الخصائص المبعثرة

من خصائص الموضع - التوقع الرياضي ، الوسيط ، الوضع - دعنا ننتقل إلى خصائص انتشار المتغير العشوائي x.تشتت د (X)= أ 2 ، الانحراف المعياري أ ومعامل الاختلاف ت. تم النظر في تعريف وخصائص التباين للمتغيرات العشوائية المنفصلة في الفصل السابق. للمتغيرات العشوائية المستمرة

الانحراف المعياري هو القيمة غير السالبة للجذر التربيعي للتباين:

معامل الاختلاف هو نسبة الانحراف المعياري إلى التوقع الرياضي:

معامل الاختلاف - يطبق متى م (X)> O - يقيس الانتشار بالوحدات النسبية ، بينما الانحراف المعياري - بشكل مطلق.

مثال 6. لمتغير عشوائي موزع بشكل منتظم Xأوجد التباين والانحراف المعياري ومعامل الاختلاف. التشتت هو:

استبدال متغير يجعل من الممكن كتابة:

أين مع = و - aU2.

لذلك ، فإن الانحراف المعياري هو ومعامل الاختلاف هو:

تحولات القيم العشوائية

لكل متغير عشوائي Xتحديد ثلاث كميات أخرى - تتمحور نعم ،تطبيع الخامسومعطى يو.متغير عشوائي مركزي صهو الفرق بين المتغير العشوائي المحدد Xوتوقعاتها الرياضية م (X) ،أولئك. ص = س - م (X).التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مركزي صيساوي 0 ، والتباين هو تباين المتغير العشوائي المحدد:

دالة التوزيع السنة المالية (x)متغير عشوائي متمركز صالمتعلقة بوظيفة التوزيع F (x) من المتغير العشوائي الأصلي Xنسبة:

لكثافة هذه المتغيرات العشوائية ، المساواة

متغير عشوائي طبيعي الخامسهي نسبة المتغير العشوائي المحدد Xلانحرافها المعياري أ ، أي V = XIo.التوقع والتباين الرياضي لمتغير عشوائي معياري الخامسمعبرا عنها من خلال الخصائص Xلذا:

حيث v هو معامل الاختلاف للمتغير العشوائي الأصلي x.لوظيفة التوزيع Fv (x)والكثافة fv (x)متغير عشوائي طبيعي الخامسلدينا:

أين و (س)- دالة توزيع المتغير العشوائي الأصلي العاشر ؛ يصلح)هي كثافة احتماله.

تقليل المتغير العشوائي يوهو متغير عشوائي مركزي وموحد:

لمتغير عشوائي مختزل

يتم استخدام المتغيرات العشوائية المعيارية والمركزة والمخفضة باستمرار في كل من البحث النظري والخوارزميات ومنتجات البرمجيات والتوثيق التنظيمي والتقني والتعليمي والمنهجي. على وجه الخصوص ، لأن المساواة م (يو) = 0, D (lf) = 1 يجعل من الممكن تبسيط إثبات الطرق وصيغ النظريات وصيغ الحساب.

يتم استخدام تحويلات المتغيرات العشوائية وخطة أكثر عمومية. لذا ، إذا كان U = أكس + ب،أين أو بهي بعض الأرقام ، إذن

مثال 7. إذا أ= 1 / G ، ب = -M (X) / G ،ثم Y هو متغير عشوائي مختزل ، ويتم تحويل الصيغ (8) إلى صيغ (7).

مع كل متغير عشوائي Xمن الممكن توصيل مجموعة المتغيرات العشوائية Y المعطاة بالصيغة Y = أوه + بفي مختلف أ> 0 و ب.هذه المجموعة تسمى عائلة مقياس القص ،تم إنشاؤها بواسطة متغير عشوائي x.وظائف التوزيع السنة المالية (x) تشكل عائلة توزيعات تدريجية ناتجة عن دالة التوزيع و (خ).بدلا من ص = أكس + بكثيرا ما يستخدم الترميز

عدد معيسمى معامل التحول ، والرقم د- معلمة المقياس. الصيغة (9) توضح ذلك X- نتيجة قياس قيمة معينة - يذهب إلى K - نتيجة قياس نفس القيمة ، إذا انتقلت بداية القياس إلى نقطة مع،ثم استخدم وحدة القياس الجديدة ، في دمرات أكبر من القديم.

بالنسبة لعائلة تغيير الحجم (9) ، التوزيع Xيسمى المعيار. في طرق صنع القرار الإحصائي الاحتمالي وغيرها من الأبحاث التطبيقية ، يتم استخدام التوزيع الطبيعي القياسي ، وتوزيع Weibull-Gnedenko القياسي ، وتوزيع جاما القياسي.

