আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা: মৌলিক ধারণা এবং উদাহরণ সমন্বয় সমতলের সাথে কাজ করা

সমতলে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দুটি পারস্পরিক লম্ব রেখা দ্বারা দেওয়া হয়। সরল রেখাগুলিকে স্থানাঙ্ক অক্ষ (বা স্থানাঙ্ক অক্ষ) বলা হয়। এই রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটিকে উৎপত্তি বলা হয় এবং O অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

সাধারণত একটি রেখা অনুভূমিক, অন্যটি উল্লম্ব। অনুভূমিক রেখাটিকে x (বা অক্স) অক্ষ হিসাবে মনোনীত করা হয় এবং একে অ্যাবসিসা অক্ষ বলা হয়, উল্লম্বটি y (ওয়) অক্ষ, যাকে অর্ডিনেট অক্ষ বলা হয়। সমগ্র স্থানাঙ্ক সিস্টেম xOy দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

O বিন্দু প্রতিটি অক্ষকে দুটি সেমিএক্সে বিভক্ত করে, যার একটিকে ধনাত্মক (এটি একটি তীর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়), অন্যটিকে ঋণাত্মক বলে মনে করা হয়।

সমতলের প্রতিটি বিন্দু F-কে এক জোড়া সংখ্যা (x;y) বরাদ্দ করা হয়েছে — এর স্থানাঙ্ক।

এক্স-অর্ডিনেটকে অ্যাবসিসা বলা হয়। এটি উপযুক্ত চিহ্ন সহ নেওয়া ষাঁড়ের সমান।

y স্থানাঙ্ককে অর্ডিনেট বলা হয় এবং এটি বিন্দু F থেকে Oy অক্ষের দূরত্বের সমান (সংশ্লিষ্ট চিহ্ন সহ)।

অক্ষের দূরত্ব সাধারণত (কিন্তু সবসময় নয়) দৈর্ঘ্যের একই এককে পরিমাপ করা হয়।

y-অক্ষের ডানদিকের বিন্দুতে ধনাত্মক আবসিসাস আছে। y-অক্ষের বাম দিকে থাকা বিন্দুগুলির জন্য, অ্যাবসিসাসগুলি ঋণাত্মক। Oy-অক্ষে থাকা যেকোনো বিন্দুর জন্য, এর x-স্থানাঙ্ক শূন্যের সমান।

ধনাত্মক অর্ডিনেট সহ বিন্দুগুলি x-অক্ষের উপরে থাকে, যেগুলি নেতিবাচক অর্ডিনেট সহ নীচে থাকে। যদি একটি বিন্দু x-অক্ষের উপর থাকে তবে এর y-স্থানাঙ্ক শূন্য।

স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সমতলকে চারটি অংশে বিভক্ত করে, যেগুলিকে স্থানাঙ্ক চতুর্থাংশ (বা স্থানাঙ্ক কোণ বা চতুর্ভুজ) বলে।

1 স্থানাঙ্ক চতুর্থাংশ xOy স্থানাঙ্ক সমতলের উপরের ডানদিকে অবস্থিত। I কোয়ার্টারে অবস্থিত পয়েন্টগুলির উভয় স্থানাঙ্ক ইতিবাচক।

এক চতুর্থাংশ থেকে অন্য ট্রানজিশন ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে সঞ্চালিত হয়।

২য় ত্রৈমাসিকউপরের বাম কোণে অবস্থিত। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকে শুয়ে থাকা পয়েন্টগুলির একটি নেতিবাচক অ্যাবসিসা এবং একটি ইতিবাচক অর্ডিনেট রয়েছে৷

৩য় ত্রৈমাসিক xOy সমতলের নীচের বাম চতুর্ভুজে অবস্থিত। III স্থানাঙ্ক কোণের অন্তর্গত বিন্দুগুলির উভয় স্থানাঙ্কই ঋণাত্মক।

চতুর্থ স্থানাঙ্কস্থানাঙ্ক সমতল নীচের ডান কোণ হয়. IV ত্রৈমাসিকের যেকোন বিন্দুতে একটি ইতিবাচক প্রথম স্থানাঙ্ক এবং একটি নেতিবাচক দ্বিতীয়টি রয়েছে।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে পয়েন্টগুলির অবস্থানের একটি উদাহরণ:

গণিত একটি বরং জটিল বিজ্ঞান। এটি অধ্যয়ন করে, একজনকে কেবল উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান করতে হবে না, তবে বিভিন্ন পরিসংখ্যান এবং এমনকি প্লেনগুলির সাথেও কাজ করতে হবে। গণিতে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত একটি হল সমতলে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা। এক বছরেরও বেশি সময় ধরে এটির সাথে কীভাবে সঠিকভাবে কাজ করতে হয় তা শিশুদের শেখানো হয়েছে। অতএব, এটি কী এবং কীভাবে এটির সাথে সঠিকভাবে কাজ করা যায় তা জানা গুরুত্বপূর্ণ।

আসুন এই সিস্টেমটি কী তা খুঁজে বের করি, আপনি এটির সাথে কী কী ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারেন এবং এর প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলিও খুঁজে বের করি।

ধারণার সংজ্ঞা

একটি স্থানাঙ্ক সমতল একটি সমতল যার উপর একটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক সিস্টেম সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের একটি সমতল একটি সমকোণে ছেদ করা দুটি সরল রেখা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটি স্থানাঙ্কের উত্স। স্থানাঙ্ক সমতলের প্রতিটি বিন্দুকে এক জোড়া সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়, যেগুলিকে স্থানাঙ্ক বলা হয়।

স্কুলের গণিত কোর্সে, শিক্ষার্থীদের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে বেশ ঘনিষ্ঠভাবে কাজ করতে হবে - এটিতে পরিসংখ্যান এবং বিন্দু তৈরি করতে হবে, এই বা সেই স্থানাঙ্কটি কোন সমতলে রয়েছে তা নির্ধারণ করতে হবে এবং বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে হবে এবং তাদের লিখতে বা নাম দিতে হবে। অতএব, আসুন স্থানাঙ্কগুলির সমস্ত বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে আরও বিস্তারিতভাবে কথা বলি। কিন্তু প্রথমে, আসুন সৃষ্টির ইতিহাসে স্পর্শ করা যাক, এবং তারপরে আমরা সমন্বয় সমতলে কীভাবে কাজ করব সে সম্পর্কে কথা বলব।

ইতিহাসের রেফারেন্স

একটি সমন্বয় ব্যবস্থা তৈরির ধারণা টলেমির সময়ে ছিল। তারপরও, জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা এবং গণিতবিদরা কীভাবে একটি সমতলে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণ করতে শিখবেন তা নিয়ে ভাবছিলেন। দুর্ভাগ্যবশত, সেই সময়ে আমাদের পরিচিত কোন সমন্বয় ব্যবস্থা ছিল না, এবং বিজ্ঞানীদের অন্যান্য সিস্টেম ব্যবহার করতে হয়েছিল।

প্রাথমিকভাবে, তারা অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশ নির্দিষ্ট করে পয়েন্ট সেট করে। একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য এটি এই বা সেই তথ্য ম্যাপিং সবচেয়ে ব্যবহৃত উপায় এক. কিন্তু 1637 সালে, রেনে দেকার্তস তার নিজস্ব সমন্বয় ব্যবস্থা তৈরি করেন, পরে "কার্টেসিয়ান" নামে নামকরণ করেন।

ইতিমধ্যে XVII শতাব্দীর শেষে। "সমন্বয় সমতল" ধারণাটি গণিতের জগতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছে। এই সিস্টেমটি তৈরির পর কয়েক শতাব্দী অতিক্রান্ত হওয়া সত্ত্বেও, এটি এখনও গণিত এবং এমনকি জীবনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

সমতল উদাহরণ সমন্বয়

তত্ত্ব সম্পর্কে কথা বলার আগে, আমরা স্থানাঙ্ক সমতলের কিছু দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ দেব যাতে আপনি এটি কল্পনা করতে পারেন। সমন্বয় ব্যবস্থা প্রাথমিকভাবে দাবা খেলায় ব্যবহৃত হয়। বোর্ডে, প্রতিটি বর্গক্ষেত্রের নিজস্ব স্থানাঙ্ক রয়েছে - একটি অক্ষর স্থানাঙ্ক, দ্বিতীয়টি - ডিজিটাল। এর সাহায্যে, আপনি বোর্ডে একটি নির্দিষ্ট অংশের অবস্থান নির্ধারণ করতে পারেন।

দ্বিতীয় সবচেয়ে আকর্ষণীয় উদাহরণ হল প্রিয় খেলা "ব্যাটলশিপ"। মনে রাখবেন কীভাবে, খেলার সময়, আপনি একটি স্থানাঙ্কের নাম দেন, উদাহরণস্বরূপ, B3, এইভাবে আপনি ঠিক কোথায় লক্ষ্য করছেন তা নির্দেশ করে। একই সময়ে, জাহাজ স্থাপন করার সময়, আপনি স্থানাঙ্ক সমতলে পয়েন্ট সেট করুন।

এই সমন্বয় ব্যবস্থাটি শুধুমাত্র গণিত, যুক্তিবিদ্যার খেলায় নয়, সামরিক বিষয়, জ্যোতির্বিদ্যা, পদার্থবিদ্যা এবং অন্যান্য অনেক বিজ্ঞানেও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

সমন্বয় অক্ষ

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, সমন্বয় ব্যবস্থায় দুটি অক্ষ আলাদা করা হয়। আসুন তাদের সম্পর্কে একটু কথা বলি, কারণ তাদের যথেষ্ট গুরুত্ব রয়েছে।

প্রথম অক্ষ - abscissa - অনুভূমিক। এটি হিসাবে চিহ্নিত করা হয় ( বলদ) দ্বিতীয় অক্ষটি হল অর্ডিনেট, যা রেফারেন্স পয়েন্টের মধ্য দিয়ে উল্লম্বভাবে যায় এবং হিসাবে চিহ্নিত করা হয় ( ওয়) এই দুটি অক্ষই সমতলকে চার ভাগে বিভক্ত করে সমন্বয় ব্যবস্থা গঠন করে। উৎপত্তি এই দুটি অক্ষের ছেদ বিন্দুতে অবস্থিত এবং মান গ্রহণ করে 0 . শুধুমাত্র যদি সমতল দুটি অক্ষ দ্বারা গঠিত হয় যা লম্বভাবে ছেদ করে এবং একটি রেফারেন্স বিন্দু থাকে তবে এটি একটি স্থানাঙ্ক সমতল।

এছাড়াও মনে রাখবেন যে প্রতিটি অক্ষের নিজস্ব দিক রয়েছে। সাধারণত, একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম তৈরি করার সময়, এটি একটি তীরের আকারে অক্ষের দিক নির্দেশ করার প্রথাগত। উপরন্তু, স্থানাঙ্ক সমতল নির্মাণ করার সময়, প্রতিটি অক্ষ স্বাক্ষরিত হয়।

কোয়ার্টার

এখন আসুন স্থানাঙ্ক সমতলের চতুর্থাংশ হিসাবে এই জাতীয় ধারণা সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ বলি। সমতল দুটি অক্ষ দ্বারা চার ভাগে বিভক্ত। তাদের প্রত্যেকের নিজস্ব নম্বর রয়েছে, যখন প্লেনের সংখ্যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে।

প্রতিটি কোয়ার্টারের নিজস্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে। সুতরাং, প্রথম ত্রৈমাসিকে, অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট ইতিবাচক, দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকে, অ্যাবসিসা নেতিবাচক, অর্ডিনেট ধনাত্মক, তৃতীয়টিতে, অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট উভয়ই নেতিবাচক, চতুর্থটিতে, অ্যাবসিসা হল ইতিবাচক, এবং অর্ডিনেট নেতিবাচক।

এই বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রাখার মাধ্যমে, আপনি সহজেই নির্ধারণ করতে পারেন কোন নির্দিষ্ট পয়েন্ট কোন প্রান্তের। উপরন্তু, এই তথ্যটি আপনার জন্য উপযোগী হতে পারে যদি আপনাকে কার্টেসিয়ান সিস্টেম ব্যবহার করে গণনা করতে হয়।

সমন্বয় সমতল সঙ্গে কাজ

যখন আমরা একটি প্লেনের ধারণাটি বের করেছি এবং এর কোয়ার্টার সম্পর্কে কথা বলেছি, তখন আমরা এই সিস্টেমের সাথে কাজ করার মতো একটি সমস্যায় যেতে পারি এবং এটিতে কীভাবে পয়েন্ট, স্থানাঙ্ক স্থাপন করতে হয় সে সম্পর্কেও কথা বলতে পারি। স্থানাঙ্ক সমতলে, এটি এতটা কঠিন নয় যতটা প্রথম নজরে মনে হতে পারে।

