প্রাকৃতিক সংখ্যা (N)। মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা। ভাজক, একাধিক। সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক, সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক। "পূর্ণসংখ্যা। বিভাজ্যতা লক্ষণ। GCD এবং LCM বিয়োগ। minuend - subtrahend = পার্থক্য

প্রাকৃতিক সংখ্যা মৌলিক, এবং সম্ভবত গণিতের প্রথম ধারণাগুলির মধ্যে একটি।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট = (1, 2, 3…)। অর্থাৎ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট হল সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট। যোগ, গুণ, বিয়োগ এবং ভাগের কাজগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগ, গুণ ও বিয়োগের ফলাফল একটি পূর্ণসংখ্যা। এবং দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ভাগ করার ফলাফল একটি পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ সংখ্যা হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ: 20: 4 = 5 - বিভাজনের ফলাফল একটি পূর্ণসংখ্যা।
20: 3 \u003d 6 2/3 - ভাগের ফলাফল একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা।
একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা n কে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা m দ্বারা বিভাজ্য বলা হয় যদি ভাগের ফলাফল একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। এই ক্ষেত্রে, m সংখ্যাটিকে n সংখ্যার ভাজক বলা হয় এবং n সংখ্যাটিকে m সংখ্যার গুণিতক বলা হয়।

প্রথম উদাহরণে 20 হল 4 দ্বারা বিভাজ্য, 4 হল 20 এর একটি ভাজক, 20 হল 4 এর গুণিতক।
দ্বিতীয় উদাহরণে, 20 সংখ্যাটি 3 সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই ভাজক এবং গুণিতকের কোনও প্রশ্ন থাকতে পারে না।

একটি সংখ্যা n কে প্রাইম বলা হয় যদি এর নিজের এবং একটি ছাড়া অন্য কোন ভাজক না থাকে। মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ: 2, 7, 11, 97, ইত্যাদি।
একটি সংখ্যা n কে যৌগিক বলা হয় যদি তার নিজের এবং একটি ছাড়া অন্য ভাজক থাকে।

যেকোন প্রাকৃতিক সংখ্যাকে প্রাইমগুলির একটি গুণফলের মধ্যে পচানো যেতে পারে এবং এই পচন গুণনীয়কগুলির ক্রম পর্যন্ত অনন্য। উদাহরণস্বরূপ: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - এই সমস্ত সম্প্রসারণ শুধুমাত্র গুণনীয়কগুলির ক্রম অনুসারে আলাদা।

m এবং n দুটি সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল বৃহত্তম স্বাভাবিক সংখ্যা যা m এবং n-এর ভাজক উভয়েরই ভাজক। উদাহরণস্বরূপ, 34 এবং 85 সংখ্যার জন্য, সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল 17।

m এবং n দুটি সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা যা m এবং n উভয়ের গুণিতক। উদাহরণস্বরূপ, 15 এবং 4 সংখ্যার জন্য, সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল 60 হবে।

দুটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা তাদের গুণফল দ্বারাও বিভাজ্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সংখ্যা 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে এটি 6 = 23 দ্বারাও বিভাজ্য, যদি 11 দ্বারা এবং 7 দ্বারা, তাহলে 77 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 6930 সংখ্যাটি 11 - 6930: 11 \u003d 630 দ্বারা বিভাজ্য, এবং 7 - 6930: 7 \u003d 990 দ্বারা বিভাজ্য। আমরা নিরাপদে বলতে পারি যে এই সংখ্যাটিও 77 দ্বারা বিভাজ্য। আসুন পরীক্ষা করা যাক: 6930: \u003d 7 u003d 90।

প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে n সংখ্যাটিকে পচানোর জন্য অ্যালগরিদম:

1. n (1 ব্যতীত) - a1-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক নির্ণয় কর।
2. n সংখ্যাটিকে a1 দ্বারা ভাগ করুন, ভাগফলকে n1 দ্বারা চিহ্নিত করুন।
3. n=a1 n1.
4. আমরা একটি মৌলিক সংখ্যা না পাওয়া পর্যন্ত n1 দিয়ে একই অপারেশন করি।

উদাহরণ: 17,136 সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করা

1. 1 ব্যতীত ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 2।

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. 8568-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 2।

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. 4284-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 2।

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. 2142-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 2।

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. 1071-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 3।

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. 357-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 3।

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. 119-এর ক্ষুদ্রতম মৌলিক ভাজক হল 7।

20. 119: 7 = 17;

21. 17 একটি মৌলিক সংখ্যা, তাই 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2।

আমরা 17,136 নম্বরের একটি পচনকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পেয়েছি।

স্বাভাবিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতককএবংখএমন একটি সংখ্যা যা প্রদত্ত প্রতিটি সংখ্যার একাধিক।

সব সাধারণ গুণিতকের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কএবং খডাকা এই সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক.

সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক কএবং খআসুন কে বোঝাই ক, খ).

উদাহরণস্বরূপ, 12 এবং 18 দুটি সংখ্যা সাধারণ গুণিতক: 36, 72, 108, 144, 180, ইত্যাদি। 36 সংখ্যাটি 12 এবং 18 সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক। আপনি লিখতে পারেন: K (12, 18) \u003d 36।

সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক জন্য, নিম্নলিখিত বিবৃতি সত্য:

1. সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক কএবং খ

2. সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক কএবং খপ্রদত্ত সংখ্যার বড় থেকে কম নয়, যেমন যদি a >খ, তারপর K( ক, খ) ≥ ক.

3. সংখ্যার যেকোনো সাধারণ গুণিতক কএবং খতাদের সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক দ্বারা বিভাজ্য।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক

প্রাকৃতিক সংখ্যার সাধারণ ভাজক a এবংখপ্রদত্ত প্রতিটি সংখ্যার ভাজক হল সেই সংখ্যা.

সংখ্যার সকল সাধারণ ভাজকের বৃহত্তম সংখ্যা কএবং খপ্রদত্ত সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক বলা হয়।

সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খআসুন আমরা D বোঝাই( ক, খ).

উদাহরণস্বরূপ, 12 এবং 18 সংখ্যার জন্য, সাধারণ ভাজক হল সংখ্যা: 1, 2, 3, 6। সংখ্যা 6 হল 12 এবং 18। আপনি লিখতে পারেন: D(12, 18) = 6।

সংখ্যা 1 হল যেকোনো দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি সাধারণ ভাজক কএবং খ. যদি এই সংখ্যাগুলির অন্য কোন সাধারণ ভাজক না থাকে, তাহলে D( ক, খ) = 1, এবং সংখ্যা কএবং খডাকা coprime.

উদাহরণস্বরূপ, 14 এবং 15 সংখ্যাগুলি D(14, 15) = 1 থেকে কপ্রাইম।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের জন্য, নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সত্য:

1. সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খসর্বদা বিদ্যমান এবং অনন্য।

2. সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খপ্রদত্ত সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যা অতিক্রম করে না, যেমন যদি ক< খ, তারপর ডি(ক, খ) ≤ ক

3. সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খএই সংখ্যার যেকোনো সাধারণ ভাজক দ্বারা বিভাজ্য।

সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ গুণিতক কএবং খএবং তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক সম্পর্কিত: সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকের গুণফল এবং সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খএই সংখ্যার গুণফলের সমান, যেমন কে( ক, খ)D( ক, খ) = ক· খ.

এই বিবৃতি থেকে ফলাফল অনুসরণ করে:

ক) দুটি অপেক্ষাকৃত মৌলিক সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণফল এই সংখ্যার গুণফলের সমান, যেমন ডি( ক, খ) = 1 => কে( ক, খ) = ক· খ;

উদাহরণস্বরূপ, 14 এবং 15 সংখ্যার সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজে পেতে, তাদের গুণ করা যথেষ্ট, যেহেতু D(14, 15) = 1।

খ) ককপ্রাইম সংখ্যার গুণফল দ্বারা বিভাজ্য মিএবং n, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এটি দ্বারা বিভাজ্য মি, এবং তারপরে n.

এই বিবৃতিটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতার একটি চিহ্ন, যা দুটি কপ্রাইম সংখ্যার গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

গ) দুটি প্রদত্ত সংখ্যাকে তাদের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফল হল কপ্রাইম সংখ্যা।

প্রদত্ত সংখ্যার পাওয়া সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকের সঠিকতা পরীক্ষা করার সময় এই বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, 12 সংখ্যাটি 24 এবং 36 সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। এটি করার জন্য, শেষ বিবৃতি অনুসারে, আমরা 24 এবং 36 কে 12 দ্বারা ভাগ করি। আমরা যথাক্রমে 2 এবং 3 নম্বর পাই, যা coprime হয় অতএব, D(24, 36)=12।

টাস্ক 32। 6 দ্বারা বিভাজ্যতার জন্য পরীক্ষা প্রণয়ন এবং প্রমাণ করুন।

সমাধান এক্স 6 দ্বারা বিভাজ্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এটি 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য।

