এটা মনে রাখা খুব সহজ.

ঠিক আছে, আমরা বেশিদূর যাব না, আমরা অবিলম্বে বিপরীত ফাংশন বিবেচনা করব। সূচকীয় ফাংশনের বিপরীত কি? লগারিদম:

আমাদের ক্ষেত্রে, ভিত্তি হল একটি সংখ্যা:

এই ধরনের লগারিদম (অর্থাৎ, একটি বেস সহ একটি লগারিদম) একটি "প্রাকৃতিক" বলা হয়, এবং আমরা এটির জন্য একটি বিশেষ স্বরলিপি ব্যবহার করি: আমরা পরিবর্তে লিখি।

কিসের সমান? অবশ্যই, .

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভও খুব সহজ:

উদাহরণ:

1. ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
2. ফাংশনের ডেরিভেটিভ কি?

উত্তর: সূচক এবং প্রাকৃতিক লগারিদম হল ফাংশন যা ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে অনন্যভাবে সহজ। অন্য কোন বেসের সাথে সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনগুলির একটি আলাদা ডেরিভেটিভ থাকবে, যা আমরা পার্থক্যের নিয়মগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার পরে পরে বিশ্লেষণ করব।

পার্থক্যের নিয়ম

কি নিয়ম? আরেকটি নতুন শব্দ, আবার?!...

পৃথকীকরণডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া।

শুধুমাত্র এবং সবকিছু। এই প্রক্রিয়ার জন্য অন্য শব্দ কি? proizvodnovanie নয়... গণিতের ডিফারেনশিয়ালকে বলা হয় এ-তে ফাংশনের খুব বৃদ্ধি। এই শব্দটি ল্যাটিন ডিফারেন্সিয়া - পার্থক্য থেকে এসেছে। এখানে.

এই সমস্ত নিয়ম প্রাপ্ত করার সময়, আমরা দুটি ফাংশন ব্যবহার করব, উদাহরণস্বরূপ, এবং. তাদের বৃদ্ধির জন্যও আমাদের সূত্রের প্রয়োজন হবে:

মোট 5 টি নিয়ম আছে।

ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা হয়।

যদি - কিছু ধ্রুবক সংখ্যা (ধ্রুবক), তারপর।

স্পষ্টতই, এই নিয়মটি পার্থক্যের জন্যও কাজ করে: .

এটা প্রমাণ করা যাক. যাক, বা সহজ.

উদাহরণ।

ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন:

1. বিন্দুতে;
2. বিন্দুতে;
3. বিন্দুতে;
4. বিন্দুতে.

সমাধান:

1. (ডেরিভেটিভ সব পয়েন্টে একই, যেহেতু এটি একটি লিনিয়ার ফাংশন, মনে আছে?);

একটি পণ্যের ডেরিভেটিভ

এখানে সবকিছু একই রকম: আমরা একটি নতুন ফাংশন প্রবর্তন করি এবং এর বৃদ্ধি খুঁজে পাই:

অমৌলিক:

উদাহরণ:

1. ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন এবং;
2. একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

সমাধান:

সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

এখন আপনার জ্ঞান যে কোনো সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে শেখার জন্য যথেষ্ট, এবং শুধুমাত্র সূচকটি নয় (এটি কী তা এখনও আপনি ভুলে গেছেন?)।

তাহলে কিছু সংখ্যা কোথায়।

আমরা ইতিমধ্যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ জানি, তাই আসুন আমাদের ফাংশনটিকে একটি নতুন বেসে আনার চেষ্টা করি:

এটি করার জন্য, আমরা একটি সাধারণ নিয়ম ব্যবহার করি: . তারপর:

ওয়েল, এটা কাজ. এখন ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন, এবং ভুলে যাবেন না যে এই ফাংশনটি জটিল।

ঘটেছিলো?

এখানে, নিজেকে পরীক্ষা করুন:

সূত্রটি সূচকের ডেরিভেটিভের সাথে খুব মিল ছিল: এটি যেমন ছিল, এটি রয়ে গেছে, শুধুমাত্র একটি ফ্যাক্টর উপস্থিত হয়েছে, যা শুধুমাত্র একটি সংখ্যা, কিন্তু একটি পরিবর্তনশীল নয়।

উদাহরণ:
ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন:

উত্তর:

এটি এমন একটি সংখ্যা যা ক্যালকুলেটর ছাড়া গণনা করা যায় না, অর্থাৎ এটিকে সহজ আকারে লেখা যায় না। অতএব, উত্তরে এটি এই আকারে রেখে দেওয়া হয়েছে।

মনে রাখবেন যে এখানে দুটি ফাংশনের ভাগফল, তাই আমরা উপযুক্ত পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করি:

এই উদাহরণে, দুটি ফাংশনের গুণফল:

লগারিদমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ

এখানে এটি একই রকম: আপনি ইতিমধ্যে প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ জানেন:

অতএব, লগারিদম থেকে একটি ভিন্ন বেস সহ একটি নির্বিচারে খুঁজে বের করতে, উদাহরণস্বরূপ,:

আমাদের এই লগারিদমটিকে বেসে আনতে হবে। আপনি কিভাবে লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন করবেন? আমি আশা করি আপনি এই সূত্রটি মনে রাখবেন:

শুধুমাত্র এখন পরিবর্তে আমরা লিখব:

হরটি কেবল একটি ধ্রুবক হিসাবে পরিণত হয়েছে (একটি ধ্রুবক সংখ্যা, একটি পরিবর্তনশীল ছাড়া)। ডেরিভেটিভ খুব সহজ:

সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি পরীক্ষায় প্রায় কখনও পাওয়া যায় না, তবে সেগুলি জানা অপ্রয়োজনীয় হবে না।

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

একটি "জটিল ফাংশন" কি? না, এটি একটি লগারিদম নয়, এবং একটি চাপ স্পর্শক নয়। এই ফাংশনগুলি বোঝা কঠিন হতে পারে (যদিও লগারিদমটি আপনার কাছে কঠিন মনে হয় তবে "লগারিদম" বিষয়টি পড়ুন এবং সবকিছু কার্যকর হবে), তবে গণিতের পরিপ্রেক্ষিতে, "জটিল" শব্দের অর্থ "কঠিন" নয়।

একটি ছোট পরিবাহক কল্পনা করুন: দুই ব্যক্তি বসে আছেন এবং কিছু বস্তুর সাথে কিছু কাজ করছেন। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি একটি র্যাপারে একটি চকলেট বার মোড়ানো, এবং দ্বিতীয়টি এটি একটি ফিতা দিয়ে বাঁধে। এটা যেমন একটি যৌগিক বস্তু সক্রিয় আউট: একটি চকলেট বার আবৃত এবং একটি পটি সঙ্গে বাঁধা। একটি চকলেট বার খাওয়ার জন্য, আপনাকে বিপরীত ক্রমে বিপরীত পদক্ষেপগুলি করতে হবে।

আসুন একটি অনুরূপ গাণিতিক পাইপলাইন তৈরি করি: প্রথমে আমরা একটি সংখ্যার কোসাইন খুঁজে বের করব এবং তারপরে আমরা ফলাফলের সংখ্যাটিকে বর্গ করব। সুতরাং, তারা আমাদের একটি সংখ্যা (চকলেট) দেয়, আমি এর কোসাইন (র্যাপার) খুঁজে পাই এবং তারপরে আমি যা পেয়েছি তা আপনি বর্গ করেন (এটি একটি ফিতা দিয়ে বেঁধে)। কি হলো? ফাংশন। এটি একটি জটিল ফাংশনের একটি উদাহরণ: যখন, এর মান খুঁজে বের করার জন্য, আমরা ভেরিয়েবলের সাথে সরাসরি প্রথম ক্রিয়াটি করি এবং তারপর প্রথমটির ফলে যা ঘটেছিল তার সাথে আরেকটি দ্বিতীয় ক্রিয়া করি।

অন্য কথায়, একটি জটিল ফাংশন একটি ফাংশন যার যুক্তি অন্য ফাংশন: .

আমাদের উদাহরণের জন্য, .

আমরা বিপরীত ক্রমে একই ক্রিয়াগুলি ভালভাবে করতে পারি: প্রথমে আপনি বর্গক্ষেত্র, এবং তারপরে আমি ফলাফলের সংখ্যার কোসাইন খুঁজছি:। এটা অনুমান করা সহজ যে ফলাফল প্রায় সবসময় ভিন্ন হবে। জটিল ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য: যখন কর্মের ক্রম পরিবর্তিত হয়, ফাংশন পরিবর্তিত হয়।

দ্বিতীয় উদাহরণ: (একই)। .

