قياس الكرة. موسيقى متعددة الأبعاد للكرات بيرلمان. بعض التطبيقات المفيدة من مصادر أخرى
منذ بعض الوقت ، ظهرت ورقتان على موقع ما قبل الطباعة arXiv.org في وقت واحد ، مكرسا لمشكلة أقرب تعبئة للكرات في مسافات من الأبعاد 8 و 24. وحتى الآن ، لم تُعرف نتائج مماثلة إلا للأبعاد 1 ، 2 ، و 3 (وليس كل شيء بهذه البساطة هنا ، ولكن المزيد عن ذلك أدناه). تم تحقيق الاختراق - ونحن نتحدث عن اختراق ثوري حقيقي - بفضل عمل مارينا فيازوفسكايا ، عالمة الرياضيات الأوكرانية المولد والتي تعمل الآن في ألمانيا. سنروي قصة هذا الإنجاز في عشر قصص قصيرة.
1.
في القرن السادس عشر ، عاش شخصية البلاط والشاعر الشهير السير والتر رالي في إنجلترا. كان مشهورًا ، أولاً وقبل كل شيء ، لحقيقة أنه ، ذات مرة ، ألقى عباءته الباهظة الثمن أمام الملكة في بركة حتى لا تتسخ قدميها. لكن هذا ليس سبب اهتمامنا به.
كان لدى السير والتر رالي شغف - كان مغرمًا جدًا بسرقة السفن الإسبانية والبحث عن El Dorado. ثم في أحد الأيام رأى رالي مجموعة من قذائف المدفعية المكدسة على متن السفينة. وظننت (حدث هذا لرجال البلاط البريطانيين) ، كما يقولون ، سيكون من الرائع معرفة عدد النوى الموجودة في كومة دون حسابها. فوائد هذه المعرفة واضحة ، خاصة إذا كنت تستمتع بنهب الأسطول الإسباني.
والتر رالي
لم يكن رالي نفسه جيدًا في الرياضيات ، لذلك قدم هذه المشكلة إلى مساعده توماس هاريوت. هو ، بدوره ، كان قوياً في الرياضيات (هاريوت ، بالمناسبة ، هو مخترع العلامات ">" و "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
للتعليق ، لجأ إلى عالم الرياضيات الشهير في عصره ، يوهانس كيبلر - في ذلك الوقت مساعد تايكو براهي. لم يعط كبلر إجابة ، لكنه تذكر المشكلة. في عام 1611 ، نشر كتيبًا صغيرًا ناقش فيه أربعة أسئلة: لماذا يمتلك النحل أمشاطًا سداسية الشكل ، ولماذا يتم تجميع بتلات الزهور في أغلب الأحيان في خمسات ( ربما كان كبلر يعني فقطوردية - تقريبا. N + 1) ، لماذا تتشكل حبات الرمان على شكل ثنائيات عشرية (وإن كانت غير منتظمة) ولماذا ، أخيرًا ، تتشكل رقاقات الثلج على شكل سداسي.
يوهانس كبلر
كان القصد من الكتيب أن يكون هدية ، لذا فقد كان قراءة فلسفية ومسلية أكثر من كونه عملًا علميًا حقيقيًا. ربط كبلر الإجابة على السؤال الأول بشرطين - يجب ألا تكون هناك فجوات بين الخلايا ، ويجب أن يكون مجموع مناطق الخلايا في حده الأدنى. ربط المؤلف السؤال الثاني بأرقام فيبوناتشي ، ودفعت المحادثة حول رقاقات الثلج كبلر إلى التفكير في التماثلات الذرية.
السؤال الثالث أدى إلى فرضية أن التعبئة وثيقة سداسية(في الصورة أدناه) هو الأكثر كثافة (مما يعني أنه أقل أيضًا بالمعنى الرياضي). بالطبع ، لم يعتبر كبلر أنه من الضروري الإشارة إلى هاريوت. لذلك ، يسمى هذا البيان بفرضية كبلر. قانون ستيجلر - ويعرف أيضًا باسم مبدأ أرنولد - في العمل.
نعم ، بعد 7 سنوات من نشر هذا الكتيب ، تم قطع رأس السير والتر رالي. ومع ذلك ، هذا لا علاقة له بمشكلة التعبئة الكثيفة.
2.
وفقًا للمعايير الحديثة ، لم تكن المهمة التي حلها هاريوت صعبة. لذلك ، سنقوم بتحليلها بمزيد من التفصيل. وفي الوقت نفسه ، سوف نفهم بشكل أفضل كيفية عمل التعبئة المغلقة السداسية.
لذا ، فإن الشرط الرئيسي هو أن مجموعة من النوى لا تتدحرج أثناء الرمي. لذلك ، ضع النوى على التوالي على سطح السفينة. في الصف التالي نضع النوى بحيث يتم وضع الكرات في الفتحات بين كرات الصف الأول. إذا كان هناك عدد n من الكرات في الصف الأول ، فسيكون هناك n - 1 في الصف الثاني (نظرًا لوجود فجوة واحدة بين الكرات أقل من الكرات نفسها). سيكون الصف التالي أقل عددًا من النوى. وهكذا ، حتى نحصل على مثلث مثل هذا (إذا نظرت إلى التخطيط أعلاه):
أولئك الذين يتذكرون ما هو التقدم الحسابي سوف يحسبون بسهولة أنه إذا كان هناك n من الكرات في الصف الأول ، فعندئذ هناك n (n + 1) / 2 من الكرات في مثل هذا المثلث. عندما ينظر إليها من أعلى ، هناك فترات راحة مريحة بين الكرات. هناك سنضيف الطبقة الثانية من الكرات. سينتج عن ذلك مثلث منظم مثل المثلث الأول ، مع وجود عدد أقل من الكرات على الجانب. لذلك نضع ن (ن - 1) / 2 كرتين أخريين في الكومة.
نستمر في وضع طبقات حتى نحصل على طبقة من كرة واحدة. لدينا هرم مثلثي من النوى. لمعرفة عدد النوى التي تحتوي عليها ، تحتاج إلى إضافة عدد النوى في كل طبقة. إذا كانت الطبقة الأولى مع الجانب n ، فسنحصل على n من الطبقات ، والتي في المجموع ستعطي n (n + 1) (n + 2) / 6. سيلاحظ القارئ الفضولي أن هذا هو بالضبط المعامل ذي الحدين C 3 n + 2. هذه المصادفة التوافقية ليست بدون سبب ، لكننا لن نتعمق فيها.
بالمناسبة ، بالإضافة إلى هذه المهمة ، تمكنت Harriot من تحديد حصة النوى تقريبًا في حاوية كبيرة بما يكفي ، إذا اتخذنا شكل الأخير لمكعب. اتضح أن النسبة π / (3√2) ≈ 0.74048.
3.
ماذا تعني كلمة الأكثر كثافةفي بيان المشكلة؟ لم يعط رالي وهاريوت وحتى كبلر نفسه إجابة دقيقة على هذا السؤال. الأكثر كثافة بالمعنى المعقول كان ضمنيًا. ومع ذلك ، فإن هذه الصيغة ليست مناسبة للرياضيات. يحتاج إلى توضيح.
دعنا أولاً ننزل من البعد أدناه ونرى كيف يعمل كل شيء على المستوى. بالنسبة للحالة ثنائية الأبعاد ، تتحول المشكلة إلى ما يلي: دع مجموعة لا نهائية من الدوائر التي لا تتقاطع في الجزء الداخلي (ولكن ، ربما ، تلامس - أي وجود نقطة مشتركة على الحد) يتم إعطاء الدوائر على الطائرة. لنرسم مربعًا. نحسب مجموع مساحات قطع الدوائر التي تقع داخل المربع. لنأخذ نسبة هذا المقدار إلى مساحة المربع ، وسنزيد جانب المربع ، بالنظر إلى التغير في النسبة.
نحصل على وظيفة و (أ)، أين أ- جانب المربع. إذا كنا محظوظين ، فهذه الوظيفة مع النمو ستقترب الحجة بشكل مقارب لبعض الأرقام. هذا الرقم يسمى كثافة التعبئة المحددة. من المهم أن تعطي الوظيفة نفسها في وقت ما قيمة أكبر من الكثافة. في الواقع ، إذا كان المربع صغيرًا ، فإنه يتناسب تمامًا مع الدائرة والنسبة المحددة هي 1. لكننا مهتمون بالكثافة في المتوسط ، أي بشكل غير رسمي ، "لمربع به جانب كبير بدرجة كافية".
من بين كل هذه الكثافات ، يمكن للمرء أن يجد الحد الأقصى. إنها ، بالإضافة إلى العبوة التي تنفذها ، ستسمى الأكثر كثافة.
"التعبئة الأكثر كثافة ليست بالضرورة فريدة من نوعها (بالمعنى المقارب). هناك عدد لا نهائي من العبوات الأكثر كثافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وحتى كيبلر كان يعرف ذلك ، "كما يقول أوليج موسين من جامعة تكساس في براونزفيل.
بعد أن حددنا مفهوم التعبئة الأكثر كثافة ، من السهل أن نفهم أن مثل هذا التعريف يمكن أن يمتد بسهولة إلى مساحة ذات بعد تعسفي n. في الواقع ، دعنا نستبدل الدوائر بكرات ذات البعد المقابل ، أي مجموعات من النقاط ، لا تتجاوز المسافة التي تبدأ منها إلى نقطة ثابتة (تسمى المركز) قيمة معينة ، تسمى نصف قطر الكرة. مرة أخرى ، دعنا نرتبها بحيث لا يوجد أي نقطتين في أحسن الأحوال ، في أسوأ الأحوال - ليس لها نقاط مشتركة على الإطلاق. نحدد نفس الوظيفة كما في الحالة السابقة من خلال أخذ حجم مكعب الأبعاد n ومجموع أحجام الكرات ذات الأبعاد n المقابلة.
4.
لذلك ، فهمنا أن تخمين كبلر هو مشكلة أقرب تعبئة للكرات ثلاثية الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وماذا عن الطائرة (منذ أن بدأنا بها)؟ أو حتى مستقيمة؟ مع خط مستقيم ، كل شيء بسيط: الكرة على خط مستقيم هي جزء. يمكن تغطية الخط المستقيم بالكامل بأجزاء متطابقة متقاطعة في النهايات. مع هذه التغطية ، وظيفة و (أ)ثابت ويساوي 1.
على متن الطائرة ، كان كل شيء أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لذا ، لنبدأ بمجموعة من النقاط على المستوى. نقول أن هذه المجموعة من النقاط تشكل شبكة إذا تمكنا من العثور على زوج من المتجهات v و w بحيث يتم الحصول على جميع النقاط كـ N * v + M * w ، حيث N و M أعداد صحيحة. وبالمثل ، يمكن تعريف الشبكة في مساحة ذات أبعاد كبيرة بشكل تعسفي - فقط المزيد من المتجهات مطلوبة.
تعتبر المشابك مهمة لأسباب عديدة (على سبيل المثال ، تفضل الذرات أن تكون موجودة عندما يتعلق الأمر بالمواد الصلبة في المواقع الشبكية) ، لكنها جيدة لعلماء الرياضيات لأنها مريحة جدًا للعمل معها. لذلك ، من بين جميع العبوات ، يتم تمييز فئة منفصلة حيث توجد مراكز الكرات عند نقاط الشبكة. إذا اقتصرنا على هذه الحالة ، فهناك خمسة أنواع فقط من المشابك على الطائرة. يتم الحصول على التعبئة الأكثر كثافة لها بطريقة يتم ترتيب النقاط بها عند رؤوس الأشكال السداسية المنتظمة - مثل أقراص العسل في النحل أو الذرات في الجرافين. تم إثبات هذه الحقيقة من قبل لاغرانج عام 1773. بتعبير أدق: لم يكن لاغرانج مهتمًا بالعبوات الكثيفة ، لكنه كان مهتمًا بالأشكال التربيعية. بالفعل في القرن العشرين ، أصبح من الواضح أن نتيجة كثافة التعبئة للشبكات ثنائية الأبعاد تأتي من نتائجه الأولية.
