আমরা একটি সমান্তরালগ্রামের কোণ এবং ক্ষেত্রফলের সমষ্টি গণনা করি: বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য। সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কিভাবে বের করা যায়? একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা যায়

একটি জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল- একটি জ্যামিতিক চিত্রের একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য যা এই চিত্রটির আকার দেখায় (এই চিত্রটির বন্ধ কনট্যুর দ্বারা সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠের অংশ)। এর মধ্যে থাকা বর্গ এককের সংখ্যা দ্বারা এলাকার আকার প্রকাশ করা হয়।

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

1. পাশাপাশি এবং উচ্চতা দ্বারা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলএকটি ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক গুণফল এবং এই দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্যের সমান
   
2. তিন বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   
3. তিনটি বাহু এবং খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর ভিত্তি করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলত্রিভুজের অর্ধ-ঘেরের গুণফল এবং উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।
   
যেখানে S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
- ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য,
- ত্রিভুজের উচ্চতা,
- পক্ষের মধ্যে কোণ এবং,
- খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
R - পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,

বর্গক্ষেত্রের সূত্র

1. পাশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   বর্গাকার এলাকাএর পাশের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান।
2. তির্যক দৈর্ঘ্য বরাবর একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   বর্গাকার এলাকাএর তির্যকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক বর্গক্ষেত্রের সমান।
   

   S=	1	2
   	2

যেখানে S হল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
- বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য,
- বর্গক্ষেত্রের তির্যকের দৈর্ঘ্য।

আয়তক্ষেত্র এলাকা সূত্র

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলএর দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান

যেখানে S হল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
- আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য।

সমান্তরাল ক্ষেত্রফলের সূত্র

1. পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল
2. দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলএটির বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন দ্বারা গুণিত হয়।
   

   a b sin α

যেখানে S সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল,
- সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্য,
- সমান্তরালগ্রাম উচ্চতার দৈর্ঘ্য,
- সমান্তরালগ্রামের বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।

রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র

1. পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর ভিত্তি করে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএটির পাশের দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং এই দিকে নামানো উচ্চতার দৈর্ঘ্য।
2. পার্শ্ব দৈর্ঘ্য এবং কোণের উপর ভিত্তি করে একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র
   একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএর বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের গুণফল এবং রম্বসের বাহুর মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান।
3. একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র তার কর্ণের দৈর্ঘ্যের উপর ভিত্তি করে
   একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলএর কর্ণের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক গুণফলের সমান।
যেখানে S হল রম্বসের ক্ষেত্রফল,
- রম্বসের পাশের দৈর্ঘ্য,
- রম্বসের উচ্চতার দৈর্ঘ্য,
- রম্বসের পক্ষের মধ্যে কোণ,
1, 2 - কর্ণের দৈর্ঘ্য।

ট্র্যাপিজয়েড এলাকার সূত্র

1. ট্র্যাপিজয়েডের জন্য হেরনের সূত্র

   যেখানে S হল ট্র্যাপিজয়েডের এলাকা,
   - ট্র্যাপিজয়েডের ঘাঁটির দৈর্ঘ্য,
   - ট্র্যাপিজয়েডের পাশের দৈর্ঘ্য,
   

যেমন ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি বিন্দু এবং একটি সরলরেখা হল সমতল তত্ত্বের প্রধান উপাদান, তেমনি একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ উত্তল চতুর্ভুজের অন্যতম প্রধান চিত্র। এটি থেকে, একটি বলের থ্রেডের মতো, "আয়তক্ষেত্র", "বর্গক্ষেত্র", "রম্বস" এবং অন্যান্য জ্যামিতিক পরিমাণের ধারণাগুলি প্রবাহিত হয়।

সঙ্গে যোগাযোগ

সমান্তরালগ্রামের সংজ্ঞা

উত্তল চতুর্ভুজ,অংশগুলি নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি জোড়া সমান্তরাল, জ্যামিতিতে সমান্তরালগ্রাম হিসাবে পরিচিত।

একটি ক্লাসিক সমান্তরালগ্রাম দেখতে কেমন তা একটি চতুর্ভুজ ABCD দ্বারা চিত্রিত হয়। বাহুগুলোকে বেস (AB, BC, CD এবং AD) বলা হয়, যে কোনো শীর্ষ থেকে এই শীর্ষবিন্দুর বিপরীত দিকে আঁকা লম্বকে বলা হয় উচ্চতা (BE এবং BF), রেখা AC এবং BD কে কর্ণ বলা হয়।

