgilangan. R 3 . Null vektor bu bo'shliqning nolga teng.

Tekislik va chiziqdagi vektorlar to'plami ham chiziqli bo'shliqlardir. Biz ularni belgilaymiz R 1 va R mos ravishda 2.

3. Bo'shliqlarni umumlashtirish R 1 , R 2 va R 3 bo'sh joyga xizmat qiladi Rn, n N chaqirdi arifmetik n o'lchovli fazo, ularning elementlari (vektorlari) tartibli to'plamlardir n ixtiyoriy haqiqiy sonlar ( x 1 ,…, x n), ya'ni.

Rn = {(x 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Belgilashdan foydalanish qulay x = (x 1 ,…, x n), unda x i chaqirdi i-koordinata(komponent)vektor x .

Uchun X , da Rn Va R Qo‘shish va ko‘paytirishni quyidagi formulalar bilan aniqlaymiz:

X + da = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

x = (x 1 ,…, x n).

Nol bo'shliq elementi Rn vektor hisoblanadi 0 = (0,…, 0). Ikki vektorning tengligi X = (x 1 ,…, x n) Va da = (y 1 ,…, y n) dan Rn, ta'rifga ko'ra, mos keladigan koordinatalarning tengligini anglatadi, ya'ni. X = da Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.

Bu erda 1°–8° aksiomalarning bajarilishi yaqqol ko'rinadi.

4. Mayli C [ a ; b] - intervaldagi haqiqiy uzluksizlar to‘plami. a; b] funktsiyalari f: [a; b] R.

Funktsiyalar yig'indisi f Va g dan C [ a ; b] funksiya deyiladi h = f + g, tenglik bilan belgilanadi

h = f + g Û h(x) = (f + g)(x) = f(X) + g(x), " x Î [ a; b].

Funktsional mahsulot f Î C [ a ; b] raqamlash a Î R tengligi bilan belgilanadi

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(x), " x Î [ a; b].

Shunday qilib, kiritilgan ikkita funktsiyani qo'shish va funktsiyani songa ko'paytirish amallari to'plamni aylantiradi C [ a ; b] vektorlari funksiya bo'lgan chiziqli fazoga. 1°–8° aksiomalar bu bo'shliqda aniq saqlanadi. Bu fazoning nol vektori bir xil nol funktsiya va ikkita funktsiyaning tengligidir f Va g ta'rifiga ko'ra quyidagilarni anglatadi:

f = g f(x) = g(x), " x Î [ a; b].

Golovizin V.V. Algebra va geometriyadan ma'ruzalar. 4

Algebra va geometriyadan ma'ruzalar. Semestr 2.

22-ma'ruza. Vektor fazolar.

Qisqacha mazmun: vektor fazoning ta’rifi, uning eng oddiy xossalari, vektorlar sistemasi, vektorlar sistemasining chiziqli birikmasi, trivial va notrivial chiziqli birikma, chiziqli bog‘liq va mustaqil vektorlar sistemalari, tizimning chiziqli bog‘liqligi yoki mustaqilligi shartlari. vektorlar, vektorlar tizimining quyi tizimlari, arifmetik vektor fazosining ustunlar tizimlari.

1-modda. Vektor fazoning ta'rifi va uning eng oddiy xossalari.

Bu erda o'quvchiga qulaylik yaratish uchun 1-ma'ruzaning 13-bandi mazmunini takrorlaymiz.

Ta'rif. Ixtiyoriy bo'sh bo'lmagan to'plam bo'lsin, uning elementlarini vektorlar deb ataymiz, K - maydon, uning elementlarini skalar deb ataymiz. To'plamda ichki ikkilik algebraik operatsiya aniqlansin, biz uni + belgisi bilan belgilaymiz va vektorlarni qo'shish deb nomlaymiz. To'plamda tashqi binar algebraik operatsiya ham aniqlansin, biz vektorni skalerga ko'paytirish deb nomlaymiz va ko'paytirish belgisi bilan belgilaymiz. Boshqacha qilib aytganda, ikkita xaritalash aniqlanadi:

Agar quyidagi aksiomalar bajarilsa, bu ikki algebraik amal bilan birga toʻplam K maydoni ustidagi vektor fazosi deyiladi:

1. Qo‘shish assotsiativ, ya’ni.

2. Nol vektor mavjud, ya'ni.

3. Har qanday vektor uchun teskarisi mavjud:

X vektoriga qarama-qarshi bo'lgan y vektori odatda -x bilan belgilanadi, shuning uchun

4. Qo‘shish kommutativdir, ya’ni. .

5. Vektorni skalerga ko'paytirish assotsiativlik qonuniga bo'ysunadi, ya'ni.

bu yerda ko‘paytma K maydonida aniqlangan skalyarlarning ko‘paytmasidir.