সংখ্যা যাক এক্স 6 দ্বারা বিভাজ্য। তারপর যে সত্য থেকে এক্স 6 এবং 62, এটি অনুসরণ করে এক্স 2. এবং যে থেকে এক্স 6 এবং 63, এটি অনুসরণ করে এক্স 3. আমরা প্রমাণ করেছি যে একটি সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে, এটি 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

আসুন এই অবস্থার যথেষ্টতা দেখাই। কারণ এক্স 2 এবং এক্স 3, তারপর এক্স- 2 এবং 3 সংখ্যার সাধারণ গুণিতক। সংখ্যার যেকোনো সাধারণ গুণিতক তাদের ক্ষুদ্রতম গুণিতক দ্বারা বিভাজ্য, যার অর্থ এক্স K(2;3)।

যেহেতু D(2, 3)=1, তারপর K(2, 3)=2 3=6। তাই, এক্স 6.

টাস্ক 33। 12, 15 এবং 60 এ ফর্মুলেট করুন।

সমাধান. স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য এক্স 12 দ্বারা বিভাজ্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এটি 3 এবং 4 দ্বারা বিভাজ্য।

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য এক্স 15 দ্বারা বিভাজ্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এটি 3 এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য।

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য এক্স 60 দ্বারা বিভাজ্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এটি 4, 3 এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য।

টাস্ক 34।সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি কে( ক, খ)=75, ক· খ=375.

সমাধান।সূত্র K( ব্যবহার করে ক, খ)D( ক, খ)=ক· খ, আমরা পছন্দসই সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে পাই কএবং খ:

ডি( ক, খ) === 5.

তারপর পছন্দসই সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে ক= 5আর, খ= 5q, কোথায় পিএবং q পিএবং 5 qসমতা মধ্যে a b= 275. 5 পান পি· 5 q=375 বা পি· q=15। আমরা নির্বাচনের মাধ্যমে দুটি ভেরিয়েবলের ফলে সমীকরণটি সমাধান করি: আমরা কপ্রাইম সংখ্যার জোড়া খুঁজে পাই যার গুণফল 15 এর সমান। এই ধরনের দুটি জোড়া রয়েছে: (3, 5) এবং (1, 15)। অতএব, পছন্দসই সংখ্যা কএবং খএগুলি হল: 15 এবং 25 বা 5 এবং 75।

টাস্ক 35।সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে D( ক, খ) = 7 এবং ক· খ= 1470.

সমাধান. যেহেতু ডি( ক, খ) = 7, তারপর পছন্দসই সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে ক= 7আর, খ= 7q, কোথায় পিএবং qতুলনামূলকভাবে মৌলিক সংখ্যা। বিকল্প অভিব্যক্তি 5 আরএবং 5 qসমতা মধ্যে a b = 1470. তারপর 7 পি 7 q= 1470 বা পি· q= 30. আমরা নির্বাচনের মাধ্যমে দুটি ভেরিয়েবলের ফলে সমীকরণটি সমাধান করি: আমরা কপ্রাইম সংখ্যার জোড়া খুঁজে পাই যার গুণফল 30 এর সমান। এই ধরনের চারটি জোড়া রয়েছে: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6)। অতএব, পছন্দসই সংখ্যা কএবং খএগুলি হল: 7 এবং 210, 14 এবং 105, 21 এবং 70, 35 এবং 42।

টাস্ক 36।সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে D( ক, খ) = 3 এবং ক:খ= 17:14.

সমাধান. কারণ ক:খ= 17:14, তারপর ক= 17আরএবং খ= 14পি, কোথায় আর- সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খ. তাই, ক= 17 3 = 51, খ= 14 3 = 42।

সমস্যা 37.সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে K( ক, খ) = 180, ক:খ= 4:5.

সমাধান. কারণ ক: খ=4:5, তারপর ক=4আরএবং খ=5আর, কোথায় আর- সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কএবং খ. তারপর আর 180=4 আর· 5 আর. কোথায় আর=9। তাই, a= 36 এবং খ=45.

সমস্যা 38.সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে D( ক, খ)=5, কে( ক, খ)=105.