في عام 1831 كتب لودفيج سيبر كتابًا عن الأشكال التربيعية الثلاثية. في هذا الكتاب ، تم طرح تخمين يعادل تخمين كبلر للحزم الشبكية. كان سيبر نفسه قادرًا على إثبات شكل ضعيف فقط من فرضيته واختبارها لعدد كبير من الأمثلة. تمت مراجعة هذا الكتاب من قبل العظيم كارل فريدريش جاوس. في هذا الاستعراض ، يقدم Gauss دليلًا رائعًا حقًا يناسب 40 سطرًا. هذا ، كما نقول الآن ، هو دليل على "الأولمبياد" يمكن فهمه لطالب في المدرسة الثانوية. لقد حاول العديد من علماء الرياضيات إيجاد معنى خفي في برهان غاوس ، ولكن حتى الآن لم ينجح أحد "، كما يقول أوليغ موسين.
ومع ذلك ، ماذا يحدث إذا تم التخلي عن حالة الشبكة المتداخلة؟ هذا هو المكان الذي تصبح فيه الأمور أكثر تعقيدًا. قام عالم الرياضيات النرويجي أكسل ثو بأول محاولة كاملة للتعامل مع هذه القضية. إذا نظرت إلى الصفحة المخصصة لـ Tue على Wikipedia ، فلن نجد أي شيء عن التغليف الضيق هناك. هذا أمر مفهوم - نشر Thue ورقتين ، تذكرنا بالمقالات أكثر من الأوراق الرياضية العادية ، حيث حل ، كما بدا له ، مشكلة التعبئة الكثيفة تمامًا. كانت المشكلة الوحيدة هي أنه لم يقتنع أحد باستثناء ثيو نفسه بمنطقه.
لازلو فيجس توث
دانزر ، لودفيج / ويكيميديا كومنز
تم حل المشكلة أخيرًا من قبل عالم الرياضيات المجري لازلو فيجيس توث في عام 1940. بالمناسبة ، اتضح أن ترتيب الدوائر على متن الطائرة ، مع إدراك التعبئة الأكثر كثافة ، فريد من نوعه.
5.
ترتبط مشكلة إغلاق التعبئة ارتباطًا وثيقًا بمشكلة رقم الاتصال. لنفكر في دائرة على مستوى مرة أخرى. كم عدد الدوائر التي لها نفس نصف القطر يمكن ترتيبها حولها بحيث تلامس جميعها الدائرة المركزية؟ الجواب ستة. في الواقع ، لنلقِ نظرة على دائرتين متجاورتين على اتصال مع دائرتنا المركزية. لنلقِ نظرة على المسافة من مركز الدائرة المركزية إلى مركزي هذين الاثنين. يساوي 2R، أين صهو نصف قطر الدائرة. لا تتجاوز المسافة بين مراكز الدوائر المجاورة 2R.بحساب الزاوية في مركز الدائرة المركزية وفقًا لنظرية جيب التمام ، نجد أنها لا تقل عن 60 درجة. يجب أن يكون مجموع الزوايا المركزية 360 درجة ، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك أكثر من 6 زوايا من هذا القبيل. ونعرف موقع الدوائر بستة زوايا.
الرقم الناتج يسمى رقم الاتصال الخاص بالطائرة. يمكن طرح سؤال مشابه عن المساحات من أي بُعد. دع بساطة الحل على المستوى لا تضلل القارئ - مشكلة أرقام الاتصال ، إذا كانت أبسط من مشكلة التعبئة الكثيفة ، ليست كثيرة. ولكن تم الحصول على المزيد من النتائج في هذا الاتجاه.
بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، أصبح رقم الاتصال موضوع نزاع عام بين إسحاق نيوتن نفسه وجيمس جريجوري في 1694. الأول يعتقد أن رقم جهة الاتصال يجب أن يكون 12 ، والثاني - أي 13. الشيء هو أنه ليس من الصعب ترتيب 12 كرة حول الكرة المركزية - تقع مراكز هذه الكرات عند رؤوس مجسم منتظم ذي عشر أوجه ( لديها 12 منهم فقط). لكن هذه الكرات لا تلمس! للوهلة الأولى ، يبدو أنه يمكن تحريكها بحيث تزحف كرة أخرى ، وهي الكرة رقم 13 ، من خلالها. يكاد يكون هذا صحيحًا: إذا تم تحريك الكرات قليلاً عن بعضها ، مما يجعل المسافة بين مراكزها ووسط الوسط 2R ،لكن فقط 2.06R ،ثم ستناسب 13 كرة بالفعل. لكن بالنسبة إلى لمس الكرات ، كان غريغوري مخطئًا - وقد تم إثبات هذه الحقيقة من قبل فان دير واردن وشوت في عام 1953.
بالنسبة للبعد 4 ، تم حل هذه المشكلة بواسطة Oleg Musin في عام 2003. هناك ، تبين أن رقم الاتصال هو 24.
6.
بالإضافة إلى هذه الأبعاد 1 و 2 و 3 و 4 ، تُعرف أرقام الاتصال أيضًا في الأبعاد 8 و 24. لماذا هذه الأبعاد؟ الحقيقة هي أنه بالنسبة لهم هناك شبكات مثيرة للاهتمام تسمى E8 و Leech lattice.
لذلك ، لقد اكتشفنا بالفعل ما هي الشبكة. من الخصائص المهمة للشبكة في الرياضيات تناسقها. بالتناظر ، بالطبع ، لا نعني أحاسيس ذاتية (ومن ، على سبيل المثال ، سيقدم هذه الشبكة في أبعاد أربعة؟) ، ولكن عدد الأنواع المختلفة من حركات الفضاء التي تترجم هذه الشبكة إلى نفسها. دعنا نوضح بمثال.
دعونا نأخذ نفس الشبكة السداسية التي تحقق التعبئة الأكثر كثافة على متن الطائرة. من السهل أن نفهم أن الشبكة تتحول إلى نفسها إذا تم إزاحتها بواسطة المتجهين v و w اللذين كانا في التعريف. ولكن ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تدوير الشبكة حول مركز السداسي. وهناك 6 دورات من هذا القبيل: 0 ، 60 ، 120 ، 180 ، 240 ، 300 درجة. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن عرض الشبكة بشكل متماثل حول أي محور تناظر للمركب السداسي. يظهر القليل من التمرين أنه ، بدون احتساب التحولات ، نحصل على 12 تحويلًا. في المشابك الأخرى ، هناك عدد أقل من هذه التحولات ، لذلك نقول إنها أقل تماثلًا.
الآن ، E8 وشبكة Leach عبارة عن شبكات متناظرة بشكل لا يصدق. يقع E8 في مساحة 8 أبعاد. اخترع عالم الرياضيات الروسي كوركين وزولوتاريف هذه الشبكة في عام 1877. يتكون من متجهات ، جميع إحداثياتها أعداد صحيحة ، ومجموعها زوجي. مثل هذه الشبكة ، ناقص التحولات ، لديها 696.729.600 تحويل. توجد شبكة Leach في أربعة وعشرين بعدًا. وهو يتألف من متجهات بإحداثيات عدد صحيح وشرط - مجموع الإحداثيات مطروحًا منه أي إحداثي مضروبًا في 4 يقبل القسمة على 8. وهو يحتوي فقط على عدد هائل من التماثلات - 8،315،553،613،086،720،000 قطعة.
لذلك ، في الفضاء ذي الأبعاد الثمانية و 24 بعدًا ، تلمس الكرات الموجودة في رؤوس هذه المشابك 240 و 19650 كرة على التوالي. والمثير للدهشة أن هذا هو بالضبط ما هي أرقام الاتصال (انظر النقطة 5) للمسافات ذات البعد المقابل.
7.
الآن دعنا نعود إلى الحالة ثلاثية الأبعاد وفرضية كبلر (تلك التي تحدثنا عنها في البداية). تبين أن هذه المهمة أصعب بكثير من سابقاتها.
لنبدأ بحقيقة أن هناك عددًا لا نهائيًا من العبوات بنفس كثافة العبوات السداسية الكثيفة. بدأنا في وضعه ، بدءًا من الكرات الموضوعة عند عقد الشبكة السداسية. لكن يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف: على سبيل المثال ، في المستوى الأول ، قم بطي الكرات في مربع ، أي ، بحيث تقع قمم الكرات عند عقد شبكة مربعة بالفعل. في هذه الحالة ، تلمس كل كرة أربعة جيران. الطبقة الثانية ، كما في حالة الطبقة السداسية ، سيتم وضعها من الأعلى في الفجوات بين كرات الطبقة الأولى. تسمى هذه الحزمة تغليف مكعب محوره الوجه.بالمناسبة ، هذا هو التعبئة الشبكية الأكثر كثافة في الفضاء.
للوهلة الأولى ، يبدو أن هذه التعبئة يجب أن تكون أسوأ ، لأن الفجوات بين الكرات الأربع في الطبقة الأولى أكبر بكثير (وفقًا للأحاسيس) من الفجوات في التعبئة الكثيفة السداسية. لكن عندما نضع الصف الثاني ، فإن الكرات - على وجه التحديد لأن الفجوات أكبر - تغرق أعمق. نتيجة لذلك ، كما اتضح ، فإن الكثافة هي نفسها كما كانت من قبل. في الواقع ، بالطبع ، الحيلة هي أن مثل هذه التعبئة يتم الحصول عليها إذا نظر المرء إلى الشكل السداسي من زاوية مختلفة.
اتضح أنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد لا توجد مشابك فريدة جميلة مثل ، على سبيل المثال ، سداسية على مستوى أو E8 في مساحة 8 أبعاد. للوهلة الأولى ، من غير المفهوم تمامًا كيفية البحث عن التعبئة الأكثر كثافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
8.
وُلد حل فرضية كبلر على عدة مراحل.
أولاً ، عبّر Feiesz Toth ، المجري نفسه الذي حل مشكلة التعبئة الكثيفة على متن طائرة ، عن التخمين التالي: من أجل فهم ما إذا كانت التعبئة كثيفة أم لا ، يكفي النظر في مجموعات محدودة من الكرات. كما اكتشفنا ، على عكس الطائرة ، إذا لمست الكرة المركزية 12 جارًا ، فهناك فجوات بينهما. لذلك ، اقترح Feyesh Toth دراسة العناقيد التي تتكون من كرة مركزية وجيرانها وجيرانها.
الشيء هو أن هذا الافتراض تم إجراؤه في الستينيات من القرن الماضي. ومشكلة تصغير حجم مثل هذا التجمع هي ، في الواقع ، مشكلة تحسين غير خطية لدالة تبلغ حوالي 150 متغيرًا (كل كرة لها مركز ، وهي مُعطاة بثلاثة إحداثيات). بشكل تقريبي ، تحتاج هذه الوظيفة إلى إيجاد حد أدنى في ظل بعض الشروط الإضافية. من ناحية ، أصبحت المهمة محدودة ، ولكن من ناحية أخرى ، لا يمكن تحملها تمامًا من وجهة نظر حسابية بالنسبة للإنسان. لكن Feyesh Tot لم يكن مستاءًا وقال إن أجهزة الكمبيوتر في القريب العاجل ستتمتع بقوة الحوسبة اللازمة. أنها ستساعد.
أحب علماء الرياضيات فرضية فيجس توث كثيرًا وبدأوا في العمل بنشاط في هذا الاتجاه. بحلول بداية التسعينيات ، كانت تقديرات الحد الأقصى لكثافة التعبئة للكرات في الفضاء ثلاثي الأبعاد تتناقص تدريجياً. كانت الفكرة هي أنه في مرحلة ما سيكون التقدير مساويًا لكثافة التعبئة المكعبة المتمركزة على الوجه ، وبالتالي ، سيتم إثبات تخمين كبلر. خلال هذا الوقت ، نشر عالم الرياضيات توماس هالز أوراقه الأولى عن التعبئة. للعمل ، اختار شيئًا يسمى نجوم Delaunay (تكريما لعالم الرياضيات السوفيتي بوريس ديلوناي). لقد كانت خطوة جريئة - في تلك اللحظة كانت فعالية هذه الأشياء لدراسة مشكلة التعبئة مشكوك فيها.
بعد 8 سنوات فقط من العمل الشاق ، في عام 1998 ، أكمل هالس إثبات تخمين كبلر. اختصر الدليل إلى تعداد اندماجي محدود لهياكل مختلفة مثل نجوم ديلوناي. لكل هيكل اندماجي من هذا القبيل ، كان من الضروري تعظيم الكثافة. نظرًا لأن الكمبيوتر يعمل بشكل طبيعي فقط مع الأعداد الصحيحة (ببساطة لأن الأرقام في الرياضيات غالبًا ما تكون كسورًا لا نهائية) ، فقد بنى Delaunay تلقائيًا لكل حالة تقديرًا تقريبيًا من الأعلى باستخدام حسابات منطقية رمزية (أرقام منطقية ، بعد كل شيء ، إذا لم تقم بترجمتها إلى عشري الكسور ، فقط بضعة أعداد صحيحة). بهذا التقريب ، حصل على تقدير أعلى للكثافة القصوى. نتيجة لذلك ، تبين أن جميع التقديرات أقل من تلك التي قدمتها التعبئة المكعبة المتمركزة على الوجه.
