როგორ გამოვთვალოთ ვექტორების მოდულების წერტილოვანი პროდუქტი. ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი. ვექტორის სიგრძე. წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში

ლექცია: ვექტორული კოორდინატები; ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი; კუთხე ვექტორებს შორის

ვექტორული კოორდინატები

როგორც ადრე აღვნიშნეთ, ვექტორები მიმართულების სეგმენტია, რომელსაც აქვს თავისი დასაწყისი და დასასრული. თუ დასაწყისი და დასასრული რამდენიმე წერტილით არის წარმოდგენილი, მაშინ მათ საკუთარი კოორდინატები აქვთ თვითმფრინავზე ან სივრცეში.

თუ თითოეულ წერტილს აქვს საკუთარი კოორდინატები, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ მთელი ვექტორის კოორდინატები.

დავუშვათ, რომ გვაქვს რამდენიმე ვექტორი, რომლის ვექტორის დასაწყისსა და ბოლოს აქვს შემდეგი დანიშნულებები და კოორდინატები: A (A x; Ay) და B (B x; By)

ამ ვექტორის კოორდინატების მისაღებად საჭიროა ვექტორის დასასრულის კოორდინატებიდან გამოვყოთ დასაწყისის შესაბამისი კოორდინატები:

სივრცის ვექტორის კოორდინატების დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა:

სკალარული პროდუქტი ვექტორები

წერტილოვანი პროდუქტის განსაზღვრის ორი გზა არსებობს:

• გეომეტრიული გზა. მისი აზრით, წერტილოვანი პროდუქტი ტოლია ამ მოდულების მნიშვნელობების პროდუქტისა მათ შორის კუთხის კოსინუსის მიხედვით.

• ალგებრული მნიშვნელობა. ალგებრის თვალსაზრისით, ორი ვექტორის წერტილოვანი პროდუქტი არის გარკვეული სიდიდე, რომელიც მიიღება შესაბამისი ვექტორების პროდუქტების ჯამის შედეგად.

თუ ვექტორები მოცემულია სივრცეში, მაშინ უნდა გამოიყენოთ მსგავსი ფორმულა:

Თვისებები:

• თუ სკალურად გაამრავლებთ ორ ერთნაირ ვექტორს, მაშინ მათი წერტილოვანი პროდუქტი არ იქნება უარყოფითი:

• თუ ორი იდენტური ვექტორის სკალარული პროდუქტი აღმოჩნდა ნულის ტოლი, მაშინ ეს ვექტორები ნულად ითვლება:

• თუ ვექტორი გამრავლებულია თავისზე, მაშინ წერტილოვანი პროდუქტი ტოლია მისი მოდულის კვადრატის:

• სკალარული პროდუქტი აქვს საკომუნიკაციო თვისებას, ანუ სკალარული პროდუქტი არ შეიცვლება ვექტორების პერმუტაციისგან:

• ნულოვანი ვექტორების სკალარული პროდუქტი შეიძლება იყოს ნულოვანი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია:

• ვექტორების სკალარული პროდუქტისთვის მოქმედებს გადაადგილების კანონი, თუ რომელიმე ვექტორი გამრავლდება რიცხვზე:

• წერტილოვანი პროდუქტით შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამრავლების სადისტრიბუციო თვისება:

კუთხე ვექტორებს შორის

თვითმფრინავის პრობლემის შემთხვევაში, a \u003d (a x; a y) და b \u003d (b x; b y) ვექტორების სკალარული პროდუქტი შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

a b \u003d a x b x + a y b y

ვექტორული წერტილოვანი პროდუქტის ფორმულა სივრცითი პრობლემებისათვის

სივრცული პრობლემის შემთხვევაში, a \u003d (a x; a y; a z) და b \u003d (b x; b y; b z) ვექტორების სკალარული პროდუქტი შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

N- განზომილებიანი ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის ფორმულა

N- განზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში, ვექტორების a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) და b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) სკალარული პროდუქტის პოვნა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

