শিকড় সহ জটিল উদাহরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন। শিকড় দিয়ে উদাহরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন। কেন মৌলবাদী অভিব্যক্তি অ-নেতিবাচক হতে হবে

ঘটনা ১.
\(\bullet\) আসুন কিছু অ-ঋণাত্মক সংখ্যা নেওয়া যাক \(a\) (অর্থাৎ, \(a\geqslant 0\))। তারপর (পাটিগণিত) বর্গমূলসংখ্যা থেকে \(a\) এমন একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয় \(b\) , বর্গ করা হলে আমরা \(a\) সংখ্যা পাই : \[\sqrt a=b\quad \text(same as)\quad a=b^2\]সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). এই সীমাবদ্ধতাগুলি বর্গমূলের অস্তিত্বের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত এবং মনে রাখা উচিত!
মনে রাখবেন যে কোনো সংখ্যা যখন বর্গ করা হয় তখন একটি অ-নেতিবাচক ফলাফল দেয়। অর্থাৎ, \(100^2=10000\geqslant 0\) এবং \((-100)^2=10000\geqslant 0\)।
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) কিসের সমান? আমরা জানি যে \(5^2=25\) এবং \(-5)^2=25\)। যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে আমাদের অবশ্যই একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে, তাহলে \(-5\) উপযুক্ত নয়, তাই, \(\sqrt(25)=5\) (যেহেতু \(25=5^2\))।
\(\sqrt a\) এর মান বের করাকে \(a\) সংখ্যাটির বর্গমূল নেওয়া বলা হয় এবং \(a\) সংখ্যাটিকে র্যাডিকাল রাশি বলা হয়।
\(\bullet\) সংজ্ঞা, অভিব্যক্তি \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), ইত্যাদির উপর ভিত্তি করে। কোন মানে নেই

ঘটনা 2।
দ্রুত গণনার জন্য, \(1\) থেকে \(20\) পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের সারণী শেখা উপযোগী হবে : \[\begin(অ্যারে)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ hলাইন \শেষ(অ্যারে)\]

ঘটনা 3।
আপনি বর্গমূল দিয়ে কি অপারেশন করতে পারেন?
\(\ বুলেট\) বর্গমূলের যোগফল বা পার্থক্য যোগফল বা পার্থক্যের বর্গমূলের সমান নয়, অর্থাৎ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]এইভাবে, যদি আপনার গণনা করতে হয়, উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\), তাহলে প্রাথমিকভাবে আপনাকে অবশ্যই \(\sqrt(25)\) এবং \(\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে sqrt(49)\ ) এবং তারপরে সেগুলি ভাঁজ করুন। তাই, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] যদি \(\sqrt a+\sqrt b\) যোগ করার সময় \(\sqrt a\) বা \(\sqrt b\) মানগুলি পাওয়া না যায়, তবে এই জাতীয় অভিব্যক্তিটি আরও রূপান্তরিত হয় না এবং এটির মতোই থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যোগফল \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) আমরা দেখতে পারি \(\sqrt(49)\) হল \(7\), কিন্তু \(\sqrt 2\) রূপান্তরিত হতে পারে না যেভাবেই হোক, সেজন্য \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). দুর্ভাগ্যবশত, এই অভিব্যক্তি আরো সরলীকৃত করা যাবে না\(\bullet\) বর্গমূলের গুণফল/ভাগফল গুণফল/ভাগফলের বর্গমূলের সমান, অর্থাৎ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (যদি সমতার উভয় পক্ষই অর্থবোধ করে)
উদাহরণ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, বড় সংখ্যার বর্গমূলগুলিকে ফ্যাক্টর করে খুঁজে বের করা সুবিধাজনক।
এর একটি উদাহরণ তাকান. আসুন খুঁজে পাই \(\sqrt(44100)\)। যেহেতু \(44100:100=441\), তারপর \(44100=100\cdot 441\)। বিভাজ্যতার মাপকাঠি অনুসারে, সংখ্যা \(441\) \(9\) দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু এটির অঙ্কের যোগফল 9 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য), তাই, \(441:9=49\), অর্থাৎ, \(441=9\ cdot 49\)।
এইভাবে আমরা পেয়েছি: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) এক্সপ্রেশন \(5\sqrt2\) (অভিব্যক্তির জন্য সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি \(5\cdot \sqrt2\)) এর উদাহরণ ব্যবহার করে বর্গমূল চিহ্নের নীচে সংখ্যাগুলি কীভাবে লিখতে হয় তা দেখাই। যেহেতু \(5=\sqrt(25)\), তারপর \ এছাড়াও মনে রাখবেন যে, উদাহরণস্বরূপ,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)।

কেন এমন হল? উদাহরণ 1 ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা যাক)। আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন, আমরা কোনোভাবে সংখ্যাটি রূপান্তর করতে পারি না \(\sqrt2\)। আসুন কল্পনা করি যে \(\sqrt2\) কিছু সংখ্যা \(a\)। তদনুসারে, অভিব্যক্তি \(\sqrt2+3\sqrt2\) \(a+3a\) (একটি সংখ্যা \(a\) এবং একই সংখ্যার আরও তিনটি \(a\)) ছাড়া আর কিছুই নয়। এবং আমরা জানি যে এটি চারটি সংখ্যার সমান \(a\), অর্থাৎ, \(4\sqrt2\)।

ঘটনা 4।
\(\bullet\) তারা প্রায়ই বলে "আপনি মূলটি বের করতে পারবেন না" যখন আপনি একটি সংখ্যার মান খুঁজে বের করার সময় মূলের (আমূল) চিহ্ন \(\sqrt () \ \) থেকে মুক্তি পেতে পারেন না . উদাহরণস্বরূপ, আপনি \(16\) সংখ্যাটির মূল নিতে পারেন কারণ \(16=4^2\), তাই \(\sqrt(16)=4\)। কিন্তু সংখ্যাটির মূল বের করা অসম্ভব \(3\), অর্থাৎ, খুঁজে বের করা \(\sqrt3\), কারণ এমন কোন সংখ্যা নেই যা বর্গ দিয়ে \(3\) দেবে।
এই ধরনের সংখ্যা (বা এই ধরনের সংখ্যা সহ অভিব্যক্তি) অযৌক্তিক। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)এবং তাই অযৌক্তিক হয়
এছাড়াও অযৌক্তিক সংখ্যাগুলি \(\pi\) (সংখ্যা “pi”, প্রায় \(3.14\) এর সমান), \(e\) (এই সংখ্যাটিকে অয়লার সংখ্যা বলা হয়, এটি প্রায় \(2.7) এর সমান \)) ইত্যাদি
\(\bullet\) অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে কোন সংখ্যাই হয় মূলদ বা অমূলদ হবে। এবং সমস্ত মূলদ এবং সমস্ত অমূলদ সংখ্যা মিলে একটি সেট গঠন করে যাকে বলা হয় বাস্তব সংখ্যার একটি সেট।এই সেটটিকে \(\mathbb(R)\) অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
এর মানে হল যে সমস্ত সংখ্যা আমরা বর্তমানে জানি বাস্তব সংখ্যা বলা হয়.

