أخذ الاحتمال. نظرية الاحتمالات. احتمالية وقوع حدث ، أحداث عشوائية (نظرية الاحتمالات). أحداث مستقلة وغير متوافقة في نظرية الاحتمالات. أمثلة على حلول المشاكل على الاحتمال الكلاسيكي

ثم نقول أن المتغير العشوائي ξ لديها كثافة التوزيع الاحتمالي f (x).

تعريف.يترك . لدالة التوزيع المستمر F α-quantile النظرييسمى حل المعادلة.

قد لا يكون هذا الحل هو الحل الوحيد.

المستوى الكمي ½ يسمى النظري الوسيط ، مستوى الكميات ¼ و ¾ -الربعيان الأدنى والعليا على التوالى.

في التطبيقات الاكتوارية ، يلعب دور مهم عدم المساواة في Chebyshev:

لأي

رمز التوقع الرياضي.

يقرأ مثل هذا:احتمال أن يكون المعامل أكبر من أو يساوي توقع المقياس مقسومًا على.

العمر كمتغير عشوائي

عدم اليقين في لحظة الوفاة هو عامل خطر رئيسي في التأمين على الحياة.

لا شيء محدد يمكن أن يقال عن لحظة وفاة الفرد. ومع ذلك ، إذا كنا نتعامل مع مجموعة كبيرة ومتجانسة من الناس ولم نكن مهتمين بمصير الأفراد من هذه المجموعة ، فنحن في إطار نظرية الاحتمالات كعلم للظواهر العشوائية الجماعية مع خاصية استقرار التردد.

على التوالى، يمكننا التحدث عن متوسط ​​العمر المتوقع كمتغير عشوائي T.

وظيفة البقاء على قيد الحياة

في نظرية الاحتمالات ، يصفون الطبيعة العشوائية لأي متغير عشوائي تيدالة التوزيع F (x) ،والذي يعرف بأنه احتمال أن يكون المتغير العشوائي تيأقل من رقم x:

.

في الرياضيات الاكتوارية ، من الجيد العمل ليس مع دالة توزيع ، ولكن مع وظيفة توزيع إضافية . من حيث طول العمر ، هو احتمال أن يعيش الشخص حتى العمر xسنوات.

اتصل وظيفة البقاء على قيد الحياة(وظيفة البقاء على قيد الحياة):

وظيفة البقاء على قيد الحياة لها الخصائص التالية:

في جداول الحياة ، يُفترض عادةً أن هناك بعضًا منها حد السن (الحد من العمر) (كقاعدة ، سنوات) ، وبالتالي ، في x>.

عند وصف الوفيات بالقوانين التحليلية ، يُفترض عادةً أن عمر الحياة غير محدود ، ومع ذلك ، يتم اختيار نوع ومعايير القوانين بحيث يكون احتمال الحياة على عمر معين ضئيلًا.

دالة البقاء لها معنى إحصائي بسيط.

لنفترض أننا نراقب مجموعة من الأطفال حديثي الولادة (عادة) نلاحظهم ويمكننا تسجيل لحظات وفاتهم.

دعونا نشير إلى عدد الممثلين الأحياء لهذه المجموعة في العمر. ثم:

.

رمز ههنا وأدناه يستخدمان للدلالة على التوقع الرياضي.

لذا ، فإن وظيفة البقاء على قيد الحياة تساوي متوسط ​​نسبة أولئك الذين نجوا حتى سن مجموعة ثابتة معينة من الأطفال حديثي الولادة.

في الرياضيات الاكتوارية ، غالبًا ما لا يعمل المرء مع وظيفة البقاء ، ولكن مع القيمة التي تم تقديمها للتو (بعد تحديد الحجم الأولي للمجموعة).

يمكن إعادة بناء وظيفة البقاء على قيد الحياة من الكثافة:

خصائص مدى الحياة

من الناحية العملية ، الخصائص التالية مهمة:

1 . متوسطحياة

,
2 . تشتتحياة

,
أين
,

تم تقديمه حتى الآن في البنك المفتوح لمشاكل الاستخدام في الرياضيات (mathege.ru) ، والتي يعتمد حلها على صيغة واحدة فقط ، وهي تعريف كلاسيكي للاحتمال.

