მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. დეკარტის კოორდინატთა სისტემა: ძირითადი ცნებები და მაგალითები კოორდინატულ სიბრტყეზე მუშაობა

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე მოცემულია ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ხაზით. სწორ ხაზებს კოორდინატულ ღერძებს (ან კოორდინატულ ღერძებს) უწოდებენ. ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილს ეწოდება საწყისი და აღინიშნება ასო O-ით.

ჩვეულებრივ, ერთი ხაზი ჰორიზონტალურია, მეორე კი ვერტიკალური. ჰორიზონტალური ხაზი აღინიშნება როგორც x (ან Ox) ღერძი და ეწოდება აბსცისის ღერძი, ვერტიკალური არის y (Oy) ღერძი, ეწოდება ორდინატთა ღერძი. მთელი კოორდინატთა სისტემა აღინიშნება xOy-ით.

წერტილი O ყოფს თითოეულ ღერძს ორ ნახევრად ღერძად, რომელთაგან ერთი დადებითად ითვლება (ისრით აღინიშნება), მეორე უარყოფითი.

სიბრტყის თითოეულ F წერტილს ენიჭება რიცხვების წყვილი (x;y) - მისი კოორდინატები.

x-კოორდინატს აბსცისა ეწოდება. შესაბამისი ნიშნით აღებულ ოქსს უდრის.

y კოორდინატს ეწოდება ორდინატი და უდრის F წერტილიდან Oy ღერძამდე მანძილს (შესაბამისი ნიშნით).

ღერძების მანძილი ჩვეულებრივ (მაგრამ არა ყოველთვის) იზომება სიგრძის იმავე ერთეულში.

y ღერძის მარჯვნივ წერტილებს აქვთ დადებითი აბსციები. წერტილებისთვის, რომლებიც მდებარეობს y-ღერძის მარცხნივ, აბსციები უარყოფითია. ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს Oy-ღერძზე, მისი x-კოორდინატი ნულის ტოლია.

წერტილები დადებითი ორდინატით დევს x-ღერძზე ზემოთ, ხოლო უარყოფითი ორდინატის მქონე წერტილები დევს ქვემოთ. თუ წერტილი x ღერძზე დევს, მისი y კოორდინატი არის ნული.

კოორდინატთა ღერძები სიბრტყეს ოთხ ნაწილად ყოფს, რომლებსაც კოორდინატთა მეოთხედები (ან კოორდინატთა კუთხეები ან კვადრატები) უწოდებენ.

1 კოორდინატთა მეოთხედიმდებარეობს xOy კოორდინატთა სიბრტყის ზედა მარჯვენა კუთხეში. I კვარტალში მდებარე წერტილების ორივე კოორდინატი დადებითია.

ერთი მეოთხედიდან მეორეზე გადასვლა ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

მე-2 მეოთხედიმდებარეობს ზედა მარცხენა კუთხეში. მეორე კვარტალში მდებარე ქულებს აქვთ უარყოფითი აბსცისა და დადებითი ორდინატი.

მე-3 მეოთხედიმდებარეობს xOy სიბრტყის ქვედა მარცხენა კვადრატში. III კოორდინატთა კუთხის კუთვნილი წერტილების ორივე კოორდინატი უარყოფითია.

მე-4 კოორდინატთა კვარტალიარის კოორდინატთა სიბრტყის ქვედა მარჯვენა კუთხე. IV კვარტლის ნებისმიერ წერტილს აქვს დადებითი პირველი კოორდინატი და უარყოფითი მეორე.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წერტილების ადგილმდებარეობის მაგალითი:

მათემატიკა საკმაოდ რთული მეცნიერებაა. მისი შესწავლისას საჭიროა არა მხოლოდ მაგალითებისა და პრობლემების გადაჭრა, არამედ სხვადასხვა ფიგურებთან და თვით თვითმფრინავებთან მუშაობაც. მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე გამოყენებული არის კოორდინატთა სისტემა თვითმფრინავზე. ბავშვებს ერთ წელზე მეტია ასწავლიდნენ, თუ როგორ უნდა იმუშაონ სწორად. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია იცოდეთ რა არის და როგორ ვიმუშაოთ მასთან სწორად.

მოდით გაერკვნენ, რა არის ეს სისტემა, რა მოქმედებები შეგიძლიათ შეასრულოთ მასთან და ასევე გავარკვიოთ მისი ძირითადი მახასიათებლები და მახასიათებლები.

კონცეფციის განმარტება

კოორდინატთა სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელზედაც განსაზღვრულია კონკრეტული კოორდინატთა სისტემა. ასეთი სიბრტყე განისაზღვრება ორი სწორი ხაზით, რომლებიც იკვეთება მართი კუთხით. ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის კოორდინატების საწყისი. კოორდინატთა სიბრტყის თითოეული წერტილი მოცემულია რიცხვების წყვილით, რომლებსაც კოორდინატები ეწოდება.