6. , bu yerda 1 - K maydonining birligi.

7. Vektorni skalerga ko‘paytirish vektor qo‘shishga nisbatan distributiv hisoblanadi:

8. Vektorni skalerga ko'paytirish skalerlarni qo'shishga nisbatan distributivdir: .

Ta'rif. Haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazo haqiqiy vektor fazosi deyiladi.

Teorema. (Vektor fazolarining eng oddiy xossalari.)

1. Vektor fazoda faqat bitta null vektor mavjud.

2. Vektor fazoda har qanday vektor o'ziga xos qarama-qarshilikka ega.

3. yoki
.

4. .

Isbot. 1) Nol vektorning o'ziga xosligi bir xillik matritsasining yagonaligi va umuman, har qanday ichki binar algebraik operatsiyaning neytral elementining yagonaligi kabi isbotlanadi.

V vektor fazoning nol vektori 0 bo'lsin. Keyin . Mayli
boshqa nol vektor. Keyin. Keling, birinchi ishni olaylik
, va ikkinchisida
. Keyin
Va
, bundan kelib chiqadi
, va boshqalar.

2a) Avval nol skalyar va har qanday vektorning mahsuloti nol vektorga teng ekanligini isbotlaymiz.

Mayli
. Keyin vektor fazo aksiomalarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Qo'shishga kelsak, vektor fazosi Abel guruhidir va bekor qilish qonuni har qanday guruhda amal qiladi. Qisqartirish qonunini qo'llash, oxirgi tenglikni nazarda tutadi

.

2b) Endi 4-sonli fikrni isbotlaylik). Mayli
ixtiyoriy vektordir. Keyin

Bundan darhol vektor degan xulosa kelib chiqadi
x ga qarama-qarshidir.

2c) Keling
. Keyin vektor fazo aksiomalarini qo'llash,
Va
olamiz:

2d) Mayli
va buni faraz qilaylik
. Chunki
, bu erda K maydon bo'lsa, u holda mavjud
. Keling, tenglikni ko'paytiramiz
gacha qoldi
:
, shundan kelib chiqadi
yoki
yoki
.

Teorema isbotlangan.

2-modda. Vektor fazolarga misollar.

1) Funktsiyalarni qo'shish va funktsiyani songa ko'paytirishning odatiy operatsiyalariga nisbatan (0; 1) oraliqda uzluksiz bo'lgan bitta o'zgaruvchining raqamli haqiqiy funktsiyalari to'plami.

2) Ko'phadlarni qo'shish va ko'phadlarni skalerga ko'paytirishga nisbatan K maydonidan koeffitsientli bir harfdan iborat ko'phadlar to'plami.

3) Kompleks sonlarni qo‘shish va haqiqiy songa ko‘paytirishga nisbatan kompleks sonlar to‘plami.

4) Matritsani qo‘shish va matritsani skalerga ko‘paytirishga nisbatan K maydonining elementlari bilan bir xil o‘lchamdagi matritsalar to‘plami.

Quyidagi misol 4-misolning muhim maxsus holatidir.

5) Ixtiyoriy natural son bo‘lsin. n balandlikdagi barcha ustunlar to'plami bilan belgilang, ya'ni, o'lchamdagi K maydon ustidagi matritsalar to'plami
.

To‘plam K maydoni ustidagi vektor fazo bo‘lib, K maydoni ustidagi n balandlikdagi ustunlarning arifmetik vektor fazosi deyiladi.

Xususan, agar ixtiyoriy K maydoni o'rniga haqiqiy sonlar maydonini olsak, u holda vektor fazosi
n balandlikdagi ustunlarning haqiqiy arifmetik vektor fazosi deyiladi.

Xuddi shunday, K o'lchamdagi maydon ustidagi matritsalar to'plami ham vektor fazodir
yoki aks holda, n uzunlikdagi satrlar. U K maydon ustidagi n uzunlikdagi satrlarning arifmetik vektor fazosi bilan ham belgilanadi va shunday ham deyiladi.

3-modda. Vektor fazoning vektorlar sistemalari.

Ta'rif. Vektor fazoning vektorlar tizimi bu fazoning har qanday chekli bo'sh bo'lmagan vektorlar to'plamidir.

Belgilash:
.

Ta'rif. Ifoda

, (1)

bu yerda K maydon skayarlari, V vektor fazoning vektorlari, vektorlar sistemasining chiziqli birikmasi deyiladi.
. Skayarlar bu chiziqli birikmaning koeffitsientlari deb ataladi.

Ta'rif. Agar chiziqli birikmaning (1) barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, unda bunday chiziqli birikma trivial deb ataladi, aks holda u notrivial hisoblanadi.

Misol. Mayli
vektor fazodagi uchta vektor sistemasi V. Keyin

berilgan vektorlar sistemasining trivial chiziqli birikmasidir;

berilgan vektorlar sistemasining notrivial chiziqli birikmasidir, chunki bu kombinatsiyaning birinchi koeffitsienti
.

Ta'rif. Agar V vektor fazosining har qanday x vektori quyidagicha ifodalanishi mumkin:

u holda x vektori sistema vektorlari bilan chiziqli ifodalangan deymiz
. Bunday holda, biz ham tizim deb aytamiz
x vektorini chiziqli ravishda ifodalaydi.

Izoh. Bu va oldingi ta'rifda "chiziqli" so'zi ko'pincha olib tashlanadi va tizim vektorni ifodalaydi yoki vektor tizim vektorlari bilan ifodalanadi va hokazo.

Misol. Mayli
2 balandlikdagi ustunlarning arifmetik haqiqiy vektor fazosining ikkita ustunli tizimidir. Keyin ustun
sistemaning ustunlari bilan chiziqli ifodalanadi yoki berilgan ustunlar tizimi x ustunini chiziqli tarzda ifodalaydi. Haqiqatan ham,

4-modda. Vektor fazodagi chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil vektor sistemalari.

Har qanday vektor bo'yicha nol skayarning ko'paytmasi nol vektor va nol vektorlar yig'indisi nol vektorga teng bo'lganligi sababli, har qanday vektorlar tizimi uchun tenglik

Bundan kelib chiqadiki, null vektor har qanday vektorlar sistemasining vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi yoki boshqacha aytganda, har qanday vektorlar tizimi nol vektorni chiziqli tarzda ifodalaydi.

Misol. Mayli
. Bu holda null ustun tizim ustunlari bo'yicha chiziqli ravishda bir nechta usulda ifodalanishi mumkin:

yoki

Nol vektorni chiziqli tasvirlashning ushbu usullarini farqlash uchun biz quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif. Agar tenglik

va barcha koeffitsientlar , keyin biz tizim deb aytamiz
nol vektorni ahamiyatsiz ifodalaydi. Agar tenglikda (3) koeffitsientlardan kamida bittasi bo'lsa
nolga teng emas, u holda vektorlar sistemasi deymiz
null vektorni notrivial tarzda ifodalaydi.

Oxirgi misoldan biz null vektorni notrivial tarzda ifodalay oladigan vektorlar tizimlari mavjudligini ko'ramiz. Quyidagi misoldan biz null vektorni notrivial tarzda ifodalay olmaydigan vektorlar tizimlari mavjudligini ko'ramiz.

Misol. Mayli
vektor fazodan ikki ustunli sistemadir. Tenglikni ko'rib chiqing:

,

Qayerda
noma'lum koeffitsientlar. Ustunni skaler (raqam) ga ko'paytirish va ustunlarni qo'shish qoidalaridan foydalanib, biz tenglikni olamiz:

.

Matritsa tengligining ta'rifidan kelib chiqadiki
Va
.

Shunday qilib, berilgan tizim null ustunni noan'anaviy tarzda ifodalay olmaydi.

Yuqoridagi misollardan vektor sistemalarning ikki xilligi kelib chiqadi. Ba'zi tizimlar null vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, boshqalari esa yo'q. Yana bir bor e'tibor bering, har qanday vektorlar tizimi nol vektorni ahamiyatsiz tarzda ifodalaydi.

Ta'rif. Nol vektorni FAQAT arzimas tarzda ifodalovchi vektor fazo vektor tizimi chiziqli mustaqil deyiladi.

Ta'rif. Vektor fazoda notrivial bo'lmagan vektorni ifodalay oladigan vektorlar tizimi chiziqli bog'liq deb ataladi.

Oxirgi ta'rif batafsilroq shaklda berilishi mumkin.

Ta'rif. Vektor tizimi
V vektor fazosi, agar K maydonining nolga teng bo'lmagan skalerlar to'plami mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi.

Izoh. Har qanday vektorlar tizimi
null vektorni ahamiyatsiz tarzda ifodalashi mumkin:

Lekin bu berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlash uchun etarli emas. Ta'rifdan kelib chiqadiki, chiziqli mustaqil vektorlar tizimi nol vektorni notrivial tarzda ifodalay olmaydi, faqat arzimas tarzda. Shuning uchun, berilgan vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligini tekshirish uchun ushbu vektorlar tizimining ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi orqali nolning tasvirini ko'rib chiqish kerak:

Agar bu tenglik mumkin bo'lmasa, bu chiziqli birikmaning kamida bitta koeffitsienti nolga teng bo'lmasa, bu tizim, ta'rifiga ko'ra, chiziqli mustaqildir.

Shunday qilib, oldingi paragrafning misollarida ustunlar tizimi
chiziqli mustaqil va ustunlar tizimi
chiziqli bog'liqdir.

Ustunlar tizimining chiziqli mustaqilligi ham xuddi shunday isbotlangan , , ... ,

fazodan , bu yerda K ixtiyoriy maydon, n ixtiyoriy natural son.

Quyidagi teoremalar vektorlar sistemalarining chiziqli bog'liqligi va shunga mos ravishda chiziqli mustaqilligi uchun bir qancha mezonlarni beradi.

Teorema. (Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart.)

Vektor fazodagi vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi, agar tizim vektorlaridan biri ushbu tizimning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Isbot. Zaruriyat. Tizimga ruxsat bering
chiziqli bog'liq. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud:

bu erda bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. Mayli
,
.

Oldingi tenglikning ikkala qismini ushbu nolga teng bo'lmagan koeffitsientga bo'ling (ya'ni, ko'paytiring. :

Belgilang:
, Qayerda.

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalanadi va hokazo.

Adekvatlik. Tizim vektorlaridan biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalansin:

Keling, vektorni harakatlantiramiz bu tenglamaning o'ng tomonida:

Vektordagi koeffitsientdan beri teng
, u holda biz vektorlar tizimi orqali nolning notrivial tasviriga ega bo'lamiz
, ya'ni bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Natija.

1. Vektor fazodagi vektorlar sistemasi, agar sistema vektorlaridan hech biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanmasagina chiziqli mustaqil hisoblanadi.

2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

1) zarurat. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin. Buning aksini faraz qiling va bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalangan tizim vektori mavjud. Keyin, teorema bo'yicha, tizim chiziqli bog'liqdir va biz qarama-qarshilikka erishamiz.

Adekvatlik. Tizim vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmasin. Buning aksini faraz qilaylik. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin, lekin keyin teoremadan kelib chiqadiki, bu tizimning boshqa vektorlari orqali chiziqli ravishda ifodalangan tizim vektori mavjud va biz yana ziddiyatga kelamiz.

2a) sistemada nol vektor bo'lsin. Aniqlik uchun vektor deb faraz qiling
:. Keyin tenglik

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bunday vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq va hokazo.

E'tibor bering, bu haqiqatni to'g'ridan-to'g'ri vektorlarning chiziqli bog'liq sistemasi ta'rifidan isbotlash mumkin.

Chunki
, keyin quyidagi tenglik aniq bo'ladi

Bu nol vektorning ahamiyatsiz bo'lmagan ko'rinishidir, ya'ni tizim
chiziqli bog'liqdir.

2b) sistema ikkita teng vektorga ega bo'lsin. Aniqlik uchun ruxsat bering
. Keyin tenglik

Bular. birinchi vektor bir xil sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, berilgan tizim chiziqli bog'liq va hokazo.

Avvalgisiga o'xshab, bu tasdiqni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq tizimning ta'rifidan ham isbotlash mumkin.

Haqiqatan ham, beri
, keyin tenglik

bular. bizda null vektorning noan'anaviy tasviri mavjud.

Natija isbotlangan.

Teorema (Bir vektorli tizimning chiziqli bog'liqligi to'g'risida.

Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

Zaruriyat. Tizimga ruxsat bering
chiziqli bog'liq, ya'ni. null vektorning ahamiyatsiz bo'lmagan tasviri mavjud

,

Qayerda
Va
. Bu vektor fazoning eng oddiy xossalaridan kelib chiqadi
.

Adekvatlik. Tizim bitta nol vektordan iborat bo'lsin
. Keyin bu tizim nol vektorni notrivial tarzda ifodalaydi

,

sistemaning chiziqli bog'liqligi shundan kelib chiqadi
.

Teorema isbotlangan.

Natija. Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

Isbot o'quvchiga mashq sifatida qoldiriladi.

Vektor (chiziqli) fazo - haqiqiy komponentlarga ega vektorlar (elementlar) to'plami bo'lib, unda vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish amallari aniq aksiomalarni (xususiyatlarni) qanoatlantiradi.

1) x+da=da+X(qo'shishning o'zgaruvchanligi);

2)(X+da)+z=x+(y+z) (qo‘shishning assotsiativligi);

3) nol vektor mavjud 0 (yoki null vektor) shartni qanoatlantiradi x+ 0 =x: har qanday vektor uchun x;

4) har qanday vektor uchun X qarama-qarshi vektor mavjud da shu kabi X+da = 0 ,

5) 1 x=X,

6) a(bx)=(ab)X(ko'paytirishning assotsiativligi);

7) (a+b)X=ah+bx(raqamli omilga nisbatan taqsimlovchi xususiyat);

8) a(X+da)=ah+ay(vektor omiliga nisbatan taqsimlovchi xususiyat).

P maydoni ustidagi chiziqli (vektor) V(P) fazo bo'sh bo'lmagan V to'plamdir. V to'plamning elementlari vektorlar, P maydonining elementlari esa skalerlar deyiladi.

Eng oddiy xususiyatlar.

1. Vektor fazosi Abel guruhi (guruh amali kommutativ boʻlgan guruh. Abel guruhlaridagi guruh amali odatda “qoʻshish” deb ataladi va + belgisi bilan belgilanadi)

2. Neytral element har qanday uchun guruh xususiyatlaridan kelib chiqadigan yagona elementdir.

3. Har qanday qarama-qarshi element uchun guruh xossalaridan kelib chiqadigan yagona element hisoblanadi.

4.(–1) x = – x har qanday x ê V uchun.

5.(–a) x = a(–x) = – (ax) har qanday a ê P va x ê V uchun.

Ifoda a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi e 1 , e 2 ,..., e n koeffitsientlar bilan a 1, a 2,..., a n . Koeffitsientlardan kamida bittasi bo'lsa, chiziqli birikma (1) notrivial deb ataladi a 1 , a 2 ,..., a n noldan farq qiladi. Vektorlar e 1 , e 2 ,..., e n Agar nol vektor bo'lgan notrivial kombinatsiya (1) mavjud bo'lsa, ular chiziqli bog'liq deb ataladi. Aks holda (ya'ni vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi bo'lsa e 1 , e 2 ,..., e n nolga teng vektor) vektorlari e 1 , e 2 ,..., e n chiziqli mustaqil deyiladi.

Bo'shliqning o'lchami - undagi LZ vektorlarining maksimal soni.

vektor maydoni n o'lchovli deb ataladi (yoki "o'lchamga ega n"), o'z ichiga olgan bo'lsa n chiziqli mustaqil elementlar e 1 , e 2 ,..., e n , va har qanday n+ 1 elementlar chiziqli bog'liqdir (umumlashtirilgan shart B). vektor maydoni cheksiz o'lchovli deyiladi, agar unda biron bir tabiiy bo'lsa n mavjud n chiziqli mustaqil vektorlar. Har qanday n n o'lchovli chiziqli mustaqil vektorlar vektor maydoni bu makonning asosini tashkil qiladi. Agar e 1 , e 2 ,..., e n- asos vektor maydoni, keyin har qanday vektor X Ushbu bo'shliqni yagona vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash mumkin: x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
Shu bilan birga, raqamlar a 1 , a 2, ..., a n vektorning koordinatalari deyiladi X shu asosda.

4.3.1 Chiziqli fazoni aniqlash

Mayli ā , , - ba'zi bir to'plamning elementlari ā , , L va λ , μ - haqiqiy raqamlar, λ , μ R..

L to'plami deyiladichiziqli yokivektor maydoni, agar ikkita operatsiya aniqlangan bo'lsa:

1 0 . Qo'shish. Ushbu to'plamning har bir juft elementi bir xil to'plamning elementi bilan bog'langan bo'lib, ularning yig'indisi deb ataladi

ā + =

2°.Raqamga ko'paytirish. Har qanday haqiqiy raqam λ va element ā L bir xil to'plamning elementi tayinlangan λ ā L va quyidagi xususiyatlarga javob beradi:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. mavjud null element
, shu kabi ā +=ā ;

4. mavjud qarama-qarshi element -
shu kabi ā +(-ā )=.

Agar λ , μ - haqiqiy raqamlar, keyin:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Chiziqli fazoning elementlari ā, , ... vektorlar deyiladi.

Mashq qilish. O'zingizga ushbu to'plamlar chiziqli bo'shliqlarni tashkil qilishini ko'rsating:

1) Tekislikdagi geometrik vektorlar to'plami;

2) Uch o‘lchamli fazodagi geometrik vektorlar to‘plami;

3) Bir darajali ko'phadlar to'plami;

4) Bir xil o'lchamdagi matritsalar to'plami.

4.3.2 Chiziqli bog'liq va mustaqil vektorlar. Kosmosning o'lchami va asosi

Chiziqli birikma vektorlar ā 1 , ā 2 , …, ā n Lshaklning bir xil fazosining vektori deyiladi:

,

Qayerda λ i - haqiqiy sonlar.

Vektorlar ā 1 , .. , ā n chaqirdichiziqli mustaqil, agar ularning chiziqli birikmasi nol vektor bo'lsa, agar hammasi l bo'lsa i nolga teng, ya'ni

λ i=0

Agar chiziqli kombinatsiya nol vektor va kamida bitta bo'lsa λ i noldan farq qiladi, keyin bu vektorlar chiziqli bog'liq deb ataladi. Ikkinchisi vektorlardan kamida bittasi boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkinligini anglatadi. Haqiqatan ham, keling va, masalan,
. Keyin,
, Qayerda

.

Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tartiblangan tizimi deyiladi asos bo'sh joy L. Bazis vektorlar soni deyiladi o'lcham bo'sh joy.

Keling, bor deb faraz qilaylik n chiziqli mustaqil vektorlar, keyin fazo deyiladi n- o'lchovli. Boshqa fazo vektorlari chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin n bazis vektorlari. asos bo'yicha n- o'lchovli bo'shliqni olish mumkin har qanday n bu fazoning chiziqli mustaqil vektorlari.

17-misol. Berilgan chiziqli boʻshliqlarning asosini va oʻlchamini toping:

a) bir chiziqda yotgan vektorlar to'plami (ba'zi bir chiziqqa to'g'ri keladigan)

b) tekislikka tegishli vektorlar to'plami

v) uch o'lchamli fazo vektorlari to'plami

d) ko'pi bilan ikki darajali ko'phadlar to'plami.

Yechim.

A) Bir chiziqda yotgan har qanday ikkita vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlar kollineardir
, Bu
, λ - skaler. Shuning uchun bu fazoning asosi noldan boshqa faqat bitta (har qanday) vektor hisoblanadi.

Odatda bu bo'shliq R, uning o'lchami 1.

b) har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor
chiziqli mustaqil va tekislikdagi har qanday uchta vektor chiziqli bog'liqdir. Har qanday vektor uchun , raqamlar mavjud  Va  shu kabi
. Bo'shliq ikki o'lchovli deb ataladi, belgilanadi R 2 .

Ikki o'lchovli fazoning asosini har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor tashkil qiladi.

V) Har qanday uchta tekis bo'lmagan vektor chiziqli mustaqil bo'ladi, ular uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi. R 3 .

G) Ko'pi bilan ikkita darajali polinomlar fazosi uchun asos sifatida quyidagi uchta vektorni tanlash mumkin: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 - ko'phad, bir xilda teng). Bu bo'shliq uch o'lchovli bo'ladi.