أسهل طريقة لفهم الصيغة هي باستخدام الأمثلة.
مثال 1توجد 9 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء في السلة. تختلف الكرات في اللون فقط. عشوائيا (دون النظر) نحصل على واحد منهم. ما هو احتمال أن تكون الكرة المختارة بهذه الطريقة زرقاء؟

تعليق.في مسائل نظرية الاحتمالات ، يحدث شيء ما (في هذه الحالة ، عملنا لسحب الكرة) يمكن أن يكون له نتيجة مختلفة - نتيجة. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن عرض النتيجة بطرق مختلفة. "لقد سحبنا كرة" هي أيضًا نتيجة. كانت النتيجة "سحبنا الكرة الزرقاء". "لقد سحبنا هذه الكرة بالذات من جميع الكرات الممكنة" - هذه النظرة الأقل عمومية للنتيجة تسمى النتيجة الأولية. إنها النتائج الأولية المقصودة في صيغة حساب الاحتمال.

المحلول.الآن نحسب احتمال اختيار كرة زرقاء.
الحدث أ: "تحولت الكرة المختارة إلى اللون الأزرق"
العدد الإجمالي لجميع النتائج المحتملة: 9 + 3 = 12 (عدد الكرات التي يمكننا رسمها)
عدد النتائج المواتية للحدث أ: 3 (عدد هذه النتائج التي وقع فيها الحدث أ - أي عدد الكرات الزرقاء)
الفوسفور (أ) = 3/12 = 1/4 = 0.25
الجواب: 0.25

دعونا نحسب احتمال اختيار كرة حمراء لنفس المشكلة.
سيظل العدد الإجمالي للنتائج المحتملة كما هو ، 12. عدد النتائج الإيجابية: 9. الاحتمال المرغوب: 9/12 = 3/4 = 0.75

دائمًا ما يقع احتمال أي حدث بين 0 و 1.
في بعض الأحيان في الحديث اليومي (ولكن ليس في نظرية الاحتمالات!) يتم تقدير احتمالية الأحداث كنسبة مئوية. يتم الانتقال بين التقييم الرياضي والمحادثات عن طريق الضرب (أو القسمة) بنسبة 100٪.
لذا،
في هذه الحالة ، يكون الاحتمال صفراً للأحداث التي لا يمكن أن تحدث - غير محتمل. على سبيل المثال ، في مثالنا ، سيكون هذا هو احتمال سحب كرة خضراء من السلة. (عدد النتائج المفضلة هو 0 ، P (A) = 0/12 = 0 إذا تم حسابها وفقًا للصيغة)
يحتوي الاحتمال 1 على أحداث ستحدث بالتأكيد بلا خيارات. على سبيل المثال ، احتمال أن تكون الكرة المختارة إما حمراء أو زرقاء هو لمشكلتنا. (عدد النتائج الإيجابية: 12 ، P (A) = 12/12 = 1)

لقد نظرنا إلى مثال كلاسيكي يوضح تعريف الاحتمال. يتم حل جميع مشاكل الاستخدام المتشابهة في نظرية الاحتمالات باستخدام هذه الصيغة.
بدلاً من الكرات الحمراء والزرقاء ، يمكن أن يكون هناك التفاح والكمثرى ، الأولاد والبنات ، التذاكر المكتسبة وغير المكتسبة ، التذاكر التي تحتوي ولا تحتوي على سؤال حول موضوع (نماذج أولية) ، أكياس معيبة وعالية الجودة أو مضخات حديقة (نماذج أولية ، ) - يبقى المبدأ كما هو.

إنها تختلف قليلاً في صياغة مشكلة نظرية احتمالية الاستخدام ، حيث تحتاج إلى حساب احتمال وقوع حدث في يوم معين. (،) كما في المهام السابقة ، تحتاج إلى تحديد النتيجة الأولية ، ثم تطبيق نفس الصيغة.

