অভিব্যক্তির মান গণনা করার সময় যে গাণিতিক অপারেশনটি শেষ করা হয় তা হল "প্রধান"।

অর্থাৎ, আপনি যদি অক্ষরের পরিবর্তে কিছু (যেকোন) সংখ্যা প্রতিস্থাপন করেন এবং অভিব্যক্তির মান গণনা করার চেষ্টা করেন, তাহলে যদি শেষ ক্রিয়াটি গুণিত হয়, তাহলে আমাদের কাছে একটি গুণ রয়েছে (অভিব্যক্তিটি উপাদানগুলিতে পচে যায়)।

যদি শেষ ক্রিয়াটি যোগ বা বিয়োগ হয়, তবে এর অর্থ হ'ল অভিব্যক্তিটি ফ্যাক্টরযুক্ত নয় (এবং তাই হ্রাস করা যাবে না)।

এটি নিজে ঠিক করতে, কয়েকটি উদাহরণ:

উদাহরণ:

সমাধান:

1. আমি আশা করি আপনি অবিলম্বে কাটা কাটা এবং না? এটি এখনও এই মত ইউনিট "হ্রাস" করার জন্য যথেষ্ট ছিল না:

প্রথম ধাপটি ফ্যাক্টরাইজ করা উচিত:

4. ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ। ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসা।

সাধারণ ভগ্নাংশ যোগ করা এবং বিয়োগ করা একটি সুপরিচিত অপারেশন: আমরা একটি সাধারণ হর খুঁজি, অনুপস্থিত ফ্যাক্টর দ্বারা প্রতিটি ভগ্নাংশকে গুণ করি এবং লব যোগ/বিয়োগ করি।

চলুন মনে করি:

উত্তর:

1. হর এবং coprime হয়, অর্থাৎ তাদের সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অতএব, এই সংখ্যাগুলির LCM তাদের গুণফলের সমান। এটি সাধারণ হর হবে:

2. এখানে সাধারণ হর হল:

3. এখানে, প্রথমত, আমরা মিশ্র ভগ্নাংশগুলিকে অনুপযুক্তগুলিতে পরিণত করি এবং তারপরে - স্বাভাবিক স্কিম অনুসারে:

ভগ্নাংশে অক্ষর থাকলে এটি অন্য বিষয়, উদাহরণস্বরূপ:

চলুন সহজ শুরু করা যাক:

ক) হরগুলিতে অক্ষর থাকে না

এখানে সবকিছুই সাধারণ সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশের মতোই: আমরা একটি সাধারণ হর খুঁজে পাই, প্রতিটি ভগ্নাংশকে অনুপস্থিত ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করি এবং লব যোগ/বিয়োগ করি:

এখন লবের মধ্যে আপনি অনুরূপ আনতে পারেন, যদি থাকে, এবং তাদের গুণনীয়ক:

এটি নিজে চেষ্টা করো:

উত্তর:

খ) ডিনোমিনেটরে অক্ষর থাকে

আসুন অক্ষর ছাড়াই একটি সাধারণ হর খোঁজার নীতিটি মনে রাখি:

প্রথমত, আমরা সাধারণ কারণগুলি নির্ধারণ করি;

তারপর আমরা সব সাধারণ গুণনীয়ক একবার লিখি;

এবং অন্যান্য সমস্ত কারণ দ্বারা তাদের গুণ করুন, সাধারণ নয়।

হরগুলির সাধারণ কারণগুলি নির্ধারণ করতে, আমরা প্রথমে সেগুলিকে সাধারণ উপাদানগুলিতে পচিয়ে দিই:

আমরা সাধারণ কারণগুলির উপর জোর দিই:

এখন আমরা সাধারণ কারণগুলি একবার লিখি এবং তাদের সাথে সমস্ত অ-সাধারণ (আন্ডারলাইন করা নয়) কারণগুলি যোগ করি:

এটি সাধারণ হর।

ফিরে আসা যাক চিঠিতে। হরগুলি ঠিক একইভাবে দেওয়া হয়েছে:

আমরা হরকে ফ্যাক্টরগুলিতে পচন করি;

সাধারণ (অভিন্ন) গুণক নির্ধারণ করুন;

সব সাধারণ গুণনীয়ক একবার লিখুন;

আমরা সেগুলিকে অন্যান্য সমস্ত কারণ দ্বারা গুণ করি, সাধারণ নয়।

সুতরাং, ক্রমে:

1) হরগুলিকে উপাদানগুলিতে পচন:

2) সাধারণ (অভিন্ন) কারণগুলি নির্ধারণ করুন:

3) সমস্ত সাধারণ গুণনীয়কগুলি একবার লিখুন এবং অন্যান্য সমস্ত (আন্ডারলাইন করা নয়) গুণক দ্বারা গুণ করুন:

তাই সাধারণ হর এখানে। প্রথম ভগ্নাংশটি দ্বারা গুণ করতে হবে, দ্বিতীয়টি - দ্বারা:

যাইহোক, একটি কৌশল আছে:

উদাহরণ স্বরূপ: .

আমরা হরগুলিতে একই ফ্যাক্টরগুলি দেখতে পাই, শুধুমাত্র বিভিন্ন সূচকের সাথে। সাধারণ হর হবে:

কিছুদূর

কিছুদূর

কিছুদূর

ডিগ্রীতে

কাজটি জটিল করা যাক:

কিভাবে ভগ্নাংশ একই হর আছে?

আসুন একটি ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য মনে রাখা যাক:

কোথাও বলা নেই যে ভগ্নাংশের লব এবং হর থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ (বা যোগ) করা যেতে পারে। কারণ এটা সত্য নয়!

নিজের জন্য দেখুন: উদাহরণস্বরূপ, যেকোনো ভগ্নাংশ নিন, এবং লব এবং হর-এ কিছু সংখ্যা যোগ করুন, উদাহরণস্বরূপ,। কি শেখা হয়েছে?

সুতরাং, আরেকটি অটল নিয়ম:

আপনি যখন ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসেন, শুধুমাত্র গুণন ক্রিয়া ব্যবহার করুন!

কিন্তু পেতে হলে গুন করতে হবে কি?

এখানে এবং সংখ্যাবৃদ্ধি. এবং দ্বারা গুণ করুন:

যে অভিব্যক্তিগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করা যায় না তাকে "প্রাথমিক ফ্যাক্টর" বলা হবে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রাথমিক ফ্যাক্টর। - একই. কিন্তু - না: এটি উপাদানগুলিতে পচে যায়।

অভিব্যক্তি সম্পর্কে কি? এটা কি প্রাথমিক?

না, কারণ এটি ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে:

(আপনি ইতিমধ্যে "" বিষয়ে ফ্যাক্টরাইজেশন সম্পর্কে পড়েছেন)।

সুতরাং, প্রাথমিক কারণগুলির মধ্যে আপনি অক্ষর সহ একটি অভিব্যক্তিকে পচনশীল করেন যেগুলি সাধারণ কারণগুলির একটি অ্যানালগ যা আপনি সংখ্যাগুলিকে পচিয়ে দেন। এবং আমরা তাদের সাথে একই কাজ করব।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয় ডিনোমিনেটরের একটি ফ্যাক্টর আছে। এটি ক্ষমতার সাধারণ হরকের কাছে যাবে (মনে রাখবেন কেন?)।

গুণকটি প্রাথমিক, এবং তাদের মধ্যে এটি মিল নেই, যার অর্থ হল প্রথম ভগ্নাংশটিকে কেবল এটি দ্বারা গুণ করতে হবে:

আরেকটি উদাহরণ:

সমাধান:

আতঙ্কের মধ্যে এই হরগুলিকে গুণ করার আগে, আপনাকে ভাবতে হবে কিভাবে তাদের ফ্যাক্টর করা যায়? তাদের উভয় প্রতিনিধিত্ব করে:

দারুণ! তারপর:

আরেকটি উদাহরণ:

সমাধান:

যথারীতি, আমরা হরকে ফ্যাক্টরাইজ করি। প্রথম হর-এ, আমরা এটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখি; দ্বিতীয়টিতে - বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য:

এটা কোন সাধারণ কারণ আছে বলে মনে হবে. কিন্তু আপনি যদি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন তবে তারা ইতিমধ্যে একই রকম ... এবং সত্য হল:

তো চলুন লিখিঃ

অর্থাৎ, এটি এইরকম পরিণত হয়েছিল: বন্ধনীর ভিতরে, আমরা শর্তগুলি অদলবদল করেছি এবং একই সময়ে, ভগ্নাংশের সামনের চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়েছে। নোট নিন, আপনাকে প্রায়ই এটি করতে হবে।

এখন আমরা একটি সাধারণ হর নিয়ে এসেছি:

বুঝেছি? এখন এর চেক করা যাক.