ومع ذلك ، كان العديد من علماء الرياضيات في حيرة من أمرهم بسبب الموقف الذي تم فيه بناء الكمبيوتر لبناء تقريب. لإثبات عدم وجود أخطاء في جزء الكمبيوتر من الإثبات ، تولى Hales إضفاء الطابع الرسمي والتحقق ، وإن كان ذلك أيضًا بمساعدة الكمبيوتر. تم الانتهاء من هذا العمل ، الذي عمل عليه فريق دولي كبير إلى حد ما ، في أغسطس 2014. لم يتم العثور على أخطاء في الإثبات.
9.
لا تتطلب البراهين للأبعاد 8 و 24 جهاز كمبيوتر وهي أبسط إلى حد ما. منذ بعض الوقت ، تم الحصول على تقديرات جيدة جدًا لتقدير كثافة التعبئة القصوى في هذه الأبعاد. قام بذلك عالما الرياضيات كوهن وإلكيس في عام 2003. بالمناسبة ، هذا التقدير (يُطلق عليه أيضًا حدود Kohn-Elkies) قبل عامين من العثور على Kohn و Elkies نفسيهما بواسطة عالم الرياضيات الروسي دميتري جورباتشوف من تولا. ومع ذلك ، نشر هذا العمل باللغة الروسية وفي مجلة تولا. لم يعرف كوهن وإلكيس عن هذا العمل ، وعندما قيل لهما ، بالمناسبة ، أشارا إليه.
"ظهرت حدود كوهن إلكيس على أساس عمل جان فريدريك ديلسارت وعالِيّ الرياضيات الرائعين غريغوري كاباتيانسكي وفلاديمير ليفينشتاين. التقدير المقارب (من حيث البعد المكاني) لكثافة عبوات الكرات في الفضاء ذي البعد n ، الذي حصل عليه كاباتيانسكي و Levenshtein ، "محتجز" منذ عام 1978. بالمناسبة ، هذا هو Levenshtein ، وبشكل مستقل ، حل الأمريكان Odlyzhko و Sloan مشكلة أرقام الاتصال في البعدين 8 و 24 في عام 1979. لقد استخدموا بشكل مباشر طريقة Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein "، كما يقول أوليغ موسين.
تقديرات Kohn and Elkies صحيحة في الواقع لجميع العبوات ، ولكن في الأبعاد 8 و 24 فإنها تعطي تقديرًا تقريبيًا جيدًا جدًا. على سبيل المثال ، تقدير عالم الرياضيات أكبر بحوالي 0.0001 بالمائة فقط من كثافة E8 في ثمانية أبعاد. لذلك ، نشأت مهمة تحسين هذا التقدير - بعد كل شيء ، يبدو أن الحل قريب بالفعل. علاوة على ذلك ، في عام 2012 ، تقدم نفس ديمتري جورباتشوف بطلب (وفاز) للحصول على منحة من مؤسسة Dynasty Foundation. في التطبيق ، صرح صراحة أنه يخطط لإثبات كثافة التعبئة لـ E8 في مساحة ثمانية الأبعاد.
يقولون إن عالم رياضيات آخر ، أندريه بوندارينكو ، دفع جورباتشوف إلى الإدلاء بمثل هذا البيان الجريء ، في الواقع ، معلم ، أحد المشرفين العلميين لمارينا فيازوفسكايا ، الذي حل مشكلة الفضاء ثلاثي الأبعاد (وشارك في تأليفه لـ مساحة 24 بعدًا). إنها بوندارينكو التي تشكرها في نهاية عملها الرائع. لذلك ، فشل بوندارينكو وغورباتشوف ، لكن نجح فيازوفسكايا. لماذا ا؟
مارينا فيازوفسكايا
جامعة همبولت في برلين
يرتبط تقدير Kohn-Elkies بكثافة التعبئة بخاصية بعض الوظائف من مجموعة مناسبة. بشكل تقريبي ، يتم إنشاء تقدير لكل وظيفة من هذا القبيل. أي أن المهمة الرئيسية هي إيجاد دالة مناسبة بحيث يصبح التقدير الناتج هو ما نحتاجه. لذا ، فإن العنصر الرئيسي في بناء Vyazovskaya هو أشكال معيارية. لقد ذكرناها بالفعل فيما يتعلق بإثبات نظرية فيرما الأخيرة ، والتي من أجلها. هذا كائن متماثل إلى حد ما يظهر باستمرار في مختلف فروع الرياضيات. كانت مجموعة الأدوات هذه هي التي جعلت من الممكن العثور على الوظيفة المطلوبة.
في الفضاء 24 بعدًا ، تم الحصول على التقدير بنفس الطريقة. يحتوي هذا العمل على عدد أكبر من المؤلفين ، ولكنه يستند إلى نفس الإنجاز الذي حققه Vyazovskaya (وإن كان بالطبع مقتبسًا قليلاً). بالمناسبة ، تم إثبات حقيقة ملحوظة أخرى في الورقة: شبكة Leach تنفذ تغليفًا دوريًا كثيفًا فريدًا. أي أن جميع العبوات الدورية الأخرى ذات كثافة أقل من هذا. وفقًا لـ Oleg Musin ، يمكن أن تكون النتيجة المماثلة للعبوات الدورية صحيحة في البعدين 4 و 8.
10.
من وجهة نظر التطبيقات ، فإن مشكلة التعبئة الكثيفة في المساحات عالية الأبعاد هي ، أولاً وقبل كل شيء ، مشكلة الترميز الأمثل مع تصحيح الخطأ.
تخيل أن أليس وبوب يحاولان التواصل باستخدام إشارات الراديو. تقول أليس إنها سترسل إلى بوب إشارة تتكون من 24 ترددًا مختلفًا. سيقيس بوب سعة كل تردد. نتيجة لذلك ، سيحصل على مجموعة من 24 اتساعًا. هم ، بالطبع ، حددوا نقطة في الفضاء 24 بعدًا - بعد كل شيء ، هناك 24 منهم. يأخذ بوب وأليس ، على سبيل المثال ، قاموس Dahl ويخصصان لكل كلمة مجموعتها الخاصة من سعة 24. اتضح أننا قمنا بترميز الكلمات من قاموس داهل بنقاط ذات فضاء 24 بعدًا.
في عالم مثالي ، لا حاجة إلى أكثر من ذلك. لكن قنوات نقل البيانات الحقيقية تضيف ضوضاء ، مما يعني أنه أثناء فك التشفير ، يمكن أن يحصل بوب على مجموعة من السعات التي لا تتطابق مع أي من الكلمات. ولكن بعد ذلك يمكنه النظر إلى الكلمة الأقرب إلى النسخة التي تم فك شفرتها. إذا كان هناك واحد ، فمن المحتمل أن يكون كذلك. لكي تكون قادرًا دائمًا على القيام بذلك ، من الضروري أن تكون نقاط الفضاء متباعدة قدر الإمكان. أي ، على سبيل المثال ، إذا كان مستوى الضوضاء بحيث يتم إدخال تشويه يؤدي إلى إزاحة النتيجة بواسطة متجه بطول واحد على الأكثر ، فيجب أن تكون نقطتا الشفرة على بعد نقطتين على الأقل. بعد ذلك ، حتى مع وجود تشوهات ، ستكون نتيجة بوب دائمًا قريبة من كلمة واحدة - الكلمة المطلوبة.
في الوقت نفسه ، لا أريد حقًا تضخيم الكثير من الكلمات أيضًا - لدينا نطاق محدود إلى حد ما يمكننا من خلاله نقل المعلومات. لنفترض أنه سيكون غريبًا (وغير مؤثر جدًا) إذا بدأت أليس وبوب في الاتصال بالأشعة السينية. لذلك ، من الناحية المثالية ، يجب أن تكون المسافة بين كلمتين متجاورتين بالضبط. وهذا يعني أن الكلمات تقع عند رؤوس الكرات التي يبلغ نصف قطرها 1 ، ومعبأة بكثافة في مساحة 24 بعدًا.
لقد صنعت مؤخرًا جهاز تتبع شعاعي بسيطًا للمشاهد ثلاثية الأبعاد. لقد تمت كتابته بلغة JavaScript ولم يكن سريعًا جدًا. من أجل المتعة ، كتبت راي تريسر في لغة سي وأعطيته وضع عرض رباعي الأبعاد - في هذا الوضع يمكنه عرض مشهد رباعي الأبعاد على شاشة مسطحة. ستجد أسفل المقطع بعض مقاطع الفيديو وبعض الصور وكود تتبع الأشعة.
لماذا نكتب برنامج منفصل لرسم مشهد رباعي الأبعاد؟ يمكنك التقاط متتبع شعاع عادي ووضع مشهد رباعي الأبعاد عليه والحصول على صورة مثيرة للاهتمام ، ولكن هذه الصورة لن تكون إسقاطًا للمشهد بأكمله على الشاشة على الإطلاق. المشكلة هي أن المشهد له 4 أبعاد ، والشاشة هي 2 فقط ، وعندما يطلق جهاز تتبع الشعاع أشعة عبر الشاشة ، فإنه يغطي فقط مساحة فرعية ثلاثية الأبعاد وفقط شريحة ثلاثية الأبعاد من مشهد رباعي الأبعاد سوف تكون مرئية على الشاشة. تشبيه بسيط: حاول عرض مشهد ثلاثي الأبعاد على مقطع أحادي الأبعاد.
اتضح أن مراقبًا ثلاثي الأبعاد برؤية ثنائية الأبعاد لا يمكنه رؤية المشهد رباعي الأبعاد بالكامل - في أحسن الأحوال ، سيرى جزءًا صغيرًا فقط. من المنطقي أن نفترض أنه من الأنسب النظر إلى مشهد رباعي الأبعاد برؤية ثلاثية الأبعاد: ينظر مراقب معين رباعي الأبعاد إلى كائن ما ويتشكل إسقاط ثلاثي الأبعاد على نظيره ثلاثي الأبعاد. شبكية العين. سيقوم برنامجي بتتبع هذا الإسقاط ثلاثي الأبعاد. بعبارة أخرى ، يصور جهاز تتبع الأشعة الخاص بي ما يراه مراقب رباعي الأبعاد برؤيته ثلاثية الأبعاد.
ميزات الرؤية ثلاثية الأبعاد
تخيل أنك تنظر إلى دائرة من الورق أمام عينيك مباشرة - في هذه الحالة ، سترى دائرة. إذا وضعت هذه الدائرة على الطاولة ، فسترى قطعًا ناقصًا. إذا نظرت إلى هذه الدائرة من مسافة ، فستظهر أصغر. وبالمثل بالنسبة للرؤية ثلاثية الأبعاد: ستظهر كرة رباعية الأبعاد للمراقب على هيئة شكل بيضاوي ثلاثي الأبعاد. فيما يلي بعض الأمثلة. في الأول ، تدور 4 أسطوانات متعامدة بشكل متبادل. في الثانية ، يدور إطار مكعب رباعي الأبعاد.