مثال 2المؤتمر يستمر ثلاثة أيام. في اليومين الأول والثاني ، 15 متحدثًا لكل منهم ، في اليوم الثالث - 20. ما هو احتمال سقوط تقرير الأستاذ M. في اليوم الثالث ، إذا تم تحديد ترتيب التقارير عن طريق القرعة؟

ما هي النتيجة الأولية هنا؟ - تخصيص تقرير أستاذ لواحد من جميع الأرقام التسلسلية الممكنة للخطاب. 15 + 15 + 20 = 50 شخصًا يشاركون في السحب. وبالتالي ، يمكن أن يتلقى تقرير الأستاذ M. واحدًا من 50 رقمًا. هذا يعني أن هناك 50 نتيجة أولية فقط.
ما هي النتائج الإيجابية؟ - تلك التي تبين أن الأستاذ سيتحدث في اليوم الثالث. أي ، آخر 20 رقمًا.
وفقًا للصيغة ، فإن الاحتمال P (A) = 20/50 = 2/5 = 4/10 = 0.4
الجواب: 0.4

سحب القرعة هنا هو إنشاء مراسلات عشوائية بين الأشخاص والأماكن المرتبة. في المثال 2 ، تم النظر في المطابقة من حيث الأماكن التي يمكن أن يشغلها شخص معين. يمكنك التعامل مع نفس الموقف من الجانب الآخر: أي من الأشخاص الذين لديهم احتمالية يمكن أن تصل إلى مكان معين (النماذج الأولية ، ، ،):

مثال 3يشارك في القرعة 5 ألمان و 8 فرنسيين و 3 إستونيين. ما هو احتمال أن يكون الأول (/ الثاني / السابع / الأخير - لا يهم) فرنسيًا.

عدد النتائج الأولية هو عدد جميع الأشخاص المحتملين الذين يمكنهم الوصول إلى مكان معين بالقرعة. 5 + 8 + 3 = 16 شخصًا.
نتائج مواتية - الفرنسيون. 8 أشخاص.
الاحتمال المطلوب: 8/16 = 1/2 = 0.5
الجواب: 0.5

النموذج الأولي مختلف قليلاً. هناك مهام أكثر إبداعًا حول العملات المعدنية () والنرد (). يمكن العثور على حلول لهذه المشاكل في صفحات النماذج الأولية.

فيما يلي بعض الأمثلة على رمي العملات المعدنية أو رمي النرد.

مثال 4عندما نرمى قطعة نقود ، ما هو احتمال الحصول على ذيول؟
المخرجات 2 - رؤوس أو ذيول. (يُعتقد أن العملة لا تقع أبدًا على الحافة) نتيجة إيجابية - ذيول ، 1.
الاحتمال 1/2 = 0.5
الجواب: 0.5.

مثال 5ماذا لو قلبنا قطعة نقود مرتين؟ ما هو احتمالية ظهوره على الوجه في المرتين؟
الشيء الرئيسي هو تحديد النتائج الأولية التي سنأخذها في الاعتبار عند رمي عملتين. بعد رمي عملتين ، يمكن أن تحدث إحدى النتائج التالية:
1) PP - في المرتين ظهرت ذيول
2) PO - ذيول المرة الأولى ، رؤوس المرة الثانية
3) OP - أول مرة يرأس ، وذيول المرة الثانية
4) OO - يرأس في المرتين
ليس هناك من خيارات اخرى. هذا يعني أن هناك 4 نتائج أولية ، الأولى فقط هي الأفضل ، 1.
الاحتمال: 1/4 = 0.25
الجواب: 0.25

ما هو احتمال أن تهبط رميتان لعملة على ذيول؟
عدد النتائج الأولية هو نفسه ، 4. النواتج الإيجابية هي الثانية والثالثة ، 2.
احتمال الحصول على ذيل واحد: 2/4 = 0.5

في مثل هذه المشاكل ، قد تكون هناك صيغة أخرى في متناول اليد.
إذا حصلنا على نتيجتين محتملتين في رمية واحدة لعملة واحدة ، فسيكون هناك 2 2 = 2 2 = 4 (كما في المثال 5) ، لثلاث رميات 2 2 = 2 3 = 8 ، لأربعة : 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16 ، ... من أجل N رميات من النتائج المحتملة سيكون هناك 2 · 2 · ... · 2 = 2 N.

