المتباينات الخطية. حل المتباينات الخطية. درس فيديو "حل المتباينات الخطية حل المتباينات الخطية مع الحل التفصيلي

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

سنبدأ في هذا الدرس بدراسة المتباينات وخصائصها. سننظر في أبسط عدم المساواة - الخطية وطرق حل أنظمة ومجموعات عدم المساواة.

غالبًا ما نقارن أشياء معينة من خلال خصائصها الرقمية: السلع من خلال أسعارها، أو الأشخاص من خلال طولهم أو أعمارهم، أو الهواتف الذكية من خلال قطرها، أو نتائج الفرق من خلال عدد الأهداف المسجلة في المباراة.

تسمى علاقات النموذج أو عدم المساواة. بعد كل شيء، مكتوب فيها أن الأرقام ليست متساوية، ولكن أكبر أو أقل من بعضها البعض.

لمقارنة الأعداد الطبيعية بالترميز العشري، نرتب الأرقام: ، ثم استخدموا في أغلب الأحيان مزايا التدوين العشري: بدأوا في مقارنة أرقام الأرقام من الأرقام الموجودة في أقصى اليسار حتى التناقض الأول.

لكن هذه الطريقة ليست مريحة دائمًا.

أسهل طريقة هي مقارنة الأرقام الموجبة، لأن أنها تشير إلى الكميات. في الواقع، إذا كان من الممكن تمثيل رقم بشكل متساوٍ كمجموع رقم مع رقم آخر، فهو أكبر من: .

الإدخال المعادل: .

يمكن توسيع هذا التعريف ليس فقط إلى الأرقام الموجبة، ولكن أيضًا إلى أي رقمين: .

رقمالمزيد من العدد (مكتوب كـ أو) إذا كان الرقم موجبًا . وبناء على ذلك، إذا كان الرقم سلبيا، ثم .

على سبيل المثال، دعونا نقارن بين كسرين: و . لا يمكنك معرفة أيهما أكبر على الفور. لذلك، دعونا ننتقل إلى التعريف وننظر في الفرق:

لقد حصلنا على رقم سالب، وهو ما يعني .

على محور الأعداد، سيكون الرقم الأكبر دائمًا على اليمين، والرقم الأصغر على اليسار (الشكل 1).

أرز. 1. على محور الأعداد، يقع الرقم الأكبر على اليمين، والرقم الأصغر على اليسار

لماذا هناك حاجة إلى مثل هذه التعريفات الرسمية؟ فهمنا شيء والتكنولوجيا شيء آخر. إذا قمت بصياغة خوارزمية صارمة لمقارنة الأرقام، فيمكنك تكليفها بجهاز كمبيوتر. هناك ميزة إضافية في هذا - هذا النهج ينقذنا من إجراء العمليات الروتينية. ولكن هناك أيضًا عيبًا - حيث يتبع الكمبيوتر الخوارزمية المحددة تمامًا. إذا تم تكليف الكمبيوتر بالمهمة: يجب أن يغادر القطار المحطة في الساعة، فحتى لو وجدت نفسك على الرصيف في الساعة، فلن تصل في الوقت المحدد لهذا القطار. ولذلك، فإن الخوارزميات التي نخصصها للكمبيوتر لإجراء حسابات مختلفة أو حل المشكلات يجب أن تكون دقيقة للغاية وذات طابع رسمي قدر الإمكان.

كما هو الحال في حالة المساواة، يمكنك إجراء عمليات معينة على المتباينات والحصول على المتباينات المكافئة.

دعونا ننظر إلى بعض منهم.

1. لو، الذي - التيلأي رقم. أولئك. يمكنك إضافة أو طرح نفس الرقم إلى طرفي المتراجحة.

لدينا بالفعل صورة جيدة - الميزان. إذا كان أحد المقاييس يعاني من زيادة الوزن، فبغض النظر عن مقدار ما أضفناه (أو أزلناه) إلى كلا المقاييس، فلن يتغير هذا الوضع (الشكل 2).

أرز. 2. إذا كانت الموازين غير متوازنة، فبعد إضافة (طرح) نفس عدد الأوزان إليها تبقى في نفس الوضع غير المتوازن

يمكن صياغة هذا الإجراء بشكل مختلف: يمكنك نقل الحدود من جزء من المتباينة إلى جزء آخر، وتغيير إشارتها إلى العكس: .

2. لو، الذي - التيولأي إيجابية. أولئك. يمكن ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما بعدد موجب ولا تتغير إشارته.

لفهم هذه الخاصية، يمكننا مرة أخرى استخدام القياس مع المقاييس: على سبيل المثال، إذا كان الوعاء الأيسر يفوق وزنه، فإذا أخذنا وعاءين على اليسار واثنين من اليمين، فستبقى الميزة بالتأكيد. نفس الوضع بالنسبة للأطباق وما إلى ذلك. حتى لو أخذنا نصف كل وعاء، فلن يتغير الوضع أيضًا (الشكل 3).

أرز. 3. إذا لم يكن الميزان متوازنا، فبعد أخذ نصف كل منهما، يظلان في نفس وضعهما غير المتوازن.

إذا قمت بضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على عدد سالب، فإن إشارة المتراجحة ستتغير إلى العكس. تشبيه هذه العملية أكثر تعقيدًا بعض الشيء - لا توجد كميات سلبية. حقيقة أن العكس هو الصحيح بالنسبة للأرقام السالبة ستساعد هنا (كلما زادت القيمة المطلقة للرقم، كلما كان الرقم نفسه أصغر): .

بالنسبة لأعداد العلامات المختلفة يكون الأمر أسهل: . أي أنه عند الضرب في يجب أن نغير إشارة المتباينة إلى العكس.

أما بالنسبة للضرب في رقم سالب، فيمكنك إجراء عملية مكافئة من جزأين: الضرب أولاً في الرقم الموجب المعاكس - كما نعلم بالفعل، لن تتغير علامة المتباينة: .