სასკოლო მათემატიკის კურსში სკოლის მოსწავლეებმა საკმაოდ მჭიდროდ უნდა იმუშაონ კოორდინატთა სისტემასთან - ააგონ მასზე ფიგურები და წერტილები, დაადგინონ რომელ სიბრტყეს ეკუთვნის კონკრეტული კოორდინატი, ასევე დაადგინონ წერტილის კოორდინატები და დაწერონ ან დაასახელონ ისინი. ამიტომ, მოდით ვისაუბროთ უფრო დეტალურად კოორდინატების ყველა მახასიათებლის შესახებ. მაგრამ ჯერ შევეხოთ შექმნის ისტორიას, შემდეგ კი ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ ვიმუშაოთ კოორდინატულ სიბრტყეზე.

ისტორიის მინიშნება

იდეები კოორდინატთა სისტემის შექმნის შესახებ იყო პტოლემეოსის დროს. მაშინაც კი, ასტრონომები და მათემატიკოსები ფიქრობდნენ იმაზე, თუ როგორ უნდა ისწავლონ სიბრტყეზე წერტილის პოზიციის დადგენა. სამწუხაროდ, იმ დროს ჩვენთვის ცნობილი კოორდინატთა სისტემა არ იყო და მეცნიერებს სხვა სისტემების გამოყენება უწევდათ.

თავდაპირველად, ისინი ადგენენ წერტილებს გრძედისა და გრძედის მითითებით. დიდი ხნის განმავლობაში ეს იყო ამა თუ იმ ინფორმაციის რუკის შედგენის ერთ-ერთი ყველაზე გამოყენებული გზა. მაგრამ 1637 წელს რენე დეკარტმა შექმნა საკუთარი კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც მოგვიანებით ეწოდა "კარტეზიული".

უკვე XVII საუკუნის ბოლოს. ცნება „კოორდინატთა სიბრტყე“ ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის სამყაროში. მიუხედავად იმისა, რომ ამ სისტემის შექმნიდან რამდენიმე საუკუნე გავიდა, ის კვლავ ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში და ცხოვრებაშიც კი.

სიბრტყის კოორდინაციის მაგალითები

სანამ თეორიაზე ვისაუბრებთ, კოორდინატთა სიბრტყის რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითს მოვიყვანთ, რომ წარმოიდგინოთ იგი. კოორდინატთა სისტემა ძირითადად გამოიყენება ჭადრაკში. დაფაზე თითოეულ კვადრატს აქვს თავისი კოორდინატები - ერთი ასო კოორდინატი, მეორე - ციფრული. მისი დახმარებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ კონკრეტული ნაწილის პოზიცია დაფაზე.

მეორე ყველაზე ნათელი მაგალითია საყვარელი თამაში "Battleship". დაიმახსოვრეთ, თამაშის დროს როგორ ასახელებთ კოორდინატს, მაგალითად, B3, რითაც ზუსტად მიუთითებთ სად უმიზნებთ. ამავდროულად, გემების განლაგებისას, თქვენ ადგენთ წერტილებს კოორდინატულ სიბრტყეზე.

ეს კოორდინატთა სისტემა ფართოდ გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, ლოგიკურ თამაშებში, არამედ სამხედრო საქმეებში, ასტრონომიაში, ფიზიკასა და ბევრ სხვა მეცნიერებაში.

საკოორდინაციო ღერძები

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, კოორდინატთა სისტემაში გამოიყოფა ორი ღერძი. მოდით ვისაუბროთ მათზე, რადგან მათ დიდი მნიშვნელობა აქვთ.

პირველი ღერძი – აბსციზა – ჰორიზონტალურია. იგი აღინიშნება როგორც ( ოქსი). მეორე ღერძი არის ორდინატი, რომელიც ვერტიკალურად გადის საცნობარო წერტილში და აღინიშნება როგორც ( ოი). სწორედ ეს ორი ღერძი ქმნის კოორდინატთა სისტემას, რომელიც ყოფს თვითმფრინავს ოთხ მეოთხედად. საწყისი მდებარეობს ამ ორი ღერძის გადაკვეთის წერტილში და იღებს მნიშვნელობას 0 . მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სიბრტყე იქმნება ორი ღერძით, რომლებიც იკვეთება პერპენდიკულარულად და აქვს საცნობარო წერტილი, არის ეს კოორდინატული სიბრტყე.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თითოეულ ღერძს აქვს თავისი მიმართულება. ჩვეულებრივ, კოორდინატთა სისტემის აგებისას, ჩვეულებრივია ღერძის მიმართულების მითითება ისრის სახით. გარდა ამისა, კოორდინატთა სიბრტყის აგებისას, თითოეული ღერძი გაფორმებულია.

მეოთხედი

ახლა მოდით ვთქვათ რამდენიმე სიტყვა ისეთი კონცეფციის შესახებ, როგორიცაა კოორდინატთა სიბრტყის მეოთხედი. თვითმფრინავი დაყოფილია ორი ღერძით ოთხ ნაწილად. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ნომერი, ხოლო თვითმფრინავების ნუმერაცია არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

თითოეულ კვარტალს აქვს საკუთარი მახასიათებლები. ასე რომ, პირველ მეოთხედში აბსციზა და ორდინატი დადებითია, მეორე მეოთხედში აბსციზა უარყოფითია, ორდინატი დადებითია, მესამეში აბსციზაც და ორდინატიც უარყოფითია, მეოთხეში აბსციზა არის უარყოფითი. დადებითი, ხოლო ორდინატი უარყოფითია.