ঘটনা 5।
\(\bullet\) একটি বাস্তব সংখ্যা \(a\) এর মডুলাস হল একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা \(|a|\) বিন্দু \(a\) থেকে \(0\) পর্যন্ত দূরত্বের সমান বাস্তব লাইন উদাহরণস্বরূপ, \(|3|\) এবং \(|-3|\) 3 এর সমান, যেহেতু বিন্দু থেকে দূরত্ব \(3\) এবং \(-3\) থেকে \(0\) একই এবং সমান \(3 \)।
\(\bullet\) যদি \(a\) একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=a\)।
উদাহরণ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)। \(\bullet\) যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে \(|a|=-a\)।
উদাহরণ: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
তারা বলে যে নেতিবাচক সংখ্যার জন্য মডুলাস বিয়োগ "খায়", যখন ধনাত্মক সংখ্যা, সেইসাথে সংখ্যা \(0\), মডুলাস দ্বারা অপরিবর্তিত থাকে।
কিন্তুএই নিয়ম শুধুমাত্র সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যদি আপনার মডুলাস চিহ্নের নীচে একটি অজানা \(x\) (বা অন্য কিছু অজানা), উদাহরণস্বরূপ, \(|x|\), যার সম্পর্কে আমরা জানি না যে এটি ধনাত্মক, শূন্য বা নেতিবাচক কিনা, তাহলে পরিত্রাণ পান মডুলাস আমরা পারি না. এই ক্ষেত্রে, এই অভিব্যক্তিটি একই থাকে: \(|x|\)। \(\bullet\) নিম্নলিখিত সূত্র ধরে: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( provide ) a\geqslant 0\]খুব প্রায়ই নিম্নলিখিত ভুল করা হয়: তারা বলে যে \(\sqrt(a^2)\) এবং \((\sqrt a)^2\) এক এবং একই। এটি শুধুমাত্র সত্য যদি \(a\) একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হয়। কিন্তু যদি \(a\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে এটি মিথ্যা। এই উদাহরণ বিবেচনা করা যথেষ্ট। আসুন \(a\) সংখ্যা \(-1\) এর পরিবর্তে নেওয়া যাক। তারপর \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\), কিন্তু অভিব্যক্তি \((\sqrt (-1))^2\) মোটেও বিদ্যমান নেই (সবকিছুর পরে, নেতিবাচক সংখ্যা বসানো মূল চিহ্ন ব্যবহার করা অসম্ভব!)
অতএব, আমরা আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যে \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) এর সমান নয়!উদাহরণ: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), কারণ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\)। \(\bullet\) যেহেতু \(\sqrt(a^2)=|a|\), তারপর \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (অভিব্যক্তি \(2n\) একটি জোড় সংখ্যা নির্দেশ করে)
অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার রুট নেওয়ার সময় যা কিছু ডিগ্রী, এই ডিগ্রী অর্ধেক হয়।
উদাহরণ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (উল্লেখ্য যে যদি মডিউলটি সরবরাহ করা না হয়, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে সংখ্যাটির মূলটি \(-25\) এর সমান ); কিন্তু আমরা মনে রাখি, মূলের সংজ্ঞা অনুসারে এটি ঘটতে পারে না: একটি মূল বের করার সময়, আমাদের সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য পাওয়া উচিত)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (যেহেতু একটি জোড় ঘাতের যেকোনো সংখ্যা অ-ঋণাত্মক)

ঘটনা 6।
কিভাবে দুটি বর্গমূল তুলনা?
\(\bullet\) বর্গমূলের জন্য এটি সত্য: যদি \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aউদাহরণ:
1) তুলনা করুন \(\sqrt(50)\) এবং \(6\sqrt2\)। প্রথমত, দ্বিতীয় রাশিটিকে রুপান্তর করা যাক \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). এইভাবে, যেহেতু \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) কোন পূর্ণসংখ্যার মধ্যে \(\sqrt(50)\) অবস্থিত?
যেহেতু \(\sqrt(49)=7\), \(\sqrt(64)=8\), এবং \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) আসুন তুলনা করি \(\sqrt 2-1\) এবং \(0.5\)। ধরা যাক যে \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \\big| +1\quad \text((উভয় পাশে একটি যোগ করুন))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((উভয় দিকে বর্গক্ষেত্র))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(সারিবদ্ধ)\]আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আমরা একটি ভুল বৈষম্য পেয়েছি। অতএব, আমাদের অনুমান ভুল ছিল এবং \(\sqrt 2-1<0,5\) .
মনে রাখবেন যে অসমতার উভয় পাশে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করলে এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না। একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা একটি অসমতার উভয় দিককে গুণ/ভাগ করলেও এর চিহ্নকে প্রভাবিত করে না, তবে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি বিপরীত হয়!
আপনি একটি সমীকরণ/বৈষম্যের উভয় দিকে বর্গ করতে পারেন শুধুমাত্র যদি উভয় পক্ষই অ-নেতিবাচক হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে অসমতায় আপনি উভয় পক্ষকে বর্গ করতে পারেন, অসমতায় \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\বুলেট\) এটা মনে রাখা উচিত \[\begin(সারিবদ্ধ) &\sqrt 2\আনুমানিক 1.4\\ &\sqrt 3\প্রায় 1.7 \শেষ(সংরিবদ্ধ)\]সংখ্যার তুলনা করার সময় এই সংখ্যাগুলির আনুমানিক অর্থ জানা আপনাকে সাহায্য করবে! \(\bullet\) বর্গক্ষেত্রের সারণীতে নেই এমন কিছু বড় সংখ্যা থেকে মূল (যদি বের করা যায়) বের করার জন্য, আপনাকে প্রথমে নির্ধারণ করতে হবে এটি কোন "শত" এর মধ্যে অবস্থিত, তারপর – কোনটির মধ্যে " দশ”, এবং তারপর এই সংখ্যার শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করুন। আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে এটি কীভাবে কাজ করে।
চলুন নেওয়া যাক \(\sqrt(28224)\)। আমরা জানি যে \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), ইত্যাদি। মনে রাখবেন \(28224\) \(10\,000\) এবং \(40\,000\) এর মধ্যে। অতএব, \(\sqrt(28224)\) হল \(100\) এবং \(200\) এর মধ্যে।
এখন আমাদের সংখ্যা কোন "দশ" এর মধ্যে অবস্থিত তা নির্ধারণ করা যাক (যেমন, উদাহরণস্বরূপ, \(120\) এবং \(130\) এর মধ্যে)। এছাড়াও বর্গের সারণী থেকে আমরা জানি যে \(11^2=121\), \(12^2=144\) ইত্যাদি, তারপর \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) সুতরাং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \(28224\) \(160^2\) এবং \(170^2\) এর মধ্যে রয়েছে। অতএব, সংখ্যা \(\sqrt(28224)\) \(160\) এবং \(170\) এর মধ্যে।
শেষ সংখ্যা নির্ধারণ করার চেষ্টা করা যাক. আসুন মনে রাখি কোন একক সংখ্যার সংখ্যা, যখন বর্গ করা হয়, তখন শেষে \(4\) দেয়? এগুলি হল \(2^2\) এবং \(8^2\)। অতএব, \(\sqrt(28224)\) 2 বা 8 এর মধ্যে শেষ হবে। আসুন এটি পরীক্ষা করি। আসুন খুঁজে পাই \(162^2\) এবং \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)।
অতএব, \(\sqrt(28224)=168\)। ভয়লা !

গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার পর্যাপ্ত সমাধান করার জন্য, আপনাকে প্রথমে তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন করতে হবে, যা আপনাকে অসংখ্য উপপাদ্য, সূত্র, অ্যালগরিদম ইত্যাদির সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। প্রথম নজরে মনে হতে পারে যে এটি বেশ সহজ। যাইহোক, এমন একটি উত্স সন্ধান করা যেখানে গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার তত্ত্বটি যে কোনও স্তরের প্রশিক্ষণ সহ শিক্ষার্থীদের জন্য একটি সহজ এবং বোধগম্য উপায়ে উপস্থাপন করা হয়েছে বাস্তবে একটি বরং কঠিন কাজ। স্কুলের পাঠ্যবই সবসময় হাতে রাখা যায় না। এবং গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রাথমিক সূত্রগুলি খুঁজে পাওয়া এমনকি ইন্টারনেটেও কঠিন হতে পারে।

শুধুমাত্র যারা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা দিচ্ছে তাদের জন্যই গণিতে তত্ত্ব অধ্যয়ন করা এত গুরুত্বপূর্ণ কেন?

1. কারণ এটি আপনার দিগন্তকে প্রশস্ত করে. গণিতের তাত্ত্বিক উপাদান অধ্যয়ন করা যে কেউ তাদের চারপাশের বিশ্বের জ্ঞান সম্পর্কিত বিস্তৃত প্রশ্নের উত্তর পেতে চায় তাদের জন্য দরকারী। প্রকৃতির সবকিছুই সুশৃঙ্খল এবং সুস্পষ্ট যুক্তিযুক্ত। এটি বিজ্ঞানে প্রতিফলিত হয়, যার মাধ্যমে বিশ্বকে বোঝা সম্ভব।
2. কারণ এতে বুদ্ধির বিকাশ ঘটে. গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য রেফারেন্স সামগ্রী অধ্যয়ন করার পাশাপাশি বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে, একজন ব্যক্তি যুক্তিযুক্তভাবে চিন্তা করতে এবং যুক্তি দিতে, দক্ষতার সাথে এবং স্পষ্টভাবে চিন্তাভাবনা তৈরি করতে শেখে। তিনি বিশ্লেষণ, সাধারণীকরণ এবং সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়ার ক্ষমতা বিকাশ করেন।

আমরা আপনাকে ব্যক্তিগতভাবে শিক্ষাগত উপকরণগুলির পদ্ধতিগতকরণ এবং উপস্থাপনার জন্য আমাদের পদ্ধতির সমস্ত সুবিধা মূল্যায়ন করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

ক্ষমতা এবং শিকড় সঙ্গে অপারেশন. নেগেটিভ সহ ডিগ্রী ,

শূন্য এবং ভগ্নাংশ সূচক কোন অর্থ নেই এমন অভিব্যক্তি সম্পর্কে।

ডিগ্রী সহ অপারেশন।

1. একই বেস দিয়ে শক্তিকে গুণ করার সময়, তাদের সূচক যোগ হয়:

একটি মি · a n = a m + n।

2. একই ভিত্তি দিয়ে ডিগ্রী ভাগ করার সময়, তাদের সূচক কাটা হয় .

3. দুই বা ততোধিক গুণনীয়কের গুণফলের ডিগ্রি এই গুণনীয়কের ডিগ্রির গুণফলের সমান।

(abc… ) n = একটি n· খ n · গ n…

4. একটি অনুপাতের ডিগ্রী (ভগ্নাংশ) লভ্যাংশ (লব) এবং ভাজক (হর) এর ডিগ্রীর অনুপাতের সমান:

(a/b ) n = a n / b n।

5. একটি শক্তিকে শক্তিতে উন্নীত করার সময়, তাদের সূচকগুলিকে গুণ করা হয়:

(একটি মি ) n = a m n।

উপরের সমস্ত সূত্রগুলি বাম থেকে ডান এবং তদ্বিপরীত উভয় দিকেই পড়া এবং কার্যকর করা হয়।

উদাহরণ (২· ৩ · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

শিকড় সঙ্গে অপারেশন. নীচের সমস্ত সূত্রে, প্রতীক মানে গাণিতিক মূল(আমূল অভিব্যক্তি ইতিবাচক)।

1. বেশ কয়েকটি গুণের গুণফলের মূল গুণফলের সমান এই কারণগুলির মূল:

2. একটি অনুপাতের মূল লভ্যাংশ এবং ভাজকের মূলের অনুপাতের সমান:

3. একটি শক্তিতে একটি শিকড় উত্থাপন করার সময়, এটি এই শক্তিতে বাড়াতে যথেষ্ট মৌলিক সংখ্যা:

4. যদি আমরা রুট এর ডিগ্রী বৃদ্ধি করিমি বাড়াতেমি তম শক্তি একটি মৌলিক সংখ্যা, তাহলে মূলের মান পরিবর্তন হবে না:

5. যদি আমরা রুট এর ডিগ্রী কমিয়ে দিইমি একবার এবং একই সময়ে মূল নিষ্কাশন করুনমি একটি র্যাডিকাল সংখ্যার th শক্তি, তাহলে মূলের মান হয় নাপরিবর্তন হবে:

ডিগ্রী ধারণা প্রসারিত. এ পর্যন্ত আমরা কেবলমাত্র প্রাকৃতিক সূচকের সাথে ডিগ্রি বিবেচনা করেছি;কিন্তু সঙ্গে কর্ম ডিগ্রী এবং শিকড় এছাড়াও হতে পারে নেতিবাচক, শূন্যএবং ভগ্নাংশসূচক এই সমস্ত সূচকের অতিরিক্ত সংজ্ঞা প্রয়োজন।

একটি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি ডিগ্রি। কিছু সংখ্যার শক্তি গ একটি ঋণাত্মক (পূর্ণসংখ্যা) সূচককে একটি বিভক্ত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় পরম মানের সমান সূচক সহ একই সংখ্যার শক্তি দ্বারানেতিবাচক সূচক:

টিএখন সূত্র একটি মি: একটি= একটি মি - n জন্য ব্যবহার করা যাবে না শুধুমাত্রমি, অধিক n, কিন্তু সঙ্গে মি, এর চেয়ে কম n .

উদাহরণ ক 4 :ক 7 =a 4 - 7 =a - 3 .

আমরা যদি সূত্র চাইএকটি মি : একটি= একটি মি - nন্যায্য ছিল যখনm = n, আমরা ডিগ্রী শূন্য একটি সংজ্ঞা প্রয়োজন.

শূন্য সূচক সহ একটি ডিগ্রি। সূচক শূন্য সহ যেকোনো অ-শূন্য সংখ্যার শক্তি 1।

উদাহরণ 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

একটি ভগ্নাংশ সূচক সহ ডিগ্রী। একটি বাস্তব সংখ্যা বাড়াতেএবং পাওয়ার m/n , আপনি মূল নিষ্কাশন করা প্রয়োজন m এর nম শক্তি -এই সংখ্যার তম শক্তি A:

কোন অর্থ নেই এমন অভিব্যক্তি সম্পর্কে। এরকম বেশ কিছু অভিব্যক্তি আছে।যেকোনো সংখ্যা।

আসলে, যদি আমরা ধরে নিই যে এই রাশিটি কিছু সংখ্যার সমান এক্স, তারপর বিভাগ অপারেশনের সংজ্ঞা অনুযায়ী আমাদের আছে: 0 = 0 · এক্স. কিন্তু এই সমতা ঘটে যখন যেকোনো সংখ্যা x, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল.

মামলা 3।

0 0 - যেকোনো সংখ্যা।

সত্যিই,

সমাধান। আসুন তিনটি প্রধান ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক:

1) এক্স = 0 – এই মান এই সমীকরণ সন্তুষ্ট না

(কেন?)।

2) কখন এক্স> 0 আমরা পাই: x/x = 1, অর্থাৎ 1 = 1, যার অর্থ

কি এক্স- যেকোনো সংখ্যা; কিন্তু একাউন্টে যে গ্রহণ

আমাদের ক্ষেত্রে এক্স> 0, উত্তর হলএক্স > 0 ;

3) কখন এক্স < 0 получаем: – x/x= 1, অর্থাৎ ই . -1 = 1, তাই,

এক্ষেত্রে কোনো সমাধান নেই।

এইভাবে, এক্স > 0.

পাঠের শুরুতে, আমরা বর্গমূলের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি পর্যালোচনা করব, এবং তারপর বর্গমূল সমন্বিত অভিব্যক্তির সরলীকরণের বেশ কয়েকটি জটিল উদাহরণ দেখব।

বিষয়:ফাংশন. বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য

পাঠ:শিকড় সহ আরও জটিল অভিব্যক্তি রূপান্তর করা এবং সরল করা

1. বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য পর্যালোচনা করুন

আসুন সংক্ষেপে তত্ত্বটি পুনরাবৃত্তি করি এবং বর্গমূলের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি।

বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য:

1. অতএব,;

3. ;

4. .

2. শিকড় সহ অভিব্যক্তি সরলীকরণের উদাহরণ

আসুন এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করার উদাহরণগুলিতে এগিয়ে যাই।

উদাহরণ 1: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন .

সমাধান। সরলীকরণের জন্য, 120 নম্বরটিকে মৌলিক গুণনীয়কগুলির মধ্যে ফ্যাক্টরাইজ করা আবশ্যক:

আমরা উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে যোগফলের বর্গ প্রকাশ করব:

উদাহরণ 2: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন .

সমাধান। আসুন আমরা বিবেচনা করি যে এই অভিব্যক্তিটি ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মানের জন্য অর্থপূর্ণ নয়, যেহেতু এই অভিব্যক্তিতে বর্গমূল এবং ভগ্নাংশ রয়েছে, যা অনুমোদিত মানগুলির পরিসরকে "সংকীর্ণ" করে। ODZ: ().

বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটিকে সাধারণ হর-এ নিয়ে আসুন এবং বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য হিসাবে শেষ ভগ্নাংশের লব লিখি:

এ.

উত্তর. এ

উদাহরণ 3: একটি অভিব্যক্তি সরল করুন .

সমাধান। এটি দেখা যায় যে দ্বিতীয় সংখ্যার বন্ধনীটির একটি অসুবিধাজনক চেহারা রয়েছে এবং এটি সরলীকরণ করা দরকার; আসুন গ্রুপিং পদ্ধতি ব্যবহার করে এটিকে ফ্যাক্টর করার চেষ্টা করি।

একটি সাধারণ ফ্যাক্টর বের করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, আমরা তাদের ফ্যাক্টর করে শিকড়গুলিকে সরলীকৃত করেছি। আসুন মূল ভগ্নাংশে ফলাফলের অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি:

ভগ্নাংশ কমানোর পর, আমরা বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য প্রয়োগ করি।

3. অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ পেতে একটি উদাহরণ

উদাহরণ 4. অযৌক্তিকতা (মূল) থেকে নিজেকে মুক্ত করুন: ক) ; খ)।

সমাধান। ক) হর মধ্যে অযৌক্তিকতা পরিত্রাণ পেতে, একটি ভগ্নাংশের লব এবং হর উভয়কে সংযোজিত গুণকের দ্বারা হরকে গুণ করার আদর্শ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় (একই অভিব্যক্তি, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন সহ)। এটি বর্গের পার্থক্যের সাথে ভগ্নাংশের হরকে পরিপূরক করার জন্য করা হয়, যা আপনাকে হর এর শিকড় থেকে মুক্তি পেতে দেয়। আসুন আমাদের ক্ষেত্রে এটি করি:

খ) অনুরূপ কর্ম সম্পাদন করুন:

উত্তর.; .