আমরা যে শেষ অ্যাকশন করি তা বলা হবে "বাহ্যিক" ফাংশন, এবং কর্মটি প্রথমে সঞ্চালিত হয় - যথাক্রমে "অভ্যন্তরীণ" ফাংশন(এগুলি অনানুষ্ঠানিক নাম, আমি কেবল সহজ ভাষায় উপাদান ব্যাখ্যা করার জন্য এগুলি ব্যবহার করি)।

নিজের জন্য নির্ধারণ করার চেষ্টা করুন কোন ফাংশনটি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ:

উত্তর:অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের ফাংশনগুলির বিচ্ছেদ পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের অনুরূপ: উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনে

1. আমরা প্রথমে কি ব্যবস্থা নেব? প্রথমে আমরা সাইন গণনা করি, এবং শুধুমাত্র তারপর আমরা এটিকে একটি ঘনক্ষেত্রে বাড়াই। তাই এটি একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, একটি বহিরাগত এক না.
   এবং মূল ফাংশন হল তাদের রচনা: .
2. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।
3. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।
4. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।
5. অভ্যন্তরীণ: ; বাহ্যিক:
   পরীক্ষা:।

আমরা ভেরিয়েবল পরিবর্তন করি এবং একটি ফাংশন পাই।

ঠিক আছে, এখন আমরা আমাদের চকলেট বের করব - ডেরিভেটিভের জন্য দেখুন। পদ্ধতিটি সর্বদা বিপরীত হয়: প্রথমে আমরা বাইরের ফাংশনের ডেরিভেটিভের সন্ধান করি, তারপর আমরা অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বারা ফলাফলকে গুণ করি। মূল উদাহরণের জন্য, এটি এই মত দেখায়:

আরেকটি উদাহরণ:

সুতরাং, অবশেষে অফিসিয়াল নিয়ম প্রণয়ন করা যাক:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:

এটা সহজ বলে মনে হচ্ছে, তাই না?

আসুন উদাহরণ সহ পরীক্ষা করা যাক:

সমাধান:

1) অভ্যন্তরীণ: ;

বাহ্যিক: ;

2) অভ্যন্তরীণ: ;

(এখনই কমানোর চেষ্টা করবেন না! কোসাইনের নীচে থেকে কিছুই বের করা হয় না, মনে আছে?)

3) অভ্যন্তরীণ: ;

বাহ্যিক: ;

এটি অবিলম্বে স্পষ্ট যে এখানে একটি তিন-স্তরের জটিল ফাংশন রয়েছে: সর্বোপরি, এটি ইতিমধ্যে নিজেই একটি জটিল ফাংশন, এবং আমরা এখনও এটি থেকে মূল বের করি, অর্থাৎ, আমরা তৃতীয় ক্রিয়া সম্পাদন করি (একটি মোড়কে চকোলেট রাখুন এবং একটি ব্রিফকেসে একটি ফিতা সহ)। তবে ভয় পাওয়ার কোন কারণ নেই: যাইহোক, আমরা এই ফাংশনটিকে যথারীতি একই ক্রমে "আনপ্যাক" করব: শেষ থেকে।

অর্থাৎ, প্রথমে আমরা রুটকে আলাদা করি, তারপর কোসাইন, এবং শুধুমাত্র তারপর বন্ধনীতে প্রকাশ করি। এবং তারপর আমরা এটি সব গুণ.

এই ধরনের ক্ষেত্রে, কর্ম সংখ্যা করা সুবিধাজনক। অর্থাৎ, আসুন আমরা যা জানি তা কল্পনা করি। এই অভিব্যক্তির মান গণনা করার জন্য আমরা কোন ক্রমে কাজ করব? আসুন একটি উদাহরণ দেখি:

পরবর্তী ক্রিয়াটি সঞ্চালিত হয়, সংশ্লিষ্ট ফাংশনটি তত বেশি "বাহ্যিক" হবে। কর্মের ক্রম - আগের মত:

এখানে বাসা সাধারণত 4-স্তরের হয়। এর কর্মের কোর্স নির্ধারণ করা যাক.

1. আমূল অভিব্যক্তি। .

2. মূল। .

3. সাইনাস। .

4. বর্গক্ষেত্র। .

5. সব একসাথে রাখা:

অমৌলিক. প্রধান সম্পর্কে সংক্ষেপে

ফাংশন ডেরিভেটিভ- আর্গুমেন্টের অসীম বৃদ্ধির সাথে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাত:

মৌলিক ডেরিভেটিভস:

পার্থক্য নিয়ম:

ধ্রুবকটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে নেওয়া হয়:

যোগফলের ডেরিভেটিভ:

ডেরিভেটিভ পণ্য:

ভাগফলের ডেরিভেটিভ:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম:

1. আমরা "অভ্যন্তরীণ" ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করি, এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
2. আমরা "বহিরাগত" ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি, এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
3. আমরা প্রথম এবং দ্বিতীয় পয়েন্টের ফলাফল গুন করি।

এবং একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের উপর উপপাদ্য, যার গঠন নিম্নরূপ:

ধরুন 1) ফাংশন $u=\varphi (x)$ এর একটি ডেরিভেটিভ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ আছে $x_0$, 2) ফাংশন $y=f(u)$ সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে $u_0=\varphi (x_0)$ আছে $y_(u)"=f"(u)$। তারপর উল্লিখিত বিন্দুতে জটিল ফাংশন $y=f\left(\varphi(x) \right)$ এরও $f(u)$ এবং $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

অথবা, সংক্ষিপ্ত স্বরলিপিতে: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$।

এই বিভাগের উদাহরণে, সমস্ত ফাংশনের ফর্ম $y=f(x)$ আছে (অর্থাৎ, আমরা শুধুমাত্র একটি ভেরিয়েবলের ফাংশন বিবেচনা করি $x$)। তদনুসারে, সমস্ত উদাহরণে, ডেরিভেটিভ $y"$টি ভেরিয়েবল $x$ এর সাপেক্ষে নেওয়া হয়। ডেরিভেটিভটি $x$ পরিবর্তনশীলের সাথে নেওয়া হয় তা জোর দেওয়ার জন্য, কেউ প্রায়ই $ এর পরিবর্তে $y"_x$ লেখে। y"$।

উদাহরণ #1, #2, এবং #3 জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য একটি বিশদ প্রক্রিয়া প্রদান করে। উদাহরণ নং 4 ডেরিভেটিভ টেবিলের আরও সম্পূর্ণ বোঝার উদ্দেশ্যে এবং এটির সাথে নিজেকে পরিচিত করা অর্থপূর্ণ।

1-3 নং উদাহরণের উপাদানগুলি অধ্যয়ন করার পরে, নং 5, নং 6 এবং 7 নং উদাহরণগুলি স্বাধীনভাবে সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয়। উদাহরণ #5, #6 এবং #7 এ একটি সংক্ষিপ্ত সমাধান রয়েছে যাতে পাঠক তার ফলাফলের সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারে।

উদাহরণ # 1

$y=e^(\cos x)$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

আমাদের জটিল ফাংশন $y"$ এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে। যেহেতু $y=e^(\cos x)$, তারপর $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$। ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে $ \left(e^(\cos x)\right)"$ সূত্র #6 ব্যবহার করুন। সূত্র নং 6 ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে আমাদের ক্ষেত্রে $u=\cos x$ বিবেচনা করতে হবে। পরবর্তী সমাধানটি সূত্র নং 6-এ $u$-এর পরিবর্তে $\cos x$ অভিব্যক্তিটির একটি সাধারণ প্রতিস্থাপনে গঠিত:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

এখন আমাদের $(\cos x)"$ রাশিটির মান খুঁজে বের করতে হবে। আবার আমরা ডেরিভেটিভের সারণীতে ফিরে যাই, এটি থেকে সূত্র নং 10 বেছে নিই। $u=x$কে সূত্র নং 10-এ প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আছে : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$। এখন আমরা সমতা অব্যাহত রাখি (1.1), পাওয়া ফলাফলের সাথে এটির পরিপূরক:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

যেহেতু $x"=1$, আমরা সমতা অব্যাহত রাখি (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

সুতরাং, সমতা (1.3) থেকে আমাদের আছে: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$। স্বাভাবিকভাবেই, ব্যাখ্যা এবং মধ্যবর্তী সমতা সাধারণত বাদ দেওয়া হয়, সমতার মতই এক লাইনে ডেরিভেটিভ লেখা। (1.3) সুতরাং, জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ পাওয়া গেছে, এটি শুধুমাত্র উত্তর লিখতে রয়ে গেছে।

উত্তর: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$।

উদাহরণ #2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।

আমাদের ডেরিভেটিভ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ গণনা করতে হবে। শুরুতে, আমরা লক্ষ্য করি যে ধ্রুবকটি (অর্থাৎ 9 নম্বর) ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

এবার আসুন $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$-এ অভিব্যক্তির দিকে ফিরে যাই। ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে পছন্দসই সূত্র নির্বাচন করা সহজ করতে, আমি অভিব্যক্তিটি উপস্থাপন করব এই ফর্মে প্রশ্ন: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$। এখন এটা স্পষ্ট যে সূত্র নং 2 ব্যবহার করা প্রয়োজন, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$। এই সূত্রে $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ এবং $\alpha=12$ প্রতিস্থাপন করুন:

প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে সমতা (2.1) পরিপূরক, আমাদের আছে:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

এই পরিস্থিতিতে, প্রায়শই একটি ভুল হয় যখন প্রথম ধাপে সমাধানকারী সূত্রের পরিবর্তে $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ সূত্রটি বেছে নেয় $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$। বিন্দু হল যে বাহ্যিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রথমে খুঁজে বের করতে হবে। কোন ফাংশনটি $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ অভিব্যক্তিটির বাহ্যিক হবে তা বোঝার জন্য, কল্পনা করুন যে আপনি $\arctg^(12)(4\cdot 5^) অভিব্যক্তিটির মান গণনা করছেন x)$ $x$ এর কিছু মানের জন্য। প্রথমে আপনি $5^x$ এর মান গণনা করুন, তারপর $4\cdot 5^x$ পেতে ফলাফলটিকে 4 দ্বারা গুণ করুন। এখন আমরা $\arctg(4\cdot 5^x)$ পেয়ে এই ফলাফল থেকে archtangent নিই। তারপর আমরা $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ পেয়ে ফলিত সংখ্যাটিকে দ্বাদশ ঘাতে বাড়াই। শেষ কর্ম, i.e. 12 এর শক্তি বৃদ্ধি, - এবং একটি বহিরাগত ফাংশন হবে. এবং এটি থেকে একজনকে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা শুরু করা উচিত, যা সমতায় করা হয়েছিল (2.2)।

এখন আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $(\arctg(4\cdot \ln x))"$। আমরা ডেরিভেটিভ টেবিলের সূত্র নং 19 ব্যবহার করি, এতে $u=4\cdot \ln x$ প্রতিস্থাপিত হয়:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

আসুন $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ বিবেচনা করে, ফলের অভিব্যক্তিটিকে সামান্য সরল করা যাক।

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

সমতা (2.2) এখন হয়ে যাবে:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ ট্যাগ (2.3) $$

এটি $(4\cdot \ln x)"$ খুঁজে পাওয়া বাকি। ডেরিভেটিভ চিহ্ন থেকে ধ্রুবক (অর্থাৎ 4) নিন: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$ $(\ln x)"$ খুঁজে পাওয়ার জন্য, আমরা সূত্র নং 8 ব্যবহার করি, এটিতে $u=x$ প্রতিস্থাপন করে: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$ যেহেতু $x"=1$, তারপর $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ প্রাপ্ত ফলাফলকে সূত্রে (2.3) প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)))।$ $

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রায়শই এক লাইনে থাকে, যেমনটি শেষ সমতায় লেখা হয়েছে। অতএব, স্ট্যান্ডার্ড গণনা বা পরীক্ষা করার সময়, একই বিশদে সমাধানটি আঁকার প্রয়োজন নেই।

উত্তর: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$।

উদাহরণ #3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ ফাংশনের $y"$ খুঁজুন।

প্রথমে, আসুন $y$ ফাংশনটিকে সামান্য রূপান্তরিত করি র‌্যাডিকাল (মূল) কে শক্তি হিসাবে প্রকাশ করে: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$। এখন ডেরিভেটিভ খুঁজে শুরু করা যাক. যেহেতু $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, তারপর:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

আমরা ডেরিভেটিভের সারণী থেকে সূত্র নং 2 ব্যবহার করি, এতে $u=\sin(5\cdot 9^x)$ এবং $\alpha=\frac(3)(7)$ প্রতিস্থাপন করি:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

আমরা প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে সমতা (3.1) চালিয়ে যাচ্ছি:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

এখন আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $(\sin(5\cdot 9^x))"$। এর জন্য, আমরা ডেরিভেটিভের টেবিল থেকে $u=5\cdot 9^x$ প্রতিস্থাপন করে সূত্র নং 9 ব্যবহার করি:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে সমতার পরিপূরক (3.2), আমাদের আছে:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ ট্যাগ (3.3) $$

এটি $(5\cdot 9^x)"$ খুঁজে পাওয়া বাকি। প্রথমে, আমরা ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে ধ্রুবক ($5$) নিয়ে নিই, যেমন $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$। ডেরিভেটিভ $(9^x)"$ খুঁজে পেতে, আমরা ডেরিভেটিভের টেবিলের সূত্র নং 5 প্রয়োগ করি, এতে $a=9$ এবং $u=x$ প্রতিস্থাপন করি: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$। যেহেতু $x"=1$, তারপর $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$। এখন আমরা সমতা চালিয়ে যেতে পারি (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x। $$

আপনি $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ লিখে $\ frac(1) দিয়ে আবার ক্ষমতা থেকে র‌্যাডিকেলে (অর্থাৎ শিকড়) ফিরে আসতে পারেন )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$। তারপর ডেরিভেটিভটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা হবে:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))। $$

উত্তর: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$।

উদাহরণ #4

দেখাও যে ডেরিভেটিভের সারণির সূত্র নং 3 এবং নং 4 এই টেবিলের সূত্র নং 2 এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

ডেরিভেটিভের টেবিলের 2 নং সূত্রে, $u^\alpha$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ লেখা আছে। সূত্র #2 এ $\alpha=-1$ প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

যেহেতু $u^(-1)=\frac(1)(u)$ এবং $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, সমতা (4.1) এইভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$। এটি ডেরিভেটিভ টেবিলের 3 নম্বর সূত্র।

ডেরিভেটিভ টেবিলের 2 নং সূত্রে আবার ফিরে আসা যাক। এটিতে $\alpha=\frac(1)(2)$ প্রতিস্থাপন করুন:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

যেহেতু $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ এবং $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, তারপর সমতা (4.2) নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

ফলস্বরূপ সমতা $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ হল ডেরিভেটিভ টেবিলের সূত্র নং 4। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ডেরিভেটিভ টেবিলের সূত্র নং 3 এবং নং 4 $\alpha$ এর সংশ্লিষ্ট মান প্রতিস্থাপন করে সূত্র নং 2 থেকে প্রাপ্ত করা হয়েছে।

জটিল ডেরিভেটিভস। লগারিদমিক ডেরিভেটিভ।
সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আমরা আমাদের পার্থক্য কৌশল উন্নত করতে অবিরত. এই পাঠে, আমরা আচ্ছাদিত উপাদানগুলিকে একীভূত করব, আরও জটিল ডেরিভেটিভগুলি বিবেচনা করব, এবং বিশেষ করে লগারিদমিক ডেরিভেটিভের সাথে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য নতুন কৌশল এবং কৌশলগুলির সাথে পরিচিত হব।

যে পাঠকদের প্রস্তুতির মাত্রা কম তাদের নিবন্ধটি উল্লেখ করা উচিত কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে? সমাধান উদাহরণযা আপনাকে প্রায় স্ক্র্যাচ থেকে আপনার দক্ষতা বাড়াতে দেয়। এর পরে, আপনাকে পৃষ্ঠাটি সাবধানে অধ্যয়ন করতে হবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, বুঝতে এবং সমাধান সবআমি যে উদাহরণ দিয়েছি। এই পাঠটি যৌক্তিকভাবে একটি সারিতে তৃতীয়, এবং এটি আয়ত্ত করার পরে, আপনি আত্মবিশ্বাসের সাথে মোটামুটি জটিল ফাংশনগুলিকে আলাদা করতে পারবেন। অবস্থানে লেগে থাকা অবাঞ্ছিত “আর কোথায়? হ্যাঁ, এবং এটি যথেষ্ট! ”, যেহেতু সমস্ত উদাহরণ এবং সমাধান বাস্তব পরীক্ষা থেকে নেওয়া হয় এবং প্রায়শই অনুশীলনে পাওয়া যায়।

এর পুনরাবৃত্তি দিয়ে শুরু করা যাক। এই পাঠে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভআমরা বিশদ মন্তব্য সহ বেশ কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করেছি। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের অন্যান্য বিভাগগুলি অধ্যয়ন করার সময়, আপনাকে প্রায়শই পার্থক্য করতে হবে এবং উদাহরণগুলি বিশদভাবে আঁকা সবসময় সুবিধাজনক নয় (এবং সর্বদা প্রয়োজনীয় নয়)। অতএব, আমরা ডেরিভেটিভের মৌখিক অনুসন্ধানে অনুশীলন করব। এর জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত "প্রার্থী" হল সহজতম জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভস, উদাহরণস্বরূপ:

একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে :

ভবিষ্যতে অন্যান্য ম্যাটান বিষয় অধ্যয়ন করার সময়, এই ধরনের একটি বিস্তারিত রেকর্ড প্রায়শই প্রয়োজন হয় না, এটি অনুমান করা হয় যে শিক্ষার্থী অটোপাইলটে অনুরূপ ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে সক্ষম। কল্পনা করা যাক যে সকাল 3 টায় ফোন বেজে উঠল, এবং একটি মনোরম কণ্ঠ জিজ্ঞাসা করল: "দুটি x এর স্পর্শকটির ডেরিভেটিভ কী?"। এটি একটি প্রায় তাত্ক্ষণিক এবং নম্র প্রতিক্রিয়া দ্বারা অনুসরণ করা উচিত: .

প্রথম উদাহরণটি অবিলম্বে একটি স্বাধীন সমাধানের উদ্দেশ্যে করা হবে।

উদাহরণ 1

মৌখিকভাবে নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন, এক ধাপে, উদাহরণস্বরূপ: . টাস্ক সম্পূর্ণ করতে, আপনি শুধুমাত্র ব্যবহার করতে হবে প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী(যদি সে ইতিমধ্যেই মনে না রাখে)। যদি আপনার কোন অসুবিধা থাকে, আমি পাঠটি পুনরায় পড়ার পরামর্শ দিই একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

পাঠের শেষে উত্তর

জটিল ডেরিভেটিভস

প্রাথমিক আর্টিলারি প্রস্তুতির পরে, ফাংশনগুলির 3-4-5 সংযুক্তি সহ উদাহরণগুলি কম ভীতিকর হবে। সম্ভবত নিম্নলিখিত দুটি উদাহরণ কারো কাছে জটিল মনে হবে, কিন্তু যদি সেগুলি বোঝা যায় (কেউ কষ্ট পাবে), তবে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের বাকি প্রায় সবকিছুই শিশুর রসিকতার মতো মনে হবে।

উদাহরণ 2

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথমত, এটি প্রয়োজনীয় ঠিকবিনিয়োগ বুঝুন. যে ক্ষেত্রে সন্দেহ আছে, আমি আপনাকে একটি দরকারী কৌশলের কথা মনে করিয়ে দিচ্ছি: উদাহরণ স্বরূপ আমরা পরীক্ষামূলক মান "x" নিই, এবং এই মানটিকে "ভয়ানক অভিব্যক্তিতে" প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি (মানসিকভাবে বা একটি খসড়ায়)।

1) প্রথমে আমাদের রাশিটি গণনা করতে হবে, তাই যোগফল হল গভীরতম বাসা।

2) তারপর আপনাকে লগারিদম গণনা করতে হবে:

4) তারপর কোসাইন কিউব করুন:

5) পঞ্চম ধাপে, পার্থক্য:

6) এবং পরিশেষে, সবচেয়ে বাইরের ফাংশন হল বর্গমূল:

যৌগিক ফাংশন পার্থক্য সূত্র বিপরীত ক্রমে প্রয়োগ করা হয়, বাইরেরতম ফাংশন থেকে ভেতরের দিকে। আমরা সিদ্ধান্ত নিই:

মনে হচ্ছে কোন ত্রুটি নেই...

(1) আমরা বর্গমূলের ডেরিভেটিভ নিই।

(2) আমরা নিয়ম ব্যবহার করে পার্থক্যের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি

(3) ট্রিপলের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান। দ্বিতীয় মেয়াদে, আমরা ডিগ্রি (কিউব) এর ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি।

(4) আমরা কোসাইন এর ডেরিভেটিভ নিই।

(5) আমরা লগারিদমের ডেরিভেটিভ নিই।

(6) অবশেষে, আমরা গভীরতম নেস্টিং এর ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি।

এটা খুব কঠিন মনে হতে পারে, কিন্তু এটি সবচেয়ে নৃশংস উদাহরণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, কুজনেটসভের সংগ্রহটি নিন এবং আপনি বিশ্লেষণকৃত ডেরিভেটিভের সমস্ত আকর্ষণ এবং সরলতার প্রশংসা করবেন। আমি লক্ষ্য করেছি যে তারা পরীক্ষায় একটি অনুরূপ জিনিস দিতে পছন্দ করে যাতে পরীক্ষা করা যায় যে শিক্ষার্থী কীভাবে একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়, বা বুঝতে পারে না।

নিম্নলিখিত উদাহরণটি একটি স্বতন্ত্র সমাধানের জন্য।

উদাহরণ 3

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

ইঙ্গিত: প্রথমে আমরা রৈখিকতার নিয়ম এবং পণ্যের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি

পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

এটি আরও কমপ্যাক্ট এবং সুন্দর কিছুতে যাওয়ার সময়।
এটি এমন একটি পরিস্থিতির জন্য অস্বাভাবিক নয় যেখানে একটি উদাহরণে দুটি নয়, তিনটি ফাংশনের গুণফল দেওয়া হয়েছে। কিভাবে তিনটি কারণের পণ্যের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যায়?

উদাহরণ 4

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

প্রথমত, আমরা দেখি, কিন্তু তিনটি ফাংশনের গুণফলকে দুটি ফাংশনের গুণে পরিণত করা কি সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের গুণফলের মধ্যে দুটি বহুপদ থাকে, তাহলে আমরা বন্ধনী খুলতে পারতাম। কিন্তু এই উদাহরণে, সমস্ত ফাংশন আলাদা: ডিগ্রি, সূচক এবং লগারিদম।

এই ধরনের ক্ষেত্রে, এটি প্রয়োজনীয় ধারাবাহিকভাবেপণ্য পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করুন দুইবার

কৌশলটি হল যে "y" এর জন্য আমরা দুটি ফাংশনের গুণফলকে বোঝাই: , এবং "ve" - ​​লগারিদম:। কেন এটা করা যাবে? তাই কি - এটি দুটি কারণের পণ্য নয় এবং নিয়ম কাজ করে না?! জটিল কিছু নেই:

এখন নিয়মটি দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করা বাকি বন্ধনী থেকে:

আপনি এখনও বিকৃত করতে পারেন এবং বন্ধনী থেকে কিছু নিতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে উত্তরটি এই ফর্মটিতে রেখে দেওয়া ভাল - এটি পরীক্ষা করা আরও সহজ হবে।

উপরের উদাহরণটি দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে:

উভয় সমাধান একেবারে সমতুল্য।

উদাহরণ 5

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ, নমুনায় এটি প্রথম উপায়ে সমাধান করা হয়।

ভগ্নাংশ সহ অনুরূপ উদাহরণ বিবেচনা করুন।

উদাহরণ 6

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এখানে আপনি বিভিন্ন উপায়ে যেতে পারেন:

অথবা এই মত:

তবে সমাধানটি আরও সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যেতে পারে যদি, প্রথমত, আমরা ভাগফলের পার্থক্যের নিয়মটি ব্যবহার করি , পুরো অংকের জন্য নিচ্ছেন:

নীতিগতভাবে, উদাহরণটি সমাধান করা হয়েছে, এবং যদি এটি এই আকারে ছেড়ে দেওয়া হয় তবে এটি একটি ভুল হবে না। কিন্তু যদি আপনার কাছে সময় থাকে তবে খসড়াটি পরীক্ষা করার পরামর্শ দেওয়া হয়, তবে উত্তরটি সহজ করা কি সম্ভব? আমরা লবের অভিব্যক্তিটিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং তিনতলা ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে:

অতিরিক্ত সরলীকরণের অসুবিধা হল যে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময় ভুল করার ঝুঁকি নেই, কিন্তু সাধারণ স্কুল রূপান্তর করার সময়। অন্যদিকে, শিক্ষকরা প্রায়ই কাজটি প্রত্যাখ্যান করে এবং ডেরিভেটিভটিকে "মনে আনতে" বলে।

নিজেই সমাধানের জন্য একটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 7

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার কৌশলগুলি আয়ত্ত করতে থাকি এবং এখন আমরা একটি সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করব যখন পার্থক্যের জন্য একটি "ভয়ংকর" লগারিদম প্রস্তাব করা হয়

উদাহরণ 8

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এখানে আপনি একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করে দীর্ঘ পথ যেতে পারেন:

তবে প্রথম পদক্ষেপটি অবিলম্বে আপনাকে হতাশায় নিমজ্জিত করে - আপনাকে একটি ভগ্নাংশের ডিগ্রির একটি অপ্রীতিকর ডেরিভেটিভ নিতে হবে এবং তারপরে একটি ভগ্নাংশ থেকেও।

এই জন্য আগেকীভাবে "অভিনব" লগারিদমের ডেরিভেটিভ নেওয়া যায়, এটি পূর্বে সুপরিচিত স্কুল বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সরলীকৃত হয়েছে:

! যদি আপনার হাতে একটি অনুশীলন নোটবুক থাকে তবে এই সূত্রগুলি সেখানে অনুলিপি করুন। আপনার যদি একটি নোটবুক না থাকে তবে সেগুলিকে কাগজের টুকরোতে আঁকুন, কারণ পাঠের বাকি উদাহরণগুলি এই সূত্রগুলির চারপাশে ঘুরবে৷

সমাধান নিজেই এই মত প্রণয়ন করা যেতে পারে:

চলুন ফাংশন রূপান্তর করা যাক:

আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

ফাংশনের প্রাথমিক রূপান্তর নিজেই সমাধানটিকে ব্যাপকভাবে সরল করেছে। এইভাবে, যখন একটি অনুরূপ লগারিদম পার্থক্যের জন্য প্রস্তাব করা হয়, তখন সর্বদা "এটিকে ভেঙে ফেলা" পরামর্শ দেওয়া হয়।

এবং এখন একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য কয়েকটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 9

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

উদাহরণ 10

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

পাঠের শেষে সমস্ত রূপান্তর এবং উত্তর।

লগারিদমিক ডেরিভেটিভ

লগারিদমের ডেরিভেটিভ যদি এমন মধুর সঙ্গীত হয়, তবে প্রশ্ন জাগে, কিছু ক্ষেত্রে কৃত্রিমভাবে লগারিদম সংগঠিত করা কি সম্ভব? করতে পারা! এবং এমনকি প্রয়োজনীয়।

উদাহরণ 11

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা সম্প্রতি বিবেচনা করা অনুরূপ উদাহরণ. কি করো? কেউ ধারাবাহিকভাবে ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম এবং তারপর গুণফলের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করতে পারে। এই পদ্ধতির অসুবিধা হল যে আপনি একটি বিশাল তিন-তলা ভগ্নাংশ পাবেন, যা আপনি মোটেও মোকাবেলা করতে চান না।

কিন্তু তত্ত্ব এবং অনুশীলনে লগারিদমিক ডেরিভেটিভের মতো একটি দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে। লগারিদমগুলিকে উভয় দিকে "ঝুলিয়ে" দিয়ে কৃত্রিমভাবে সংগঠিত করা যেতে পারে:

বিঃদ্রঃ : কারণ ফাংশন নেতিবাচক মান নিতে পারে, তারপর, সাধারণভাবে বলতে গেলে, আপনাকে মডিউলগুলি ব্যবহার করতে হবে: , যা পার্থক্যের ফলে অদৃশ্য হয়ে যায়। যাইহোক, বর্তমান নকশা এছাড়াও গ্রহণযোগ্য, যেখানে ডিফল্টরূপে জটিলমান কিন্তু যদি সব দৃঢ়তা সঙ্গে, তারপর উভয় ক্ষেত্রে এটি একটি রিজার্ভেশন করা আবশ্যক যে.

এখন আপনাকে যতটা সম্ভব ডান দিকের লগারিদমটি "ভাঙ্গা" করতে হবে (আপনার চোখের সামনে সূত্র?) আমি এই প্রক্রিয়াটি বিশদভাবে বর্ণনা করব:

এর পার্থক্য দিয়ে শুরু করা যাক।
আমরা একটি স্ট্রোক দিয়ে উভয় অংশ শেষ করি:

ডান দিকের ডেরিভেটিভটি বেশ সহজ, আমি এটিতে মন্তব্য করব না, কারণ আপনি যদি এই পাঠ্যটি পড়ছেন তবে আপনার আত্মবিশ্বাসের সাথে এটি পরিচালনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত।

বাম পাশ সম্পর্কে কি?

বাম দিকে আমরা আছে জটিল ফাংশন. আমি প্রশ্নটি পূর্বাভাস দিয়েছি: "কেন, লগারিদমের নীচে একটি অক্ষর "y" আছে?"

আসল বিষয়টি হ'ল এই "একটি অক্ষর y" - এটি নিজেই একটি ফাংশন(যদি এটি খুব স্পষ্ট না হয়, তাহলে নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিবন্ধটি পড়ুন)। অতএব, লগারিদম একটি বাহ্যিক ফাংশন, এবং "y" একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন। এবং আমরা যৌগিক ফাংশন পার্থক্য নিয়ম ব্যবহার :

বাম দিকে, যেন জাদু দ্বারা, আমাদের একটি ডেরিভেটিভ আছে। আরও, অনুপাতের নিয়ম অনুসারে, আমরা বাম পাশের হর থেকে ডান পাশের উপরের দিকে "y" নিক্ষেপ করি:

এবং এখন আমরা কি ধরনের "গেম"-ফাংশন সম্পর্কে কথা বলেছিলাম তা মনে আছে পার্থক্য করার সময়? চলুন অবস্থা দেখে নেওয়া যাক:

চূড়ান্ত উত্তর:

উদাহরণ 12

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। পাঠের শেষে এই ধরনের একটি উদাহরণের নমুনা নকশা।

লগারিদমিক ডেরিভেটিভের সাহায্যে, 4-7 নং উদাহরণগুলির যে কোনও সমাধান করা সম্ভব হয়েছিল, আরেকটি বিষয় হল যে সেখানে ফাংশনগুলি সহজ, এবং, সম্ভবত, লগারিদমিক ডেরিভেটিভের ব্যবহার খুব যুক্তিযুক্ত নয়।

সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আমরা এখনও এই ফাংশন বিবেচনা না. একটি সূচকীয় ফাংশন এমন একটি ফাংশন যা আছে এবং ডিগ্রী এবং ভিত্তি "x" এর উপর নির্ভর করে. একটি ক্লাসিক উদাহরণ যা আপনাকে যেকোনো পাঠ্যপুস্তকে বা যেকোনো বক্তৃতায় দেওয়া হবে:

কিভাবে একটি সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয়?

শুধুমাত্র বিবেচনা করা কৌশলটি ব্যবহার করা প্রয়োজন - লগারিদমিক ডেরিভেটিভ। আমরা উভয় দিকে লগারিদম ঝুলিয়ে রাখি:

একটি নিয়ম হিসাবে, ডিগ্রীটি ডানদিকে লগারিদমের নীচে থেকে নেওয়া হয়:

ফলস্বরূপ, ডানদিকে আমাদের দুটি ফাংশনের একটি পণ্য রয়েছে, যা আদর্শ সূত্র অনুসারে আলাদা করা হবে .

আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই, এর জন্য আমরা উভয় অংশকে স্ট্রোকের অধীনে আবদ্ধ করি:

পরবর্তী পদক্ষেপগুলি সহজ:

অবশেষে:

যদি কিছু রূপান্তর সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার না হয়, দয়া করে উদাহরণ 11-এর ব্যাখ্যাগুলি সাবধানে পুনরায় পড়ুন।

ব্যবহারিক কাজে, সূচকীয় ফাংশন সর্বদা বিবেচিত বক্তৃতা উদাহরণের চেয়ে আরও জটিল হবে।

উদাহরণ 13

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা লগারিদমিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি।

ডানদিকে আমাদের একটি ধ্রুবক এবং দুটি ফ্যাক্টরের গুণফল রয়েছে - "x" এবং "x এর লগারিদমের লগারিদম" (অন্য একটি লগারিদম লগারিদমের নীচে থাকে)। একটি ধ্রুবককে আলাদা করার সময়, যেমনটি আমরা মনে রাখি, অবিলম্বে এটিকে ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে সরিয়ে নেওয়া ভাল যাতে এটি পথে না যায়; এবং, অবশ্যই, পরিচিত নিয়ম প্রয়োগ করুন :

এই পাঠে, আমরা শিখব কিভাবে খুঁজে বের করতে হয় একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ. পাঠটি পাঠের একটি যৌক্তিক ধারাবাহিকতা কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে?, যার ভিত্তিতে আমরা সহজতম ডেরিভেটিভগুলি বিশ্লেষণ করেছি, এবং ডিরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার জন্য পার্থক্যের নিয়ম এবং কিছু প্রযুক্তিগত পদ্ধতির সাথেও পরিচিত হয়েছি। এইভাবে, আপনি যদি ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভের সাথে খুব ভাল না হন বা এই নিবন্ধের কিছু পয়েন্ট সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার না হয়, তাহলে প্রথমে উপরের পাঠটি পড়ুন। দয়া করে একটি গুরুতর মেজাজে টিউন করুন - উপাদানটি সহজ নয়, তবে আমি এখনও এটি সহজ এবং পরিষ্কারভাবে উপস্থাপন করার চেষ্টা করব।

