কিউবের যোগফল এবং পার্থক্য কীভাবে সমাধান করবেন। পার্থক্য ঘনক এবং ঘনক পার্থক্য: সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র প্রয়োগ করার নিয়ম। FSO এর প্রয়োগের উদাহরণ
সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র।
সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলি অধ্যয়ন করা: যোগফলের বর্গ এবং দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ; দুটি অভিব্যক্তির বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য; যোগফলের ঘনক এবং দুটি রাশির পার্থক্যের ঘনক; দুটি রাশির ঘনক্ষেত্রের যোগফল এবং পার্থক্য।
উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রের প্রয়োগ।
অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করতে, বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করতে এবং বহুপদকে একটি আদর্শ আকারে আনতে, সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করা হয়। সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলি আপনাকে হৃদয় দিয়ে জানতে হবে.
ধরুন a, b R তারপর:
1. দুটি রাশির যোগফলের বর্গ হলপ্রথম রাশির বর্গ প্লাস প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্র।
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ হলপ্রথম রাশির বর্গ বিয়োগ প্রথম রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গক্ষেত্র।
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যদুটি রাশি এই রাশির পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের গুণফলের সমান।
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. সমষ্টি ঘনকদুটি রাশি প্রথম রাশির ঘনক্ষেত্রের সমান এবং প্রথম রাশির বর্গক্ষেত্রের তিনগুণ দ্বিতীয় রাশির গুণফলের গুণফল দ্বিতীয় যোগ দ্বিতীয় রাশির ঘনকের সমান।
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. পার্থক্য ঘনক্ষেত্রদুটি রাশির প্রথম রাশির ঘনকের সমান প্রথম রাশির বর্গের গুণফল বিয়োগের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় যোগ প্রথম রাশির গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয় রাশির বর্গের বিয়োগ দ্বিতীয় রাশির ঘনকের সমান।
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. কিউবের সমষ্টিদুটি রাশি এই রাশিগুলির পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশির যোগফলের গুণফলের সমান।
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. কিউব পার্থক্যএই রাশিগুলির যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশিগুলির পার্থক্যের গুণফলের সমান দুটি রাশি।
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রের প্রয়োগ।
উদাহরণ 1
হিসাব করুন
ক) দুটি রাশির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে, আমাদের আছে
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) দুটি রাশির বর্গীয় পার্থক্যের সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
উদাহরণ 2
হিসাব করুন
দুটি রাশির বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই
উদাহরণ 3
অভিব্যক্তি সরলীকরণ
(x - y) 2 + (x + y) 2
আমরা যোগফলের বর্গ এবং দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করি
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
একটি টেবিলে সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য
আমরা $a^2-b^2$ বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্রটি বের করি।
এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত নিয়ম মনে রাখবেন:
যদি রাশিটির সাথে কোনো একপদ যোগ করা হয় এবং একই একপদ বিয়োগ করা হয়, তাহলে আমরা সঠিক পরিচয় পাই।
আসুন আমাদের অভিব্যক্তিতে যোগ করি এবং এটি থেকে একচেটিয়া $ab$ বিয়োগ করি:
মোট, আমরা পাই:
অর্থাৎ, দুটি মনোমিয়ালের বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য তাদের পার্থক্য এবং তাদের যোগফলের গুণফলের সমান।
উদাহরণ 1
$(4x)^2-y^2$ এর পণ্য হিসাবে প্রকাশ করুন
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
কিউবের সমষ্টি
আমরা $a^3+b^3$ ঘনকের যোগফলের সূত্রটি বের করি।
চলুন বন্ধনী থেকে সাধারণ কারণগুলি নেওয়া যাক:
বন্ধনী থেকে $\left(a+b\right)$ নেওয়া যাক:
মোট, আমরা পাই:
অর্থাৎ, দুটি মনোমিয়ালের ঘনকের যোগফল তাদের পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা তাদের যোগফলের গুণফলের সমান।
উদাহরণ 2
পণ্য হিসাবে প্রকাশ করুন $(8x)^3+y^3$
এই অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে, আমরা পাই:
\[(2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
কিউব পার্থক্য
আমরা $a^3-b^3$ ঘনকের পার্থক্যের সূত্রটি বের করি।
এটি করার জন্য, আমরা উপরের মত একই নিয়ম ব্যবহার করব।
আসুন আমাদের অভিব্যক্তিতে যোগ করি এবং এটি থেকে $a^2b\ এবং\ (ab)^2$ বিয়োগ করি:
চলুন বন্ধনী থেকে সাধারণ কারণগুলি নেওয়া যাক:
বন্ধনী থেকে $\left(a-b\right)$ নেওয়া যাক:
মোট, আমরা পাই:
অর্থাৎ, দুটি মনোমিয়ালের ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য তাদের যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা তাদের পার্থক্যের গুণফলের সমান।
উদাহরণ 3
$(8x)^3-y^3$ এর একটি পণ্য হিসাবে প্রকাশ করুন
এই অভিব্যক্তিটি নিম্নলিখিত আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে, আমরা পাই:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য এবং কিউবগুলির যোগফল এবং পার্থক্যের জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করার জন্য কাজের একটি উদাহরণ
উদাহরণ 4
গুন করুন।
ক) $((a+5))^2-9$
গ) $-x^3+\frac(1)(27)$
সমাধান:
ক) $((a+5))^2-9$
\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য প্রয়োগ করে, আমরা পাই:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a) +৮)\]
আসুন ফর্মটিতে এই অভিব্যক্তিটি লিখি:
কিউব অফ কিউবের সূত্র প্রয়োগ করা যাক:
গ) $-x^3+\frac(1)(27)$
আসুন ফর্মটিতে এই অভিব্যক্তিটি লিখি:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
কিউব অফ কিউবের সূত্র প্রয়োগ করা যাক:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]
বৃহৎ বীজগণিতের রাশি গণনা করার দ্রুত প্রক্রিয়ার জন্য, সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র বা নিয়মগুলি পাটিগণিত এবং আরও নির্দিষ্টভাবে বীজগণিতে ব্যবহৃত হয়। বিভিন্ন বহুপদ গুণনের জন্য বীজগণিতের বিদ্যমান নিয়মগুলি থেকে সূত্রগুলি নিজেরাই নেওয়া হয়েছে।
এই সূত্রগুলির ব্যবহার বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার মোটামুটি দ্রুত সমাধান প্রদান করে এবং অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করতেও সাহায্য করে। বীজগাণিতিক রূপান্তরের নিয়মগুলি আপনাকে অভিব্যক্তির সাথে কিছু হেরফের করার অনুমতি দেয়, যা অনুসরণ করে আপনি সমতার বাম দিকে অভিব্যক্তি পেতে পারেন, যা ডানদিকে রয়েছে, বা সমতার ডান দিকে রূপান্তর করতে পারেন (অভিব্যক্তি পেতে সমান চিহ্নের পরে বাম দিকে)।
স্মৃতি দ্বারা সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য ব্যবহৃত সূত্রগুলি জানা সুবিধাজনক, কারণ সেগুলি প্রায়শই সমস্যা এবং সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়। এই তালিকায় অন্তর্ভুক্ত প্রধান সূত্র এবং তাদের নাম নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।
সমষ্টি বর্গ
যোগফলের বর্গ গণনা করার জন্য, আপনাকে প্রথম পদের বর্গ, প্রথম পদের গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টি এবং দ্বিতীয়টির বর্গ নিয়ে গঠিত যোগফল খুঁজে বের করতে হবে। একটি অভিব্যক্তি আকারে, এই নিয়মটি নিম্নরূপ লেখা হয়: (a + c)² = a² + 2ac + c²।
