• الاحتمالية هي الدرجة (القياس النسبي، التقييم الكمي) لاحتمال وقوع حدث ما. عندما تكون أسباب وقوع حدث محتمل تفوق الأسباب المعاكسة له، فإن هذا الحدث يسمى محتملًا، وإلا - غير محتمل أو غير محتمل. يمكن أن يكون رجحان الأسباب الإيجابية على الأسباب السلبية، والعكس صحيح، بدرجات متفاوتة، ونتيجة لذلك يمكن أن يكون الاحتمال (وعدم الاحتمال) أكبر أو أقل. لذلك، يتم تقييم الاحتمالية غالبًا على المستوى النوعي، خاصة في الحالات التي يكون فيها التقييم الكمي الدقيق إلى حد ما مستحيلًا أو صعبًا للغاية. من الممكن الحصول على تدرجات مختلفة لـ "مستويات" الاحتمال.

  تشكل دراسة الاحتمال من وجهة نظر رياضية نظامًا خاصًا - نظرية الاحتمالات. في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي، يتم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمال كخاصية عددية لحدث ما - مقياس الاحتمال (أو قيمته) - مقياس لمجموعة من الأحداث (مجموعات فرعية من مجموعة من الأحداث الأولية)، مع أخذ القيم من

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  معنى

  (\displaystyle 1)

  يتوافق مع حدث موثوق. الحدث المستحيل له احتمال 0 (العكس ليس صحيحًا دائمًا). إذا كان احتمال وقوع حدث هو

  (\displaystyle ع)

  ثم احتمال عدم حدوثه يساوي

  (\displaystyle 1-ص)

  على وجه الخصوص، الاحتمال

  (\displaystyle 1/2)

  يعني احتمالية متساوية لحدوث وعدم وقوع حدث ما.

  يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمال على مفهوم الاحتمال المتساوي للنتائج. الاحتمال هو نسبة عدد النتائج المفضلة لحدث معين إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة المتساوية. على سبيل المثال، احتمال الحصول على صورة أو كتابة في رمية عملة عشوائية هو 1/2 إذا افترض أن هذين الاحتمالين فقط هما اللذان يحدثان وأنهما محتملان بشكل متساوٍ. يمكن تعميم هذا "التعريف" الكلاسيكي للاحتمال على حالة عدد لا حصر له من القيم المحتملة - على سبيل المثال، إذا كان من الممكن أن يقع حدث ما باحتمال متساو في أي نقطة (عدد النقاط لا نهائي) في منطقة محدودة من الفضاء (المستوى)، فإن احتمال حدوثه في جزء ما من هذه المنطقة الممكنة يساوي نسبة حجم (مساحة) هذا الجزء إلى حجم (مساحة) المنطقة لجميع النقاط الممكنة.

  يرتبط "التعريف" التجريبي للاحتمال بتكرار حدث ما، استنادًا إلى حقيقة أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب، يجب أن يميل التكرار إلى الدرجة الموضوعية لاحتمال وقوع هذا الحدث. في العرض الحديث لنظرية الاحتمالات، يتم تعريف الاحتمال بشكل بديهي، كحالة خاصة من النظرية المجردة للقياس المحدد. إلا أن الرابط بين القياس المجرد والاحتمال، الذي يعبر عن درجة احتمال وقوع حدث ما، هو بالضبط تكرار ملاحظته.

  أصبح الوصف الاحتمالي لبعض الظواهر منتشرًا على نطاق واسع في العلوم الحديثة، ولا سيما في الاقتصاد القياسي، والفيزياء الإحصائية للأنظمة العيانية (الديناميكية الحرارية)، حيث حتى في حالة الوصف الحتمي الكلاسيكي لحركة الجسيمات، هناك وصف حتمي للنظام بأكمله من الجسيمات لا يبدو ممكنا أو مناسبا من الناحية العملية. في فيزياء الكم، العمليات الموصوفة هي في حد ذاتها ذات طبيعة احتمالية.

كيفية حساب احتمال وقوع حدث؟

أفهم أن الجميع يريد أن يعرف مسبقًا كيف سينتهي الحدث الرياضي ومن سيفوز ومن سيخسر. مع هذه المعلومات، يمكنك المراهنة على الأحداث الرياضية دون خوف. ولكن هل هذا ممكن، وإذا كان الأمر كذلك، فكيف نحسب احتمالية وقوع حدث ما؟

الاحتمال كمية نسبية، لذلك لا يمكن أن تتحدث بيقين عن أي حدث. تتيح لك هذه القيمة تحليل وتقييم الحاجة إلى الرهان على منافسة معينة. تحديد الاحتمالات هو علم كامل يتطلب دراسة وفهمًا متأنيين.

معامل الاحتمالية في نظرية الاحتمالات

في المراهنات الرياضية، هناك عدة خيارات لنتيجة المنافسة:

• فوز الفريق الأول؛
• فوز الفريق الثاني؛
• يرسم؛
• المجموع

كل نتيجة من نتائج المنافسة لها احتمالها الخاص وتكرار حدوث هذا الحدث، بشرط الحفاظ على الخصائص الأولية. كما قلنا سابقًا، من المستحيل حساب احتمالية أي حدث بدقة - فقد يتزامن وقد لا يتزامن. وبالتالي، فإن رهانك إما أن يفوز أو يخسر.

لا يمكن أن يكون هناك توقع دقيق بنسبة 100% لنتائج المسابقة، حيث أن هناك عوامل كثيرة تؤثر على نتيجة المباراة. بطبيعة الحال، لا يعرف وكلاء المراهنات نتيجة المباراة مقدمًا ويفترضون النتيجة فقط، ويتخذون القرارات باستخدام نظام التحليل الخاص بهم ويقدمون احتمالات معينة للمراهنة.

