أمثلة على التوقعات الرياضية. التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. استخدام التوقعات الرياضية في الفوركس

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي X المعطى على مساحة احتمالية منفصلة هو الرقم m =M[X]=∑x i p i إذا كانت المتسلسلة متقاربة تمامًا.

الغرض من الخدمة. استخدام الخدمة عبر الإنترنت ويتم حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F(X).

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي نفسه: M[C]=C, C – ثابت؛
2. م = ج م [X]
3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية: M=M[X]+M[Y]
4. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية: M=M[X] M[Y] إذا كان X و Y مستقلين.

خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر: D(c)=0.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التشتت بتربيعه: D(k*X)= k 2 D(X).
3. إذا كان المتغيران العشوائيان X وY مستقلين، فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. إذا كانت المتغيرات العشوائية X وY تابعة: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. الصيغة الحسابية التالية صالحة للتشتت:
   د(X)=م(X 2)-(M(X)) 2

مثال. التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y معروفة: M(x)=8، M(Y)=7، D(X)=9، D(Y)=6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z=9X-8Y+7.
حل. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
بناءً على خصائص التشتت: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأعداد طبيعية؛ قم بتعيين كل قيمة احتمالًا غير الصفر.

1. نقوم بضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: x i بواسطة p i .
2. أضف منتج كل زوج x i p i .
   على سبيل المثال، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلوتدريجيًا، يزداد فجأة عند تلك النقاط التي تكون احتمالاتها إيجابية.

المثال رقم 1.

× ط	1	3	4	7	9
باي	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

نجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة m = ∑x i p i .
التوقع M[X].
م[س] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
نجد التباين باستخدام الصيغة d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
التباين د[X].
د[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
الانحراف المعياري σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

المثال رقم 2. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل على سلسلة التوزيع التالية:

X	-10	-5	0	5	10
ر	أ	0,32	2أ	0,41	0,03

أوجد قيمة a والتوقع الرياضي والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي.

حل. تم العثور على قيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp ط = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24=3 أ ، من حيث أ = 0.08

المثال رقم 3. حدد قانون توزيع المتغير العشوائي المتقطع إذا كان تباينه معروفا، و x 1 × 1 =6؛ × 2 =9؛ س 3 = س؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3
د(س)=12.96

حل.
هنا تحتاج إلى إنشاء صيغة للعثور على التباين d(x):
د(س) = س 1 2 ص 1 + س 2 2 ص 2 + س 3 2 ص 3 + س 4 2 ص 4 -م(س) 2
حيث التوقع m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
لبياناتنا
م(س)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2 -20×+96)=0
وبناء على ذلك، علينا إيجاد جذور المعادلة، وسيكون هناك اثنان منها.
× 3 = 8، × 3 = 12
اختر ما يناسب الشرط ×1 × 3 = 12

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل
× 1 =6؛ × 2 =9؛ × 3 = 12؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3

حل:

6.1.2 خصائص التوقع الرياضي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه.

2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي.

3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

تنطبق هذه الخاصية على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

تنطبق هذه الخاصية أيضًا على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

مثال: م (س) = 5, لي)= 2. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي زتطبيق خواص التوقع الرياضي إذا عرف ذلك ض=2س+3ص.

حل: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) التوقع الرياضي للمجموع يساوي مجموع التوقعات الرياضية

2) يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي

دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث A يساوي p. ثم يحمل نظرية التالية:

نظرية. التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة.

6.1.3 تشتت المتغير العشوائي المنفصل

لا يمكن للتوقع الرياضي أن يصف بشكل كامل عملية عشوائية. بالإضافة إلى التوقع الرياضي، من الضروري إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.

وهذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. وفي هذه الحالة، يكون التوقع الرياضي للانحراف صفرًا. ويفسر ذلك حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية، والبعض الآخر سلبي، ونتيجة لإلغائها المتبادل يتم الحصول على الصفر.

التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي المنفصل هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.

من الناحية العملية، هذه الطريقة لحساب التباين غير مريحة، لأن يؤدي إلى حسابات مرهقة لعدد كبير من قيم المتغيرات العشوائية.

ولذلك، يتم استخدام طريقة أخرى.

نظرية. التباين يساوي الفرق بين مربع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.

دليل. مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي M(X) ومربع التوقع الرياضي M2(X) هما كميتان ثابتتان، يمكننا أن نكتب:

مثال. أوجد تباين متغير عشوائي متقطع معطى في قانون التوزيع.

X
× 2
ر	0.2	0.3	0.1	0.4

حل: .

6.1.4 خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر. .

2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. .

3. إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

4. إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

نظرية. إن تباين عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة، التي يكون احتمال p لحدوث الحدث فيها ثابتًا، يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمالات الحدوث وعدم حدوثه. وقوع الحدث في كل تجربة.

مثال: أوجد تباين DSV X - عدد تكرارات الحدث A في تجربتين مستقلتين، إذا كان احتمال وقوع الحدث في هذه التجارب هو نفسه ومن المعروف أن M(X) = 1.2.

دعونا نطبق النظرية من القسم 6.1.2:

م(س) = نب

م (س) = 1,2; ن= 2. دعونا نجد ص:

1,2 = 2∙ص

ص = 1,2/2

س = 1 – ص = 1 – 0,6 = 0,4

دعونا نجد التباين باستخدام الصيغة:

د(س) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل

الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين.

(25)

نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات.

6.1.6 الوضع والوسيط للمتغير العشوائي المنفصل

أزياء م س DSVتسمى القيمة الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي (أي القيمة التي لديها أعلى احتمال)

الوسيط M e DSVهي قيمة المتغير العشوائي الذي يقسم سلسلة التوزيع إلى النصف. إذا كان عدد قيم المتغير العشوائي زوجيًا، فسيتم العثور على الوسيط باعتباره الوسط الحسابي لقيمتين متوسطتين.

مثال: ابحث عن الوضع والوسيط لـ DSV X:

X
ص	0.2	0.3	0.1	0.4

أنا = = 5,5

تقدم

1. تعرف على الجزء النظري من هذا العمل (محاضرات، كتاب مدرسي).

2. أكمل المهمة وفقًا للإصدار الخاص بك.

3. عمل تقرير عن العمل .

4. قم بحماية وظيفتك.

2. الغرض من العمل.

3. تقدم العمل.

4. حل الخيار الخاص بك.

6.4 خيارات لمهام العمل المستقل

الخيار 1

1. أوجد التوقع الرياضي، والتشتت، والانحراف المعياري، والمنوال والوسيط لـ DSV X، المعطاة بواسطة قانون التوزيع.

X
ص	0.1	0.6	0.2	0.1

2. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. أوجد تباين DSV X - عدد تكرارات الحدث A في تجربتين مستقلتين، إذا كانت احتمالات وقوع الأحداث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن M (X) = 1.

4. يتم إعطاء قائمة بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X: × 1 = 1, × 2 = 2, × 3= 5، والتوقعات الرياضية لهذه القيمة ومربعها معروفة أيضاً: , . أوجد الاحتمالات ، ، ، المقابلة للقيم المحتملة لـ ، ، وقم بصياغة قانون توزيع DSV.

الخيار رقم 2

X
ص	0.3	0.1	0.2	0.4

2. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. أوجد تباين DSV X – عدد تكرارات الحدث A في ثلاث تجارب مستقلة، إذا كانت احتمالات وقوع الأحداث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن M (X) = 0.9.

4. يتم إعطاء قائمة بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X: × 1 = 1, × 2 = 2, × 3 = 4, × 4= 10، والتوقعات الرياضية لهذه القيمة ومربعها معروفة أيضاً: , . أوجد الاحتمالات ، ، ، المقابلة للقيم المحتملة لـ ، ، وقم بصياغة قانون توزيع DSV.

الخيار رقم 3

1. أوجد التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري لـ DSV X، المحدد في قانون التوزيع.

X
ص	0.5	0.1	0.2	0.3

2. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. أوجد تباين DSV X - عدد تكرارات الحدث A في أربع تجارب مستقلة، إذا كانت احتمالات وقوع الأحداث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن M (x) = 1.2.

– عدد الأولاد بين 10 مواليد.

ومن الواضح تمامًا أن هذا العدد غير معروف مسبقًا، ومن الممكن أن يكون الأطفال العشرة القادمون هم:

أو الأولاد - واحد فقط لا غيرمن الخيارات المدرجة.

ومن أجل الحفاظ على لياقتك البدنية، عليك القليل من التربية البدنية:

– مسافة القفز الطويلة (في بعض الوحدات).

حتى سيد الرياضة لا يستطيع التنبؤ بذلك :)

ومع ذلك، فرضياتك؟

2) المتغير العشوائي المستمر – يقبل الجميعالقيم العددية من بعض الفواصل الزمنية المحدودة أو اللانهائية.

ملحوظة : الاختصاران DSV و NSV شائعان في الأدبيات التعليمية

أولاً، دعونا نحلل المتغير العشوائي المنفصل، ثم - مستمر.

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل

- هذا مراسلةبين القيم المحتملة لهذه الكمية واحتمالاتها. في أغلب الأحيان، يتم كتابة القانون في جدول:

يظهر المصطلح في كثير من الأحيان صف توزيعلكن في بعض المواقف يبدو الأمر غامضًا، ولذا سألتزم بـ "القانون".

و الأن نقطة مهمة جدا: منذ المتغير العشوائي بالضرورةسيقبل واحدة من القيم، ثم تشكل الأحداث المقابلة مجموعة كاملةومجموع احتمالات حدوثها يساوي واحدًا:

أو إذا كانت مكتوبة بشكل مكثف:

على سبيل المثال، قانون التوزيع الاحتمالي للنقاط الملقاة على حجر النرد له الشكل التالي:

بدون تعليقات.

قد يكون لديك انطباع بأن المتغير العشوائي المنفصل لا يمكنه إلا أن يأخذ قيمًا صحيحة "جيدة". دعونا نبدد الوهم - يمكن أن يكونوا أي شيء:

مثال 1

تحتوي بعض الألعاب على قانون التوزيع الفائز التالي:

...ربما كنت تحلم بمثل هذه المهام منذ فترة طويلة :) سأخبرك بسر - وأنا أيضًا. وخاصة بعد الانتهاء من العمل نظرية المجال.

حل: بما أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ قيمة واحدة فقط من ثلاث قيم، فإن الأحداث المقابلة لها تشكل مجموعة كاملةمما يعني أن مجموع احتمالاتها يساوي واحدًا:

فضح "الحزبية":

– وبالتالي فإن احتمال الفوز بالوحدات التقليدية هو 0.4.

التحكم: هذا ما كنا بحاجة للتأكد منه.

إجابة:

ليس من غير المألوف أن تحتاج إلى وضع قانون التوزيع بنفسك. لهذا يستخدمون التعريف الكلاسيكي للاحتمال, نظريات الضرب/الجمع لاحتمالات الحدثورقائق أخرى com.tervera:

مثال 2

يحتوي الصندوق على 50 تذكرة يانصيب، من بينها 12 تذكرة فائزة، واثنتان منها تفوزان بـ 1000 روبل لكل منهما، والباقي - 100 روبل لكل منهما. ضع قانونًا لتوزيع المتغير العشوائي - حجم المكاسب، إذا تم سحب تذكرة واحدة بشكل عشوائي من الصندوق.

حل: كما لاحظت، عادة ما يتم وضع قيم المتغير العشوائي في ترتيب تصاعدي. لذلك، نبدأ بأصغر المكاسب، وهي روبل.

هناك 50 تذكرة في المجموع - 12 = 38، ووفقًا لـ التعريف الكلاسيكي:
– احتمال أن تكون التذكرة التي تم سحبها عشوائيًا خاسرة.

وفي حالات أخرى كل شيء بسيط. احتمال الفوز بالروبل هو:

تحقق: - وهذه لحظة ممتعة بشكل خاص لمثل هذه المهام!

إجابة: قانون توزيع المكاسب المطلوب :

المهمة التالية عليك حلها بنفسك:

مثال 3

احتمال إصابة مطلق النار بالهدف هو . قم بوضع قانون التوزيع للمتغير العشوائي - عدد الضربات بعد طلقتين.

...كنت أعرف أنك اشتقت له :) دعونا نتذكر نظريات الضرب والإضافة. الحل والجواب في نهاية الدرس .

يصف قانون التوزيع متغيرًا عشوائيًا بشكل كامل، ولكن من الناحية العملية قد يكون من المفيد (وأحيانًا أكثر فائدة) معرفة بعض منه فقط الخصائص العددية .

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

بعبارات بسيطة، هذا هو متوسط ​​القيمة المتوقعةعند تكرار الاختبار عدة مرات. دع المتغير العشوائي يأخذ القيم مع الاحتمالات على التوالى. فإن التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي يساوي مجموع المنتجاتجميع قيمها إلى الاحتمالات المقابلة:

أو انهار:

دعونا نحسب، على سبيل المثال، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي - عدد النقاط التي تم رميها على حجر النرد:

الآن دعونا نتذكر لعبتنا الافتراضية:

السؤال الذي يطرح نفسه: هل لعب هذه اللعبة مربح على الإطلاق؟ ...من لديه أي انطباعات؟ لذلك لا يمكنك أن تقول ذلك "مرتجلاً"! ولكن يمكن الإجابة على هذا السؤال بسهولة عن طريق حساب التوقع الرياضي، بشكل أساسي - متوسط ​​الوزنحسب احتمالية الفوز:

وهكذا، فإن التوقع الرياضي لهذه اللعبة خسارة.

لا تثق بانطباعاتك - ثق بالأرقام!

نعم، هنا يمكنك الفوز 10 أو حتى 20-30 مرة على التوالي، ولكن على المدى الطويل، ينتظرنا الخراب الحتمي. وأنا لا أنصحك بلعب مثل هذه الألعاب :) حسنًا، ربما فقط للمتعة.

ويترتب على كل ما سبق أن التوقع الرياضي لم يعد قيمة عشوائية.

المهمة الإبداعية للبحث المستقل:

مثال 4

يلعب السيد X لعبة الروليت الأوروبية باستخدام النظام التالي: يراهن باستمرار بمبلغ 100 روبل على اللون "الأحمر". ضع قانون توزيع المتغير العشوائي – أرباحه. احسب التوقع الرياضي للمكاسب وقم بتقريبه إلى أقرب كوبيك. كم عدد متوسطهل يخسر اللاعب مقابل كل مائة يراهن بها؟

مرجع : تحتوي لعبة الروليت الأوروبية على 18 قطاعًا أحمر و18 قطاعًا أسود وقطاعًا واحدًا أخضر ("صفر"). إذا ظهر اللون الأحمر، فسيتم دفع ضعف الرهان للاعب، وإلا فإنه يذهب إلى دخل الكازينو

هناك العديد من أنظمة الروليت الأخرى التي يمكنك إنشاء جداول الاحتمالات الخاصة بها. ولكن هذا هو الحال عندما لا نحتاج إلى أي قوانين توزيع أو جداول، لأنه من المؤكد أن التوقع الرياضي للاعب سيكون هو نفسه تمامًا. الشيء الوحيد الذي يتغير من نظام إلى نظام هو

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، غالبًا ما يكون قانون التوزيع غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف متغيرًا عشوائيًا في المجموع، وتسمى هذه الأرقام الخصائص العدديةمتغير عشوائي. إحدى الخصائص العددية المهمة هي التوقع الرياضي.

والتوقع الرياضي كما سيبين أدناه يساوي تقريباً متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي. لحل العديد من المسائل، يكفي معرفة التوقع الرياضي. على سبيل المثال، إذا كان من المعروف أن التوقع الرياضي لعدد النقاط التي سجلها الرامي الأول أكبر من التوقع الثاني، فإن الرامي الأول، في المتوسط، يسجل نقاطًا أكثر من الثاني، وبالتالي يسدد بشكل أفضل من الثانية.

التعريف4.1: التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها.

دع المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم فقط × 1، × 2، … × ن، والتي تكون احتمالاتها متساوية على التوالي ص 1، ص 2، … ص ن.ثم التوقع الرياضي م(X) متغير عشوائي Xيتم تحديدها بالمساواة

M (X) = x 1 ع 1 + x 2 ع 2 + …+ x n p n .

إذا كان متغير عشوائي منفصل Xيأخذ مجموعة معدودة من القيم الممكنة، ثم

,

علاوة على ذلك، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.

مثال.أوجد التوقع الرياضي لعدد مرات حدوث حدث ما أفي تجربة واحدة، إذا كان احتمال وقوع الحدث أيساوي ص.

حل:قيمة عشوائية X- عدد مرات حدوث الحدث ألديه توزيع برنولي، لذلك

هكذا، التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في تجربة واحدة يساوي احتمال هذا الحدث.

المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي

دعها تنتج نالاختبارات التي فيها المتغير العشوائي Xقبلت م 1قيمة المرات × 1, م 2قيمة المرات × 2 ,…, م كقيمة المرات س ك، و م 1 + م 2 + …+ م ك = ن. ثم مجموع كل القيم المأخوذة X، متساوي س 1 م 1 + س 2 م 2 + …+ س ك م ك .

سيكون الوسط الحسابي لجميع القيم التي يأخذها المتغير العشوائي

سلوك م ط / ن- التردد النسبي دبليو ايقيم × طيساوي تقريبا احتمال وقوع الحدث باي، أين ، لهذا

المعنى الاحتمالي للنتيجة التي تم الحصول عليها هو كما يلي: التوقع الرياضي متساوي تقريبًا(كلما كانت الدقة أكبر، كلما زاد عدد الاختبارات) المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.

خصائص التوقع الرياضي

الخاصية 1:التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه

الخاصية 2:يمكن أخذ العامل الثابت إلى ما هو أبعد من علامة التوقع الرياضي

التعريف4.2: متغيرين عشوائيينوتسمى مستقل، إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم الممكنة التي أخذتها الكمية الأخرى. خلاف ذلك المتغيرات العشوائية تعتمد.

التعريف4.3: عدة متغيرات عشوائيةمُسَمًّى مستقلة بشكل متبادل، إذا كانت قوانين توزيع أي عدد منها لا تعتمد على القيم الممكنة التي أخذتها الكميات الأخرى.

الخاصية3:التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

عاقبة:إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.

الملكية 4:التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية.

عاقبة:التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية.

مثال.دعونا نحسب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ذي الحدين X –تاريخ وقوع الحدث أالخامس نالتجارب.

حل:الرقم الإجمالي Xحدوث الحدث أفي هذه التجارب هو مجموع عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية. دعونا نقدم المتغيرات العشوائية العاشر ط– عدد مرات حدوث الحدث أناالاختبار الرابع وهي متغيرات برنولي العشوائية مع التوقع الرياضي حيث . بواسطة خاصية التوقع الرياضي لدينا

هكذا، التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين مع المعلمات n و p يساوي المنتج np.

مثال.احتمال إصابة الهدف عند إطلاق النار ع = 0.6.أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الضربات إذا تم إطلاق ١٠ طلقات.

حل:لا تعتمد إصابة كل لقطة على نتائج اللقطات الأخرى، وبالتالي فإن الأحداث قيد النظر مستقلة، وبالتالي، التوقع الرياضي المطلوب

ستكون هناك أيضًا مشكلات يتعين عليك حلها بنفسك، ويمكنك رؤية الإجابات عليها.

التوقع والتباين هما الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغير العشوائي. وهي تصف أهم سمات التوزيع: موضعه ودرجة تشتته. غالبًا ما تسمى القيمة المتوقعة ببساطة بالمتوسط. متغير عشوائي. تشتت متغير عشوائي - خاصية التشتت وانتشار المتغير العشوائي حول توقعاتها الرياضية.

في العديد من المسائل العملية، لا يمكن الحصول على الخاصية الكاملة والشاملة للمتغير العشوائي - قانون التوزيع - أو لا تكون هناك حاجة إليها على الإطلاق. وفي هذه الحالات، يقتصر الأمر على وصف تقريبي للمتغير العشوائي باستخدام الخصائص العددية.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

دعونا نأتي إلى مفهوم التوقع الرياضي. دع كتلة مادة ما تتوزع بين نقاط المحور السيني س1 , س 2 , ..., سن. علاوة على ذلك، فإن كل نقطة مادية لها كتلة مقابلة مع احتمال ص1 , ص 2 , ..., صن. مطلوب تحديد نقطة واحدة على محور الإحداثي، والتي تميز موضع نظام النقاط المادية بأكمله، مع مراعاة كتلها. ومن الطبيعي أن يتخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية مثل هذه النقطة. هذا هو المتوسط ​​المرجح للمتغير العشوائي X، والتي الإحداثي لكل نقطة سأنايدخل بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل. متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة Xويسمى توقعاتها الرياضية.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:

مثال 1.تم تنظيم يانصيب مربح للجانبين. هناك 1000 فوز، منها 400 10 روبل. 300 - 20 روبل لكل منهما. 200 - 100 روبل لكل منهما. و100 - 200 روبل لكل منهما. ما هو متوسط ​​المكاسب للشخص الذي يشتري تذكرة واحدة؟

حل. سنجد متوسط ​​المكاسب إذا قسمنا إجمالي مبلغ المكاسب، وهو 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل، على 1000 (إجمالي مبلغ المكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن تقديم التعبير الخاص بحساب متوسط ​​المكاسب بالشكل التالي:

من ناحية أخرى، في هذه الظروف، يكون المبلغ الفائز متغيرًا عشوائيًا، والذي يمكن أن يأخذ قيم 10 و20 و100 و200 روبل. مع احتمالات تساوي 0.4، على التوالي؛ 0.3؛ 0.2; 0.1. ولذلك فإن متوسط ​​الربح المتوقع يساوي مجموع منتجات حجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.

مثال 2.قرر الناشر نشر كتاب جديد. يخطط لبيع الكتاب مقابل 280 روبل، سيحصل هو نفسه على 200 منها، 50 - مكتبة و 30 - المؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكاليف نشر كتاب واحتمال بيع عدد معين من نسخ الكتاب.

أوجد الربح المتوقع للناشر.

حل. المتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من المبيعات وتكلفة النفقات. على سبيل المثال، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب، فإن الدخل من البيع هو 200 * 500 = 100000، وتكلفة النشر 225000 روبل. وهكذا يواجه الناشر خسارة قدرها 125000 روبل. ويلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي – الربح:

رقم	ربح سأنا	احتمالا صأنا	سأنا صأنا
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
المجموع:		1,00	25000

وهكذا نحصل على التوقع الرياضي لربح الناشر:

.

مثال 3.احتمال الضرب برصاصة واحدة ص= 0.2. تحديد استهلاك المقذوفات التي توفر توقعًا رياضيًا لعدد الضربات يساوي 5.

حل. ومن نفس صيغة التوقع الرياضي التي استخدمناها حتى الآن، نعبر عن ذلك س- استهلاك القشرة:

.

مثال 4.تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي سعدد الضربات بثلاث طلقات، إذا كان احتمال الإصابة بكل طلقة ص = 0,4 .

تلميح: أوجد احتمال قيم المتغيرات العشوائية بواسطة صيغة برنولي .

خصائص التوقع الرياضي

دعونا ننظر في خصائص التوقع الرياضي.

الخاصية 1.التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:

الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع (الفرق) لتوقعاتها الرياضية:

الخاصية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي منتج توقعاتها الرياضية:

العقار 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xالنقصان (الزيادة) بنفس العدد معفإن توقعه الرياضي سينخفض ​​(يزيد) بنفس العدد:

عندما لا يمكنك أن تقتصر على التوقعات الرياضية فقط

في معظم الحالات، التوقع الرياضي فقط هو الذي لا يمكنه وصف المتغير العشوائي بشكل كافٍ.

دع المتغيرات العشوائية Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:

معنى X	احتمالا
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنى ي	احتمالا
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:

ومع ذلك، فإن أنماط توزيعها مختلفة. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ فقط القيم التي تختلف قليلاً عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي ييمكن أن تأخذ القيم التي تنحرف بشكل كبير عن التوقعات الرياضية. مثال مشابه: متوسط ​​الأجر لا يجعل من الممكن الحكم على حصة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بمعنى آخر، لا يمكن للمرء أن يحكم من خلال التوقع الرياضي على أي انحرافات محتملة عنه، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على تباين المتغير العشوائي.

تباين المتغير العشوائي المنفصل

التباينالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي:

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xتسمى القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه:

.

مثال 5.حساب التباينات والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ي، قوانين التوزيع موضحة في الجداول أعلاه.

حل. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو يكما هو موضح أعلاه، تساوي الصفر. وفقا لصيغة التشتت في ه(X)=ه(ذ)=0 نحصل على:

ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو يماكياج

.

وبالتالي، وبنفس التوقعات الرياضية، تم حساب تباين المتغير العشوائي Xصغير جدًا، ولكنه متغير عشوائي ي- بارِز. وهذا نتيجة للاختلافات في توزيعها.

مثال 6.لدى المستثمر 4 مشاريع استثمارية بديلة. ويلخص الجدول الربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمالية المقابلة.

مشروع 1	المشروع 2	المشروع 3	المشروع 4
500, ص=1	1000, ص=0,5	500, ص=0,5	500, ص=0,5
	0, ص=0,5	1000, ص=0,25	10500, ص=0,25
		0, ص=0,25	9500, ص=0,25

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لكل بديل.

حل. دعونا نبين كيفية حساب هذه القيم للبديل الثالث:

يلخص الجدول القيم الموجودة لجميع البدائل.

جميع البدائل لها نفس التوقعات الرياضية. وهذا يعني أنه على المدى الطويل، سيحصل الجميع على نفس الدخل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - كلما زاد ارتفاعه، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد المرتفعة في فترة قصيرة، فإنه سيختار المشروع ذو الانحراف المعياري الأكبر - المشروع 4.

خصائص التشتت

دعونا نقدم خصائص التشتت.

الخاصية 1.تباين القيمة الثابتة هو صفر:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه:

.

الملكية 3.إن تباين المتغير العشوائي يساوي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة، والذي يطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:

,

أين .

الخاصية 4.تباين مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) تبايناتها:

مثال 7.ومن المعروف أن المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط: −3 و 7. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4 . أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.

حل. دعونا نشير بواسطة صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة س1 = −3 . ثم احتمال القيمة س2 = 7 سيكون 1 - ص. دعونا نشتق معادلة التوقع الرياضي:

ه(X) = س 1 ص + س 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,

حيث نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .

قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	−3	7
ص	0,3	0,7

نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتشتت:

د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي بنفسك، ثم انظر إلى الحل

مثال 8.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. يقبل أكبر القيم 3 باحتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك، يتم معرفة تباين المتغير العشوائي د(X) = 6 . أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

مثال 9.هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة. يتم سحب 3 كرات من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي متقطع X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

حل. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2، 3. ويمكن حساب الاحتمالات المقابلة منها قاعدة الضرب الاحتمالية. قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	0	1	2	3
ص	1/30	3/10	1/2	1/6

ومن هنا التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:

م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

تباين متغير عشوائي معين هو:

د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

التوقع والتباين للمتغير العشوائي المستمر

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، فإن التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي سيحتفظ بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة موزعة بشكل مستمر على المحور السيني مع الكثافة F(س). على عكس المتغير العشوائي المنفصل، الذي تكون دالته وسيطة سأنايتغير فجأة؛ بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تتغير الوسيطة بشكل مستمر. لكن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر يرتبط أيضًا بمتوسط ​​قيمته.

للعثور على التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة الكثافة لمتغير عشوائي مستمر، فإنه يدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة التوزيع الاحتمالي، فمن خلال التمييز بينها، تحتاج إلى العثور على دالة الكثافة.

ويسمى المتوسط ​​الحسابي لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر به توقع رياضي، يُشار إليه بـ أو .