تعلم المزيد عن الجمع والضرب

في الخاصية الأولى كتبنا: ولكن في نفس الوقت قلنا أنه لا يمكنك الجمع فحسب، بل الطرح أيضًا. لماذا؟ لأن طرح رقم هو نفس إضافة الرقم المقابل له: . ولهذا السبب لا نتحدث فقط عن الجمع، بل عن الطرح أيضًا.

وكذلك الخاصية الثانية: القسمة هي الضرب في العدد المقابل: . لذلك، في الخاصية الثانية، لا نتحدث فقط عن الضرب في عدد، ولكن أيضًا عن القسمة.

3. للأرقام الموجبةو، لو، الذي - التي.

نحن نعرف هذه الخاصية جيدًا: إذا قسمنا الكعكة بين الناس، فكلما زاد عددها، قل ما يحصل عليه الجميع. على سبيل المثال: إذن (في الواقع، من الواضح أن الجزء الرابع من الكعكة أصغر من الجزء الثالث من نفس الكعكة) (الشكل 4).

أرز. 4. ربع الكعكة أصغر من ثلث نفس الكعكة.

4. لوو، الذي - التي.

مواصلة القياس مع المقاييس: إذا كانت المقلاة اليسرى تتفوق على اليمنى في بعض المقاييس، وفي موازين أخرى يكون الوضع هو نفسه، فمن خلال سكب محتويات الأوعية اليسرى بشكل منفصل ومحتويات الأوعية اليمنى بشكل منفصل، نحصل مرة أخرى على أن يتفوق الوعاء الأيسر (الشكل 5).

أرز. 5. إذا كانت القدور اليسرى ذات الميزانين ترجح على القدور اليمنى، فمن خلال سكب محتويات القدور اليسرى بشكل منفصل ومحتويات القدور اليمنى بشكل منفصل، يتبين أن القدور اليسرى تتفوق

5. للإيجابية، لوو، الذي - التي.

هنا التشبيه أكثر تعقيدًا بعض الشيء، ولكنه واضح أيضًا: إذا كان الوعاء الأيسر أثقل من الأيمن وأخذنا أوعية يسرى أكثر من الأوعية اليمنى، فسنحصل بالتأكيد على وعاء أكثر ضخامة (الشكل 6).

أرز. 6. إذا كان الوعاء الأيسر أثقل من الأيمن، فإذا أخذت أوعية يسرى أكثر من اليمنى، فستحصل على وعاء أكبر حجمًا

الخاصيتان الأخيرتان بديهيتان: عندما نجمع أو نضرب أرقامًا أكبر، نحصل في النهاية على عدد أكبر.

يمكن إثبات معظم هذه الخصائص بدقة باستخدام بديهيات وتعريفات جبرية مختلفة، لكننا لن نفعل ذلك. بالنسبة لنا، فإن عملية الإثبات ليست مثيرة للاهتمام مثل النتيجة التي تم الحصول عليها مباشرة، والتي سنستخدمها في الممارسة العملية.

لقد تحدثنا حتى الآن عن المتباينات كطريقة لكتابة نتيجة المقارنة بين رقمين: أو. ولكن يمكن أيضًا استخدام المتباينات لتسجيل معلومات مختلفة حول القيود المفروضة على كائن معين. في الحياة، غالبا ما نستخدم مثل هذه القيود لوصف، على سبيل المثال: روسيا هي ملايين الأشخاص من كالينينغراد إلى فلاديفوستوك؛ لا يمكنك حمل أكثر من كيلوغرام في المصعد، ولا يمكنك وضع أكثر من كيلوغرام في الحقيبة. يمكن أيضًا استخدام القيود لتصنيف الكائنات. على سبيل المثال، اعتمادا على العمر، يتم تمييز فئات مختلفة من السكان - الأطفال والمراهقين والشباب، وما إلى ذلك.

في جميع الأمثلة التي تم النظر فيها، يمكن تحديد فكرة مشتركة: كمية معينة محدودة من أعلى أو من أسفل (أو من كلا الجانبين في وقت واحد). إذا كانت قدرة الرفع للمصعد، وهي الكتلة المسموح بها للبضائع التي يمكن وضعها في العبوة، فيمكن كتابة المعلومات الموضحة أعلاه على النحو التالي: ، إلخ.

في الأمثلة التي نظرنا إليها، كنا غير دقيقين بعض الشيء. تعني عبارة "لا أكثر" أنه يمكن نقل كجم بالضبط في المصعد، ويمكن وضع كجم بالضبط في الحقيبة. لذلك، سيكون من الأصح كتابتها بهذه الطريقة: أو . بطبيعة الحال، من غير المناسب الكتابة بهذه الطريقة، لذلك توصلوا إلى علامة خاصة: "أقل من أو يساوي". هذه عدم المساواةوتسمى ليست صارمة(على التوالي، عدم المساواة مع علامات - حازم). يتم استخدامها عندما لا يكون المتغير أكبر أو أقل بدقة فحسب، بل يمكن أيضًا أن يكون مساويًا لقيمة الحد.

حل عدم المساواةيتم استدعاء جميع قيم المتغير هذه، عند استبدالها سيكون التباين العددي الناتج صحيحًا. لنأخذ على سبيل المثال عدم المساواة: . الأرقام هي الحلول لهذا عدم المساواة، لأن عدم المساواة صحيح. لكن الأعداد ليست حلولا، لأن المتباينات العددية ليست صحيحة. حل عدم المساواة، وهو ما يعني إيجاد جميع قيم المتغيرات التي تتحقق فيها المتراجحة.