ამ მახასიათებლების დამახსოვრების საშუალებით, შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ, რომელ კვარტალს ეკუთვნის კონკრეტული წერტილი. გარდა ამისა, ეს ინფორმაცია შეიძლება გამოგადგეთ, თუ გამოთვლების გაკეთება მოგიწევთ კარტეზიული სისტემის გამოყენებით.

მუშაობა კოორდინატულ სიბრტყეზე

როდესაც ჩვენ გავარკვიეთ თვითმფრინავის კონცეფცია და ვისაუბრეთ მის კვარტალებზე, შეგვიძლია გადავიდეთ ისეთ პრობლემაზე, როგორიცაა ამ სისტემასთან მუშაობა და ასევე ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ უნდა დავაყენოთ მასზე წერტილები, ფიგურების კოორდინატები. კოორდინატულ სიბრტყეში ეს არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს.

უპირველეს ყოვლისა, თავად სისტემაა აგებული, მასზე გამოიყენება ყველა მნიშვნელოვანი აღნიშვნა. შემდეგ არის უშუალოდ ქულებით ან ფიგურებით მუშაობა. ამ შემთხვევაში, ფიგურების აგების დროსაც კი, წერტილები ჯერ სიბრტყეზე გამოიყენება, შემდეგ კი ფიგურები უკვე დახატულია.

თვითმფრინავის მშენებლობის წესები

თუ გადაწყვეტთ დაიწყოთ ფორმებისა და წერტილების მონიშვნა ქაღალდზე, დაგჭირდებათ კოორდინატთა სიბრტყე. მასზე გამოსახულია წერტილების კოორდინატები. კოორდინატთა სიბრტყის ასაგებად საჭიროა მხოლოდ სახაზავი და კალამი ან ფანქარი. ჯერ იხატება ჰორიზონტალური აბსციზა, შემდეგ ვერტიკალური - ორდინატი. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ღერძები იკვეთება სწორი კუთხით.

შემდეგი სავალდებულო პუნქტი არის მარკირება. ერთეულები-სეგმენტები მონიშნულია და გაფორმებულია თითოეულ ღერძზე ორივე მიმართულებით. ეს კეთდება იმისთვის, რომ თქვენ შეძლოთ თვითმფრინავთან მუშაობა მაქსიმალური კომფორტით.

წერტილის აღნიშვნა

ახლა მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ გამოვსახოთ წერტილების კოორდინატები კოორდინატულ სიბრტყეზე. ეს არის ის საფუძვლები, რომლებიც უნდა იცოდეთ, რათა წარმატებით მოათავსოთ სხვადასხვა ფორმები თვითმფრინავზე და კიდევ აღნიშნოთ განტოლებები.

წერტილების აგებისას უნდა გვახსოვდეს, როგორ არის სწორად ჩაწერილი მათი კოორდინატები. ასე რომ, როგორც წესი, წერტილის დაყენება, ორი რიცხვი იწერება ფრჩხილებში. პირველი ციფრი მიუთითებს წერტილის კოორდინატს აბსცისის ღერძის გასწვრივ, მეორე - ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

წერტილი ასე უნდა აშენდეს. ჯერ მონიშნეთ ღერძზე ოქსიმოცემული წერტილი, შემდეგ მონიშნეთ წერტილი ღერძზე ოი. შემდეგი, დახაზეთ წარმოსახვითი ხაზები ამ აღნიშვნებიდან და იპოვეთ მათი გადაკვეთის ადგილი - ეს იქნება მოცემული წერტილი.

საკმარისია მონიშნოთ და მოაწეროთ ხელი. როგორც ხედავთ, ყველაფერი საკმაოდ მარტივია და არ საჭიროებს განსაკუთრებულ უნარებს.

ფორმის განთავსება

ახლა გადავიდეთ ისეთ კითხვაზე, როგორიცაა ფიგურების აგება კოორდინატულ სიბრტყეზე. კოორდინატულ სიბრტყეზე ნებისმიერი ფიგურის ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ მოათავსოთ მასზე წერტილები. თუ იცით როგორ გააკეთოთ ეს, მაშინ ფიგურის განთავსება თვითმფრინავზე არც ისე რთულია.

უპირველეს ყოვლისა, დაგჭირდებათ ფიგურის წერტილების კოორდინატები. სწორედ მათზე გამოვიყენებთ თქვენს მიერ არჩეულს ჩვენს კოორდინატულ სისტემაზე.მოდით განვიხილოთ მართკუთხედის, სამკუთხედის და წრის დახატვა.

დავიწყოთ მართკუთხედით. მისი გამოყენება საკმაოდ მარტივია. პირველი, ოთხი წერტილი გამოიყენება თვითმფრინავზე, რაც მიუთითებს მართკუთხედის კუთხეებზე. შემდეგ ყველა წერტილი თანმიმდევრულად უკავშირდება ერთმანეთს.

სამკუთხედის დახატვა არაფრით განსხვავდება. ერთადერთი ის არის, რომ მას აქვს სამი კუთხე, რაც ნიშნავს, რომ სამი წერტილი გამოიყენება სიბრტყეზე, რაც აღნიშნავს მის წვეროებს.

