টেট্রাহেড্রনের আয়তন হল সূত্রের উৎপত্তি। একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন। একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন গণনা করা হচ্ছে যদি এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকে

টেট্রাহেড্রনের আয়তনের মৌলিক সূত্র থেকে

কোথায় এসযে কোন মুখের এলাকা, এবং এইচ- এটিতে উচ্চতা কমিয়ে, আপনি টেট্রাহেড্রনের বিভিন্ন উপাদানের পরিপ্রেক্ষিতে আয়তন প্রকাশ করে সূত্রের একটি সম্পূর্ণ সিরিজ বের করতে পারেন। আমরা টেট্রাহেড্রনের জন্য এই সূত্রগুলি দিই এ বি সি ডি.

(2) ,

যেখানে ∠ ( বিজ্ঞাপন,এবিসি) হল প্রান্তের মধ্যবর্তী কোণ বিজ্ঞাপনএবং মুখোমুখি সমতল এবিসি;

(3) ,

যেখানে ∠ ( এবিসি,এবিডি) হল মুখের মধ্যে কোণ এবিসিএবং এবিডি;

যেখানে | এবি,সিডি| - বিপরীত পাঁজরের মধ্যে দূরত্ব এবিএবং সিডি, ∠ (এবি,সিডি) হল এই প্রান্তগুলির মধ্যে কোণ।

সূত্র (2)-(4) লাইন এবং সমতল মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে; সূত্র (4) বিশেষভাবে দরকারী, যার সাহায্যে আপনি তির্যক লাইনের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন এবিএবং সিডি.

সূত্র (2) এবং (3) সূত্র অনুরূপ এস = (1/2)abপাপ গএকটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য। সূত্র এস = আরপিঅনুরূপ সূত্র

কোথায় rটেট্রাহেড্রনের খোদাই করা গোলকের ব্যাসার্ধ, Σ হল এর মোট পৃষ্ঠ (সমস্ত মুখের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি)। এছাড়াও একটি সুন্দর সূত্র রয়েছে যা একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তনকে ব্যাসার্ধের সাথে সংযুক্ত করে আরএর বর্ণিত সুযোগ ( ক্রেল সূত্র):

যেখানে Δ হল একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্র যার বাহুগুলি সাংখ্যিকভাবে বিপরীত প্রান্তের গুণফলের সমান ( এবি× সিডি, এসি× বিডি,বিজ্ঞাপন× বিসি) সূত্র (2) এবং ট্রাইহেড্রাল কোণের কোসাইন উপপাদ্য থেকে (গোলাকার ত্রিকোণমিতি দেখুন), কেউ ত্রিভুজের জন্য হেরনের সূত্রের অনুরূপ একটি সূত্র বের করতে পারে।

একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ ABC এবং একটি বিন্দু D বিবেচনা করুন যা এই ত্রিভুজের সমতলে থাকে না। ত্রিভুজ ABC এর শীর্ষবিন্দুর সাথে অংশগুলির সাথে এই বিন্দুটিকে সংযুক্ত করুন। ফলস্বরূপ, আমরা ADC, CDB, ABD ত্রিভুজ পাই। চারটি ত্রিভুজ ABC, ADC, CDB এবং ABD দ্বারা আবদ্ধ পৃষ্ঠকে টেট্রাহেড্রন বলা হয় এবং এটিকে DABC বলা হয়।
যে ত্রিভুজগুলি একটি টেট্রাহেড্রন তৈরি করে তাদের মুখগুলি বলা হয়।
এই ত্রিভুজগুলির বাহুগুলিকে টেট্রাহেড্রনের প্রান্ত বলা হয়। এবং তাদের শীর্ষবিন্দুগুলি একটি টেট্রাহেড্রনের শীর্ষবিন্দু

টেট্রাহেড্রন আছে 4টি মুখ, 6টি পাঁজরএবং ৪টি শিখর.
যে দুটি প্রান্তের একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু নেই তাদের বিপরীত বলা হয়।
প্রায়শই, সুবিধার জন্য, টেট্রাহেড্রনের মুখগুলির একটিকে বলা হয় ভিত্তি, এবং বাকি তিনটি মুখ পাশের মুখ।