সমাধান. যেহেতু ডি( একটি, খ) কে( একটি, খ) = ক· খ, তারপর ক· খ= 5 105 = 525. উপরন্তু, পছন্দসই সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে ক= 5আরএবং খ= 5q, কোথায় পিএবং qতুলনামূলকভাবে মৌলিক সংখ্যা। বিকল্প অভিব্যক্তি 5 আরএবং 5 qসমতা মধ্যে ক· খ= 525. তারপর 5 পি· 5 q=525 বা পি· q=21। আমরা কপ্রাইম সংখ্যার জোড়া খুঁজে পাই যার গুণফল 21 এর সমান। এই ধরনের দুটি জোড়া আছে: (1, 21) এবং (3, 7)। অতএব, পছন্দসই সংখ্যা কএবং খএগুলি হল: 5 এবং 105, 15 এবং 35।

টাস্ক 39।সংখ্যাটি প্রমাণ করুন n(2n+ 1)(7n+ 1) যেকোনো প্রাকৃতিকের জন্য 6 দ্বারা বিভাজ্য n.

সমাধান. সংখ্যা 6টি যৌগিক, এটি দুটি কপ্রাইম সংখ্যার গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: 6 = 2 3। যদি আমরা প্রমাণ করি যে একটি প্রদত্ত সংখ্যা 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে, একটি যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতার পরীক্ষার ভিত্তিতে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে এটি 6 দ্বারা বিভাজ্য।

সংখ্যাটি প্রমাণ করতে n(2n+ 1)(7n+ 1) 2 দ্বারা বিভাজ্য, বিবেচনা করার দুটি সম্ভাবনা রয়েছে:

1) n 2 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ n= 2k. তারপর পণ্য n(2n+ 1)(7n+ 1) এর মত দেখাবে: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1)। এই পণ্যটি 2 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ প্রথম গুণনীয়কটি 2 দ্বারা বিভাজ্য;

2) n 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়, অর্থাৎ n= 2k+ 1. তারপর পণ্য n(2n+ 1 )(7n+ 1) এর মত দেখাবে: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8)। এই পণ্যটি 2 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ শেষ গুণনীয়কটি 2 দ্বারা বিভাজ্য।

কাজটি প্রমাণ করার জন্য n(2n+ 1)(7n+ 1) 3 দ্বারা বিভাজ্য, তিনটি সম্ভাবনা অবশ্যই বিবেচনা করা উচিত:

1) n 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ n= 3k. তারপর পণ্য n(2n+ 1)(7n+ 1) এর মত দেখাবে: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1)। এই পণ্যটি 3 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ প্রথম গুণনীয়কটি 3 দ্বারা বিভাজ্য;

2) nযখন 3 দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন অবশিষ্ট থাকে 1, অর্থাৎ n= 3k+ 1. তারপর পণ্য n(2n+ 1)(7n+ 1) এর মত দেখাবে: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8)। এই পণ্যটি 3 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ দ্বিতীয় গুণনীয়কটি 3 দ্বারা বিভাজ্য;

3) nযখন 3 দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন এটি 2 এর একটি অবশিষ্ট দেয়, অর্থাৎ n= 3k+ 2. তারপর পণ্য n(2n+ 1)(7n+ 1) এর মত দেখাবে: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15)। এই পণ্যটি 3 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ শেষ গুণনীয়কটি 3 দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং, এটা প্রমাণিত যে পণ্য n(2n+ 1)(7n+ 1) 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং এটি 6 দ্বারা বিভাজ্য।

স্বাধীন কাজের জন্য ব্যায়াম

1. দুটি সংখ্যা দেওয়া হয়েছে: 50 এবং 75। সেটটি লিখুন:

ক) 50 নম্বরের ভাজক; খ) 75 নম্বরের ভাজক; গ) এই সংখ্যার সাধারণ ভাজক।

50 এবং 75 এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক কি?

2. 375 সংখ্যাটি কি সংখ্যাগুলির একটি সাধারণ গুণক: ক) 125 এবং 75; খ) 85 এবং 15?

3. সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে K( একটি, খ) = 105, ক· খ= 525.

4. সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে D( ক, খ) = 7, ক· খ= 294.

5. সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে D( একটি, খ) = 5, ক:খ= 13:8.

6. সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে K( একটি, খ) = 224, ক:খ= 7:8.

7. সংখ্যা খুঁজুন কএবং খ, যদি জানা যায় যে D( একটি, খ) = 3, কে( ক; খ) = 915.

8. 15 দ্বারা বিভাজ্যতার পরীক্ষাটি প্রমাণ করুন।

9. 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 সংখ্যার সেট থেকে 12 দ্বারা বিভাজ্য লিখুন।

10. 18, 36, 45, 75 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন তৈরি করুন।

সারমর্ম কীওয়ার্ড:পূর্ণসংখ্যা। প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজ্যতা। মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা। প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার পচন। 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন। সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD), সেইসাথে সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল (LCM)। বাকি সঙ্গে বিভাগ.

পূর্ণসংখ্যাএমন সংখ্যা যা বস্তু গণনা করতে ব্যবহৃত হয় - 1, 2, 3, 4 , … কিন্তু সংখ্যা 0 প্রাকৃতিক নয়!

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট হল এন. রেকর্ডিং "3 ∈ N"মানে তিন নম্বরটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট এবং স্বরলিপির অন্তর্গত "0 ∉ N"মানে শূন্য সংখ্যা এই সেটের অন্তর্গত নয়।

দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি- অবস্থানগত সংখ্যা সিস্টেমের উপর ভিত্তি করে 10 .

প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ

প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য, নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, exponentiation, root extracting. প্রথম চারটি ধাপ হল পাটিগণিত.

ধরা যাক a, b এবং c স্বাভাবিক সংখ্যা

1. সংযোজন। মেয়াদ + মেয়াদ = যোগফল

সংযোজন বৈশিষ্ট্য
1. পরিবর্তনশীল a + b = b + a।
2. কম্বিনেটিভ a + (b + c) \u003d (a + b) + c।
3. a + 0 = 0 + a = a।

2. বিয়োগ করুন। হ্রাস - বিয়োগ = পার্থক্য

বিয়োগ বৈশিষ্ট্য
1. সংখ্যা a - (b + c) \u003d a - b - c থেকে যোগফলের বিয়োগ।
2. যোগফল (a + b) - c \u003d a + (b - c) থেকে একটি সংখ্যা বিয়োগ করা; (a + b) - c \u003d (a - c) + b।
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0।

3. গুণন. গুণক * গুণক = পণ্য

গুণগত বৈশিষ্ট্য
1. পরিবর্তনশীল a * b \u003d b * a।
2. কম্বিনেটিভ a * (b * c) \u003d (a * b) * c।
3. 1 * a = a * 1 = a।
4. 0 * a = a * 0 = 0।
5. বিতরণ (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc।

4. বিভাগ। লভ্যাংশ: ভাজক = ভাগফল

বিভাজন বৈশিষ্ট্য
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1। আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না!
3. 0: a=0।

পদ্ধতি

1. প্রথমত, বন্ধনীতে কর্ম।
2. তারপর গুণ, ভাগ।
3. এবং শুধুমাত্র যোগ শেষে, বিয়োগ.

প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজ্যতা। মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা।

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার ভাজক কযার দ্বারা স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয় কঅবশিষ্ট ছাড়া বিভক্ত। সংখ্যা 1 যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি ভাজক।

স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয় সহজযদি এটি শুধুমাত্র আছে দুইভাজক: এক এবং সংখ্যা নিজেই। উদাহরণস্বরূপ, 2, 3, 11, 23 সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যা।

দুইটির বেশি ভাজক বিশিষ্ট সংখ্যাকে বলা হয় যৌগিক. উদাহরণস্বরূপ, 4, 8, 15, 27 সংখ্যাগুলি যৌগিক সংখ্যা।

বিভাজ্যতা চিহ্ন কাজ করেবেশ কয়েকটি সংখ্যা: যদি অন্তত একটি গুণনীয়ক কিছু সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে গুণফলটিও এই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। কাজ 24 15 77 দ্বারা বিভক্ত 12 , এই সংখ্যার গুণনীয়ক থেকে 24 দ্বারা বিভক্ত 12 .

যোগফলের বিভাজ্যতার চিহ্ন (পার্থক্য)সংখ্যা: যদি প্রতিটি পদ কিছু সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে পুরো যোগফল এই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। যদি a:bএবং c:b, তারপর (a + c): b. এবং যদি a:b, ক গদ্বারা বিভাজ্য নয় খ, তারপর a+cসংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় খ.

যদি a:cএবং c:b, তারপর a:b. 72:24 এবং 24:12 এর উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে 72:12।

মৌলিক সংখ্যার শক্তির গুণফল হিসাবে একটি সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব বলা হয় একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরে পরিণত করা.