পার্থক্যের বর্গ
পার্থক্যের বর্গ নির্ণয় করতে, আপনাকে প্রথম সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি গণনা করতে হবে, প্রথম সংখ্যার গুণফলের দ্বিগুণ দ্বিতীয় দ্বারা (বিপরীত চিহ্ন দিয়ে নেওয়া) এবং দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গ। একটি অভিব্যক্তি আকারে, এই নিয়মটি এইরকম দেখায়: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c²।
বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য
দুটি সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্রটি এই সংখ্যার যোগফল এবং তাদের পার্থক্যের গুণফলের সমান। একটি অভিব্যক্তি আকারে, এই নিয়মটি এইরকম দেখায়: a² - c² \u003d (a + c) (a - c)।
সমষ্টি ঘনক
দুটি পদের যোগফলের ঘনক গণনা করতে, আপনাকে প্রথম পদের ঘনক নিয়ে গঠিত যোগফল গণনা করতে হবে, প্রথম পদ এবং দ্বিতীয়টির বর্গক্ষেত্রের গুণফলকে তিনগুণ করতে হবে, প্রথম পদের ত্রিগুণ গুণফল এবং দ্বিতীয়টি। বর্গক্ষেত্র, এবং দ্বিতীয় পদের ঘনক্ষেত্র। একটি অভিব্যক্তি আকারে, এই নিয়মটি এইরকম দেখায়: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³।
কিউবের সমষ্টি
সূত্র অনুসারে, এটি এই পদগুলির যোগফল এবং পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান। একটি অভিব্যক্তি আকারে, এই নিয়মটি এইরকম দেখায়: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²)।
উদাহরণ।চিত্রটির আয়তন গণনা করা প্রয়োজন, যা দুটি কিউব যোগ করে গঠিত হয়। শুধুমাত্র তাদের পক্ষের মাত্রা জানা যায়।
যদি পক্ষের মান ছোট হয়, তাহলে গণনা করা সহজ।
যদি বাহুর দৈর্ঘ্য কষ্টকর সংখ্যায় প্রকাশ করা হয়, তবে এই ক্ষেত্রে "ঘনগুলির যোগফল" সূত্র প্রয়োগ করা সহজ, যা গণনাগুলিকে ব্যাপকভাবে সরল করবে।
পার্থক্য ঘনক্ষেত্র
কিউবিক পার্থক্যের অভিব্যক্তিটি এরকম শোনাচ্ছে: প্রথম পদের তৃতীয় ঘাতের যোগফল হিসাবে, প্রথম পদের বর্গক্ষেত্রের ঋণাত্মক গুণফলকে দ্বিতীয় দ্বারা তিনগুণ, দ্বিতীয় পদের বর্গ দ্বারা প্রথম পদের গুণফলকে তিনগুণ করুন , এবং দ্বিতীয় পদের ঋণাত্মক ঘনক। একটি গাণিতিক অভিব্যক্তির আকারে, পার্থক্য ঘনকটি এইরকম দেখায়: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³।
কিউব পার্থক্য
ঘনক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্রটি কেবলমাত্র একটি চিহ্ন দ্বারা ঘনক্ষেত্রের যোগফল থেকে পৃথক হয়। সুতরাং, ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য হল একটি সূত্র যা এই সংখ্যাগুলির পার্থক্যের গুণফলের সমান তাদের যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা। আকারে, কিউবগুলির পার্থক্য এইরকম দেখায়: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2)।
উদাহরণ।নীল ঘনক্ষেত্রের আয়তন থেকে হলুদ ভলিউমট্রিক চিত্রটি বিয়োগ করার পরে যে চিত্রটি থাকবে তার আয়তন গণনা করা প্রয়োজন। ছোট-বড় কিউবের পাশের সাইজ শুধু জানা যায়।
যদি পাশের মানগুলি ছোট হয়, তবে গণনাগুলি বেশ সহজ। এবং যদি পাশের দৈর্ঘ্যগুলি উল্লেখযোগ্য সংখ্যায় প্রকাশ করা হয়, তবে এটি "ডিফারেন্স অফ কিউব" (বা "ডিফারেন্স কিউব") শিরোনামের একটি সূত্র ব্যবহার করে মূল্যবান, যা গণনাগুলিকে ব্যাপকভাবে সরল করবে।
সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র (FSU) সংখ্যা এবং অভিব্যক্তি সূচক এবং গুণিত করতে ব্যবহৃত হয়। প্রায়শই এই সূত্রগুলি আপনাকে আরও কম্প্যাক্টভাবে এবং দ্রুত গণনা করতে দেয়।
এই নিবন্ধে, আমরা সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য প্রধান সূত্রগুলি তালিকাভুক্ত করব, তাদের একটি টেবিলে গোষ্ঠীবদ্ধ করব, এই সূত্রগুলি ব্যবহার করার উদাহরণগুলি বিবেচনা করব এবং সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলি প্রমাণ করার নীতিগুলিও বিবেচনা করব৷