كيفية حساب احتمال وقوع حدث؟

لنفترض أن احتمالات المراهنات هي 2.1/2 – نحصل على 50%. اتضح أن المعامل 2 يساوي احتمال 50٪. وباستخدام نفس المبدأ، يمكنك الحصول على معامل احتمال التعادل - 1/احتمال.

يعتقد العديد من اللاعبين أنه بعد عدة هزائم متكررة، سيحدث الفوز بالتأكيد - وهذا رأي خاطئ. احتمال الفوز بالرهان لا يعتمد على عدد الخسائر. حتى لو قمت بقلب عدة رؤوس متتالية في لعبة العملات المعدنية، فإن احتمال قلب الصورة يظل كما هو - 50%.

احتمالا- رقم بين 0 و 1 يعكس احتمالات وقوع حدث عشوائي، حيث 0 هو الغياب التام لاحتمال وقوع الحدث، و 1 يعني أن الحدث المعني سيحدث بالتأكيد.

احتمال الحدث E هو رقم من إلى 1.
مجموع احتمالات الأحداث المتنافية يساوي 1.

الاحتمال التجريبي- الاحتمالية، والتي يتم حسابها على أنها التكرار النسبي لحدث ما في الماضي، ويتم استخلاصها من تحليل البيانات التاريخية.

لا يمكن حساب احتمالية الأحداث النادرة جدًا تجريبيًا.

احتمال شخصي- الاحتمالية بناءً على تقييم شخصي شخصي لحدث ما بغض النظر عن البيانات التاريخية. غالبًا ما يتصرف المستثمرون الذين يتخذون قرارات شراء وبيع الأسهم بناءً على اعتبارات الاحتمالية الذاتية.

احتمال مسبق -

الفرصة هي 1 في... (احتمالات) أن يحدث حدث من خلال مفهوم الاحتمال. يتم التعبير عن فرصة وقوع حدث ما من خلال الاحتمالية على النحو التالي: P/(1-P).

على سبيل المثال، إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو 0.5، فإن احتمال وقوع الحدث هو 1 من 2 لأن 0.5/(1-0.5).

يتم حساب احتمال عدم وقوع حدث باستخدام الصيغة (1-P)/P

احتمال غير متناسق- على سبيل المثال، سعر أسهم الشركة (أ) يأخذ في الاعتبار الحدث المحتمل (هـ) بنسبة 85%، وسعر أسهم الشركة (ب) يأخذ في الاعتبار 50% فقط. وهذا ما يسمى الاحتمال غير المتسق. وفقا لنظرية الرهان الهولندية، فإن الاحتمالية غير المتسقة تخلق فرصا للربح.

احتمال غير مشروطهي إجابة السؤال "ما هو احتمال وقوع الحدث؟"

احتمال مشروط- هذه هي إجابة السؤال: "ما هو احتمال وقوع الحدث أ إذا وقع الحدث ب". يُشار إلى الاحتمال الشرطي بالرمز P(A|B).

الاحتمال المشترك- احتمال وقوع الحدثين A و B في وقت واحد. يشار إليها باسم P (AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

ف(AB) = ف(أ|ب)*ف(ب)

قاعدة جمع الاحتمالات:

احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B هو

ف (أ أو ب) = ف(أ) + ف(ب) - ف(AB) (2)

إذا كان الحدثان A وB متنافيان، إذن

ف (أ أو ب) = ف (أ) + ف (ب)

أحداث مستقلة- الحدثان A و B مستقلان إذا

ف(أ|ب) = ف(أ)، ف(ب|أ) = ف(ب)

أي أنها سلسلة من النتائج حيث تكون قيمة الاحتمال ثابتة من حدث إلى آخر.
تعتبر رمية العملة مثالاً على مثل هذا الحدث - فنتيجة كل رمية لاحقة لا تعتمد على نتيجة الرميات السابقة.

الأحداث التابعة- هي الأحداث التي يعتمد احتمال وقوع إحداها على احتمال وقوع أخرى.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
إذا كان الحدثان A وB مستقلين، إذن

ف(AB) = ف(أ) * ف(ب) (3)

قاعدة الاحتمالية الإجمالية:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S وS" حدثان متنافيان

القيمة المتوقعةالمتغير العشوائي هو متوسط ​​النتائج المحتملة للمتغير العشوائي. بالنسبة للحدث X، يُشار إلى التوقع بالرمز E(X).

لنفترض أن لدينا 5 قيم لأحداث متنافية مع احتمال معين (على سبيل المثال، دخل الشركة يصل إلى مبلغ كذا وكذا مع مثل هذا الاحتمال). القيمة المتوقعة هي مجموع جميع النتائج مضروبة في احتماليتها:

تشتت المتغير العشوائي هو توقع الانحرافات المربعة للمتغير العشوائي عن توقعه:

ق 2 = ه( 2 ) (6)

القيمة المتوقعة المشروطة هي القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X، بشرط أن يكون الحدث S قد وقع بالفعل.

"الحوادث ليست صدفة"... يبدو الأمر كما قال أحد الفلاسفة، لكن في الحقيقة، دراسة العشوائية هي قدر علم الرياضيات العظيم. في الرياضيات، يتم التعامل مع الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات. سيتم عرض صيغ وأمثلة للمهام وكذلك التعريفات الأساسية لهذا العلم في المقالة.

ما هي نظرية الاحتمالات؟

نظرية الاحتمالية هي أحد التخصصات الرياضية التي تدرس الأحداث العشوائية.