সুতরাং, টেট্রাহেড্রন হল সবচেয়ে সহজ পলিহেড্রন, যার মুখগুলি চারটি ত্রিভুজ।

তবে এটাও সত্য যে যেকোন নির্বিচারে ত্রিভুজাকার পিরামিড একটি টেট্রাহেড্রন। তারপর এটাও সত্য যে টেট্রাহেড্রন বলা হয় একটি পিরামিড যার ভিত্তি একটি ত্রিভুজ।

টেট্রাহেড্রনের উচ্চতাএকটি অংশকে বলা হয় যা একটি শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত মুখের উপর অবস্থিত একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে এবং এটির সাথে লম্ব করে।
একটি টেট্রাহেড্রনের মধ্যকএকটি সেগমেন্টকে বলা হয় যা বিপরীত মুখের মধ্যকার ছেদ বিন্দুর সাথে শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে।
বিমিডিয়ান টেট্রাহেড্রনটেট্রাহেড্রনের ক্রসিং প্রান্তগুলির মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে এমন একটি অংশকে বলা হয়।

যেহেতু একটি টেট্রাহেড্রন একটি ত্রিভুজাকার ভিত্তি সহ একটি পিরামিড, তাই সূত্রটি ব্যবহার করে যেকোনো টেট্রাহেড্রনের আয়তন গণনা করা যেতে পারে

• এসকোন মুখের এলাকা,
• এইচ- এই মুখে উচ্চতা কম

নিয়মিত টেট্রাহেড্রন - একটি বিশেষ ধরনের টেট্রাহেড্রন

একটি টেট্রাহেড্রন যেখানে সমস্ত মুখ সমবাহু ত্রিভুজ হয় তাকে বলা হয় সঠিক
নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:

• সব প্রান্ত সমান।
• একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের সমস্ত সমতল কোণ 60°
• যেহেতু এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু তিনটি নিয়মিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু, তাই প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে সমতল কোণের সমষ্টি 180°
• একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের যেকোনো শীর্ষবিন্দু বিপরীত মুখের অর্থকেন্দ্রে (ত্রিভুজের উচ্চতার ছেদ বিন্দুতে) অভিক্ষিপ্ত হয়।

আমাদের একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রন ABCD দেওয়া যাক যার প্রান্তগুলি a এর সমান। DH এর উচ্চতা।
চলুন অতিরিক্ত নির্মাণ করা যাক BM - ত্রিভুজের উচ্চতা ABC এবং DM - ত্রিভুজ ACD এর উচ্চতা।
উচ্চতা BM সমান BM এবং সমান
ত্রিভুজ BDM বিবেচনা করুন, যেখানে DH, যা টেট্রাহেড্রনের উচ্চতা, এছাড়াও এই ত্রিভুজের উচ্চতা।
একটি ত্রিভুজের উচ্চতা সাইড MB-তে নেমে যাওয়া সূত্রটি ব্যবহার করে পাওয়া যাবে

, কোথায়
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
এই মানগুলিকে উচ্চতার সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন। পাওয়া


এর 1/2a বের করা যাক। পাওয়া

বর্গক্ষেত্রের সূত্র পার্থক্য প্রয়োগ করুন

কিছু ছোটখাট রূপান্তর পরে, আমরা পেতে


সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো টেট্রাহেড্রনের আয়তন গণনা করা যেতে পারে
,
কোথায় ,

এই মান প্রতিস্থাপন, আমরা পেতে

এইভাবে একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের আয়তন সূত্র

কোথায় ক-টেট্রাহেড্রন প্রান্ত

একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন গণনা করা হচ্ছে যদি এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকে

আমাদের টেট্রাহেড্রনের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক দেওয়া যাক

শীর্ষবিন্দু থেকে ভেক্টর আঁকুন , , .
এই ভেক্টরগুলির প্রতিটির স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে, শেষ স্থানাঙ্ক থেকে প্রারম্ভিক স্থানাঙ্ক বিয়োগ করুন। পাওয়া