لذا ، يمكنك إيجاد احتمال الحصول على 5 ذيول من أصل 5 رميات للعملة.
العدد الإجمالي للنتائج الأولية: 2 5 = 32.
النتائج الإيجابية: 1. (RRRRRR - جميع الذيل الخمس)
الاحتمال: 1/32 = 0.03125

وينطبق الشيء نفسه على النرد. برمية واحدة ، يكون هناك 6 نتائج محتملة ، لذلك ، لرميتين: 6 6 = 36 ، لثلاثة 6 6 6 = 216 ، إلخ.

مثال 6نرمي النرد. ما هو احتمال الحصول على رقم زوجي؟

إجمالي النتائج: 6 ، حسب عدد الوجوه.
مواتية: 3 نتائج. (2، 4، 6)
الاحتمال: 3/6 = 0.5

مثال 7رمي اثنين من النرد. ما هو إحتمال أن المجموع الكلي لفات 10؟ (تقريبًا إلى جزء من مائة)

هناك 6 نتائج محتملة لموت واحد. وبالتالي ، بالنسبة إلى شخصين ، وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه ، 6 · 6 = 36.
ما هي النتائج التي ستكون مواتية لتساقط إجمالي 10؟
يجب أن تتحلل 10 إلى مجموع رقمين من 1 إلى 6. ويمكن القيام بذلك بطريقتين: 10 = 6 + 4 و 10 = 5 + 5. لذلك ، بالنسبة للمكعبات ، الخيارات ممكنة:
(6 في الأول و 4 في الثاني)
(4 في الأول و 6 في الثاني)
(5 في الأول و 5 في الثاني)
في المجموع ، 3 خيارات. الاحتمال المطلوب: 3/36 = 1/12 = 0.08
الجواب: 0.08

ستتم مناقشة الأنواع الأخرى من مشكلات B6 في إحدى مقالات "كيفية الحل" التالية.

احتمالاهو رقم من 0 إلى 1 يعكس فرص حدوث حدث عشوائي ، حيث 0 هو الغياب التام لاحتمال وقوع الحدث ، ويعني 1 أن الحدث المعني سيحدث بالتأكيد.

احتمال وقوع حدث E هو رقم بين و 1.
مجموع احتمالات الأحداث المتنافية هو 1.

الاحتمال التجريبي- الاحتمالية ، التي تُحسب على أنها التكرار النسبي للحدث في الماضي ، المستخرجة من تحليل البيانات التاريخية.

لا يمكن حساب احتمالية الأحداث النادرة جدًا تجريبيًا.

احتمال شخصي- الاحتمال بناءً على تقييم شخصي شخصي للحدث ، بغض النظر عن البيانات التاريخية. غالبًا ما يتصرف المستثمرون الذين يتخذون قرارات شراء وبيع الأسهم على أساس الاحتمال الذاتي.

احتمال مسبق -

الفرصة 1 من ... (الاحتمالات) أن حدثًا سيحدث من خلال مفهوم الاحتمال. يتم التعبير عن فرصة وقوع حدث من حيث الاحتمال على النحو التالي: P / (1-P).

على سبيل المثال ، إذا كان احتمال وقوع حدث هو 0.5 ، فإن فرصة وقوع حدث ما هي 1 من 2 ، منذ ذلك الحين 0.5 / (1-0.5).

يتم احتساب فرصة عدم وقوع الحدث بواسطة الصيغة (1-P) / P

احتمالية غير متسقة- على سبيل المثال ، في سعر أسهم الشركة A ، يؤخذ في الاعتبار 85٪ من الحدث المحتمل E ، وفي سعر أسهم الشركة B ، 50٪ فقط. يسمى هذا الاحتمال غير المتطابق. وفقًا لنظرية الرهان الهولندية ، فإن الاحتمالية غير المتطابقة تخلق فرصًا للربح.