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:

উত্তর:

এখানে আমাদের আরও একটি জিনিস মনে রাখতে হবে - কিউবগুলির পার্থক্য:

দয়া করে মনে রাখবেন যে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরটিতে "সমষ্টির বর্গ" সূত্র নেই! যোগফলের বর্গটি দেখতে এরকম হবে:

A হল যোগফলের তথাকথিত অসম্পূর্ণ বর্গ: এতে দ্বিতীয় পদটি প্রথম এবং শেষের গুণফল, এবং তাদের দ্বিগুণ গুণফল নয়। সমষ্টির অসম্পূর্ণ বর্গ হল ঘনক্ষেত্রের পার্থক্য সম্প্রসারণের অন্যতম কারণ:

যদি ইতিমধ্যে তিনটি ভগ্নাংশ থাকে?

হ্যা একই! প্রথমত, আমরা নিশ্চিত করব যে হরগুলির সর্বাধিক সংখ্যক গুণনীয়ক একই:

মনোযোগ দিন: আপনি যদি একটি বন্ধনীর ভিতরে চিহ্নগুলি পরিবর্তন করেন তবে ভগ্নাংশের সামনের চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়। যখন আমরা দ্বিতীয় বন্ধনীতে চিহ্ন পরিবর্তন করি, ভগ্নাংশের সামনের চিহ্নটি আবার উল্টে যায়। ফলস্বরূপ, তিনি (ভগ্নাংশের সামনের চিহ্ন) পরিবর্তিত হয়নি।

আমরা প্রথম হরটিকে সাধারণ হর-এ সম্পূর্ণরূপে লিখি এবং তারপরে আমরা এটিতে সমস্ত কারণ যোগ করি যা এখনও লেখা হয়নি, দ্বিতীয় থেকে এবং তারপরে তৃতীয় থেকে (এবং আরও ভগ্নাংশ থাকলে)। যে, এটি এই মত যায়:

হুম... ভগ্নাংশ দিয়ে, কি করতে হবে তা পরিষ্কার। কিন্তু দুজনের কী হবে?

এটা সহজ: আপনি জানেন কিভাবে ভগ্নাংশ যোগ করতে হয়, তাই না? সুতরাং, আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে ডিউস একটি ভগ্নাংশ হয়ে যায়! মনে রাখবেন: একটি ভগ্নাংশ হল একটি বিভাজন অপারেশন (অঙ্কটি হর দ্বারা ভাগ করা হয়, যদি আপনি হঠাৎ ভুলে যান)। এবং একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার চেয়ে সহজ আর কিছুই নেই। এই ক্ষেত্রে, সংখ্যাটি নিজেই পরিবর্তিত হবে না, তবে একটি ভগ্নাংশে পরিণত হবে:

ঠিক কী দরকার!

5. ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ।

আচ্ছা, কঠিনতম অংশ এখন শেষ। এবং আমাদের সামনে সবচেয়ে সহজ, কিন্তু একই সময়ে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ:

পদ্ধতি

একটি সংখ্যাসূচক রাশি গণনা করার পদ্ধতি কি? মনে রাখবেন, এই জাতীয় অভিব্যক্তির মান বিবেচনা করে:

আপনি গণনা করেছেন?

এটার কাজ করা উচিত.

তাই, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি.

প্রথম ধাপ হল ডিগ্রী গণনা করা।

দ্বিতীয়টি হল গুণ ও ভাগ। যদি একই সময়ে বেশ কয়েকটি গুণ এবং ভাগ থাকে তবে আপনি সেগুলি যে কোনও ক্রমে করতে পারেন।

এবং অবশেষে, আমরা যোগ এবং বিয়োগ সঞ্চালন. আবার, যেকোনো ক্রমে।

কিন্তু: বন্ধনীর অভিব্যক্তিটি ক্রমানুসারে মূল্যায়ন করা হয় না!

যদি বেশ কয়েকটি বন্ধনী একে অপরের দ্বারা গুণিত বা ভাগ করা হয়, আমরা প্রথমে প্রতিটি বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটি মূল্যায়ন করি এবং তারপরে তাদের গুণ বা ভাগ করি।

বন্ধনীর ভিতরে অন্য বন্ধনী থাকলে কি হবে? আচ্ছা, আসুন চিন্তা করি: বন্ধনীর ভিতরে কিছু অভিব্যক্তি লেখা আছে। একটি অভিব্যক্তি মূল্যায়ন করার সময় প্রথম জিনিস কি? এটা ঠিক, বন্ধনী গণনা. ঠিক আছে, আমরা এটি বের করেছি: প্রথমে আমরা ভিতরের বন্ধনীগুলি গণনা করি, তারপরে অন্য সবকিছু।

সুতরাং, উপরের অভিব্যক্তিটির জন্য কর্মের ক্রমটি নিম্নরূপ (বর্তমান ক্রিয়াটি লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে, অর্থাৎ, আমি এই মুহূর্তে যে ক্রিয়াটি সম্পাদন করছি):

ঠিক আছে, এটা সব সহজ.

কিন্তু যে অক্ষর সহ একটি অভিব্যক্তি হিসাবে একই নয়, তাই না?

না, এটা একই! শুধুমাত্র গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির পরিবর্তে বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপগুলি করা প্রয়োজন, অর্থাৎ, পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত ক্রিয়াকলাপগুলি: অনুরূপ আনা, ভগ্নাংশ যোগ করা, ভগ্নাংশ হ্রাস করা, ইত্যাদি। একমাত্র পার্থক্যটি হবে বহুপদী ফ্যাক্টরিং এর ক্রিয়া (ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার সময় আমরা প্রায়শই এটি ব্যবহার করি)। প্রায়শই, ফ্যাক্টরাইজেশনের জন্য, আপনাকে i ব্যবহার করতে হবে বা সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনী থেকে বের করতে হবে।

সাধারণত আমাদের লক্ষ্য একটি পণ্য বা ভাগফল হিসাবে একটি অভিব্যক্তি প্রতিনিধিত্ব করা হয়.

উদাহরণ স্বরূপ:

এর অভিব্যক্তি সরল করা যাক.

1) প্রথমে আমরা বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটি সরল করি। সেখানে আমাদের ভগ্নাংশের পার্থক্য রয়েছে এবং আমাদের লক্ষ্য হল এটিকে একটি পণ্য বা ভাগফল হিসাবে উপস্থাপন করা। সুতরাং, আমরা ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং যোগ করি:

এই অভিব্যক্তিটিকে আরও সরলীকরণ করা অসম্ভব, এখানে সমস্ত কারণ প্রাথমিক (আপনি কি এখনও মনে রাখবেন এর অর্থ কী?)।

2) আমরা পাই:

ভগ্নাংশের গুণন: কি সহজ হতে পারে।

3) এখন আপনি ছোট করতে পারেন:

ঠিক আছে এখন সব শেষ। কিছুই জটিল, তাই না?