1. ვექტორის სკალარული პროდუქტი თავისთავად ყოველთვის მეტია ან ტოლია ნულის:

2. ვექტორის სკალარული პროდუქტი თავისთავად ნულის ტოლია, თუ მხოლოდ თუ ვექტორი ნულოვანი ვექტორის ტოლია:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. ვექტორის სკალარული პროდუქტი თავისთავად უდრის მისი მოდულის კვადრატს:

4. სკალარული გამრავლების ოპერაცია საკომუნიკაციოა:

5. თუ ორი არა ნულოვანი ვექტორის სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია, მაშინ ეს ვექტორები ორთოგონალურია:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> ა ┴ ბ

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. სკალარული გამრავლების მოქმედება განაწილებულია:

(a + b) c \u003d a c + b გ

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის გამოთვლის პრობლემების მაგალითები

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის გაანგარიშების მაგალითები სიბრტყის პრობლემებისათვის

იპოვნეთ a \u003d (1; 2) და b \u003d (4; 8) ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი.

გადაწყვეტილება: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

იპოვნეთ a და b ვექტორების სკალარული პროდუქტი, თუ მათი სიგრძეა | a | \u003d 3, | ბ | \u003d 6, ხოლო ვექტორებს შორის კუთხე არის 60.

გადაწყვეტილება: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

იპოვნეთ ვექტორების სკალარული პროდუქტი p \u003d a + 3b და q \u003d 5a - 3 b, თუ მათი სიგრძეა | a | \u003d 3, | ბ | \u003d 2, და a და b ვექტორებს შორის კუთხე არის 60˚.

გადაწყვეტილება:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | ა | 2 + 12 ა ბ - 9 | ბ | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

სივრცული პრობლემების ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის გამოთვლის მაგალითი

იპოვნეთ a \u003d (1; 2; -5) და b \u003d (4; 8; 1) ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი.

გადაწყვეტილება: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

N– განზომილებიანი ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის გამოთვლის მაგალითი

იპოვნეთ a \u003d (1; 2; -5; 2) და b \u003d (4; 8; 1; -2) ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი.

გადაწყვეტილება: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. ვექტორებისა და ვექტორების ვექტორულ პროდუქტს ეწოდება მესამე ვექტორი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

2) პერპენდიკულარული, პერპენდიკულარული. (1 "")

3) ვექტორები ორიენტირებულია ისევე, როგორც მთელი სივრცის საფუძველი (დადებითად ან უარყოფითად).

დანიშნოს:.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

- ძალის მომენტი O წერტილთან მიმართებაში; - რადიუსი არის ძალის გამოყენების წერტილის ვექტორი, მაშ

უფრო მეტიც, თუ O წერტილში გადავიდა, მაშინ ტრიპლეტი უნდა იყოს ორიენტირებული, როგორც საფუძველი ვექტორი.

განმარტება 1

ვექტორების სკალარული პროდუქტი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების dyn პროდუქტისა, მათ შორის კუთხის კოსინუსით.

A → და b ve ვექტორების პროდუქტის აღნიშვნას აქვს →, b form. მოდით გადავიდეთ ფორმულაზე:

a →, b → \u003d a → b → cos a, b → ^. a → და b → აღნიშნავს ვექტორების სიგრძეებს, a →, b → ^ აღნიშნავს კუთხეს მოცემულ ვექტორებს შორის. თუ მინიმუმ ერთი ვექტორი არის ნულოვანი, ანუ მას აქვს 0 მნიშვნელობა, მაშინ შედეგი იქნება ნული, a →, b → \u003d 0

ვექტორის გამრავლებისას მივიღებთ მისი სიგრძის კვადრატს:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

განმარტება 2

ვექტორის სკალარული გამრავლება თავისთავად სკალარული კვადრატი ეწოდება.

გამოითვლება ფორმულით:

a →, b → \u003d a → b → cos a, b → ^.