প্রথমবারের মতো, 7ম শ্রেণির জন্য "বীজগণিত" কোর্সের মধ্যে FSU-এর বিষয় বিবেচনা করা হয়। নিচে ৭টি মৌলিক সূত্র দেওয়া হল।
সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র
- সমষ্টি বর্গ সূত্র: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- পার্থক্য বর্গাকার সূত্র: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- সমষ্টি ঘনক সূত্র: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- পার্থক্য ঘনক সূত্র: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- ঘনক্ষেত্রের যোগফলের সূত্র: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- ঘনক পার্থক্য সূত্র: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
এই রাশিগুলির a, b, c অক্ষরগুলি যেকোনো সংখ্যা, চলক বা রাশি হতে পারে। ব্যবহারের সহজতার জন্য, সাতটি মৌলিক সূত্র হৃদয় দিয়ে শিখে নেওয়া ভাল। আমরা তাদের একটি টেবিলে সংক্ষিপ্ত করি এবং তাদের একটি বাক্সের সাথে প্রদক্ষিণ করে নীচে দিই।
প্রথম চারটি সূত্র আপনাকে যথাক্রমে, দুটি রাশির যোগফল বা পার্থক্যের বর্গক্ষেত্র বা ঘনক্ষেত্র গণনা করতে দেয়।
পঞ্চম সূত্রটি রাশির বর্গের পার্থক্য তাদের যোগফল এবং পার্থক্যকে গুণ করে গণনা করে।
ষষ্ঠ এবং সপ্তম সূত্র হল, যথাক্রমে, রাশির যোগফল এবং পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ এবং যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা গুন।
সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রকে কখনও কখনও সংক্ষিপ্ত গুণের পরিচয়ও বলা হয়। এটি আশ্চর্যজনক নয়, যেহেতু প্রতিটি সমতা একটি পরিচয়।
ব্যবহারিক উদাহরণগুলি সমাধান করার সময়, সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্রগুলি প্রায়শই পুনর্বিন্যস্ত বাম এবং ডান অংশগুলির সাথে ব্যবহার করা হয়। একটি বহুপদী ফ্যাক্টর করার সময় এটি বিশেষত সুবিধাজনক।
অতিরিক্ত সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র
আমরা বীজগণিতের 7ম গ্রেডের কোর্সে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখব না এবং আমাদের FSU টেবিলে আরও কয়েকটি সূত্র যোগ করব।
প্রথমে নিউটনের দ্বিপদ সূত্র বিবেচনা করুন।
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
এখানে C n k হল দ্বিপদ সহগ যা প্যাসকেলের ত্রিভুজের লাইন সংখ্যা n এ রয়েছে। দ্বিপদ সহগ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2)। . (n - (k - 1)) k!
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পার্থক্য এবং যোগফলের বর্গ ও ঘনকের জন্য FSU হল নিউটনের দ্বিপদী সূত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যথাক্রমে n=2 এবং n=3।
কিন্তু যোগফলের মধ্যে দুটির বেশি পদ থাকলে কী হবে? তিন, চার বা ততোধিক পদের যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি কাজে লাগবে।
একটি 1 + একটি 2 +। . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +। . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
আরেকটি সূত্র যা কাজে আসতে পারে তা হল দুটি পদের nম শক্তির পার্থক্যের সূত্র।
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
এই সূত্রটিকে সাধারণত দুটি সূত্রে ভাগ করা হয় - যথাক্রমে জোড় এবং বিজোড় ডিগ্রির জন্য।
জোড় সূচকের জন্য 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + খ 2 মি - 2
বিজোড় সূচকের জন্য 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 মি
বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য এবং ঘনক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্রগুলি, আপনি অনুমান করেছেন, যথাক্রমে n = 2 এবং n = 3 এর জন্য এই সূত্রের বিশেষ ক্ষেত্রে। ঘনক্ষেত্রের পার্থক্যের জন্য, b-কেও - b দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়।
কিভাবে সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র পড়তে?
