كيفية حل معادلات القسمة. حل المعادلات الخطية البسيطة. حل المعادلات الخطية. أمثلة

معادلة ذات مجهول واحد، والتي بعد فتح القوسين وإحضار مصطلحات مماثلة، تأخذ الشكل

الفأس + ب = 0، حيث a و b عبارة عن أرقام عشوائية، يتم استدعاؤها معادلة خط مستقيم مع واحد مجهول. اليوم سنتعرف على كيفية حل هذه المعادلات الخطية.

على سبيل المثال، جميع المعادلات:

2س + 3= 7 – 0.5س؛ 0.3x = 0; س/2 + 3 = 1/2 (س - 2) - خطي.

تسمى قيمة المجهول التي تحول المعادلة إلى مساواة حقيقية قرار أو جذر المعادلة .

على سبيل المثال، إذا قمنا في المعادلة 3x + 7 = 13 بدلاً من x المجهول بتعويض الرقم 2، نحصل على المساواة الصحيحة 3 2 +7 = 13. وهذا يعني أن القيمة x = 2 هي الحل أو الجذر من المعادلة.

والقيمة x = 3 لا تحول المعادلة 3x + 7 = 13 إلى مساواة حقيقية، حيث أن 3 2 +7 ≠ 13. وهذا يعني أن القيمة x = 3 ليست حلاً أو جذرًا للمعادلة.

يؤدي حل أي معادلات خطية إلى حل معادلات النموذج

الفأس + ب = 0.

دعنا ننقل الحد الحر من الجانب الأيسر من المعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة الموجودة أمام b إلى العكس، نحصل على

إذا كانت أ ≠ 0، فإن x = ‒ ب/أ .

مثال 1. حل المعادلة 3س + 2 =11.

دعنا ننقل 2 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة الموجودة أمام 2 إلى العكس، نحصل على
3س = 11 - 2.

دعونا نفعل الطرح، ثم
3س = 9.

للعثور على x، تحتاج إلى قسمة المنتج على عامل معروف، أي
س = 9:3.

وهذا يعني أن القيمة x = 3 هي الحل أو جذر المعادلة.

الجواب: س = 3.

إذا كان أ = 0 و ب = 0، ثم نحصل على المعادلة 0x = 0. هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول، لأننا عندما نضرب أي رقم في 0 نحصل على 0، ولكن b يساوي 0 أيضًا. حل هذه المعادلة هو أي رقم.

مثال 2.حل المعادلة 5(س - 3) + 2 = 3 (س - 4) + 2س - 1.

دعونا نوسع الأقواس:
5س – 15 + 2 = 3س – 12 + 2س – 1.

5س – 3س – 2س = – 12 – 1 + 15 – 2.

فيما يلي بعض المصطلحات المشابهة:
0س = 0.

الجواب: س - أي رقم.

إذا كانت أ = 0 و ب ≠ 0، فنحصل على المعادلة 0x = - b. هذه المعادلة ليس لها حلول، لأننا عندما نضرب أي رقم في 0 نحصل على 0، لكن b ≠ 0.

مثال 3.حل المعادلة س + 8 = س + 5.

لنقم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على مجهولات على الجانب الأيسر، والمصطلحات الحرة على الجانب الأيمن:
س – س = 5 – 8.

فيما يلي بعض المصطلحات المشابهة:
0× = - 3.

الجواب: لا توجد حلول.

على شكل 1 يظهر رسم تخطيطي لحل المعادلة الخطية

لنرسم مخططًا عامًا لحل المعادلات بمتغير واحد. دعونا نفكر في حل المثال 4.

مثال 4. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة

1) اضرب جميع حدود المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات، وهو 12.

2) بعد التخفيض نحصل على
4 (س – 4) + 3 2 (س + 1) ‒ 12 = 6 5 (س – 3) + 24س – 2 (11س + 43)

3) للفصل بين المصطلحات التي تحتوي على مصطلحات مجهولة ومصطلحات حرة، افتح القوسين:
4س – 16 + 6س + 6 – 12 = 30س – 90 + 24س – 22س – 86.

4) دعونا نجمع في جزء واحد المصطلحات التي تحتوي على مجهولات، وفي الآخر - المصطلحات الحرة:
4س + 6س – 30س – 24س + 22س = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) دعونا نقدم مصطلحات مماثلة:
- 22س = - 154.

6) نقسم على – 22، نحصل على
س = 7.

كما ترون، جذر المعادلة هو سبعة.

عموما مثل هذا يمكن حل المعادلات باستخدام المخطط التالي:

أ) جلب المعادلة إلى شكلها الصحيح.

ب) فتح بين قوسين.

ج) قم بتجميع الحدود التي تحتوي على المجهول في جزء واحد من المعادلة، والحدود الحرة في الجزء الآخر؛

د) جلب أعضاء مماثلين؛

هـ) حل معادلة بالشكل ax = b، والتي تم الحصول عليها بعد إحضار مصطلحات مماثلة.

ومع ذلك، هذا المخطط ليس ضروريا لكل معادلة. عند حل العديد من المعادلات الأبسط، عليك أن تبدأ ليس من الأولى، بل من الثانية ( مثال. 2)، ثالث ( مثال. 13) وحتى من المرحلة الخامسة كما في المثال 5.

مثال 5.حل المعادلة 2س = 1/4.

أوجد المجهول x = 1/4: 2،
س = 1/8 .

دعونا نلقي نظرة على حل بعض المعادلات الخطية الموجودة في امتحان الحالة الرئيسي.

مثال 6.حل المعادلة 2 (س + 3) = 5 – 6س.

2س + 6 = 5 - 6س

2س + 6س = 5 – 6

الجواب: - 0.125

مثال 7.حل المعادلة – 6 (5 – 3س) = 8س – 7.

– 30 + 18س = 8س – 7

18س – 8س = – 7 +30

الجواب: 2.3

مثال 8. حل المعادلة

3(3س – 4) = 4 7س + 24

9س – 12 = 28س + 24

9س – 28س = 24 + 12

مثال 9.أوجد f(6) إذا كانت f (x + 2) = 3 7

حل

وبما أننا بحاجة إلى إيجاد f(6)، ونعرف f(x + 2)،
ثم س + 2 = 6.

نحل المعادلة الخطية س + 2 = 6،
نحصل على س = 6 – 2، س = 4.

إذا كان س = 4
و(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

الجواب: 27.

إذا كان لا يزال لديك أسئلة أو تريد فهم حل المعادلات بشكل أكثر شمولاً، قم بالتسجيل في دروسي في الجدول الزمني. سأكون مسرورا بمساعدتك!

توصي TutorOnline أيضًا بمشاهدة درس فيديو جديد من معلمتنا أولغا ألكساندروفنا، والذي سيساعدك على فهم المعادلات الخطية وغيرها.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

يجوز إلغاء القرار الغيابي، بالإضافة إلى طرق الحكم الاستثنائية المنصوص عليها في القانون، من قبل نفس المحكمة، مع استئناف النظر في الدعوى من حيث الموضوع بناء على طلب المدعى عليه، إذا تمكن من إثبات أن حقه وكان عدم الحضور في جلسة المحكمة لأسباب وجيهة.

من الممكن مراجعة القرار الذي دخل حيز التنفيذ في النقض إذا أعادت المحكمة الموعد النهائي للنقض الذي فات لسبب وجيه.

خاصية التفرد:

خاصية التفرد هي عدم إمكانية إعادة تقديم طلب إلى المحكمة بطلب أو شكوى أو بيان، في قضية بين نفس الأطراف أو خلفائهم القانونيين، حول نفس الموضوع وبناء على نفس الظروف (أسباب الدعوى)، إذا كان هناك قرار دخل حيز التنفيذ القانوني.

إذا تغيرت الظروف التي تؤثر على تحديد مبلغ المدفوعات أو مدتها، بعد دخول القرار الذي يتم بموجبه تحصيل المدفوعات الدورية من المدعى عليه، حيز التنفيذ، يحق لكل طرف، من خلال تقديم مطالبة جديدة، المطالبة بتعويض التغيير في مبلغ وتوقيت المدفوعات.

في هذه الحالة، تصبح المطالب الجديدة موضوع نظر المحكمة، ويتم اتخاذ قرار جديد، والذي يدخل حيز التنفيذ وفقًا للقواعد العامة.

كما أن تقديم طلب مماثل للنظر فيه أمر غير مقبول أيضًا عندما يتم حل النزاع بين الطرفين نهائيًا، أثناء النظر الأولي، بموجب حكم بالموافقة على اتفاقية التسوية أو رفض مقدم الطلب لطلباته. ولا يُسمح بالاستئناف الثاني أمام المحكمة في حالة إنهاء الإجراءات.

الملكية الإلزامية:

إلزامي يعني أن الهيئات الحكومية والمسؤولين والمنظمات والمواطنين ملزمون بإخضاع أنشطتهم لمحتوى القرار.

يؤكد قانون الإجراءات المدنية على أن القرار ملزم في جميع أنحاء أراضي الاتحاد الروسي، وفي الحالات التي ينص عليها القانون، يمكن لمحاكم الاتحاد الروسي اللجوء إلى المحاكم الأجنبية لطلب تنفيذ القرارات.

تلتزم هيئات الدولة ومسؤولوها باتخاذ الإجراءات اللازمة لإضفاء الطابع الرسمي وتسجيل الحقوق التي أنشأها قرار المحكمة الذي دخل حيز التنفيذ القانوني.

يجب تنفيذ قرار المحكمة، بعد دخوله حيز التنفيذ القانوني، طوعًا من قبل الأشخاص الملتزمين، وفي الحالات الضرورية، قسرًا من قبل الهيئات التنفيذية.

تسمى الحاجة إلى تنفيذ الإجراءات المنصوص عليها في القرار بقابلية إنفاذ القرارات.

وهو جزء لا يتجزأ من الالتزام. ومفهوم الالتزام أوسع من مفهوم قابلية الإنفاذ؛ فهو يشمل أيضًا التزام جميع الأشخاص والمنظمات التي ليس لها مصلحة قانونية مباشرة في قضية معينة بمراعاة سلطة قرار المحكمة والمساهمة في تنفيذه.

والقرارات في جميع الأحوال ملزمة، ولكن ليست جميعها تتطلب التنفيذ، إذ لا يمكن تنفيذها. على سبيل المثال، لا تتطلب القرارات المتعلقة بمطالبات الاعتراف إجراءات محددة لحماية الحق الذي يطعن فيه المدعى عليه. لكي تكون ملزمة، يكفي أن تعترف المحكمة بظروف معينة أو علاقات قانونية (على سبيل المثال: إثبات الأبوة، والاعتراف بحق التأليف، وما إلى ذلك).

قد يكون للقرارات المتعلقة بمطالبات الاعتراف تأثير ضار في قضية تتعلق بمطالبة التعويض. على سبيل المثال، فإن قرار إثبات الأبوة له أهمية ضارة بالنسبة لقضية المطالبة باسترداد النفقة. كما أن قرار الاعتراف بحق التأليف إلزامي للمحكمة في حالة تحصيل الإتاوات من دار النشر.

يقدم قانون الأسرة في الاتحاد الروسي، بالإضافة إلى قضايا قانون الأسرة، العديد من القواعد الإجرائية المتعلقة بإجراءات (مسؤوليات) المحكمة بعد اتخاذ القرار. على سبيل المثال، يشير IC إلى أن المحكمة ملزمة، في غضون 3 أيام من تاريخ دخول قرار المحكمة بشأن الطلاق حيز التنفيذ، بإرسال مقتطف من هذا القرار إلى مكتب السجل المدني في مكان تسجيل الدولة زواج.

يتطلب قانون الأسرة من المحكمة اتخاذ إجراءات معينة لتنفيذ القرار. بعد دخولها حيز النفاذ القانوني، تكتسب قرارات المحكمة خصائص مستمدة من جوهر القوة القانونية، ونوعية التحيز (القرار المسبق).

ويعني التحيز أن العلاقات والوقائع التي أثبتتها المحكمة وسجلها القرار لا يمكن تفنيدها أثناء دراستها الثانوية من قبل الهيئات القضائية والإدارية.

يأتي التحيز في القواعد:

1. المحكمة والهيئات الإدارية، التي تعمل كهيئات قضائية، وتعيد تحليل الحقائق والعلاقات، كليًا أو جزئيًا، التي حددت المحكمة محتواها في قرار دخل حيز التنفيذ القانوني، ملزمة بالاستناد إلى قراراتهم بشأن هذه الوقائع والعلاقات بنفس الشكل الذي ثبتت عليه، أي أن الوقائع المثبتة بالفعل في قرار المحكمة لا يتم إثباتها مرة أخرى.

2. لا يتعين على الطرف الذي يبني مطالباته على علاقات قانونية كانت كليًا أو جزئيًا موضوع قرار محكمة دخل حيز التنفيذ القانوني أن يثبت بشكل متكرر وجود هذه العلاقات القانونية، ومحتوى عناصر مكوناتها، فضلا عن الحقائق القانونية التي تقوم عليها مطالبات الأطراف.

وتعتبر العلاقات والوقائع صحيحة ولا تخضع للإثبات ما دام القرار له القوة القانونية، أي إلى حين إلغاء القرار. ولا يجوز للطرف الآخر المعترض على طلب المدعي أن يقدم أدلة تدحض الوقائع والظروف التي سبق أن أثبتتها المحكمة، وكذلك مطالبة المحكمة بفحصها وضمها إلى الدعوى.

3. إذا كان موضوع الدراسة علاقة ثبت محتواها بقرار دخل حيز التنفيذ، فإن التعيين المسبق، أي الإضرار، ينطبق على العلاقات القانونية كاملة في أي جزء منها بالشكل الذي يكون عليه. وكان موضوع البحث القضائي.

إن القرار الذي دخل حيز التنفيذ القانوني له أهمية ضارة عند النظر في قضية جنائية. إن الحكم في قضية جنائية دخلت حيز التنفيذ إلزامي للمحكمة التي تنظر في القضية بشأن العواقب القانونية المدنية لأفعال الشخص الذي صدر حكم المحكمة بشأنه فيما يتعلق بقضايا ما إذا كان هذا الإجراء قد حدث و سواء تم ارتكابها من قبل هذا الشخص.

في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
2. نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
3. أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
2. الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
2. ثم الجمع بين مماثلة
3. وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.

ثم، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إعطاء مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
2. نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
3. نقدم مصطلحات مماثلة.
4. نقسم كل شيء على معامل "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائما، هناك بعض التفاصيل الدقيقة والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

المهمة رقم 1

الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:

نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

لذلك حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:

نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:

وهنا بعض منها مماثلة:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نفعل الرياضيات:

ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
• وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأً ما.

ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن سوف تصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وعند إجراء تحويلات مختلفة ستظهر دالة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فمن المؤكد أنه أثناء عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية.

المثال رقم 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض منها مماثلة:

ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:

\[\varnothing\]

أو لا توجد جذور.

المثال رقم 2

نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض منها مماثلة:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا توجد جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية، حيث يؤدي عدم القدرة على تنفيذ إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.

المهمة رقم 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نفعل بعض الخصوصية:

وهنا بعض منها مماثلة:

فلنكمل الخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:

الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.

الفروق الدقيقة في الحل

وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.

حول المجموع الجبري

بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.

بمجرد إجراء جميع التحولات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات بالكسور

لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:

1. افتح الأقواس.
2. متغيرات منفصلة.
3. جلب مماثلة.
4. القسمة على النسبة.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:

1. تخلص من الكسور.
2. افتح الأقواس.
3. متغيرات منفصلة.
4. جلب مماثلة.
5. القسمة على النسبة.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

المثال رقم 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعنا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

الآن دعونا نتوسع:

نعزل المتغير:

نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

حلت المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي:

• معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كانت لديك دوال تربيعية في مكان ما، فمن المرجح أن يتم تقليلها أثناء عملية التحويلات الإضافية.
• هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!