Права. Паралелни линии. Основни понятия. Признаци за успоредност на две прави. Свойства на успоредните прави Първият признак за успоредност на две прави

Успоредността на две прави може да се докаже въз основа на теоремата, според която два перпендикуляра, начертани по отношение на една права, ще бъдат успоредни. Има определени признаци на успоредни линии - има три от тях и ще разгледаме всички тях по-конкретно.

Първият признак на паралелизъм

Правите са успоредни, ако при пресичането на третата им права образуваните напречно разположени вътрешни ъгли са равни.

Да предположим, че при пресичането на прави AB и CD с права линия EF са образувани ъгли /1 и /2. Те са равни, тъй като правата линия EF минава под същия наклон по отношение на другите две прави линии. В пресечната точка на линиите поставяме точките Ki L - имаме сегмент от секущата EF. Намираме средата му и поставяме точка O (фиг. 189).

Върху правата AB пускаме перпендикуляра от точка O. Нека го наречем OM. Продължаваме перпендикуляра, докато се пресече с правата CD. В резултат на това първоначалната права AB е строго перпендикулярна на MN, което означава, че CD _ | _ MN, но това твърдение изисква доказателство. В резултат на изчертаването на перпендикуляра и линията на пресичане сме образували два триъгълника. Единият е МОЯ, вторият е NOK. Нека ги разгледаме по-подробно. признаци на успоредни прави 7 клас

Тези триъгълници са равни, тъй като в съответствие с условията на теоремата /1 = /2 и в съответствие с конструкцията на триъгълниците страната OK = страната OL. Ъгъл MOL =/NOK, тъй като това са вертикални ъгли. От това следва, че страната и двата прилежащи към нея ъгъла на един от триъгълниците са съответно равни на страната и двата прилежащи към нея ъгъла на другия от триъгълниците. Така триъгълникът MOL \u003d триъгълник NOK, а оттам и ъгълът LMO \u003d ъгъл KNO, но знаем, че / LMO е прав, което означава, че съответният ъгъл KNO също е прав. Тоест успяхме да докажем, че както правата AB, така и правата CD са перпендикулярни на правата MN. Тоест AB и CD са успоредни един на друг. Това трябваше да докажем. Нека разгледаме останалите признаци на успоредни прави (клас 7), които се различават от първия знак по начина на доказване.

Вторият знак за паралелизъм

Според втория знак за успоредност на линиите, трябва да докажем, че ъглите, получени в процеса на пресичане на успоредни линии AB и CD с права EF, ще бъдат равни. По този начин знаците за успоредност на две линии, както първата, така и втората, се основават на равенството на ъглите, получени при пресичането им от третата линия. Приемаме, че /3 = /2, а ъгълът 1 = /3, тъй като е вертикален спрямо него. Така и /2 ще бъде равно на ъгъл 1, но трябва да се има предвид, че и ъгъл 1, и ъгъл 2 са вътрешни, кръстосани ъгли. Следователно ни остава да приложим познанията си, а именно, че две отсечки ще бъдат успоредни, ако при пресичането им с трета права образуваните кръстосани ъгли са равни. Така открихме, че AB || CD.

Успяхме да докажем, че при условие, че два перпендикуляра са успоредни на една права линия, съгласно съответната теорема, знакът на успоредните прави е очевиден.

Третият знак за паралелизъм

Съществува и трети критерий за успоредност, който се доказва чрез сумата от едностранни вътрешни ъгли. Такова доказателство за знака за успоредност на правите ни позволява да заключим, че две прави ще бъдат успоредни, ако при пресичането им с трета права сумата от получените едностранни вътрешни ъгли ще бъде равна на 2d. Вижте фигура 192.

Тази статия е за успоредни прави и за успоредни прави. Първо се дава дефиницията на успоредни прави в равнината и в пространството, въвежда се обозначение, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. Освен това се анализират признаците и условията на паралелност на прави линии. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на успоредността на прави линии, които са дадени с някои уравнения на права линия в правоъгълна координатна система върху равнина и в тримерно пространство.

