Как да определим средната аритметика. Какво е средното аритметично на числата. Средноаритметичното има редица свойства, които по-пълно разкриват същността му и опростяват изчислението.

Най-често срещаният тип средна стойност е средноаритметичната.

проста средна аритметика

Простата средна аритметична стойност е средният член, при определянето на който общият обем на даден атрибут в данните се разпределя еднакво между всички единици, включени в тази съвкупност. По този начин средната годишна продукция на работник е такава стойност на обема на продукцията, която би паднала на всеки служител, ако целият обем продукция беше равномерно разпределен между всички служители на организацията. Средноаритметичната проста стойност се изчислява по формулата:

проста средна аритметика— Равно на съотношението на сумата от индивидуалните стойности на даден признак към броя на характеристиките в съвкупността

Пример 1. Екип от 6 работници получава 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 хиляди рубли на месец.

Намерете средната заплата
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 хиляди рубли.

Аритметично претеглена средна стойност

Ако обемът на набора от данни е голям и представлява серия на разпределение, тогава се изчислява претеглена средна аритметична стойност. Ето как се определя среднопретеглената цена за единица продукция: общите производствени разходи (сумата от произведенията на нейното количество и цената на единица продукция) се разделят на общото количество продукция.

Представяме това под формата на следната формула:

Претеглена средна аритметична стойност- е равно на съотношението (сумата от произведенията на стойността на атрибута към честотата на повторение на този атрибут) към (сумата от честотите на всички атрибути).Използва се, когато вариантите на изследваната популация се срещат неравномерни брой пъти.

Пример 2. Намерете средните заплати на работниците в магазините на месец

Средната заплата може да се получи, като се раздели общата заплата на общия брой работници:

Отговор: 3,35 хиляди рубли.

Средно аритметично за интервална серия

При изчисляване на средната аритметична стойност за серия от вариация на интервала, средната стойност за всеки интервал първо се определя като полусумата от горната и долната граница, а след това средната стойност на цялата серия. В случай на отворени интервали, стойността на долния или горния интервал се определя от стойността на интервалите, съседни на тях.

Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни.

Пример 3. Определете средната възраст на учениците във вечерния отдел.

Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни. Степента на тяхната апроксимация зависи от степента, до която действителното разпределение на единиците на населението в рамките на интервала се доближава до еднородно.

При изчисляване на средните стойности могат да се използват не само абсолютни, но и относителни стойности (честота):

Средноаритметичната стойност има редица свойства, които по-пълно разкриват същността му и опростяват изчислението:

1. Произведението на средната и сумата от честотите винаги е равно на сбора от произведенията на варианта и честотите, т.е.

2. Средноаритметичната стойност на сбора на вариращите величини е равна на сумата от средноаритметичните стойности на тези величини:

3. Алгебричната сума на отклоненията на отделните стойности на атрибута от средната е нула.

Темата средноаритметична и геометрична е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста прост за разбиране, той се преминава бързо и до края на учебната година учениците го забравят. Но за издържането на изпита, както и за международните SAT изпити, са необходими познания по основна статистика. А за ежедневието развитото аналитично мислене никога не вреди.

Как да изчислим средната аритметична и геометрична стойност на числата

Да предположим, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средноаритметичната е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест в случай на числа 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да се справим със средната геометрична стойност. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична е произведението на всички дадени числа, което е под корен със степен, равна на броя на дадените числа.Тоест при числа 4, 2 и 8 отговорът е 4. Ето как стана :

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта бяха получени цели отговори, тъй като за пример бяха взети специални числа. Това не винаги е така. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средното аритметично е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите съответно ще бъдат 5,5 и √30.

Може ли да се случи средноаритметичната стойност да стане равна на средната геометрична?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от техния брой.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (средно геометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.

Не само в различните математически науки, но и в ежедневието има случаи, когато трябва да изчислите средната стойност на нещо. Например средната цена на краставиците на пазара, средната височина на дете, средната цена на престоя в хотел и т.н.

Всичко това отдавна се мисли. научно наименование- "средно аритметично". Този индикатор се използва активно в статистиката за обобщаване на резултатите. Например, средната възраст за раждане на деца, средната възраст на смърт сред мъжете и жените, средната заплата по региони и в Русия като цяло.

Така например при приемането на закон за повишаване на възрастта за пенсиониране властите просто изхождаха от средната възраст на смърт у нас.

Нека да разберем какъв е този индикатор.

Средноаритметичната стойност е средна стойност на всички налични стойности. За да го изчислите, е необходимо да сумирате всички числа, участващи в операцията, и след това да ги разделите на общия им брой.

Например през 2017 г. деца от различни възрасти получиха пълно средно образование: 16, 17 и 18 години. Средноаритметичната стойност ще бъде изчислена като сбор от всички възрасти, разделен на три. Като цяло средната възраст на дете, завършило 11 клас, е 17 години.