რაც შეეხება წრეს, აქ თქვენ უნდა იცოდეთ ორი წერტილის კოორდინატები. პირველი წერტილი არის წრის ცენტრი, მეორე არის წერტილი, რომელიც აღნიშნავს მის რადიუსს. ეს ორი წერტილი გამოსახულია სიბრტყეზე. შემდეგ იღებენ კომპასს, იზომება მანძილი ორ წერტილს შორის. კომპასის წერტილი მოთავსებულია ცენტრის აღმნიშვნელ წერტილში და აღწერილია წრე.

როგორც ხედავთ, აქაც არაფერია რთული, მთავარია ხელთ ყოველთვის იყოს სახაზავი და კომპასი.

ახლა თქვენ იცით, როგორ გამოსახოთ ფორმის კოორდინატები. კოორდინატულ სიბრტყეში ამის გაკეთება არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს.

დასკვნები

ასე რომ, თქვენთან ერთად განვიხილეთ მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო და ძირითადი ცნება, რომელთანაც ყველა სტუდენტი უნდა გაუმკლავდეს.

ჩვენ გავარკვიეთ, რომ საკოორდინატო სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელიც წარმოიქმნება ორი ღერძის გადაკვეთით. მისი დახმარებით შეგიძლიათ დააყენოთ წერტილების კოორდინატები, დაადოთ მასზე ფორმები. თვითმფრინავი დაყოფილია მეოთხედებად, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი მახასიათებლები.

მთავარი უნარი, რომელიც უნდა განვითარდეს კოორდინატულ სიბრტყეზე მუშაობისას, არის მასზე მოცემული პუნქტების სწორად გამოსახვის უნარი. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ღერძების სწორი მდებარეობა, კვარტლების მახასიათებლები, ასევე წესები, რომლითაც დგინდება წერტილების კოორდინატები.

ვიმედოვნებთ, რომ ჩვენს მიერ მოწოდებული ინფორმაცია იყო ხელმისაწვდომი და გასაგები, ასევე სასარგებლო იყო თქვენთვის და დაეხმარა ამ თემის უკეთ გაგებაში.

• ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული კოორდინატთა ხაზი, რომლებიც იკვეთება O წერტილში - წარმოშობა, ფორმა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც ასევე უწოდებენ დეკარტის კოორდინატულ სისტემას.
• სიბრტყე, რომელზეც არჩეულია კოორდინატთა სისტემა, ეწოდება საკოორდინაციო თვითმფრინავი.კოორდინატთა ხაზები ეწოდება კოორდინატთა ღერძები. ჰორიზონტალური - აბსცისის ღერძი (Ox), ვერტიკალური - ორდინატთა ღერძი (Oy).
• კოორდინატთა ღერძები კოორდინატთა სიბრტყეს ყოფს ოთხ ნაწილად - მეოთხედებად. კვარტლების სერიული ნომრები ჩვეულებრივ ითვლიება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
• კოორდინატთა სიბრტყეში ნებისმიერი წერტილი მოცემულია მისი კოორდინატებით - აბსცესი და ორდინატი. Მაგალითად, A(3; 4). კითხულობენ: A წერტილი 3 და 4 კოორდინატებით. აქ 3 არის აბსცისა, 4 არის ორდინატი.

I. ა(3; 4) წერტილის მშენებლობა.

აბსციზა 3 გვიჩვენებს, რომ საწყისიდან - წერტილი O უნდა გადაიდოს მარჯვნივ 3 ერთი სეგმენტი და შემდეგ გამოყავით 4 ერთი სეგმენტი და დააყენეთ წერტილი.

ეს არის წერტილი A(3; 4).

B წერტილის კონსტრუქცია (-2; 5).

დააყენეთ ნულიდან მარცხნივ 2 ერთი დაჭრილი და შემდეგ ზევით 5 ერთჯერადი ჭრა.

ჩვენ დავასრულეთ AT.

ჩვეულებრივ აღებულია როგორც ერთი სეგმენტი 1 გალია.

II. ააგეთ წერტილები xOy კოორდინატულ სიბრტყეში:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. განსაზღვრეთ აგებული წერტილების კოორდინატები: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);IN 20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

ორი ან სამი გადამკვეთი ღერძის მოწესრიგებული სისტემა, რომლებიც ერთმანეთის მიმართ პერპენდიკულარულია, საერთო საწყისით (წარმოშობის) და სიგრძის საერთო ერთეულით. მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა .

გენერალური დეკარტის კოორდინატთა სისტემა (აფინური კოორდინატთა სისტემა) ასევე შეიძლება მოიცავდეს არა აუცილებლად პერპენდიკულარულ ღერძებს. ფრანგი მათემატიკოსის რენე დეკარტის (1596-1662) პატივსაცემად დასახელებულია ისეთი კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც სიგრძის საერთო ერთეული დათვლილია ყველა ღერძზე და ღერძი სწორია.

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე აქვს ორი ცული მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში - სამი ცული. სიბრტყეზე ან სივრცეში თითოეული წერტილი განისაზღვრება კოორდინატების მოწესრიგებული სიმრავლით - რიცხვებით კოორდინატთა სისტემის ერთეული სიგრძის შესაბამისად.

გაითვალისწინეთ, რომ, როგორც განმარტებიდან ჩანს, არსებობს დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სწორ ხაზზე, ანუ ერთ განზომილებაში. სწორ ხაზზე დეკარტის კოორდინატების შეყვანა არის ერთ-ერთი გზა, რომლითაც სწორი ხაზის ნებისმიერ წერტილს ენიჭება კარგად განსაზღვრული რეალური რიცხვი, ანუ კოორდინატი.