আরেকটি উদাহরণ:

অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।

প্রথমত, এটি নিজেই সমাধান করার চেষ্টা করুন, এবং শুধুমাত্র তারপর সমাধান দেখুন।

সমাধান:

প্রথমত, পদ্ধতিটি সংজ্ঞায়িত করা যাক।

প্রথমে বন্ধনীতে ভগ্নাংশ যোগ করা যাক, দুটি ভগ্নাংশের পরিবর্তে একটি বের হবে।

তারপর আমরা ভগ্নাংশের বিভাজন করব। ঠিক আছে, আমরা শেষ ভগ্নাংশের সাথে ফলাফল যোগ করি।

আমি পরিকল্পিতভাবে ধাপগুলি সংখ্যা করব:

এখন আমি পুরো প্রক্রিয়াটি দেখাব, বর্তমান অ্যাকশনটিকে লাল দিয়ে রঙ করব:

1. অনুরূপ বেশী থাকলে, তাদের অবিলম্বে আনতে হবে। যে মুহুর্তে আমাদের অনুরূপ আছে, এখনই সেগুলি আনার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে।

2. ভগ্নাংশ কমানোর ক্ষেত্রেও একই কথা: হ্রাস করার সুযোগ পাওয়া মাত্রই তা ব্যবহার করতে হবে। ব্যতিক্রম হল ভগ্নাংশগুলি যা আপনি যোগ বা বিয়োগ করেন: যদি তাদের এখন একই হর থাকে, তাহলে হ্রাস পরবর্তীর জন্য ছেড়ে দেওয়া উচিত।

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য এখানে কিছু কাজ রয়েছে:

এবং একেবারে শুরুতে প্রতিশ্রুতি:

উত্তর:

সমাধান (সংক্ষিপ্ত):

আপনি যদি অন্তত প্রথম তিনটি উদাহরণের সাথে মোকাবিলা করেন, তাহলে বিবেচনা করুন, আপনি বিষয়টি আয়ত্ত করেছেন।

এখন শেখার জন্য!

অভিব্যক্তি রূপান্তর। সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

মৌলিক সরলীকরণ ক্রিয়াকলাপ:

• অনুরূপ আনা: পদের মতো যোগ (কমাতে) করতে, আপনাকে তাদের সহগ যোগ করতে হবে এবং অক্ষরের অংশ বরাদ্দ করতে হবে।
• ফ্যাক্টরাইজেশন:বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর নেওয়া, প্রয়োগ করা ইত্যাদি
• ভগ্নাংশ হ্রাস: একটি ভগ্নাংশের লব এবং হরকে একই অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা যেতে পারে, যেখান থেকে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তন হয় না।
  1) লব এবং হর ফ্যাক্টরাইজ করা
  2) লব এবং হর-এ সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে, সেগুলিকে অতিক্রম করা যেতে পারে।

  গুরুত্বপূর্ণ: শুধুমাত্র গুণক হ্রাস করা যেতে পারে!

• ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ:
  ;
• ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ:
  ;

a (m/n) ফর্মের একটি অভিব্যক্তি, যেখানে n হল কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা, m হল কিছু পূর্ণসংখ্যা এবং a ডিগ্রির ভিত্তি শূন্যের চেয়ে বড়, ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রি বলা হয়।তদুপরি, নিম্নলিখিত সমতা সত্য। n√(a m) = a (m/n)।

আমরা ইতিমধ্যেই জানি, m/n ফর্মের সংখ্যা, যেখানে n হল কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা এবং m হল কিছু পূর্ণসংখ্যা, তাকে ভগ্নাংশ বা মূলদ সংখ্যা বলা হয়। উপরোক্ত থেকে, আমরা পাই যে ডিগ্রীটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেকোন যৌক্তিক সূচক এবং ডিগ্রীর যেকোনো ধনাত্মক ভিত্তির জন্য।

যে কোন মূলদ সংখ্যা p,q এবং যে কোন a>0 এবং b>0 এর জন্য, নিম্নলিখিত সমতা সত্য:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p): (b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রী ধারণ করে এমন বিভিন্ন অভিব্যক্তি রূপান্তর করার সময় এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রি ধারণকারী রাশির রূপান্তরের উদাহরণ

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি যা প্রদর্শন করে যে এই বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে অভিব্যক্তি রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

1. গণনা করুন 7 (1/4) * 7 (3/4)।

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7।

2. গণনা করুন 9 (2/3): 9 (1/6)।

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. গণনা করুন (16 (1/3)) (9/4)।

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. গণনা করুন 24 (2/3)।

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. গণনা করুন (8/27) (1/3)।

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. অভিব্যক্তি সরল করুন ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. গণনা করুন (25 (1/5))*(125 (1/5))।

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. অভিব্যক্তি সরলীকরণ

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3))।
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 + a - (1-a) = 2*a.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আপনি ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রী ধারণ করে এমন কিছু অভিব্যক্তিকে ব্যাপকভাবে সরল করতে পারেন।

আসুন ক্ষমতার সাথে অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করার বিষয়টি বিবেচনা করা যাক, তবে প্রথমে আমরা অনেকগুলি রূপান্তর নিয়ে চিন্তা করব যা শক্তি সহ যে কোনও অভিব্যক্তির সাথে করা যেতে পারে। আমরা শিখব কীভাবে বন্ধনী খুলতে হয়, পদের মতো দিতে হয়, ভিত্তি এবং সূচকের সাথে কাজ করতে হয়, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে হয়।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন কি?

স্কুল কোর্সে, খুব কম লোকই "পাওয়ার এক্সপ্রেশন" শব্দটি ব্যবহার করে, কিন্তু পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির জন্য এই শব্দটি ক্রমাগত সংগ্রহে পাওয়া যায়। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, বাক্যাংশটি এমন অভিব্যক্তিগুলিকে নির্দেশ করে যা তাদের এন্ট্রিতে ডিগ্রী ধারণ করে। এটিই আমরা আমাদের সংজ্ঞায় প্রতিফলিত করব।

সংজ্ঞা 1

শক্তি অভিব্যক্তিক্ষমতা ধারণ করে একটি অভিব্যক্তি.

আমরা পাওয়ার এক্সপ্রেশনের বেশ কয়েকটি উদাহরণ দিই, একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রি দিয়ে শুরু এবং একটি বাস্তব সূচকের সাথে একটি ডিগ্রি দিয়ে শেষ।

সহজতম শক্তি রাশিগুলিকে একটি স্বাভাবিক সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 −a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 । পাশাপাশি শূন্য সূচক সহ ক্ষমতাগুলি: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 । এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষমতা সহ ক্ষমতাগুলি: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2।

যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক সূচক রয়েছে এমন একটি ডিগ্রি নিয়ে কাজ করা একটু বেশি কঠিন: 264 1 4 - 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 একটি 1 4 একটি 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5।

সূচকটি একটি পরিবর্তনশীল 3 x - 54 - 7 3 x - 58 বা লগারিদম হতে পারে x 2 l g x − 5 x l g x.

আমরা ক্ষমতা অভিব্যক্তি কি প্রশ্ন মোকাবেলা করেছি. এখন তাদের রূপান্তর করা যাক.

শক্তি অভিব্যক্তি রূপান্তর প্রধান ধরনের

প্রথমত, আমরা অভিব্যক্তির মৌলিক পরিচয় রূপান্তরগুলি বিবেচনা করব যা শক্তি অভিব্যক্তির সাথে সঞ্চালিত হতে পারে।

উদাহরণ 1

পাওয়ার এক্সপ্রেশন মান গণনা করুন 2 3 (4 2 − 12).

সমাধান

আমরা কর্মের ক্রম অনুসারে সমস্ত রূপান্তর সম্পাদন করব। এই ক্ষেত্রে, আমরা বন্ধনীতে ক্রিয়া সম্পাদন করে শুরু করব: আমরা একটি ডিজিটাল মান দিয়ে ডিগ্রী প্রতিস্থাপন করব এবং দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য গণনা করব। আমাদের আছে 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

এটা আমাদের জন্য ডিগ্রী প্রতিস্থাপন অবশেষ 2 3 এটার মানে 8 এবং পণ্য গণনা করুন 8 4 = 32. এখানে আমাদের উত্তর.

উত্তর: 2 3 (4 2 − 12) = 32।

উদাহরণ 2

ক্ষমতা দিয়ে অভিব্যক্তি সরল করুন 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

সমাধান

সমস্যার শর্তে আমাদের দেওয়া অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ রয়েছে, যা আমরা আনতে পারি: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 −1.