Навигация в страницата.

Успоредни прави - основна информация.

Определение.

Две прави в една равнина се наричат паралеленако нямат допирни точки.

Определение.

Две линии в три измерения се наричат паралеленако лежат в една равнина и нямат общи точки.

Имайте предвид, че клаузата „ако лежат в една равнина“ в дефиницията на успоредни прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави линии в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а са коси.

Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните краища на бележника лежат на успоредни прави. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните линии на равен терен също могат да се разглеждат като успоредни линии.

Символът "" се използва за означаване на успоредни прави. Тоест, ако правите a и b са успоредни, тогава можете накратко да напишете b.

Забележете, че ако прави a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че права a е успоредна на права b, а също така, че права b е успоредна на права a.

Нека изразим твърдение, което играе важна роля при изучаването на успоредните прави в равнината: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.

За случая в пространството е вярна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да се докаже с помощта на дадената по-горе аксиома за успоредни прави (доказателството й може да намерите в учебника по геометрия за 10-11 клас, който е посочен в края на статията в библиографията).

За случая в пространството е вярна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на аксиомата за успоредни прави, дадена по-горе.

Успоредност на прави - признаци и условия на успоредност.

Знак за успоредни правие достатъчно условие за успоредни прави, тоест такова условие, чието изпълнение гарантира успоредни прави. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се установи, че правите са успоредни.

Съществуват и необходими и достатъчни условия за успоредни прави в равнината и в тримерното пространство.

Нека обясним значението на фразата "необходимо и достатъчно условие за успоредни прави".

Вече разгледахме достатъчното условие за успоредни прави. И какво е "необходимото условие за успоредни прави"? От името "необходимо" става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо, за да бъдат правите успоредни. С други думи, ако необходимото условие за успоредни прави не е изпълнено, тогава правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие правите да са успоредние условие, чието изпълнение е необходимо и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредни прави, а от друга страна, това е свойство, което имат успоредните прави.

Преди да посочим необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите, е полезно да си припомним няколко спомагателни определения.

секуща линияе права, която пресича всяка от двете дадени несъвпадащи прави.

В пресечната точка на две линии на секуща се образуват осем неразгърнати. Така нареченият лежащи на кръст, съответстващиИ едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.

Теорема.

Ако две прави в една равнина се пресичат със секанс, то за тяхната успоредност е необходимо и достатъчно напречно разположените ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 градуса .

Нека покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредни прави в равнината.

Доказателства за тези условия за успоредни прави можете да намерите в учебниците по геометрия за 7-9 клас.

Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете прави и секущата да лежат в една и съща равнина.

Ето още няколко теореми, които често се използват при доказване на успоредността на правите.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика следва от аксиомата за успоредните прави.

Подобно условие има и за успоредни прави в триизмерното пространство.

Теорема.

Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика се разглежда в уроците по геометрия в 10 клас.

Нека илюстрираме изразените теореми.

Нека дадем още една теорема, която ни позволява да докажем успоредността на правите в равнината.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.

Има подобна теорема за прави в пространството.

Теорема.

Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.

Нека начертаем картинки, съответстващи на тези теореми.

Всички теореми, формулирани по-горе, признаци и необходими и достатъчни условия са напълно подходящи за доказване на успоредността на прави линии с методи на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на две дадени прави, е необходимо да се покаже, че те са успоредни на третата права, или да се покаже равенството на кръстосаните ъгли и т.н. Много от тези задачи се решават в часовете по геометрия в гимназията. Все пак трябва да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва методът на координатите, за да се докаже паралелността на линиите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за паралелност на прави, които са дадени в правоъгълна координатна система.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.

В този раздел на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, които определят тези линии, а също така ще дадем подробни решения на типични задачи.

Да започнем с условието за успоредност на две прави в равнината в правоъгълната координатна система Oxy . Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на правата и дефиницията на нормалния вектор на правата в равнината.