კოორდინატების მეთოდი, რომელიც წარმოიშვა რენე დეკარტის ნაშრომებში, აღნიშნა ყველა მათემატიკის რევოლუციურ რესტრუქტურიზაციას. შესაძლებელი გახდა ალგებრული განტოლებების (ან უტოლობების) ინტერპრეტაცია გეომეტრიული გამოსახულებების (გრაფების) სახით და, პირიქით, გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნის ძიება ანალიტიკური ფორმულების, განტოლებათა სისტემების გამოყენებით. დიახ, უთანასწორობა ზ < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyდა მდებარეობს ამ თვითმფრინავის ზემოთ 3 ერთეულით.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემის დახმარებით წერტილის მიკუთვნება მოცემულ მრუდზე შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ რიცხვები xდა წდააკმაყოფილეთ გარკვეული განტოლება. ასე რომ, წრის წერტილის კოორდინატები მოცემულ წერტილზე ( ა; ბ) დააკმაყოფილეთ განტოლება (x - ა)² + ( წ - ბ)² = რ² .

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე

ორი პერპენდიკულური ღერძი სიბრტყეზე, რომელსაც აქვს საერთო საწყისი და იგივე მასშტაბის ერთეული დეკარტის კოორდინატთა სისტემა თვითმფრინავზე . ერთ-ერთ ამ ღერძს ღერძი ეწოდება ოქსი, ან x-ღერძი , მეორე - ღერძი ოი, ან y-ღერძი . ამ ღერძებს კოორდინატულ ღერძებსაც უწოდებენ. აღნიშნეთ მიერ მxდა მწშესაბამისად თვითნებური წერტილის პროექცია მღერძზე ოქსიდა ოი. როგორ მივიღოთ პროგნოზები? გაიარეთ წერტილი მ ოქსი. ეს ხაზი კვეთს ღერძს ოქსიწერტილში მx. გაიარეთ წერტილი მსწორი ხაზი ღერძის პერპენდიკულარული ოი. ეს ხაზი კვეთს ღერძს ოიწერტილში მწ. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

xდა წქულები მჩვენ დავარქმევთ შესაბამისად მიმართული სეგმენტების სიდიდეებს OMxდა OMწ. ამ მიმართულების სეგმენტების მნიშვნელობები გამოითვლება შესაბამისად x = x0 - 0 და წ = წ0 - 0 . დეკარტის კოორდინატები xდა წქულები მ აბსცისა და ორდინატი . ის ფაქტი, რომ წერტილი მაქვს კოორდინატები xდა წ, აღინიშნება შემდეგნაირად: მ(x, წ) .

კოორდინატთა ღერძები თვითმფრინავს ოთხად ყოფს კვადრატი , რომლის ნუმერაცია ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. იგი ასევე მიუთითებს წერტილების კოორდინატებისთვის ნიშნების მოწყობაზე, მათი მდებარეობიდან გამომდინარე ამა თუ იმ კვადრატში.

სიბრტყეში დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების გარდა, ხშირად განიხილება პოლარული კოორდინატთა სისტემაც. ერთი კოორდინატთა სისტემიდან მეორეზე გადასვლის მეთოდის შესახებ - გაკვეთილზე პოლარული კოორდინატთა სისტემა .

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში

სივრცეში დეკარტის კოორდინატები შეყვანილია სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატებთან სრული ანალოგიით.

სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი სივრცეში (კოორდინატული ღერძი) საერთო საწყისით ოდა იგივე მასშტაბის ერთეული ფორმა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში .

ერთ-ერთ ამ ღერძს ღერძი ეწოდება ოქსი, ან x-ღერძი , მეორე - ღერძი ოი, ან y-ღერძი , მესამე - ღერძი ოზი, ან აპლიკაციის ღერძი . დაე იყოს მx, მწ მზ- თვითნებური წერტილის პროგნოზები მსივრცეები ღერძზე ოქსი , ოიდა ოზიშესაბამისად.

გაიარეთ წერტილი მ ოქსიოქსიწერტილში მx. გაიარეთ წერტილი მღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე ოი. ეს სიბრტყე კვეთს ღერძს ოიწერტილში მწ. გაიარეთ წერტილი მღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე ოზი. ეს სიბრტყე კვეთს ღერძს ოზიწერტილში მზ.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები x , წდა ზქულები მჩვენ დავარქმევთ შესაბამისად მიმართული სეგმენტების სიდიდეებს OMx, OMწდა OMზ. ამ მიმართულების სეგმენტების მნიშვნელობები გამოითვლება შესაბამისად x = x0 - 0 , წ = წ0 - 0 და ზ = ზ0 - 0 .

დეკარტის კოორდინატები x , წდა ზქულები მდასახელებულია შესაბამისად აბსცისა , ორდინატი და აპლიკაცია .

წყვილებში აღებული კოორდინატთა ღერძები განლაგებულია კოორდინატულ სიბრტყეებში xOy , yOzდა zOx .

პრობლემები დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში წერტილების შესახებ

მაგალითი 1

ა(2; -3) ;

ბ(3; -1) ;

C(-5; 1) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები x ღერძზე.

გადაწყვეტილება. როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია x-ღერძზე მდებარეობს თავად x-ღერძზე, ანუ ღერძზე ოქსი, და შესაბამისად აქვს აბსცისა, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აბსცისა და ორდინატი (კოორდინატი ღერძზე ოი, რომელსაც x ღერძი კვეთს 0 წერტილში), ნულის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს x-ღერძზე:

აx(2;0);

ბx(3;0);

Cx(-5;0).

მაგალითი 2ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(-3; 2) ;

ბ(-5; 1) ;

C(3; -2) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები y-ღერძზე.

გადაწყვეტილება. როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია y-ღერძზე მდებარეობს თავად y-ღერძზე, ანუ ღერძზე. ოი, და შესაბამისად აქვს ორდინატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის ორდინატთან და აბსცისა (კოორდინატი ღერძზე ოქსი, რომელსაც y ღერძი კვეთს 0 წერტილში), ნულის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს y-ღერძზე:

აy(0; 2);

ბy (0; 1);

Cy(0;-2).

მაგალითი 3ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(2; 3) ;

ბ(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

ოქსი .

ოქსი ოქსი ოქსი, ექნება იგივე აბსციზა, რაც მოცემულ პუნქტს, ხოლო ორდინატი აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია მოცემული წერტილის ორდინატთან და საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ღერძის გარშემო ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

თავად მოაგვარეთ პრობლემები დეკარტის კოორდინატთა სისტემაზე და შემდეგ გადახედეთ ამონახსნებს

მაგალითი 4დაადგინეთ, რომელ ოთხკუთხედებში (კვარტლები, ფიგურა კვადრატებით - პუნქტის ბოლოს „მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე“) შეიძლება მდებარეობდეს წერტილი მ(x; წ) , თუ

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − წ = 0 ;

4) x + წ = 0 ;

5) x + წ > 0 ;

6) x + წ < 0 ;

7) x − წ > 0 ;

8) x − წ < 0 .

მაგალითი 5ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(-2; 5) ;

ბ(3; -5) ;

C(ა; ბ) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები ღერძის გარშემო ოი .

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ პრობლემების მოგვარებას

მაგალითი 6ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(-1; 2) ;

ბ(3; -1) ;

C(-2; -2) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები ღერძის გარშემო ოი .

გადაწყვეტილება. 180 გრადუსით როტაცია ღერძის გარშემო ოიმიმართული ხაზის სეგმენტი ღერძიდან ოიამ მომენტამდე. ნახატზე, სადაც მითითებულია სიბრტყის კვადრატები, ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ ოი, ექნება იგივე ორდინატი, როგორც მოცემული წერტილი და აბსციზა აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია მოცემული წერტილის აბსცისა და საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ღერძის გარშემო ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოი :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

მაგალითი 7ქულები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე

ა(3; 3) ;

ბ(2; -4) ;

C(-2; 1) .

იპოვნეთ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც სიმეტრიულია ამ წერტილების მიმართ საწყისის მიმართ.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვატრიალებთ 180 გრადუსით მიმართული სეგმენტის საწყისის გარშემო, რომელიც მიდის საწყისიდან მოცემულ წერტილამდე. ნახატზე, სადაც მითითებულია სიბრტყის ოთხკუთხედები, ვხედავთ, რომ მოცემული წერტილის სიმეტრიულ წერტილს კოორდინატების წარმოშობის მიმართ ექნება აბსცისა და ორდინატი, რომელიც აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატს. , მაგრამ საპირისპირო ნიშნით მათ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს საწყისის მიმართ:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

მაგალითი 8

ა(4; 3; 5) ;

ბ(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები:

1) თვითმფრინავში ოქსი ;

2) თვითმფრინავამდე Oxz ;

3) თვითმფრინავამდე ოიზ ;

4) აბსცისის ღერძზე;

5) y-ღერძზე;

6) აპლიკაციის ღერძზე.

1) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე ოქსიმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა და ორდინატი, რომელიც უდრის მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატს და აპლიკატი ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

აxy(4;3;0);

ბxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე Oxzმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა და აპლიკაციის ტოლი მოცემული წერტილის აბსცისა და აპლიკატი, და ორდინატი ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს Oxz :

აxz (4; 0; 5);

ბxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე ოიზმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს ორდინატი და აპლიკატი, რომელიც ტოლია მოცემული წერტილის ორდინატისა და აპლიკაციისა და აბსცისა ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ოიზ :

აyz (0; 3; 5);

ბyz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია x-ღერძზე მდებარეობს თავად x-ღერძზე, ანუ ღერძზე ოქსი, და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აბსცისა და პროექციის ორდინატი და აპლიკატი ნულის ტოლია (რადგან ორდინატი და აპლიკაციური ღერძი კვეთს აბსცისს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს x-ღერძზე:

აx(4;0;0);

ბx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) y ღერძზე წერტილის პროექცია მდებარეობს თავად y ღერძზე, ანუ ღერძზე ოი, და, შესაბამისად, აქვს ორდინატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის ორდინატს, ხოლო პროექციის აბსცისა და აპლიკატი ნულის ტოლია (რადგან აბსცისა და აპლიკაციური ღერძები კვეთენ ორდინატთა ღერძს 0 წერტილში). ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს y ღერძზე:

აy(0;3;0);

ბy(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) წერტილის პროექცია აპლიკაციურ ღერძზე მდებარეობს თავად აპლიკაციურ ღერძზე, ანუ ღერძზე ოზი, და, შესაბამისად, აქვს აპლიკატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აპლიკაციის, ხოლო პროექციის აბსცისა და ორდინატი ნულის ტოლია (რადგან აბსცისა და ორდინატთა ღერძები კვეთს აპლიკაციურ ღერძს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს აპლიკაციურ ღერძზე:

აz(0; 0; 5);

ბz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

მაგალითი 9ქულები მოცემულია სივრცეში დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში

ა(2; 3; 1) ;

ბ(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

იპოვეთ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც სიმეტრიულია ამ წერტილებთან მიმართებაში:

1) თვითმფრინავი ოქსი ;

2) თვითმფრინავი Oxz ;

3) თვითმფრინავი ოიზ ;

4) აბსცისის ღერძი;

5) y-ღერძი;

6) აპლიკაციური ღერძი;

7) კოორდინატების წარმოშობა.

1) ღერძის მეორე მხარეს მდებარე წერტილის „წინასვლა“. ოქსი ოქსი, ექნება მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატის ტოლი აბსცისა და ორდინატი, და აპლიკატი ტოლი სიდიდით მოცემული წერტილის აპლიკაციის, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის მიმართ მონაცემების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) ღერძის მეორე მხარეს მდებარე წერტილის „წინასვლა“. Oxzიმავე მანძილზე. კოორდინატთა სივრცის გამოსახული ფიგურის მიხედვით ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ Oxz, ექნება აბსცისა და აპლიკაციის ტოლი აბსცისა და მოცემული წერტილის აპლიკატი, და ორდინატი ტოლი სიდიდით მოცემული წერტილის ორდინატს, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის მიმართ მონაცემების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) ღერძის მეორე მხარეს მდებარე წერტილის „წინასვლა“. ოიზიმავე მანძილზე. კოორდინატთა სივრცის გამოსახული ფიგურის მიხედვით ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ ოიზ, ექნება მოცემული წერტილის ორდინატისა და აპლიკაციის ტოლი ორდინატი და აპლიკატი და მოცემული წერტილის აბსცისის სიდიდით ტოლი, მაგრამ მისი ნიშნით საპირისპირო. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სიბრტყის მიმართ მონაცემების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოიზ :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

სიბრტყის სიმეტრიულ წერტილებთან და სიმეტრიულ წერტილებთან სივრცეში სიმეტრიულ სიბრტყეებთან მიმართებაში, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სივრცეში დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ზოგიერთი ღერძის მიმართ სიმეტრიის შემთხვევაში, კოორდინატი იმ ღერძზე, რომლის მიმართაც სიმეტრია არის დაყენებული. შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო დანარჩენ ორ ღერძზე კოორდინატები აბსოლუტური მნიშვნელობით იგივე იქნება, რაც მოცემული წერტილის კოორდინატები, მაგრამ ნიშნით საპირისპირო.

4) აბსციზა ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო ორდინატი და აპლიკატი ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია x-ღერძის შესახებ მონაცემების მიმართ:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) ორდინატი ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო აბსციზა და აპლიკაცია ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია y ღერძის შესახებ მონაცემების მიმართ:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) განაცხადი შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო აბსციზა და ორდინატი ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების მიმართ აპლიკაციური ღერძის შესახებ:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) სიმეტრიის ანალოგიით სიბრტყეზე წერტილების შემთხვევაში, კოორდინატების წარმოშობის სიმეტრიის შემთხვევაში, მოცემული წერტილის სიმეტრიული წერტილის ყველა კოორდინატი აბსოლუტური მნიშვნელობით იქნება მოცემული წერტილის კოორდინატების ტოლი, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით მათ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების წარმოშობის მიმართ.

მიეცით განტოლება ორი ცვლადით F(x; y). თქვენ უკვე ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლებები ანალიტიკურად. ასეთი განტოლებების ამონახსნების სიმრავლე ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გრაფიკის სახით.

F(x; y) განტოლების გრაფიკი არის xOy კოორდინატთა სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას.

ორცვლადიანი განტოლების გამოსათვლელად, ჯერ გამოთქვით y ცვლადი განტოლების x ცვლადის მიხედვით.

რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე იცით, თუ როგორ უნდა ააწყოთ განტოლებების სხვადასხვა გრაფიკები ორი ცვლადით: ax + b \u003d c არის სწორი ხაზი, yx \u003d k არის ჰიპერბოლა, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 არის წრე, რომლის რადიუსი არის R, ხოლო ცენტრი არის O(a; b) წერტილში.

მაგალითი 1

დახაზეთ განტოლება x 2 - 9y 2 = 0.

გადაწყვეტილება.

მოდით, განტოლების მარცხენა მხარე გავამრავლოთ.

(x - 3y) (x+ 3y) = 0, ანუ y = x/3 ან y = -x/3.

პასუხი: სურათი 1.

განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს სიბრტყეზე ფიგურების მინიჭებას აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნის შემცველი განტოლებით, რაზეც დეტალურად ვისაუბრებთ. განვიხილოთ |y|-ის ფორმის განტოლებების გამოსახვის ეტაპები = f(x) და |y| = |f(x)|.

პირველი განტოლება სისტემის ტოლფასია

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ან y = -f(x).

ანუ მისი გრაფიკი შედგება ორი ფუნქციის გრაფიკებისაგან: y = f(x) და y = -f(x), სადაც f(x) ≥ 0.

მეორე განტოლების გრაფიკის გამოსათვლელად გამოსახულია ორი ფუნქციის გრაფიკები: y = f(x) და y = -f(x).

მაგალითი 2

დახაზეთ განტოლება |y| = 2 + x.

გადაწყვეტილება.

მოცემული განტოლება სისტემის ტოლფასია

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ან y = -x - 2.

ჩვენ ვაშენებთ პუნქტების კომპლექტს.

პასუხი: სურათი 2.

მაგალითი 3

დახაზეთ განტოლება |y – x| = 1.

გადაწყვეტილება.

თუ y ≥ x, მაშინ y = x + 1, თუ y ≤ x, მაშინ y = x - 1.

პასუხი: სურათი 3.

მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების გრაფიკების აგებისას მოსახერხებელი და რაციონალურია გამოყენება ფართობის მეთოდი, ეფუძნება კოორდინატთა სიბრტყის ნაწილებად დაყოფას, რომლებშიც თითოეული ქვემოდულის გამოხატულება ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

მაგალითი 4

დახაზეთ განტოლება x + |x| + y + |y| = 2.

გადაწყვეტილება.

ამ მაგალითში, თითოეული ქვემოდულის გამოხატვის ნიშანი დამოკიდებულია კოორდინატულ კვადრატზე.

1) პირველ კოორდინატთა კვარტალში x ≥ 0 და y ≥ 0. მოდულის გაფართოების შემდეგ მოცემული განტოლება ასე გამოიყურება:

2x + 2y = 2 და გამარტივების შემდეგ x + y = 1.

2) მეორე კვარტალში, სადაც x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) მესამე კვარტალში x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) მეოთხე კვარტალში x ≥ 0 და y< 0 получим, что x = 1.

ჩვენ გამოვსახავთ ამ განტოლებას მეოთხედებში.

პასუხი: სურათი 4.

მაგალითი 5

დახაზეთ წერტილების სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს ტოლობას |x – 1| + |y – 1| = 1.

გადაწყვეტილება.

ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები x = 1 და y = 1 ყოფს კოორდინატთა სიბრტყეს ოთხ რეგიონად. მოდით დავყოთ მოდულები რეგიონების მიხედვით. მოდით ეს ცხრილის სახით დავდოთ.

რეგიონი	სუბმოდულის გამოხატვის ნიშანი	მიღებული განტოლება მოდულის გაფართოების შემდეგ
მე	x ≥ 1 და y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 და y< 1	x – y = 1

პასუხი: ფიგურა 5.

კოორდინატთა სიბრტყეზე ფიგურები შეიძლება დაზუსტდეს და უთანასწორობები.

უტოლობის გრაფიკიორი ცვლადით არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები არის ამ უტოლობის ამონახსნები.

განიხილეთ ალგორითმი ორი ცვლადით უტოლობის ამოხსნის მოდელის ასაგებად:

1. ჩაწერეთ უტოლობის შესაბამისი განტოლება.
2. დახაზეთ განტოლება 1 საფეხურიდან.
3. აირჩიეთ თვითნებური წერტილი ერთ-ერთ ნახევრად სიბრტყეში. შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა შერჩეული წერტილის კოორდინატები მოცემულ უტოლობას.
4. გრაფიკულად დახაზეთ უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე.

განვიხილოთ, უპირველეს ყოვლისა, უტოლობა ax + bx + c > 0. განტოლება ax + bx + c = 0 განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. თითოეულ მათგანში ფუნქცია f(x) = ax + bx + c ნიშნის შენარჩუნების ფუნქციაა. ამ ნიშნის დასადგენად საკმარისია აიღოთ ნახევრად სიბრტყის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილი და გამოვთვალოთ ამ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობა. თუ ფუნქციის ნიშანი ემთხვევა უტოლობის ნიშანს, მაშინ ეს ნახევრად სიბრტყე იქნება უტოლობის ამოხსნა.

განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული უტოლობების გრაფიკული ამონახსნების მაგალითები ორი ცვლადით.

1) ცული + bx + c ≥ 0. სურათი 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. სურათი 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Ფიგურა 8.

4) y ≥ x2. სურათი 9

5) xy ≤ 1. სურათი 10.

თუ თქვენ გაქვთ შეკითხვები ან გსურთ ივარჯიშოთ მათემატიკური მოდელირების გამოყენებით ორცვლადიანი უტოლობების ყველა ამონახსნის კომპლექტების მოდელირებაზე, შეგიძლიათ უფასო 25 წუთიანი გაკვეთილი ონლაინ დამრიგებელთან ერთადშემდეგ . მასწავლებელთან შემდგომი მუშაობისთვის გექნებათ შესაძლებლობა აირჩიოთ ის, რაც ყველაზე მეტად მოგწონთ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ დავხატოთ ფიგურა კოორდინატულ სიბრტყეზე?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.