অনুশীলনে, আপনাকে প্রায়শই একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের সাথে মোকাবিলা করতে হবে, আমি এমনকি প্রায় সবসময়ই বলব, যখন আপনাকে ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার জন্য কাজ দেওয়া হয়।

আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়মের (নং 5) টেবিলে দেখি:

আমরা বুঝতে পেরেছি. প্রথমত, স্বরলিপিটি একবার দেখে নেওয়া যাক। এখানে আমাদের দুটি ফাংশন রয়েছে - এবং , এবং ফাংশনটি, রূপকভাবে বলতে গেলে, ফাংশনে নেস্ট করা হয়েছে। এই ধরনের একটি ফাংশন (যখন একটি ফাংশন অন্যটির মধ্যে নেস্ট করা হয়) একটি জটিল ফাংশন বলা হয়।

আমি ফাংশন কল করব বাহ্যিক ফাংশন, এবং ফাংশন - অভ্যন্তরীণ (বা নেস্টেড) ফাংশন.

! এই সংজ্ঞাগুলি তাত্ত্বিক নয় এবং অ্যাসাইনমেন্টের চূড়ান্ত নকশায় উপস্থিত হওয়া উচিত নয়। আমি অনানুষ্ঠানিক অভিব্যক্তি "বাহ্যিক ফাংশন", "অভ্যন্তরীণ" ফাংশন ব্যবহার করি শুধুমাত্র আপনার জন্য উপাদান বোঝা সহজ করার জন্য।

পরিস্থিতি স্পষ্ট করতে, বিবেচনা করুন:

উদাহরণ 1

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সাইনের নীচে, আমাদের কাছে কেবল "x" অক্ষরটি নয়, পুরো অভিব্যক্তি রয়েছে, তাই টেবিল থেকে অবিলম্বে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা কাজ করবে না। আমরা আরও লক্ষ্য করি যে এখানে প্রথম চারটি নিয়ম প্রয়োগ করা অসম্ভব, একটি পার্থক্য আছে বলে মনে হয়, কিন্তু সত্যটি হল সাইনটিকে "ছিন্ন করা" অসম্ভব:

এই উদাহরণে, ইতিমধ্যে আমার ব্যাখ্যা থেকে, এটা স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট যে ফাংশনটি একটি জটিল ফাংশন, এবং বহুপদ হল একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন (এম্বেডিং), এবং একটি বাহ্যিক ফাংশন।

প্রথম ধাপ, যা একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময় করা আবশ্যক কোন ফাংশন অভ্যন্তরীণ এবং কোনটি বাহ্যিক তা বুঝুন.

সাধারণ উদাহরণের ক্ষেত্রে, এটা স্পষ্ট যে সাইনের নীচে একটি বহুপদ বাসা বাঁধে। কিন্তু এটা সুস্পষ্ট না হলে কি? ঠিক কোন ফাংশনটি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন? এটি করার জন্য, আমি নিম্নলিখিত কৌশলটি ব্যবহার করার প্রস্তাব দিই, যা মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে করা যেতে পারে।

আসুন কল্পনা করি যে আমাদের একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে অভিব্যক্তির মান গণনা করতে হবে (একটির পরিবর্তে, যে কোনও সংখ্যা থাকতে পারে)।

আমরা প্রথমে কি গণনা করব? সবার আগেআপনাকে নিম্নলিখিত ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে: , তাই বহুপদী একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন হবে:

দ্বিতীয়তআপনাকে খুঁজে বের করতে হবে, তাই সাইন - একটি বাহ্যিক ফাংশন হবে:

আমরা পরে বোঝাঅভ্যন্তরীণ এবং বাইরের ফাংশনগুলির সাথে, এটি যৌগিক ফাংশন পার্থক্য নিয়ম প্রয়োগ করার সময়।

আমরা সিদ্ধান্ত নিতে শুরু করি। পাঠ থেকে কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে?আমরা মনে রাখি যে কোনও ডেরিভেটিভের সমাধানের নকশা সর্বদা এইভাবে শুরু হয় - আমরা এক্সপ্রেশনটিকে বন্ধনীতে আবদ্ধ করি এবং উপরের ডানদিকে একটি স্ট্রোক রাখি:

প্রথমেআমরা বাহ্যিক ফাংশন (sine) এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই, প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের টেবিলটি দেখুন এবং লক্ষ্য করুন যে। সমস্ত সারণী সূত্র প্রযোজ্য এমনকি যদি "x" একটি জটিল অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, এক্ষেত্রে:

নোট করুন যে ভিতরের ফাংশন পরিবর্তিত হয়নি, আমরা এটি স্পর্শ করি না.

ওয়েল, এটা বেশ স্পষ্ট যে

সূত্র প্রয়োগের চূড়ান্ত ফলাফল এই মত দেখায়:

ধ্রুবক ফ্যাক্টর সাধারণত অভিব্যক্তির শুরুতে স্থাপন করা হয়:

যদি কোন ভুল বোঝাবুঝি হয়, তবে সিদ্ধান্তটি কাগজে লিখুন এবং ব্যাখ্যাগুলি আবার পড়ুন।

উদাহরণ 2

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

উদাহরণ 3

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

সর্বদা হিসাবে, আমরা লিখি:

আমরা খুঁজে বের করি যেখানে আমাদের একটি বাহ্যিক ফাংশন আছে, এবং কোথায় একটি অভ্যন্তরীণ। এটি করার জন্য, আমরা (মানসিকভাবে বা একটি খসড়াতে) এর জন্য অভিব্যক্তির মান গণনা করার চেষ্টা করি। প্রথমে কি করা দরকার? প্রথমত, আপনাকে গণনা করতে হবে বেসটি কিসের সমান: যার অর্থ হল বহুপদ হল অভ্যন্তরীণ ফাংশন:

এবং, শুধুমাত্র তারপর সূচক সঞ্চালিত হয়, অতএব, পাওয়ার ফাংশন একটি বাহ্যিক ফাংশন:

সূত্র অনুসারে, প্রথমে আপনাকে বাহ্যিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে, এই ক্ষেত্রে, ডিগ্রি। আমরা টেবিলে পছন্দসই সূত্র খুঁজছি: আমরা আবার পুনরাবৃত্তি করি: যেকোন সারণী সূত্র শুধুমাত্র "x" এর জন্য নয়, একটি জটিল অভিব্যক্তির জন্যও বৈধ. সুতরাং, একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগের ফলাফল হল:

আমি আবার জোর দিয়েছি যে যখন আমরা বাইরের ফাংশনের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি, তখন ভিতরের ফাংশন পরিবর্তন হয় না:

এখন এটি অভ্যন্তরীণ ফাংশনের একটি খুব সাধারণ ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে এবং ফলাফলটিকে কিছুটা "আঁচড়ান" করা বাকি রয়েছে:

উদাহরণ 4

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি স্ব-সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (পাঠের শেষে উত্তর)।

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের বোঝাপড়াকে একীভূত করতে, আমি মন্তব্য ছাড়াই একটি উদাহরণ দেব, আপনার নিজের থেকে এটি বের করার চেষ্টা করুন, কারণ, কোথায় বাহ্যিক এবং কোথায় অভ্যন্তরীণ ফাংশন, কেন কাজগুলি এভাবে সমাধান করা হয়?