A →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa b → \u003d b → npb → a → აჩვენებს, რომ npb → a → არის → -ის რიცხვითი პროექცია b →, npa a → არის b proj –ის პროექცია a to –ზე, შესაბამისად.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ პროდუქტის განმარტება ორი ვექტორისთვის:

A → by b two ორი ვექტორის სკალარული პროდუქტი ეწოდება a vector ვექტორის სიგრძის პროდუქტს b ection პროექციით a direction მიმართულებით ან b length სიგრძის პროდუქტს a ection პროექციით.

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში

წერტილოვანი პროდუქტის გამოთვლა შესაძლებელია ვექტორების კოორდინატების საშუალებით მოცემულ სიბრტყეზე ან სივრცეში.

ორი ვექტორის სკალარული პროდუქტი სიბრტყეზე, სამგანზომილებიან სივრცეში, ეწოდება მოცემული ვექტორების a → და b a კოორდინატების ჯამს.

კარტეზიანულ სისტემაში მოცემული ვექტორების a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) სკალარული პროდუქტის გაანგარიშებისას გამოიყენეთ:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

სამგანზომილებიანი სივრცისთვის გამოიყენება შემდეგი გამოთქმა:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

სინამდვილეში, ეს არის წერტილოვანი პროდუქტის მესამე განმარტება.

მოდით დავამტკიცოთ ეს.

მტკიცებულება 1

დასამტკიცებლად გამოიყენეთ a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by ვექტორებისთვის a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) on კარტესიული სისტემა.

ვექტორები უნდა გადაიდოს

O A → \u003d a → \u003d a x, a y და O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

მაშინ ვექტორის სიგრძე A B be ტოლი იქნება A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

განვიხილოთ O A B სამკუთხედი.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) მართალია კოსინუსის თეორემის საფუძველზე.

პირობით, ჩანს, რომ O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, ამიტომ ვექტორებს შორის კუთხის პოვნის ფორმულას სხვაგვარად ვწერთ

b → - a 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

პირველი განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), შესაბამისად (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - ბ → - ა → 2).

ვექტორების სიგრძის გაანგარიშების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

მოდით დავამტკიცოთ ტოლობები:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- შესაბამისად სამგანზომილებიანი სივრცის ვექტორებისთვის.

ვექტორების სკალარული პროდუქტი კოორდინატებით ამბობს, რომ ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამს, შესაბამისად, სივრცეში და სიბრტყეზე. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) და (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

წერტილოვანი პროდუქტი და მისი თვისებები

არსებობს წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები, რომლებიც გამოიყენება →, b → და c for:

1. commutativity (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. განაწილება (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , გ →);
3. კომბინირებული თვისება (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →) \u003d λ არის ნებისმიერი რიცხვი;
4. სკალარული კვადრატი ყოველთვის აღემატება ნულს (a →, a →) ≥ 0, სადაც (a →, a →) \u003d 0 იმ შემთხვევაში, როდესაც a zero ნულოვანია.

მაგალითი 1

თვისებები განმარტებულია სიბრტყეზე წერტილოვანი პროდუქტის განსაზღვრისა და რეალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებების გამო.

დაამტკიცეთ commutativity თვისება (a →, b →) \u003d (b →, a →). განმარტებით, ჩვენ გვაქვს ის, რომ (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y და (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

Commutativity თვისების მიხედვით, a x b x \u003d b x a x და a y b y \u003d b y a y ტოლობებია სიმართლე, ასე რომ a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

აქედან გამომდინარეობს, რომ (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

განაწილება მოქმედებს ნებისმიერი ნომრისთვის:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1), b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

და (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2)) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

აქედან ჩვენ გვაქვს

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, ბ (1) →) + (ა (1) →, ბ (2)) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2), b (1)) + (a (2) →, b (2)) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n), b (1) →) + (a (n) →, b (2)) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

წერტილოვანი პროდუქტი მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასეთი გეგმის ნებისმიერი პრობლემა მოგვარებულია წერტილოვან პროდუქტთან დაკავშირებული თვისებებისა და ფორმულების გამოყენებით:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y ან (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

მოდით გადავხედოთ ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

A length სიგრძეა 3, b the სიგრძე 7. იპოვნეთ წერტილოვანი პროდუქტი, თუ კუთხე 60 გრადუსია.