উত্তর: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 ।

উদাহরণ 3

পণ্য হিসাবে 9 - b 3 · π - 1 2 ক্ষমতা সহ একটি অভিব্যক্তি প্রকাশ করুন।

সমাধান

আসুন 9 সংখ্যাটিকে একটি শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করি 3 2 এবং সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র প্রয়োগ করুন:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

উত্তর: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1।

এবং এখন আসুন অভিন্ন রূপান্তরের বিশ্লেষণে এগিয়ে যাই যা বিশেষভাবে পাওয়ার এক্সপ্রেশনে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

ভিত্তি এবং সূচকের সাথে কাজ করা

বেস বা সূচকের ডিগ্রীতে সংখ্যা, চলক এবং কিছু এক্সপ্রেশন থাকতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7এবং . এই ধরনের রেকর্ড নিয়ে কাজ করা কঠিন। ডিগ্রীর ভিত্তির অভিব্যক্তি বা সূচকে অভিব্যক্তিটিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা অনেক সহজ।

ডিগ্রী এবং সূচকের রূপান্তরগুলি একে অপরের থেকে আলাদাভাবে আমাদের কাছে পরিচিত নিয়ম অনুসারে সঞ্চালিত হয়। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল রূপান্তরের ফলস্বরূপ, একটি অভিব্যক্তি পাওয়া যায় যা আসলটির সাথে অভিন্ন।

রূপান্তরের উদ্দেশ্য হল মূল অভিব্যক্তিকে সরল করা বা সমস্যার সমাধান করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা উপরে যে উদাহরণটি দিয়েছি, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 আপনি ডিগ্রীতে যেতে অপারেশন করতে পারেন 4 , 1 1 , 3 . বন্ধনী খুললে, আমরা ডিগ্রির বেসের মতো পদগুলি আনতে পারি (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)এবং একটি সহজ ফর্মের একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন পান a 2 (x + 1).

পাওয়ার প্রপার্টি ব্যবহার করা

ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য, সমতা হিসাবে লিখিত, ডিগ্রী সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর করার জন্য প্রধান হাতিয়ারগুলির মধ্যে একটি। সেই বিবেচনায় আমরা এখানে মূল বিষয়গুলো তুলে ধরছি কএবং খকোন ধনাত্মক সংখ্যা, এবং rএবং s- নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা:

সংজ্ঞা 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s।

যেসব ক্ষেত্রে আমরা প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, ধনাত্মক সূচক নিয়ে কাজ করছি, সেখানে a এবং b সংখ্যার সীমাবদ্ধতা অনেক কম কঠোর হতে পারে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সমতা বিবেচনা করি a m a n = a m + n, কোথায় মিএবং nপ্রাকৃতিক সংখ্যা, তাহলে এটি a-এর যেকোনো মান, ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয়ের জন্যই সত্য হবে a = 0.

আপনি ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যগুলিকে সীমাবদ্ধতা ছাড়াই প্রয়োগ করতে পারেন যেখানে ডিগ্রিগুলির ভিত্তিগুলি ধনাত্মক হয় বা ভেরিয়েবল থাকে যার গ্রহণযোগ্য মানের পরিসীমা এমন যে বেসগুলি এতে কেবলমাত্র ইতিবাচক মান গ্রহণ করে। প্রকৃতপক্ষে, গণিতে স্কুল পাঠ্যক্রমের কাঠামোর মধ্যে, শিক্ষার্থীর কাজ হল উপযুক্ত সম্পত্তি নির্বাচন করা এবং এটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করা।

বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে ভর্তির জন্য প্রস্তুতি নেওয়ার সময়, এমন কিছু কাজ থাকতে পারে যেখানে বৈশিষ্ট্যগুলির ভুল প্রয়োগের ফলে ODZ সংকুচিত হবে এবং সমাধানের সাথে অন্যান্য অসুবিধা হবে। এই বিভাগে, আমরা এই ধরনের মাত্র দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করব। বিষয়ের উপর আরো তথ্য পাওয়া যাবে "এক্সপোনেন্ট বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে অভিব্যক্তি রূপান্তর করা" বিষয়ে।

উদাহরণ 4

অভিব্যক্তি প্রতিনিধিত্ব a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5একটি বেস সঙ্গে একটি ডিগ্রী হিসাবে ক.

সমাধান

শুরুতে, আমরা সূচকীয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি এবং এটি ব্যবহার করে দ্বিতীয় ফ্যাক্টরকে রূপান্তর করি (a 2) − 3. তারপরে আমরা একই বেসের সাথে শক্তির গুণ এবং ভাগের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a −5 , 5 = a −3 , 5: a −5 , 5 = a −3 , 5 − (−5 , 5 ) = ক 2।

উত্তর: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 ।

ডিগ্রীর সম্পত্তি অনুসারে শক্তির অভিব্যক্তির রূপান্তর বাম থেকে ডানে এবং বিপরীত দিকে উভয়ই করা যেতে পারে।

উদাহরণ 5

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 পাওয়ার রাশির মান নির্ণয় কর।

সমাধান

আমরা যদি সমতা প্রয়োগ করি (a b) r = a r b r, ডান থেকে বামে, তারপর আমরা 3 7 1 3 21 2 3 ফর্মের একটি গুণফল পাব এবং তারপর 21 1 3 21 2 3। একই ঘাঁটি দিয়ে ঘাত গুণ করার সময় সূচক যোগ করা যাক: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21।

রূপান্তর করার আরেকটি উপায় আছে:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

উত্তর: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

উদাহরণ 6

একটি শক্তি অভিব্যক্তি দেওয়া a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, একটি নতুন ভেরিয়েবল লিখুন t = a 0 , 5.

সমাধান

ডিগ্রি কল্পনা করুন একটি 1, 5কিভাবে একটি 0, 5 3. ডিগ্রীতে ডিগ্রী সম্পত্তি ব্যবহার করা (a r) s = a r sডান থেকে বামে এবং পান (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 । ফলে অভিব্যক্তিতে, আপনি সহজেই একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করতে পারেন t = a 0 , 5: পাওয়া t 3 − t − 6.

উত্তর: t 3 − t − 6।

ক্ষমতা ধারণকারী ভগ্নাংশ রূপান্তর

আমরা সাধারণত ভগ্নাংশ সহ পাওয়ার এক্সপ্রেশনের দুটি রূপের সাথে মোকাবিলা করি: অভিব্যক্তিটি একটি ডিগ্রী সহ একটি ভগ্নাংশ বা এমন একটি ভগ্নাংশ রয়েছে। সমস্ত মৌলিক ভগ্নাংশ রূপান্তর সীমাবদ্ধতা ছাড়াই এই ধরনের অভিব্যক্তিতে প্রযোজ্য। এগুলি হ্রাস করা যেতে পারে, একটি নতুন হর নিয়ে আসা যায়, লব এবং হর নিয়ে আলাদাভাবে কাজ করা যায়। উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক।

উদাহরণ 7

পাওয়ার এক্সপ্রেশন 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 সরলীকরণ করুন।

সমাধান

আমরা একটি ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করছি, তাই আমরা লব এবং হর উভয় ক্ষেত্রেই রূপান্তর করব:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

হরটির চিহ্ন পরিবর্তন করতে ভগ্নাংশের সামনে একটি বিয়োগ রাখুন: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

উত্তর: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

শক্তি সম্বলিত ভগ্নাংশগুলি মূলদ ভগ্নাংশের মতো একইভাবে একটি নতুন হর হিসাবে হ্রাস করা হয়। এটি করার জন্য, আপনাকে একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক খুঁজে বের করতে হবে এবং এটি দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করতে হবে। এটি এমনভাবে একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর নির্বাচন করা প্রয়োজন যাতে এটি মূল অভিব্যক্তির জন্য ODZ ভেরিয়েবল থেকে ভেরিয়েবলের কোনো মানের জন্য অদৃশ্য না হয়।

উদাহরণ 8

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হর-এ আনুন: a) a + 1 a 0, 7 ক, খ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 হর x + 8 y 1 2।

সমাধান

ক) আমরা এমন একটি ফ্যাক্টর বেছে নিই যা আমাদেরকে একটি নতুন হরকে কমাতে সাহায্য করবে। a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,অতএব, একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর হিসাবে, আমরা গ্রহণ করি একটি 0, 3. a ভেরিয়েবলের গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরে সমস্ত ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই ক্ষেত্রে, ডিগ্রী একটি 0, 3শূন্যে যায় না।

ভগ্নাংশের লব এবং হরকে এর দ্বারা গুণ করি একটি 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

খ) হরকে মনোযোগ দিন:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

এই রাশিটিকে x 1 3 + 2 · y 1 6 দ্বারা গুণ করুন, আমরা x 1 3 এবং 2 · y 1 6 , অর্থাৎ কিউবের যোগফল পাব। x + 8 · y 1 2। এটি আমাদের নতুন হর, যার সাথে আমাদের মূল ভগ্নাংশটি আনতে হবে।

সুতরাং আমরা একটি অতিরিক্ত গুণনীয়ক x 1 3 + 2 · y 1 6 খুঁজে পেয়েছি। ভেরিয়েবলের গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরে এক্সএবং y x 1 3 + 2 y 1 6 রাশিটি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই আমরা এটি দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করতে পারি:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

উত্তর: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2।

উদাহরণ 9

ভগ্নাংশটি হ্রাস করুন: ক) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, খ) একটি 1 4 - খ 1 4 একটি 1 2 - খ 1 2।

সমাধান

ক) সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ হর (GCD) ব্যবহার করুন যার দ্বারা লব এবং হর হ্রাস করা যেতে পারে। 30 এবং 45 নম্বরের জন্য, এটি 15। আমরাও কমাতে পারি x 0 , 5 + 1এবং x + 2 x 1 1 3 - 5 3 এর উপর।

আমরা পেতে:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

খ) এখানে অভিন্ন কারণের উপস্থিতি স্পষ্ট নয়। লব এবং হর-এ একই ফ্যাক্টর পেতে আপনাকে কিছু রূপান্তর করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে হরকে প্রসারিত করি:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

উত্তর:ক) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 ।

ভগ্নাংশের সাথে মৌলিক ক্রিয়াকলাপের মধ্যে রয়েছে একটি নতুন হর হ্রাস করা এবং ভগ্নাংশের হ্রাস। উভয় ক্রিয়া বেশ কয়েকটি নিয়ম মেনে সঞ্চালিত হয়। ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করার সময়, ভগ্নাংশগুলি প্রথমে একটি সাধারণ হর-এ ছোট করা হয়, তারপরে সংখ্যার সাথে ক্রিয়া (যোগ বা বিয়োগ) করা হয়। হর একই থাকে। আমাদের কর্মের ফলাফল হল একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হল লবগুলির গুণফল, এবং হর হল হরগুলির গুণফল।

উদাহরণ 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 ধাপগুলি করুন।

সমাধান

বন্ধনীতে থাকা ভগ্নাংশগুলিকে বিয়োগ করে শুরু করা যাক। আসুন সেগুলিকে একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে আসি:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

আসুন অংকগুলি বিয়োগ করি:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

এখন আমরা ভগ্নাংশ গুণ করি:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

এর একটি ডিগ্রী দ্বারা হ্রাস করা যাক x 1 2, আমরা 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 পাই।

অতিরিক্তভাবে, আপনি বর্গের পার্থক্যের সূত্রটি ব্যবহার করে হর-এ পাওয়ার এক্সপ্রেশন সহজ করতে পারেন: বর্গ: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1।

উত্তর: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

উদাহরণ 11

পাওয়ার এক্সপ্রেশন x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 সরলীকরণ করুন।
সমাধান

আমরা দ্বারা ভগ্নাংশ কমাতে পারেন (x 2 , 7 + 1) 2. আমরা একটি ভগ্নাংশ x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 পাই।

চলুন x ক্ষমতা x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 এর রূপান্তর চালিয়ে যাওয়া যাক। এখন আপনি একই বেসগুলির সাথে পাওয়ার ডিভিশনের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারেন: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1।

আমরা শেষ পণ্য থেকে ভগ্নাংশ x 1 3 8 x 2, 7 + 1 এ পাস করি।

উত্তর: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1।

বেশীরভাগ ক্ষেত্রে, সূচকের চিহ্ন পরিবর্তন করে লব থেকে হর-এ ঋণাত্মক সূচক সহ গুণক স্থানান্তর করা আরও সুবিধাজনক। এই ক্রিয়াটি পরবর্তী সিদ্ধান্তকে সহজ করে তোলে। একটি উদাহরণ দেওয়া যাক: পাওয়ার এক্সপ্রেশন (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 x 3 · (x + 1) 0 , 2 দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

মূল এবং ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর

কার্যগুলিতে, এমন শক্তির অভিব্যক্তি রয়েছে যেগুলিতে ভগ্নাংশের সূচকগুলির সাথে শুধুমাত্র ডিগ্রীই নয়, মূলও রয়েছে। এই ধরনের অভিব্যক্তি শুধুমাত্র শিকড় বা শুধুমাত্র ক্ষমতা হ্রাস করা বাঞ্ছনীয়। ডিগ্রীতে রূপান্তর করা পছন্দনীয়, যেহেতু সেগুলির সাথে কাজ করা সহজ। এই ধরনের ট্রানজিশন বিশেষত সুবিধাজনক যখন মূল এক্সপ্রেশনের জন্য ভেরিয়েবলের DPV আপনাকে মডুলাস অ্যাক্সেস না করেই বা DPV-কে কয়েকটি ব্যবধানে বিভক্ত না করেই ক্ষমতা দিয়ে শিকড় প্রতিস্থাপন করতে দেয়।

উদাহরণ 12

x 1 9 x x 3 6 রাশিটিকে একটি শক্তি হিসাবে প্রকাশ করুন।

সমাধান

একটি ভেরিয়েবলের বৈধ পরিসর এক্সদুটি অসমতা দ্বারা নির্ধারিত হয় x ≥ 0এবং x · x 3 ≥ 0 , যা সেটটিকে সংজ্ঞায়িত করে [ 0 , + ∞) .

এই সেটে, আমাদের শিকড় থেকে ক্ষমতায় যাওয়ার অধিকার রয়েছে:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা ফলাফল পাওয়ার এক্সপ্রেশনকে সরল করি।

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

উত্তর: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3।

এক্সপোনেন্টে ভেরিয়েবল সহ শক্তিগুলিকে রূপান্তর করা

আপনি যদি সঠিকভাবে ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করেন তবে এই রূপান্তরগুলি করা বেশ সহজ। উদাহরণ স্বরূপ, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

আমরা ডিগ্রির গুণফলকে প্রতিস্থাপন করতে পারি, যার পরিপ্রেক্ষিতে কিছু পরিবর্তনশীল এবং একটি সংখ্যার যোগফল পাওয়া যায়। বাম দিকে, অভিব্যক্তির বাম দিকে প্রথম এবং শেষ পদ দিয়ে এটি করা যেতে পারে:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0।

এখন সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে ভাগ করা যাক 7 2 x. পরিবর্তনশীল x-এর ODZ-এ এই অভিব্যক্তিটি শুধুমাত্র ধনাত্মক মান নেয়:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

ভগ্নাংশগুলোকে ক্ষমতা দিয়ে কমানো যাক, আমরা পাব: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0।

অবশেষে, একই সূচকের সাথে শক্তির অনুপাত অনুপাতের শক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যা 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 সমীকরণে নিয়ে যায়, যা 5 5 7 x 2 - 3 5 7 এর সমতুল্য। x - 2 = 0।

আসুন একটি নতুন চলক t = 5 7 x প্রবর্তন করি, যা মূল সূচকীয় সমীকরণের সমাধানকে দ্বিঘাত সমীকরণ 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 এর সমাধানে কমিয়ে দেয়।

ক্ষমতা এবং লগারিদম সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর

ক্ষমতা এবং লগারিদম সম্বলিত অভিব্যক্তিগুলিও সমস্যাগুলিতে পাওয়া যায়। এই ধরনের অভিব্যক্তির উদাহরণ হল: 1 4 1 - 5 লগ 2 3 বা লগ 3 27 9 + 5 (1 - লগ 3 5) লগ 5 3। এই ধরনের অভিব্যক্তির রূপান্তরটি উপরে আলোচিত পদ্ধতি এবং লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়, যা আমরা "লগারিদমিক অভিব্যক্তির রূপান্তর" বিষয়ে বিশদভাবে বিশ্লেষণ করেছি।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

অভিব্যক্তি, অভিব্যক্তি রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশন (ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি) এবং তাদের রূপান্তর

এই নিবন্ধে, আমরা ক্ষমতার সাথে অভিব্যক্তি রূপান্তর সম্পর্কে কথা বলব। প্রথমত, আমরা সেই রূপান্তরগুলির উপর ফোকাস করব যা যে কোনও ধরণের অভিব্যক্তির সাথে সঞ্চালিত হয়, যার মধ্যে পাওয়ার এক্সপ্রেশন, যেমন বন্ধনী খোলা, অনুরূপ পদগুলি হ্রাস করা। এবং তারপরে আমরা ডিগ্রী সহ অভিব্যক্তিতে অন্তর্নিহিত রূপান্তরগুলি বিশ্লেষণ করব: বেস এবং সূচকের সাথে কাজ করা, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে ইত্যাদি।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

পাওয়ার এক্সপ্রেশন কি?

"পাওয়ার এক্সপ্রেশন" শব্দটি কার্যত গণিতের স্কুল পাঠ্যপুস্তকে পাওয়া যায় না, তবে এটি প্রায়শই সমস্যাগুলির সংগ্রহে উপস্থিত হয়, বিশেষত ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা এবং OGE-এর জন্য প্রস্তুত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ,। যে কাজগুলিতে পাওয়ার এক্সপ্রেশন সহ যে কোনও ক্রিয়া সম্পাদন করার প্রয়োজন হয় তা বিশ্লেষণ করার পরে, এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলি তাদের এন্ট্রিতে ডিগ্রী ধারণকারী অভিব্যক্তি হিসাবে বোঝা যায়। অতএব, নিজের জন্য, আপনি নিম্নলিখিত সংজ্ঞা নিতে পারেন:

সংজ্ঞা।

শক্তি অভিব্যক্তিক্ষমতা ধারণকারী অভিব্যক্তি.

নিয়ে আসি শক্তি প্রকাশের উদাহরণ. তদুপরি, প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রি থেকে একটি বাস্তব সূচক সহ একটি ডিগ্রি পর্যন্ত দৃষ্টিভঙ্গির বিকাশ কীভাবে ঘটে সে অনুসারে আমরা তাদের প্রতিনিধিত্ব করব।

আপনি জানেন যে, প্রথমে আপনি একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি সংখ্যার ডিগ্রির সাথে পরিচিত হন, এই পর্যায়ে 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) টাইপের প্রথম সহজতম পাওয়ার এক্সপ্রেশন। ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ইত্যাদি।

একটু পরে, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তি অধ্যয়ন করা হয়, যা নিম্নলিখিতগুলির মতো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার শক্তি সহ পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলির উপস্থিতির দিকে পরিচালিত করে: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2।

সিনিয়র ক্লাসে, তারা আবার ডিগ্রিতে ফিরে আসে। সেখানে, একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রি চালু করা হয়, যা সংশ্লিষ্ট শক্তি অভিব্যক্তিগুলির উপস্থিতির দিকে নিয়ে যায়: , , এবং তাই অবশেষে, অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী এবং সেগুলি ধারণকারী এক্সপ্রেশন বিবেচনা করা হয়: , .

বিষয়টি শুধুমাত্র তালিকাভুক্ত পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মধ্যেই সীমাবদ্ধ নয়: আরও ভেরিয়েবলটি এক্সপোনেন্টের মধ্যে প্রবেশ করে, এবং উদাহরণস্বরূপ, এই ধরনের এক্সপ্রেশন 2 x 2 +1 বা . এবং পরিচিত হওয়ার পরে, ক্ষমতা এবং লগারিদম সহ অভিব্যক্তিগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, উদাহরণস্বরূপ, x 2 lgx −5 x lgx।

সুতরাং, আমরা শক্তির অভিব্যক্তি কি সেই প্রশ্নটি বের করেছি। পরবর্তী, আমরা শিখব কিভাবে তাদের রূপান্তর করা যায়।

শক্তি অভিব্যক্তি রূপান্তর প্রধান ধরনের

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের সাহায্যে, আপনি যেকোন মৌলিক কাজ করতে পারেন অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর. উদাহরণস্বরূপ, আপনি বন্ধনী খুলতে পারেন, সাংখ্যিক অভিব্যক্তিগুলিকে তাদের মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন, পদের মতো যোগ করতে পারেন এবং আরও অনেক কিছু করতে পারেন। স্বাভাবিকভাবেই, এই ক্ষেত্রে এটি গৃহীত মেনে চলতে প্রয়োজন কর্মের ক্রম. উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মান গণনা করুন 2 3 ·(4 2 −12)।

সমাধান।

কর্মের ক্রম অনুসারে, আমরা প্রথমে বন্ধনীতে ক্রিয়া সম্পাদন করি। সেখানে, প্রথমত, আমরা 4 2 এর শক্তিকে এর মান 16 দিয়ে প্রতিস্থাপন করি (প্রয়োজন হলে দেখুন), এবং দ্বিতীয়ত, আমরা পার্থক্য 16−12=4 গণনা করি। আমাদের আছে 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিতে, আমরা 2 3 এর শক্তিকে এর মান 8 দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তারপরে আমরা গুণফল 8·4=32 গণনা করি। এই কাঙ্ক্ষিত মান.

তাই, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

উত্তর:

2 3 (4 2 −12)=32।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকরণ করুন 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

সমাধান।

স্পষ্টতই, এই অভিব্যক্তি রয়েছে শর্ত মতন 3 a 4 b −7 এবং 2 a 4 b −7 , এবং আমরা সেগুলি কমাতে পারি: .

উত্তর:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

উদাহরণ।

একটি পণ্য হিসাবে ক্ষমতা সহ একটি অভিব্যক্তি প্রকাশ করুন.

সমাধান।

টাস্কের সাথে মোকাবিলা করার জন্য 3 2 এর শক্তি হিসাবে 9 নম্বরের উপস্থাপনা এবং পরবর্তী ব্যবহারের অনুমতি দেয় সংক্ষেপে গুণন সূত্রবর্গক্ষেত্রের পার্থক্য:

উত্তর:

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের অন্তর্নিহিত বেশ কয়েকটি অভিন্ন রূপান্তরও রয়েছে। পরবর্তী, আমরা তাদের বিশ্লেষণ করব।

ভিত্তি এবং সূচকের সাথে কাজ করা

ডিগ্রী আছে, যার ভিত্তি এবং/অথবা সূচক শুধুমাত্র সংখ্যা বা ভেরিয়েবল নয়, কিছু এক্সপ্রেশন। উদাহরণ হিসেবে, আসুন লিখি (2+0.3 7) 5−3.7 এবং (a (a+1)−a 2) 2 (x+1)।

অনুরূপ রাশির সাথে কাজ করার সময়, ডিগ্রির ভিত্তির অভিব্যক্তি এবং সূচকের অভিব্যক্তি উভয়ই একটি অভিন্ন সমান অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে ODZতার ভেরিয়েবল। অন্য কথায়, আমাদের পরিচিত নিয়ম অনুযায়ী, আমরা আলাদাভাবে ডিগ্রীর ভিত্তি রূপান্তর করতে পারি, এবং আলাদাভাবে - নির্দেশক। এটা স্পষ্ট যে এই রূপান্তরের ফলে, একটি অভিব্যক্তি প্রাপ্ত হয় যা মূলের সমান।

এই ধরনের রূপান্তরগুলি আমাদেরকে ক্ষমতা দিয়ে অভিব্যক্তিকে সরল করতে বা আমাদের প্রয়োজনীয় অন্যান্য লক্ষ্যগুলি অর্জন করতে দেয়। উদাহরণ স্বরূপ, উপরে উল্লিখিত পাওয়ার এক্সপ্রেশনে (2+0.3 7) 5−3.7, আপনি বেস এবং এক্সপোনেন্টের সংখ্যা দিয়ে অপারেশন করতে পারবেন, যা আপনাকে 4.1 1.3 এর পাওয়ারে যেতে দেবে। এবং বন্ধনীগুলি খোলার পরে এবং ডিগ্রির বেসে অনুরূপ পদগুলি আনার পরে (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) আমরা একটি 2·(x+1) একটি সরল আকারের পাওয়ার এক্সপ্রেশন পাই। )

পাওয়ার প্রপার্টি ব্যবহার করা

ক্ষমতার সাথে অভিব্যক্তি রূপান্তর করার প্রধান হাতিয়ারগুলির মধ্যে একটি হল সমতা যা প্রতিফলিত করে। আমাদের প্রধান বেশী স্মরণ করা যাক. যে কোন ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b এবং নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা r এবং s এর জন্য, নিম্নলিখিত শক্তি বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে:

• a r a s = a r + s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s।

মনে রাখবেন যে প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক সূচকের জন্য, a এবং b সংখ্যার উপর সীমাবদ্ধতা এতটা কঠোর নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n এর জন্য, সমতা a m ·a n =a m+n শুধুমাত্র ধনাত্মক a এর জন্য নয়, ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য এবং a=0 এর জন্যও সত্য।

স্কুলে, শক্তির অভিব্যক্তির রূপান্তরের ক্ষেত্রে প্রধান মনোযোগ যথাযথ সম্পত্তি চয়ন করার এবং এটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করার ক্ষমতার উপর সুনির্দিষ্টভাবে ফোকাস করা হয়। এই ক্ষেত্রে, ডিগ্রিগুলির ভিত্তিগুলি সাধারণত ইতিবাচক হয়, যা আপনাকে সীমাবদ্ধতা ছাড়াই ডিগ্রিগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে দেয়। ডিগ্রীর বেসে ভেরিয়েবল সম্বলিত এক্সপ্রেশনের রূপান্তরের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য - ভেরিয়েবলের গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর সাধারণত এমন হয় যে বেসগুলি এটিতে শুধুমাত্র ইতিবাচক মান গ্রহণ করে, যা আপনাকে অবাধে বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে দেয় ডিগ্রী সাধারণভাবে, আপনাকে ক্রমাগত নিজেকে জিজ্ঞাসা করতে হবে যে এই ক্ষেত্রে ডিগ্রির কোনও সম্পত্তি প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা, কারণ বৈশিষ্ট্যগুলির ভুল ব্যবহার DPV এবং অন্যান্য সমস্যাগুলির সংকীর্ণতা সৃষ্টি করতে পারে। এই পয়েন্টগুলি বিস্তারিতভাবে এবং নিবন্ধে উদাহরণ সহ আলোচনা করা হয়েছে। ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে অভিব্যক্তির রূপান্তর. এখানে আমরা কয়েকটি সাধারণ উদাহরণে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখি।

উদাহরণ।

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 কে বেস a সহ একটি ঘাত হিসাবে প্রকাশ করুন।

সমাধান।

প্রথমত, আমরা দ্বিতীয় গুণনীয়ক (a 2) −3 কে একটি শক্তিতে উন্নীত করার বৈশিষ্ট্য দ্বারা রূপান্তর করি: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. এই ক্ষেত্রে, প্রাথমিক শক্তি অভিব্যক্তিটি একটি 2.5 ·a −6:a −5.5 রূপ নেবে। স্পষ্টতই, একই বেসের সাথে গুণন এবং বিভাজনের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা বাকি রয়েছে, আমাদের আছে
a 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2।

উত্তর:

a 2.5 (a 2)-3:a -5.5 \u003d a 2.

বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে উভয় শক্তির অভিব্যক্তি রূপান্তর করার সময় পাওয়ার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মান নির্ণয় কর।

সমাধান।

সমতা (a·b) r =a r·b r , ডান থেকে বামে প্রয়োগ করা হয়, আপনাকে মূল অভিব্যক্তি থেকে ফর্মের গুণফল এবং আরও এগিয়ে যেতে দেয়। এবং একই বেসের সাথে শক্তিকে গুণ করার সময়, সূচকগুলি যোগ হয়: .

মূল অভিব্যক্তির রূপান্তর অন্য উপায়ে সম্পাদন করা সম্ভব ছিল:

উত্তর:

.

উদাহরণ।

একটি 1.5 −a 0.5 −6 পাওয়ার এক্সপ্রেশন দেওয়া হলে, একটি নতুন পরিবর্তনশীল t=a 0.5 লিখুন।

সমাধান।

ডিগ্রী a 1.5 কে 0.5 3 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং আরও ডিগ্রীতে ডিগ্রীর সম্পত্তির ভিত্তিতে (a r) s =a r s ডান থেকে বাম দিকে প্রয়োগ করা হয়, এটিকে (a 0.5) 3 আকারে রূপান্তর করুন। এইভাবে, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. এখন একটি নতুন চলক t=a 0.5 প্রবর্তন করা সহজ, আমরা t 3 −t−6 পাই।

উত্তর:

t 3 −t−6 ।

ক্ষমতা ধারণকারী ভগ্নাংশ রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশনে শক্তি সহ ভগ্নাংশ থাকতে পারে বা এই ধরনের ভগ্নাংশের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। যেমন ভগ্নাংশ, প্রধান যে কোনো ভগ্নাংশ রূপান্তর, যে কোনো ধরনের ভগ্নাংশ সহজাত. অর্থাৎ, যে ভগ্নাংশগুলি ডিগ্রী ধারণ করে সেগুলি হ্রাস করা যেতে পারে, একটি নতুন হর হিসাবে হ্রাস করা যেতে পারে, তাদের লবের সাথে আলাদাভাবে এবং হরের সাথে আলাদাভাবে কাজ করতে পারে ইত্যাদি। উপরের শব্দগুলো বোঝাতে, কয়েকটি উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকৃত করুন .

সমাধান।

এই শক্তি অভিব্যক্তি একটি ভগ্নাংশ. এর লব এবং হর নিয়ে কাজ করা যাক। লবটিতে, আমরা বন্ধনীগুলি খুলি এবং ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এর পরে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটিকে সরল করি এবং হরটিতে আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি:

এবং আমরা ভগ্নাংশের সামনে একটি বিয়োগ রেখে হরটির চিহ্নও পরিবর্তন করি: .

উত্তর:

.

একটি নতুন হরকে শক্তি সম্বলিত ভগ্নাংশ হ্রাস করা একইভাবে একটি নতুন হরকে মূলদ ভগ্নাংশ হ্রাস করার মতোই সঞ্চালিত হয়। একই সময়ে, একটি অতিরিক্ত গুণনীয়কও পাওয়া যায় এবং ভগ্নাংশের লব এবং হরকে এটি দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করার সময়, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি নতুন হরকে হ্রাস করার ফলে DPV সংকীর্ণ হতে পারে। এটি যাতে না ঘটে তার জন্য, মূল অভিব্যক্তির জন্য ODZ ভেরিয়েবল থেকে ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি অদৃশ্য না হওয়া প্রয়োজন।

উদাহরণ।

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হর এ আনুন: ক) হর এ, খ) হরকে

সমাধান।

ক) এই ক্ষেত্রে, কোন অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি পছন্দসই ফলাফল অর্জনে সহায়তা করে তা নির্ধারণ করা বেশ সহজ। 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a থেকে এটি একটি 0.3 একটি গুণনীয়ক। উল্লেখ্য যে পরিবর্তনশীল a (এটি সমস্ত ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট) এর গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরে, 0.3 ডিগ্রীটি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই, প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করার অধিকার আমাদের রয়েছে এই অতিরিক্ত ফ্যাক্টর দ্বারা:

খ) হরকে আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখলে আমরা তা দেখতে পাই

এবং এই রাশিটিকে দ্বারা গুণ করলে ঘনক্ষেত্রের যোগফল পাওয়া যাবে এবং , অর্থাৎ . এবং এটি হল নতুন হর যা আমাদের মূল ভগ্নাংশটি আনতে হবে।

তাই আমরা একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পেয়েছি। x এবং y ভেরিয়েবলের গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরে অভিব্যক্তিটি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই, আমরা এটি দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করতে পারি:

উত্তর:

ক) , খ) .