4. একটি জটিল র্যাডিকেলে একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের প্রমাণ এবং সনাক্তকরণের উদাহরণ

উদাহরণ 5. সমতা প্রমাণ করুন .

প্রমাণ। আসুন একটি বর্গমূলের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা যাক, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ডানদিকের অভিব্যক্তিটির বর্গটি অবশ্যই মূল অভিব্যক্তির সমান হতে হবে:

. যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে বন্ধনী খুলি:

, আমরা সঠিক সমতা পেয়েছি।

প্রমাণিত।

উদাহরণ 6. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন।

সমাধান। এই অভিব্যক্তিকে সাধারণত একটি জটিল র‌্যাডিকাল (মূলের নীচে মূল) বলা হয়। এই উদাহরণে, আপনাকে র‍্যাডিকাল এক্সপ্রেশন থেকে একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রকে কীভাবে আলাদা করতে হবে তা বের করতে হবে। এটি করার জন্য, নোট করুন যে দুটি পদের মধ্যে, এটি বর্গীয় পার্থক্যের সূত্রে দ্বিগুণ পণ্যের ভূমিকার জন্য প্রার্থী (পার্থক্য, যেহেতু একটি বিয়োগ আছে)। আসুন আমরা এটিকে নিম্নলিখিত পণ্যের আকারে লিখি: , তারপর 1টি একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের একটি পদ বলে দাবি করে এবং 1টি দ্বিতীয়টি বলে দাবি করে৷

আসুন মূলের নীচে এই অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করি।

এই নিবন্ধটি বিশদ তথ্যের একটি সংগ্রহ যা শিকড়ের বৈশিষ্ট্যগুলির বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত। বিষয়টি বিবেচনা করে, আমরা বৈশিষ্ট্যগুলি দিয়ে শুরু করব, সমস্ত ফর্মুলেশন অধ্যয়ন করব এবং প্রমাণ সরবরাহ করব। বিষয়টিকে একীভূত করার জন্য, আমরা nth ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করব।

শিকড় বৈশিষ্ট্য

আমরা বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে কথা বলতে হবে.

1. সম্পত্তি গুণিত সংখ্যা কএবং খ, যা সমতা a · b = a · b হিসাবে উপস্থাপিত হয়। এটি ফ্যাক্টর আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান a 1 , a 2 , … , a kএকটি হিসাবে 1 · একটি 2 · … · একটি k = একটি 1 · একটি 2 · … · একটি k ;
2. ভাগফল a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 থেকে, এটি a b = a b এই আকারেও লেখা যেতে পারে;
3. একটি সংখ্যার শক্তি থেকে সম্পত্তি কজোড় সূচক সহ যেকোন সংখ্যার জন্য a 2 m = a m ক, উদাহরণস্বরূপ, একটি সংখ্যার বর্গ থেকে সম্পত্তি a 2 = a।

উপস্থাপিত সমীকরণগুলির যে কোনোটিতে, আপনি ড্যাশ চিহ্নের আগে এবং পরে অংশগুলি অদলবদল করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, সমতা a · b = a · b একটি · b = a · b হিসাবে রূপান্তরিত হয়। সমতা বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই জটিল সমীকরণগুলি সরল করতে ব্যবহৃত হয়।

প্রথম বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ বর্গমূলের সংজ্ঞা এবং একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ শক্তির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। তৃতীয় বৈশিষ্ট্যকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য, একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞা উল্লেখ করা প্রয়োজন।

প্রথমত, বর্গমূল a · b = a · b এর বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা প্রয়োজন। সংজ্ঞা অনুসারে, এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে একটি b একটি সংখ্যা, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, যা সমান হবে একটি খনির্মাণের সময় একটি বর্গক্ষেত্রে অ-ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল হিসাবে a · b অভিব্যক্তিটির মান ধনাত্মক বা শূন্যের সমান। গুণিত সংখ্যার ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য আমাদেরকে (a · b) 2 = a 2 · b 2 আকারে সমতা উপস্থাপন করতে দেয়। বর্গমূলের সংজ্ঞা অনুসারে, a 2 = a এবং b 2 = b, তারপর a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b।

একইভাবে একটি পণ্য থেকে প্রমাণ করতে পারেন kগুণক a 1 , a 2 , … , a kএই গুণনীয়কগুলির বর্গমূলের গুণফলের সমান হবে। প্রকৃতপক্ষে, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k।

এই সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k।

বিষয়টিকে শক্তিশালী করার জন্য কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 এবং 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

ভাগফলের পাটিগণিত বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা প্রয়োজন: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0। সম্পত্তিটি আমাদেরকে সমতা a: b 2 = a 2: b 2, এবং a 2: b 2 = a: b লিখতে দেয়, যখন a: b একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্যের সমান। এই অভিব্যক্তি প্রমাণ হয়ে যাবে।

উদাহরণস্বরূপ, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 এবং 30.121 = 30.121।

একটি সংখ্যার বর্গক্ষেত্রের বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক। এটিকে 2 = a হিসাবে একটি সমতা হিসাবে লেখা যেতে পারে এই সম্পত্তিটি প্রমাণ করার জন্য, এর জন্য বেশ কয়েকটি সমতা বিশদভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন। a ≥ 0এবং এ ক< 0 .