বিঃদ্রঃ. এটি জ্যামিতির সমস্যা সহ পাঠের অংশ (বিভাগ কঠিন জ্যামিতি, পিরামিড সম্পর্কে সমস্যা)। আপনি যদি জ্যামিতিতে একটি সমস্যা সমাধান করতে চান, যা এখানে নেই - ফোরামে এটি সম্পর্কে লিখুন। কার্যগুলিতে, "বর্গমূল" চিহ্নের পরিবর্তে, sqrt () ফাংশন ব্যবহার করা হয়, যেখানে sqrt হল বর্গমূল প্রতীক, এবং র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটি বন্ধনীতে নির্দেশিত হয়.সাধারণ মৌলিক অভিব্যক্তির জন্য, "√" চিহ্নটি ব্যবহার করা যেতে পারে. নিয়মিত টেট্রাহেড্রনএকটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিড যেখানে সমস্ত মুখগুলি সমবাহু ত্রিভুজ।

একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের জন্য, প্রান্তে থাকা সমস্ত ডাইহেড্রাল কোণ এবং শীর্ষে থাকা সমস্ত ত্রিহেড্রাল কোণ সমান

একটি টেট্রাহেড্রনের 4টি মুখ, 4টি শীর্ষবিন্দু এবং 6টি প্রান্ত রয়েছে।

নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের প্রাথমিক সূত্রগুলি টেবিলে দেওয়া হয়েছে।

কোথায়:
S - একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
V - আয়তন
h - উচ্চতা বেস থেকে নত
r - টেট্রাহেড্রনে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ
R - পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ
a - পাঁজরের দৈর্ঘ্য

ব্যবহারিক উদাহরণ

একটি কাজ.
√3 এর সমান প্রতিটি প্রান্ত সহ একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল খুঁজুন

সমাধান.
যেহেতু একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের সমস্ত প্রান্ত সমান, তাই এটি সঠিক। একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল S = a 2 √3।
তারপর
S = 3√3

উত্তর: 3√3

একটি কাজ.
একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডের সমস্ত প্রান্ত 4 সেমি। পিরামিডের আয়তন খুঁজুন

সমাধান.
যেহেতু একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার পিরামিডে পিরামিডের উচ্চতা ভিত্তির কেন্দ্রে অনুমান করা হয়, যা পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্রও।

AO = R = √3/3a
AO = 4√3/3

এইভাবে পিরামিড OM এর উচ্চতা সমকোণী ত্রিভুজ AOM থেকে পাওয়া যাবে

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(৩২/৩)
OM = 4√2 / √3

পিরামিডের আয়তন V = 1/3 Sh সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়
এই ক্ষেত্রে, আমরা সূত্র S \u003d √3/4 a 2 দ্বারা ভিত্তির ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

উত্তর: 16√2/3সেমি

একটি টেট্রাহেড্রনের সংজ্ঞা

টেট্রাহেড্রন- সবচেয়ে সহজ পলিহেড্রাল বডি, যার মুখ এবং ভিত্তি ত্রিভুজ।

অনলাইন ক্যালকুলেটর

একটি টেট্রাহেড্রনের চারটি মুখ রয়েছে, যার প্রতিটি তিনটি দিক দ্বারা গঠিত। টেট্রাহেড্রনের চারটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে, প্রতিটির তিনটি প্রান্ত রয়েছে।

এই শরীর বিভিন্ন প্রকারে বিভক্ত। নীচে তাদের শ্রেণীবিভাগ দেওয়া হল।

1. আইসোহেড্রাল টেট্রাহেড্রন- এর সমস্ত মুখ একই ত্রিভুজ;
2. অর্থোকেন্দ্রিক টেট্রাহেড্রন- প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত মুখ পর্যন্ত আঁকা সমস্ত উচ্চতা দৈর্ঘ্যে একই;
3. আয়তক্ষেত্রাকার টেট্রাহেড্রন- একটি শীর্ষবিন্দু থেকে নির্গত প্রান্তগুলি একে অপরের সাথে 90 ডিগ্রি কোণ তৈরি করে;
4. ফ্রেম;
5. সমানুপাতিক;
6. কেন্দ্রিক.