ডিগ্রী সম্বলিত ভগ্নাংশের হ্রাসের ক্ষেত্রেও নতুন কিছু নেই: লব এবং হরকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক গুণক হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং লব এবং হরের একই কারণগুলি হ্রাস করা হয়।

উদাহরণ।

ভগ্নাংশ হ্রাস করুন: ক) , খ)।

সমাধান।

ক) প্রথমে, লব এবং হর 30 এবং 45 সংখ্যা দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, যা 15 এর সমান। এছাড়াও, স্পষ্টতই, আপনি x 0.5 +1 এবং দ্বারা কমাতে পারেন . আমাদের যা আছে তা এখানে:

b) এই ক্ষেত্রে, লব এবং হর এর মধ্যে একই কারণগুলি অবিলম্বে দৃশ্যমান হয় না। এগুলি পেতে, আপনাকে প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, তারা বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য অনুসারে হরকে ফ্যাক্টরগুলিতে পচিয়ে দেয়:

উত্তর:

ক)

খ) .

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হরকে হ্রাস করা এবং ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করা প্রধানত ভগ্নাংশের উপর ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়। কর্ম পরিচিত নিয়ম অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়. ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করার সময়, তারা একটি সাধারণ হর এ ছোট করা হয়, তারপর লব যোগ করা হয় (বিয়োগ) এবং হর একই থাকে। ফলাফল হল একটি ভগ্নাংশ যার লব হল লবগুলির গুণফল, এবং হর হল হরগুলির গুণফল। একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ তার পারস্পরিক দ্বারা গুণিত হয়.

উদাহরণ।

পদক্ষেপগুলো অনুসরণ কর .

সমাধান।

প্রথমত, আমরা বন্ধনীতে ভগ্নাংশ বিয়োগ করি। এটি করার জন্য, আমরা তাদের একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে এসেছি, যা হল , তারপর সংখ্যা বিয়োগ করুন:

এখন আমরা ভগ্নাংশ গুণ করি:

স্পষ্টতই, শক্তি x 1/2 দ্বারা একটি হ্রাস সম্ভব, যার পরে আমাদের আছে .

আপনি বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে হর-এ পাওয়ার এক্সপ্রেশনকেও সরল করতে পারেন: .

উত্তর:

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকৃত করুন .

সমাধান।

স্পষ্টতই, এই ভগ্নাংশটি (x 2.7 +1) 2 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, এটি ভগ্নাংশটি দেয় . এটা স্পষ্ট যে x এর ক্ষমতা দিয়ে অন্য কিছু করা দরকার। এটি করার জন্য, আমরা ফলস্বরূপ ভগ্নাংশকে একটি পণ্যে রূপান্তর করি। এটি আমাদের একই ঘাঁটিগুলির সাথে বিভাজনের ক্ষমতার সম্পত্তি ব্যবহার করার সুযোগ দেয়: . এবং প্রক্রিয়া শেষে, আমরা শেষ পণ্য থেকে ভগ্নাংশে পাস করি।

উত্তর:

.

এবং আমরা যোগ করি যে সূচকের চিহ্ন পরিবর্তন করে লব থেকে হর বা হর থেকে লবটিতে ঋণাত্মক সূচক সহ গুণনীয়কগুলি স্থানান্তর করা সম্ভব এবং অনেক ক্ষেত্রেই বাঞ্ছনীয়। এই ধরনের রূপান্তরগুলি প্রায়শই পরবর্তী ক্রিয়াগুলিকে সহজ করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

মূল এবং ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর

প্রায়শই অভিব্যক্তিতে যেখানে কিছু রূপান্তরের প্রয়োজন হয়, ভগ্নাংশের সূচক সহ ডিগ্রী সহ, সেখানে মূলও থাকে। এই জাতীয় অভিব্যক্তিকে পছন্দসই আকারে রূপান্তর করতে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি কেবলমাত্র শিকড়ে বা শুধুমাত্র ক্ষমতাগুলিতে যাওয়াই যথেষ্ট। কিন্তু যেহেতু ডিগ্রী নিয়ে কাজ করা আরও সুবিধাজনক, তাই তারা সাধারণত শিকড় থেকে ডিগ্রীতে চলে যায়। যাইহোক, যখন মূল অভিব্যক্তির জন্য ভেরিয়েবলের ODZ আপনাকে মডিউল অ্যাক্সেস করার প্রয়োজন ছাড়াই শিকড়গুলিকে ডিগ্রী দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে দেয় বা ODZ কে কয়েকটি ব্যবধানে বিভক্ত করতে দেয় তখন এই ধরনের একটি রূপান্তর চালানোর পরামর্শ দেওয়া হয় (আমরা এই বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি নিবন্ধ, শিকড় থেকে ক্ষমতায় রূপান্তর এবং তদ্বিপরীত একটি যৌক্তিক সূচকের সাথে ডিগ্রির সাথে পরিচিত হওয়ার পরে একটি অযৌক্তিক সূচকের সাথে একটি ডিগ্রি প্রবর্তন করা হয়, যা একটি নির্বিচারে বাস্তব নির্দেশকের সাথে একটি ডিগ্রির কথা বলা সম্ভব করে তোলে৷ এই পর্যায়ে, স্কুল পড়া শুরু করে ব্যাখ্যামূলক কাজ, যা বিশ্লেষণাত্মকভাবে ডিগ্রী দ্বারা প্রদত্ত, যার ভিত্তিতে একটি সংখ্যা রয়েছে এবং সূচকে - একটি পরিবর্তনশীল। তাই আমরা ডিগ্রীর বেসে সংখ্যা সম্বলিত পাওয়ার এক্সপ্রেশনের সম্মুখীন হই, এবং এক্সপোনেন্টে - ভেরিয়েবল সহ এক্সপ্রেশন, এবং স্বাভাবিকভাবেই এই ধরনের এক্সপ্রেশনের রূপান্তর করার প্রয়োজন দেখা দেয়।

এটা বলা উচিত যে নির্দেশিত ধরণের অভিব্যক্তির রূপান্তর সাধারণত সমাধান করার সময় সম্পাদন করতে হয় সূচকীয় সমীকরণএবং সূচকীয় অসমতা, এবং এই রূপান্তরগুলি বেশ সহজ। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এগুলি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় এবং ভবিষ্যতে একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের লক্ষ্যে থাকে। সমীকরণ আমাদের তাদের প্রদর্শন করার অনুমতি দেবে 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

প্রথমত, সূচকগুলি, যার সূচকে কিছু চলকের যোগফল (বা চলক সহ অভিব্যক্তি) এবং একটি সংখ্যা পাওয়া যায়, তারা পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এটি বাম দিকের অভিব্যক্তির প্রথম এবং শেষ পদগুলিতে প্রযোজ্য:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

এরপরে, সমতার উভয় দিককে 7 2 x অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ করা হয়, যা মূল সমীকরণের জন্য ODZ ভেরিয়েবল x-এ শুধুমাত্র ইতিবাচক মান নেয় (এটি এই ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি আদর্শ কৌশল, আমরা কথা বলছি না। এটা এখন, তাই ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তির পরবর্তী রূপান্তরের উপর ফোকাস করুন ):

এখন ক্ষমতা সহ ভগ্নাংশ বাতিল করা হয়, যা দেয় .

অবশেষে, একই সূচকের সাথে শক্তির অনুপাত অনুপাতের শক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যা সমীকরণের দিকে নিয়ে যায় , যা সমতুল্য . করা রূপান্তরগুলি আমাদের একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করতে দেয়, যা মূল সূচকীয় সমীকরণের সমাধানকে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানে কমিয়ে দেয়।

আই.ভি. বোইকভ, এল.ডি. রোমানভাপরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য কাজের সংগ্রহ। পার্ট 1। পেনজা 2003।