دعونا نعود إلى عدم المساواة. يمكن وصف حلولها بشكل متساوٍ على النحو التالي: جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من . ومن الواضح أن هناك عدداً لا نهائياً من هذه الأرقام، فكيف يمكن أن نكتب الجواب في هذه الحالة؟ دعنا ننتقل إلى محور الأرقام: جميع الأرقام الأكبر من تقع على يمين . دعونا نظلل هذه المنطقة، لنوضح أن هذه هي إجابة المتباينة. ولإظهار أن الرقم ليس حلاً، يتم وضعه داخل دائرة فارغة، أو بمعنى آخر، يتم إخراج نقطة (الشكل 7).

أرز. 7. يوضح خط الأعداد أن الرقم ليس حلاً (نقطة مثقوبة)

إذا لم تكن المتراجحة صارمة وكانت النقطة المختارة هي الحل، فسيتم وضعها في دائرة مملوءة.

أرز. 8. خط الأعداد يوضح أن العدد هو الحل (نقطة مظللة)

من الملائم كتابة الإجابة النهائية باستخدام ثغرات. تتم كتابة الفاصل الزمني وفقًا للقواعد التالية:

العلامة تشير إلى اللانهاية، أي. يوضح أن الرقم يمكن أن يأخذ قيمة كبيرة () أو صغيرة بشكل تعسفي ().

ويمكننا أن نكتب إجابة المتراجحة على النحو التالي: أو ببساطة: . وهذا يعني أن المجهول ينتمي إلى الفترة المحددة، أي. يمكن أن تأخذ أي قيمة من هذا النطاق.

إذا كان كلا قوسي الفجوة مستديرين، كما في مثالنا، فإن هذه الفجوة تسمى أيضًا فاصلة.

عادةً ما يكون حل المتراجحة عبارة عن فترة، لكن هناك خيارات أخرى ممكنة، على سبيل المثال، يمكن أن يكون الحل عبارة عن مجموعة مكونة من رقم واحد أو أكثر. على سبيل المثال، المتباينة لها حل واحد فقط. في الواقع، بالنسبة لأي قيم أخرى، سيكون التعبير إيجابيا، مما يعني أن عدم المساواة العددية المقابلة لن تكون راضية.

قد لا يكون لعدم المساواة حلول. في هذه الحالة تتم كتابة الإجابة على النحو التالي (“المتغير ينتمي إلى المجموعة الفارغة”). ليس هناك شيء غير عادي في حقيقة أن حل المتباينة يمكن أن يكون المجموعة الفارغة. في الواقع، في الحياة الحقيقية، يمكن أن تؤدي القيود أيضًا إلى حقيقة أنه لا يوجد عنصر واحد يلبي المتطلبات. على سبيل المثال، بالتأكيد لا يوجد أشخاص أطول من متر ويصل وزنهم إلى كجم. مجموعة هؤلاء الأشخاص لا تحتوي على عنصر واحد، أو كما يقولون، هي مجموعة فارغة.

يمكن استخدام المتباينات ليس فقط لتسجيل المعلومات المعروفة، ولكن أيضًا كنماذج رياضية لحل المشكلات المختلفة. تتيح لك روبل. كم عدد الآيس كريم بالروبل الذي يمكنك شراؤه بهذه الأموال؟

مثال آخر. لدينا روبل ونحتاج إلى شراء الآيس كريم لأصدقائنا. بأي سعر يمكننا اختيار الآيس كريم للشراء؟

في الحياة، يعرف كل واحد منا كيفية حل مثل هذه المشكلات البسيطة في رؤوسنا، لكن مهمة الرياضيات هي تطوير أداة ملائمة لا يمكنك من خلالها حل مشكلة واحدة محددة، بل فئة كاملة من المشكلات المختلفة، بغض النظر عما نقوم به نتحدث عن - عدد حصص الآيس كريم أو سيارات نقل البضائع أو لفات ورق الحائط للغرفة.

دعونا نعيد كتابة شرط المسألة الأولى المتعلقة بالآيس كريم باللغة الرياضية: حصة واحدة تكلف روبلًا، وعدد الوجبات التي يمكننا شراؤها غير معروف لنا، دعنا نشير إليها بـ . ثم التكلفة الإجمالية لمشترياتنا: روبل. وبشرط ألا يتجاوز هذا المبلغ الروبل. وبالتخلص من الأسماء نحصل على نموذج رياضي : .

وكذلك الأمر بالنسبة للمشكلة الثانية (أين تكلفة حصة الآيس كريم): . الإنشاءات هي أبسط الأمثلة على المتباينات ذات المتغير أو المتباينات الخطية.

تسمى عدم المساواة خطيةعطوف ، بالإضافة إلى تلك التي يمكن إحضارها إلى هذا النموذج من خلال تحويلات مكافئة. على سبيل المثال: ؛ ; .

ليس هناك جديد بالنسبة لنا في هذا التعريف: الفرق بين المتباينات الخطية والمعادلات الخطية هو فقط في استبدال علامة المساواة بعلامة المتباينة. ويرتبط الاسم أيضًا بالدالة الخطية التي تظهر على الجانب الأيسر من المتراجحة (الشكل 9).

أرز. 9. الرسم البياني للدالة الخطية

وبناءً على ذلك، فإن خوارزمية حل المتباينات الخطية هي تقريبًا نفس خوارزمية حل المعادلات الخطية:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.حل المتباينة الخطية : .

حل

لننقل الحد الذي به المجهول من الجانب الأيمن للمتراجحة إلى اليسار: .

نقسم الطرفين على عدد سالب، تتغير علامة المتباينة إلى العكس: . لنقم برسم المحور (الشكل 10).

أرز. 10. الرسم التوضيحي على سبيل المثال 1

ليس هناك حافة يسرى للفجوة، لذلك نكتب . الحافة اليسرى للفترة عبارة عن متباينة صارمة، لذا نكتبها بين قوسين. نحصل على الفاصل الزمني: .