دعنا ننتقل إلى التأملات. عندما تنظر إلى كرة ذات سطح عاكس (زينة عيد الميلاد ، على سبيل المثال) ، يكون الانعكاس كما لو كان مرسومًا على سطح الكرة. أيضًا من أجل الرؤية ثلاثية الأبعاد: أنت تنظر إلى كرة رباعية الأبعاد ويتم رسم الانعكاسات كما لو كانت على سطحها. الآن فقط يكون سطح الكرة رباعية الأبعاد ثلاثي الأبعاد ، لذلك عندما ننظر إلى الإسقاط ثلاثي الأبعاد للكرة ، ستكون الانعكاسات في الداخل ، وليس على السطح. إذا جعلنا جهاز تتبع الشعاع يصدر شعاعًا ووجدنا أقرب تقاطع مع الإسقاط ثلاثي الأبعاد للكرة ، فسنرى دائرة سوداء - سطح الإسقاط ثلاثي الأبعاد سيكون أسود (هذا يتبع من صيغ فرينل). تبدو هكذا:
بالنسبة للرؤية ثلاثية الأبعاد ، هذه ليست مشكلة ، لأن الكرة ثلاثية الأبعاد بأكملها مرئية والنقاط الداخلية مرئية وكذلك تلك الموجودة على السطح ، لكنني بحاجة إلى نقل هذا التأثير بطريقة ما على شاشة مسطحة ، لذلك قمت بعمل إضافي وضع رايزر عندما يعتبر أن الأجسام ثلاثية الأبعاد تبدو كما لو كانت دخانية: يمر الشعاع من خلالها ويفقد الطاقة تدريجيًا. اتضح مثل هذا:
وينطبق الشيء نفسه على الظلال: فهي لا تسقط على السطح ، بل داخل الإسقاطات ثلاثية الأبعاد. اتضح أنه داخل كرة ثلاثية الأبعاد - إسقاط كرة رباعية الأبعاد - يمكن أن تكون هناك منطقة مظلمة على شكل إسقاط لمكعب رباعي الأبعاد ، إذا كان هذا المكعب يلقي بظلاله على الكرة. لم أفهم كيفية نقل هذا التأثير على شاشة مسطحة.
التحسينات
يعد تتبع Raytracing لمشهد رباعي الأبعاد أكثر صعوبة من المشهد ثلاثي الأبعاد: في حالة 4D ، تحتاج إلى العثور على ألوان منطقة ثلاثية الأبعاد ، وليس منطقة مسطحة. إذا قمت بكتابة جهاز تتبع شعاع "على الجبهة" ، فستكون سرعته منخفضة للغاية. هناك نوعان من التحسينات البسيطة التي يمكن أن تقلل من وقت العرض لصورة 1000x1000 لبضع ثوان.
أول ما يلفت انتباهك عند النظر إلى مثل هذه الصور هو مجموعة من البكسلات السوداء. إذا قمت بتصوير المنطقة التي يصطدم فيها شعاع تتبع الشعاع بجسم واحد على الأقل ، فستبدو كما يلي:
يمكنك أن ترى أن حوالي 70٪ من البكسلات السوداء ، وأن المنطقة البيضاء متصلة (وهي متصلة لأن المشهد رباعي الأبعاد متصل). يمكنك حساب ألوان البكسل خارج الترتيب ، لكن تخمين بكسل أبيض واحد وعمل تعبئة منه. سيؤدي هذا فقط إلى تتبع شعاع البكسل الأبيض + عدد قليل من وحدات البكسل السوداء التي تمثل حد 1 بكسل للمنطقة البيضاء.
يتم الحصول على التحسين الثاني من حقيقة أن الأشكال - الكرات والأسطوانات - محدبة. هذا يعني أنه بالنسبة لأي نقطتين في مثل هذا الشكل ، فإن الجزء الذي يربط بينهما يقع أيضًا بالكامل داخل الشكل. إذا تقاطع الشعاع مع جسم محدب ، بينما تقع النقطة A داخل الجسم ، وكانت النقطة B في الخارج ، فلن يتقاطع باقي الشعاع من الجانب B مع الكائن.
بعض الأمثلة الأخرى
هنا يدور المكعب حول المركز. لا تلمس الكرة المكعب ، ولكن عند الإسقاط ثلاثي الأبعاد يمكن أن تتقاطع.
في هذا الفيديو ، المكعب ثابت ، والمراقب رباعي الأبعاد يطير عبر المكعب. هذا المكعب ثلاثي الأبعاد الذي يبدو أكبر هو أقرب إلى الراصد ، والمكعب الأصغر هو الأبعد.
يوجد أدناه الدوران الكلاسيكي في مستويات المحاور 1-2 و 3-4. يتم إعطاء مثل هذا الدوران من خلال منتج مصفوفتين Givens.
كيف يعمل جهاز تتبع الأشعة الخاص بي
الرمز مكتوب بلغة ANSI C 99. يمكنك تنزيله. لقد اختبرت على ICC + Windows و GCC + Ubuntu.
يقبل البرنامج ملف نصي مع وصف للمشهد كمدخل.
المشهد = (الكائنات = - قائمة الكائنات في المشهد (مجموعة - مجموعة الكائنات يمكن أن يكون لها تحويل أفيني معين (axiscyl1 ، axiscyl2 ، axiscyl3 ، axiscyl4)) ، أضواء = - قائمة الأضواء (((0.2 ، 0.1 ، 0.4 ، 0.7) ، 1) ، الضوء ((7 ، 8 ، 9 ، 10) ، 1))) axiscylr = 0.1 - نصف قطر الأسطوانة axiscyl1 = الأسطوانة ((-2 ، 0 ، 0 ، 0) ، ( 2 ، 0 ، 0 ، 0) ، المحور ، المادة = (اللون = (1 ، 0 ، 0))) المحور 2 = الأسطوانة ((0 ، -2 ، 0 ، 0) ، (0 ، 2 ، 0 ، 0) ، المحور ، المادة = (اللون = (0 ، 1 ، 0))) المحور 3 = الأسطوانة ((0 ، 0 ، -2 ، 0) ، (0 ، 0 ، 2 ، 0) ، المحور ، المادة = (اللون = (0) ، 0 ، 1))) المحور 4 = الأسطوانة ((0 ، 0 ، 0 ، -2) ، (0 ، 0 ، 0 ، 2) ، المحور ، المواد = (اللون = (1 ، 1 ، 0)))
بعد ذلك ، يحلل هذا الوصف ويخلق مشهدًا في تمثيله الداخلي. اعتمادًا على أبعاد الفضاء ، فإنه يعرض المشهد ويحصل إما على صورة رباعية الأبعاد كما هو مذكور أعلاه في الأمثلة ، أو صورة ثلاثية الأبعاد عادية. لتحويل متتبع شعاع 4D إلى متتبع شعاع ثلاثي الأبعاد ، تحتاج إلى تغيير المعامل vec_dim من 4 إلى 3 في ملف vector.h. يمكنك أيضًا تعيينه في معلمات سطر الأوامر للمترجم. التحويل إلى دول مجلس التعاون الخليجي:
القرص المضغوط / المنزل / اسم االمستخدم/ rt /
مجلس التعاون الخليجي -lm -O3 * .c -o RT
اختبار المدى:
/الصفحة الرئيسية/ اسم االمستخدم/ RT / RT cube4d.scene cube4d.bmp
إذا قمت بتجميع raytracer باستخدام vec_dim = 3 ، فسوف ينتج مكعبًا عاديًا لمشهد cube3d.scene.
كيف تم صنع الفيديو
للقيام بذلك ، قمت بكتابة نص Lua قام بحساب مصفوفة الدوران لكل إطار وألحقها بالمشهد المرجعي.
المحاور = ((0.933 ، 0.358 ، 0 ، 0) ، - المحور 1 (-0.358 ، 0.933 ، 0 ، 0) ، - المحور 2 (0 ، 0 ، 0.933 ، 0.358) ، - المحور 3 (0 ، 0 ، -0.358، 0.933) - المحور 4) المشهد = (الكائنات = (المجموعة (المحاور = المحاور ، axiscyl1 ، axiscyl2 ، axiscyl3 ، axiscyl4)) ،)
يحتوي كائن المجموعة ، بالإضافة إلى قائمة الكائنات ، على معلمتين للتحويل: المحاور والأصل. من خلال تغيير المحاور ، يمكنك تدوير كل الكائنات في المجموعة.
ثم دعا البرنامج النصي raytracer المترجم. عندما تم عرض جميع الإطارات ، دعا البرنامج النصي mencoder وقام بجمع الفيديو من الصور الفردية. تم إنشاء الفيديو بطريقة يمكن من خلالها إعادة تشغيله تلقائيًا - أي نهاية الفيديو هي نفس البداية. يعمل البرنامج النصي على النحو التالي:
Luajit animate.lua
وأخيرًا ، يوجد في هذا الأرشيف 4 ملفات avi 1000 × 1000. كل منهم دوري - يمكنك وضعه على التكرار التلقائي وستحصل على رسم متحرك عادي.
العلامات:
- جهاز تتبع الأشعة
- مساحة رباعية الأبعاد
حتى عندما كنت طالبًا في السنة الأولى ، خضت جدالًا حادًا مع أحد زملائي في الفصل. قال إنه لا يمكن تمثيل المكعب رباعي الأبعاد بأي شكل من الأشكال ، وأكدت أنه يمكن تمثيله بوضوح تام. ثم قمت حتى بإسقاط مكعب مفرط على فضاءنا ثلاثي الأبعاد من مشابك الورق ... لكن دعنا نتحدث عن كل شيء بالترتيب.
ما هو المكعب الزائد والفضاء رباعي الأبعاد
هناك ثلاثة أبعاد في مساحتنا المعتادة. من وجهة نظر هندسية ، هذا يعني أنه يمكن الإشارة إلى ثلاثة خطوط متعامدة بشكل متبادل. أي ، في أي خط ، يمكنك إيجاد خط ثانٍ متعامد على الأول ، وبالنسبة للزوج ، يمكنك إيجاد خط ثالث متعامد على أول خطين. لن يكون من الممكن إيجاد الخط المستقيم الرابع العمودي على الثلاثة الموجودة.
مساحة 4Dيختلف عن اتجاهنا فقط من حيث أنه يحتوي على اتجاه إضافي آخر. إذا كان لديك بالفعل ثلاثة خطوط متعامدة بشكل متبادل ، فيمكنك إيجاد الخط الرابع ، بحيث يكون عموديًا على الثلاثة.
hypercubeإنه مجرد مكعب بأربعة أبعاد.
هل من الممكن تخيل فضاء رباعي الأبعاد ومكعب مفرط؟
هذا السؤال مشابه للسؤال: "هل من الممكن تخيل العشاء الأخير من خلال النظر إلى اللوحة التي تحمل نفس الاسم (1495-1498) لليوناردو دافنشي (1452-1519)؟"
من ناحية ، بالطبع لن تتخيل ما رآه يسوع (وهو جالس في مواجهة المشاهد) ، خاصة وأنك لن تشم رائحة الحديقة خارج النافذة وطعم الطعام على المائدة ، فلن تسمع الطيور الغناء ... لن تحصل على صورة كاملة لما حدث في ذلك المساء ، لكن لا يمكن القول إنك لن تتعلم شيئًا جديدًا وأن الصورة لا تهمك.
الوضع مشابه لمسألة المكعب المفرط. من المستحيل تخيله تمامًا ، لكن يمكنك الاقتراب من فهم ما هو عليه.
بناء المكعب الفائق
مكعب 0 الأبعاد
لنبدأ من البداية - بمكعب ذو أبعاد 0. يحتوي هذا المكعب على 0 وجه متعامد بشكل متبادل ، أي أنه مجرد نقطة.
مكعب أحادي الأبعاد
في الفضاء أحادي البعد ، لدينا اتجاه واحد فقط. نحول النقطة في هذا الاتجاه ونحصل على مقطع.
هذا مكعب ذو بعد واحد.
2 مكعب الأبعاد
لدينا بعد ثان ، نحول المكعب أحادي البعد (القطعة) في اتجاه البعد الثاني ونحصل على مربع.
إنه مكعب ذو بعدين.
مكعب ثلاثي الأبعاد
مع ظهور البعد الثالث ، نقوم بنفس الشيء: نحول المربع ونحصل على المكعب ثلاثي الأبعاد المعتاد.
مكعب رباعي الأبعاد (مكعب مفرط)
الآن لدينا بعد رابع. أي أن لدينا اتجاهًا عموديًا على الثلاثة السابقة. دعونا نستخدمها بنفس الطريقة. سيبدو المكعب رباعي الأبعاد هكذا.
بطبيعة الحال ، لا يمكن تصوير المكعبات ثلاثية الأبعاد ورباعية الأبعاد على مستوى شاشة ثنائي الأبعاد. ما رسمته هو توقعات. سنتحدث عن التوقعات بعد قليل ، ولكن في الوقت الحالي ، بعض الحقائق والأرقام المجردة.
عدد الرؤوس والحواف والوجوه
لاحظ أن وجه المكعب الفائق هو مكعبنا العادي ثلاثي الأبعاد. إذا نظرت عن كثب إلى رسم المكعب الزائد ، يمكنك إيجاد ثمانية مكعبات.
