Работа по време на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. Работата на сила при въртене на твърдо тяло. Кинетична енергия на въртящо се тяло Свойства на симетрията и закони за запазване

Силата на триене винаги е насочена по протежение на контактната повърхност в посока, противоположна на движението. Тя винаги е по-малка от силата на нормалното налягане.

Тук:
Ф- гравитационната сила, с която две тела се привличат едно към друго (Нютон),
м 1- маса на първото тяло (kg),
m2- маса на второто тяло (кг),
r- разстояние между центровете на масата на телата (метър),
γ - гравитационна константа 6,67 10 -11 (m 3 / (kg s 2)),

Сила на гравитационното поле- векторна величина, характеризираща гравитационното поле в дадена точка и числено равна на отношението на гравитационната сила, действаща върху тяло, поставено в дадена точка от полето, към гравитационната маса на това тяло:

12. Изучавайки механиката на твърдо тяло, използвахме концепцията за абсолютно твърдо тяло. Но в природата няма абсолютно твърди тела, т.к. всички реални тела под въздействието на силите променят формата и размера си, т.е. деформирана.
ДеформацияНаречен еластична, ако след като външните сили престанат да действат върху тялото, тялото възстановява първоначалния си размер и форма. Деформациите, които се запазват в тялото след прекратяване на външните сили, се наричат пластмаса(или остатъчна)

РАБОТА И МОЩ

Принудителна работа.
Работата на постоянна сила, действаща върху тяло по права линия
, където е изместването на тялото, е силата, действаща върху тялото.

В общия случай работата на променлива сила, действаща върху тяло, движещо се по извита пътека . Работата се измерва в джаули [J].

Работата на момента на силите, действащи върху тяло, въртящо се около фиксирана ос, където е моментът на силата, е ъгълът на въртене.
Общо взето .
Работата, извършена върху тялото, се превръща в неговата кинетична енергия.
Мощносте работата за единица време (1 s): . Мощността се измерва във ватове [W].

14.Кинетична енергия- енергията на механичната система, която зависи от скоростта на движение на нейните точки. Често разпределете кинетичната енергия на транслационно и въртеливо движение.

Помислете за система, състояща се от една частица и запишете втория закон на Нютон:

Има резултат от всички сили, действащи върху тялото. Нека скаларно умножим уравнението по изместването на частицата. Като се има предвид това, получаваме:

Ако системата е затворена, т.е , и стойността

остава постоянен. Тази стойност се нарича кинетична енергиячастици. Ако системата е изолирана, тогава кинетичната енергия е интеграл от движението.

За абсолютно твърдо тяло общата кинетична енергия може да се запише като сума от кинетичната енергия на транслационно и въртеливо движение:

Телесна маса

Скоростта на центъра на масата на тялото

инерционен момент на тялото

Ъглова скорост на тялото.

15.Потенциална енергия- скаларна физическа величина, която характеризира способността на определено тяло (или материална точка) да извършва работа поради присъствието му в полето на действие на силите.

16. Разтягането или притискането на пружината води до съхраняване на нейната потенциална енергия на еластична деформация. Връщането на пружината в равновесно положение води до освобождаване на натрупаната енергия на еластична деформация. Стойността на тази енергия е:

Потенциална енергия на еластична деформация..

- работата на еластичната сила и промяната в потенциалната енергия на еластичната деформация.

17.консервативни сили(потенциални сили) - сили, чиято работа не зависи от формата на траекторията (зависи само от началната и крайната точки на приложение на силите). Това предполага дефиницията: консервативни сили са тези сили, чиято работа по всяка затворена траектория е равна на 0

Разсейващи сили- сили, под действието на които върху механична система нейната обща механична енергия намалява (тоест се разсейва), преминавайки в други, немеханични форми на енергия, например в топлина.

18. Въртене около фиксирана осТова е движението на твърдо тяло, при което две от неговите точки остават неподвижни през цялото движение. Линията, минаваща през тези точки, се нарича ос на въртене. Всички останали точки на тялото се движат в равнини, перпендикулярни на оста на въртене, по окръжности, чиито центрове лежат върху оста на въртене.