টেট্রাহেড্রন আয়তনের সূত্র

প্রদত্ত শরীরের আয়তন বিভিন্ন উপায়ে পাওয়া যেতে পারে। আসুন আরো বিস্তারিতভাবে তাদের বিশ্লেষণ করা যাক।

ভেক্টরের মিশ্র পণ্যের মাধ্যমে

যদি টেট্রাহেড্রন স্থানাঙ্ক সহ তিনটি ভেক্টরের উপর নির্মিত হয়:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ক= (ক এক্স​ , ক y​ , ক z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)খ= (খ এক্স​ , খ y​ , খ z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)গ= (গ এক্স​ , গ y​ , গ z​ ) ,

তাহলে এই টেট্রাহেড্রনের আয়তন হল এই ভেক্টরগুলির মিশ্র গুণফল, অর্থাৎ এই ধরনের নির্ধারক:

নির্ধারকের মাধ্যমে একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ (end )ভি =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ক এক্স​ খ এক্স​ গ এক্স​ ​ ক y​ খ y​ গ y​ ​ ক z​ খ z​ গ z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

কার্যক্রম 1

অষ্টহেড্রনের চারটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা যায়। A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) গ (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1). এর আয়তন খুঁজুন।

সমাধান

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) গ (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7, 1 2, 1)

প্রথম ধাপ হল ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করা যার উপর প্রদত্ত বডি তৈরি করা হয়েছে।
এটি করার জন্য, আপনাকে দুটি বিন্দুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক বিয়োগ করে ভেক্টরের প্রতিটি স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর স্থানাঙ্ক A B → \overrightarrow(AB) ক খ, অর্থাৎ, একটি বিন্দু থেকে নির্দেশিত একটি ভেক্টর ক ক কযথাযথ খ খ খ, এগুলি বিন্দুগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির পার্থক্য খ খ খএবং ক ক ক:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)ক খ= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)ক গ= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)বিজ্ঞাপন= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

এখন আমরা এই ভেক্টরগুলির মিশ্র পণ্য খুঁজে পাই, এর জন্য আমরা একটি তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক রচনা করি, যখন ধরে নিই A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)ক খ= ক, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)ক গ= খ, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)বিজ্ঞাপন= গ.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (−8) + 3 ⋅ (− 6) −⋅ 6 (−⋅ 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 x \begin (v_mat) a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ক এক্স​ খ এক্স​ গএক্স​ ​ কy​ খy​ গy​ ​ কz​ খz​ গz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

অর্থাৎ, একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন হল:

$ভি=61\cdot |$

উত্তর

$44.8\text{সেমি3 .}$

এর পাশে একটি আইসোহেড্রাল টেট্রাহেড্রনের আয়তনের সূত্র

এই সূত্রটি শুধুমাত্র একটি আইসোহেড্রাল টেট্রাহেড্রনের আয়তন গণনা করার জন্য বৈধ, অর্থাৎ, একটি টেট্রাহেড্রন যেখানে সমস্ত মুখ অভিন্ন নিয়মিত ত্রিভুজ।

একটি আইসোহেড্রাল টেট্রাহেড্রনের আয়তন

$ভি=12\sqrt{2\cdot {ক}^3}$

a aকটেট্রাহেড্রনের প্রান্তের দৈর্ঘ্য।

টাস্ক 2

একটি টেট্রাহেড্রনের আয়তন নির্ণয় করুন যদি এর পার্শ্ব সমান দেওয়া হয় $11\text{সেমি.}$

সমাধান

$ক=11$

বিকল্প a aকএকটি টেট্রাহেড্রনের আয়তনের সূত্রে:

$ভি=12\sqrt{2\cdot {ক}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{সেমি3}}}}}$

উত্তর

$156.8\text{সেমি3 .}$