Теорема.

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.

Очевидно условието за паралелност на две прави в равнината се свежда до (насочващи вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (насочващ вектор на една права и нормален вектор на втората права). Така, ако и са векторите на посоката на правите a и b, и И са нормалните вектори на правите a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредни прави a и b може да се запише като , или , или , където t е реално число. От своя страна координатите на насочващите и (или) нормалните вектори на правите a и b се намират от известните уравнения на правите линии.

По-специално, ако правата a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината определя общото уравнение на линията от формата , а правата b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и съответно, а условието за успоредност на правите a и b ще бъде записано като .

Ако правата линия a съответства на уравнението на правата с коефициента на наклон на формата . Следователно, ако прави линии в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат дадени чрез уравнения на прави линии с коефициенти на наклон, тогава коефициентите на наклон на линиите ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащите прави линии на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат дадени чрез уравненията на права линия с равни коефициенти на наклон, то такива прави линии са успоредни.

Ако правата a и правата b в правоъгълна координатна система определят каноничните уравнения на правата в равнината на формата И , или параметрични уравнения на права линия върху равнина на формата И съответно, тогава насочващите вектори на тези линии имат координати и , а условието за успоредност на линиите a и b се записва като .

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример.

Успоредни ли са правите? И ?

Решение.

Пренаписваме уравнението на права линия в сегменти под формата на общо уравнение на права линия: . Сега можем да видим, че това е нормалният вектор на правата линия , и е нормалният вектор на правата линия. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма реално число t, за което равенството ( ). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнината не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.

Отговор:

Не, правите не са успоредни.

Пример.

Линии и паралели ли са?

Решение.

Привеждаме каноничното уравнение на права линия към уравнението на права линия с наклон: . Очевидно уравненията на линиите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и наклоните на линиите са равни, следователно оригиналните линии са успоредни.

Второто решение.

Първо, нека покажем, че оригиналните линии не съвпадат: вземете която и да е точка от линията, например (0, 1) , координатите на тази точка не отговарят на уравнението на линията, следователно линиите не съвпадат. Сега нека проверим изпълнението на условието за успоредност на тези прави. Нормалният вектор на правата е векторът , а векторът на посоката на правата е векторът . Нека изчислим и: . Следователно векторите и са перпендикулярни, което означава, че е изпълнено необходимото и достатъчно условие за успоредност на дадените прави. Така че правите са успоредни.

Отговор:

Дадените прави са успоредни.

За да се докаже паралелността на прави в правоъгълна координатна система в тримерно пространство, се използва следното необходимо и достатъчно условие.

Теорема.

За да бъдат несъвпадащите прави успоредни в тримерното пространство, е необходимо и достатъчно техните насочващи вектори да са колинеарни.

По този начин, ако уравненията на линиите в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство са известни и трябва да отговорите на въпроса дали тези линии са успоредни или не, тогава трябва да намерите координатите на векторите на посоката на тези линии и да проверите изпълнението на условието за колинеарност на насочващите вектори. С други думи, ако И - насочващи вектори на прави линии дадени линии имат координати и . защото , Че . Така е изпълнено необходимото и достатъчно условие две прави да са успоредни в пространството. Това доказва успоредността на правите И .

Библиография.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 клас: учебник за образователни институции.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас на учебните заведения.
• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

клас: 2

Целта на урока:

• формират концепцията за успоредност на 2 прави, разглеждат първия признак на успоредни прави;
• развиват способността да прилагат знака при решаване на проблеми.

Задачи:

1. Образователни: повторение и консолидиране на изучения материал, формиране на концепцията за успоредност на 2 линии, доказателство за 1-ви знак за успоредност на 2 линии.
2. Образователни: да се култивира способността за точно водене на бележки в тетрадка и спазване на правилата за конструиране на чертежи.
3. Задачи за развитие: развитие на логическо мислене, памет, внимание.

Оборудване на урока:

• мултимедиен проектор;
• екран, презентации;
• инструменти за рисуване.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Поздрави, проверка на готовността за урока.

II. Подготовка за активно UPD.

Етап 1.

В първия урок по геометрия разгледахме взаимното разположение на 2 прави в равнината.

Въпрос.Колко общи точки могат да имат две прави?
Отговор.Две линии могат или да имат една обща точка, или да нямат повече от една обща точка.

Въпрос.Как ще се разположат двете прави една спрямо друга, ако имат една обща точка?
Отговор.Ако линиите имат една обща точка, тогава те се пресичат

Въпрос.Как са разположени една спрямо друга двете прави, ако нямат общи точки?
Отговор.В този случай линиите не се пресичат.

Етап 2.

В последния урок ви беше дадена задача да направите презентация, в която се срещаме с непресичащи се линии в нашия живот и в природата. Сега ще разгледаме тези презентации и ще изберем най-добрите от тях. (Журито включваше ученици, които поради ниска интелигентност се затрудняват да създават собствени презентации.)

Разглеждане на презентации на учениците: „Паралелност на линиите в природата и живота” и избор на най-добрата от тях.

III. Активен UPD (обяснение на нов материал).

Етап 1.

Снимка 1

Определение.Две прави в една равнина, които не се пресичат, се наричат ​​успоредни.

Тази таблица показва различни случаи на подреждане на 2 успоредни прави в равнина.

Помислете кои сегменти ще бъдат успоредни.

Фигура 2

1) Ако правата a е успоредна на b, то отсечките AB и CD също са успоредни.

2) Отсечка може да бъде успоредна на права линия. Така отсечката MN е успоредна на правата a.

Фигура 3

3) Отсечката AB е успоредна на лъча h. Лъч h ​​е успореден на лъч k.

4) Ако правата a е перпендикулярна на правата c, а правата b е перпендикулярна на правата c, тогава правите a и b са успоредни.

Етап 2.

Ъгли, образувани от две успоредни прави и напречна.

Фигура 4

Две успоредни прави пресичат трета права в две точки. В този случай се образуват осем ъгъла, обозначени на фигурата с цифри.

Някои двойки от тези ъгли имат специални имена (вижте фигура 4).

Съществува три знака, успоредност на две линиисвързани с тези ъгли. В този урок ще разгледаме първи знак.

Етап 3.

Нека повторим материала, необходим за доказване на тази особеност.

Фигура 5

Въпрос.Какви са имената на ъглите, показани на фигура 5?
Отговор.Ъгли AOC и COB се наричат ​​съседни.

Въпрос.Какви ъгли се наричат ​​съседни? Дайте определение.
Отговор.Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите два са продължение един на друг.

Въпрос.Какви са свойствата на съседните ъгли?
Отговор.Сумата на съседните ъгли е 180 градуса.
AOC + COB = 180°

Въпрос.Как се наричат ​​ъгли 1 и 2?
Отговор.Ъгли 1 и 2 се наричат ​​вертикални.

Въпрос.Какви са свойствата на вертикалните ъгли?
Отговор.Вертикалните ъгли са равни един на друг.

Етап 4.

Доказателство за първия признак на паралелизъм.

Теорема.Ако при пресичането на две прави с напречна ъглите са равни, то линиите са успоредни.

Фигура 6

дадени: a и b са прави
AB - секанс
1 = 2
Докажи:а//б.

1-ви случай.

Фигура 7

Ако 1 и 2 са прави, тогава a е перпендикулярна на AB, а b е перпендикулярна на AB, тогава a//b.

2-ри случай.

Фигура 8

Да разгледаме случая, когато 1 и 2 не са прави линии. Разделяме отсечката AB наполовина с точка O.

Въпрос.Каква ще бъде дължината на отсечките AO и OB?
Отговор.Отсечките AO и OB са еднакви по дължина.

1) От точка O прекарваме перпендикуляр на правата a, OH е перпендикулярна на a.