توقعات ورؤية ساكن للفضاء رباعي الأبعاد
بضع كلمات عن الرؤية
نحن نعيش في عالم ثلاثي الأبعاد ، لكننا نراه ثنائي الأبعاد. هذا يرجع إلى حقيقة أن شبكية العين تقع في مستوى له بعدين فقط. هذا هو السبب في أننا قادرون على إدراك الصور ثنائية الأبعاد وإيجادها مشابهة للواقع.
(بالطبع ، بفضل الإقامة ، يمكن للعين تقدير المسافة إلى الجسم ، ولكن هذا بالفعل أحد الآثار الجانبية المرتبطة بالبصريات المضمنة في أعيننا.)
يجب أن يكون لعيون ساكن الفضاء رباعي الأبعاد شبكية ثلاثية الأبعاد. يمكن لمثل هذا المخلوق أن يرى على الفور شكلًا ثلاثي الأبعاد تمامًا: كل وجوهه ودواخله. (بالطريقة نفسها ، يمكننا أن نرى شكلًا ثنائي الأبعاد ، بكل أوجهه ودواخله.)
وهكذا ، بمساعدة أعضائنا في الرؤية ، لا يمكننا إدراك المكعب رباعي الأبعاد بالطريقة نفسها التي قد يدركها سكان الفضاء رباعي الأبعاد. واحسرتاه. يبقى فقط الاعتماد على عين العقل والخيال ، اللذان ، لحسن الحظ ، ليس لهما قيود جسدية.
ومع ذلك ، عند تصوير مكعب مفرط على مستوى ما ، علي ببساطة أن أسقطه على مساحة ثنائية الأبعاد. ضع ذلك في الاعتبار عند دراسة الرسومات.
تقاطعات الحافة
بطبيعة الحال ، لا تتقاطع حواف المكعب المفرط. تظهر التقاطعات في الأشكال فقط. ومع ذلك ، لا ينبغي أن يكون هذا مفاجئًا ، لأن حواف المكعب العادي في الأشكال تتقاطع أيضًا.
أطوال الضلع
من الجدير بالذكر أن جميع أوجه وحواف المكعب رباعي الأبعاد متساوية. في الشكل ، ليست متساوية فقط لأنها تقع في زوايا مختلفة لاتجاه الرؤية. ومع ذلك ، من الممكن فتح المكعب الفائق بحيث يكون لكل الإسقاطات نفس الطول.
بالمناسبة ، تظهر ثمانية مكعبات بوضوح في هذا الشكل ، وهي وجوه المكعب المفرط.
Hypercube داخل فارغة
من الصعب تصديق ذلك ، ولكن بين المكعبات التي تربط المكعب الفائق ، هناك مساحة (جزء من مساحة رباعية الأبعاد).
لفهم هذا بشكل أفضل ، دعنا نفكر في الإسقاط ثنائي الأبعاد لمكعب ثلاثي الأبعاد عادي (لقد جعلته سطحيًا إلى حد ما).
هل يمكن التكهن منه بوجود مساحة داخل المكعب؟ نعم ، ولكن فقط بالخيال. العين لا ترى هذا الفضاء.
هذا لأن الحواف الموجودة في البعد الثالث (والتي لا يمكن تصويرها في رسم مسطح) قد تحولت الآن إلى مقاطع موجودة في مستوى الرسم. لم يعودوا يقدمون الحجم.
تتداخل المربعات التي تحد مساحة المكعب مع بعضها البعض. لكن يمكنك أن تتخيل أنه في الشكل الأصلي (مكعب ثلاثي الأبعاد) كانت هذه المربعات موجودة في مستويات مختلفة ، وليس واحدًا فوق الآخر في نفس المستوى ، كما هو موضح في الشكل.
وينطبق الشيء نفسه على المكعب الفائق. لا تتداخل الوجوه المكعبة للمكعب الفائق في الواقع ، كما يبدو لنا في الإسقاط ، ولكنها تقع في فضاء رباعي الأبعاد.
موسعات الثقوب
لذلك ، يمكن للمقيم في الفضاء رباعي الأبعاد أن يرى جسمًا ثلاثي الأبعاد في وقت واحد من جميع الجوانب. هل يمكننا رؤية مكعب ثلاثي الأبعاد من جميع الجوانب في نفس الوقت؟ بالعين لا. لكن الناس توصلوا إلى طريقة لتصوير جميع وجوه المكعب ثلاثي الأبعاد في نفس الوقت على رسم مسطح. تسمى هذه الصورة بالمسح.
تتكشف مكعب ثلاثي الأبعاد
ربما يعرف الجميع كيف يتشكل تكشف مكعب ثلاثي الأبعاد. تظهر هذه العملية في الرسوم المتحركة.
من أجل الوضوح ، حواف وجوه المكعب نصف شفافة.
وتجدر الإشارة إلى أننا لا نستطيع إدراك هذه الصورة ثنائية الأبعاد إلا بفضل الخيال. إذا أخذنا في الاعتبار مراحل الانكشاف من وجهة نظر ثنائية الأبعاد بحتة ، فستبدو العملية غريبة وليست مرئية على الإطلاق.
يبدو مثل الظهور التدريجي للخطوط العريضة للمربعات المشوهة أولاً ، ثم انتشارها في مكانها مع الاعتماد المتزامن للشكل اللازم.
إذا نظرت إلى مكعب ينفتح في اتجاه أحد وجوهه (من وجهة النظر هذه ، يبدو المكعب مثل المربع) ، فإن عملية تشكيل التطور تكون أقل وضوحًا. كل شيء يبدو وكأنه زحف خارج المربعات من المربع الأول (وليس مكعب مكشوف).
لكن غير مرئياكتساح فقط ل عين.
كيف نفهم الفضاء رباعي الأبعاد؟
فقط بفضل الخيال ، يمكن الحصول على الكثير من المعلومات منه.
تتكشف مكعب رباعي الأبعاد
من المستحيل ببساطة جعل العملية المتحركة لـ hypercube تتكشف على الأقل إلى حد ما بصريًا. لكن يمكن تخيل هذه العملية. (للقيام بذلك ، عليك أن تنظر إليه من خلال عيون كائن رباعي الأبعاد.)
انتشار يبدو مثل هذا.
جميع المكعبات الثمانية المحيطة بالمكعب الفائق مرئية هنا.
يتم طلاء الوجوه بنفس الألوان ، والتي يجب محاذاتها عند الطي. يتم ترك الوجوه التي لا تظهر لها الوجوه المقترنة باللون الرمادي. بعد الطي ، يجب محاذاة الوجه العلوي للمكعب العلوي مع الوجه السفلي للمكعب السفلي. (وبالمثل ، فإن تطوير المكعب ثلاثي الأبعاد قد انهار).
يرجى ملاحظة أنه بعد الطي ، سوف تتلامس جميع وجوه المكعبات الثمانية ، مما يؤدي إلى إغلاق المكعب المفرط. وأخيرًا ، أثناء تمثيل عملية الطي ، لا تنس أنه عند الطي ، لا يتم تراكب المكعبات ، لكنها تلتف حول منطقة معينة رباعية الأبعاد (مفرطة التكعيبية).
صور سلفادور دالي (1904-1989) الصلب عدة مرات ، وتظهر الصلبان في العديد من لوحاته. تستخدم اللوحة The Crucifixion (1954) مسحًا مفرطًا.
الزمكان والفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد
أتمنى أن تكون قد تمكنت من تخيل المكعب الفائق. لكن هل تمكنت من الاقتراب من فهم كيفية عمل الزمكان رباعي الأبعاد الذي نعيش فيه؟ للأسف ، ليس الأمر كذلك.
تحدثنا هنا عن الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد ، لكن للزمكان خصائص مختلفة جدًا. على وجه الخصوص ، في أي دوران ، تظل المقاطع مائلة دائمًا إلى محور الوقت ، إما بزاوية أقل من 45 درجة ، أو بزاوية أكبر من 45 درجة.
كرست سلسلة من الملاحظات لخصائص الزمكان.
صورة ثلاثية الأبعاد
العالم ثلاثي الأبعاد. صورتها ثنائية الأبعاد. مهمة مهمة للرسم والتصوير الفوتوغرافي الآن هي نقل الأبعاد الثلاثة للفضاء. لقد أتقن الرومان بالفعل بعض التقنيات ، ثم تم نسيانها وبدأوا في العودة إلى الرسم الكلاسيكي مع عصر النهضة.
التقنية الرئيسية لإنشاء مساحة ثلاثية الأبعاد في الرسم هي المنظور. قضبان السكك الحديدية ، تبتعد عن العارض ، ضيقة بصريًا. في الرسم ، يمكن تضييق القضبان جسديًا. في التصوير الفوتوغرافي ، يظهر المنظور تلقائيًا: ستقوم الكاميرا بتصوير القضبان بضيق كما تراه العين. ومع ذلك ، لا تدعها تقترب تقريبًا: لن تبدو وكأنها منظور ، بل شكل غريب ؛ يجب الحفاظ على فجوة ملحوظة بين القضبان وجوانب الشارع وضفاف النهر.
من المهم أن نفهم أن المنظور الخطي هو الطريقة الأكثر بدائية وواقعية للتعبير عن العالم.
آخر الملاحة
ليس من قبيل المصادفة أن يرتبط مظهرها بالمشهد المسرحي (Florensky ، Reverse Perspective). التقليد ، سهولة نقل مشهد مسرحي صغير العمق مناسب جدًا للتصوير الفوتوغرافي ، خالٍ من مجموعة متنوعة من التقنيات المتاحة في الرسم.
هناك مناظير أكثر إثارة للاهتمام من الخطية. يوجد في أعمال أسياد الصين منظور عائم ، عندما يتم تصوير الأشياء في وقت واحد من الأسفل والأعلى والأمام. لم يكن ذلك خطأً تقنيًا من قبل فنانين غير أكفاء: فقد كتب المؤلف الأسطوري لهذه التقنية ، Guo Xi ، أن مثل هذا العرض يسمح للفرد بإدراك العالم بأكمله. تتشابه تقنية رسم الأيقونات الروسية ، حيث يمكن للمشاهد رؤية وجه الشخصية وظهرها في نفس الوقت. كانت طريقة مثيرة للاهتمام لرسم الأيقونات ، وجدت أيضًا بين فناني أوروبا الغربية ، هي المنظور العكسي ، حيث تكون الأشياء البعيدة ، على العكس من ذلك ، أكبر من الأشياء القريبة ، مما يؤكد أهميتها. فقط في أيامنا هذه ثبت أن مثل هذا المنظور صحيح: على عكس الأشياء البعيدة ، يُنظر إلى المقدمة حقًا من منظور عكسي (Rauschenbach). باستخدام Photoshop ، يمكنك تحقيق منظور عكسي بتكبير كائنات الخلفية. بالنسبة للمشاهد الذي اعتاد على قوانين التصوير الفوتوغرافي ، ستبدو هذه الصورة غريبة.
إن إدخال ركن المبنى في الإطار ، والذي تنحرف عنه الجدران في كلا الاتجاهين ، يخلق ما يشبه منظور متساوي القياس. يفهم الدماغ أن الجدران في زوايا قائمة ويضع بقية الصورة وفقًا لذلك. مثل هذا المنظور أكثر ديناميكية من المنظور الأمامي وأكثر طبيعية في المقدمة. فقط أدخل الزوايا النهائية للأشياء والمباني المتقاربة في الإطار.
نظرًا للتوسع ، يعد المنظور متساوي القياس كبيرًا ، والذي نادرًا ما يكون مناسبًا للصورة الكلاسيكية. المنظور الخطي ، بسبب التضييق ، ينقل بشكل أفضل المشاعر البسيطة.
في مرحلة التصوير ، يتوفر عدد من الأدوات للمصور للتأكيد على المنظور. الأشياء ذات العرض المتساوي (المسار ، الشارع ، الأعمدة ، الأخاديد) التي تذهب في المسافة ، من خلال تضييقها وحتى الابتعاد عنها ببساطة ، تشير إلى المشاهد ثلاثية الأبعاد للفضاء. يكون التأثير أقوى عند التصوير من زاوية منخفضة لزيادة تشوه المنظور. هذا كافٍ لتصوير المناظر الطبيعية ، ولكن مع عمق صورة صغير للتصوير الداخلي ، فإن التأثير بالكاد يكون ملحوظًا. يمكن تحسينه قليلاً في مرحلة ما بعد المعالجة عن طريق تضييق الجزء العلوي من الصورة (منظور التحويل). ومع ذلك ، حتى في المناظر الطبيعية ، يمكن أن يبدو المنظور المتضخم مثيرًا للاهتمام.