ولجعل الأمر أكثر وضوحًا، دعونا نعطي مثالًا صغيرًا: إذا رميت عملة معدنية للأعلى، فيمكن أن تستقر على الصورة أو الكتابة. وبينما تكون العملة في الهواء، فإن كلا هذين الاحتمالين ممكنان. أي أن احتمال العواقب المحتملة هو 1:1. إذا تم سحب واحدة من مجموعة مكونة من 36 بطاقة، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال على أنه 1:36. يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن استكشافه والتنبؤ به هنا، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك، إذا قمت بتكرار إجراء معين عدة مرات، فيمكنك تحديد نمط معين، وبناء عليه، التنبؤ بنتيجة الأحداث في ظروف أخرى.

لتلخيص كل ما سبق فإن نظرية الاحتمالات بالمعنى الكلاسيكي تدرس إمكانية حدوث أحد الأحداث المحتملة بقيمة عددية.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمال والصيغ وأمثلة المهام الأولى في العصور الوسطى البعيدة، عندما ظهرت محاولات التنبؤ بنتائج ألعاب الورق لأول مرة.

في البداية، لم يكن لنظرية الاحتمالات أي علاقة بالرياضيات. وقد تم تبريره من خلال الحقائق التجريبية أو خصائص حدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. ظهرت الأعمال الأولى في هذا المجال كنظام رياضي في القرن السابع عشر. المؤسسون هم بليز باسكال وبيير فيرما. لقد درسوا المقامرة لفترة طويلة ورأوا أنماطًا معينة قرروا إخبار الجمهور عنها.

تم اختراع نفس التقنية بواسطة كريستيان هويجنز، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج أبحاث باسكال وفيرما. وقد قدم مفهوم "نظرية الاحتمالية" والصيغ والأمثلة التي تعتبر الأولى في تاريخ هذا التخصص.

كما أن أعمال جاكوب برنولي ونظريات لابلاس وبواسون ليست ذات أهمية كبيرة. لقد جعلوا نظرية الاحتمالات أشبه بالتخصص الرياضي. تلقت نظرية الاحتمالات والصيغ وأمثلة المهام الأساسية شكلها الحالي بفضل بديهيات كولموغوروف. ونتيجة لكل هذه التغيرات، أصبحت نظرية الاحتمالات أحد فروع الرياضيات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الأحداث

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو "الحدث". هناك ثلاثة أنواع من الأحداث:

• موثوق.تلك التي ستحدث على أي حال (سوف تسقط العملة).
• مستحيل.أحداث لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف (ستظل العملة معلقة في الهواء).
• عشوائي.تلك التي ستحدث أو لن تحدث. يمكن أن تتأثر بعوامل مختلفة يصعب التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية، فهناك عوامل عشوائية يمكن أن تؤثر على النتيجة: الخصائص الفيزيائية للعملة، وشكلها، وموضعها الأصلي، وقوة الرمي، وما إلى ذلك.

تتم الإشارة إلى جميع الأحداث في الأمثلة بأحرف لاتينية كبيرة، باستثناء P، الذي له دور مختلف. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطلاب لإلقاء المحاضرة".
• Ā = "لم يحضر الطلاب إلى المحاضرة."

في المهام العملية، عادة ما يتم كتابة الأحداث بالكلمات.

من أهم خصائص الأحداث هو تساوي احتمالاتها. أي أنه إذا رميت عملة معدنية، فإن جميع خيارات السقوط الأولي ممكنة حتى سقوطها. ولكن الأحداث أيضا ليست ممكنة على قدم المساواة. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما عمدا على النتيجة. على سبيل المثال، أوراق اللعب أو النرد "المميزة" التي يتم فيها إزاحة مركز الثقل.

يمكن أيضًا أن تكون الأحداث متوافقة وغير متوافقة. الأحداث المتوافقة لا تستبعد حدوث بعضها البعض. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطالب إلى المحاضرة".
• ب = "جاء الطالب إلى المحاضرة".

وهذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، ولا يؤثر وقوع أحدهما على وقوع الآخر. يتم تعريف الأحداث غير المتوافقة من خلال حقيقة أن حدوث أحدها يلغي وقوع حدث آخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة، فإن فقدان "الذيول" يجعل من المستحيل ظهور "الرؤوس" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن مضاعفة الأحداث وإضافتها وفقًا لذلك، ويتم إدخال الروابط المنطقية "AND" و"OR" في التخصص.

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن الحدث A أو B أو الحدثين يمكن أن يحدثا في وقت واحد. إذا كانا غير متوافقين، فسيكون الخيار الأخير مستحيلًا؛

مضاعفة الأحداث تتمثل في ظهور A و B في نفس الوقت.

يمكننا الآن تقديم عدة أمثلة لتذكر الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ بشكل أفضل. أمثلة على حل المشكلات أدناه.

التمرين 1: تشارك الشركة في مسابقة للحصول على عقود لثلاثة أنواع من العمل. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

• أ = "سوف تحصل الشركة على العقد الأول."
• أ 1 = "لن تحصل الشركة على العقد الأول."
• B = "ستحصل الشركة على عقد ثان."
• ب 1 = "الشركة لن تحصل على عقد ثان"
• C = "ستحصل الشركة على عقد ثالث."
• ج1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثالث."

باستخدام الإجراءات على الأحداث، سنحاول التعبير عن المواقف التالية:

• K = "سوف تتلقى الشركة جميع العقود."

في الصورة الرياضية، ستكون المعادلة بالشكل التالي: K = ABC.