Този пример показва примитивно изчисление, използвайки примера на три деца. Всъщност трябва да обобщите всички налични данни. Тоест, ако говорим за пет деца, тогава сумираме тяхната възраст, например 17 + 17 + 18 + 16 + 17 и разделяме резултата на пет.

По същия начин всяка средна аритметична се изчислява за всяка операция. Тоест, ако например трябва да изчислите средната възраст на майките, които са родили първото си дете през 2017 г., тогава първо ще трябва да сумирате всички възрастови показатели и след това да разделите на общия брой родители.

Тоест като цяло формулата може да бъде представена по следния начин:

Средно аритметично = ( сумата от всички налични стойности)/общ брой стойности, включени в операцията.

По този начин изчислението е доста просто, дори за ученици. Трудности могат да възникнат само поради големия брой респонденти, участващи в операцията.

Важно е да се разбере, че средната не е просто число. Той има специално физическо значение, което се използва на практика в реалния свят от много години.

Би било погрешно да се използва средната аритметика само на хартия, в тетрадка или в компютърни програми. В противен случай можете да получите много безсмислени и просто нереалистични стойности.

Всъщност има няколко средни. Във всеки случай обаче само един от тях е правилен. Във всяка от операциите трябва да използвате само необходимия вид средна стойност, в противен случай ще бъде направена огромна грешка.

Какви видове средни стойности се използват на практика? Най-честосредните стойности са:

1. Средно аритметично;
2. Средно геометрична;
3. Среден хармоник.

Тези стойности най-често използванкакто в ежедневието, така и в науките. Най-често, разбира се, се изчислява първият индикатор.

Често този индикатор се прилага и изчислява неправилно в реални условия. Защо се случва? Всъщност основата на средната аритметика е прилагането на закона за големите числа. Освен това се прилага и предположението, според което първоначалната стойност се определя нормално.

Това означава, че около представените в редица стойности, има най-честото отклонениена която и да е страна. т.е. Голям или малък. Например в серия от числа 8,8,9,8,9,8,8 отклонението ще бъде надолу, тъй като има повече осмици. И в серията: 17.17, 20,20,20,20,20, отклонението, напротив, ще бъде нагоре, тъй като в този случай все още има повече „двадесет“.

В повечето случаи обаче такива отклонения са малки и обикновено равни по вероятност.Същността на проблема е, че в бизнеса, както и в реалния живот, нормалността на разпределението на практика може да се намери изключително рядко.

Това е например времето на обслужване на един клиент, времето, през което се очаква клиентът да получи тази услуга, сумата, за която след това ще сключи договор, пазарен дял, ръст на доходите и т.н., са тези показатели, които са не са разпределени равномерно и нормално. В някои случаи е нежелателно да се осредняват с помощта на средноаритметичната стойност. Защото това би било погрешно.

На практика нормалността на разпределението често може да се установи при наличието на голям брой стойностивариращи от стотици до хиляди. Например, броят на обажданията към техническата поддръжка на голяма компания може да се разпредели нормално, както на хартия, така и на практика.

Само количеството обаче няма да е достатъчно, защото във всяка конкретна ситуация трябва да следите и правилно разпределение. Само по този начин ще бъде възможно правилно да се изчисли стойността на средноаритметичната стойност в крайна сметка.

Въпросът как да се намери средната аритметика възниква сред хора от различни възрасти, а не само сред ученици. Понякога спешно трябва да намерим средноаритметичната стойност, но не можем да си спомним как да го направим. След това трескаво прелистваме училищните учебници по математика, опитвайки се да намерим необходимата информация. Но е много просто!

За да намерите средноаритметичната стойност на няколко числа, добавете ги заедно. След това получената сума трябва да бъде разделена на броя на термините.

За да стане по-ясно, нека заедно разберем как да намерим средноаритметичната стойност на числата, като използваме примера: 78, 115, 121 и 224. Първо трябва да добавим тези числа: 78+115+121+224=538. Сега получената сума, т.е. 538 трябва да се раздели на броя на термините: 538:4=134,5. И така, средното аритметично на тези числа е 134,5.

Средно аритметично на няколко числа: намерете с Excel

Намирането на средноаритметичното е много лесно с помощта на Excel. Тази програма ви позволява да избегнете дълги изчисления и съответно грешки. За да намерите средноаритметичната стойност на няколко числа, напишете ги в една колона. След това изберете тази колона и изберете иконата за сума (?) и раздела за средна стойност от лентата с инструменти за бърз достъп. Средноаритметичната стойност на тези числа ще се появи в долната част на маркираната колона.