স্পষ্টতই, একটি ≥ 0 এর জন্য সমতা a 2 = a সত্য। এ ক< 0 সমতা a 2 = - a সত্য হবে। আসলে, এই ক্ষেত্রে − a > 0এবং (− a) 2 = a 2। আমরা উপসংহারে আসতে পারি, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2

5 2 = 5 = 5 এবং - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36।

প্রমাণিত সম্পত্তি একটি 2 m = a m, যেখানে ন্যায্যতা দিতে সাহায্য করবে ক- বাস্তব, এবং মি- প্রাকৃতিক সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, শক্তি উত্থাপনের সম্পত্তি আমাদের শক্তি প্রতিস্থাপন করতে দেয় একটি 2 মিঅভিব্যক্তি (a m) 2, তারপর a 2 m = (a m) 2 = a m।

উদাহরণ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 এবং (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7।

nম মূলের বৈশিষ্ট্য

প্রথমত, আমাদের nth মূলের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করতে হবে:

1. সংখ্যার গুণফল থেকে সম্পত্তি কএবং খ, যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, সমতা a · b n = a n · b n হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, এই বৈশিষ্ট্যটি পণ্যের জন্য বৈধ kসংখ্যা a 1 , a 2 , … , a kএকটি হিসাবে 1 · একটি 2 · … · একটি k n = একটি 1 n · একটি 2 n · … · একটি k n ;
2. একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা থেকে সম্পত্তি আছে a b n = a n b n , যেখানে ককোনো বাস্তব সংখ্যা যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, এবং খ- ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা;
3. কোন জন্য কএবং এমনকি সূচক n = 2 মি a 2 · m 2 · m = a সত্য, এবং বিজোড়ের জন্য n = 2 মি − 1সমতা a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a ধরে।
4. একটি m n = a n m থেকে নিষ্কাশনের সম্পত্তি, যেখানে ক- যেকোনো সংখ্যা, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, nএবং মিপ্রাকৃতিক সংখ্যা, এই সম্পত্তি এছাড়াও ফর্ম প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2। . . · n k;
5. কোন অ-নেতিবাচক a এবং স্বেচ্ছাচারী জন্য nএবং মি, যা প্রাকৃতিক, আমরা ন্যায্য সমতাকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি a m n · m = a n ;
6. ডিগ্রির সম্পত্তি nএকটি সংখ্যার শক্তি থেকে ক, যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, প্রাকৃতিক শক্তির কাছে মি, সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত a m n = a n m ;
7. তুলনামূলক সম্পত্তি যেগুলির সূচকগুলি একই রয়েছে: যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার জন্য কএবং খযেমন যে ক< b , অসমতা একটি n< b n ;
8. তুলনামূলক বৈশিষ্ট্য যেগুলির মূলের নীচে একই সংখ্যা রয়েছে: যদি মিএবং n -প্রাকৃতিক সংখ্যা যে m > n, তারপরে 0 < a < 1 অসমতা a m > a n সত্য, এবং কখন a > 1একটি মি মৃত্যুদন্ড কার্যকর< a n .

উপরে প্রদত্ত সমতাগুলি বৈধ যদি সমান চিহ্নের আগে এবং পরে অংশগুলি অদলবদল করা হয়। তারা এই ফর্ম ব্যবহার করা যেতে পারে. অভিব্যক্তি সরলীকরণ বা রূপান্তর করার সময় এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

একটি মূলের উপরোক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির প্রমাণটি সংজ্ঞা, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য এবং একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে। এই বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা আবশ্যক. কিন্তু সবকিছু শৃঙ্খলাবদ্ধ।

1. প্রথমত, a · b n = a n · b n গুণফলের nতম মূলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা যাক। জন্য কএবং b, যাহয় ধনাত্মক বা শূন্যের সমান , a n · b n এর মানও ধনাত্মক বা শূন্যের সমান, কারণ এটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফল। প্রাকৃতিক শক্তিতে একটি পণ্যের সম্পত্তি আমাদের সমতা লিখতে দেয় a n · b n n = a n n · b n n। মূলের সংজ্ঞা অনুসারে n-ম ডিগ্রী a n n = a এবং b n n = b , অতএব, a n · b n n = a · b। ফলস্বরূপ সমতা প্রমাণ করা প্রয়োজন ঠিক কি.

এই সম্পত্তি পণ্যের জন্য একইভাবে প্রমাণিত হতে পারে kগুণক: অ-নেতিবাচক সংখ্যার জন্য a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0।

এখানে রুট সম্পত্তি ব্যবহার করার উদাহরণ আছে nপণ্য থেকে -ম শক্তি: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 এবং 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4।

1. আসুন আমরা a b n = a n b n ভাগফলের মূলের বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করি। এ a ≥ 0এবং b > 0শর্ত a n b n ≥ 0 সন্তুষ্ট, এবং a n b n n = a n n b n n = a b।

আসুন উদাহরণ দেখাই:

উদাহরণ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 এবং 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10।

1. পরবর্তী ধাপের জন্য সংখ্যা থেকে ডিগ্রি পর্যন্ত nth ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণ করা প্রয়োজন n. আসুন এটিকে সমতা হিসাবে কল্পনা করি a 2 m 2 m = a এবং a 2 m - 1 2 m - 1 = a যেকোনো বাস্তবের জন্য কএবং প্রাকৃতিক মি. এ a ≥ 0আমরা পাই a = a এবং a 2 m = a 2 m, যা সমতা প্রমাণ করে a 2 m 2 m = a, এবং সমতা a 2 m - 1 2 m - 1 = a স্পষ্ট। এ ক< 0 আমরা পাই, যথাক্রমে, a = - a এবং a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m। একটি সংখ্যার শেষ রূপান্তরটি পাওয়ার বৈশিষ্ট্য অনুসারে বৈধ। এটিই সুনির্দিষ্টভাবে সমতা প্রমাণ করে a 2 m 2 m = a, এবং a 2 m - 1 2 m - 1 = a সত্য হবে, যেহেতু বিজোড় ডিগ্রি বিবেচনা করা হয় - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 যেকোনো সংখ্যার জন্য গ,ধনাত্মক বা শূন্যের সমান।

প্রাপ্ত তথ্য একত্রিত করার জন্য, আসুন সম্পত্তি ব্যবহার করে কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক:

উদাহরণ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 এবং (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39।

1. আসুন নিচের সমতা প্রমাণ করি a m n = a n m। এটি করার জন্য, আপনাকে সমান চিহ্ন a n · m = a m n এর আগে এবং পরে সংখ্যাগুলি অদলবদল করতে হবে। এর মানে হবে এন্ট্রি সঠিক। জন্য একটি,যা ইতিবাচক বা শূন্যের সমান , a m n ফর্মের একটি সংখ্যা ধনাত্মক বা শূন্যের সমান। আসুন একটি শক্তিকে শক্তিতে উত্থাপনের বৈশিষ্ট্য এবং এর সংজ্ঞায় আসা যাক। তাদের সাহায্যে, আপনি a m n n · m = a m n n m = a m m = a আকারে সমতা রূপান্তর করতে পারেন। এটি বিবেচনাধীন মূলের মূলের সম্পত্তি প্রমাণ করে।

অন্যান্য বৈশিষ্ট্য একইভাবে প্রমাণিত হয়। সত্যিই, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

উদাহরণস্বরূপ, 7 3 5 = 7 5 3 এবং 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24।

1. আসুন নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করি a m n · m = a n। এটি করার জন্য, এটি দেখানো প্রয়োজন যে একটি n একটি সংখ্যা, ধনাত্মক বা শূন্যের সমান। শক্তিতে উত্থাপিত হলে n m সমান হয় একটি মি. সংখ্যা হলে কতাহলে ধনাত্মক বা শূন্যের সমান n-এর মধ্যে থেকে তম ডিগ্রী কএকটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্যের সমান৷ এই ক্ষেত্রে, a n · m n = a n n m , যা প্রমাণ করা দরকার৷

অর্জিত জ্ঞান একত্রিত করার জন্য, আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

1. আসুন আমরা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করি - a m n = a n m ফর্মের একটি শক্তির মূলের বৈশিষ্ট্য। এটা স্পষ্ট যে যখন a ≥ 0ডিগ্রী a n m একটি অ নেতিবাচক সংখ্যা। তাছাড়া তার nতম শক্তি সমান একটি মি, প্রকৃতপক্ষে, a n m n = a n m · n = a n n m = a m। এটি বিবেচনাধীন ডিগ্রির সম্পত্তি প্রমাণ করে।

উদাহরণস্বরূপ, 2 3 5 3 = 2 3 3 5।

1. যে কোন ধনাত্মক সংখ্যার জন্য এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন কএবং b শর্ত সন্তুষ্ট ক< b . অসমতা একটি এন বিবেচনা করুন< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ক< b . অতএব, একটি এন< b n при ক< b .

উদাহরণস্বরূপ, 12 4 দেওয়া যাক< 15 2 3 4 .

1. মূলের সম্পত্তি বিবেচনা করুন n-ম ডিগ্রী। প্রথমে বৈষম্যের প্রথম অংশটি বিবেচনা করা প্রয়োজন। এ m > nএবং 0 < a < 1 সত্য a m > a n। ধরা যাক a m ≤ a n. বৈশিষ্ট্যগুলি আপনাকে একটি n m · n ≤ a m m · n এ অভিব্যক্তিকে সরল করার অনুমতি দেবে। তারপর, একটি প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য অনুসারে, অসমতা a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n ধরে, অর্থাৎ, a n ≤ a m. প্রাপ্ত মান এ m > nএবং 0 < a < 1 উপরে প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়।

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে কখন m > nএবং a > 1শর্ত a m সত্য< a n .

উপরের বৈশিষ্ট্যগুলিকে একত্রিত করার জন্য, আসুন কয়েকটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করি। আসুন নির্দিষ্ট সংখ্যা ব্যবহার করে অসমতা দেখি।

উদাহরণ 6

0, 7 3 > 0, 7 5 এবং 12 > 12 7।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

প্রায়শই, সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, আমরা প্রচুর সংখ্যার মুখোমুখি হই যা থেকে আমাদের বের করতে হবে বর্গমূল. অনেক শিক্ষার্থী সিদ্ধান্ত নেয় যে এটি একটি ভুল এবং পুরো উদাহরণটি পুনরায় সমাধান করতে শুরু করে। কোন অবস্থাতেই এটা করা উচিত নয়! এই জন্য দুটি কারণ আছে:

1. বড় সংখ্যার শিকড় সমস্যায় উপস্থিত হয়। বিশেষ করে টেক্সট বেশী;
2. একটি অ্যালগরিদম আছে যার দ্বারা এই শিকড়গুলি প্রায় মৌখিকভাবে গণনা করা হয়।

আমরা আজ এই অ্যালগরিদম বিবেচনা করব। সম্ভবত কিছু জিনিস আপনার কাছে বোধগম্য মনে হবে। তবে আপনি যদি এই পাঠে মনোযোগ দেন তবে আপনি একটি শক্তিশালী অস্ত্র পাবেন বর্গমূল.

সুতরাং, অ্যালগরিদম:

1. প্রয়োজনীয় রুট উপরে এবং নীচে 10 এর গুণিতক সংখ্যায় সীমাবদ্ধ করুন। এইভাবে, আমরা অনুসন্ধানের পরিসরটি 10 ​​সংখ্যায় কমিয়ে আনব;
2. এই 10টি সংখ্যা থেকে, যেগুলি অবশ্যই মূল হতে পারে না সেগুলিকে আউট করে দিন। ফলে 1-2 নম্বর থাকবে;
3. এই 1-2 সংখ্যার বর্গ করুন। যার বর্গ মূল সংখ্যার সমান হবে তার মূল হবে।

এই অ্যালগরিদমটি অনুশীলন করার আগে, আসুন প্রতিটি পৃথক পদক্ষেপটি দেখি।

রুট সীমাবদ্ধতা

প্রথমত, আমাদের খুঁজে বের করতে হবে কোন সংখ্যার মধ্যে আমাদের রুট অবস্থিত। এটি অত্যন্ত বাঞ্ছনীয় যে সংখ্যাগুলি দশের গুণিতক হবে:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

আমরা সংখ্যার একটি সিরিজ পাই:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

এই সংখ্যাগুলি আমাদের কী বলে? এটা সহজ: আমরা সীমানা পেতে. উদাহরণস্বরূপ, 1296 নম্বরটি ধরুন। এটি 900 এবং 1600 এর মধ্যে অবস্থিত। অতএব, এর মূল 30 এর কম এবং 40 এর বেশি হতে পারে না:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

একই জিনিস অন্য যেকোনো সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেখান থেকে আপনি বর্গমূল খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, 3364:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

এইভাবে, একটি বোধগম্য সংখ্যার পরিবর্তে, আমরা একটি খুব নির্দিষ্ট পরিসর পাই যেখানে মূল মূলটি রয়েছে। অনুসন্ধান এলাকা আরও সংকীর্ণ করতে, দ্বিতীয় ধাপে যান।

স্পষ্টতই অপ্রয়োজনীয় সংখ্যা বাদ দেওয়া

সুতরাং, আমাদের কাছে 10টি সংখ্যা রয়েছে - মূলের জন্য প্রার্থী। আমরা সেগুলি খুব দ্রুত পেয়েছি, জটিল চিন্তাভাবনা এবং একটি কলামে সংখ্যাবৃদ্ধি ছাড়াই। এখনই সরে যেতে হবে.