Въпрос.Какъв ще бъде ъгъл 3?
Отговор.Ъгъл 3 ще бъде прав.

2) От точка А на правата линия b отделяме сегмента AH 1 = BH с компас.

3) Нека начертаем отсечка OH 1.

Въпрос.Какви триъгълници са се образували в резултат на доказателството?
Отговор.Триъгълник ONV и триъгълник OH 1 A.

Нека докажем, че са равни.

Въпрос.Какви ъгли са равни според хипотезата на теоремата?
Отговор.Ъгъл 1 е равен на ъгъл 2.

Въпрос.Кои страни са равни по конструкция.
Отговор. AO = OB и AN 1 = VN

Въпрос.На какво основание триъгълниците са еднакви?
Отговор.Триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях (първият признак за равенство на триъгълниците).

Въпрос.Какво свойство имат еднаквите триъгълници?
Отговор.Еднаквите триъгълници имат равни ъгли срещу равни страни.

Въпрос.Какви ъгли ще бъдат равни?
Отговор. 5 = 6, 3 = 4.

Въпрос.Как се наричат ​​5 и 6?
Отговор.Тези ъгли се наричат ​​вертикални.

От това следва, че точките: H 1 , O, H лежат на една права линия.
защото 3 е права и 3 = 4, тогава 4 е права.

Въпрос.Как се намират правите a и b спрямо правата HH 1, ако ъглите 3 и 4 са прави?
Отговор.Правите a и b са перпендикулярни на HH 1 .

Въпрос.Какво можем да кажем за два перпендикуляра на една права?
Отговор.Два перпендикуляра на една права са успоредни.

Така че a//b. Теоремата е доказана.

Сега ще повторя всички доказателства от началото, а вие ще ме слушате внимателно и ще се опитате да разберете всичко, за да запомните.

IV. Консолидиране на нов материал.

Работа в групи с различно ниво на интелигентност, последвана от проверка на екрана и на дъската. На дъската работят 3 ученика (по един от всяка група).

№1 (за ученици с намалено ниво на интелектуално развитие).

дадени: a и b са прави
c - секанс
1 = 37°
7 = 143°
Докажи:а//б.

Решение.

7 = 6 (вертикално) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (съседни) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 °, и те лежат на кръст a//b 5 \u003d 48 °, 3 и 5 са ​​кръстосани ъгли, те са равни на a//b.

Фигура 11

V. Обобщение на урока.

Резултатът от урока се извършва с помощта на фигури 1-8.

Оценява се активността на учениците в урока (всеки ученик получава подходяща емотиконка).

Домашна работа:преподавам – с. 52-53; решение № 186 (b, c).

Паралелизмът е много полезно свойство в геометрията. В реалния живот успоредните страни ви позволяват да създавате красиви, симетрични неща, които са приятни за всяко око, така че геометрията винаги е имала нужда от начини да провери този паралелизъм. Ще говорим за признаците на успоредни прави в тази статия.

Определение за паралелизъм

Нека отделим определенията, които трябва да знаете, за да докажете признаците на успоредност на две прави.

Правите се наричат ​​успоредни, ако нямат пресечни точки. В допълнение, в решенията успоредните прави обикновено вървят заедно със секуща.

Секущата е права, която пресича двете успоредни прави. В този случай лежащи, съответни и едностранни ъгли се образуват напречно. Двойките ъгли 1 и 4 ще лежат напречно; 2 и 3; 8 и 6; 7 и 5. Съответстващи ще бъдат 7 и 2; 1 и 6; 8 и 4; 3 и 5.

Едностранни 1 и 2; 7 и 6; 8 и 5; 3 и 4.

При правилно форматиране се изписва: „Напречни ъгли с две успоредни прави a и b и секуща c“, тъй като за две успоредни прави може да има безкраен брой секущи, така че трябва да посочите кой секущ имате предвид.

Освен това за доказателството се нуждаем от теоремата за външния ъгъл на триъгълник, която гласи, че външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два ъгъла на триъгълник, които не са съседни на него.