გადაწყვეტილება

პირობითად, ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, ამიტომ გამოვთვლით ფორმულით:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

პასუხი: (a →, b →) \u003d 21 2.

მაგალითი 3

მოცემულია ვექტორები a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). რა არის წერტილოვანი პროდუქტი.

გადაწყვეტილება

ამ მაგალითში განიხილება კოორდინატების მიერ გამოთვლის ფორმულა, რადგან ისინი მითითებულია პრობლემის დებულებაში:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

პასუხი: (a →, b →) \u003d - 9

მაგალითი 4

იპოვნეთ წერტილოვანი პროდუქტი A B → და A C. A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) წერტილები მოცემულია საკოორდინატო სიბრტყეზე.

გადაწყვეტილება

დასაწყისისთვის, ვექტორების კოორდინატები გამოითვლება, რადგან წერტილების კოორდინატები მოცემულია პირობით:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

ფორმულის ჩანაცვლება კოორდინატების გამოყენებით, მივიღებთ:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

პასუხი: (A B →, A C) \u003d 28.

მაგალითი 5

მოცემულია ვექტორები a → \u003d 7 m → + 3 n → და b → \u003d 5 m → + 8 n →, იპოვნეთ მათი პროდუქტი. m → ტოლია 3 და n and ტოლია 2 ერთეული, ისინი პერპენდიკულარულია.

გადაწყვეტილება

(a →, b →) \u003d (7 მ → + 3 n →, 5 მ → + 8 n →). განაწილების თვისების გამოყენებით ვიღებთ:

(7 მ → + 3 ნ →, 5 მ → + 8 ნ →) \u003d \u003d (7 მ →, 5 მ →) + (7 მ →, 8 ნ →) + (3 n →, 5 მ →) + (3 n →, 8 n →)

ჩვენ ვიღებთ კოეფიციენტს პროდუქტის ნიშნისთვის და მივიღებთ:

(7 მ →, 5 მ →) + (7 მ →, 8 n →) + (3 n →, 5 მ →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (მ →, მ →) + 7 8 (მ →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (მ →, მ →) + 56 (მ →, ნ →) + 15 (ნ →, მ →) + 24 (ნ →, ნ →)

კომუტაციის თვისებით, ჩვენ გარდაქმნის:

35 (მ →, მ →) + 56 (მ →, ნ →) + 15 (ნ →, მ →) + 24 (ნ →, ნ →) \u003d 35 (მ →, მ →) + 56 (მ →, ნ) + 15 (მ →, ნ →) + 24 (ნ →, ნ →) \u003d 35 (მ →, მ →) + 71 (მ →, ნ →) ) + 24 (n →, n →)

შედეგად, მივიღებთ:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

ახლა მოდით გამოვიყენოთ წერტილოვანი პროდუქტის ფორმულა პირობით განსაზღვრული კუთხით:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 მ → 2 + 71 მ n → cos (მ →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

პასუხი: (a →, b →) \u003d 411

თუ არსებობს რიცხვითი პროექცია.

მაგალითი 6

იპოვნეთ წერტილოვანი პროდუქტი a → და b. ვექტორს → აქვს კოორდინატები a → \u003d (9, 3, - 3), პროექცია b coord კოორდინატებით (- 3, - 1, 1).

გადაწყვეტილება

ჰიპოთეზის მიხედვით, a → და b b პროექცია საპირისპიროდ არის მიმართული, რადგან a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, ასე რომ პროექცია b → შეესაბამება სიგრძეს n p a → b → → და ნიშანი "-":

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

ფორმულის შემცვლელად მივიღებთ გამოთქმას:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

პასუხი: (a →, b →) \u003d - 33.

პრობლემები ცნობილ წერტილოვან პროდუქტთან, სადაც საჭიროა ვექტორის ან რიცხვითი პროექციის სიგრძის პოვნა.

მაგალითი 7

რა მნიშვნელობა უნდა მიიღოს λ მოცემულმა სკალარულ პროდუქტს a → \u003d (1, 0, λ + 1) და b → \u003d (λ, 1, λ) ტოლი იქნება -1.

გადაწყვეტილება

ფორმულა გვიჩვენებს, რომ აუცილებელია კოორდინატების პროდუქტების ჯამის პოვნა:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

იმის გათვალისწინებით, რომ ჩვენ გვაქვს (a →, b →) \u003d - 1.

Λ- ის მოსაძებნად გამოვთვალოთ განტოლება:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, შესაბამისად λ \u003d - 1.

პასუხი: λ \u003d - 1.

წერტილოვანი პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკა განიხილავს წერტილოვანი პროდუქტის გამოყენებას.

A მუშაობისას მუდმივი ძალით F body სხეული M წერტილიდან N გადაადგილდება, შეგიძლიათ იხილოთ ვექტორების სიგრძის პროდუქტი F M და M N → მათ შორის კუთხის კოსინუსთან, რაც ნიშნავს, რომ სამუშაო ძალის ვექტორების პროდუქტის ტოლია:

A \u003d (F →, M N).

მაგალითი 8

მატერიალური წერტილის მოძრაობა 3 მეტრით 5 ნონის ტოლი ძალის ზემოქმედებით მიმართულია ღერძთან შედარებით 45 გრადუსიანი კუთხით. იპოვნეთ ა.

გადაწყვეტილება

მას შემდეგ, რაც სამუშაო არის ძალის ვექტორისა და გადაადგილების პროდუქტი, ეს ნიშნავს, რომ პირობით F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, მივიღებთ A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

პასუხი: A \u003d 15 2 2.

მაგალითი 9

მატერიალური წერტილი, რომელიც მოძრაობს M (2, - 1, - 3) N- ზე (5, 3 λ - 2, 4) F → \u003d (3, 1, 2) ძალის ქვეშ, ასრულებს 13 ტოლობის სამუშაოს. გამოთვალეთ მოძრაობის სიგრძე.

გადაწყვეტილება

ვექტორის M N the მოცემული კოორდინატებისთვის გვაქვს M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

ვექტორებთან F → \u003d (3, 1, 2) და MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) ვექტორებთან სამუშაოს პოვნის ფორმულით ვიღებთ A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

ჰიპოთეზის მიხედვით მოცემულია, რომ A \u003d 13 J, რაც ნიშნავს 22 + 3 λ \u003d 13. აქედან გამომდინარე λ \u003d - 3, შესაბამისად M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

იმისათვის, რომ იპოვოთ გადაადგილების სიგრძე M N →, გამოიყენეთ ფორმულა და შეცვალეთ მნიშვნელობები:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

პასუხი: 158.

თუ ტექსტში შეცდომა შენიშნეთ, გთხოვთ, აირჩიოთ იგი და დააჭირეთ Ctrl + Enter

კუთხე ვექტორებს შორის

განვიხილოთ ორი მოცემული ვექტორი $ \\ overrightarrow (a) $ და $ \\ overrightarrow (b) $. მოდით, გამოვყოთ ვექტორები $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ და $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ თვითნებურად არჩეული წერტილიდან $ O $, შემდეგ კუთხეს $ AOB $ ეწოდება ვექტორებს შორის კუთხე $ \\ overrightarrow ( ა) $ და $ \\ overrightarrow (ბ) $ (ნახ. 1).

სურათი 1.

აქვე გაითვალისწინეთ, რომ თუ ვექტორები $ \\ overrightarrow (a) $ და $ \\ overrightarrow (b) $ არის მიმართულებითი ან ერთი მათგანი არის ნულოვანი ვექტორი, მაშინ ვექტორებს შორის კუთხე არის $ 0 ^ 0 $.

დანიშნულება: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი

მათემატიკურად, ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

წერტილოვანი პროდუქტი შეიძლება იყოს ნულოვანი ორ შემთხვევაში:

თუ რომელიმე ვექტორი არის ნულოვანი ვექტორი (მას შემდეგ მისი სიგრძე ნულია).