আমরা প্রতিটি সূত্রের জন্য সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি দেব, কিন্তু প্রথমে আমরা সূত্র পড়ার নীতি নিয়ে কাজ করব। এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি উদাহরণ দিয়ে। দুটি সংখ্যার যোগফলের বর্গক্ষেত্রের প্রথম সূত্রটি ধরা যাক।
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2।
তারা বলে: a এবং b দুটি রাশির যোগফলের বর্গ প্রথম রাশির বর্গক্ষেত্রের যোগফলের সমান, রাশির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয় রাশিটির বর্গক্ষেত্র।
অন্যান্য সমস্ত সূত্র একইভাবে পড়া হয়। বর্গীয় পার্থক্যের জন্য a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 আমরা লিখি:
a এবং b দুটি রাশির পার্থক্যের বর্গ এই রাশিগুলির বর্গের সমষ্টির সমান, প্রথম এবং দ্বিতীয় রাশির গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ করুন।
আসুন a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 সূত্রটি পড়ি। দুটি রাশি a এবং b এর যোগফলের ঘনক্ষেত্র এই রাশিগুলির ঘনক্ষেত্রের যোগফলের সমান, প্রথম রাশির বর্গের গুণফলের তিনগুণ এবং দ্বিতীয়টি এবং দ্বিতীয় রাশিটির বর্গক্ষেত্রের গুণফলের তিনগুণ। এবং প্রথম অভিব্যক্তি।
আমরা কিউব a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 এর পার্থক্যের সূত্রটি পড়তে এগিয়ে যাই। দুটি রাশি a এবং b এর পার্থক্যের ঘনক্ষেত্র প্রথম রাশির কিউবের সমান, প্রথম রাশির বিয়োগ এবং দ্বিতীয়টির বর্গক্ষেত্রের তিনগুণ, প্লাস দ্বিতীয় রাশি এবং প্রথম রাশিটির বর্গের তিনগুণ, কিউব বিয়োগ দ্বিতীয় অভিব্যক্তির।
পঞ্চম সূত্র a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য) নিম্নরূপ: দুটি রাশির বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য পার্থক্যের গুণফল এবং দুটি রাশির যোগফলের সমান।
সুবিধার জন্য a 2 + a b + b 2 এবং a 2 - a b + b 2 এর মত রাশিগুলিকে যথাক্রমে যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ এবং পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গ বলা হয়।
এটি মাথায় রেখে, ঘনক্ষেত্রের যোগফল এবং পার্থক্যের সূত্রগুলি নিম্নরূপ পড়া হয়:
দুটি রাশির ঘনক্ষেত্রের যোগফল এই রাশিগুলির যোগফল এবং তাদের পার্থক্যের অসম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান।
দুটি রাশির ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য তাদের যোগফলের অসম্পূর্ণ বর্গ দ্বারা এই রাশিগুলির পার্থক্যের গুণফলের সমান।
FSU প্রমাণ
FSU প্রমাণ করা বেশ সহজ। গুণের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা বন্ধনীতে সূত্রগুলির অংশগুলির গুণন সম্পাদন করব।
উদাহরণস্বরূপ, পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্রটি বিবেচনা করুন।
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2।
দ্বিতীয় শক্তিতে একটি অভিব্যক্তি বাড়াতে, অভিব্যক্তিটিকে নিজেই গুণ করতে হবে।
a - b 2 \u003d a - b a - b.
বন্ধনী প্রসারিত করা যাক:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2।
সূত্র প্রমাণিত হয়েছে। অন্যান্য এফএসও একইভাবে প্রমাণিত।
FSO এর প্রয়োগের উদাহরণ
সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করার উদ্দেশ্য হল দ্রুত এবং সংক্ষিপ্তভাবে গুন করা এবং অভিব্যক্তি প্রকাশ করা। যাইহোক, এটি FSO এর সম্পূর্ণ সুযোগ নয়। তারা ব্যাপকভাবে এক্সপ্রেশন হ্রাস, ভগ্নাংশ হ্রাস, বহুপদী ফ্যাক্টরিং ব্যবহৃত হয়. উদাহরণ দেওয়া যাক.
উদাহরণ 1. FSO
9 y - (1 + 3 y) 2 অভিব্যক্তিটি সরল করা যাক।
বর্গাকার সূত্রের যোগফল প্রয়োগ করুন এবং পান:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
উদাহরণ 2. FSO
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 ভগ্নাংশটি হ্রাস করুন।
আমরা লক্ষ্য করি যে লবের মধ্যে অভিব্যক্তি হল ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য, এবং হরে - বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য।
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z।
আমরা হ্রাস করি এবং পাই:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
এফএসইউগুলি এক্সপ্রেশনের মানগুলি গণনা করতেও সহায়তা করে। মূল জিনিসটি হল সূত্রটি কোথায় প্রয়োগ করতে হবে তা লক্ষ্য করতে সক্ষম হওয়া। আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি দেখান।
79 নম্বর বর্গ করা যাক। কষ্টকর গণনার পরিবর্তে, আমরা লিখি:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
দেখে মনে হবে যে শুধুমাত্র সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র এবং একটি গুণ সারণী ব্যবহার করে একটি জটিল গণনা দ্রুত সম্পন্ন করা হয়েছিল।
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন। 4 x 2 + 4 x - 3 এক্সপ্রেশনটিকে 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 এ রূপান্তর করা যেতে পারে। এই ধরনের রূপান্তরগুলি একীকরণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, অনুগ্রহ করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