• M = "لن تحصل الشركة على عقد واحد."

م = أ 1 ب 1 ج 1.

لنجعل المهمة أكثر تعقيدًا: H = "ستحصل الشركة على عقد واحد". نظرًا لأنه من غير المعروف العقد الذي ستحصل عليه الشركة (الأول أو الثاني أو الثالث)، فمن الضروري تسجيل النطاق الكامل للأحداث المحتملة:

ح = أ 1 ق 1 υ أ ب 1 ج 1 υ أ 1 ب 1 ج.

و1 ق 1 عبارة عن سلسلة من الأحداث حيث لا تحصل الشركة على العقد الأول والثالث، بل تحصل على العقد الثاني. تم تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى باستخدام الطريقة المناسبة. يشير الرمز υ في التخصص إلى الرابط "OR". إذا قمنا بترجمة المثال أعلاه إلى لغة بشرية، فستحصل الشركة إما على العقد الثالث، أو الثاني، أو الأول. وبطريقة مماثلة، يمكنك كتابة شروط أخرى في تخصص "نظرية الاحتمالية". ستساعدك الصيغ والأمثلة لحل المشكلات الموضحة أعلاه على القيام بذلك بنفسك.

في الواقع، الاحتمال

ربما، في هذا التخصص الرياضي، احتمال وقوع حدث هو المفهوم المركزي. هناك ثلاثة تعريفات للاحتمال:

• كلاسيكي.
• إحصائية؛
• هندسي.

ولكل منها مكانها في دراسة الاحتمال. تستخدم نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة (الصف التاسع) التعريف الكلاسيكي بشكل أساسي، والذي يبدو كما يلي:

• احتمالية الموقف (أ) تساوي نسبة عدد النتائج التي تؤيد حدوثه إلى عدد جميع النتائج المحتملة.

تبدو الصيغة كما يلي: P(A)=m/n.

A هو في الواقع حدث. إذا ظهرت حالة معاكسة لـ A، فيمكن كتابتها كـ Ā أو A 1 .

م هو عدد الحالات المواتية المحتملة.

ن - جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث.

على سبيل المثال، A = "ارسم بطاقة بدلة القلب." هناك 36 بطاقة في المجموعة القياسية، 9 منها على شكل قلوب. وبناء على ذلك فإن صيغة حل المشكلة ستكون كما يلي:

ف(أ)=9/36=0.25.

ونتيجة لذلك، فإن احتمال سحب بطاقة بدلة القلب من المجموعة سيكون 0.25.

نحو الرياضيات العليا

الآن أصبح من غير المعروف ما هي نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة لحل المشكلات التي تظهر في المناهج الدراسية. ومع ذلك، توجد نظرية الاحتمالات أيضًا في الرياضيات العليا التي يتم تدريسها في الجامعات. غالبًا ما تعمل باستخدام تعريفات هندسية وإحصائية للنظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمال مثيرة جدا للاهتمام. من الأفضل أن تبدأ بدراسة الصيغ والأمثلة (الرياضيات العليا) بشكل صغير - مع التعريف الإحصائي (أو التكراري) للاحتمال.

لا يتعارض النهج الإحصائي مع النهج الكلاسيكي، ولكنه يوسعه قليلا. إذا كان من الضروري في الحالة الأولى تحديد احتمال حدوث حدث ما، فمن الضروري في هذه الطريقة الإشارة إلى عدد مرات حدوثه. هنا يتم تقديم مفهوم جديد لـ "التردد النسبي"، والذي يمكن الإشارة إليه بالرمز W n (A). الصيغة لا تختلف عن الصيغة الكلاسيكية:

إذا تم حساب الصيغة الكلاسيكية للتنبؤ، فسيتم حساب الصيغة الإحصائية وفقا لنتائج التجربة. لنأخذ مهمة صغيرة على سبيل المثال.

يقوم قسم المراقبة التكنولوجية بفحص المنتجات للتأكد من جودتها. ومن بين 100 منتج، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. كيفية العثور على احتمالية التردد لمنتج عالي الجودة؟

أ = "مظهر المنتج عالي الجودة."

دبليو ن (أ)=97/100=0.97

وبالتالي، فإن تكرار المنتج عالي الجودة هو 0.97. من أين حصلت على 97؟ من بين 100 منتج تم فحصها، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. نطرح 3 من 100 ونحصل على 97، هذه هي كمية البضائع عالية الجودة.

قليلا عن التوافقيات

طريقة أخرى لنظرية الاحتمالات تسمى التوافقيات. مبدأها الأساسي هو أنه إذا كان من الممكن إجراء اختيار معين A بطرق مختلفة، ويمكن إجراء اختيار B بطرق مختلفة، فيمكن إجراء اختيار A وB عن طريق الضرب.

على سبيل المثال، هناك 5 طرق تؤدي من المدينة أ إلى المدينة ب. هناك 4 مسارات من المدينة B إلى المدينة C. بكم طريقة يمكنك الانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج؟

الأمر بسيط: 5x4=20، أي يمكنك الانتقال من النقطة "أ" إلى النقطة "ج" بعشرين طريقة مختلفة.

دعونا تعقيد المهمة. كم عدد الطرق المتاحة لوضع البطاقات في لعبة السوليتير؟ هناك 36 بطاقة في المجموعة - هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق، تحتاج إلى "طرح" بطاقة واحدة في كل مرة من نقطة البداية والضرب.

أي أن 36x35x34x33x32...x2x1= لا تظهر النتيجة على شاشة الآلة الحاسبة، لذلك يمكن تحديدها ببساطة بالرقم 36!. لافتة "!" بجوار الرقم يشير إلى أن سلسلة الأرقام بأكملها مضروبة معًا.