თუ ვექტორები ურთიერთპერპენდიკულარულია (ე.ი. $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ წერტილოვანი პროდუქტი ნულზე მეტია, თუ ამ ვექტორებს შორის კუთხე მწვავეა (რადგან $ (cos \\ მარცხენა (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200b\\)) \\ right\u003e \\ 0\u003e $) და ნულზე ნაკლებია, თუ ამ ვექტორებს შორის კუთხე არის დახუჭული (რადგან $ (cos \\ მარცხნივ (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

სკალარული კვადრატის კონცეფცია ასოცირდება სკალარული პროდუქტის კონცეფციასთან.

განმარტება 2

ვექტორის სკალარული კვადრატი $ \\ overrightarrow (a) $ თავისთავად ამ ვექტორის სკალარული პროდუქტია.

მივიღებთ, რომ სკალარული კვადრატია

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ მარცხენა | \\ overrightarrow (a ) \\ მარჯვნივ | \\ მარცხენა | \\ გადაფარვა (ა) \\ მარჯვნივ | \u003d (\\ მარცხნივ | \\ გადაფარვა (ა) \\ მარჯვნივ |) ^ 2 \\]

ვექტორების კოორდინატებიდან წერტილის პროდუქტის გაანგარიშება

წერტილოვანი პროდუქტის მნიშვნელობის მოძიების სტანდარტული ხერხის გარდა, რაც დეფინიციიდან გამომდინარეობს, არსებობს კიდევ ერთი გზა.

მოდით განვიხილოთ იგი.

მოდით ვექტორებს $ \\ overrightarrow (a) $ და $ \\ overrightarrow (b) $ ჰქონდეთ კოორდინატები $ \\ მარცხენა (a_1, b_1 \\ მარჯვნივ) $ და $ \\ მარცხენა (a_2, b_2 \\ მარჯვნივ) $, შესაბამისად.

თეორემა 1

$ \\ Overrightarrow (a) $ და $ \\ overrightarrow (b) $ ვექტორების სკალარული პროდუქტი ტოლია შესაბამისი კოორდინატების პროდუქტების ჯამს.

მათემატიკურად, ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

მტკიცებულებები.

დადასტურებულია თეორემა.

ამ თეორემას აქვს რამდენიმე შედეგი:

დასკვნა 1: ვექტორები $ \\ overrightarrow (a) $ და $ \\ overrightarrow (b) $ არის პერპენდიკულარული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

დასკვნა 2: ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსია $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

ნებისმიერი სამი ვექტორისა და რეალური რიცხვისთვის $ k $ მართალია:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული კვადრატის განსაზღვრებიდან (განმარტება 2).

მოგზაურობის კანონი: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

ეს თვისება გამომდინარეობს წერტილოვანი პროდუქტის განსაზღვრებიდან (განმარტება 1).

განაწილების კანონი:

$ \\ მარცხენა (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (გ) $. \\ დასრულება (ჩამოთვლა)

თეორემის 1-ის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ right) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

კომბინირებული კანონი: $ \\ მარცხენა (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ დასრულება (ჩამოთვლა)

თეორემის 1-ის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს:

\\ [\\ მარცხნივ (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ მარცხენა (a_1a_2 + b_1b_2 \\ მარჯვნივ) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის გამოთვლის პრობლემის მაგალითი

მაგალითი 1

იპოვნეთ ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი $ \\ overrightarrow (a) $ და $ \\ overrightarrow (b) $ if $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ და $ \\ მარცხენა | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $, ხოლო მათ შორის კუთხე არის $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

გადაწყვეტილება.

განმარტება 1-ის გამოყენებით, ვიღებთ

$ (30) ^ 0: $ -ად

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

$ (45) ^ 0: $ -ად

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

დოლარად (90) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ მარცხენა ((90) ^ 0 \\ მარჯვნივ) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

დოლარად (135) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ მსგავსი სტატიები