التوزيع ، وما إلى ذلك (انظر أدناه).

كما يتم استخدام تحويلات أخرى للمتغيرات العشوائية. على سبيل المثال ، لمتغير عشوائي موجب Xيعتبر ص = IgX ،أين IgX- اللوغاريتم العشري لرقم x.سلسلة المساواة

يتعلق بوظائف التوزيع Xو ص.

أعلاه تعرفنا على قوانين توزيع المتغيرات العشوائية. يصف كل قانون توزيع بشكل شامل خصائص احتمالات المتغير العشوائي ويجعل من الممكن حساب احتمالات أي أحداث مرتبطة بمتغير عشوائي. ومع ذلك ، في العديد من أسئلة الممارسة ليست هناك حاجة لمثل هذا الوصف الكامل وغالبًا ما يكون كافياً للإشارة فقط إلى المعلمات الرقمية الفردية التي تميز السمات الأساسية للتوزيع. على سبيل المثال ، المتوسط ​​، الذي تنتشر حوله قيم المتغير العشوائي ، هو عدد ما يميز حجم هذا الانتشار. تهدف هذه الأرقام إلى التعبير بشكل موجز عن أهم ميزات التوزيع ، ويتم استدعاؤها الخصائص العددية لمتغير عشوائي.

من بين الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية ، أولاً وقبل كل شيء ، يأخذون في الاعتبار الخصائص التي تحدد موضع متغير عشوائي على محور الأرقام ، أي قيمة متوسطة لمتغير عشوائي يتم تجميع قيمه المحتملة حولها. من خصائص الموقف في نظرية الاحتمالات ، يلعب الدور الأكبر القيمة المتوقعة، والتي تسمى أحيانًا ببساطة القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي.

لنفترض أن SW ؟، تأخذ القيم x (، x 2 ، ... ، x pمع الاحتمالات صي ص 2 ، ... ذ Ptvأولئك. من خلال سلسلة التوزيع

من الممكن أن القيمة في هذه التجارب x xملاحظ ن(مرات ، قيمة × 2 - ن 2مرات ، ... ، القيمة x n - N nذات مرة. في نفس الوقت + العدد 2 +... + N ن = ن.

المتوسط ​​الحسابي لنتائج المراقبة

إذا نكبير ، أي ن- "اوه وبعد ذلك

وصف مركز التوزيع. يُطلق على متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي الذي يتم الحصول عليه بهذه الطريقة التوقع الرياضي. دعونا نعطي صياغة لفظية للتعريف.

التعريف 3.8. توقع رياضي (MO) المنفصل SV٪ هو رقم يساوي مجموع منتجات جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم (الرمز M ؛):

الآن ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها عدد القيم المحتملة للسيرة الذاتية المنفصلة؟ لدينا RR

تظل معادلة التوقع الرياضي كما هي ، فقط في الحد الأعلى للمبلغ صيتم استبداله بـ oo ، أي

في هذه الحالة ، حصلنا بالفعل على سلسلة قد تتباعد ، أي السيرة الذاتية المقابلة ^ قد لا يكون لها توقع رياضي.

مثال 3.8. CB؟ ، معطاة من خلال سلسلة التوزيع

لنجد MO لهذا SW.

المحلول.حسب التعريف. أولئك. جبل ،غير موجود.

وبالتالي ، في حالة وجود عدد قابل للعد من قيم SW ، نحصل على التعريف التالي.

التعريف 3.9. توقع رياضيأو متوسط ​​القيمة ، SW منفصلة ،وجود عدد قابل للعد من القيم ، يسمى عددًا مساويًا لمجموع سلسلة من المنتجات من جميع قيمها المحتملة والاحتمالات المقابلة ، بشرط أن تتقارب هذه السلسلة تمامًا ، أي

إذا تباعدت هذه السلسلة أو تقاربت بشكل مشروط ، فإننا نقول إن السيرة الذاتية ^ ليس لها توقعات رياضية.

دعونا ننتقل من SW المنفصل إلى المستمر مع الكثافة ص (خ).

التعريف 3.10. توقع رياضيأو متوسط ​​القيمة ، مستمر SWيسمى عدد يساوي

بشرط أن يتقارب هذا التكامل تمامًا.

إذا كان هذا التكامل يتباعد أو يتقارب بشكل مشروط ، فإنهم يقولون أن CB المستمر ليس له توقع رياضي.

ملاحظة 3.8.إذا كانت جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي J ؛

تنتمي فقط إلى الفترة الزمنية ( أ; ب)ومن بعد

التوقع الرياضي ليس خاصية الموقع الوحيدة المستخدمة في نظرية الاحتمالات. في بعض الأحيان يتم استخدام مثل الوضع والوسيط.

التعريف 3.11. موضة CB ^ (التعيين موت ،)تسمى قيمته الأكثر احتمالا ، أي واحد الذي الاحتمال بيأو كثافة الاحتمال ص (خ)تصل إلى أعلى قيمة لها.

التعريف 3.12. الوسيط SV ؟، (تعيين التقى)يسمى هذه القيمة التي ف (ر>التقى) = P (؟> التقى) = 1/2.

هندسيًا ، بالنسبة إلى SW المستمر ، يكون الوسيط هو حدود تلك النقطة على المحور أوه،حيث تكون المناطق الموجودة على اليسار واليمين متساوية وتساوي 1/2.

مثال 3.9. جنوب غربرلديه رقم توزيع

لنجد التوقع الرياضي والوضع والمتوسط ​​في SW

المحلول. ميغا بايت ،= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6. L / س؟ = 2. أنا (؟) غير موجود.

مثال 3.10. المستمر CB٪ لديه كثافة

لنجد التوقع الرياضي والوسيط والوضع.

المحلول.

ص (خ)يصل إلى الحد الأقصى ، ثم من الواضح أن الوسيط متساوٍ أيضًا ، لأن المساحات على الجانبين الأيمن والأيسر من الخط المار بالنقطة متساوية.

بالإضافة إلى خصائص الموضع في نظرية الاحتمال ، يتم أيضًا استخدام عدد من الخصائص العددية لأغراض مختلفة. من بينها ، اللحظات - الأولية والمركزية - لها أهمية خاصة.

التعريف 3.13. اللحظة الأولى من الرتبة k SW ؟، يسمى التوقع الرياضي ك الدرجة هذه القيمة: = م (ر> ك).

ويتبع ذلك من تعريفات التوقع الرياضي للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة

ملاحظة 3.9.من الواضح أن اللحظة الأولى من الترتيب الأول هي التوقع الرياضي.

قبل تحديد اللحظة المركزية ، نقدم مفهومًا جديدًا لمتغير عشوائي مركزي.

التعريف 3.14. توسيط CV هو انحراف متغير عشوائي عن توقعه الرياضي ، أي

من السهل التحقق من ذلك

من الواضح أن توسيط متغير عشوائي يعادل نقل الأصل إلى النقطة M ؛. يتم استدعاء لحظات المتغير العشوائي المتمركز لحظات مركزية.

التعريف 3.15. اللحظة المركزية من الرتبة k يسمى SW٪ التوقع الرياضي ك الدرجات متغير عشوائي مركزي:

ويترتب على تعريف التوقع الرياضي أن

من الواضح ، بالنسبة لأي متغير عشوائي ، فإن اللحظة المركزية من الترتيب الأول تساوي صفرًا: مع x= م (؟ 0) = 0.

تعتبر النقطة المركزية الثانية ذات أهمية خاصة للممارسة من 2.إنه يسمى التشتت.

التعريف 3.16. تشتت CB ؟، يسمى التوقع الرياضي لمربع القيمة المركزية المقابلة (التدوين د؟)

لحساب التباين ، يمكن الحصول على الصيغ التالية مباشرة من التعريف:

صيغة التحويل (3.4) ، يمكننا الحصول على الصيغة التالية للحساب م.

تشتت SW هو خاصية مميزة تشتت، انتشار قيم متغير عشوائي حول توقعاته الرياضية.

يحتوي التباين على أبعاد مربع المتغير العشوائي ، وهذا ليس مناسبًا دائمًا. لذلك ، من أجل الوضوح ، كخاصية للتشتت ، من الملائم استخدام رقم يتطابق بعده مع بُعد المتغير العشوائي. للقيام بذلك ، خذ الجذر التربيعي للتشتت. تسمى القيمة الناتجة الانحراف المعياريمتغير عشوائي. سنشير إليه على أنه: a = l / w.

بالنسبة لـ CB ؟، غير السالب ، يتم استخدامه أحيانًا كسمة معامل الاختلاف، تساوي نسبة الانحراف المعياري إلى التوقع الرياضي:

بمعرفة التوقع الرياضي والانحراف المعياري لمتغير عشوائي ، يمكنك الحصول على فكرة تقريبية عن نطاق قيمه المحتملة. في كثير من الحالات ، يمكننا أن نفترض أن قيم المتغير العشوائي٪ تتجاوز الفاصل الزمني M في بعض الأحيان ؛ ± ل. تسمى هذه القاعدة للتوزيع الطبيعي ، والتي سنبررها لاحقًا ثلاثة حكم سيجما.

التوقع والتباين الرياضي هما أكثر الخصائص الرقمية استخدامًا للمتغير العشوائي. من تعريف التوقع الرياضي والتباين ، تتبع بعض الخصائص البسيطة والواضحة إلى حد ما لهذه الخصائص العددية.