في التوافقيات هناك مفاهيم مثل التقليب والتنسيب والجمع. كل واحد منهم لديه صيغة خاصة به.

تسمى المجموعة المرتبة من عناصر المجموعة بالترتيب. يمكن تكرار المواضع، أي أنه يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار، عندما لا تتكرر العناصر. n هي جميع العناصر، m هي العناصر التي تشارك في التنسيب. ستبدو صيغة التنسيب بدون تكرار كما يلي:

أ ن م = ن!/(ن-م)!

تسمى اتصالات العناصر n التي تختلف فقط في ترتيب المواضع بالتباديل. في الرياضيات يبدو الأمر كما يلي: P n = n!

مجموعات n من عناصر m هي تلك المركبات التي من المهم فيها تحديد العناصر الموجودة فيها وما هو العدد الإجمالي لها. ستبدو الصيغة كما يلي:

ا ن م =ن!/م!(ن-م)!

صيغة برنولي

في نظرية الاحتمالات، كما هو الحال في كل تخصص، هناك أعمال لباحثين بارزين في مجالهم والذين ارتقوا بها إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة برنولي، التي تسمح لك بتحديد احتمال وقوع حدث معين في ظل ظروف مستقلة. يشير هذا إلى أن حدوث A في التجربة لا يعتمد على حدوث أو عدم حدوث نفس الحدث في تجارب سابقة أو لاحقة.

معادلة برنولي:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

الاحتمال (ع) لحدوث الحدث (أ) ثابت لكل تجربة. سيتم حساب احتمال حدوث الموقف بالضبط m مرات في عدد n من التجارب من خلال الصيغة الموضحة أعلاه. وعليه فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية معرفة الرقم q.

إذا حدث الحدث A لعدد من المرات، فمن المحتمل ألا يحدث. الوحدة عبارة عن رقم يُستخدم لتعيين جميع نتائج الموقف في أحد التخصصات. لذلك، q هو رقم يشير إلى احتمال عدم وقوع حدث ما.

الآن أنت تعرف صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات (المستوى الأول) أدناه.

المهمة 2:سيقوم زائر المتجر بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2. دخل 6 زوار المتجر بشكل مستقل. ما هو احتمال قيام الزائر بإجراء عملية شراء؟

الحل: نظرًا لأنه من غير المعروف عدد الزوار الذين يجب عليهم إجراء عملية شراء، واحد منهم أو الستة جميعًا، فمن الضروري حساب جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام صيغة برنولي.

أ = "سيقوم الزائر بالشراء".

في هذه الحالة: ع = 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وبناء على ذلك، ف=1-0.2 = 0.8.

ن = 6 (حيث يوجد 6 عملاء في المتجر). سيختلف الرقم m من 0 (لن يقوم عميل واحد بالشراء) إلى 6 (سيشتري جميع زوار المتجر شيئًا ما). ونتيجة لذلك نحصل على الحل:

ف 6 (0) = ج 0 6 ×ص 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

لن يقوم أي من المشترين بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2621.

كيف يتم استخدام صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)؟ أمثلة على حل المشكلات (المستوى الثاني) أدناه.

بعد المثال أعلاه، تطرح أسئلة حول أين ذهب C وr. بالنسبة إلى p، فإن الرقم أس 0 سيكون مساويًا لواحد. أما بالنسبة لـ C فيمكن إيجادها بالصيغة:

ج ن م = ن! /م!(ن-م)!

حيث أنه في المثال الأول m = 0، على التوالي، C = 1، وهو ما لا يؤثر من حيث المبدأ على النتيجة. باستخدام الصيغة الجديدة، دعونا نحاول معرفة احتمال قيام زائرين بشراء البضائع.

ف 6 (2) = ج 6 2 ×ص 2 ×ف 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظرية الاحتمالية ليست بهذا التعقيد. إن صيغة برنولي، والأمثلة المعروضة أعلاه، هي دليل مباشر على ذلك.

صيغة بواسون

تُستخدم معادلة بواسون لحساب المواقف العشوائية ذات الاحتمالية المنخفضة.

الصيغة الأساسية:

ف ن (م)=  م /م! × ه (-ẫ) .

في هذه الحالة lect = n x p. هنا صيغة بواسون بسيطة (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات أدناه.

المهمة 3: أنتج المصنع 100.000 قطعة. حدوث جزء معيب = 0.0001. ما هو احتمال وجود 5 أجزاء معيبة في الدفعة؟

كما ترون، الزواج هو حدث غير محتمل، وبالتالي يتم استخدام صيغة بواسون (نظرية الاحتمالية) للحساب. لا تختلف أمثلة حل المشكلات من هذا النوع عن المهام الأخرى في التخصص؛ فنحن نستبدل البيانات الضرورية في الصيغة المحددة:

A = "الجزء الذي تم اختياره عشوائيًا سيكون معيبًا."

ع = 0.0001 (حسب شروط المهمة).

ن = 100000 (عدد الأجزاء).

م = 5 (الأجزاء المعيبة). نستبدل البيانات في الصيغة ونحصل على:

100000 ر (5) = 10 5 /5! X ه -10 = 0.0375.

تمامًا مثل صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)، أمثلة على الحلول المستخدمة المذكورة أعلاه، تحتوي معادلة بواسون على e غير معروف في الواقع، يمكن العثور عليها من خلال الصيغة:

e -π = lim n ->∞ (1-/n) n .

ومع ذلك، هناك جداول خاصة تحتوي على جميع قيم e تقريبًا.

نظرية دي موافر لابلاس

إذا كان عدد التجارب في مخطط برنولي كبيرًا بدرجة كافية، وكان احتمال وقوع الحدث A في جميع المخططات هو نفسه، فيمكن العثور على احتمال وقوع الحدث A لعدد معين من المرات في سلسلة من الاختبارات بواسطة صيغة لابلاس:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

لتتذكر صيغة لابلاس (نظرية الاحتمالية) بشكل أفضل، توجد أمثلة للمسائل أدناه للمساعدة.

أولاً، دعونا نعثر على X m، ونستبدل البيانات (جميعها مذكورة أعلاه) في الصيغة ونحصل على 0.025. باستخدام الجداول نجد الرقم ϕ(0.025) وقيمته 0.3988. يمكنك الآن استبدال جميع البيانات في الصيغة:

ف 800 (267) = 1/√(800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 = 3/40 × 0.3988 = 0.03.

وبالتالي، فإن احتمال أن تعمل النشرة بالضبط 267 مرة هو 0.03.

صيغة بايز

صيغة بايز (نظرية الاحتمالية)، أمثلة على حل المشكلات التي سيتم تقديم المساعدة بها أدناه، هي معادلة تصف احتمالية حدث ما بناءً على الظروف التي يمكن أن ترتبط به. الصيغة الأساسية هي كما يلي:

P (A|B) = P (B|A) × P (A) / P (B).

A و B حدثان محددان.

P(A|B) هو احتمال مشروط، أي أن الحدث A يمكن أن يقع بشرط أن يكون الحدث B صحيحًا.

P (B|A) - الاحتمال الشرطي للحدث B.

لذا، فإن الجزء الأخير من الدورة القصيرة "نظرية الاحتمالية" هو صيغة بايز، وفيما يلي أمثلة لحلول المشكلات.

المهمة 5: تم إحضار هواتف من ثلاث شركات إلى المستودع. وفي الوقت نفسه، تبلغ حصة الهواتف التي يتم تصنيعها في المصنع الأول 25%، وفي الثاني 60%، وفي الثالث 15%. ومن المعروف أيضًا أن متوسط ​​​​نسبة المنتجات المعيبة في المصنع الأول 2٪ وفي الثاني 4٪ وفي الثالث 1٪. أنت بحاجة إلى إيجاد احتمال أن يكون الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا معيبًا.

أ = "الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا".

ب1- الهاتف الذي أنتجه المصنع الأول. وعليه سيظهر التعريف ب2 وب3 (للمصنعين الثاني والثالث).

ونتيجة لذلك نحصل على:

ف (ب 1) = 25%/100% = 0.25؛ ف(ب 2) = 0.6؛ P (B 3) = 0.15 - وهكذا وجدنا احتمال كل خيار.

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد الاحتمالات الشرطية للحدث المطلوب، أي احتمال وجود منتجات معيبة في الشركات:

ف (أ/ب 1) = 2%/100% = 0.02؛

ف(أ/ب 2) = 0.04؛

ف (أ/ب 3) = 0.01.

الآن دعونا نستبدل البيانات في صيغة بايز ونحصل على:

ف (أ) = 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 = 0.0305.

تقدم المقالة نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات، ولكن هذا ليس سوى غيض من فيض من نظام واسع. وبعد كل ما تم كتابته، سيكون من المنطقي طرح سؤال ما إذا كانت هناك حاجة إلى نظرية الاحتمال في الحياة. من الصعب على الشخص العادي الإجابة؛ فمن الأفضل أن تسأل شخصًا استخدمها للفوز بالجائزة الكبرى أكثر من مرة.

من خلال الخبرة، يدرك معظم لاعبي المراهنات أن المراهنة لا تتعلق بالرياضة فقط. المعرفة في الرياضة مهمة، وهي أساسية في الرهان، ولكن من المستحيل التغلب على وكيل المراهنات على مسافة دون فهم الرياضيات ومبادئ تكوين الاحتمالات والإحصاء ونظرية الاحتمالات. بمرور الوقت، يفهم اللاعبون أنه لا يكفي إجراء تنبؤات دقيقة للمباريات؛ والأهم من ذلك هو العثور على رهانات ذات ميزة - ما يسمى بالقيمة.

كيفية تحديد النتائج ذات الاحتمالات المتضخمة، وتقييم احتمالية الأحداث الرياضية بشكل صحيح وما علاقة نظرية الاحتمالية بها - سنتحدث عن هذا اليوم ونحلل كل شيء باستخدام أمثلة محددة.

نظرية صاحبة الجلالة للاحتمالات في المراهنة الرياضية

نظرية الاحتمالية تكمن وراء رهانات المراهنات. في الأساس، كل شيء مبني على الاحتمالات، سواء احتمالات أو فرص اللاعب في الفوز. بدون فهم هذه النقطة، لن تتمكن أبدًا من تحقيق النجاح في الرهان. بالتأكيد يأخذ جميع اللاعبين، بدرجة أقل أو أكبر، في الاعتبار الاحتمالية (الاحتمالات) عند الرهان، على الرغم من أن معظمهم لا يفكرون في الأمر.

دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط:تقدم شركة المراهنات احتمالات فوز برشلونة في المباراة ضد إشبيلية 1.50 . دون الخوض في التفاصيل وحسابات الاحتمالات، فإن مثل هذا الرهان مربح، لأن فرص فوز برشلونة مرتفعة جدًا. ولكن إذا أعطوا المعامل 1.15 ، لم يعد السعر جذابًا. نظرًا لأن المقامر المفكر يدرك أن احتمال خسارة الرهان مرتفع نسبيًا، فلا يستحق المخاطرة برهان على مثل هذا الرهان الضئيل.

لشرح نظرية الاحتمالية في الرهان، عادة ما يتم استخدام مثال رمي العملة المعدنية. دعونا لا نعيد اختراع العجلة ونتعامل مع هذه المشكلة باستخدام الرؤوس والذيول، خاصة وأن هذا المثال هو الأبسط والأكثر مفهومة. لذا، فإن احتمال الحصول على الصورة هو 50% والذيل هو 50%. الفرص متساوية.

إذا قمت بقلب عملة معدنية عشر مرات، فقد تحصل على سبيل المثال على 7 صور و3 صور. أو حتى عشر مرات متتالية نفس الخيار. ولكن إذا واصلنا الرمي أكثر، على سبيل المثال، 100000 مرة، فسنحصل على قيم قريبة من 50% إلى 50%.

دعونا ننقل هذه المشكلة إلى مستوى الرهانات. يمكنك المراهنة على الرؤوس أو الذيول مع الاحتمالات 2.00 . من أجل هذا لتحويل الاحتمالات إلى احتمالات، تحتاج إلى قسمة 100 على الاحتمال. إذا تم وضع مائة ألف رهان على نتيجة قرعة العملة، فسينتهي الأمر باللاعب بالحصول على ربح/خسارة صفر أو الحد الأدنى.

هناك فكرة خاطئة شائعة بين اللاعبين الذين يعتقدون أن احتمالية الأحداث اللاحقة تعتمد على نتائج الأحداث السابقة. إذا حصلت على صورة سبع مرات متتالية، فما احتمال الحصول على صورة في المرة الثامنة؟ وهذا أمر غير بديهي، ولكن الاحتمالات هي 50 إلى 50. مع كل رمية جديدة، بغض النظر عن نتائج السابقة، فإن احتمال كل نتيجة سيكون 50%. وتسمى هذه الظاهرة باستدلال مونت كارلو الكاذب.

نظرية الاحتمالية هي العلم الرئيسي في المراهنات الرياضية لدى وكلاء المراهنات

مبادئ تكوين المعاملات وتكوين القيم

يحدد وكلاء المراهنات احتمالية النتائج ويترجمونها إلى احتمالات، ولكن قبل ظهور قائمة من الخيارات المختلفة المتاحة للمراهنة، يتم تنفيذ عمليتين إضافيتين:

1. وضع الهامش. يعلم الجميع أن وكلاء المراهنات يحققون أرباحًا باستمرار بسبب نسبة الاحتمال الإضافية - هامِش. في مثال الذيول والرؤوس، قلنا أن احتمالات كل نتيجة يجب أن تكون 2.00. ولكن في الواقع، لا يمكن العثور على مثل هذه الأسعار في أي مكان، لأنه بعد إضافة الهامش، فإن احتمالات الفرص المتساوية ستكون من 1.98 – 1.98 إلى 1.90 – 1.90 وأقل.
2. تغيير الاحتمالات لتتناسب مع نسب الرهان المتوقعةمن اللاعبين. في الواقع، من المهم بالنسبة لوكلاء المراهنات التنبؤ بما ستراهن عليه الأغلبية بدلاً من تقدير الاحتمالات بشكل صحيح. إذا كان احتمال الفوز 1 في مباراة تشيلسي وبيرنلي بعد مراعاة الهامش يساوي احتمالات 1.70، فإن المراهنون سيحددون شيئًا مثل 1.62، لأنهم يعلمون أن معظم الأموال ستراهن على فوز تشيلسي. وبناء على ذلك، سيزداد المعامل على X وP2 بعد التعديل.

بسبب الهامش، يتمتع وكلاء المراهنات بميزة على اللاعبين، كما يعلم الجميع. إذا راهنت على الرأس والذيل بمعامل يتراوح بين 1.98 و1.98، فستكون بالتأكيد في المنطقة الحمراء على المدى الطويل. لكن هناك فرصة ليس فقط لتحييد هذا التفوق للمراهنات، ولكن أيضا للحصول على ميزة.

للقيام بذلك عليك أن تراهن على القيمة - رهانات القيمة، والنتائج ذات الاحتمالات المتضخمة. مثال شرطي: الرهانات على الرأس مقبولة باحتمال 1.90، والرهانات على الذيل - 2.02. وكانت الفرص وستظل 50/50، ولكن احتمالات 2.02 تشير إلى أن الاحتمال هو 49.50% (100/2.02 = 49.50).

بالطبع، تحتاج إلى المراهنة على 2.02، الأمر الذي سيجلب فوائد على المدى الطويل، وهذه قيمة - الحالة التي يكون فيها الاحتمال الحقيقي لحدوث نتيجة أعلى من الاحتمال الذي يعكسه المعامل.

نادرًا ما توجد القيم في خط البداية لدى وكلاء المراهنات، ولكن بفضل حركة الخط - التغيير في الاحتمالات بعد رهان اللاعبين - تزداد فرص العثور على رهانات القيمة بشكل كبير.