مثال 2.حل عدم المساواة الخطية:

حل

دعونا نفتح القوسين على الجانبين الأيسر والأيمن من المتراجحة: .

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة: .

لنقم برسم المحور (الشكل 11).

أرز. 11. الرسم التوضيحي على سبيل المثال 2

نحصل على الفاصل الزمني: .

ماذا تفعل إذا كان المجهول بعد تقليل المصطلحات المماثلة

مثال 1.حل عدم المساواة الخطية: .

حل

دعونا نوسع الأقواس: .

لننقل جميع الحدود التي تحتوي على متغير إلى الجانب الأيسر، وبدون متغير إلى الجانب الأيمن:

دعونا نلقي نظرة على مصطلحات مماثلة: .

نحن نحصل: .

لا يوجد مجهول، ماذا تفعل؟ في الواقع لا شيء جديد مرة أخرى. تذكر ما فعلناه في مثل هذه الحالات بالنسبة للمعادلات الخطية: إذا كانت المساواة صحيحة، فإن الحل هو أي عدد حقيقي؛ وإذا كانت المساواة غير صحيحة، فإن المعادلة ليس لها حلول.

نحن نفعل الشيء نفسه هنا. إذا كانت عدم المساواة العددية الناتجة صحيحة، فيمكن للمجهول أن يأخذ أي قيمة: ( - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية). ولكن يمكن تصوير ذلك على المحور العددي كما يلي (الشكل 1):

أرز. 1. المجهول يمكن أن يأخذ أي قيمة

وباستخدام الفاصل أكتبه هكذا: .

إذا تبين أن المتراجحة العددية غير صحيحة، فإن المتراجحة الأصلية ليس لها حلول: .

وفي حالتنا فإن المتباينة ليست صحيحة، فالجواب هو: .

في المهام المختلفة، قد لا نواجه شرطًا واحدًا، بل عدة شروط أو قيود في وقت واحد. على سبيل المثال، لحل مشكلة النقل، عليك أن تأخذ في الاعتبار عدد السيارات، ووقت السفر، والقدرة الاستيعابية، وما إلى ذلك. سيتم وصف كل شرط من الشروط باللغة الرياضية من خلال عدم المساواة الخاصة به. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. استيفاء جميع الشروط في وقت واحد. يتم وصف مثل هذه الحالة نظام عدم المساواة. عند الكتابة، يتم دمجها مع قوس مجعد (يمكنك قراءتها كأداة ربط AND): .

2. يجب استيفاء شرط واحد على الأقل. هذا موصوف مجموعة من عدم المساواة(يمكنك قراءتها كأداة ربط أو): .

يمكن أن تحتوي أنظمة ومجموعات عدم المساواة على عدة متغيرات؛ لكننا سندرس بالتفصيل أبسط حالة: أنظمة ومجموعات المتباينات بمتغير واحد.

كيفية حلها؟ من الضروري حل كل من عدم المساواة بشكل منفصل، ثم كل هذا يتوقف على ما إذا كان لدينا نظام أو مجموعة. إذا كان نظاما، يجب استيفاء كافة الشروط. إذا قرر شيرلوك هولمز أن المجرم أشقر وبحجم قدميه، فيجب أن يبقى بين المشتبه بهم فقط الشقراوات بحجم قدميه. أولئك. سنستخدم فقط تلك القيم التي تتوافق مع الشرط الأول والثاني والثالث، إن وجد، وغيرها. هم عند تقاطع جميع المجموعات الناتجة. إذا كنت تستخدم محورًا رقميًا، فعند تقاطع جميع الأجزاء المظللة من المحور (الشكل 12).

أرز. 12. حل النظام - تقاطع جميع الأجزاء المظللة من المحور

إذا كان جمعإذن جميع القيم التي تمثل حلولًا لمتباينة واحدة على الأقل مناسبة لنا. إذا قرر شيرلوك هولمز أن المجرم يمكن أن يكون رجلاً أشقرًا أو شخصًا بحجم قدم، فيجب أن يكون من بين المشتبه بهم جميع الشقراوات (بغض النظر عن حجم الحذاء) وجميع الأشخاص بحجم قدم (بغض النظر عن لون الشعر). . أولئك. سيكون حل مجموعة من المتباينات هو اتحاد مجموعات حلولها. إذا كنت تستخدم محور الأرقام، فهو اتحاد جميع الأجزاء المظللة من المحور (الشكل 13).

أرز. 13. حل المجموعة - اتحاد جميع الأجزاء المظللة من المحور

يمكنك معرفة المزيد عن التقاطع والاتحاد أدناه.

تقاطع واتحاد المجموعات

يشير المصطلحان "التقاطع" و"الاتحاد" إلى مفهوم المجموعة. مجموعة من- مجموعة من العناصر التي تلبي معايير معينة. يمكنك التوصل إلى العديد من الأمثلة على المجموعات التي تريدها: العديد من زملاء الدراسة، والعديد من لاعبي كرة القدم في المنتخب الوطني الروسي، والعديد من السيارات في الفناء المجاور، وما إلى ذلك.

أنت بالفعل على دراية بالمجموعات العددية: مجموعة الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد الحقيقية. هناك أيضًا مجموعات فارغة، لا تحتوي على عناصر. حلول عدم المساواة هي أيضًا مجموعات من الأرقام.

تقاطع مجموعتينوتسمى المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي في وقت واحد إلى كل من المجموعة والمجموعة (الشكل 1).

أرز. 1. تقاطع المجموعات و

على سبيل المثال، فإن تقاطع مجموعة جميع النساء ومجموعة رؤساء جميع البلدان سيكون جميعهم من النساء.

اتحاد مجموعتينوتسمى المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي إلى واحدة على الأقل من المجموعات أو (الشكل 2).

أرز. 2. اتحاد المجموعات و

على سبيل المثال، فإن اتحاد العديد من لاعبي كرة القدم زينيت في المنتخب الوطني الروسي ولاعبي كرة القدم سبارتاك في المنتخب الوطني الروسي سيكون جميع لاعبي كرة القدم زينيت وسبارتاك الذين يلعبون للمنتخب الوطني. بالمناسبة، تقاطع هذه المجموعات سيكون المجموعة الفارغة (لا يمكن للاعب أن يلعب لفريقين في نفس الوقت).

لقد واجهت بالفعل اتحاد وتقاطع المجموعات الرقمية عندما كنت تبحث عن LCM وGCD لرقمين. إذا كانت مجموعات تتكون من عوامل أولية تم الحصول عليها عن طريق تحلل الأرقام، فسيتم الحصول على gcd من تقاطع هذه المجموعات، ويتم الحصول على gcd من الاتحاد. مثال:

مثال 3.حل نظام عدم المساواة: .

حل

دعونا نحل عدم المساواة بشكل منفصل. في المتباينة الأولى ننقل الحد الذي لا يوجد فيه متغير إلى الجانب الأيمن بإشارة معاكسة: .

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة: .

دعونا نقسم طرفي المتراجحة على عدد موجب، فإشارة المتراجحة لا تتغير:

وفي المتباينة الثانية ننقل الحد ذو المتغير إلى الجانب الأيسر، وبدون المتغير إلى الجانب الأيمن: . دعونا نقدم مصطلحات مماثلة: .

دعونا نقسم طرفي المتراجحة على عدد موجب، فإشارة المتراجحة لا تتغير:

دعونا نرسم حلول المتباينات الفردية على خط الأعداد. حسب الحالة، لدينا نظام من المتباينات، لذلك نبحث عن تقاطع الحلول (الشكل 14).

أرز. 14. الرسم التوضيحي على سبيل المثال 3

في جوهرها، الجزء الأول من حل الأنظمة ومجموعات عدم المساواة مع متغير واحد يأتي إلى حل عدم المساواة الخطية الفردية. يمكنك التدرب على ذلك بنفسك (على سبيل المثال، باستخدام اختباراتنا وأجهزة المحاكاة الخاصة بنا)، وسنتناول المزيد من التفاصيل حول إيجاد اتحادات وتقاطعات مجموعات الحلول.

مثال 4.دعونا نحصل على الحل التالي للمعادلات الفردية للنظام:

حل

لنظلل المساحة على المحور المقابل لحل المعادلة الأولى (الشكل 15)؛ حل المعادلة الثانية هو مجموعة فارغة، ولا يوجد ما يقابلها على المحور.

أرز. 15. الرسم التوضيحي على سبيل المثال 4

هذا نظام، لذا عليك أن تبحث عن تقاطع الحلول. ولكن لا يوجد شيء. وهذا يعني أن إجابة النظام ستكون أيضًا مجموعة فارغة: .

مثال 5.مثال آخر: .

حل

الفرق هو أن هذه بالفعل مجموعة من عدم المساواة. لذلك، تحتاج إلى تحديد منطقة على المحور تتوافق مع حل إحدى المعادلات على الأقل. نحصل على الجواب: .

بعبارات أبسط، يمكننا القول أن هذه متباينات يوجد فيها متغير من الدرجة الأولى فقط، وليس في مقام الكسر.

أمثلة:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

أمثلة على المتباينات غير الخطية:

\(3>-2\) – لا توجد متغيرات هنا، فقط أرقام، مما يعني أن هذه متباينة عددية
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – يوجد متغير في المقام، هذا
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - يوجد متغير للقوة الثانية، وهذا هو

حل المتباينات الخطية

حل عدم المساواةسيكون هناك أي رقم سيؤدي استبداله بدلاً من المتغير إلى جعل المتراجحة صحيحة. حل عدم المساواة- يعني العثور على كل هذه الأرقام.

على سبيل المثال، بالنسبة للمتباينة \(x-2>0\) فإن الرقم \(5\) سيكون الحل، لأن عند استبدال خمسة بدلاً من x، نحصل على الرقم الصحيح: \(3>0\). لكن الرقم \(1\) لن يكون حلاً، لأن الاستبدال سيؤدي إلى متباينة عددية غير صحيحة: \(-1>0\) . لكن حل المتراجحة لن يكون خمسة فقط، بل سيكون أيضًا \(4\)، \(7\)، \(15\)، \(42\)، \(726\) وعدد لا نهائي من الأرقام: أي عدد أكبر من اثنين.

ولذلك، لا يمكن حل المتباينات الخطية عن طريق البحث عن القيم واستبدالها. بدلا من ذلك، استخدامها يؤدي إلى أحد الأمور التالية:

\(س c\)، \(x\leqс\)، \(x\geqс\)، حيث \(с\) هو أي رقم

يتم بعد ذلك وضع علامة على الإجابة على خط الأعداد وكتابتها كـ (وتسمى أيضًا الفاصل الزمني).

بشكل عام، إذا كنت تعرف كيفية الحل، فيمكنك إجراء المتباينات الخطية، لأن عملية الحل متشابهة جدًا. هناك إضافة واحدة مهمة فقط:

مثال. حل المتراجحة \(2(x+1)-1).<7+8x\)
حل:

إجابة: \(x\in(-1;\infty)\)

الحالة الخاصة رقم 1: حل المتباينة - أي رقم

في المتباينات الخطية، يكون الموقف ممكنًا عندما يمكن استخدام أي رقم كحل - عدد صحيح، كسري، سالب، موجب، صفر... على سبيل المثال، هذه المتباينة \(x+2>x\) ستكون صحيحة لأي قيمة x. حسنا، كيف يمكن أن يكون الأمر خلاف ذلك، لأنه تمت إضافة اثنين إلى X على اليسار، ولكن ليس على اليمين. وبطبيعة الحال، سيكون الرقم الموجود على اليسار أكبر، بغض النظر عن X الذي نأخذه.

مثال. حل المتباينة \(3(2x-1)+5<6x+4\)
حل:

إجابة: \(x\in(-\infty;\infty)\)

الحالة الخاصة رقم 2: عدم المساواة ليس لها حلول

الوضع المعاكس ممكن أيضًا، عندما لا يكون للمتباينة الخطية أي حلول على الإطلاق، أي أنه لن تجعلها x صحيحة. على سبيل المثال، \(x-2>x\) لن يكون صحيحًا أبدًا، لأنه يتم طرح اثنين من x على اليسار، ولكن ليس على اليمين. هذا يعني أنه على اليسار سيكون هناك دائمًا أقل وليس أكثر.

مثال. حل المتراجحة \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
حل:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		القواسم تعترض طريقنا. نتخلص منها على الفور عن طريق ضرب جميع المتباينات في القاسم المشترك للجميع، أي في 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		دعونا نفتح الأقواس
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		دعونا نقطع ما يمكن قطعه
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		على اليسار سنفتح القوس، وعلى اليمين سنعرض مصطلحات مماثلة
\(3x-15>3x-4\)		حرك \(3x\) إلى اليسار و\(-15\) إلى اليمين، مع تغيير الإشارات
\(3x-3x>-4+15\)		نقدم مرة أخرى مصطلحات مماثلة
		لقد تلقيت متباينة رقمية غير صحيحة. وستكون غير صحيحة لأي x، لأنها لا تؤثر على المتباينة الناتجة بأي شكل من الأشكال. وهذا يعني أن أي قيمة لـ X لن تكون حلاً.

إجابة: \(x\in\varnothing\)

• الخاصية 1. إذا كان أ > ب و ب > ج، فإن أ > ج (مثال: 8 > 4 و4 > 3 => 8 > 3)
• الملكية 2. إذا كان a > b، فإن a + const > b + const. عدد ثابت التعسفي (مثال: س - 3 > 0<=>س - 3 + 8 > 0 + 8)
• الملكية 3. إذا كان a > b و m > 0، فإن am > bm؛

إذا أ> ب و م< 0, то am < bm. m-произвольное число.

معنى الخاصية 3 هو كما يلي:

• إذا تم ضرب طرفي المتباينة في نفس العدد الموجب، فيجب الحفاظ على علامة المتباينة؛
• إذا ضرب طرفا المتراجحة في نفس العدد السالب فيجب تغيير إشارة المتراجحة (علامة "<” на “>"، علامة ">" على "<”);(для нестрогих неравенств)

من الخاصية 3، على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أنه بضرب طرفي المتراجحة a > b في -1، نحصل على: -a< -b.

• الخاصية 4. إذا كان a > b و c > d، فإن a + c > b + d (مثال: 8 > 4 و3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
• العقار 5. إذا كانت a,b,c,d أرقامًا موجبة و a > b, c > d ثم ac > bd (مثال: 8 > 4 و 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)

المتباينات الخطية

تعريف. حل المتباينة في متغير واحد هو قيمة المتغير الذي يحولها إلى متباينة عددية حقيقية.

لنأخذ على سبيل المثال المتباينة 2x + 5< 7.

نحن مهتمون بالأرقام x التي 2x + 5< 7— верное числовое неравенство.

دعونا نبسط المتباينة.

1) حسب الملكية 2 أضفنا نفس العدد "-5" إلى طرفي المتراجحة وحصلنا على:

2س + 5 - 5< 7 - 5.

لقد حصلنا على متباينة أبسط.

2) على أساس خصائص 3 يمكنك قسمة الطرفين على الرقم الموجب 2، فإن المتباينة الناتجة هي:

ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أن حل المتراجحة هو أي رقم x أقل من 1. وبالتالي فإن مجموعة حلول هذه المتراجحة هي مجموعة الأعداد x< 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])

تسمح لك الخصائص بالاسترشاد عند حل عدم المساواة بالقواعد التالية:

• المادة 1. يمكن نقل أي حد من أطراف المتراجحة من جزء من المتراجحة إلى آخر بإشارة معاكسة، دون تغيير إشارة المتراجحة.
• القاعدة 2. يمكن ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس العدد الموجب دون تغيير إشارة المتراجحة.
• القاعدة 3. يمكن ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس العدد السالب، وبالتالي عكس إشارة المتراجحة.

دعونا نطبق هذه القواعد لحل المتباينات الخطية، أي. عدم المساواة التي تقلل من الشكل

حيث a وb عبارة عن أرقام، مع استثناء واحد: a ≠ 0.

إذا كانت a = 0، فإننا نعتبر حالتين:

1) إذا كان b > 0، فيمكن أن يكون x أي رقم

2) إذا ب< 0, то решения нет

مثال 1:

حل عدم المساواة

3س - 5 ≥ 7س - 15.

حل.

نحن نسترشد المادة 1 دعنا ننقل الحد 7x إلى الجانب الأيسر من المتراجحة، والحد -5 إلى الجانب الأيمن من المتراجحة، دون أن ننسى تغيير إشارة كل من الحد 7x والحد -5. ثم نحصل على:

Zx - 7x ≥ -15 + 5

وفق القاعدة 3 دعونا نقسم طرفي المتباينة الأخيرة على نفس العدد السالب -4، دون أن ننسى تغيير إشارة المتراجحة. نحن نحصل:

هذا هو الحل للمتباينة المعطاة.

كما اتفقنا، لكتابة الحل، يمكنك استخدام الترميز للفاصل الزمني المقابل لخط الأعداد: (-∞; 2.5).

إجابة: (- ∞; 2,5].

مثال 2:

حل عدم المساواة

3س + 2 > 2(س + 3) + س

حل.

3س + 2 > 2س + 6 + س

تسترشد المادة 1

3س - 2س - س > 6 - 2

نحصل على التناقض.

لا يوجد حل.

مثال 4:

حل عدم المساواة

2(س - 1) + 3 > 2س - 5

حل.

دعونا نفتح الأقواس في الجزء الثاني من المتراجحة:

2س - 2 + 3 > 2س - 5

تسترشد المادة 1 ، انقل المصطلحين "مع X" إلى الجانب الأيسر من المتراجحة، و"بدون X" إلى اليمين:

2س - 2س > 2 - 5 - 3

نحصل على عدم المساواة الصحيحة.

في هذه الحالة، يمكنك أن تأخذ أي رقم x، لأن الحل لا يعتمد عليه.

الإجابة هي خط الأعداد بأكمله.

في الختام، نلاحظ أنه باستخدام خصائص المتباينات العددية وقواعدها، تعلمنا في هذا القسم حل أي متباينة بمتغير، ولكن فقط متباينة، بعد سلسلة من التحولات البسيطة (مثل تلك التي تم إجراؤها في الأمثلة من هذا القسم) يأخذ الشكل ax > b، وتسمى هذه المتباينات خطي . بعد ذلك، سنستكشف طرقًا لحل المتباينات الأكثر تعقيدًا.

رومانيشينا دينا سولومونوفنا، مدرس الرياضيات في صالة الألعاب الرياضية رقم 2 في خاباروفسك

1. معادلات ذات متغير واحد.

تسمى المعادلة التي تحتوي على متغير معادلة ذات متغير واحد، أو معادلة ذات مجهول واحد. على سبيل المثال، المعادلة بمتغير واحد هي 3(2x+7)=4x-1.

جذر أو حل المعادلة هو قيمة المتغير الذي تصبح عنده المعادلة مساواة عددية حقيقية. على سبيل المثال، الرقم 1 هو حل للمعادلة 2x+5=8x-1. المعادلة x2+1=0 ليس لها حل الجانب الأيسر من المعادلة دائمًا أكبر من الصفر. المعادلة (x+3)(x-4) =0 لها جذرين: x1= -3، x2=4.

حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها أو إثبات عدم وجود جذور.

تسمى المعادلات متكافئة إذا كانت جميع جذور المعادلة الأولى هي جذور المعادلة الثانية والعكس صحيح، جميع جذور المعادلة الثانية هي جذور المعادلة الأولى أو إذا لم يكن للمعادلتين أي جذور. على سبيل المثال، المعادلتان x-8=2 وx+10=20 متكافئتان، لأن جذر المعادلة الأولى x=10 هو أيضًا جذر المعادلة الثانية، وكلا المعادلتين لهما نفس الجذر.

عند حل المعادلات يتم استخدام الخصائص التالية:

إذا قمت بنقل حد في معادلة من جزء إلى آخر، مع تغيير إشارته، فسوف تحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو قسمتهما على نفس الرقم غير الصفر، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

المعادلة ax=b، حيث x متغير وa وb بعض الأرقام، تسمى معادلة خطية ذات متغير واحد.

إذا كانت a¹0، فإن المعادلة لها حل فريد

.

إذا كانت a=0، b=0، فإن أي قيمة لـ x تحقق المعادلة.

إذا كانت a=0, b¹0 فإن المعادلة ليس لها حلول، لأن لا يتم تنفيذ 0x=b لأي قيمة للمتغير.

مثال 1. حل المعادلة: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

لنفتح القوسين على طرفي المعادلة، وننقل كل الحدود التي بها x إلى الجانب الأيسر من المعادلة، والحدود التي لا تحتوي على x إلى الجانب الأيمن، نحصل على:

16س-15س=88-40-12

مثال 2. حل المعادلات:

x3-2x2-98x+18=0;

هذه المعادلات ليست خطية، لكننا سنبين كيف يمكن حل هذه المعادلات.

3x2-5x=0; س(3س-5)=0. حاصل الضرب يساوي صفرًا، وإذا كان أحد العوامل يساوي الصفر، نحصل على x1=0؛ ×2=

. .

عامل الجانب الأيسر من المعادلة:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3)، أي. (س-2)(س-3)(س+3)=0. هذا يوضح أن حلول هذه المعادلة هي الأعداد x1=2، x2=3، x3=-3.

ج) تخيل أن 7x هي 3x+4x، ثم لدينا: x2+3x+4x+12=0، x(x+3)+4(x+3)=0، (x+3)(x+4)= 0، وبالتالي x1=-3، x2=-4.

الجواب: -3؛ - 4.

مثال 3. حل المعادلة: ½x+1ç+½x-1ç=3.

دعونا نتذكر تعريف معامل الرقم:

على سبيل المثال: ½3½=3، ½0½=0، ½- 4½= 4.

في هذه المعادلة، تحت علامة المعامل يوجد الرقمان x-1 وx+1. إذا كانت x أقل من -1، فإن الرقم x+1 سالب، ثم ½x+1½=-x-1. وإذا كانت x>-1، فإن ½x+1½=x+1. عند x=-1 ½x+1½=0.

هكذا،

على نفس المنوال

أ) خذ بعين الاعتبار هذه المعادلة ½x+1½+½x-1½=3 لـ x £-1، فهي تعادل المعادلة -x-1-x+1=3, -2x=3, x=

، ينتمي هذا الرقم إلى المجموعة x £ -1.

ب) دع -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

ج) النظر في الحالة x>1.

س+1+س-1=3، 2س=3، س=

. ينتمي هذا الرقم إلى المجموعة x>1.

الإجابة: x1=-1.5; س2=1.5.

مثال 4. حل المعادلة: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.

دعونا نعرض سجلا قصيرا لحل المعادلة، مع الكشف عن علامة المعامل "على فترات".

س £-2، -(x+2)-3x=-2(x-1)، - 4x=4، x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

الجواب: [-2؛ 0]

مثال 5. حل المعادلة: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2)، لجميع قيم المعلمة a.