প্রথমত, সিস্টেমটি নিজেই নির্মিত, সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ উপাধি এটিতে প্রয়োগ করা হয়। তারপর পয়েন্ট বা পরিসংখ্যান সঙ্গে সরাসরি কাজ আছে. এই ক্ষেত্রে, এমনকি পরিসংখ্যান তৈরি করার সময়, বিন্দুগুলি প্রথমে সমতলে প্রয়োগ করা হয়, এবং তারপরে পরিসংখ্যানগুলি ইতিমধ্যেই আঁকা হয়।

একটি প্লেন নির্মাণের নিয়ম

আপনি যদি কাগজে আকার এবং বিন্দু চিহ্নিত করা শুরু করার সিদ্ধান্ত নেন, তাহলে আপনার একটি সমন্বয় সমতলের প্রয়োজন হবে। পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি এটিতে প্লট করা হয়েছে। একটি সমন্বয় সমতল নির্মাণ করার জন্য, আপনার শুধুমাত্র একটি শাসক এবং একটি কলম বা পেন্সিল প্রয়োজন। প্রথমে, অনুভূমিক আবসিসা টানা হয়, তারপর উল্লম্ব - অর্ডিনেট। এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে অক্ষগুলি সমকোণে ছেদ করে।

পরবর্তী বাধ্যতামূলক আইটেম চিহ্নিত করা হয়. ইউনিট-সেগমেন্টগুলি উভয় দিকের প্রতিটি অক্ষে চিহ্নিত এবং স্বাক্ষরিত। এটি করা হয় যাতে আপনি সর্বোচ্চ সুবিধার সাথে প্লেনের সাথে কাজ করতে পারেন।

একটি বিন্দু চিহ্নিত করা

এখন আসুন স্থানাঙ্ক সমতলে পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি কীভাবে প্লট করা যায় সে সম্পর্কে কথা বলি। সমতলে বিভিন্ন আকৃতি সফলভাবে স্থাপন করতে এবং এমনকি সমীকরণ চিহ্নিত করার জন্য আপনাকে এই মৌলিক বিষয়গুলি জানতে হবে।

পয়েন্টগুলি তৈরি করার সময়, একজনকে মনে রাখা উচিত যে কীভাবে তাদের স্থানাঙ্কগুলি সঠিকভাবে রেকর্ড করা হয়। সুতরাং, সাধারণত একটি বিন্দু নির্ধারণ করে, দুটি সংখ্যা বন্ধনীতে লেখা হয়। প্রথম অঙ্কটি আবসিসা অক্ষ বরাবর বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্দেশ করে, দ্বিতীয়টি - অর্ডিনেট অক্ষ বরাবর।

বিন্দুটি এইভাবে তৈরি করা উচিত। প্রথমে অক্ষে চিহ্নিত করুন বলদপ্রদত্ত বিন্দু, তারপর অক্ষের উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত করুন ওয়. এর পরে, এই উপাধিগুলি থেকে কাল্পনিক রেখাগুলি আঁকুন এবং তাদের ছেদটির স্থানটি সন্ধান করুন - এটি প্রদত্ত বিন্দু হবে।

আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল এটি চিহ্নিত করুন এবং স্বাক্ষর করুন৷ আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সবকিছু বেশ সহজ এবং বিশেষ দক্ষতার প্রয়োজন হয় না।

একটি আকৃতি স্থাপন

এখন আসুন স্থানাঙ্ক সমতলে পরিসংখ্যান নির্মাণের মতো একটি প্রশ্নের দিকে এগিয়ে যাই। স্থানাঙ্ক সমতলে যেকোন চিত্র তৈরি করার জন্য, এটিতে কীভাবে পয়েন্ট স্থাপন করতে হয় তা আপনার জানা উচিত। আপনি যদি এটি করতে জানেন তবে একটি প্লেনে একটি চিত্র স্থাপন করা এত কঠিন নয়।

প্রথমত, আপনার চিত্রের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কের প্রয়োজন হবে। এটি তাদের উপর যে আপনি আমাদের স্থানাঙ্ক সিস্টেমে যেগুলি বেছে নিয়েছেন আমরা তা প্রয়োগ করব। আসুন একটি আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ এবং বৃত্ত আঁকার কথা বিবেচনা করি।

এর একটি আয়তক্ষেত্র দিয়ে শুরু করা যাক. এটি প্রয়োগ করা বেশ সহজ। প্রথমে, চারটি বিন্দু সমতলে প্রয়োগ করা হয়, আয়তক্ষেত্রের কোণগুলি নির্দেশ করে। তারপরে সমস্ত পয়েন্ট ক্রমানুসারে একে অপরের সাথে সংযুক্ত থাকে।

একটি ত্রিভুজ আঁকা ভিন্ন নয়। একমাত্র জিনিস হল এটির তিনটি কোণ রয়েছে, যার অর্থ হল তিনটি বিন্দু সমতলে প্রয়োগ করা হয়েছে, এর শীর্ষবিন্দুগুলিকে নির্দেশ করে।

বৃত্ত সম্পর্কে, এখানে আপনার দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা উচিত। প্রথম বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, দ্বিতীয়টি বিন্দুটি তার ব্যাসার্ধ নির্দেশ করে। এই দুটি পয়েন্ট একটি সমতলে প্লট করা হয়. তারপর একটি কম্পাস নেওয়া হয়, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করা হয়। কম্পাসের বিন্দুটি কেন্দ্র নির্দেশ করে এমন একটি বিন্দুতে স্থাপন করা হয় এবং একটি বৃত্ত বর্ণনা করা হয়।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এখানে জটিল কিছু নেই, প্রধান জিনিসটি হ'ল সর্বদা একটি শাসক এবং একটি কম্পাস হাতে থাকে।

এখন আপনি জানেন কিভাবে আকৃতি স্থানাঙ্ক প্লট করতে হয়। স্থানাঙ্ক সমতলে, এটি করা এত কঠিন নয়, কারণ এটি প্রথম নজরে মনে হতে পারে।

উপসংহার

সুতরাং, আমরা আপনার সাথে গণিতের জন্য সবচেয়ে আকর্ষণীয় এবং মৌলিক ধারণাগুলির একটি বিবেচনা করেছি যা প্রতিটি শিক্ষার্থীকে মোকাবেলা করতে হবে।

আমরা খুঁজে পেয়েছি যে স্থানাঙ্ক সমতল হল দুটি অক্ষের ছেদ দ্বারা গঠিত সমতল। এর সাহায্যে, আপনি পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক সেট করতে পারেন, এটিতে আকার রাখতে পারেন। প্লেনটি কোয়ার্টারে বিভক্ত, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