Момент на инерция- скаларна физическа величина, мярка за инерция при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение. Характеризира се с разпределението на масите в тялото: инерционният момент е равен на сбора от произведенията на елементарните маси и квадрата на техните разстояния до базовото множество (точка, права или равнина).

Моментът на инерция на механична системаспрямо фиксирана ос ("аксиален момент на инерция") се нарича стойност J aравен на сбора от произведенията на масите на всички нматериални точки на системата в квадратите на техните разстояния до оста:

,

§ м и- тегло и-та точка,

§ r и- разстояние от и-та точка към оста.

Аксиална момент на инерциятяло J aе мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение.

,

Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Ако психически разбиете това тяло в нмасови точки m 1 , m 2 , …, m nразположени на разстояния r 1 , r 2 , …, r nот оста на въртене, тогава по време на въртене те ще описват кръгове и ще се движат с различни линейни скорости v 1 , v 2 , ..., v n. Тъй като тялото е абсолютно твърдо, ъгловата скорост на въртене на точките ще бъде една и съща:

Кинетичната енергия на въртящо се тяло е сумата от кинетичните енергии на неговите точки, т.е.

Като се вземе предвид връзката между ъгловата и линейната скорост, получаваме:

Сравнение на формула (4.9) с израза за кинетичната енергия на тяло, движещо се напред със скорост v, показва че инерционният момент е мярка за инерцията на тяло във въртеливо движение.
Ако твърдо тяло се движи напред със скорост vи едновременно се върти с ъглова скорост ω около ос, минаваща през центъра на инерцията му, тогава кинетичната му енергия се определя като сума от два компонента:

(4.10)

където vcе скоростта на центъра на масата на тялото; Jc- моментът на инерция на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на масата му.
Момент на сила спрямо фиксираната ос zнаречен скалар Mz, равно на проекцията върху тази ос на вектора Ммомент на сила, определен спрямо произволна точка 0 на дадена ос. Стойност на въртящия момент Mzне зависи от избора на позицията на точка 0 по оста z.
Ако оста zсъвпада с посоката на вектора М, тогава моментът на силата се представя като вектор, съвпадащ с оста:

Mz = [ RF]z
Да намерим израз за работа при въртене на тялото. Нека властта Фприложен към точка B, разположена на разстояние от оста на въртене r(фиг. 4.6); α е ъгълът между посоката на силата и радиус вектора r. Тъй като тялото е абсолютно твърдо, работата на тази сила е равна на работата, изразходвана за завъртане на цялото тяло.

Когато тялото се върти на безкрайно малък ъгъл dφточка на закрепване B минава по пътя ds = rdφ, а работата е равна на произведението на проекцията на силата върху посоката на преместване по големината на преместването:

dA = Fsinα*rdφ
Предвид това Frsinα = Mzможе да се напише dA = M z dφ, където Mz- моментът на сила около оста на въртене. Така работата по време на въртене на тялото е равна на произведението на момента на действащата сила и ъгъла на въртене.
Работата по време на въртене на тялото отива за увеличаване на кинетичната му енергия:

dA = dE k
(4.11)

Уравнение (4.11) е уравнение на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо фиксирана ос.

При въртене на твърдо тяло с ос на въртене z, под въздействието на момент на сила Mzработата се извършва около оста z

Общата извършена работа при завъртане през ъгъла j е

При постоянен момент на силите последният израз приема формата:

Енергия

Енергия -измерване на способността на тялото да върши работа. Движещите се тела имат кинетичененергия. Тъй като има два основни типа движение - транслационно и ротационно, кинетичната енергия се представя с две формули - за всеки вид движение. Потенциаленергията е енергията на взаимодействието. Намаляването на потенциалната енергия на системата се дължи на работата на потенциалните сили. На диаграмата са дадени изрази за потенциалната енергия на гравитацията, гравитацията и еластичността, както и за кинетичната енергия на транслационни и въртеливи движения. Завършенмеханичната енергия е сумата от кинетична и потенциална.

импулс и ъглов импулс

Импулсчастици стрПроизведението на масата на частицата и нейната скорост се нарича:

ъглов импулсЛспрямо точка Осе нарича векторно произведение на радиус вектора r, което определя позицията на частицата и нейния импулс стр:

Модулът на този вектор е:

Нека твърдо тяло има фиксирана ос на въртене z, по която е насочен псевдовекторът на ъгловата скорост w.

Таблица 6

Кинетична енергия, работа, импулс и ъглов импулс за различни модели на обекти и движения

Идеален	Физически количества
модел	Кинетична енергия	Пулс	ъглов импулс	Работете
Материална точка или твърдо тяло, движещо се напред. м- маса, v - скорост.			,	. В
Твърдо тяло се върти с ъглова скорост w. Дж- моментът на инерция, v c - скоростта на центъра на масата.				. В
Твърдо тяло извършва сложни равнинни движения. J ñ - моментът на инерция спрямо оста, преминаваща през центъра на масата, v c - скоростта на центъра на масата. w е ъгловата скорост.

Ъгловият импулс на въртящо се твърдо тяло съвпада по посока с ъгловата скорост и се определя като

Определенията на тези величини (математически изрази) за материална точка и съответните формули за твърдо тяло с различни форми на движение са дадени в таблица 4.

Законови формулировки

Теорема за кинетичната енергия

частицие равна на алгебричния сбор от работата на всички сили, действащи върху частицата.

Увеличение на кинетичната енергия системи на тялотое равна на работата, извършена от всички сили, действащи върху всички тела на системата:

. (1)

Работа и мощност при въртене на твърдо тяло.

Да намерим израз за работа при въртене на тялото. Нека силата е приложена в точка, разположена на разстояние от оста - ъгълът между посоката на силата и радиус вектора. Тъй като тялото е абсолютно твърдо, работата на тази сила е равна на работата, изразходвана за завъртане на цялото тяло. Когато тялото се върти под безкрайно малък ъгъл, точката на приложение преминава пътя и работата е равна на произведението на проекцията на силата върху посоката на преместване от стойността на преместването:

Модулът на момента на силата е равен на:

тогава получаваме следната формула за изчисляване на работата:

По този начин работата по време на въртене на твърдо тяло е равна на произведението на момента на действащата сила и ъгъла на въртене.

Кинетична енергия на въртящо се тяло.

Инерционен момент мат.т. Наречен физически стойността е числено равна на произведението на масата на mat.t. по квадрата на разстоянието на тази точка до оста на въртене W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i инерционният момент на твърдо тяло е равен на сумата от всички mat.t I=S i m i r 2 i се нарича инерционният момент на твърдо тяло. физическа стойност равна на сбора от произведенията на мат.т. по квадратите на разстоянията от тези точки до оста. W i -I i W 2 /2 W k \u003d IW 2 /2

W k \u003d S i W ki момент на инерция по време на въртеливо движение yavl. аналог на масата в транслационно движение. I=mR2/2

21. Неинерционни референтни системи. Инерционни сили. Принципът на еквивалентност. Уравнение на движение в неинерционни отправни системи.

Неинерционна отправна система- произволна референтна система, която не е инерционна. Примери за неинерционни референтни системи: система, движеща се по права линия с постоянно ускорение, както и въртяща се рамка.

При разглеждане на уравненията на движение на тяло в неинерциална отправна система е необходимо да се вземат предвид допълнителни инерционни сили. Законите на Нютон са валидни само в инерционни референтни системи. За да се намери уравнението на движението в неинерциална референтна система, е необходимо да се познават законите за преобразуване на силите и ускоренията при прехода от инерционна система към всяка неинерционна.

Класическата механика постулира следните два принципа:

времето е абсолютно, т.е. интервалите от време между всякакви две събития са еднакви във всички произволно движещи се референтни системи;

пространството е абсолютно, тоест разстоянието между всякакви две материални точки е еднакво във всички произволно движещи се отправни системи.

Тези два принципа позволяват да се запише уравнението на движението на материална точка по отношение на всяка неинерциална референтна система, в която първият закон на Нютон не е изпълнен.

Основното уравнение на динамиката на относителното движение на материална точка има вида:

където е масата на тялото, е ускорението на тялото спрямо неинерциалната отправна система, е сумата от всички външни сили, действащи върху тялото, е преносимото ускорение на тялото, е ускорението на Кориолис на тяло.

Това уравнение може да бъде написано в познатата форма на Втория закон на Нютон чрез въвеждане на фиктивни инерционни сили:

Преносима инерционна сила

Кориолисова сила

инерционна сила- фиктивна сила, която може да бъде въведена в неинерциална референтна система, така че законите на механиката в нея да съвпадат със законите на инерциалните системи.

При математическите изчисления въвеждането на тази сила става чрез преобразуване на уравнението

F 1 +F 2 +…F n = ma към формата

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Където F i е действителната сила, а –ma е „силата на инерцията“.

Сред силите на инерцията са следните:

простосила на инерция;

центробежна сила, която обяснява тенденцията на телата да отлитат от центъра във въртящи се отправни системи;

силата на Кориолис, която обяснява тенденцията на телата да се отклоняват от радиуса по време на радиално движение във въртящи се отправни системи;

От гледна точка на общата теория на относителността, гравитационни сили във всяка точкаса силите на инерцията в дадена точка от извитото пространство на Айнщайн

Центробежна сила- силата на инерцията, която се въвежда във въртяща се (неинерциална) референтна система (за да се прилагат законите на Нютон, изчислени само за инерционни FR) и която е насочена от оста на въртене (оттук и името).

Принципът на еквивалентност на силите на гравитацията и инерцията- евристичен принцип, използван от Алберт Айнщайн при извеждането на общата теория на относителността. Един от вариантите за неговото представяне: „Силите на гравитационното взаимодействие са пропорционални на гравитационната маса на тялото, докато силите на инерцията са пропорционални на инерционната маса на тялото. Ако инерционната и гравитационната маса са равни, тогава е невъзможно да се различи коя сила действа върху дадено тяло - гравитационна или инерционна.

формулировката на Айнщайн

Исторически, принципът на относителността е формулиран от Айнщайн, както следва:

Всички явления в гравитационното поле протичат по абсолютно същия начин, както в съответното поле на инерционните сили, ако силите на тези полета съвпадат и началните условия за телата на системата са еднакви.

22. Принципът на относителността на Галилей. Галилеевите трансформации. Класическа теорема за добавяне на скорост. Инвариантност на законите на Нютон в инерционни референтни системи.

Принципът на относителността на Галилей- това е принципът на физическото равенство на инерционните референтни системи в класическата механика, който се проявява във факта, че законите на механиката са еднакви във всички подобни системи.

Математически принципът на относителността на Галилей изразява инвариантността (инвариантността) на уравненията на механиката по отношение на трансформациите на координатите на движещите се точки (и времето) при преместване от една инерциална система в друга - Галилееви трансформации.
Нека има две инерционни референтни системи, едната от които, S, ще се съгласим да считаме за покойна; втората система, S", се движи спрямо S с постоянна скорост u, както е показано на фигурата. Тогава галилеевите трансформации за координатите на материална точка в системите S и S" ще имат формата:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(примерните количества се отнасят за S рамката, неподредените количества се отнасят за S) Така времето в класическата механика, както и разстоянието между всякакви фиксирани точки, се счита за еднакво във всички референтни системи.
От трансформациите на Галилей може да се получи връзката между скоростите на точка и нейните ускорения в двете системи:
v" = v - u, (2)
а" = а.
В класическата механика движението на материална точка се определя от втория закон на Нютон:
F = ма, (3)
където m е масата на точката, а F е резултатът на всички сили, приложени към нея.
В този случай силите (и масите) са инварианти в класическата механика, т.е. величини, които не се променят при преместване от една референтна система в друга.
Следователно при галилеевите трансформации уравнение (3) не се променя.
Това е математическият израз на Галилеевия принцип на относителността.

ТРАНСФОРМАЦИИ НА ГАЛИЛЕЙ.

В кинематиката всички референтни системи са равни една на друга и движението може да бъде описано във всяка от тях. При изучаването на движенията понякога е необходимо да се премине от една референтна система (с координатната система OXYZ) към друга - (О`Х`У`Z`). Нека разгледаме случая, когато втората референтна система се движи спрямо първата равномерно и праволинейно със скорост V=const.

За да се улесни математическото описание, приемаме, че съответните координатни оси са успоредни една на друга, че скоростта е насочена по оста X и че в началния момент (t=0) началото на двете системи съвпада един с друг. Използвайки предположението, което е справедливо в класическата физика, за един и същ поток от време в двете системи, е възможно да се запишат отношенията, свързващи координатите на някаква точка A(x, y, z) и A (x`, y). `, z`) и в двете системи. Такъв преход от една референтна система към друга се нарича Галилеева трансформация):

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Ускорението и в двете системи е еднакво (V=const). Дълбокият смисъл на трансформациите на Галилей ще бъде изяснен в динамика. Преобразуването на скоростите на Галилей отразява принципа на независимост на преместванията, който се извършва в класическата физика.

Добавяне на скорости в SRT

Класическият закон за събиране на скорости не може да бъде валиден, т.к това противоречи на твърдението за постоянството на скоростта на светлината във вакуум. Ако влакът се движи със скорост vи светлинна вълна се разпространява в колата по посока на влака, тогава скоростта му спрямо Земята е все още ° С, но не v+c.

Нека разгледаме две референтни системи.

В системата К 0 тялото се движи със скорост vедин . Колкото до системата Кдвижи се със скорост v 2. Според закона за добавяне на скорости в SRT:

Ако v<<° Си v 1 << ° С, тогава членът може да се пренебрегне и тогава получаваме класическия закон за добавяне на скорости: v 2 = v 1 + v.

В v 1 = ° Сскорост v 2 равни ° С, както се изисква от втория постулат на теорията на относителността:

В v 1 = ° Си при v = ° Сскорост v 2 отново е равно на скорост ° С.

Забележително свойство на закона за събиране е, че при всяка скорост v 1 и v(не повече ° С), получена скорост v 2 не надвишава ° С. Скоростта на движение на реалните тела е по-голяма от скоростта на светлината, това е невъзможно.

Добавяне на скорости

Когато разглеждаме сложно движение (тоест, когато точка или тяло се движат в една отправна система и се движат спрямо друга), възниква въпросът за връзката на скоростите в 2 отправни системи.

класическа механика

В класическата механика абсолютната скорост на точка е равна на векторната сума от нейните относителни и транслационни скорости:

На прав език: Скоростта на тялото спрямо фиксирана референтна система е равна на векторната сума от скоростта на това тяло спрямо движеща се референтна система и скоростта на най-подвижната референтна система спрямо фиксирана рамка.

« Физика - 10 клас

Защо скейтърът се разтяга по оста на въртене, за да увеличи ъгловата скорост на въртене.
Трябва ли хеликоптерът да се върти, когато витлото му се върти?

Зададените въпроси предполагат, че ако външните сили не действат върху тялото или тяхното действие се компенсира и една част от тялото започне да се върти в една посока, тогава другата част трябва да се върти в другата посока, точно както когато горивото се изхвърля от ракета, самата ракета се движи в обратна посока.

момент на импулс.

Ако разгледаме въртящ се диск, става очевидно, че общият импулс на диска е нула, тъй като всяка частица от тялото съответства на частица, движеща се с еднаква скорост по абсолютна стойност, но в обратна посока (фиг. 6.9).

Но дискът се движи, ъгловата скорост на въртене на всички частици е една и съща. Ясно е обаче, че колкото по-далеч е частицата от оста на въртене, толкова по-голям е нейният импулс. Следователно за въртеливото движение е необходимо да се въведе още една характеристика, подобна на импулса, - ъгловият импулс.

Ъгловият импулс на частица, движеща се в кръг, е произведението от импулса на частицата и разстоянието от нея до оста на въртене (фиг. 6.10):

Тогава линейната и ъгловата скорости са свързани с v = ωr

Всички точки на твърда материя се движат спрямо фиксирана ос на въртене със същата ъглова скорост. Твърдото тяло може да бъде представено като съвкупност от материални точки.

Ъгловият импулс на твърдо тяло е равен на произведението на инерционния момент и ъгловата скорост на въртене:

Ъгловият импулс е векторна величина, съгласно формула (6.3), ъгловият импулс е насочен по същия начин като ъгловата скорост.

Основното уравнение на динамиката на въртеливото движение в импулсивна форма.

Ъгловото ускорение на тялото е равно на промяната в ъгловата скорост, разделена на интервала от време, през който е настъпила тази промяна: Заменете този израз в основното уравнение за динамиката на въртеливото движение следователно I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.

По този начин,

∆L = M∆t. (6.4)

Промяната в ъгловия импулс е равна на произведението на общия момент на силите, действащи върху тялото или системата, и времето на действие на тези сили.

Закон за запазване на ъгловия импулс:

Ако общият момент на силите, действащи върху тяло или система от тела с фиксирана ос на въртене, е равен на нула, тогава промяната в ъгловия импулс също е равна на нула, т.е. ъгловият импулс на системата остава постоянен.

∆L=0, L=const.

Промяната в импулса на системата е равна на общия импулс на силите, действащи върху системата.

Въртящият се скейтър разперва ръцете си встрани, като по този начин увеличава инерционния момент, за да намали ъгловата скорост на въртене.

Законът за запазване на ъгловия импулс може да се демонстрира с помощта на следния експеримент, наречен „експеримент с пейката на Жуковски“. Човек стои на пейка с вертикална ос на въртене, минаваща през центъра. Мъжът държи дъмбели в ръцете си. Ако пейката е направена да се върти, тогава човек може да промени скоростта на въртене, като притисне дъмбелите към гърдите си или спусне ръцете си и след това ги раздалечи. Разпервайки ръцете си, той увеличава инерционния момент и ъгловата скорост на въртене намалява (фиг. 6.11, а), спускайки ръцете си, той намалява инерционния момент, а ъгловата скорост на въртене на пейката се увеличава (фиг. 6.11, б).

Човек може също да накара пейката да се върти, като ходи по нейния ръб. В този случай пейката ще се върти в обратна посока, тъй като общият ъглов импулс трябва да остане равен на нула.

Принципът на действие на устройствата, наречени жироскопи, се основава на закона за запазване на ъгловия импулс. Основното свойство на жироскопа е запазването на посоката на оста на въртене, ако външни сили не действат върху тази ос. През 19 век жироскопите са били използвани от навигаторите за навигация в морето.

Кинетична енергия на въртящо се твърдо тяло.

Кинетичната енергия на въртящо се твърдо тяло е равна на сумата от кинетичните енергии на отделните му частици. Нека разделим тялото на малки елементи, всеки от които може да се счита за материална точка. Тогава кинетичната енергия на тялото е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки, от които се състои:

Ъгловата скорост на въртене на всички точки на тялото е еднаква, следователно,

Стойността в скоби, както вече знаем, е инерционният момент на твърдото тяло. И накрая, формулата за кинетичната енергия на твърдо тяло с фиксирана ос на въртене има формата

В общия случай на движение на твърдо тяло, когато оста на въртене е свободна, неговата кинетична енергия е равна на сумата от енергиите на транслационно и въртеливо движение. И така, кинетичната енергия на колело, чиято маса е концентрирана в джантата, търкалящо се по пътя с постоянна скорост, е равна на

Таблицата сравнява формулите на механиката на транслационното движение на материална точка с подобни формули за въртеливото движение на твърдо тяло.