উদাহরণ 5

ক) একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

খ) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

উদাহরণ 6

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এখানে আমাদের একটি রুট আছে, এবং রুটকে আলাদা করার জন্য, এটি একটি ডিগ্রী হিসাবে উপস্থাপন করা আবশ্যক। এইভাবে, আমরা প্রথমে পার্থক্যের জন্য ফাংশনটিকে সঠিক আকারে নিয়ে আসি:

ফাংশন বিশ্লেষণ করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে তিনটি পদের যোগফল একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, এবং সূচক একটি বাহ্যিক ফাংশন। আমরা একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগ করি:

ডিগ্রীটি আবার র্যাডিকাল (মূল) হিসাবে উপস্থাপিত হয় এবং অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য, আমরা যোগফলের পার্থক্য করার জন্য একটি সহজ নিয়ম প্রয়োগ করি:

প্রস্তুত. আপনি বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটিকে একটি সাধারণ হর-এ আনতে পারেন এবং সবকিছুকে একটি ভগ্নাংশ হিসাবে লিখতে পারেন। এটি অবশ্যই সুন্দর, কিন্তু যখন কষ্টকর দীর্ঘ ডেরিভেটিভগুলি পাওয়া যায়, তখন এটি না করাই ভাল (এটি বিভ্রান্ত হওয়া সহজ, একটি অপ্রয়োজনীয় ভুল করা, এবং এটি শিক্ষকের পক্ষে পরীক্ষা করা অসুবিধাজনক হবে)।

উদাহরণ 7

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি স্ব-সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (পাঠের শেষে উত্তর)।

এটি লক্ষ্য করা আকর্ষণীয় যে কখনও কখনও, একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার নিয়মের পরিবর্তে, কেউ একটি ভাগফলকে আলাদা করার জন্য নিয়মটি ব্যবহার করতে পারে , কিন্তু যেমন একটি সমাধান একটি বিকৃতি মজার মত চেহারা হবে. এখানে একটি সাধারণ উদাহরণ:

উদাহরণ 8

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এখানে আপনি ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করতে পারেন , কিন্তু একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়মের মাধ্যমে ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়া অনেক বেশি লাভজনক:

আমরা পার্থক্যের জন্য ফাংশনটি প্রস্তুত করি - আমরা ডেরিভেটিভের বিয়োগ চিহ্নটি বের করি এবং কোসাইনটিকে লবটিতে উত্থাপন করি:

কোসাইন একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, সূচক একটি বাহ্যিক ফাংশন।
আসুন আমাদের নিয়ম ব্যবহার করি:

আমরা অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই, কোসাইনটি আবার নিচের দিকে সেট করুন:

প্রস্তুত. বিবেচিত উদাহরণে, লক্ষণগুলিতে বিভ্রান্ত না হওয়া গুরুত্বপূর্ণ। যাইহোক, নিয়ম দিয়ে সমাধান করার চেষ্টা করুন , উত্তর অবশ্যই মিলবে।

উদাহরণ 9

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি স্ব-সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (পাঠের শেষে উত্তর)।

এখন পর্যন্ত, আমরা এমন ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছি যেখানে আমাদের একটি জটিল ফাংশনে শুধুমাত্র একটি বাসা ছিল। ব্যবহারিক কাজগুলিতে, আপনি প্রায়শই ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে পারেন, যেখানে নেস্টিং পুতুলের মতো, একটির ভিতরে একটি, 3 বা এমনকি 4-5টি ফাংশন একবারে নেস্ট করা হয়।

উদাহরণ 10

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা এই ফাংশন সংযুক্তি বুঝতে. আমরা পরীক্ষামূলক মান ব্যবহার করে অভিব্যক্তি মূল্যায়ন করার চেষ্টা করি। আমরা কিভাবে একটি ক্যালকুলেটর গণনা করব?

প্রথমে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে, যার অর্থ হল আর্কসিন হল গভীরতম বাসা:

ঐক্যের এই আর্কসিন তারপর বর্গ করা উচিত:

এবং অবশেষে, আমরা সাতটিকে শক্তিতে উত্থাপন করি:

অর্থাৎ, এই উদাহরণে আমাদের তিনটি ভিন্ন ফাংশন এবং দুটি নেস্টিং রয়েছে, যখন সবচেয়ে ভিতরের ফাংশনটি আর্কসাইন এবং বাইরেরতম ফাংশনটি সূচকীয় ফাংশন।

আমরা সিদ্ধান্ত নিতে শুরু করি

নিয়ম অনুসারে, আপনাকে প্রথমে বাহ্যিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিতে হবে। আমরা ডেরিভেটিভের টেবিলের দিকে তাকাই এবং সূচকীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই: একমাত্র পার্থক্য হল "x" এর পরিবর্তে আমাদের একটি জটিল অভিব্যক্তি রয়েছে, যা এই সূত্রের বৈধতাকে অস্বীকার করে না। সুতরাং, একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম প্রয়োগের ফলাফল নিম্নরূপ:

ড্যাশ অধীনে, আমরা আবার একটি চতুর ফাংশন আছে! কিন্তু এটা ইতিমধ্যে সহজ. এটি সহজেই দেখা যায় যে ভিতরের ফাংশনটি আর্কসিন এবং বাইরের ফাংশনটি ডিগ্রি। একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম অনুসারে, আপনাকে প্রথমে ডিগ্রির ডেরিভেটিভ নিতে হবে।

যেহেতু আপনি এখানে এসেছেন, আপনি সম্ভবত ইতিমধ্যেই পাঠ্যপুস্তকে এই সূত্রটি দেখতে পেরেছেন

এবং এই মত একটি মুখ তৈরি করুন:

বন্ধু, চিন্তা করো না! আসলে, সবকিছু অপমান করা সহজ। আপনি অবশ্যই সবকিছু বুঝতে পারবেন। শুধুমাত্র একটি অনুরোধ - নিবন্ধটি পড়ুন ধীরে ধীরেপ্রতিটি পদক্ষেপ বোঝার চেষ্টা করুন। আমি যতটা সম্ভব সহজ এবং স্পষ্টভাবে লিখেছি, কিন্তু আপনাকে এখনও ধারণাটি খুঁজে বের করতে হবে। এবং নিবন্ধ থেকে কাজগুলি সমাধান করতে ভুলবেন না।

একটি জটিল ফাংশন কি?

কল্পনা করুন যে আপনি অন্য অ্যাপার্টমেন্টে চলে যাচ্ছেন এবং তাই আপনি বড় বাক্সে জিনিসগুলি প্যাক করছেন। কিছু ছোট আইটেম সংগ্রহ করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, স্কুল স্টেশনারি. আপনি যদি এগুলিকে একটি বিশাল বাক্সে ফেলে দেন তবে সেগুলি অন্যান্য জিনিসের মধ্যে হারিয়ে যাবে। এটি এড়াতে, আপনি প্রথমে এগুলি রাখুন, উদাহরণস্বরূপ, একটি ব্যাগে, যা আপনি তারপরে একটি বড় বাক্সে রাখেন, যার পরে আপনি এটি সিল করেন। এই "কঠিন" প্রক্রিয়াটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে:

মনে হবে, গণিত কই? এবং এছাড়াও, একটি জটিল ফাংশন ঠিক একই ভাবে গঠিত হয়! শুধুমাত্র আমরা "প্যাক" করি নোটবুক এবং কলম নয়, কিন্তু \ (x \), যখন বিভিন্ন "প্যাকেজ" এবং "বাক্স" পরিবেশন করে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন x নিন এবং এটিকে একটি ফাংশনে "প্যাক" করি:

ফলস্বরূপ, আমরা অবশ্যই পাই, \(\cos⁡x\)। এটি আমাদের "ব্যাগ অফ জিনিস"। এবং এখন আমরা এটিকে একটি "বাক্সে" রাখি - আমরা এটি প্যাক করি, উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘন ফাংশনে।

শেষ পর্যন্ত কি হবে? হ্যাঁ, এটা ঠিক, সেখানে "একটি বাক্সে জিনিস সহ একটি প্যাকেজ" থাকবে, অর্থাৎ "x cubed এর কোসাইন।"

ফলে নির্মাণ একটি জটিল ফাংশন. এটা যে সহজ এক থেকে ভিন্ন বেশ কিছু "প্রভাব" (প্যাকেজ) এক সারিতে এক X-এ প্রয়োগ করা হয়এবং এটি দেখা যাচ্ছে, যেমনটি ছিল, "একটি ফাংশন থেকে একটি ফাংশন" - "একটি প্যাকেজে একটি প্যাকেজ"।

স্কুল কোর্সে, এই একই ধরনের "প্যাকেজ" এর খুব কম প্রকার রয়েছে, মাত্র চারটি:

এখন বেস 7 সহ একটি সূচকীয় ফাংশনে x প্রথমে "প্যাক" করি এবং তারপর একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে। আমরা পেতে:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

এবং এখন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে x দুবার "প্যাক" করি, প্রথমে এবং তারপরে:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

সহজ, তাই না?