স্থানাঙ্ক সমতলের সাথে কাজ করার সময় প্রধান দক্ষতা যা বিকাশ করা উচিত তা হল এটিতে প্রদত্ত পয়েন্টগুলি সঠিকভাবে প্লট করার ক্ষমতা। এটি করার জন্য, আপনাকে অক্ষগুলির সঠিক অবস্থান, কোয়ার্টারগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সেইসাথে পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি সেট করা নিয়মগুলি জানা উচিত।

আমরা আশা করি যে আমাদের দ্বারা প্রদত্ত তথ্যগুলি অ্যাক্সেসযোগ্য এবং বোধগম্য ছিল এবং আপনার জন্যও দরকারী ছিল এবং এই বিষয়টিকে আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করেছিল৷

• O বিন্দুতে ছেদকারী দুটি পারস্পরিক লম্ব স্থানাঙ্ক রেখা - উৎপত্তি, ফর্ম আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেমকার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমও বলা হয়।
• যে সমতলে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নেওয়া হয় তাকে বলা হয় সমতল তুল্য.স্থানাঙ্ক লাইন বলা হয় সমন্বয় অক্ষ. অনুভূমিক - আবসিসা অক্ষ (অক্স), উল্লম্ব - অর্ডিনেট অক্ষ (ওয়)।
• স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি স্থানাঙ্ক সমতলকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে - চতুর্থাংশ। কোয়ার্টারগুলির ক্রমিক সংখ্যাগুলি সাধারণত ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে গণনা করা হয়।
• স্থানাঙ্ক সমতলের যেকোনো বিন্দু তার স্থানাঙ্ক দ্বারা দেওয়া হয় - abscissa এবং ordinate. এই ক্ষেত্রে, A(3; 4). তারা পড়ে: স্থানাঙ্ক 3 এবং 4 সহ বিন্দু A। এখানে 3 হল অ্যাবসিসা, 4 হল অর্ডিনেট।

I. বিন্দু A(3; 4) এর নির্মাণ।

অ্যাবসিসা 3 দেখায় যে মূল থেকে - বিন্দু O অবশ্যই ডানদিকে স্থগিত করা উচিত 3 একক সেগমেন্ট, এবং তারপর সরাইয়া সেট আপ 4 একক সেগমেন্ট এবং একটি বিন্দু রাখুন।

এই বিন্দু A(3; 4)।

বি বিন্দুর নির্মাণ (-2; 5)।

শূন্য থেকে বাম দিকে সেট করুন 2 একক কাটা এবং তারপর আপ 5 একক কাট

আমরা শেষ করা ভি.

সাধারণত একটি একক সেগমেন্ট হিসাবে নেওয়া হয় 1 সেল.

২. xOy স্থানাঙ্ক সমতলে বিন্দু তৈরি করুন:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. নির্মিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন: A, B, C, D, F, K।

A(-4; 3);20 সালে);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2)।

একটি সাধারণ উৎপত্তি (উৎপত্তি) এবং দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ একক সহ একে অপরের সাথে লম্বভাবে দুটি বা তিনটি ছেদকারী অক্ষের একটি আদেশকৃত সিস্টেমকে বলা হয় আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম .

সাধারণ কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা (affine সমন্বয় সিস্টেম) অগত্যা লম্ব অক্ষ অন্তর্ভুক্ত করতে পারে। ফরাসি গণিতবিদ রেনে দেকার্তের (1596-1662) সম্মানে, এমন একটি সমন্বয় ব্যবস্থার নামকরণ করা হয়েছে যেখানে দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ একক সমস্ত অক্ষের উপর গণনা করা হয় এবং অক্ষগুলি সোজা।

সমতলে আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা দুটি অক্ষ আছে মহাকাশে আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা - তিনটি অক্ষ। সমতলে বা মহাকাশে প্রতিটি বিন্দু স্থানাঙ্কের একটি অর্ডারকৃত সেট দ্বারা নির্ধারিত হয় - স্থানাঙ্ক সিস্টেমের একক দৈর্ঘ্য অনুসারে সংখ্যা।

উল্লেখ্য যে, সংজ্ঞা থেকে নিম্নরূপ, একটি সরল রেখায় একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা রয়েছে, অর্থাৎ এক মাত্রায়। একটি সরলরেখায় কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের প্রবর্তন হল এমন একটি উপায় যেখানে একটি সরলরেখার যেকোনো বিন্দুকে একটি সুনির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা, অর্থাৎ একটি স্থানাঙ্ক বরাদ্দ করা হয়।

স্থানাঙ্কের পদ্ধতি, যা রেনে দেকার্তের রচনায় উদ্ভূত হয়েছিল, সমস্ত গণিতের একটি বৈপ্লবিক পুনর্গঠন চিহ্নিত করেছিল। জ্যামিতিক চিত্র (গ্রাফ) আকারে বীজগণিতীয় সমীকরণ (বা অসমতা) ব্যাখ্যা করা সম্ভব হয়েছে এবং বিপরীতভাবে, বিশ্লেষণাত্মক সূত্র, সমীকরণের সিস্টেমগুলি ব্যবহার করে জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান অনুসন্ধান করা সম্ভব হয়েছে। হ্যাঁ, বৈষম্য z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyএবং 3 ইউনিট দ্বারা এই সমতল উপরে অবস্থিত.

কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের সাহায্যে, একটি নির্দিষ্ট বক্ররেখার সাথে একটি বিন্দুর সম্পৃক্ততা এই সত্যের সাথে মিলে যায় যে সংখ্যাগুলি এক্সএবং yকিছু সমীকরণ সন্তুষ্ট. সুতরাং, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( ক; খ) সমীকরণ সন্তুষ্ট (এক্স - ক)² + ( y - খ)² = আর² .

সমতলে আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা

একটি সমতলে দুটি লম্ব অক্ষ যার একটি সাধারণ উৎপত্তি এবং একই স্কেল ইউনিট ফর্ম প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেম . এই অক্ষগুলির একটিকে অক্ষ বলা হয় বলদ, বা x-অক্ষ , অন্যটি - অক্ষ ওয়, বা y-অক্ষ . এই অক্ষগুলিকে স্থানাঙ্ক অক্ষও বলা হয়। দ্বারা নির্দেশ করুন এমএক্সএবং এমyযথাক্রমে একটি নির্বিচারী পয়েন্টের অভিক্ষেপ এমএক্সেলের উপর বলদএবং ওয়. কিভাবে অভিক্ষেপ পেতে? বিন্দু মাধ্যমে পাস এম বলদ. এই রেখাটি অক্ষকে ছেদ করে বলদবিন্দুতে এমএক্স. বিন্দু মাধ্যমে পাস এমঅক্ষের লম্ব সরল রেখা ওয়. এই রেখাটি অক্ষকে ছেদ করে ওয়বিন্দুতে এমy. এটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

এক্সএবং yপয়েন্ট এমআমরা যথাক্রমে নির্দেশিত অংশগুলির মাত্রাকে কল করব ওমএক্সএবং ওমy. এই দিকনির্দেশক অংশগুলির মানগুলি যথাক্রমে হিসাবে গণনা করা হয় এক্স = এক্স0 - 0 এবং y = y0 - 0 . কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক এক্সএবং yপয়েন্ট এম abscissa এবং নির্দেশ . বিন্দু যে সত্য এমস্থানাঙ্ক আছে এক্সএবং y, নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়: এম(এক্স, y) .

স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সমতলকে চার ভাগে বিভক্ত করে চতুর্ভুজ , যার সংখ্যা নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। এটি পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলির জন্য চিহ্নগুলির বিন্যাসকেও নির্দেশ করে, এক বা অন্য চতুর্ভুজে তাদের অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

সমতলে কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের পাশাপাশি, মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকেও প্রায়শই বিবেচনা করা হয়। এক স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে অন্য স্থানান্তরের পদ্ধতি সম্পর্কে - পাঠে মেরু সমন্বয় সিস্টেম .

মহাকাশে আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা

মহাকাশে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি একটি সমতলে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের সাথে সম্পূর্ণ সাদৃশ্যে প্রবর্তিত হয়।

মহাকাশে তিনটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষ (সমন্বয় অক্ষ) একটি সাধারণ উত্স সহ ওএবং একই স্কেল ইউনিট ফর্ম মহাকাশে কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা .

এই অক্ষগুলির একটিকে অক্ষ বলা হয় বলদ, বা x-অক্ষ , অন্যটি - অক্ষ ওয়, বা y-অক্ষ , তৃতীয় - অক্ষ ওজ, বা অক্ষ প্রয়োগ করুন . দিন এমএক্স, এমy এমz- একটি নির্বিচারে পয়েন্টের অনুমান এমঅক্ষের উপর শূন্যস্থান বলদ , ওয়এবং ওজযথাক্রমে

বিন্দু দিয়ে পাস এম বলদবলদবিন্দুতে এমএক্স. বিন্দু মাধ্যমে পাস এমসমতল অক্ষের লম্ব ওয়. এই সমতল অক্ষকে ছেদ করে ওয়বিন্দুতে এমy. বিন্দু মাধ্যমে পাস এমসমতল অক্ষের লম্ব ওজ. এই সমতল অক্ষকে ছেদ করে ওজবিন্দুতে এমz.

কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক এক্স , yএবং zপয়েন্ট এমআমরা যথাক্রমে নির্দেশিত অংশগুলির মাত্রাকে কল করব ওমএক্স, ওমyএবং ওমz. এই দিকনির্দেশক অংশগুলির মানগুলি যথাক্রমে হিসাবে গণনা করা হয় এক্স = এক্স0 - 0 , y = y0 - 0 এবং z = z0 - 0 .

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক এক্স , yএবং zপয়েন্ট এমসেই অনুযায়ী নামকরণ করা হয় abscissa , নির্দেশ এবং applique .

জোড়ায় নেওয়া, স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি স্থানাঙ্ক সমতলগুলিতে অবস্থিত xOy , yOzএবং zOx .

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের পয়েন্ট সম্পর্কে সমস্যা

উদাহরণ 1

ক(2; -3) ;

খ(3; -1) ;

গ(-5; 1) .

x-অক্ষে এই বিন্দুগুলির অনুমানগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান। এই পাঠের তাত্ত্বিক অংশ থেকে নিম্নরূপ, x-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ x-অক্ষে অবস্থিত, অর্থাৎ, অক্ষে বলদ, এবং সেইজন্য বিন্দুর অ্যাবসিসার সমান একটি অ্যাবসিসা আছে এবং একটি অর্ডিনেট (অক্ষের উপর স্থানাঙ্ক ওয়, যা x-অক্ষ 0 বিন্দুতে ছেদ করে), শূন্যের সমান। সুতরাং আমরা x-অক্ষে এই বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

কx(2;0);

খx(3;0);

গx(-5;0).

উদাহরণ 2প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে পয়েন্ট দেওয়া হয়

ক(-3; 2) ;

খ(-5; 1) ;

গ(3; -2) .

y-অক্ষে এই বিন্দুগুলির অনুমানগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

সমাধান। এই পাঠের তাত্ত্বিক অংশ থেকে নিম্নরূপ, y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ y-অক্ষে অবস্থিত, অর্থাৎ, অক্ষ ওয়, এবং তাই বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান একটি অর্ডিনেট এবং একটি অ্যাবসিসা (অক্ষের স্থানাঙ্ক বলদ, যা y-অক্ষ 0 বিন্দুতে ছেদ করে), শূন্যের সমান। সুতরাং আমরা y-অক্ষে এই বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

কy(0; 2);

খy (0; 1);

গy(0;-2).

উদাহরণ 3প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে পয়েন্ট দেওয়া হয়

ক(2; 3) ;

খ(-3; 2) ;

গ(-1; -1) .

বলদ .

বলদ বলদ বলদ, প্রদত্ত বিন্দুর মতো একই অ্যাবসিসা থাকবে এবং প্রদত্ত বিন্দুর অর্ডিনেটের পরম মানের সমান এবং চিহ্নের বিপরীতে অর্ডিনেট হবে। সুতরাং আমরা অক্ষ সম্পর্কে এই বিন্দুগুলির সাথে প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই বলদ :

ক"(2; -3) ;

খ"(-3; -2) ;

গ"(-1; 1) .

কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের সমস্যাগুলি নিজেই সমাধান করুন এবং তারপরে সমাধানগুলি দেখুন

উদাহরণ 4কোন চতুর্ভুজ (চতুর্থাংশ, চতুর্ভুজ সহ চিত্র - "সমতলের আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম" অনুচ্ছেদের শেষে) বিন্দুটি অবস্থিত হতে পারে তা নির্ধারণ করুন এম(এক্স; y) , যদি

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) এক্স − y = 0 ;

4) এক্স + y = 0 ;

5) এক্স + y > 0 ;

6) এক্স + y < 0 ;

7) এক্স − y > 0 ;

8) এক্স − y < 0 .

উদাহরণ 5প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে পয়েন্ট দেওয়া হয়

ক(-2; 5) ;

খ(3; -5) ;

গ(ক; খ) .

অক্ষ সম্পর্কে এই বিন্দুগুলির প্রতিসম বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন ওয় .

আমরা একসাথে সমস্যার সমাধান করতে থাকি

উদাহরণ 6প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে পয়েন্ট দেওয়া হয়

ক(-1; 2) ;

খ(3; -1) ;

গ(-2; -2) .

অক্ষ সম্পর্কে এই বিন্দুগুলির প্রতিসম বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন ওয় .

সমাধান। অক্ষের চারপাশে 180 ডিগ্রি ঘোরান ওয়একটি অক্ষ থেকে নির্দেশিত রেখার অংশ ওয়এই বিন্দু পর্যন্ত. চিত্রে, যেখানে সমতলের চতুর্ভুজগুলি নির্দেশিত হয়েছে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে অক্ষের সাপেক্ষে প্রদত্ত একটির সাথে প্রতিসম বিন্দু। ওয়, প্রদত্ত বিন্দুর মতো একই অর্ডিনেট থাকবে এবং প্রদত্ত বিন্দুর অ্যাবসিসার পরম মানের সমান একটি অ্যাবসিসা এবং চিহ্নের বিপরীতে থাকবে৷ সুতরাং আমরা অক্ষ সম্পর্কে এই বিন্দুগুলির সাথে প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই ওয় :

ক"(1; 2) ;

খ"(-3; -1) ;

গ"(2; -2) .

উদাহরণ 7প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে পয়েন্ট দেওয়া হয়

ক(3; 3) ;

খ(2; -4) ;

গ(-2; 1) .

উৎপত্তির সাপেক্ষে এই বিন্দুগুলোর সাথে প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।

সমাধান। আমরা উৎপত্তি থেকে প্রদত্ত বিন্দুতে যাওয়ার নির্দেশিত অংশের উত্সের চারপাশে 180 ডিগ্রি ঘোরাই। চিত্রে, যেখানে সমতলের চতুর্ভুজগুলি নির্দেশ করা হয়েছে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে স্থানাঙ্কগুলির উত্সের ক্ষেত্রে একটি প্রদত্ত বিন্দুর সাথে প্রতিসাম্য একটি বিন্দু থাকবে এবং প্রদত্ত বিন্দুটির অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের পরম মানের সমান হবে , কিন্তু তাদের চিহ্নের বিপরীতে। সুতরাং আমরা উত্সের ক্ষেত্রে এই বিন্দুগুলির সাথে প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

ক"(-3; -3) ;

খ"(-2; 4) ;

গ(2; -1) .

উদাহরণ 8

ক(4; 3; 5) ;

খ(-3; 2; 1) ;

গ(2; -3; 0) .

এই পয়েন্টগুলির অনুমানগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন:

1) একটি প্লেনে অক্সি ;

2) সমতলে Oxz ;

3) সমতলে অয়েজ ;

4) অবসিসা অক্ষের উপর;

5) y-অক্ষে;

6) অ্যাপ্লিক অক্ষের উপর।

1) একটি সমতলে একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ অক্সিএই সমতলেই অবস্থিত, এবং তাই প্রদত্ত বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের সমান একটি অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট এবং শূন্যের সমান একটি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। সুতরাং আমরা এই পয়েন্টগুলির অনুমানগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই৷ অক্সি :

কxy(4;3;0);

খxy (-3; 2; 0);

গxy(2;-3;0).

2) একটি সমতলে একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ Oxzএই সমতলেই অবস্থিত, এবং তাই প্রদত্ত বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং প্রয়োগের সমান একটি অ্যাবসিসা এবং অ্যাপ্লিকেট এবং শূন্যের সমান একটি অর্ডিনেট রয়েছে। সুতরাং আমরা এই পয়েন্টগুলির অনুমানগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই৷ Oxz :

কxz (4; 0; 5);

খxz (-3; 0; 1);

গxz(2;0;0).

3) একটি সমতলে একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ অয়েজএই সমতলেই অবস্থিত, এবং তাই একটি প্রদত্ত বিন্দুর অর্ডিনেট এবং প্রয়োগের সমান একটি অর্ডিনেট এবং একটি অ্যাপ্লিকেট এবং শূন্যের সমান একটি অ্যাবসিসা রয়েছে৷ সুতরাং আমরা এই পয়েন্টগুলির অনুমানগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই৷ অয়েজ :

কyz (0; 3; 5);

খyz (0; 2; 1);

গyz(0;-3;0).

4) এই পাঠের তাত্ত্বিক অংশ থেকে নিম্নরূপ, x-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ x-অক্ষে অবস্থিত, অর্থাৎ, অক্ষে বলদ, এবং তাই বিন্দুর অ্যাবসিসার সমান একটি অ্যাবসিসা রয়েছে এবং অভিক্ষেপের অর্ডিনেট এবং অ্যাপ্লিকেট শূন্যের সমান (যেহেতু অর্ডিনেট এবং অ্যাপ্লিকেট অক্ষগুলি 0 বিন্দুতে অ্যাবসিসাকে ছেদ করে)। আমরা x-অক্ষে এই বিন্দুগুলির অনুমানগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

কx(4;0;0);

খx(-3;0;0);

গx(2;0;0).

5) y-অক্ষের একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ y-অক্ষের উপরেই অবস্থিত, অর্থাৎ, অক্ষে ওয়, এবং তাই বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান একটি অর্ডিনেট রয়েছে এবং অভিক্ষেপের অ্যাবসিসা এবং অ্যাপ্লিকেট শূন্যের সমান (যেহেতু অ্যাবসিসা এবং অ্যাপ্লিকেট অক্ষগুলি 0 বিন্দুতে অর্ডিনেট অক্ষকে ছেদ করে)। আমরা y-অক্ষে এই বিন্দুগুলির অনুমানগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

কy(0;3;0);

খy(0;2;0);

গy(0;-3;0).

6) অ্যাপ্লিকেট অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ অ্যাপ্লিকেশন অক্ষের উপরেই অবস্থিত, অর্থাৎ অক্ষে ওজ, এবং তাই বিন্দুর প্রয়োগের সমান একটি applicate আছে এবং অভিক্ষেপের abscissa এবং ordinate শূন্যের সমান (যেহেতু abscissa এবং ordinate অক্ষগুলি 0 বিন্দুতে applicate অক্ষকে ছেদ করে)। আমরা অ্যাপ্লিকেশন অক্ষে এই বিন্দুগুলির অনুমানগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

কz(0; 0; 5);

খz(0;0;1);

গz(0; 0; 0).

উদাহরণ 9মহাকাশে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পয়েন্ট দেওয়া হয়

ক(2; 3; 1) ;

খ(5; -3; 2) ;

গ(-3; 2; -1) .

বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন যা এই বিন্দুগুলির সাথে প্রতিসাম্যপূর্ণ:

1) সমতল অক্সি ;

2) সমতল Oxz ;

3) সমতল অয়েজ ;

4) অ্যাবসিসা অক্ষ;

5) y-অক্ষ;

6) অ্যাপ্লিক অক্ষ;

7) স্থানাঙ্কের উৎপত্তি।

1) অক্ষের অপর পাশে বিন্দুটিকে "আগ্রিম" করুন অক্সি অক্সি, প্রদত্ত বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের সমান একটি অ্যাবসিসা এবং একটি অর্ডিনেট থাকবে এবং প্রদত্ত বিন্দুর প্রয়োগের মাত্রার সমান একটি অ্যাপ্লিকেশান থাকবে, তবে চিহ্নের বিপরীতে। সুতরাং, আমরা সমতলের সাপেক্ষে ডেটার প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই অক্সি :

ক"(2; 3; -1) ;

খ"(5; -3; -2) ;

গ"(-3; 2; 1) .

2) অক্ষের অপর পাশে বিন্দুটিকে "আগ্রিম" করুন Oxzএকই দূরত্বের জন্য। স্থানাঙ্ক স্থান প্রদর্শন করা চিত্র অনুসারে, আমরা দেখতে পাই যে অক্ষের সাপেক্ষে প্রদত্ত বিন্দুটি প্রতিসম Oxz, প্রদত্ত বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং প্রয়োগের সমান একটি অ্যাবসিসা এবং অ্যাপ্লিকেট থাকবে এবং প্রদত্ত বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান মাত্রায় একটি অর্ডিনেট থাকবে, কিন্তু চিহ্নের বিপরীতে। সুতরাং, আমরা সমতলের সাপেক্ষে ডেটার প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই Oxz :

ক"(2; -3; 1) ;

খ"(5; 3; 2) ;

গ"(-3; -2; -1) .

3) অক্ষের অপর পাশে বিন্দুটিকে "আগ্রিম" করুন অয়েজএকই দূরত্বের জন্য। স্থানাঙ্ক স্থান প্রদর্শন করা চিত্র অনুসারে, আমরা দেখতে পাই যে অক্ষের সাপেক্ষে প্রদত্ত বিন্দুটি প্রতিসম অয়েজ, প্রদত্ত বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান একটি অর্ডিনেট এবং একটি প্রয়োগ এবং প্রদত্ত বিন্দুর প্রযোজ্য, এবং প্রদত্ত বিন্দুর অ্যাবসিসা-এর সমান পরিমাণে একটি অ্যাবসিসা, কিন্তু চিহ্নের বিপরীতে থাকবে৷ সুতরাং, আমরা সমতলের সাপেক্ষে ডেটার প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই অয়েজ :

ক"(-2; 3; 1) ;

খ"(-5; -3; 2) ;

গ"(3; 2; -1) .

সমতলে প্রতিসাম্য বিন্দুর সাথে সাদৃশ্য এবং মহাকাশের বিন্দু সমতলের ক্ষেত্রে ডেটার প্রতিসাম্যের সাথে, আমরা লক্ষ্য করি যে মহাকাশে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার কিছু অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে, অক্ষের স্থানাঙ্ক যার উপর প্রতিসাম্য সেট করা হয়েছে এর চিহ্ন ধরে রাখবে, এবং অন্য দুটি অক্ষের স্থানাঙ্কগুলি প্রদত্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কের মতো পরম মান একই হবে, কিন্তু চিহ্নের বিপরীতে।

4) abscissa তার চিহ্ন ধরে রাখবে, যখন ordinate এবং applicate চিহ্ন পরিবর্তন করবে। সুতরাং, আমরা x-অক্ষ সম্পর্কে ডেটার সাথে প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

ক"(2; -3; -1) ;

খ"(5; 3; -2) ;

গ"(-3; -2; 1) .

5) অর্ডিনেট তার চিহ্নটি ধরে রাখবে, যখন abscissa এবং applicate চিহ্নগুলি পরিবর্তন করবে। সুতরাং, আমরা y-অক্ষ সম্পর্কে ডেটার সাথে প্রতিসম বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

ক"(-2; 3; -1) ;

খ"(-5; -3; -2) ;

গ"(3; 2; 1) .

6) আবেদনকারী তার চিহ্ন ধরে রাখবে, এবং abscissa এবং ordinate চিহ্ন পরিবর্তন করবে। সুতরাং, আমরা প্রযোজ্য অক্ষ সম্পর্কে ডেটার সাথে প্রতিসম পয়েন্টগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই:

ক"(-2; -3; 1) ;

খ"(-5; 3; 2) ;

গ"(3; -2; -1) .

7) সমতলে বিন্দুর ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, স্থানাঙ্কের উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে, একটি প্রদত্ত বিন্দুর প্রতিসমতার সমস্ত স্থানাঙ্ক একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর স্থানাঙ্কের পরম মান সমান হবে, কিন্তু তাদের সাইন ইন বিপরীত. সুতরাং, আমরা বিন্দুগুলির নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই যা উত্সের ক্ষেত্রে ডেটার সাথে প্রতিসম।

দেওয়া যাক দুটি চলক F(x; y) সহ সমীকরণ. আপনি ইতিমধ্যে শিখেছেন কিভাবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করতে হয়। এই ধরনের সমীকরণের সমাধানের সেটকেও গ্রাফ আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

F(x; y) সমীকরণের গ্রাফ হল স্থানাঙ্ক সমতল xOy এর বিন্দুগুলির সেট যার স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

একটি দ্বি-পরিবর্তনশীল সমীকরণ প্লট করতে, প্রথমে y চলকটিকে সমীকরণের x চলকের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করুন।

নিশ্চয়ই আপনি ইতিমধ্যেই জানেন কিভাবে দুটি ভেরিয়েবলের সাথে সমীকরণের বিভিন্ন গ্রাফ তৈরি করতে হয়: ax + b \u003d c একটি সরল রেখা, yx \u003d k একটি হাইপারবোলা, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 হল একটি বৃত্ত যার ব্যাসার্ধ হল R, এবং কেন্দ্রটি O(a; b) বিন্দুতে।

উদাহরণ 1

x 2 - 9y 2 = 0 সমীকরণটি প্লট করুন।

সমাধান।

আসুন সমীকরণের বাম দিকে ফ্যাক্টরাইজ করি।

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, অর্থাৎ y = x/3 বা y = -x/3।

উত্তর: চিত্র 1।

পরম মানের চিহ্ন সমন্বিত সমীকরণ দ্বারা সমতলে পরিসংখ্যানের বরাদ্দ দ্বারা একটি বিশেষ স্থান দখল করা হয়েছে, যা আমরা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব। |y| ফর্মের সমীকরণ প্লট করার পর্যায়গুলি বিবেচনা করুন৷ = f(x) এবং |y| = |f(x)|।

প্রথম সমীকরণটি সিস্টেমের সমতুল্য

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) বা y = -f(x)।

অর্থাৎ, এর গ্রাফটিতে দুটি ফাংশনের গ্রাফ রয়েছে: y = f(x) এবং y = -f(x), যেখানে f(x) ≥ 0।

দ্বিতীয় সমীকরণের গ্রাফ প্লট করার জন্য, দুটি ফাংশনের গ্রাফ প্লট করা হয়েছে: y = f(x) এবং y = -f(x)।

উদাহরণ 2

সমীকরণ প্লট করুন |y| = 2 + x।

সমাধান।

প্রদত্ত সমীকরণটি সিস্টেমের সমতুল্য

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 বা y = -x - 2।

আমরা পয়েন্ট একটি সেট নির্মাণ.

উত্তর: চিত্র 2।

উদাহরণ 3

সমীকরণ প্লট করুন |y – x| = 1।

সমাধান।

y ≥ x হলে, y = x + 1, যদি y ≤ x হয়, তাহলে y = x - 1।

উত্তর: চিত্র 3।

মডিউল চিহ্নের অধীনে একটি পরিবর্তনশীল সমীকরণের গ্রাফ তৈরি করার সময়, এটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক এবং যুক্তিযুক্ত এলাকা পদ্ধতি, স্থানাঙ্ক সমতলকে এমন অংশে বিভক্ত করার উপর ভিত্তি করে যেখানে প্রতিটি সাবমডিউল এক্সপ্রেশন তার চিহ্ন ধরে রাখে।

উদাহরণ 4

x + |x| সমীকরণটি প্লট করুন + y + |y| = 2।

সমাধান।

এই উদাহরণে, প্রতিটি সাবমডিউল এক্সপ্রেশনের চিহ্ন স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজের উপর নির্ভর করে।

1) প্রথম স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিকে x ≥ 0 এবং y ≥ 0। মডিউলটি প্রসারিত করার পরে, প্রদত্ত সমীকরণটি এরকম দেখাবে:

2x + 2y = 2, এবং সরলীকরণের পর x + y = 1।

2) দ্বিতীয় প্রান্তিকে, যেখানে x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) তৃতীয় প্রান্তিকে x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) চতুর্থ ত্রৈমাসিকে, x ≥ 0 এবং y এর জন্য< 0 получим, что x = 1.

আমরা এই সমীকরণটি কোয়ার্টারে প্লট করব।

উত্তর: চিত্র 4।

উদাহরণ 5

বিন্দুর একটি সেট আঁকুন যার স্থানাঙ্কগুলি সমতা পূরণ করে |x – 1| + |y – 1| = 1।

সমাধান।

সাবমডিউল এক্সপ্রেশনের শূন্য x = 1 এবং y = 1 স্থানাঙ্ক সমতলকে চারটি অঞ্চলে বিভক্ত করে। অঞ্চল অনুসারে মডিউলগুলি ভেঙে দেওয়া যাক। এর একটি টেবিল আকারে এটি করা যাক.

অঞ্চল	সাবমডিউল এক্সপ্রেশন সাইন	মডিউল প্রসারিত করার পরে ফলাফল সমীকরণ
আমি	x ≥ 1 এবং y ≥ 1	x + y = 3
২	এক্স< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	এক্স< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 এবং y< 1	x – y = 1

উত্তর: চিত্র 5।

স্থানাঙ্ক সমতলে, পরিসংখ্যান নির্দিষ্ট করা যেতে পারে এবং অসমতা.

বৈষম্য গ্রাফদুটি ভেরিয়েবল হল স্থানাঙ্ক সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট যার স্থানাঙ্কগুলি এই অসমতার সমাধান।

বিবেচনা দুটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি অসমতা সমাধানের জন্য একটি মডেল নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদম:

1. অসমতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমীকরণটি লেখ।
2. ধাপ 1 থেকে সমীকরণটি প্লট করুন।
3. অর্ধ-বিমানগুলির একটিতে একটি নির্বিচারী পয়েন্ট চয়ন করুন। নির্বাচিত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি প্রদত্ত অসমতাকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করুন।
4. বৈষম্যের সমস্ত সমাধানের সেট গ্রাফিকভাবে আঁকুন।

বিবেচনা করুন, প্রথমত, অসমতা ax + bx + c > 0। সমীকরণ ax + bx + c = 0 একটি সরল রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে যা সমতলকে দুটি অর্ধ-বিভাগে বিভক্ত করে। তাদের প্রত্যেকটিতে, ফাংশন f(x) = ax + bx + c সাইন-সংরক্ষণ করছে। এই চিহ্নটি নির্ধারণ করতে, অর্ধ-সমতলের সাথে সম্পর্কিত যে কোনও বিন্দু গ্রহণ করা এবং এই বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করা যথেষ্ট। যদি ফাংশনের চিহ্নটি অসমতার চিহ্নের সাথে মিলে যায়, তাহলে এই অর্ধ-সমতলটি অসমতার সমাধান হবে।

দুটি ভেরিয়েবলের সাথে সবচেয়ে সাধারণ অসমতার গ্রাফিকাল সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করুন।

1) ax + bx + c ≥ 0। চিত্র 6.

2) |x| ≤ a, a > 0। চিত্র 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0। চিত্র 8.

4) y ≥ x2। চিত্র 9

5) xy ≤ 1. চিত্র 10।

আপনার যদি প্রশ্ন থাকে বা গাণিতিক মডেলিং ব্যবহার করে মডেল প্লেনে দুই-পরিবর্তনশীল অসমতার সমস্ত সমাধানের সেট মডেলিং অনুশীলন করতে চান, আপনি করতে পারেন একটি অনলাইন টিউটরের সাথে বিনামূল্যে 25 মিনিটের পাঠপরে শিক্ষকের সাথে আরও কাজের জন্য, আপনার কাছে সবচেয়ে উপযুক্ত একটি বেছে নেওয়ার সুযোগ থাকবে।

আপনি কি কিছু জানতে চান? স্থানাঙ্ক সমতলে একটি চিত্র আঁকা কিভাবে জানেন না?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে -।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!

blog.site, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।