احتمالية غير مشروطةهو الجواب على السؤال "ما هو احتمال وقوع الحدث؟"

احتمال مشروطهي إجابة السؤال: "ما هو احتمال وقوع الحدث أ إذا حدث ب". يُشار إلى الاحتمال الشرطي على أنه P (A | B).

الاحتمال المشتركهو احتمال وقوع الحدثين A و B في نفس الوقت. تم تعيينه كـ P (AB).

الفوسفور (A | B) = P (AB) / P (B) (1)

الفوسفور (AB) = الفوسفور (أ | ب) * ف (ب)

قاعدة تجميع الاحتمالات:

احتمال وقوع أي من الحدثين أ أو ب هو

P (A أو B) = P (A) + P (B) - P (AB) (2)

إذا كان الحدثان A و B متنافيان ، إذن

الفوسفور (أ أو ب) = ف (أ) + ف (ب)

أحداث مستقلة- الأحداث A و B تكون مستقلة إذا

الفوسفور (أ | ب) = الفوسفور (أ) ، الفوسفور (ب | أ) = الفوسفور (ب)

أي أنها سلسلة من النتائج حيث تكون قيمة الاحتمال ثابتة من حدث إلى آخر.
رمي العملة هو مثال على مثل هذا الحدث - نتيجة كل رمية تالية لا تعتمد على نتيجة القرعة السابقة.

الأحداث التابعةهذه هي الأحداث التي يعتمد فيها احتمال حدوث أحدها على احتمال حدوث الآخر.

قاعدة لضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
إذا كانت الأحداث A و B مستقلة ، إذن

P (AB) = P (A) * P (B) (3)

قاعدة الاحتمالية الإجمالية:

P (A) = P (AS) + P (AS ") = P (A | S") P (S) + P (A | S ") P (S") (4)

S و S "حدثان متنافيان

القيمة المتوقعةالمتغير العشوائي هو متوسط ​​النتائج المحتملة للمتغير العشوائي. بالنسبة للحدث X ، يُشار إلى التوقع على أنه E (X).

لنفترض أن لدينا 5 قيم للأحداث المتنافية مع احتمال معين (على سبيل المثال ، بلغ دخل الشركة مثل هذا المبلغ مع مثل هذا الاحتمال). التوقع هو مجموع كل النتائج مضروبة في احتمالها:

تباين المتغير العشوائي هو القيمة المتوقعة للانحرافات التربيعية لمتغير عشوائي عن قيمته المتوقعة:

ق 2 = ه (2) (6)

القيمة المتوقعة المشروطة - توقع متغير عشوائي X ، بشرط أن يكون الحدث S قد وقع بالفعل.

من وجهة نظر عملية ، احتمالية الحدثهي نسبة عدد تلك الملاحظات التي حدث فيها الحدث المعني إلى إجمالي عدد الملاحظات. مثل هذا التفسير مقبول في حالة وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الملاحظات أو التجارب. على سبيل المثال ، إذا كان نصف الأشخاص الذين تقابلهم في الشارع من النساء ، فيمكنك القول إن احتمال أن يكون الشخص الذي تقابله في الشارع امرأة هو 1/2. بمعنى آخر ، يمكن أن يكون تكرار حدوثه في سلسلة طويلة من التكرار المستقل لتجربة عشوائية بمثابة تقدير لاحتمال وقوع حدث.

الاحتمالية في الرياضيات

في النهج الرياضي الحديث ، يتم إعطاء الاحتمال الكلاسيكي (أي ليس الكمي) بواسطة بديهيات Kolmogorov. الاحتمال مقياس ص، والتي تم تعيينها على المجموعة Xتسمى مساحة الاحتمال. يجب أن يكون لهذا المقياس الخصائص التالية:

ويترتب على هذه الشروط أن الاحتمال يقيس صلديها أيضا الممتلكات الجمع: إذا مجموعات أ 1 و أ 2 لا تتقاطع إذن. لإثبات ذلك ، عليك أن تضع كل شيء أ 3 , أ 4 ، ... يساوي المجموعة الفارغة ويطبق خاصية الجمع المعدود.

قد لا يتم تحديد مقياس الاحتمال لجميع المجموعات الفرعية للمجموعة X. يكفي تعريفه على سيجما الجبر المكون من بعض المجموعات الفرعية من المجموعة X. في هذه الحالة ، يتم تعريف الأحداث العشوائية على أنها مجموعات فرعية قابلة للقياس من الفضاء X، وهذا هو ، كعناصر من سيغما الجبر.

بمعنى الاحتمالية

عندما نجد أن أسباب حدوث بعض الحقائق المحتملة بالفعل تفوق الأسباب المعاكسة ، فإننا نعتبر هذه الحقيقة محتمل، خلاف ذلك - لا يصدق. يمكن أن تمثل غلبة القواعد الإيجابية على القواعد السلبية ، والعكس صحيح ، مجموعة غير محددة من الدرجات ، ونتيجة لذلك احتمالا(و اللااحتمالية) يحدث أكثرأو أقل .

لا تسمح الحقائق الفردية المعقدة بحساب دقيق لدرجات احتمالية ، ولكن حتى هنا من المهم إنشاء بعض التقسيمات الفرعية الكبيرة. لذلك ، على سبيل المثال ، في مجال القانون ، عندما يتم إثبات حقيقة شخصية تخضع للمحاكمة على أساس شهادة الشهود ، تظل دائمًا ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، محتملة فقط ، ومن الضروري معرفة مدى أهمية هذا الاحتمال ؛ في القانون الروماني ، تم قبول التقسيم الرباعي هنا: بروباتيو بلينا(حيث يتحول الاحتمال عمليا إلى أصالة)، إضافي - احتمالية ناقص بلينا، ومن بعد - probatio semiplena الكبرىوأخيرا probatio semiplena طفيفة .

بالإضافة إلى مسألة احتمالية القضية ، قد تنشأ ، سواء في مجال القانون أو في مجال الأخلاق (مع وجهة نظر أخلاقية معينة) ، مسألة مدى احتمالية وجود حقيقة معينة. يشكل مخالفة للقانون العام. هذا السؤال ، الذي يعتبر بمثابة الدافع الرئيسي في الفقه الديني للتلمود ، أدى إلى ظهور اللاهوت الأخلاقي الكاثوليكي الروماني (خاصة منذ نهاية القرن السادس عشر) إلى إنشاءات منهجية معقدة للغاية وأدب هائل عقائدي وجدالي (انظر الاحتمالية) ).

يعترف مفهوم الاحتمال بتعبير عددي محدد في تطبيقه فقط على مثل هذه الحقائق التي هي جزء من سلسلة متجانسة معينة. لذلك (في أبسط مثال) ، عندما يرمي شخص ما قطعة نقود مائة مرة على التوالي ، نجد هنا سلسلة واحدة مشتركة أو كبيرة (مجموع كل شلالات العملة) ، والتي تتكون من اثنين خاصين أو أصغر ، في هذا الحالة متساوية عدديًا ، سلسلة (يسقط "نسر" ويسقط "ذيول") ؛ احتمالية سقوط العملة هذه المرة ، أي أن هذا العضو الجديد من السلسلة العامة سينتمي إلى سلسلتين أصغر حجمًا ، يساوي كسرًا يعبر عن النسبة العددية بين هذه السلسلة الصغيرة والكبيرة ، أي 1/2 ، أي أن نفس الاحتمال ينتمي إلى واحدة أو أخرى من السلسلتين الخاصتين. في الأمثلة الأقل بساطة ، لا يمكن استخلاص النتيجة مباشرة من بيانات المشكلة نفسها ، ولكنها تتطلب استقراءًا مسبقًا. لذا ، على سبيل المثال ، يُسأل: ما هو احتمال أن يعيش مولود معين حتى 80 عامًا؟ هنا يجب أن تكون هناك سلسلة عامة أو كبيرة لعدد معروف من الأشخاص الذين ولدوا في ظروف مماثلة ويموتون في أعمار مختلفة (يجب أن يكون هذا العدد كبيرًا بما يكفي لإزالة الانحرافات العشوائية ، وصغيرًا بما يكفي للحفاظ على تجانس السلسلة ، لأن شخص ، ولد ، على سبيل المثال ، في سانت بطرسبرغ في عائلة ثقافية ميسورة ، كل سكان المدينة البالغ عددهم مليون نسمة ، ويتكون جزء كبير منهم من أشخاص من مجموعات مختلفة يمكن أن يموتوا قبل الأوان - جنود وصحفيون ، العاملون في المهن الخطرة - يمثلون مجموعة غير متجانسة للغاية بالنسبة لتعريف حقيقي للاحتمالية) ؛ دع هذه السلسلة العامة تتكون من عشرة آلاف حياة بشرية ؛ يتضمن صفوفًا أصغر تمثل عدد الأشخاص الذين يعيشون حتى هذا العمر أو ذاك ؛ يمثل أحد هذه الصفوف الأصغر عدد أولئك الذين يعيشون حتى عمر 80 عامًا. لكن من المستحيل تحديد حجم هذه السلسلة الأصغر (بالإضافة إلى كل المجموعات الأخرى). بداهة؛ يتم ذلك بطريقة استقرائية بحتة ، من خلال الإحصاء. لنفترض أن الدراسات الإحصائية قد أثبتت أنه من بين 10000 من سكان بطرسبورج من الطبقة الوسطى ، بقي 45 فقط على قيد الحياة حتى سن الثمانين ؛ وبالتالي ، فإن هذا الصف الأصغر يرتبط بالصف الأكبر مثل 45 إلى 10000 ، واحتمال أن ينتمي شخص معين إلى هذا الصف الأصغر ، أي أن يعيش حتى 80 عامًا ، يتم التعبير عنه ككسر من 0.0045. تشكل دراسة الاحتمالية من وجهة نظر رياضية تخصصًا خاصًا ، وهو نظرية الاحتمال.

أنظر أيضا

ملحوظات

المؤلفات

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

التضاد:

شاهد ما هو "الاحتمال" في القواميس الأخرى:

عام علمي وفلسفي. فئة تشير إلى الدرجة الكمية لإمكانية ظهور أحداث عشوائية جماعية في ظل ظروف مراقبة ثابتة ، تميز استقرار تردداتها النسبية. في المنطق الدرجة الدلالية ... ... موسوعة فلسفية

الاحتمال ، رقم في النطاق من صفر إلى واحد ، شامل ، يمثل إمكانية حدوث هذا الحدث. يُعرَّف احتمال وقوع حدث ما على أنه نسبة عدد الفرص التي يمكن أن يقع فيها حدث ما إلى العدد الإجمالي المحتمل ... ... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

في كل الاحتمالات .. قاموس المرادفات الروسية والعبارات المتشابهة في المعنى. تحت. إد. ن. أبراموفا ، م: القواميس الروسية ، 1999. الاحتمالية ، الاحتمالية ، الاحتمالية ، الصدفة ، الاحتمال الموضوعي ، المازة ، القبول ، المخاطرة. النملة. استحالة ... قاموس مرادف

احتمالا- مقياس يمكن أن يقع حدث ما. ملاحظة: التعريف الرياضي للاحتمال هو "رقم حقيقي بين 0 و 1 مرتبط بحدث عشوائي." قد يعكس الرقم التردد النسبي في سلسلة من الملاحظات ... ... دليل المترجم الفني

احتمالا- "خاصية رياضية وعددية لدرجة احتمالية حدوث أي حدث في ظروف معينة معينة يمكن تكرارها لعدد غير محدود من المرات." بناءً على هذه الكلاسيكية ... ... القاموس الاقتصادي والرياضي

- (الاحتمالية) إمكانية وقوع حدث أو نتيجة معينة. يمكن تمثيله كمقياس بأقسام من 0 إلى 1. إذا كان احتمال وقوع حدث صفراً ، فإن حدوثه يكون مستحيلاً. باحتمالية تساوي 1 ، بداية ... مسرد مصطلحات الأعمال

في مهام الاستخدام في الرياضيات ، هناك أيضًا مهام احتمالية أكثر تعقيدًا (مما اعتبرناه في الجزء الأول) ، حيث يتعين عليك تطبيق قاعدة الجمع ، وضرب الاحتمالات ، والتمييز بين الأحداث المشتركة وغير المتوافقة.

إذن ، النظرية.

الأحداث المشتركة وغير المشتركة

يقال إن الأحداث غير متوافقة إذا كان حدوث أحدها يستبعد حدوث الآخرين. أي ، يمكن أن يحدث حدث معين واحد فقط ، أو آخر.

على سبيل المثال ، برمي نرد ، يمكنك التمييز بين أحداث مثل عدد زوجي من النقاط وعدد فردي من النقاط. هذه الأحداث غير متوافقة.

تسمى الأحداث مشتركة إذا كان حدوث أحدهما لا يستبعد حدوث الآخر.

على سبيل المثال ، عند رمي نرد ، يمكنك التمييز بين أحداث مثل حدوث عدد فردي من النقاط وفقدان عدد من النقاط التي تكون من مضاعفات الثلاثة. عندما يتدحرج ثلاثة ، يتحقق كلا الحدثين.

مجموع الأحداث

مجموع (أو اتحاد) عدة أحداث هو حدث يتكون من وقوع واحد على الأقل من هذه الأحداث.

حيث مجموع حدثين منفصلين هو مجموع احتمالات هذه الأحداث:

على سبيل المثال ، فإن احتمال الحصول على 5 أو 6 نقاط على نرد في رمية واحدة سيكون لأن كلا الحدثين (إسقاط 5 ، إسقاط 6) غير متوافقين واحتمال حدوث حدث أو حدث ثانٍ يتم حسابه على النحو التالي:

احتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث دون مراعاة حدوثها المشترك:

على سبيل المثال ، في مركز تجاري ، تبيع آلتان متطابقتان القهوة. احتمال نفاد القهوة من الآلة بنهاية اليوم هو 0.3. احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين هو 0.12. لنجد احتمال أن تنتهي القهوة في نهاية اليوم بآلة واحدة على الأقل (أي إما في واحدة أو في الأخرى أو في كلتيهما في وقت واحد).

احتمالية الحدث الأول "ستنتهي القهوة في الآلة الأولى" وكذلك احتمالية الحدث الثاني "ستنتهي القهوة في الماكينة الثانية" بشرط يساوي 0.3. الأحداث تعاونية.

احتمال التحقيق المشترك للحدثين الأولين يساوي 0.12 حسب الشرط.

هذا يعني أن احتمال نفاد القهوة في إحدى الآلات على الأقل بنهاية اليوم هو

أحداث تابعة ومستقلة

يتم استدعاء حدثين عشوائيين A و B مستقلين إذا كان حدوث أحدهما لا يغير احتمال حدوث الآخر. خلاف ذلك ، يطلق على الأحداث A و B اسم تابع.

على سبيل المثال ، عندما يتم رمي نردتين في نفس الوقت ، يكون أحدهما ، على سبيل المثال 1 ، والآخر 5 ، حدثين مستقلين.

ناتج الاحتمالات

منتج (أو تقاطع) عدة أحداث هو حدث يتكون في التواجد المشترك لكل هذه الأحداث.

إذا كان هناك اثنان أحداث مستقلة A و B مع الاحتمالات P (A) و P (B) ، على التوالي ، فإن احتمال تحقيق الأحداث A و B في نفس الوقت يساوي ناتج الاحتمالات:

على سبيل المثال ، نحن مهتمون بخسارة ستة على نرد مرتين على التوالي. كلا الحدثين مستقلان واحتمال حدوث كل منهما على حدة هو. سيتم حساب احتمال وقوع كلا الحدثين باستخدام الصيغة أعلاه:.

شاهد مجموعة من المهام للعمل على الموضوع.