كيفية حساب احتمالية حدث ما في الرهان؟

إذا كان احتمال نتيجة واحدة أو أخرى معروفًا دائمًا عند اللعب في كازينو، على سبيل المثال، الروليت، فإنه في المراهنات الرياضية لا يمكن أبدًا حساب الاحتمالية الدقيقة. وفي الواقع، لهذا السبب، فإن الرهان يقارن بشكل إيجابي مع الكازينوهات. يمكنك دائمًا العثور على رهانات ذات احتمالية أعلى من تلك التي حددها مكتب المراهنات. كيف نفعل ذلك؟

من خلال وضع الرهانات على احتمالات متضخمة، يكتسب اللاعب ميزة على وكيل المراهنات

لا توجد طريقة مطورة لحساب الاحتمالية يمكنها تحديد الاحتمالات بأكبر قدر ممكن من الدقة. وهذا مستحيل بسبب تأثير عوامل كثيرة على النتيجة وعدم القدرة على التنبؤ بالرياضة بشكل عام. على سبيل المثال، البرامج أو الصيغ التي يمكنك من خلالها إدخال البيانات والحصول على نتيجة تقريبية. ومع ذلك، فمن المعروف أن خوارزمية الإجراءات تحدد احتمالية النتائج. دعونا نفكر في مراحلها.

المرحلة الأولى هي دراسة الإحصاء

الإحصائيات في حد ذاتها لا تسمح لنا بالحصول حتى على احتمال تقريبي. ومن الخطأ الاعتقاد أنه إذا تعادل فريق 3 مرات في المباريات العشر السابقة، فإن احتمال التعادل في المباراة التالية سيكون 30%. ولنتذكر نظرية الاحتمال، التي تنص على أن الأحداث السابقة لا تؤثر على احتمال الأحداث المستقبلية. لكن الإحصائيات بمثابة نقطة انطلاق، وقاعدة، لأنك تحتاج إلى البدء من شيء ما.

المرحلة الثانية هي تأثير العوامل

بعد تحديد الاحتمال الأولي باستخدام الإحصائيات، يجب عليك بعد ذلك تحليل المطابقة، مع مراعاة أكبر عدد ممكن من العوامل. وبالتالي، وبعد دراسة تأثير كل منها، يتم إجراء التعديلات على الاحتمالات المحسوبة.

في المرحلة الثانية يعتمد كل شيء على مدى فهم اللاعب للرياضة التي يراهن عليها. بغض النظر عن مدى رغبة المرء في فهم كل شيء وتنظيمه، فمن المستحيل حساب الفرص بدقة وتحديد كيفية تأثير هذا العامل أو ذاك على الاحتمالية. كل حدث رياضي يتطلب نهجا ظرفيا.

مثال على تحديد احتمالية النتائج في الرهان

دعونا ندمج مادة الفقرة السابقة بمثال. سنقوم بتقييم مباراة أرسنال - ليفربول ودراسة الخط الرئيسي. المعاملات هي كما يلي: فوز أرسنال – 2.25، التعادل – 3.80، فوز ليفربول – 3.05. دعونا تحويل الاقتباسات إلى احتمال. ونحصل على ما يلي: .

الآن سنقوم بحساب الاحتمال، وبعد ذلك سنقوم بمقارنته مع احتمالات المراهنات وتحديد القيمة، إن وجدت. دعونا نلاحظ على الفور أن جميع البيانات والعوامل الإحصائية مشروطة.

أولاً، دعونا ندرس الإحصائيات

فاز أرسنال في 8 وتعادل مرتين في آخر 10 مباريات على أرضه. نحن نحصل 80% – 20% – 0% . فاز ليفربول 6 مرات في آخر 10 مباريات خارج ملعبه، منها تعادلان وهزيمتان. لدينا 20% – 20% – 60%. نحسب القيمة المتوسطة: 50% – 20% – 30% .

بعد ذلك ننتقل إلى المرحلة الثانية - مع مراعاة العوامل المختلفة. بادئ ذي بدء، ننتبه إلى الإصابات وعدم الأهلية. ولم يتكبد الضيوف أي خسائر تقريبًا، بينما فقد أصحاب الأرض مدافعهم المركزي وغادروا لاعبًا داخليًا بسبب الإصابة. نقوم بتعديل الاحتمالات بعد تلقي هذه المعلومات: 46% – 22% – 32% .

وخلال التحليل السابق للمباراة أيضًا، علمنا أن ليفربول حصل على راحة يومين إضافيين، بينما لعب أرسنال مباراته السابقة قبل ثلاثة أيام. التعب قد يكون له أثره. تغيير الاحتمالات: 44% – 23% – 33% .

نحن ننظر إلى اجتماعات الفريق وجهاً لوجه

وفي آخر خمس مباريات، فاز ليفربول في اثنتين وتعادل في ثلاث. وبطبيعة الحال، فإن فرص ارسنال تقلصت بشكل ملحوظ. نحصل على ما يقرب من: 40% – 25% – 35% . لم يتم تحديد أي عوامل مهمة أخرى، لذلك نحن ننتهي من التحليل.

النتيجة النهائية 40% – 25% – 35% ، واحتمالات المراهنات P1 – 44.44%، X – 26.31%، P2 – 32.78%. هكذا، الرهان القيمي هو فوز ليفربول - الاحتمال الحقيقي هو 35%، والاحتمالات تشمل 32.78%..

كلما زاد عدد العوامل التي يتم أخذها في الاعتبار، زادت فرص تحديد الاحتمال بشكل صحيح

تكمن الصعوبة في عدم وجود طرق لتقييم احتمالية الأحداث الرياضية بشكل موضوعي. يلعب الدور الأكثر أهمية في تقييم الاحتمالية الرأي الشخصي للاعب الذي يقيم المباراة. ولكن لا يمكن أن تكون هناك طريقة أخرى غير التجربة والخطأ. من الضروري تجربة واستخدام أساليب مختلفة وتحسين المنهجية الخاصة بك، مما سيسمح لك بحساب الاحتمالات بأكبر قدر ممكن من الدقة مع الخبرة.