يمكن أن يكون العمق واضحًا في معنى الصورة: المباني مفصولة بشارع أو نهر. يؤكد القطر على الأبعاد الثلاثة ؛ مثل جسر فوق نهر.
كائنات ذات حجم معروف للمشاهد في الخلفية تحدد المقياس ، وبالتالي ، تشكل المنظور. في التصوير الفوتوغرافي للمناظر الطبيعية ، يمكن أن يكون هذا الموضوع عبارة عن سيارة ، ولكن في التصوير الفوتوغرافي للصور الشخصية ، حاول ثني ساقك وثنيها أسفل الكرسي (بعيدًا عن الكاميرا) بحيث تبدو أصغر ، بينما تظل مرئية. يمكنك حتى تصغير هذه الساق بشكل طفيف في مرحلة ما بعد المعالجة.
تنقل الزخرفة المنظور عن طريق تقليل العناصر بصريًا. مثال على ذلك هو البلاط الكبير على الأرض ، والذي يشير إلى خطوط على الطريق.
هناك تقنية تضخم في المقدمة. كبير بشكل غير متناسب ، فإنه يخلق عمق الصورة. بمقارنة مقياس المقدمة والنموذج ، تستنتج العين أن النموذج أبعد بكثير مما يبدو. يجب أن يظل التضخيم دقيقًا حتى لا يُنظر إلى الصورة على أنها خطأ. هذه التقنية مناسبة ليس فقط للمعالجة اللاحقة ، ولكن أيضًا للتصوير: قم بتشويه النسب عند التصوير باستخدام عدسة 35 أو 50 مم. التصوير باستخدام عدسة بزاوية عريضة يوسع المساحة ، ويعزز أبعادها الثلاثية بسبب انتهاك النسب. يكون التأثير أقوى إذا قمت بتصوير النموذج من مسافة قريبة ، ولكن احذر من النسب البشعة: مؤلفو الصور الدينية فقط هم من يمكنهم تصوير شخص أكبر من مبنى.
كروس يعمل بشكل رائع. إذا غطت التفاحة الكمثرى جزئيًا ، فلن يخطئ الدماغ: التفاحة أمام الكمثرى. النموذج ، الذي يغطي الأثاث جزئيًا ، يخلق بالتالي عمق الداخل.
كما يعطي تناوب البقع الفاتحة والداكنة عمقًا للصورة. يعرف الدماغ من التجربة أن الأشياء القريبة مضاءة بشكل متساوٍ تقريبًا ، لذلك يفسر الأشياء المضاءة بشكل مختلف على أنها على مسافات مختلفة. لهذا التأثير ، تتبدل النقاط في اتجاه محور المنظور - في عمق الصورة ، وليس عبرها. على سبيل المثال ، عند تصوير نموذج بعيدًا عن الكاميرا في إطار مظلم ، ضع نقاطًا بارزة من الضوء بالقرب من الأرداف وبالقرب من الساقين. يمكنك تفتيح / تعتيم المناطق في مرحلة ما بعد المعالجة.
يُنظر إلى تعاقب الأجسام المظلمة بشكل متزايد على التناقص. من خلال تظليل الكائنات تدريجيًا على طول الخط النشط ، يمكنك الحصول على إحساس دقيق بالمنظور. وبالمثل ، يتم نقل العمق عن طريق الضوء المخفف: قم بتشغيل خط من الضوء على الأثاث أو على الأرض.
يمكن الحصول على صورة ثلاثية الأبعاد ليس فقط بسبب الضوء ، ولكن أيضًا بسبب تباين الألوان. كانت هذه التقنية معروفة للرسامين الفلمنكيين ، الذين وضعوا بقعًا ملونة زاهية على أرواحهم الثابتة. سيبدو الرمان الأحمر والليمون الأصفر جنبًا إلى جنب ثلاثي الأبعاد حتى في الإضاءة الأمامية المسطحة. سوف تبرز بشكل خاص على خلفية العنب الأرجواني: لون دافئ على خلفية باردة. تندلع الأسطح الملونة الزاهية من الظلام جيدًا حتى مع الإضاءة الضعيفة النموذجية للحياة الساكنة. يعمل تباين الألوان بشكل أفضل مع الألوان الأساسية الأحمر والأصفر والأزرق بدلاً من الصبغات.
على خلفية سوداء ، يتقدم اللون الأصفر ، ويختفي اللون الأزرق. على خلفية بيضاء - على العكس من ذلك. يعزز تشبع اللون هذا التأثير. لماذا يحدث هذا؟ اللون الأصفر لا يكون داكنًا أبدًا ، لذلك يرفض الدماغ الاعتقاد بأن الجسم الأصفر يمكن غمره في خلفية مظلمة ، وليس مضاءً. من ناحية أخرى ، فإن اللون الأزرق غامق.
يعود تحسين المنظور في مرحلة ما بعد المعالجة إلى محاكاة الإدراك الجوي: تبدو لنا الأجسام البعيدة أخف وزنا وضبابية مع انخفاض التباين في السطوع والتشبع والنغمة.
بالإضافة إلى المسافات الطويلة ، تبدو التأثيرات الجوية بشكل طبيعي في ضباب الصباح والضباب وشريط الدخان. ضع في اعتبارك الطقس: في يوم غائم أو عند الغسق ، لا يمكن أن يكون هناك فرق كبير بين المقدمة والخلفية.
أقوى العوامل هو التباين في السطوع. في الإعدادات ، هذا هو التباين المعتاد. قم بتقليل تباين الكائنات البعيدة ، ورفع التباين في المقدمة - وتصبح الصورة منتفخة. لا يتعلق الأمر بالتباين بين المقدمة والخلفية ، بل يتعلق بتباين الخلفية ، والذي يجب أن يكون أقل من تباين المقدمة. هذه الطريقة مناسبة ليس فقط لتصوير المناظر الطبيعية والأنواع ، ولكن أيضًا لصور الاستوديو: رفع التباين في مقدمة الوجه ، وتقليل التباين على الشعر وعظام الخد ، والملابس. تقوم مرشحات الصور الشخصية بعمل شيء مماثل ، حيث تعمل على تشويش لون بشرة الهدف وتترك العينين والشفاه حادة.
يعد ضبط التباين أسهل طريقة للقيام بمعالجة ثلاثية الأبعاد للصورة. على عكس العمليات الأخرى ، بالكاد يلاحظ المشاهد التغييرات ، والتي ستحافظ على أقصى درجات طبيعية.
التعتيم مشابه لتقليل التباين ، لكنهما عمليتان مختلفتان. يمكن أن تكون الصورة منخفضة التباين بينما تظل حادة. نظرًا لعمق المجال المحدود ، يظل ضبابية الكائنات البعيدة الطريقة الأكثر شيوعًا لنقل الأبعاد الثلاثية في التصوير الفوتوغرافي ، ومن السهل تحسينها عن طريق طمس الخلفية في مرحلة ما بعد المعالجة. لذلك ، يجب وضع تفاصيل أقل في الخلفية - لا يتوقع الدماغ وجود أشياء يمكن تمييزها عن بُعد. وفي الوقت نفسه ، فإن خفض التباين يتوافق بشكل أفضل مع الإدراك الطبيعي: تُرى الجبال البعيدة بتباين منخفض ، وليست ضبابية ، لأن مسح المناظر الطبيعية ، تقوم العين بإعادة التركيز باستمرار ، فهي غريبة عن مشكلة عمق المجال. من خلال طمس الخلفية ، يمكنك في نفس الوقت زيادة وضوح المقدمة. بالإضافة إلى ذلك ، في المقدمة ، يمكنك تحسين خطوط الصورة (High Pass Filter أو Clarity). إن الحدة العالية للمقدمة هي التي تفسر الانتفاخ المميز لصورة العدسات عالية الجودة. تحذير: من أجل زيادة طفيفة في الأبعاد الثلاثية ، يمكنك جعل الصورة صعبة للغاية.
تبدو الأشياء الأخف وزنا أكثر بعدا. هذا يرجع إلى حقيقة أننا في الطبيعة نرى الأشياء البعيدة من خلال سماكة الهواء المشتت للضوء ؛ تبدو الجبال البعيدة مشرقة. لذلك ، في تصوير المناظر الطبيعية ، يجب على المرء أن يكون حذرًا بشأن موضع الأجسام الخفيفة في المقدمة.
تفتيح الأشياء البعيدة. كلما ابتعدنا ، كلما اندمجوا أكثر مع سطوع ونبرة السماء. يرجى ملاحظة أن الأجسام الأفقية (الأرض ، البحر) أفضل إضاءة من الأجسام الرأسية (الجدران ، الأشجار) ، لذلك لا تفرط في تفتيحها. على أي حال ، يجب أن تظل الأجسام أقل سطوعًا بشكل ملحوظ من السماء.
حسنًا ، إذا لاحظت أن السطوع طريقة أخرى لتقليل التباين في سطوع الخلفية. قم بتغميق المقدمة قليلاً لتعزيز تأثير الانتفاخ.
يبدو أن العكس هو الصحيح في الداخل. إذا كانت العين في الشارع معتادة على حقيقة أن المسافة خفيفة ، فغالبًا ما يركز الضوء في الغرفة على الشخص ، والداخل مغمور في الظلام ؛ يستخدم الدماغ للإضاءة في المقدمة وليس في الخلفية.
في الصور الداخلية ذات عمق المشهد الضحل ، على عكس صور المناظر الطبيعية ، يبرز النموذج المضيء من الخلفية المظلمة. ولكن هناك أيضًا عامل معاكس: 99٪ من تطوره ، لاحظ الإنسان المنظور في منطقة مفتوحة ، ومع ظهور الغرف ، لم يكن لدى الدماغ الوقت لإعادة التنظيم. فضل فيرمير خلفية فاتحة للصور ، وهي محدبة حقًا. إن إضاءة الخلفية العمودية ، الموصى بها في التصوير الفوتوغرافي ، لا تفصل النموذج عنه فحسب ، ولكن أيضًا ، من خلال تفتيح الخلفية ، تمنح الصورة ثلاثية الأبعاد. نحن هنا نواجه حقيقة أن الدماغ يحلل موقع الأشياء وفقًا لعدة عوامل ، ويمكن أن تكون متعارضة.
تبدو إضاءة الاستوديو مثيرة للاهتمام ، حيث تقع البقع الضوئية على مناطق بعيدة عن الكاميرا في النموذج. على سبيل المثال ، يتم تمييز الصندوق البعيد عن الكاميرا.
قلل من تشبع اللون على الأشياء البعيدة: نظرًا لسمك الهواء الذي يفصلنا ، فإن الجبال البعيدة غير مشبعة تقريبًا إلى مستوى اللون الأحادي ومغطاة بضباب أزرق. يمكن زيادة تشبع المقدمة.
نظرًا لأن اللون الأصفر فاتح والأزرق والأحمر غامق ، فإن تباين الألوان هو أيضًا تباين في السطوع.
تشبع خلفية بعيدة ، لا تدعها تختفي عن الأنظار. في كثير من الأحيان ، على العكس من ذلك ، تحتاج إلى زيادة تشبع الخلفية لإخراجها. هذا أكثر أهمية من الأبعاد الثلاثة.
تدور الكثير من النصائح حول التصوير ثلاثي الأبعاد حول تباين درجات الحرارة. في الواقع ، هذا التأثير ضعيف جدًا ويمكن مقاطعته بسهولة عن طريق التباين في السطوع. بالإضافة إلى ذلك ، فإن تباين درجات الحرارة أمر مزعج ومذهل.
تبدو الأشياء البعيدة أكثر برودة لأن الضوء البرتقالي الدافئ يمتص بواسطة الهواء. عند تصوير نموذج على الشاطئ مع وجود سفن في الأفق في الخلفية ، قم بخفض درجة حرارة اللون للبحر البعيد والسفن في مرحلة ما بعد المعالجة. يظهر نموذج في ملابس السباحة الحمراء من البحر الأزرق ، ويظهر نموذج في الضوء الأصفر لمصباح شارع من الشفق المزرق.
هذا هو التنغيم المنفصل: نجعل النموذج أكثر دفئًا ، والخلفية أكثر برودة. يدرك الدماغ أنه لا توجد درجات حرارة لونية مختلفة في نفس المستوى ، ويدرك مثل هذه الصورة على أنها ثلاثية الأبعاد ، حيث يبرز النموذج من الخلفية. يضيف التنغيم المنفصل عمقًا إلى المناظر الطبيعية: اجعل المقدمة أكثر دفئًا والخلفية أكثر برودة.