знаци

Всички признаци на успоредни прави са свързани със знанието за свойствата на ъглите и теоремата за външния ъгъл на триъгълник.

Характеристика 1

Две прави са успоредни, ако пресичащите се ъгли са равни.

Да разгледаме две прави a и b със секуща c. Напречните ъгли 1 и 4 са равни. Да приемем, че правите не са успоредни. Това означава, че правите се пресичат и трябва да има пресечна точка M. Тогава се образува триъгълник AVM с външен ъгъл 1. Външният ъгъл трябва да е равен на сбора от ъгли 4 и AVM като несъседен на него според теоремата за външния ъгъл в триъгълник. Но тогава се оказва, че ъгъл 1 е по-голям от ъгъл 4, а това противоречи на условието на задачата, което означава, че точка М не съществува, правите не се пресичат, тоест те са успоредни.

Ориз. 1. Чертеж за доказателство.

Функция 2

Две прави са успоредни, ако съответните секущи са равни.

Да разгледаме две прави a и b със секуща c. Съответните ъгли 7 и 2 са равни. Нека обърнем внимание на ъгъл 3. Той е вертикален за ъгъл 7. Следователно ъгли 7 и 3 са равни. Така че ъгли 3 и 2 също са равни, тъй като<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Ориз. 2. Чертеж за доказателство.

Характеристика 3

Две прави са успоредни, ако сборът от едностранните ъгли е 180 градуса.

Ориз. 3. Чертеж за доказателство.

Да разгледаме две прави a и b със секуща c. Сумата от едностранните ъгли 1 и 2 е 180 градуса. Нека обърнем внимание на ъглите 1 и 7. Те са съседни. Това е:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Извадете втория от първия израз:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Какво научихме?

Анализирахме подробно какви ъгли се получават при срязване на успоредни прави с трета линия, идентифицирахме и описахме подробно доказателството за три признака на паралелност на линиите.

Тематическа викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.1. Общо получени оценки: 220.

1. Първият признак на паралелизъм.

Ако при пресичането на две прави с трета вътрешните ъгли, разположени напречно, са равни, то тези прави са успоредни.

Нека правите AB и CD се пресичат от права EF и ∠1 = ∠2. Да вземем точката O - средата на сегмента KL на секущата EF (фиг.).

Нека пуснем перпендикуляра OM от точката O на правата AB и го продължим, докато се пресече с правата CD, AB ⊥ MN. Нека докажем, че CD ⊥ MN също.

За да направите това, помислете за два триъгълника: MOE и NOK. Тези триъгълници са равни един на друг. Действително: ∠1 = ∠2 по хипотезата на теоремата; OK = OL - по конструкция;

∠MOL = ∠NOK като вертикални ъгли. Така страната и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник; следователно ΔMOL = ΔNOK и следователно ∠LMO = ∠KNO,
но ∠LMO е директно, следователно ∠KNO също е директно. Така правите AB и CD са перпендикулярни на една и съща права MN, следователно са успоредни, което трябваше да се докаже.

Забележка. Пресечната точка на правите MO и CD може да се установи чрез завъртане на триъгълника MOL около точка O на 180°.

2. Вторият знак за паралелизъм.

Да видим дали правите AB и CD са успоредни, ако при пресичането на третата им права EF съответните ъгли са равни.

Нека някои съответни ъгли са равни, например ∠ 3 = ∠2 (фиг.);

∠3 = ∠1 като вертикални ъгли; така че ∠2 ще бъде равно на ∠1. Но ъгли 2 и 1 са вътрешни напречни ъгли и ние вече знаем, че ако при пресичането на две прави с трета вътрешните напречни ъгли са равни, тогава тези прави са успоредни. Следователно AB || CD.

Ако при пресичането на две прави от третата съответните ъгли са равни, то тези две прави са успоредни.

На това свойство се основава изграждането на успоредни прави с помощта на линийка и чертожен триъгълник. Това става по следния начин.

Нека прикрепим триъгълник към линийката, както е показано на фиг. Ще преместим триъгълника така, че едната му страна да се плъзга по линийката, и ще начертаем няколко прави линии по всяка друга страна на триъгълника. Тези линии ще бъдат успоредни.

3. Третият знак за паралелизъм.

Да знаем, че при пресичането на две прави AB и CD с третата права сумата от всички вътрешни едностранни ъгли е равна на 2 д(или 180°). Дали в този случай правите AB и CD ще бъдат успоредни (фиг.).

Нека ∠1 и ∠2 са едностранни вътрешни ъгли и сборът им е 2 д.

Но ∠3 + ∠2 = 2 дкато съседни ъгли. Следователно ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Следователно ∠1 = ∠3 и тези вътрешни ъгли са напречни. Следователно AB || CD.

Ако при пресичането на две прави с трета сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 d (или 180°), тогава двете прави са успоредни.

Признаци на успоредни прави:

1. Ако при пресичането на две прави линии с трета вътрешните кръстосани ъгли са равни, тогава тези линии са успоредни.

2. Ако при пресичането на две прави от третата, съответните ъгли са равни, то тези две прави са успоредни.

3. Ако в пресечната точка на две линии на третата сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °, тогава тези две линии са успоредни.

4. Ако две прави са успоредни на третата права, то те са успоредни една на друга.

5. Ако две прави са перпендикулярни на третата права, то те са успоредни една на друга.

Аксиомата на Евклид за паралелизма

Задача. През точка M, взета извън правата AB, начертайте права, успоредна на правата AB.

Използвайки доказаните теореми за признаците на успоредност на прави, този проблем може да бъде решен по различни начини,

Решение. 1-ви s o s o b (фиг. 199).

Начертаваме MN⊥AB и през точката M прокарваме CD⊥MN;

получаваме CD⊥MN и AB⊥MN.

Въз основа на теоремата („Ако две прави са перпендикулярни на една и съща права, то те са успоредни.“) заключаваме, че СD || AB.

2-ри s p o s o b (фиг. 200).

Начертаваме MK, пресичаща AB под произволен ъгъл α, и през точката M прекарваме права EF, образуваща ъгъл EMK с права MK, равен на ъгъла α. Въз основа на теоремата () заключаваме, че EF || AB.

След като решихме тази задача, можем да считаме за доказано, че през всяка точка M, взета извън правата AB, е възможно да се начертае права, успоредна на нея. Възниква въпросът колко прави, успоредни на дадена права и минаващи през дадена точка, могат да съществуват?

Практиката на конструкциите ни позволява да приемем, че има само една такава линия, тъй като с внимателно изпълнен чертеж линиите, начертани по различни начини през една и съща точка, успоредна на една и съща линия, се сливат.

На теория отговорът на този въпрос се дава от така наречената аксиома на паралелизма на Евклид; тя е формулирана така:

През точка, взета извън дадена права, може да се начертае само една права, успоредна на тази права.

На чертеж 201 през точка O е прекарана права линия SK, успоредна на правата AB.

Всяка друга права, минаваща през точка O, вече няма да бъде успоредна на правата AB, а ще я пресича.

Аксиомата, възприета от Евклид в неговите Елементи, която гласи, че на равнина през точка, взета извън дадена права, може да се начертае само една права, успоредна на тази права, се нарича Аксиомата на Евклид за паралелизма.

Повече от две хиляди години след Евклид много математици се опитваха да докажат това математическо твърдение, но опитите им винаги бяха неуспешни. Едва през 1826 г. големият руски учен, професорът от Казанския университет Николай Иванович Лобачевски доказва, че с помощта на всички други аксиоми на Евклид това математическо твърдение не може да бъде доказано, че наистина трябва да се приеме като аксиома. Н. И. Лобачевски създава нова геометрия, която, за разлика от геометрията на Евклид, се нарича геометрия на Лобачевски.