Средноаритметична - статистически индикатор, който показва средната стойност на даден масив от данни. Такъв индикатор се изчислява като дроб, чийто числител е сумата от всички стойности на масива, а знаменателят е техният брой. Средноаритметичната стойност е важен коефициент, който се използва при изчисленията на домакинствата.

Значението на коефициента

Средноаритметичната стойност е елементарен индикатор за сравняване на данни и изчисляване на приемлива стойност. Например кутия бира от определен производител се продава в различни магазини. Но в един магазин струва 67 рубли, в друг - 70 рубли, в третия - 65 рубли, а в последния - 62 рубли. Има доста голям диапазон на цените, така че купувачът ще се интересува от средната цена на кутия, така че при закупуване на продукт да може да сравни разходите си. Средно една кутия бира в града има цена:

Средна цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рубли.

Познавайки средната цена, е лесно да определите къде е изгодно да купувате стоки и къде ще трябва да надплатите.

Средноаритметичната стойност се използва постоянно при статистически изчисления в случаите, когато се анализира хомогенен набор от данни. В примера по-горе това е цената на кутия бира от същата марка. Не можем обаче да сравним цената на бирата от различни производители или цените на бирата и лимонадата, тъй като в този случай разпределението на стойностите ще бъде по-голямо, средната цена ще бъде замъглена и ненадеждна, а самият смисъл на изчисленията ще бъде изкривена до карикатурната "средна температура в болницата". За изчисляване на хетерогенни масиви от данни се използва средноаритметичната претеглена стойност, когато всяка стойност получава свой собствен коефициент на тежест.

Изчисляване на средноаритметичната стойност

Формулата за изчисления е изключително проста:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

където an е стойността на количеството, n е общият брой стойности.

За какво може да се използва този индикатор? Първата и очевидна употреба е в статистиката. Почти всяко статистическо изследване използва средноаритметичната стойност. Това може да бъде средната брачна възраст в Русия, средната оценка по предмет за ученик или средните разходи за хранителни стоки на ден. Както бе споменато по-горе, без да се вземат предвид теглата, изчислението на средните може да даде странни или абсурдни стойности.

Например президентът на Руската федерация направи изявление, че според статистиката средната заплата на руснак е 27 000 рубли. За повечето хора в Русия това ниво на заплата изглеждаше абсурдно. Не е изненадващо, ако изчислението отчита доходите на олигарсите, ръководителите на промишлени предприятия, големите банкери, от една страна, и заплатите на учителите, чистачите и продавачите, от друга. Дори средните заплати в една специалност, например счетоводител, ще имат сериозни разлики в Москва, Кострома и Екатеринбург.

Как да изчислим средните стойности за хетерогенни данни

В ситуации на заплати е важно да се вземе предвид тежестта на всяка стойност. Това означава, че заплатите на олигарсите и банкерите ще имат тегло например 0,00001, а заплатите на търговците ще бъдат 0,12. Това са цифри от тавана, но те грубо илюстрират разпространението на олигарсите и търговците в руското общество.

По този начин, за да се изчисли средната стойност на средните стойности или средната стойност в хетерогенен масив от данни, е необходимо да се използва средноаритметичната претеглена стойност. В противен случай ще получите средна заплата в Русия на ниво от 27 000 рубли. Ако искате да знаете средния си успех по математика или средния брой отбелязани голове от избран хокеист, тогава калкулаторът на средната аритметика ще ви подхожда.

Нашата програма е прост и удобен калкулатор за изчисляване на средноаритметичната стойност. Трябва само да въведете стойности на параметрите, за да извършите изчисления.

Нека разгледаме няколко примера

Изчисляване на средната оценка

Много учители използват метода на средната аритметика, за да определят годишна оценка по даден предмет. Нека си представим, че детето е получило следните четвъртинки по математика: 3, 3, 5, 4. Каква годишна оценка ще му постави учителят? Да използваме калкулатор и да изчислим средноаритметичната стойност. Първо изберете подходящия брой полета и въведете стойностите на оценките в клетките, които се появяват:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Учителят ще закръгли стойността в полза на ученика, а ученикът ще получи солидна четворка за годината.

Изчисляване на изядените сладкиши

Нека илюстрираме някаква абсурдност на средната аритметика. Представете си, че Маша и Вова имаха 10 сладки. Маша изяде 8 бонбона, а Вова само 2. Колко бонбона средно изяде всяко дете? С помощта на калкулатор е лесно да се изчисли, че средно децата са изяли по 5 сладки, което е напълно невярно и здрав разум. Този пример показва, че средноаритметичната е важна за смислени набори от данни.

Заключение

Изчисляването на средноаритметичната стойност се използва широко в много научни области. Този индикатор е популярен не само в статистическите изчисления, но и във физиката, механиката, икономиката, медицината или финансите. Използвайте нашите калкулатори като помощник за решаване на средноаритметични задачи.