يوجد في الواقع متغيران في هذه المعادلة، لكن اعتبر أن x هو المجهول وa هو المعلمة. مطلوب حل معادلة المتغير x لأي قيمة للمعلمة a.

إذا كانت a=1، فإن المعادلة لها الشكل 0×x=0؛ أي رقم يحقق هذه المعادلة.

إذا كانت a=-1، فستبدو المعادلة كما يلي: 0×x=-2؛ ولا يوجد رقم واحد يفي بهذه المعادلة.

إذا كانت a¹1، a¹-1، فإن المعادلة لها حل فريد

.

الإجابة: إذا كان a=1، فإن x هو أي رقم؛

إذا كان a=-1، فلا توجد حلول؛

إذا كان ¹±1، إذن

.

2. أنظمة المعادلات ذات المتغيرين.

حل نظام المعادلات ذو متغيرين هو زوج من قيم المتغيرات الذي يحول كل معادلة من معادلة النظام إلى مساواة حقيقية. حل النظام يعني إيجاد جميع حلوله أو إثبات عدم وجود أي منها. يقال أن نظامين من المعادلات متكافئان إذا كان كل حل من حلول النظام الأول هو حل للنظام الثاني وكل حل من حل النظام الثاني هو حل للنظام الأول، أو ليس لهما حلول.

عند حل الأنظمة الخطية، يتم استخدام طريقة الاستبدال وطريقة الجمع.

مثال 1. حل نظام المعادلات:

لحل هذا النظام، نستخدم طريقة الاستبدال. لنعبر عن x من المعادلة الأولى ونعوض بهذه القيمة

في المعادلة الثانية للنظام نحصل على

الجواب: (2؛ 3).

مثال 2. حل نظام المعادلات:

لحل هذا النظام قمنا بتطبيق طريقة جمع المعادلات. 8س=16، س=2. عوض بالقيمة x=2 في المعادلة الأولى، نحصل على 10-y=9، y=1.

الجواب: (2؛ 1).

مثال 3. حل نظام المعادلات:

وهذا النظام يعادل معادلة واحدة 2x+y=5، لأن ويتم الحصول على المعادلة الثانية من الأولى عن طريق الضرب في 3. وبالتالي فإن أي زوج من الأرقام (x; 5-2x) يحققها. النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

الجواب: (س؛ ٥-٢ س)، س – أي.

مثال 4. حل نظام المعادلات:

لنضرب المعادلة الأولى في -2 ونضيفها إلى المعادلة الثانية فنحصل على 0×x+0×y=-6. لا يوجد زوج من الأرقام يرضي هذه المعادلة. لذلك، هذا النظام ليس لديه حلول.

الجواب: النظام ليس لديه حلول.

مثال 5. حل النظام:

من المعادلة الثانية نعبر عن x = y + 2a + 1 ونعوض بقيمة x هذه في المعادلة الأولى للنظام نحصل على

. عندما تكون a=-2، فإن المعادلة ليس لها حلول، ولكن إذا كانت a¹-2، إذن .

الإجابة: عندما يكون a=-2 لا يكون للنظام حل مثال 6. حل نظام المعادلات:

لقد حصلنا على نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين. دعونا نطبق طريقة غاوس، التي تتكون من تحويلات متكافئة تجلب النظام المعطى إلى شكل مثلث. دعونا نضيف المعادلة الثانية إلى الأولى، مضروبة في -2.

2x-2у-2z=-12

3x-3у-3z=-18

وأخيرًا، نضيف إلى هذه المعادلة المعادلة y-z=-1، مضروبة في 2، فنحصل على - 4z=-12، z=3. لذلك نحصل على نظام المعادلات:

س+ص+ض=6

z=3، وهو ما يعادل هذا.

ويسمى النظام من هذا النوع الثلاثي.

الجواب: (1؛ 2؛ 3).

3. حل المسائل باستخدام المعادلات وأنظمة المعادلات.

سنوضح بالأمثلة كيف يمكنك حل المسائل باستخدام المعادلات وأنظمة المعادلات.

مثال 1. سبيكة من القصدير والنحاس وزنها 32 كجم تحتوي على 55% قصدير. ما كمية القصدير النقي التي يجب إضافتها إلى السبيكة حتى تحتوي السبيكة الجديدة على 60% قصدير؟

حل. دع كتلة القصدير المضافة إلى السبيكة الأصلية تساوي x كجم. إذن سبيكة وزنها (32+x) كجم ستحتوي على 60% قصدير و40% نحاس. تحتوي السبيكة الأصلية على 55% قصدير و45% نحاس، أي. وكان به 32·0.45 كجم من النحاس. بما أن كتلة النحاس في السبائك الأصلية والسبائك الجديدة هي نفسها، فقد حصلنا على المعادلة 0.45·32=0.4(32+x).

وبعد حلها نجد x=4، أي. يجب إضافة 4 كجم من القصدير إلى السبيكة.

مثال 2. يتم تصور عدد مكون من رقمين يكون رقم العشرات فيه أقل بمقدار 2 من رقم الآحاد. إذا قسم هذا العدد على مجموع أرقامه كان الناتج 4 والباقي 6. ما العدد المقصود؟

حل. ليكن رقم الآحاد x، ثم رقم العشرات هو x-2 (x>2)، والرقم المقصود هو 10(x-2)+x=11x-20. مجموع أرقام الرقم x-2+x=2x-2. لذلك، بقسمة 11x-20 على 2x-2، نحصل على 4 كخارج و 6 كباقي. نقوم بإنشاء المعادلة: 11x-20=4(2x-2)+6، لأن المقسوم يساوي المقسوم عليه مضروبًا في حاصل القسمة بالإضافة إلى الباقي. وبحل هذه المعادلة نحصل على x=6. لذلك، تم تصور الرقم 46.