মনোযোগ!বর্গক্ষেত্র, রম্বস এবং আয়তক্ষেত্র সমান্তরালগ্রামের বিশেষ ক্ষেত্রে।

দিক এবং কোণ: সম্পর্কের বৈশিষ্ট্য

মূল বৈশিষ্ট্য, দ্বারা এবং বড়, পদবী নিজেই দ্বারা পূর্বনির্ধারিত, তারা উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত হয়. এই বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ:

1. বিপরীত দিকগুলি জোড়ায় অভিন্ন।
2. একে অপরের বিপরীত কোণগুলি জোড়ায় সমান।

প্রমাণ: ∆ABC এবং ∆ADC বিবেচনা করুন, যা চতুর্ভুজ ABCD-কে সরলরেখা AC দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায়। ∠BCA=∠CAD এবং ∠BAC=∠ACD, যেহেতু AC তাদের জন্য সাধারণ (যথাক্রমে BC||AD এবং AB||CD এর জন্য উল্লম্ব কোণ)। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে: ∆ABC = ∆ADC (ত্রিভুজের সমতার দ্বিতীয় চিহ্ন)।

∆ABC-তে AB এবং BC রেখাগুলি ∆ADC-তে CD এবং AD রেখার সাথে জোড়ায় মিলে যায়, যার মানে হল তারা অভিন্ন: AB = CD, BC = AD। সুতরাং, ∠B ∠D এর সাথে মিলিত এবং তারা সমান। যেহেতু ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, যেটি জোড়াভাবে অভিন্ন, তারপর ∠A = ∠C। সম্পত্তি প্রমাণিত হয়েছে।

একটি চিত্রের কর্ণের বৈশিষ্ট্য

প্রধান বৈশিষ্ট্যএকটি সমান্তরালগ্রামের এই লাইনগুলির মধ্যে: ছেদ বিন্দু তাদের অর্ধেক ভাগ করে।

প্রমাণ: ধরুন, ABCD চিত্রের কর্ণ AC এবং BD-এর ছেদ বিন্দু। তারা দুটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ত্রিভুজ গঠন করে - ∆ABE এবং ∆CDE।

AB=CD যেহেতু তারা বিপরীত। লাইন এবং সেকেন্ট অনুযায়ী, ∠ABE = ∠CDE এবং ∠BAE = ∠DCE।

সমতার দ্বিতীয় মানদণ্ড অনুসারে, ∆ABE = ∆CDE। এর মানে হল যে উপাদানগুলি ∆ABE এবং ∆CDE: AE = CE, BE = DE এবং একই সাথে তারা AC এবং BD এর আনুপাতিক অংশ। সম্পত্তি প্রমাণিত হয়েছে।

সংলগ্ন কোণগুলির বৈশিষ্ট্য

সন্নিহিত বাহুর কোণের সমষ্টি 180° এর সমান, যেহেতু তারা সমান্তরাল রেখা এবং একটি ট্রান্সভার্সালের একই পাশে থাকে। চতুর্ভুজ ABCD এর জন্য:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

দ্বিখণ্ডিত বৈশিষ্ট্য:

1. , একপাশে নত, লম্ব;
2. বিপরীত শীর্ষবিন্দুতে সমান্তরাল দ্বিখণ্ডক রয়েছে;
3. একটি দ্বিখণ্ডক অঙ্কন করে প্রাপ্ত ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হবে।

উপপাদ্য ব্যবহার করে সমান্তরালগ্রামের চারিত্রিক বৈশিষ্ট্য নির্ণয়

এই চিত্রটির বৈশিষ্ট্যগুলি এর প্রধান উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে, যা নিম্নলিখিতটি বলে: একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম হিসাবে বিবেচিত হয়ইভেন্টে যে এর কর্ণগুলি ছেদ করে, এবং এই বিন্দুটি তাদের সমান অংশে বিভক্ত করে।

প্রমাণ: চতুর্ভুজ ABCD-এর AC এবং BD রেখাগুলিকে ছেদ করতে দিন i.e. যেহেতু ∠AED = ∠BEC, এবং AE+CE=AC BE+DE=BD, তারপর ∆AED = ∆BEC (ত্রিভুজের সমতার প্রথম মাপকাঠি অনুসারে)। অর্থাৎ, ∠EAD = ∠ECB। এগুলি AD এবং BC রেখাগুলির জন্য সেক্যান্ট AC-এর অভ্যন্তরীণ ক্রস কোণ। সুতরাং, সমান্তরালতার সংজ্ঞা অনুসারে - AD || B.C. BC এবং CD লাইনের অনুরূপ সম্পত্তিও পাওয়া যায়। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করা হচ্ছে

এই চিত্রের ক্ষেত্রফল বিভিন্ন পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়সবচেয়ে সহজ একটি: উচ্চতা এবং বেস যা এটি আঁকা হয়েছে তা গুণ করা।

প্রমাণ: শীর্ষবিন্দু B এবং C থেকে BE এবং CF লম্ব আঁকুন। ∆ABE এবং ∆DCF সমান, যেহেতু AB = CD এবং BE = CF। ABCD আয়তক্ষেত্র EBCF-এর সমান, কারণ তারা সামঞ্জস্যপূর্ণ পরিসংখ্যান নিয়ে গঠিত: S ABE এবং S EBCD, পাশাপাশি S DCF এবং S EBCD। এটি থেকে অনুসরণ করা হয় যে এই জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের সমান:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্র নির্ণয় করতে, আসুন আমরা উচ্চতাকে বোঝাই hb, এবং পাশে - খ. যথাক্রমে:

এলাকা খুঁজে বের করার অন্যান্য উপায়

এলাকা গণনা সমান্তরালগ্রাম এবং কোণের বাহু দিয়ে, যা তারা গঠন করে, দ্বিতীয় পরিচিত পদ্ধতি।

,

Spr-ma - এলাকা;

a এবং b এর বাহু

α হল a এবং b সেগমেন্টের মধ্যে কোণ।

এই পদ্ধতিটি কার্যত প্রথমটির উপর ভিত্তি করে, তবে এটি অজানা থাকলে। সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজ কেটে দেয় যার পরামিতি ত্রিকোণমিতিক পরিচয় দ্বারা পাওয়া যায়, অর্থাৎ। সম্পর্কের পরিবর্তন, আমরা পেতে. প্রথম পদ্ধতির সমীকরণে, আমরা এই পণ্যের সাথে উচ্চতা প্রতিস্থাপন করি এবং এই সূত্রটির বৈধতার প্রমাণ পাই।

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং কোণের মাধ্যমে,যা তারা ছেদ করার সময় তৈরি করে, আপনি এলাকাটিও খুঁজে পেতে পারেন।

প্রমাণ: AC এবং BD ছেদ করে চারটি ত্রিভুজ গঠন করে: ABE, BEC, CDE এবং AED। তাদের যোগফল এই চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের সমান।

এই ∆ প্রতিটির ক্ষেত্রফল রাশি দ্বারা পাওয়া যাবে, যেখানে a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB। যেহেতু, গণনা একটি একক সাইন মান ব্যবহার করে। এটাই . যেহেতু AE+CE=AC= d 1 এবং BE+DE=BD= d 2, তাই ক্ষেত্রফলের সূত্রটি কমে যায়:

.

ভেক্টর বীজগণিতে প্রয়োগ

এই চতুর্ভুজের উপাদান অংশগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ভেক্টর বীজগণিতে প্রয়োগ পেয়েছে, যথা দুটি ভেক্টরের যোগ। সমান্তরালগ্রাম নিয়ম বলে যে যদি ভেক্টর দেওয়া হয়এবংনাসমরেখার হয়, তাহলে তাদের যোগফল এই চিত্রের কর্ণের সমান হবে, যার ভিত্তিগুলি এই ভেক্টরগুলির সাথে মিলে যায়।

প্রমাণ: একটি নির্বিচারে নির্বাচিত শুরু থেকে - যেমন - ভেক্টর গঠন করুন এবং এরপরে, আমরা একটি সমান্তরাল লোগ্রাম OASV তৈরি করি, যেখানে OA এবং OB অংশগুলি বাহু। সুতরাং, OS ভেক্টর বা যোগফলের উপর অবস্থিত।

একটি সমান্তরালগ্রামের পরামিতি গণনার জন্য সূত্র

পরিচয়গুলি নিম্নলিখিত শর্তে দেওয়া হয়:

1. a এবং b, α - বাহু এবং তাদের মধ্যে কোণ;
2. d 1 এবং d 2, γ - কর্ণ এবং তাদের ছেদ বিন্দুতে;
3. h a এবং h b - উচ্চতাগুলি a এবং b দিকে নামানো হয়েছে;

প্যারামিটার	সূত্র
পাশ খোঁজা
কর্ণ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন বরাবর
তির্যক এবং পার্শ্ব বরাবর
উচ্চতা এবং বিপরীত শীর্ষবিন্দুর মাধ্যমে
কর্ণের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা
পাশে এবং তাদের মধ্যে শীর্ষের আকার
পাশ বরাবর এবং তির্যক এক	 উপসংহার সমান্তরালগ্রাম, জ্যামিতির অন্যতম প্রধান পরিসংখ্যান হিসাবে, জীবনে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, নির্মাণের ক্ষেত্রে যখন কোনও সাইটের ক্ষেত্রফল বা অন্যান্য পরিমাপ গণনা করা হয়। অতএব, স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য এবং এর বিভিন্ন পরামিতি গণনা করার পদ্ধতি সম্পর্কে জ্ঞান জীবনের যে কোনও সময় কার্যকর হতে পারে।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কীভাবে বের করতে হয় তা শেখার আগে, আমাদের মনে রাখতে হবে একটি সমান্তরালগ্রাম কী এবং এর উচ্চতা কাকে বলে। একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল (সমান্তরাল রেখার উপর থাকা)। বিপরীত দিকের একটি নির্বিচারী বিন্দু থেকে এই দিকটি সম্বলিত একটি রেখায় আঁকা একটি লম্বকে সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা বলে।

বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র এবং রম্বস সমান্তরালগ্রামের বিশেষ ক্ষেত্রে।

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলকে (S) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র

S=a*h, যেখানে a হল বেস, h হল সেই উচ্চতা যা বেসের দিকে টানা হয়।

S=a*b*sinα, যেখানে a এবং b হল বেস, এবং α হল a এবং b বেসের মধ্যে কোণ।

S =p*r, যেখানে p হল অর্ধ-ঘের, r হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ যা সমান্তরালগ্রামে খোদাই করা আছে।

সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল, যা a এবং b ভেক্টর দ্বারা গঠিত, প্রদত্ত ভেক্টরের গুণফলের মডুলাসের সমান, যথা:

উদাহরণ নং 1 বিবেচনা করা যাক: একটি সমান্তরালগ্রাম দেওয়া হয়েছে, যার পাশে 7 সেমি এবং উচ্চতা 3 সেমি। একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কীভাবে বের করা যায়, সমাধানের জন্য আমাদের একটি সূত্র প্রয়োজন।

এইভাবে S= 7x3। S=21। উত্তর: 21 সেমি 2.

উদাহরণ নং 2 বিবেচনা করুন: প্রদত্ত ঘাঁটিগুলি 6 এবং 7 সেমি, এবং 60 ডিগ্রি বেসের মধ্যে একটি কোণও দেওয়া হয়েছে। সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কিভাবে বের করা যায়? সমাধান করতে ব্যবহৃত সূত্র:

এইভাবে, প্রথমে আমরা কোণের সাইন খুঁজে পাই। সাইন 60 = 0.5, যথাক্রমে S = 6*7*0.5=21 উত্তর: 21 সেমি 2।

আমি আশা করি যে এই উদাহরণগুলি আপনাকে সমস্যা সমাধানে সাহায্য করবে। এবং মনে রাখবেন, মূল জিনিসটি সূত্র এবং মনোযোগের জ্ঞান

একটি সমান্তরালগ্রাম কি? একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি জোড়ায় সমান্তরাল।

1. একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

কোথায়:
a হল সমান্তরালগ্রামের পার্শ্ব,
h a – উচ্চতা এই দিকে টানা।

2. যদি একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ জানা থাকে, তাহলে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. যদি একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলি দেওয়া হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণটি জানা যায়, তবে সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

একটি সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহুগুলি সমান: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত কোণগুলি সমান: \(\কোণ A = \কোণ C\), \(\কোণ B = \কোণ D\)

ছেদ বিন্দুতে একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ অর্ধেক ভাগ করা হয় \(AO = OC\), \(BO = OD\)

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এটিকে দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

এক বাহুর সংলগ্ন একটি সমান্তরালগ্রামের কোণের সমষ্টি হল 180 o:

\(\ কোণ A + \ কোণ B = 180^(o)\), \(\ কোণ B + \ কোণ C = 180^(o)\)

\(\ কোণ C + \ কোণ D = 180^(o)\), \(\angle D + \angle A = 180^(o)\)

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং বাহুগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

একটি সমান্তরালগ্রামে, উচ্চতার মধ্যবর্তী কোণটি তার তীব্র কোণের সমান: \(\কোণ K B H =\কোণ A\)।

একটি সমান্তরালগ্রামের এক পাশে সংলগ্ন কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব।

একটি সমান্তরালগ্রামের দুটি বিপরীত কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি সমান্তরাল।

একটি সমান্তরাল বৃত্তের চিহ্ন

একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম হবে যদি:

\(AB = CD\) এবং \(AB || CD\)

\(AB = CD\) এবং \(BC = AD\)

\(AO = OC\) এবং \(BO = OD\)

\(\ কোণ A = \ কোণ C\) এবং \ (\ কোণ B = \ কোণ D \)

আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট অক্ষম করা হয়েছে।
গণনা সম্পাদন করতে, আপনাকে অবশ্যই ActiveX নিয়ন্ত্রণ সক্ষম করতে হবে!

এই বিষয়ে সমস্যা সমাধান করার সময়, ছাড়া মৌলিক বৈশিষ্ট্য সমান্তরাল বৃত্তএবং সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি, আপনি নিম্নলিখিতগুলি মনে রাখতে এবং প্রয়োগ করতে পারেন:

1. একটি সমান্তরালগ্রামের একটি অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক এটি থেকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে কেটে দেয়
2. একটি সমান্তরালগ্রামের একটি বাহুর সংলগ্ন অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখন্ডগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব
3. একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণ থেকে আগত দ্বিখন্ডগুলি একে অপরের সমান্তরাল বা একই সরলরেখায় অবস্থিত
4. একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের বর্গের সমষ্টি তার বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান
5. একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল কর্ণের গুণফলের অর্ধেক এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান

আসুন এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা হয় এমন সমস্যাগুলি বিবেচনা করুন।

কার্যক্রম 1.

সমান্তরাল লোগ্রাম ABCD-এর C কোণের দ্বিখণ্ডক পার্শ্ব AD কে M বিন্দুতে ছেদ করে এবং E বিন্দুতে A বিন্দুর বাইরে বাহুর AB এর ধারাবাহিকতা। AE = 4, DM = 3 হলে সমান্তরালগ্রামের পরিধি খুঁজুন।

সমাধান।

1. ত্রিভুজ CMD হল সমদ্বিবাহু। (সম্পত্তি 1)। অতএব, CD = MD = 3 সেমি.

2. ত্রিভুজ EAM হল সমদ্বিবাহু।
অতএব, AE = AM = 4 সেমি।

3. AD = AM + MD = 7 সেমি।

4. পরিধি ABCD = 20 সেমি।

উত্তর. 20 সেমি।

টাস্ক 2।

কর্ণগুলি একটি উত্তল চতুর্ভুজ ABCD এ আঁকা হয়। জানা যায়, ABD, ACD, BCD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান। প্রমাণ করুন যে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ।

সমাধান।

1. BE ত্রিভুজ ABD-এর উচ্চতা, CF ত্রিভুজ ACD-এর উচ্চতা। যেহেতু, সমস্যার শর্ত অনুসারে, ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি সমান এবং তাদের একটি সাধারণ ভিত্তি AD আছে, তাহলে এই ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি সমান। BE = CF.

2. BE, CF AD এর লম্ব। বিন্দু B এবং C সরলরেখা AD এর সাপেক্ষে একই পাশে অবস্থিত। BE = CF. অতএব, সরলরেখা BC || বিজ্ঞাপন. (*)

3. ধরা যাক AL ত্রিভুজ ACD এর উচ্চতা, BK ত্রিভুজ BCD এর উচ্চতা। যেহেতু, সমস্যার শর্ত অনুসারে, ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি সমান এবং তাদের একটি সাধারণ বেস সিডি রয়েছে, তাহলে এই ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি সমান। AL = BK.

4. AL এবং BK CD এর লম্ব। বিন্দু B এবং A সরলরেখা CD এর সাপেক্ষে একই পাশে অবস্থিত। AL = BK. অতএব, সরলরেখা AB || সিডি (**)

5. শর্ত (*), (**) থেকে এটি অনুসরণ করে যে ABCD একটি সমান্তরালগ্রাম।

উত্তর. প্রমাণিত। ABCD একটি সমান্তরাল বৃত্ত।

টাস্ক 3।

ABCD সমান্তরালগ্রামের BC এবং CD পাশে, যথাক্রমে M এবং H বিন্দুগুলি চিহ্নিত করা হয়েছে, যাতে BM এবং HD অংশগুলি O বিন্দুতে ছেদ করে;<ВМD = 95 о,

সমাধান।

1. ত্রিভুজ DOM-এ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. একটি সমকোণী ত্রিভুজে DHC
(

তারপর<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজে 30° কোণের বিপরীতে থাকা পাটি কর্ণের অর্ধেক সমান)।

কিন্তু CD = AB. তারপর AB: HD = 2:1।

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

উত্তর: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

টাস্ক 4।

4√6 দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট সমান্তরালগ্রামের একটি কর্ণ বেসের সাথে 60° কোণ তৈরি করে এবং দ্বিতীয় কর্ণটি একই ভিত্তির সাথে 45° কোণ তৈরি করে। দ্বিতীয় তির্যক খুঁজুন।

সমাধান।

1. AO = 2√6।

2. আমরা ত্রিভুজ AOD-তে সাইন উপপাদ্য প্রয়োগ করি।

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6।

উত্তর: 12।

টাস্ক 5।

5√2 এবং 7√2 বাহু বিশিষ্ট একটি সমান্তরালগ্রামের জন্য, কর্ণগুলির মধ্যে ছোট কোণটি সমান্তরালগ্রামের ছোট কোণের সমান। কর্ণগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান।

ধরা যাক d 1, d 2 সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এবং ছোট কোণের মধ্যবর্তী কোণ φ এর সমান।

1. আসুন দুটি ভিন্ন গণনা করি
উপায় তার এলাকা.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

আমরা সমতা পাই 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f বা

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. সমান্তরালগ্রামের বাহু এবং কর্ণের মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে, আমরা সমতা লিখি

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2।

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2।

d 1 2 + d 2 2 = 296।

3. আসুন একটি সিস্টেম তৈরি করি:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 2 দ্বারা গুণ করি এবং প্রথমটিতে যোগ করি।

আমরা (d 1 + d 2) 2 = 576 পাই। তাই Id 1 + d 2 I = 24।

যেহেতু d 1, d 2 হল সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির দৈর্ঘ্য, তাহলে d 1 + d 2 = 24।

উত্তর: 24।

টাস্ক 6।

সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলি হল 4 এবং 6৷ কর্ণগুলির মধ্যে তীব্র কোণ হল 45 ডিগ্রি৷ সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান।

1. ত্রিভুজ AOB থেকে, কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা সমান্তরালগ্রামের বাহু এবং কর্ণগুলির মধ্যে সম্পর্ক লিখি।

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB।

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16।

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64।

2. একইভাবে, আমরা AOD ত্রিভুজের সম্পর্ক লিখি।

আসুন এটি বিবেচনায় নেওয়া যাক<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

আমরা d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 সমীকরণটি পাই।

3. আমরা একটি সিস্টেম আছে
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথমটি বিয়োগ করলে আমরা পাব 2d 1 · d 2 √2 = 80 বা

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10।

বিঃদ্রঃ:এই এবং পূর্ববর্তী সমস্যাটিতে সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করার কোন প্রয়োজন নেই, অনুমান করে যে এই সমস্যাটিতে আমাদের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কর্ণের গুণফল প্রয়োজন।

উত্তর: 10টি।

টাস্ক 7।

সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল 96 এবং এর বাহু 8 এবং 15। ছোট কর্ণটির বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান।

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. সূত্রে একটি প্রতিস্থাপন করা যাক।

আমরা 96 = 8 · 15 · sin ВAD পাই। তাই পাপ ВAD = 4/5।

2. আসুন VAD খুঁজে বের করি। sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25।

সমস্যার শর্ত অনুসারে, আমরা ছোট তির্যকের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই। ВАD কোণ তীব্র হলে তির্যক ВD ছোট হবে। তাহলে cos VAD = 3/5।

3. ABD ত্রিভুজ থেকে, কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা কর্ণ BD-এর বর্গ খুঁজে পাই।

ВD 2 = АВ 2 + AD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD।

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145।

উত্তর: 145।

এখনও প্রশ্ন আছে? কিভাবে একটি জ্যামিতি সমস্যা সমাধান করতে জানেন না?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে, নিবন্ধন করুন।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!

ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।