الكائنات الاوليهخصائص التوقع الرياضي والتشتت.

1. التوقع الرياضي لمتغير غير عشوائي معيساوي قيمة ج: م (ق) = ق.

في الواقع ، منذ القيمة معتأخذ قيمة واحدة فقط مع احتمال 1 ، ثم М (с) = مع 1 = ق.

2. تباين المتغير غير العشوائي c يساوي صفرًا ، أي د (ج) = 0.

هل حقا، تيار مستمر \ u003d M (s - Ms) 2 \ u003d M (s- ج) 2 = م ( 0) = 0.

3. يمكن إخراج المضاعف غير العشوائي من علامة التوقع: م (ج ^) = جم (؟ ،).

دعونا نظهر صلاحية هذه الخاصية في مثال عربة سكن متنقلة منفصلة.

دع RV تعطى من خلال سلسلة التوزيع

ثم

لذلك،

تم إثبات الخاصية بالمثل لمتغير عشوائي مستمر.

4. يمكن إخراج المضاعف غير العشوائي من علامة التباين التربيعية:

كلما عُرفت المزيد من لحظات المتغير العشوائي ، كانت لدينا فكرة أكثر تفصيلاً عن قانون التوزيع.

في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها ، يتم استخدام خاصيتين رقميتين إضافيتين لمتغير عشوائي ، بناءً على اللحظات المركزية للأمرين الثالث والرابع ، أو معامل عدم التناسق ، أو م س.

للمتغيرات العشوائية المنفصلة القيمة المتوقعة :

مجموع قيم القيمة المقابلة باحتمالية المتغيرات العشوائية.

موضة (Mod) لمتغير عشوائي X يسمى قيمته الأكثر احتمالا.

لمتغير عشوائي منفصل. لمتغير عشوائي مستمر.

التوزيع الأحادي

توزيع متعدد الوسائط

بشكل عام ، Mod و القيمة المتوقعة ليس

تطابق.

الوسيط (Med) لمتغير عشوائي X هي القيمة التي من أجلها يكون الاحتمال P (X ميد). أي توزيع متوسط ​​يمكن أن يكون له واحد فقط.

المتوسط ​​يقسم المنطقة الواقعة تحت المنحنى إلى جزئين متساويين. في حالة التوزيع أحادي النسق والمتماثل

لحظات.

في أغلب الأحيان ، يتم استخدام نوعين من اللحظات في الممارسة: أولية ومركزية.

لحظة الانطلاق. الترتيب العاشر للمتغير العشوائي المنفصل X هو مجموع النموذج:

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر X ، فإن لحظة الترتيب الأولية هي التكامل ، من الواضح أن التوقع الرياضي لمتغير عشوائي هو أول لحظة أولية.

باستخدام العلامة (المشغل) M ، يمكن تمثيل اللحظة الأولى من الترتيب -th على أنها حصيرة. توقع القوة عشر لبعض المتغيرات العشوائية.

توسيط المتغير العشوائي للمتغير العشوائي المقابل X هو انحراف المتغير العشوائي X عن توقعه الرياضي:

التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مركزي هو 0.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة لدينا:

يتم استدعاء لحظات المتغير العشوائي المتمركز لحظات مركزية

لحظة النظام المركزية يسمى المتغير العشوائي X التوقع الرياضي للقوة رقم للمتغير العشوائي المركزي المقابل.

للمتغيرات العشوائية المنفصلة:

للمتغيرات العشوائية المستمرة:

العلاقة بين اللحظات المركزية والأولية لمختلف الطلبات

من بين جميع اللحظات ، غالبًا ما يتم استخدام اللحظة الأولى (الرياضيات. التوقع) واللحظة المركزية الثانية كسمة لمتغير عشوائي.

تسمى اللحظة المركزية الثانية تشتت متغير عشوائي. لديها التعيين:

حسب التعريف

لمتغير عشوائي منفصل:

لمتغير عشوائي مستمر:

تشتت المتغير العشوائي هو خاصية تشتت (تشتت) المتغيرات العشوائية X حول توقعه الرياضي.

تشتتيعني التشتت. التباين له أبعاد مربع المتغير العشوائي.

من أجل التوصيف المرئي للتشتت ، من الأنسب استخدام القيمة m y مثل بُعد المتغير العشوائي. لهذا الغرض ، يتم أخذ جذر من التشتت ويتم الحصول على قيمة تسمى - الانحراف المعياري (RMS) المتغير العشوائي X ، أثناء تقديم التعيين:

يطلق على الانحراف المعياري أحيانًا اسم "المعيار" للمتغير العشوائي X.