استثناء مهم لتقسيم درجات الألوان: عند شروق الشمس وغروبها ، لا تكون الخلفية البعيدة باردة على الإطلاق ، ولكنها دافئة بدرجات اللون الأصفر والأحمر البرتقالي. الحل الواضح - استخدام نموذج أبيض في ملابس السباحة الأرجواني - لا يعمل لأن ضوء غروب الشمس يضع لونًا دافئًا على جسم العارضة أيضًا.
للتلخيص ، لإعطاء صورة ثلاثية الأبعاد بناءً على تأثيرات الغلاف الجوي ، من الضروري مقارنة المقدمة والخلفية. المعارضة الرئيسية هي التباين المعتاد: المقدمة متباينة ، والخلفية منخفضة التباين. المعاكس الثاني واضح: المقدمة حادة والخلفية ضبابية. المعارضة الثالثة حسب الخفة: المقدمة مظلمة والخلفية مضيئة. المعارضة الرابعة عن طريق التشبع: ألوان المقدمة مشبعة وألوان الخلفية غير مشبعة. المقاومة الخامسة في درجة الحرارة: المقدمة دافئة والخلفية باردة.
غالبًا ما تكون هذه العوامل متعددة الاتجاهات. اللون الأصفر أكثر إشراقًا من الأزرق ، وتظهر الأجسام الفاتحة أكثر من الأجسام الداكنة. سيكون من الطبيعي توقع انحسار اللون الأصفر والأزرق للاقتراب من العارض. في الواقع ، العكس هو الصحيح: ينبثق لون دافئ من الخلفية الباردة. وهذا يعني أن اللون هو عامل أقوى من السطوع. وهو ما لا يثير الدهشة عند التفكير: فالأصفر والأحمر لا يمكن تمييزهما بوضوح إلا عن قرب ، ولا يتوقع المشاهد مقابلتهم على مسافة بعيدة.
الخلاصة: حافظ على الخلفية منخفضة التباين ، مغسولة ، خفيفة ، غير مشبعة ، مزرقة. وكن مستعدًا لحقيقة أن المشاهد ، الذي اعتاد على الأفلام ثلاثية الأبعاد الضخمة ، سيجد الأبعاد الثلاثية التي خلقتها بالكاد ملحوظة أو غائبة.
في البورتريه ، من الأفضل الاعتماد على تأثير chiaroscuro المثبت ، ولعب الضوء والظل على وجه الشخص ، مما سيجعل الصورة تبدو بارزة تمامًا. في تصوير النوع ، يعطي المنظور التأثير ثلاثي الأبعاد الأكثر وضوحًا. في الحياة الساكنة ، سيكون العامل الرئيسي هو تقاطع (تراكب) الكائنات.
لا تبتعد عن المنظور ؛ إنها مجرد خلفية للمستوى الأمامي الذي ترتجف فيه صورتك. في الرسم الحديث ، بعيدًا عن الواقعية ، لا يحظى المنظور بتقدير كبير.
تنزيل الكتاب بالكامل: pdfepubazw3mobifb2lit جدول المحتويات
|
|||||||||||||||||||||
|
في عام 1904 ، اقترح Henri Poincare أن أي جسم ثلاثي الأبعاد له خصائص معينة للكرة ثلاثية الأبعاد يمكن تحويله إلى كرة ثلاثية. استغرق إثبات هذه الفرضية 99 عامًا. (انتبه! الكرة ثلاثية الأبعاد ليست كما تعتقد). أثبت عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان تخمين بوانكاريه الذي تم إجراؤه منذ مائة عام وأكمل إنشاء فهرس لأشكال الفضاءات ثلاثية الأبعاد.
اقترح بوانكاريه أن الكرة الثلاثية فريدة من نوعها ولا يوجد أي مشعب ثلاثي مضغوط آخر (المشعبات غير المدمجة لانهائية أو لها حواف. في ما يلي ، يتم اعتبار المشعبات المدمجة فقط) لها الخصائص التي تجعلها بسيطة للغاية. تحتوي المشعبات الثلاثة الأكثر تعقيدًا على حدود تقف مثل جدار من الطوب ، أو وصلات متعددة بين بعض المناطق ، مثل مسار الغابة الذي يتفرع ويعيد الاتصال. أي جسم ثلاثي الأبعاد بخصائص كرة ثلاثية يمكن تحويله إلى كرة ثلاثية نفسها ، لذلك بالنسبة لعلماء الطبولوجيا فهو مجرد نسخة منه. يسمح لنا دليل بيرلمان أيضًا بالإجابة على السؤال الثالث وتصنيف جميع المشعبات الثلاثة الموجودة.
أنت بحاجة إلى قدر لا بأس به من الخيال لتخيل كرة ثلاثية. لحسن الحظ ، هناك الكثير من القواسم المشتركة مع 2-sphere ، ومثال نموذجي على ذلك هو مطاط بالون دائري: إنه ثنائي الأبعاد ، حيث أن أي نقطة عليه يتم تحديدها من خلال إحداثيين فقط - خط العرض وخط الطول. إذا أخذنا في الاعتبار قسمًا صغيرًا بدرجة كافية منه تحت عدسة مكبرة قوية ، فسيبدو وكأنه قطعة من ورقة مسطحة. بالنسبة للحشرة الصغيرة التي تزحف على بالون ، ستبدو وكأنها سطح مستو. ولكن إذا تحرك booger في خط مستقيم لفترة كافية ، فسيعود في النهاية إلى نقطة البداية. وبنفس الطريقة ، فإننا ندرك أن مجالًا ثلاثي الأبعاد بحجم كوننا هو فضاء ثلاثي الأبعاد "عادي". بالطيران بعيدًا بما يكفي في أي اتجاه ، سنقوم في النهاية "بدائرة العالم" عليه ونعود إلى نقطة البداية.
كما قد تكون خمنت ، تسمى الكرة ذات البعد n بـ n-sphere. على سبيل المثال ، الكرة 1 مألوفة للجميع: إنها مجرد دائرة.
لا يتعين على علماء الرياضيات الذين يثبتون نظريات حول المساحات عالية الأبعاد تخيل موضوع الدراسة: فهم يتعاملون مع الخصائص المجردة ، مسترشدين بالحدس المبني على مقارنات ذات أبعاد أقل (يجب التعامل مع مثل هذه المقارنات بحذر وعدم أخذها حرفيًا). سننظر أيضًا في الكرة الثلاثية بناءً على خصائص الكائنات ذات عدد أقل من الأبعاد.
1. لنبدأ بالنظر في الدائرة والدائرة التي تحيط بها. بالنسبة لعلماء الرياضيات ، الدائرة هي كرة ثنائية الأبعاد ، والدائرة هي كرة ذات بعد واحد. علاوة على ذلك ، فإن الكرة من أي بُعد هي جسم ممتلئ ، تشبه البطيخ ، والكرة هي سطحها ، مثل البالون. الدائرة أحادية البعد ، لأن موضع النقطة عليها يمكن تحديده برقم واحد.
2. من دائرتين ، يمكننا بناء كرة ثنائية الأبعاد ، وتحويل إحداهما إلى نصف الكرة الشمالي والأخرى إلى الجنوب. يبقى لصقها ، والكرة 2 جاهزة.
3. تخيل نملة تزحف من القطب الشمالي في دائرة كبيرة مكونة من خطي الزوال صفر و 180 (على اليسار). إذا قمنا بتعيين مسارها إلى دائرتين أصليتين (على اليمين) ، فإننا نرى أن الحشرة تتحرك في خط مستقيم (1) إلى حافة الدائرة الشمالية (أ) ، ثم تعبر الحدود ، وتصل إلى النقطة المقابلة على الدائرة الجنوبية وتستمر في اتباع الخط المستقيم (2 و 3). ثم تصل النملة مرة أخرى إلى الحافة (ب) ، وتقطعها وتجد نفسها مرة أخرى في الدائرة الشمالية ، مسرعة إلى نقطة البداية - القطب الشمالي (4). لاحظ أنه أثناء رحلة حول العالم على كرة 2 ، ينعكس اتجاه الحركة عند الانتقال من دائرة إلى أخرى.
4. الآن ضع في اعتبارك الكرة 2 والحجم الذي تحتوي عليه (الكرة ثلاثية الأبعاد) وافعل نفس الشيء معهم كما فعلنا مع الدائرة والدائرة: خذ نسختين من الكرة وألصق حدودهما معًا. من المستحيل ، وليس من الضروري ، إظهار كيفية تشويه الكرات بأربعة أبعاد وتحويلها إلى نظير لنصفي الكرة الأرضية. يكفي أن نعرف أن النقاط المقابلة على الأسطح ، أي 2-المجالات مترابطة بنفس الطريقة كما في حالة الدوائر. نتيجة الانضمام إلى كرتين هي كرة ثلاثية - سطح كرة رباعية الأبعاد. (في أربعة أبعاد ، حيث توجد كرة 3 و 4 كرات ، يكون سطح الجسم ثلاثي الأبعاد.) دعنا نسمي كرة نصف الكرة الشمالي والأخرى نصف الكرة الجنوبي. قياسا على الدوائر ، أصبح القطبان الآن في مراكز الكرات.
5. تخيل أن الكرات المعنية هي مساحات فارغة كبيرة. لنفترض أن رائد فضاء غادر القطب الشمالي على صاروخ. في الوقت المناسب يصل إلى خط الاستواء (1) ، وهو الآن الكرة المحيطة بالكرة الأرضية الشمالية. عند عبوره ، يدخل الصاروخ نصف الكرة الجنوبي ويتحرك في خط مستقيم عبر مركزه - القطب الجنوبي - إلى الجانب الآخر من خط الاستواء (2 و 3). هناك ، يحدث الانتقال إلى نصف الكرة الشمالي مرة أخرى ، ويعود المسافر إلى القطب الشمالي ، أي إلى نقطة البداية (4). هذا هو السيناريو للسفر حول العالم على سطح كرة رباعية الأبعاد! المجال ثلاثي الأبعاد المدروس هو الفضاء المشار إليه في تخمين بوانكاريه. ربما يكون كوننا مجرد كرة ثلاثية.
يمكن أن يمتد التفكير إلى خمسة أبعاد وبناء كرة رباعية ، ولكن من الصعب للغاية تخيل ذلك. إذا قمنا بلصق كرتين من n على طول (n-1) - الكرات المحيطة بهما ، فسنحصل على كرة n تحيط بالكرة (n + 1).
مضى نصف قرن قبل أن تنطلق تخمين بوانكاريه. في الستينيات. القرن ال 20 أثبت علماء الرياضيات عبارات مشابهة لها لمجالات ذات خمسة أبعاد أو أكثر. في كل حالة ، فإن n-sphere هو في الواقع المشعب n الوحيد والأبسط. ومن الغريب أنه تبين أنه من الأسهل الحصول على نتيجة لمجالات متعددة الأبعاد أكثر من الحصول على 3 و 4 كرات. ظهر الدليل على أربعة أبعاد في عام 1982. وفقط تخمين بوانكاريه الأصلي حول الكرة 3 بقي غير مؤكد.
تم اتخاذ الخطوة الحاسمة في نوفمبر 2002 ، عندما جريجوري بيرلمان ، عالم رياضيات من قسم سانت بطرسبرغ في معهد الرياضيات. Steklov ، مقالًا إلى الموقع www.arxiv.org ، حيث يناقش علماء الفيزياء والرياضيات من جميع أنحاء العالم نتائج أنشطتهم العلمية. اكتشف الطوبولوجيون على الفور الصلة بين عمل العالم الروسي وفرضية بوانكاريه ، على الرغم من أن المؤلف لم يذكرها مباشرة.
في الواقع ، فإن برهان بيرلمان ، الذي لم يتمكن أحد من التشكيك في صحته ، يحل نطاقًا أوسع بكثير من الأسئلة من تخمين بوانكاريه الفعلي. يسمح إجراء الهندسة الهندسية الذي اقترحه William P. Thurston من جامعة كورنيل بتصنيف كامل لل 3 متشعبات على أساس 3-sphere ، وهو فريد من نوعه في بساطته الرائعة. إذا كان تخمين بوانكاريه خاطئًا ، أي إذا كان هناك العديد من المساحات البسيطة مثل الكرة ، فإن تصنيف المشعبات الثلاثة سيصبح شيئًا أكثر تعقيدًا بلا حدود. بفضل Perelman و Thurston ، لدينا فهرس كامل لجميع أشكال الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تسمح بها الرياضيات التي يمكن لكوننا أن يأخذها (إذا نظرنا إلى الفضاء فقط بدون وقت).
لفهم حدسية بوانكاريه وإثبات بيرلمان بشكل أفضل ، يجب على المرء أن يلقي نظرة فاحصة على الطوبولوجيا. في هذا الفرع من الرياضيات ، لا يهم شكل الشيء ، كما لو كان مصنوعًا من عجينة ، يمكن شدها وضغطها وثنيها بأي شكل من الأشكال. لماذا يجب أن نفكر في الأشياء أو المساحات من خلال اختبار وهمي؟ الحقيقة هي أن الشكل الدقيق للكائن - المسافة بين جميع نقاطه - يشير إلى المستوى الهيكلي ، والذي يسمى الهندسة. من خلال فحص كائن من الاختبار ، يكشف الطوبولوجيون عن خصائصه الأساسية التي لا تعتمد على البنية الهندسية. تشبه دراسة الطوبولوجيا البحث عن السمات الأكثر شيوعًا التي يمتلكها الناس من خلال النظر إلى "رجل من البلاستيسين" يمكن تحويله إلى أي فرد بعينه.
في الأدب الشعبي ، غالبًا ما يكون هناك تأكيد مبتذل ، من وجهة نظر الطوبولوجيا ، أن الكوب لا يختلف عن الكعك. الحقيقة هي أنه يمكن تحويل كوب العجين إلى كعكة دونات بمجرد سحق المادة ، أي لا شيء يلتصق أو يصنع ثقوبًا. من ناحية أخرى ، لصنع كعكة دونات من كرة ، فأنت بالتأكيد بحاجة لعمل ثقب فيها أو لفها في أسطوانة وتعمية الأطراف ، وبالتالي فإن الكرة ليست كعكة دائرية على الإطلاق.
يهتم الطوبولوجيون كثيرًا بأسطح الكرة والدونات. لذلك ، بدلاً من الأجسام الصلبة ، يجب على المرء أن يتخيل البالونات. لا تزال طوبولوجيتها مختلفة ، حيث لا يمكن تحويل البالون الكروي إلى بالون دائري ، وهو ما يسمى الطارة. أولاً ، قرر العلماء معرفة عدد الكائنات ذات الهياكل المختلفة وكيف يمكن تمييزها. بالنسبة إلى المشعبتين ، التي اعتدنا على استدعاء الأسطح ، فإن الإجابة أنيقة وبسيطة: كل شيء يتم تحديده من خلال عدد "الثقوب" أو ، على نحو مكافئ ، عدد المقابض. بحلول نهاية القرن التاسع عشر. اكتشف علماء الرياضيات كيفية تصنيف الأسطح ووجدوا أن أبسطها كانت الكرة. بطبيعة الحال ، بدأ الطبولوجيا بالتفكير في 3 متشعبات: هل الكرة 3 فريدة من نوعها في بساطتها؟ إن التاريخ القديم للبحث عن إجابة مليء بالعثرات والأدلة الخاطئة.
تناول هنري بوانكاريه هذه المسألة بجدية. كان أحد أقوى علماء الرياضيات في أوائل القرن العشرين. (الآخر كان ديفيد هيلبرت). أُطلق عليه لقب آخر اختصاصي عام - فقد عمل بنجاح في جميع أقسام الرياضيات البحتة والتطبيقية. بالإضافة إلى ذلك ، قدم بوانكاريه مساهمة كبيرة في تطوير الميكانيكا السماوية ، ونظرية الكهرومغناطيسية ، وكذلك في فلسفة العلوم ، والتي كتب عنها العديد من الكتب الشعبية.
أصبح بوانكاريه مؤسس الطوبولوجيا الجبرية ، وباستخدام أساليبها ، صاغ في عام 1900 خاصية طوبولوجية لكائن ما ، تسمى homotopy. لتحديد التماثل المتماثل في المشعب ، يجب على المرء أن يغمر عقليًا حلقة مغلقة فيه. ثم يجب أن نكتشف ما إذا كان من الممكن دائمًا تقليص الحلقة إلى نقطة عن طريق تحريكها داخل المشعب. بالنسبة للحلقة ، ستكون الإجابة سلبية: إذا وضعت حلقة حول محيط الطارة ، فلن يكون من الممكن تقليصها إلى نقطة ، لأن سوف تتداخل "فتحة" الدونات. Homotopy هو عدد المسارات المختلفة التي يمكن أن تمنع الحلقة من الانكماش.
في n-sphere ، يمكن دائمًا تفكيك أي حلقة ، حتى الملتوية بشكل معقد ، وسحبها إلى نقطة معينة. (يُسمح للحلقة بالمرور من خلال نفسها.) افترض بوانكاريه أن الكرة 3 هي المشعب الوحيد الذي يمكن أن تتقلص فيه أي حلقة إلى نقطة. لسوء الحظ ، لم يكن قادرًا على إثبات تخمينه ، والذي أصبح يُعرف فيما بعد باسم تخمين بوانكاريه.
يرتبط تحليل Perelman لـ 3-manifolds ارتباطًا وثيقًا بإجراء الهندسة. تتعامل الهندسة مع الشكل الفعلي للأشياء والمشعبات ، التي لم تعد مصنوعة من العجين ، بل من السيراميك. على سبيل المثال ، يختلف الكوب والخبز هندسيًا لأن سطحهما منحني بشكل مختلف. يقال إن الكأس والدونات مثالان على طارة طوبولوجية بأشكال هندسية مختلفة.
لفهم سبب استخدام Perelman للهندسة ، ضع في اعتبارك تصنيف 2-manifolds. يتم تخصيص هندسة فريدة لكل سطح طوبولوجي يتم توزيع انحناءها بشكل موحد في جميع أنحاء المشعب. على سبيل المثال ، بالنسبة للكرة ، هذا سطح كروي تمامًا. هناك هندسة أخرى محتملة للكرة الطوبولوجية وهي البيضة ، لكن انحناءها غير موزع بشكل موحد في كل مكان: الطرف الحاد منحني أكثر من الطرف غير الحاد.
2-متشعبات تشكل ثلاثة أنواع هندسية. تتميز الكرة بانحناء إيجابي. الطارة الهندسية مسطحة وليس لها أي انحناء. جميع المشعبات الأخرى ذات الفتحتين أو أكثر لها انحناء سلبي. إنها تتوافق مع سطح مشابه للسرج ، والذي ينحني لأعلى في الأمام والخلف ، ولأسفل إلى اليسار واليمين. تم تطوير هذا التصنيف الهندسي (الهندسة) للمشعبين من قبل Poincare مع Paul Koebe و Felix Klein ، وبعد ذلك تم تسمية زجاجة كلاين.
هناك رغبة طبيعية في تطبيق طريقة مماثلة على المشعبات الثلاثة. هل من الممكن إيجاد مثل هذا التكوين الفريد لكل منهم ، حيث يتم توزيع الانحناء بالتساوي على المشعب بأكمله؟
اتضح أن المشعبات الثلاثية أكثر تعقيدًا بكثير من نظيراتها ثنائية الأبعاد ، ولا يمكن ربط معظمها بهندسة متجانسة. يجب أن يتم تقسيمها إلى أجزاء ، والتي تتوافق مع واحدة من ثماني أشكال هندسية متعارف عليها. يشبه هذا الإجراء تحلل عدد إلى عوامل أولية.
كيف يمكن للمرء أن يتخذ شكل هندسي متشعب ويعطيه انحناءًا موحدًا في كل مكان؟ يجب أن تأخذ بعض الأشكال الهندسية التعسفية مع نتوءات وفترات استراحة مختلفة ، ثم تلطيف كل النتوءات. في أوائل التسعينيات. القرن ال 20 بدأ هاملتون في تحليل المشعبات الثلاثة باستخدام معادلة تدفق ريتشي ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات جريجوريو ريتشي كورباسترو. إنها تشبه إلى حد ما معادلة الحرارة ، التي تصف تدفقات الحرارة المتدفقة في جسم ساخن بشكل غير متساوٍ حتى تصبح درجة حرارته هي نفسها في كل مكان. بالطريقة نفسها ، تحدد معادلة تدفق Ricci تغييرًا في انحناء المشعب ، مما يؤدي إلى محاذاة جميع الحواف والانخفاضات. على سبيل المثال ، إذا بدأت ببيضة ، فسوف تصبح كروية بشكل تدريجي.
أضاف بيرلمان مصطلحًا جديدًا إلى معادلة تدفق ريتشي. لم يُلغ هذا التغيير مشكلة التفرد ، لكنه سمح بتحليل أعمق بكثير. أظهر العالم الروسي أنه يمكن إجراء عملية "جراحية" على مشعب على شكل دمبل: قطع أنبوب رفيع على جانبي القرص الناشئ وإغلاق الأنابيب المفتوحة البارزة من الكرات بأغطية كروية. بعد ذلك ، يجب أن يستمر المرء في تغيير المشعب "المشغل" وفقًا لمعادلة تدفق Ricci ، وتطبيق الإجراء أعلاه على جميع القرصات الناشئة. أظهر بيرلمان أيضًا أن الميزات على شكل السيجار لا يمكن أن تظهر. وبالتالي ، يمكن اختزال أي مشعب ثلاثي إلى مجموعة من الأجزاء ذات هندسة موحدة.
عندما يتم تطبيق تدفق ريتشي و "الجراحة" على جميع المشعبات الثلاثة الممكنة ، فإن أيًا منها ، إذا كانت بسيطة مثل كرة ثلاثية (بمعنى آخر ، لها نفس التماثل) ، فإنها تقلل بالضرورة إلى نفس الهندسة المتجانسة ، والتي و 3 مجالات. ومن ثم ، من وجهة النظر الطوبولوجية ، فإن المشعب قيد النظر هو 3-sphere. وبالتالي فإن الكرة 3 فريدة من نوعها.
لا تكمن قيمة مقالات بيرلمان في إثبات تخمين بوانكاريه فحسب ، بل تكمن أيضًا في طرق التحليل الجديدة. يستخدم العلماء في جميع أنحاء العالم بالفعل النتائج التي حصل عليها عالم الرياضيات الروسي في عملهم ويطبقون الأساليب التي طورها في مجالات أخرى. اتضح أن تدفق ريتشي مرتبط بما يسمى مجموعة إعادة التطبيع ، والتي تحدد كيفية تغير قوة التفاعلات اعتمادًا على طاقة اصطدام الجسيمات. على سبيل المثال ، عند الطاقات المنخفضة ، تتميز قوة التفاعل الكهرومغناطيسي بالرقم 0.0073 (حوالي 1/137). ومع ذلك ، عندما يصطدم إلكترونان وجهاً لوجه بسرعة الضوء تقريبًا ، تقترب هذه القوة من 0.0078. إن الرياضيات التي تصف التغيير في القوى الفيزيائية تشبه إلى حد بعيد الرياضيات التي تصف هندسة المشعب.
زيادة طاقة الاصطدام تعادل قوة التعلم على مسافات أقصر. لذلك ، تشبه مجموعة إعادة التطبيع مجهرًا بعامل تكبير متغير ، مما يسمح لك باستكشاف العملية على مستويات مختلفة من التفاصيل. وبالمثل ، فإن تدفق ريتشي هو مجهر للبحث في المشعبات. النتوءات والمنخفضات المرئية عند تكبير تختفي عند تكبير آخر. من المحتمل أنه على مقياس طول بلانك (حوالي 10 -35 مترًا) تبدو المساحة التي نعيش فيها وكأنها رغوة ذات بنية طوبولوجية معقدة. بالإضافة إلى ذلك ، ترتبط معادلات النسبية العامة ، التي تصف خصائص الجاذبية والبنية واسعة النطاق للكون ، ارتباطًا وثيقًا بمعادلة تدفق ريتشي. ومن المفارقات أن المصطلح الذي أضافه بيرلمان إلى التعبير الذي استخدمه هاملتون يظهر في نظرية الأوتار ، والتي تدعي أنها نظرية الكم للجاذبية. من الممكن أن يجد العلماء في مقالات عالم الرياضيات الروسي المزيد من المعلومات المفيدة ليس فقط حول المشعبات الثلاثية المجردة ، ولكن أيضًا عن المساحة التي نعيش فيها.