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য: যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা (ব্যতীত 1 ) বা হয় সহজ, অথবা এটি শুধুমাত্র একটি উপায়ে প্রধান কারণগুলিতে পচনশীল হতে পারে।

একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে বিভক্ত করার সময়, বিভাজ্যতা চিহ্ন ব্যবহার করা হয় এবং "কলাম" স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়৷ এই ক্ষেত্রে, ভাজকটি উল্লম্ব বারের ডানদিকে অবস্থিত এবং ভাগফলটি লভ্যাংশের নীচে লেখা হয়৷

উদাহরণ স্বরূপ, টাস্ক: একটি সংখ্যাকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে পচন করা 330 . সমাধান:

দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 এবং 11।

মধ্যে বিভাজনের লক্ষণ আছে 6, 15, 45 ইত্যাদি, অর্থাৎ, সংখ্যায় যার গুণিতক গুণনীয়ক হতে পারে 2, 3, 5, 9 এবং 10 .

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক

সবচেয়ে বড় প্রাকৃতিক সংখ্যা যার দ্বারা প্রদত্ত দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রতিটিকে বিভাজ্য বলে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজকএই সংখ্যাগুলি ( জিসিডি) উদাহরণস্বরূপ, gcd (10; 25) = 5; এবং GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1।

দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হলে 1 , তারপর এই সংখ্যা বলা হয় coprime.

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম(GCD)

জিসিডি প্রায়ই সমস্যায় ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, 155টি নোটবুক এবং 62টি কলম একই শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা হয়েছিল। এই ক্লাসে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান: এই শ্রেণীতে শিক্ষার্থীদের সংখ্যা খুঁজে বের করা 155 এবং 62 সংখ্যার সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক খুঁজে বের করার জন্য হ্রাস করা হয়, যেহেতু নোটবুক এবং কলম সমানভাবে বিভক্ত ছিল। 155 = 531; 62 = 231টি। GCD (155; 62) = 31.

উত্তর: ক্লাসে 31 জন ছাত্র।

অন্তত সাধারণ গু ণিতক

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার একাধিক কএকটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যা দ্বারা বিভাজ্য কএকটি ট্রেস ছাড়া। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 8 গুণিতক আছে: 8, 16, 24, 32 , … যে কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা আছে অসীম বহু গুণিতক।

অন্তত সাধারণ গু ণিতক(LCM) হল ক্ষুদ্রতম প্রাকৃতিক সংখ্যা যা এই সংখ্যাগুলির একাধিক।

সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম ( এনওসি):

LCM এছাড়াও প্রায়ই সমস্যা ব্যবহার করা হয়. উদাহরণস্বরূপ, দুই সাইকেল আরোহী একই সময়ে সাইকেল ট্র্যাকে একই দিকে চলতে শুরু করেছিল। একজন 1 মিনিটে একটি বৃত্ত তৈরি করে এবং অন্যটি 45 সেকেন্ডে। আন্দোলন শুরুর পর অন্তত কত মিনিটে তারা শুরুতে মিলিত হবে?

সমাধান: শুরুতে তারা যে মিনিটের পরে আবার মিলিত হয় তার সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে 1 মিনিট, সেইসাথে চালু 45 সে. 1 মিনিট = 60 সেকেন্ডে। অর্থাৎ, এলসিএম (45; 60) খুঁজে বের করা প্রয়োজন। 45 = 325; 60 = 22 3 5। NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. ফলস্বরূপ, দেখা যাচ্ছে যে সাইক্লিস্টরা 180 s = 3 মিনিট পরে শুরুতে মিলিত হবে।

উত্তর: 3 মিনিট

বাকি সঙ্গে বিভাগ

যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা কপ্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় খ, তারপর আপনি করতে পারেন অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজন. এই ক্ষেত্রে, ফলের ভাগফল বলা হয় অসম্পূর্ণ. সঠিক সমতা হল:

a = b n + r,

কোথায় ক- বিভাজ্য খ- বিভাজক, n- অসম্পূর্ণ ভাগফল, r- অবশিষ্ট যেমন লভ্যাংশ হোক 243 , বিভাজক - 4 , তারপর 243: 4 = 60 (বাকি 3). অর্থাৎ, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, তারপর 243 = 60 4 + 3 .

দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা 2 একটি ট্রেস ছাড়া, বলা হয় এমন কি: a = 2n, n ∈ এন.

বাকি নম্বরগুলো বলা হয় অস্বাভাবিক: b = 2n + 1, n ∈ এন.

এই বিষয়ে একটি সারসংক্ষেপ. "পূর্ণসংখ্যা। বিভাজ্যতার লক্ষণ». চালিয়ে যেতে, পরবর্তী পদক্ষেপগুলি নির্বাচন করুন:

• পরবর্তী বিমূর্ত যান: