Основание прямой призмы формула. Призма. Примеры задач с решениями
Инструкция
Многоугольник, лежащий в основании , может быть правильным, то есть таким, все стороны которого равны, и неправильным. Если в основании призмы лежит правильный , то вычислить его площадь можно по формуле S=1/2P*r, где S - это площадь , P - это многоугольника (сумма длин всех его сторон), а r - радиус окружности, вписанной в многоугольник.
Наглядно представить себе радиус вписанной в правильный многоугольник окружности можно, разделив многоугольник на равные . Высота, проведенная из вершины каждого треугольника к стороне многоугольника, являющейся основанием треугольника, и будет радиусом вписанной окружности.
Если же многоугольник неправильный, то для вычисления площади призмы необходимо разбить его на треугольники и отдельно находить площадь каждого треугольника. Площади треугольников находим по формуле S=1/2bh, где S - это площадь треугольника, b - его сторона, а h - высота, проведенная к стороне b. После того, как вы вычислили площади всех треугольников, составляющих многоугольник, просто суммируйте эти площади, чтобы получить общую площадь основания призмы.
Видео по теме
Источники:
- площадь призмы
В геометрии параллелепипед - трехмерное число, сформированное шестью параллелограммами (термин ромбоид также иногда используется с этим значением).
Инструкция
В Евклидовой геометрии его охватывает все четыре понятия (то есть, параллелепипед, параллелограмм, куб, и квадрат). В этом контексте геометрии, в которой не дифференцированы углы, его определение допускает только параллелограмм и параллелепипед. Три эквивалентных определения :
* многогранник с шестью гранями (), каждый из которых является параллелограммом,
* шестигранник с тремя парами параллельных граней,
* призма, которой - параллелограмм.
Объем параллелепипеда – совокупность величин его основы - A и его высоты - H. Основа - одна из шести граней параллелепипеда. Высота - перпендикулярное расстояние между основой и противоположной стороной.
Альтернативный метод определения объема параллелепипеда осуществляется с помощью его векторов = (А1, А2, А3), b = (B1, B2, B3). Объем параллелепипеда, следовательно, равняется абсолютной величине трех значений - a (b × c):
A = |b | |c | степень погрешности при этом θ = |b × c |,
где θ - угол между b и c, и высота
H = |a |, потому что α,
где α - внутренний угол между a и h.
Видео по теме
Форму параллелепипеда имеют многие реальные объекты. Примерами являются комната и бассейн. Детали, имеющие такую форму - не редкость и в промышленности. По этой причине нередко возникает задача нахождения объема данной фигуры.
Инструкция
Параллелепипед представляет собой призму, основанием которой является параллелограмм. У параллелепипеда имеются грани - все плоскости, формирующие данную фигуру. Всего у него шесть граней, причем, все они являются параллелограммами. Его противоположные грани между собой равны и параллельны. Кроме того, он имеет диагонали, которые пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.
Параллелепипед двух видов. У первого все грани являются параллелограммами, а у второго - прямоугольниками. Последний из них называется прямоугольным параллелепипедом. У него все грани прямоугольные, а боковые грани перпендикулярны к основанию. Если прямоугольный имеет грани, которых - квадраты, то он называется кубом. В этом случае, его грани и . Ребром называется сторона любого многогранника, к числу которых относится и параллелепипед.
Для того, чтобы условиях задачи. У обыкновенного параллелепипеда в основании находится параллелограмм, а у прямоугольного - прямоугольник или квадрат, у которого всегда углы прямые. Если в основании параллелепипеда лежит параллелограмм, то его объем находится следующим образом:
V=S*H, где S - площадь основания, H -высота параллелепипеда
Высотой параллелепипеда обычно выступает его боковое ребро. В основании параллелепипеда может лежать и параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Из курса планиметрии известно, что площадь параллелограмма равна:
S=a*h, где h - высота параллелограмма, a - длина основания, т.е. :
V=a*hp*H
Если имеет место второй случай, когда основание параллелепипеда - прямоугольник, то объем вычисляется по той же формуле, но площадь основания находится несколько иным образом:
V=S*H,
S=a*b, где a и b - соответственно, стороны прямоугольника и ребра параллелепипеда.
V=a*b*H
Для нахождения объема куба следует руководствоваться простыми логическими способами. Поскольку все грани и ребра куба равны, а в основании куба - квадрат, руководствуясь формулами, указанными выше, можно вывести следующую формулу:
V=a^3
Параллелепипед в геометрии – это трехмерное число, которое сформировано шестью параллелограммами. Форму параллелепипеда можно встретить везде, ее имеет большинство современных объектов. Так, к примеру, гостиницы и жилые дома, комнаты и бассейны и т.д. Обладают такой формой и многие промышленные детали, именно поэтому часто возникает задача нахождения объема данной фигуры.
Инструкция
Однако и второй вид параллелепипедов, в котором все грани прямоугольные, а боковые расположены перпендикулярно к основанию. Такой параллелепипед называется прямоугольным. Следует знать, что противоположные стороны параллелепипеда равны между собой, а также эта фигура имеет диагонали, пересекающиеся в одной точке, которая делит их пополам.
Определитесь, объем, какого параллелепипеда (обыкновенного или прямоугольного) вам следует узнать.
Если параллелепипед обыкновенный (в основании лежит параллелограмм). Узнайте площадь основания и высоту своей фигуры. Вычислите объем параллелепипеда по правило, высотой параллелепипеда выступает боковое ребро фигуры.
Кроме указанного способа, узнать объем параллелепипеда можно и следующим образом. Узнайте площадь. Для этого произведите вычисления по указанной ниже формуле S=a*h, где h в такой формуле – высота фигуры, а – длина основания параллелограмма.
Найдите объем параллелепипеда по формуле V=a*hp*H, где р в формуле – периметр основания фигуры. Если вам в задаче дан прямоугольный параллелепипед, то объем вы можете найти по такой же формуле: V=S*H.
Однако площадь основания фигуры будет находиться следующим образом: S=a*b, где a и b в формуле – это стороны прямоугольника и соответственно ребра параллелепипеда. Найдите объем фигуры по формуле V=a*b*H.
Видео по теме
Совет 5: Как найти объем параллелепипеда через основание
Под параллелепипедом имеется ввиду объемная геометрическая фигура, многогранник, основанием и боковыми гранями которого являются параллелограммы. Основание параллелепипеда - это тот четырехугольник, на котором этот многогранник визуально "лежит". Найти объем параллелепипеда через его основание очень легко.
Инструкция
Как было сказано выше, основанием параллелепипеда . Для того, чтобы найти параллелепипеда, необходимо выяснить площадь того параллелограмма, который лежит в основании. Для это, в зависимости от данных, несколько формул:
S = a*h, где а - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне;м
S = a*b*sinα, где, a и b - стороны параллелограмма, α - угол между данными сторонами.
Пример 1: Дан параллелограмм, у которого одна из сторон 15 см, длина высоты, проведенной к данной стороне, 10 см. Тогда, чтобы найти площадь данной фигуры на плоскости, применяется первая из двух указанных выше формул:
S = 10*15 = 150 см²
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 150 см²
Теперь, разобравшись с тем, как находить площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема параллелепипеда. можно найти по формуле:
V = S*h, где h - высота данного параллелепипеда, S - площадь его основания, нахождение которой было рассмотрено выше.
Можно рассмотреть пример, который бы включал решенную выше задачу:
Площадь основания параллелограмма 150 см², его высота, допустим, 40 см, требуется найти объем данного параллелепипеда. Решается эта задача при помощи данной выше формулы:
V = 150*40 = 6000 см³
Одной из разновидностей параллелепипеда является прямоугольный параллелепипед, у которого боковые грани и основание являются прямоугольниками. У этой фигуры найти объем еще проще, чем у обычного прямого параллелепипеда, нахождение объема которого было рассмотрено выше:
V = a*b*c, где a, b, c, - это длина, ширина и высота данного параллелепипеда.
Пример: У прямоугольного параллелепипеда длина и ширина основания составляют 12 см и 14 см, длина боковой грани (высоты) 14 см, требуется вычислить объем фигуры. Решается задача таким вот образом:
V = 12*14*14 = 2352 см³
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 2352 см³
Параллелепипед - это призма (многогранник), в основании которой лежит параллелограмм. У параллелепипеда - шесть граней, тоже параллелограммы. Различают несколько типов параллелепипеда: прямоугольный, прямой, наклонный и куб.
Инструкция
Прямым параллелепипед, у которого четыре боковые грани - прямоугольники. Для вычисления нужно площадь основания умножить на высоту - V=Sh. Предположим, основание прямого - параллелограмм. Тогда площадь основания будет равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне - S=aс. Тогда V=ach.
Прямоугольным называется прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники. Примеры: , спичечная коробка. Для нужно площадь основания умножить на высоту - V=Sh. Площадь основания в данном случае - это площадь прямоугольника, то есть произведение величин двух его сторон - S=ab, где a - ширина, b - длина. Итак, получаем искомый объем - V=abh.
Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания боковой грани (то есть высота любой боковой грани).
Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются квадратами. Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в квадрате. Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью степень - V=a³.
Обратите внимание
Основания параллелепипеда всегда параллельны друг другу, это следует из определения призмы.
Полезный совет
Измерения параллелепипеда - это длины его ребер.
Объем всегда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.
Объем наклонного параллелепипеда может быть вычислен, как произведение величины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.
Параллелепипед - это частный случай призмы. Его отличительная особенность заключается в четырехугольной форме всех граней, а также в параллельности каждой пары стоящих друг напротив друга плоскостей. Существует общая формула для вычисления объема, заключенного внутри этой фигуры, а также несколько ее упрощенных вариантов для частных случаев такого шестигранника.
Инструкция
Начните с вычисления площади основания (S) параллелепипеда. Противоположные стороны четырехугольника, образующего эту плоскость объемной фигуры, по определению должны быть параллельны, а угол между ними может быть любым. Поэтому площадь грани определите умножением длин ее двух смежных ребер (a и b) на угла (?) между ними: S=a*b*sin(?).
Умножьте полученное значение на длину ребра параллелепипеда (с), образующего общий трехмерный угол со сторонами a и b. Так как боковая грань, которой принадлежит это ребро, по определению не обязательно должна быть перпендикулярна параллелепипеда, то рассчитанное значение умножьте еще и на синус угла наклона (?) боковой грани: V=S*c*sin(?). В общем виде формулу вычисления произвольного параллелепипеда можно записать так: V=a*b*c*sin(?)*sin(?). Например, пусть в основании параллелепипеда лежит грань, ребра которой имеют длины 15 и 25 и угол между ними в 30°, а боковые грани наклонены на 40° и имеют ребро, длиной в 20см. Тогда этой фигуры будет равен 15*25*20*sin(30°)*sin(40°) ? 7500*0,5*0,643 ? 2411,25см?.
Если нужно вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, то формулу можно значительно упростить. В силу того, что синус 90° равен единице, поправки на углы можно убрать из формулы, а значит, будет достаточно перемножить длины трех смежных ребер параллелепипеда: V=a*b*c. Например, для фигуры с длинами ребер, использованными в примере на предыдущем шаге, объем составит 15*25*20 = 7500см?.
Еще более проста формула для вычисления объема куба - прямоугольного параллелепипеда, все ребра которого имеют одинаковую длину. Возведите длину этого ребра (a) в куб, чтобы получить искомое значение: V=a?. Например, у прямоугольного параллелепипеда, длины всех ребер которого равны 15см, объем будет равен 153=3375см?.
Видео по теме
Прямоугольный параллелепипед - это призма, все грани которой образованы прямоугольниками. Противоположные грани его равны и параллельны, а углы, образованные пересечением двух граней, являются прямыми. Найти объем прямоугольного параллелепипеда очень просто.
Вам понадобится
- Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.
Инструкция
Прежде всего надо отметить, что грани, образующие данный тип , являются прямоугольниками. Его площадь находится путем перемножения друг на друга пары его сторон. Говоря иначе, пусть a - длина прямоугольника, а b - его ширина. Тогда площадь его будет рассчитана как a*b.
Исходя из становится очевидным, что все противоположные грани равны друг другу. Это касается и основания - грани, на которую фигура "упирается".
Высота прямоугольного параллелепипеда - это длина бокового параллелепипеда. Высота остается величиной постоянной, это ясно из определения прямоугольного параллелепипеда. Теперь для того, чтобы помощи формулы это можно выразить так:
V = a*b*c = S*c, где c - высота.
При всей простоте исчисления, надо рассмотреть пример:
Допустим, дан прямоугольный параллелепипед, у которого длина и ширина основания 9 и 7 см, а высота составляет 17 см, требуется найти объем фигуры. Первым делом необходимо выяснить площадь основания данного параллелепипеда: 9*7 = 63 кв.см
Далее вычисленное значение умножается на высоту: 63*17 = 1071 куб.см
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда составляет 1071 куб.см
Видео по теме
Обратите внимание
Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда носят название параметров. Если в прямоугольном параллелепипеде все параметры равны между собой, то фигура будет являться кубом. Исходя из определения, в кубе каждая грань является квадратом. Поэтому объем такого параллелепипеда определяется путем возведения значения грани в третью степень:
S = a³
Определение 1. Призматическая поверхность
Теорема 1. О параллельных сечениях призматической поверхности
Определение 2. Перпендикулярное сечение призматической поверхности
Определение 3. Призма
Определение 4. Высота призмы
Определение 5. Прямая призма
Теорема 2. Площадь боковой поверхности призмы
Параллелепипед :
Определение 6. Параллелепипед
Теорема 3. О пересечении диагоналях параллелепипеда
Определение 7. Прямой параллелепипед
Определение 8. Прямоугольный параллелепипед
Определение 9. Измерения параллелепипеда
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоэдр
Теорема 4. О диагоналях прямоугольного параллелепипеда
Теорема 5. Объем призмы
Теорема 6. Объем прямой призмы
Теорема 7. Объем прямоугольного параллелепипеда
Призмой
называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Грани, отличные от оснований, называются боковыми
.
Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы
, концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами
называются ребра, не принадлежащие основаниям. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы
, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Высотой призмы
называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания или длина этого перпендикуляра.
Прямой призмой
называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Правильной
называется прямая призма (Рис.3), в основании которой лежит правильный многоугольник.
Обозначения:
l - боковое ребро;
P - периметр основания;
S o - площадь основания;
H - высота;
P ^
- периметр перпендикулярного сечения;
S б - площадь боковой поверхности;
V - объем;
S п - площадь полной поверхности призмы.
|
V = SH |
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую
Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление.
Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками.
Определение 3
. Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основаниями призмы
; грани, принадлежащие призматической поверхности, - боковыми гранями
; рёбра призматической поверхности - боковыми рёбрами призмы
. В силу предыдущей теоремы, основания призмы - равные многоугольники
. Все боковые грани призмы - параллелограммы
; все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE и одно из рёбер АА" по величине и по направлению, то можно построить призму, проводя рёбра ВВ", СС", .., равные и параллельные ребру АА".
Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH").
Определение 5
. Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности.
В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро
; боковые грани будут прямоугольниками
.
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, равному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д.
Теорема 2
. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA"B"C"D"E" - данная призма и abcde - её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, bc, .. перпендикулярны к её боковым ребрам. Грань АВА"В" является параллелограммом; его площадь равна произведению основания АА" на высоту, которая совпадает с аb; площадь грани ВСВ"С" равна произведению основания ВВ" на высоту bc и т. д. Следовательно, боковая поверхность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА", ВВ", .., на сумму ab+bc+cd+de+еа.
В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).
Как выглядит призма
Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.
Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:
Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.
Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.
Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Площадь поверхности и объём
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
V = Sосн·h
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
V = a²·h
Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:
Sбок = Pосн·h
С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:
Sбок = 4a·h
Для куба:
Sбок = 4a²
Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:
Sполн = 4a·h + 2a²
Для площади поверхности куба:
Sполн = 6a²
Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.
Нахождение элементов призмы
Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
- длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
- длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
- площадь основания: Sосн = V / h;
- площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.
Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2.
Из этого следует:
Sдиаг = ah√2
Для вычисления диагонали призмы используется формула:
dприз = √(2a² + h²)
Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.
Примеры задач с решениями
Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.
Задание 1.
В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?
Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:
V₁ = ha² = 10a²
Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:
10a² = 4ha²
После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:
В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.
Задание 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.
Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.
Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.
Длина любого ребра определяется через известную диагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:
Sполн = 6a² = 6·6² = 216
Задание 3.
В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?
Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.
Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.
Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .
Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.
Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.
Как найти площадь куба
Общие сведения о прямой призме
Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма
площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
где a 1 ,а n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана.
Практическое задание
Задача (22) . В наклонной призме проведено сечение , перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.
Обобщение пройденной темы
А теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма.
Свойства призмы
Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками;
Во-вторых, у призмы все ее боковые грани являются параллелограммами;
В-третьих, у такой многогранной фигуры, как призма, все боковые ребра равны;
Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными.
Какая призма называется прямой?
Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой.
Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.
Какую призму называют наклонной?
А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма.
Какую призму называют правильной?
Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной.
Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма.
Свойства правильной призмы
Во-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники;
Во-вторых, если рассматривать у правильной призмы боковые грани, то они всегда бывают равными прямоугольниками;
В-третьих, если сравнивать размеры боковых ребер, то в правильной призме они всегда равны.
В-четвертых, правильная призма всегда прямая;
В-пятых, если же в правильной призмы боковые грани имеют форму квадратов, то такую фигуру, как правило, называют полуправильным многоугольником.
Сечение призмы
А теперь давайте рассмотрим сечение призмы:
Домашнее задание
А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.
Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.
А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.
У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы.
Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма.
Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Площадь боковой поверхности призмы. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами разберём группу задач по стереометрии. Рассмотрим комбинацию тел – призмы и цилиндра. На данный момент эта статья завершает всю серию статей связанных с рассмотрением типов заданий по стереометрии.
Если в банке заданий будут появляться новые, то, конечно же, будут и дополнения на блоге в будущем. Но и того что уже есть вполне достаточно, чтобы вы могли научиться решать все задачи с кратким ответом в составе экзамена. Материала хватит на годы вперёд (программа по математике статична).
Представленные задания связаны с вычислением площади призмы. Отмечу, что ниже рассматривается прямая призма (и соответственно прямой цилиндр).
Без знания всяких формул, мы понимаем, что боковая поверхность призмы это все её боковые грани. У прямой призмы боковые грани это прямоугольники.
Площадь боковой поверхности такой призмы равна сумме площадей всех её боковых граней (то есть прямоугольников). Если речь идёт о правильной призме, в которую вписан цилиндр, то понятно, что все грани этой призмы являются РАВНЫМИ прямоугольниками.
Формально площадь боковой поверхности правильной призмы можно отразить так:
27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Боковая поверхность данной призмы состоит из четырёх равных по площади прямоугольников. Высота грани равна 1, ребро основания призмы равно 2 (это два радиуса цилиндра), следовательно площадь боковой грани равна:
Площадь боковой поверхности:
73023. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √0,12, а высота равна 3.
Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей трёх боковых граней (прямоугольников). Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота равна трём. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):
Имеем правильный треугольник в который вписана окружность с радиусом √0,12. Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. А затем и AD (AD=2АС). По определению тангенса:
Значит AD=2АС=1,2.Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √75, а высота равна 1.
Искомая площадь равна сумме площадей всех боковых граней. У правильной шестиугольной призмы боковые грани это равные прямоугольники.
Для нахождения площади грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота известна, она равна 1.
Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):
Имеем правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса √75.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Нам известен катет ОВ (это радиус цилиндра). ещё можем определить угол АОВ, он равен 300 (треугольник АОС равносторонний, ОВ –биссектриса).
Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике:
АС=2АВ, так как ОВ является медианой, то есть делит АС пополам, значит АС=10.
Таким образом, площадь боковой грани равна 1∙10=10 и площадь боковой поверхности:
76485. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 8√3, а высота равна 6.
Площадь боковой поверхности указанной призмы из трёх равных по площади граней (прямоугольников). Чтобы найти площадь требуется знать длину ребра основания призмы (высота нам известна). Если рассматривать проекцию (вид сверху), то имеем правильный треугольник вписанный в окружность. Сторона этого треугольника выражается через радиус как:
Подробности этой взаимосвязи . Значит она будет равна
Тогда площадь боковой грани равна: 24∙6=144. А искомая площадь:
245354. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