বিশ্বাস করুন বা না করুন, আমরা এখন প্রার্থীর সংখ্যা কমিয়ে দুইয়ে ফেলব - আবার কোনো জটিল হিসাব ছাড়াই! বিশেষ নিয়ম জানাই যথেষ্ট। এটা এখানে:

বর্গক্ষেত্রের শেষ অঙ্ক শুধুমাত্র শেষ অঙ্কের উপর নির্ভর করে মূল সংখ্যা.

অন্য কথায়, বর্গক্ষেত্রের শেষ অঙ্কটি দেখুন এবং আমরা অবিলম্বে বুঝতে পারব আসল সংখ্যাটি কোথায় শেষ হয়েছে।

শেষ স্থানে আসতে পারে মাত্র 10টি সংখ্যা। স্কোয়ার করা হলে তারা কী পরিণত হয় তা খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন। টেবিলটি একবার দেখুন:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

এই টেবিলটি মূল গণনার দিকে আরেকটি ধাপ। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দ্বিতীয় লাইনের সংখ্যাগুলি পাঁচটির তুলনায় প্রতিসম হতে দেখা গেছে। উদাহরণ স্বরূপ:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, শেষ অঙ্ক উভয় ক্ষেত্রেই একই। এর মানে হল, উদাহরণস্বরূপ, 3364-এর রুট অবশ্যই 2 বা 8-এ শেষ হবে। অন্যদিকে, আমরা আগের অনুচ্ছেদের সীমাবদ্ধতা মনে রাখি। আমরা পেতে:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

লাল বর্গক্ষেত্রগুলি নির্দেশ করে যে আমরা এখনও এই চিত্রটি জানি না। তবে মূলটি 50 থেকে 60 এর মধ্যে রয়েছে, যার উপর 2 এবং 8 এ শেষ হওয়া দুটি সংখ্যা রয়েছে:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

এখানেই শেষ! সমস্ত সম্ভাব্য শিকড়ের মধ্যে, আমরা কেবল দুটি বিকল্প রেখেছি! এবং এটি সবচেয়ে কঠিন ক্ষেত্রে, কারণ শেষ অঙ্কটি 5 বা 0 হতে পারে। এবং তারপরে শিকড়ের জন্য কেবল একজন প্রার্থী থাকবে!

চূড়ান্ত গণনা

সুতরাং, আমরা 2 প্রার্থী নম্বর বাকি আছে. আপনি কিভাবে জানেন কোনটি মূল? উত্তরটি সুস্পষ্ট: উভয় সংখ্যার বর্গক্ষেত্র। যেটি বর্গ করে মূল সংখ্যা দেবে সেটিই হবে মূল।

উদাহরণস্বরূপ, 3364 নম্বরের জন্য আমরা দুটি প্রার্থী সংখ্যা পেয়েছি: 52 এবং 58। আসুন তাদের বর্গ করি:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364।

এখানেই শেষ! দেখা গেল যে 58টি মূল! একই সময়ে, গণনা সহজ করার জন্য, আমি যোগফল এবং পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করেছি। এর জন্য ধন্যবাদ, আমাকে একটি কলামে সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে না! এটি গণনা অপ্টিমাইজেশানের আরেকটি স্তর, তবে অবশ্যই, এটি সম্পূর্ণ ঐচ্ছিক :)

শিকড় গণনার উদাহরণ

তত্ত্ব অবশ্যই ভালো। তবে এর অনুশীলনে এটি পরীক্ষা করা যাক।

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

প্রথমে, আসুন জেনে নেওয়া যাক কোন সংখ্যার মধ্যে 576 নম্বরটি রয়েছে:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

এখন শেষ সংখ্যাটি দেখা যাক। এটি 6 এর সমান। কখন এটি ঘটে? শুধুমাত্র যদি রুটটি 4 বা 6 এ শেষ হয়। আমরা দুটি সংখ্যা পাব:

যা অবশিষ্ট থাকে তা হল প্রতিটি সংখ্যাকে বর্গ করা এবং মূলের সাথে তুলনা করা:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

দারুণ! প্রথম বর্গটি আসল সংখ্যার সমান হয়ে উঠল। তাই এই মূল.

টাস্ক। বর্গমূল গণনা করুন:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

চলুন শেষ অঙ্কটি দেখি:

1369 → 9;
33; 37.

এটি বর্গক্ষেত্র:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369।

এখানে উত্তর: 37.

টাস্ক। বর্গমূল গণনা করুন:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

আমরা সংখ্যা সীমাবদ্ধ করি:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

চলুন শেষ অঙ্কটি দেখি:

2704 → 4;
52; 58.

এটি বর্গক্ষেত্র:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

আমরা উত্তর পেয়েছি: 52. দ্বিতীয় সংখ্যাটি আর বর্গ করার প্রয়োজন হবে না।

টাস্ক। বর্গমূল গণনা করুন:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

আমরা সংখ্যা সীমাবদ্ধ করি:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

চলুন শেষ অঙ্কটি দেখি:

4225 → 5;
65.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দ্বিতীয় ধাপের পরে শুধুমাত্র একটি বিকল্প অবশিষ্ট আছে: 65. এটি পছন্দসই রুট। তবে আসুন এখনও এটি বর্গক্ষেত্র এবং পরীক্ষা করুন:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

সবকিছু ঠিক আছে. আমরা উত্তর লিখে রাখি।

উপসংহার

হায়রে, ভাল না. এর কারণগুলো দেখে নেওয়া যাক। তাদের মধ্যে দুটি আছে:

• যেকোনো সাধারণ গণিত পরীক্ষায়, তা রাজ্য পরীক্ষা হোক বা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা, ক্যালকুলেটর ব্যবহার নিষিদ্ধ। এবং আপনি যদি ক্লাসে একটি ক্যালকুলেটর নিয়ে আসেন, তবে আপনি সহজেই পরীক্ষা থেকে বের হয়ে যেতে পারেন।
• বোকা আমেরিকানদের মত হবেন না। যেগুলো মূলের মতো নয়- তারা দুটি মৌলিক সংখ্যা যোগ করতে পারে না। এবং যখন তারা ভগ্নাংশ দেখতে পায়, তখন তারা সাধারণত হিস্টিরিয়া হয়ে যায়।