এখন ফাংশনগুলি নিজেই লিখুন, যেখানে x:
- প্রথমে এটি একটি কোসাইনে "প্যাক করা" হয় এবং তারপর বেস \(3\) সহ একটি সূচকীয় ফাংশনে;
- প্রথমে পঞ্চম শক্তি, এবং তারপর স্পর্শক;
- প্রথমে বেস লগারিদমে \(4\) , তারপর পাওয়ারে \(-2\)।

নিবন্ধের শেষে এই প্রশ্নের উত্তর দেখুন।

কিন্তু আমরা কি x দুই নয়, তিনবার "প্যাক" করতে পারি? সমস্যা নেই! এবং চার, এবং পাঁচ, এবং পঁচিশ বার। এখানে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন যেখানে x "প্যাকড" \(4\) বার:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

তবে স্কুলের অনুশীলনে এই জাতীয় সূত্রগুলি পাওয়া যাবে না (ছাত্ররা আরও ভাগ্যবান - তারা আরও কঠিন হতে পারে☺)।

একটি জটিল ফাংশন "আনপ্যাক করা"

আগের ফাংশন আবার দেখুন। আপনি কি "প্যাকিং" এর ক্রমটি বের করতে পারেন? কি এক্স প্রথম মধ্যে স্টাফ ছিল, তারপর কি, এবং তাই খুব শেষ পর্যন্ত. অর্থাৎ কোন ফাংশনটি কোনটিতে নেস্ট করা হয়েছে? এক টুকরো কাগজ নিন এবং আপনি যা মনে করেন তা লিখুন। আপনি তীরগুলির একটি চেইন দিয়ে এটি করতে পারেন, যেমনটি আমরা উপরে লিখেছি, বা অন্য কোনও উপায়ে।

এখন সঠিক উত্তর হল: প্রথমে x কে \(4\)ম শক্তিতে "প্যাক" করা হয়েছিল, তারপর ফলাফলটি সাইনে প্যাক করা হয়েছিল, এটি, ঘুরে, লগারিদম বেসে \(2\) স্থাপন করা হয়েছিল, এবং শেষ পর্যন্ত পুরো নির্মাণ ক্ষমতা ফাইভের মধ্যে shoved ছিল.

অর্থাৎ, বিপরীত ক্রমে ক্রমটি খুলতে হবে। এবং এটি কীভাবে সহজ করা যায় তা এখানে একটি ইঙ্গিত রয়েছে: কেবল এক্সটি দেখুন - আপনাকে এটি থেকে নাচতে হবে। আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণস্বরূপ, এখানে একটি ফাংশন রয়েছে: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\)। আমরা এক্সের দিকে তাকাই - তার সাথে প্রথমে কী ঘটে? তার কাছ থেকে নেওয়া। এবং তারপর? ফলাফলের স্পর্শক নেওয়া হয়। এবং ক্রম একই হবে:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

আরেকটি উদাহরণ: \(y=\cos⁡((x^3))\)। আমরা বিশ্লেষণ করি - প্রথমে x কিউব করা হয়েছিল, এবং তারপর ফলাফল থেকে কোসাইন নেওয়া হয়েছিল। সুতরাং ক্রমটি হবে: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\)। মনোযোগ দিন, ফাংশনটি প্রথমটির মতোই মনে হচ্ছে (যেখানে ছবি সহ)। কিন্তু এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন ফাংশন: এখানে কিউবে x (অর্থাৎ, \(\cos⁡((x x x)))\), এবং সেখানে ঘনক্ষেত্রে কোসাইন \(x\) (অর্থাৎ, \(\) cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\))। এই পার্থক্যটি বিভিন্ন "প্যাকিং" ক্রম থেকে উদ্ভূত হয়।

শেষ উদাহরণ (এতে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সহ): \(y=\sin⁡((2x+5))\)। এটা স্পষ্ট যে এখানে আমরা প্রথমে x দিয়ে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ করেছি, তারপর সাইনটি ফলাফল থেকে নেওয়া হয়েছিল: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\)। এবং এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়: গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি নিজের মধ্যে ফাংশন না হওয়া সত্ত্বেও, এখানে তারা "প্যাকিং" এর একটি উপায় হিসাবেও কাজ করে। আসুন এই সূক্ষ্মতার মধ্যে একটু গভীরভাবে অনুসন্ধান করা যাক।

আমি উপরে বলেছি, সাধারণ ফাংশনে x একবার "প্যাকড" হয় এবং জটিল ফাংশনে - দুই বা তার বেশি। তদুপরি, সরল ফাংশনের যেকোন সমন্বয় (অর্থাৎ তাদের যোগফল, পার্থক্য, গুণ বা ভাগ)ও একটি সাধারণ ফাংশন। উদাহরণস্বরূপ, \(x^7\) একটি সাধারণ ফাংশন, এবং তাই \(ctg x\)। অতএব, তাদের সমস্ত সমন্বয় সহজ ফাংশন:

\(x^7+ ctg x\) - সহজ,
\(x^7 ctg x\) সহজ,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) সহজ, ইত্যাদি।

যাইহোক, যদি এই জাতীয় সংমিশ্রণে আরও একটি ফাংশন প্রয়োগ করা হয় তবে এটি ইতিমধ্যে একটি জটিল ফাংশন হবে, কারণ দুটি "প্যাকেজ" থাকবে। চিত্র দেখুন:

ঠিক আছে, এর এখন এটি নিয়ে যাওয়া যাক। "র্যাপিং" ফাংশনের ক্রম লিখুন:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
উত্তর আবার নিবন্ধের শেষে আছে.

অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ফাংশন

কেন আমাদের ফাংশন নেস্টিং বুঝতে হবে? এটা আমাদের কি দেয়? বিন্দু হল যে এই ধরনের বিশ্লেষণ ছাড়া আমরা উপরে আলোচিত ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি নির্ভরযোগ্যভাবে খুঁজে পেতে সক্ষম হব না।

এবং এগিয়ে যাওয়ার জন্য, আমাদের আরও দুটি ধারণার প্রয়োজন হবে: অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ফাংশন। এটি একটি খুব সাধারণ জিনিস, তদ্ব্যতীত, আসলে, আমরা ইতিমধ্যে সেগুলি উপরে বিশ্লেষণ করেছি: যদি আমরা খুব শুরুতে আমাদের সাদৃশ্যটি স্মরণ করি, তবে ভিতরের ফাংশনটি "প্যাকেজ" এবং বাইরেরটি "বাক্স"। সেগুলো. X প্রথমে যা "রেপড" করা হয় তা হল একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন, এবং অভ্যন্তরীণ যা "মোড়ানো" হয় তা ইতিমধ্যেই বাহ্যিক। ঠিক আছে, এটা বোধগম্য কেন - এটি বাইরের, এর অর্থ বাহ্যিক।

এখানে এই উদাহরণে: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), ফাংশন \(\log_2⁡x\) অভ্যন্তরীণ, এবং
- বাহ্যিক।

এবং এটিতে: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) অভ্যন্তরীণ, এবং
- বাহ্যিক।

জটিল ফাংশন বিশ্লেষণের শেষ অনুশীলনটি সম্পাদন করুন, এবং অবশেষে, আসুন সেই বিন্দুতে এগিয়ে যাই যার জন্য সবকিছু শুরু হয়েছিল - আমরা জটিল ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাব:

টেবিলের ফাঁকগুলি পূরণ করুন:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আমাদের কাছে ব্রাভো, আমরা এখনও এই বিষয়ের "বস" এর কাছে পৌঁছেছি - আসলে, একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ, এবং বিশেষত, নিবন্ধের শুরু থেকে সেই ভয়ানক সূত্রে৷☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

এই সূত্রটি এই মত পড়ে:

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ ধ্রুবক অভ্যন্তরীণ ফাংশন এবং অভ্যন্তরীণ ফাংশনের ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে বাহ্যিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের গুণফলের সমান।

এবং অবিলম্বে "শব্দ দ্বারা" পার্সিং স্কিমটি দেখুন কীসের সাথে সম্পর্কিত তা বোঝার জন্য:

আমি আশা করি "ডেরিভেটিভ" এবং "পণ্য" শব্দগুলি অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। "জটিল ফাংশন" - আমরা ইতিমধ্যে ভেঙে দিয়েছি। ক্যাচ "একটি ধ্রুবক অভ্যন্তরীণ ফাংশন সাপেক্ষে একটি বহিরাগত ফাংশনের ডেরিভেটিভ।" এটা কি?

উত্তর: এটি বাইরের ফাংশনের স্বাভাবিক ডেরিভেটিভ, যেখানে শুধুমাত্র বাইরের ফাংশনটি পরিবর্তিত হয়, যখন ভিতরেরটি একই থাকে। এখনও অস্পষ্ট? ঠিক আছে, এর একটি উদাহরণ নেওয়া যাক.

ধরা যাক আমাদের একটি ফাংশন আছে \(y=\sin⁡(x^3)\)। এটা স্পষ্ট যে এখানে ভিতরের ফাংশনটি \(x^3\), এবং বাইরের
. আসুন এখন ধ্রুব অভ্যন্তরের সাপেক্ষে বাইরের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক।